第四章静态场边值问题的解法(2)精品PPT课件
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第四章 静态场边值问题的解法
nπ nπ Fn ' sin( x) sh( y ) a a n 1
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π 由边界条件（4） y a ,0 xa 100 sin x代入通解得 a
πx nπ 100 sin Fn ' sh(nπ) sin x a n1 a
比较系数 当n 1 时， 当n 1 时，
1 2
U0 O y d
0
x
d yd 2 d 0 y 2
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由y=0,y=d时，2=0可知 由 x , 通解
n g ( y) A1 sin( y) d n
x
U0 n Cn sin( d y ) d y n1 由x=0边界条件， C sin( n y ) U U 0 y 1 n d 0 n d
F1 ' shπ 100
100 F1 ' shπ
Fn ' 0
100 π π ( x, y ) sin( x)sh y sh a a
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若金属槽盖电位 ＝U 0 ，再求槽内电位分布
nπ nπ 通解 （x, y ) Fn sin （ x)sh( y ) a a n 1 傅立叶级数 当 y a 时， ＝U 0
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例： 解：
试求长直接地金属槽内电位的分布。
边值问题（D 域内） (1)
x 0 , 0 y a 0
xa , 0 y a
0
(2)
(3)
接地金属槽的截面
y 0 , 0 x a 0
π y a ,0 xa 100 sin x a
设n=2m,
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π 由边界条件（4） y a ,0 xa 100 sin x代入通解得 a
πx nπ 100 sin Fn ' sh(nπ) sin x a n1 a
比较系数 当n 1 时， 当n 1 时，
1 2
U0 O y d
0
x
d yd 2 d 0 y 2
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由y=0,y=d时，2=0可知 由 x , 通解
n g ( y) A1 sin( y) d n
x
U0 n Cn sin( d y ) d y n1 由x=0边界条件， C sin( n y ) U U 0 y 1 n d 0 n d
F1 ' shπ 100
100 F1 ' shπ
Fn ' 0
100 π π ( x, y ) sin( x)sh y sh a a
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若金属槽盖电位 ＝U 0 ，再求槽内电位分布
nπ nπ 通解 （x, y ) Fn sin （ x)sh( y ) a a n 1 傅立叶级数 当 y a 时， ＝U 0
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例： 解：
试求长直接地金属槽内电位的分布。
边值问题（D 域内） (1)
x 0 , 0 y a 0
xa , 0 y a
0
(2)
(3)
接地金属槽的截面
y 0 , 0 x a 0
π y a ,0 xa 100 sin x a
设n=2m,
电磁场与电磁波 第4章 静态场的边值问题
像电荷 q’ 应位于球内。由对 称性， q’ 在球心与 q 的连线上。
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
[工学]电磁场与电磁波课件高教版 第四章 静态场边值问题的解法
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根据 可能的取值，可有6个常微分方程：
1
1
d 21
dx2
0
1 2
d 21 dx2
Kn2
1
1
d 21
dx2
Kn2
1
2
d 22
dy2
0
1 2
d 22 dy2
Kn2
1
2
d 22
dy2
Kn2
0
Kn2 0
Kn2 0
(6 )
(7 )
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 (x)2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
X'' Y'' Z'' 0 XYZ
X ''1X 0 Y ''2Y 0
•有 二 个 独 立 的 本 征 值 。 边 界条件可分解为：
Z ''3Z 0 1 2 3 0
X(0)=X(a)=0 Y(0)=Y(b)=0
•利用齐次边界条件求出本征值和本征函数。
X ' '1 X 0
X (0) X (a) 0
• 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值 问题（微分方程和边界条件）；
• 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程； • 解常微分方程，并叠加各特解得到通解；
• 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。
直角坐标系中的拉普拉斯方程 :
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
Y ' '2Y 0
Y (0) Y (b) 0
•是待定常数，要解出使方程有非零解的值和此 非零解X(x)。
1
1
d 21
dx2
0
1 2
d 21 dx2
Kn2
1
1
d 21
dx2
Kn2
1
2
d 22
dy2
0
1 2
d 22 dy2
Kn2
1
2
d 22
dy2
Kn2
0
Kn2 0
Kn2 0
(6 )
(7 )
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 (x)2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
X'' Y'' Z'' 0 XYZ
X ''1X 0 Y ''2Y 0
•有 二 个 独 立 的 本 征 值 。 边 界条件可分解为：
Z ''3Z 0 1 2 3 0
X(0)=X(a)=0 Y(0)=Y(b)=0
•利用齐次边界条件求出本征值和本征函数。
X ' '1 X 0
X (0) X (a) 0
• 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值 问题（微分方程和边界条件）；
• 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程； • 解常微分方程，并叠加各特解得到通解；
• 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。
直角坐标系中的拉普拉斯方程 :
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
Y ' '2Y 0
Y (0) Y (b) 0
•是待定常数，要解出使方程有非零解的值和此 非零解X(x)。
静态场边值问题的解法.ppt
R
l
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' d
（l 舍去）
结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为
l ' l （电量）
d
'
a2
/
d
（位置）
四、点电荷对电介质分解面的镜像
问题：
1
点电荷位于两种电介质分
界面上方h，求空间电位分布。
q
z
v R
h
P(x, y, z) x
分析：
2
在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极
接地导体平面垂直相交。
q2 q h2
h2 q
要满足在导体平面 上电位为零，则必须引入 3个镜像电荷。如图所示。
h1
x
h1
q3 q
q1 q
对于非垂直相交的两 导体平面构成的边界，
若夹角为 ，则所有
n
镜像电荷数目为2n-1个。
q
x
二、点电荷对球面导体分解界的镜像
1、点电荷对接地球面导体边界的镜像
1 X (x)
d
2 X (x) dx2
Y
1 ( y)
d
2Y ( y) dy 2
k 2
若假设为：
1 d 2 X (x) 1 d 2Y ( y) k 2
X (x) dx2
Y ( y) dy2
( A0 x B0 )(C0 y D0 )＋
[ Ansh(kn x) Bnch(kn x)][Cn sin(kn y) Dn cos(kn y)]
k 2
分离常数
1 X (x)
1 Y ( y)
d 2 X (x) dx2
l
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' d
（l 舍去）
结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为
l ' l （电量）
d
'
a2
/
d
（位置）
四、点电荷对电介质分解面的镜像
问题：
1
点电荷位于两种电介质分
界面上方h，求空间电位分布。
q
z
v R
h
P(x, y, z) x
分析：
2
在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极
接地导体平面垂直相交。
q2 q h2
h2 q
要满足在导体平面 上电位为零，则必须引入 3个镜像电荷。如图所示。
h1
x
h1
q3 q
q1 q
对于非垂直相交的两 导体平面构成的边界，
若夹角为 ，则所有
n
镜像电荷数目为2n-1个。
q
x
二、点电荷对球面导体分解界的镜像
1、点电荷对接地球面导体边界的镜像
1 X (x)
d
2 X (x) dx2
Y
1 ( y)
d
2Y ( y) dy 2
k 2
若假设为：
1 d 2 X (x) 1 d 2Y ( y) k 2
X (x) dx2
Y ( y) dy2
( A0 x B0 )(C0 y D0 )＋
[ Ansh(kn x) Bnch(kn x)][Cn sin(kn y) Dn cos(kn y)]
k 2
分离常数
1 X (x)
1 Y ( y)
d 2 X (x) dx2
静态场及其边值问题的解课件
qh 2 π rdrd q 2 2 32 0 0 2π (r h )
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
镜像线电荷：
l
l , h h
有效区域
l
R 电位函数 l ln ( z 0) 2π R
当z = 0 时，r r
导体平面上的感应电荷密度为
( z 0)
q
S z
z 0
qh 2π( x 2 y 2 h 2 )3 2
h
导体平面上的总感应电荷为
qh dxdy qin S dS S 2π ( x 2 y 2 h 2 )3 2
像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素” 。
等效求解的“有效场域”。 5. 确定镜像电荷的两条原则
像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场
区域 的边界条件来确定。
6.3.2 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
q
2
V
(0 )2 0
0 0
S
0 C
C 0
S
对于第一类边界条件：0
0
1 2
对于第二类边界条件：若 1 和 2 取同一点Q为参考点 ，则
0
Q
0
S1
C 0
0
1 2
C 0
对于第三类边界条件：0
1 2
6.3
镜像法
本节内容
6.3.1 镜像法的基本原理 6.3.2 接地导体平面的镜像 6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像 6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像 6.3.5 导体球面的镜像 6.3.6 导体圆柱面的镜像
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
镜像线电荷：
l
l , h h
有效区域
l
R 电位函数 l ln ( z 0) 2π R
当z = 0 时，r r
导体平面上的感应电荷密度为
( z 0)
q
S z
z 0
qh 2π( x 2 y 2 h 2 )3 2
h
导体平面上的总感应电荷为
qh dxdy qin S dS S 2π ( x 2 y 2 h 2 )3 2
像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素” 。
等效求解的“有效场域”。 5. 确定镜像电荷的两条原则
像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场
区域 的边界条件来确定。
6.3.2 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
q
2
V
(0 )2 0
0 0
S
0 C
C 0
S
对于第一类边界条件：0
0
1 2
对于第二类边界条件：若 1 和 2 取同一点Q为参考点 ，则
0
Q
0
S1
C 0
0
1 2
C 0
对于第三类边界条件：0
1 2
6.3
镜像法
本节内容
6.3.1 镜像法的基本原理 6.3.2 接地导体平面的镜像 6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像 6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像 6.3.5 导体球面的镜像 6.3.6 导体圆柱面的镜像
静态电磁场边值问题精品PPT课件
φ=0 h r2
场源、边界条件不变
-q
19
待求电位：
点电荷q与-q各自产生电位的叠加：
q q
qq
4r1 4r2
20
待求区域电场强度：
Ex
4qx
1 r13
1 r23
Ey
4qy
1 r13
1 r23
Ez 4qzr13hzr23h
21
导体平面上的感应电荷：
s DnEz
qh
2 x2y2h2 3
qs sdS
n Si gi
i 1,2,, n
gi：边界Si上的位函数外法向偏导数值
10
第三类边值问题
边界条件：求解区域边界分为两部分，一部分边 界上给定位函数值，另一部分边界上 给定位函数沿边界外法向的偏导数值
2
F 0
Si
fi
i 1,2, , k
n Si gi
i k 1, k 2, , n
电磁场与电磁波
静态电磁场边值问题
内容
边值问题 唯一性定理 镜像法 分离变量法
2
作业
1. P137：4.1、4.2、4.3 2. 矩形槽沿直角坐标y方向无限延伸，槽两侧电位为 零，当y→∞时，电位φ→0，底部电位为φ(x, 0) =U0 ， 求槽内电位分布。
3
边值问题
概述
静态场问题
分布型问题：已知场源（电荷、电流），直接计 算空间各点的场强或位函数 边值型问题：已知⑴.位函数方程；⑵.空间某一 确定区域内的场源分布；⑶.该区域的边界条件 （边界面上的位函数或位函数的法向导数），求 区域内位函数的分布
分析：待求电位由q与导体平面感应电荷共同产生；
导体平面感应电荷未知，其
场源、边界条件不变
-q
19
待求电位：
点电荷q与-q各自产生电位的叠加：
q q
4r1 4r2
20
待求区域电场强度：
Ex
4qx
1 r13
1 r23
Ey
4qy
1 r13
1 r23
Ez 4qzr13hzr23h
21
导体平面上的感应电荷：
s DnEz
qh
2 x2y2h2 3
qs sdS
n Si gi
i 1,2,, n
gi：边界Si上的位函数外法向偏导数值
10
第三类边值问题
边界条件：求解区域边界分为两部分，一部分边 界上给定位函数值，另一部分边界上 给定位函数沿边界外法向的偏导数值
2
F 0
Si
fi
i 1,2, , k
n Si gi
i k 1, k 2, , n
电磁场与电磁波
静态电磁场边值问题
内容
边值问题 唯一性定理 镜像法 分离变量法
2
作业
1. P137：4.1、4.2、4.3 2. 矩形槽沿直角坐标y方向无限延伸，槽两侧电位为 零，当y→∞时，电位φ→0，底部电位为φ(x, 0) =U0 ， 求槽内电位分布。
3
边值问题
概述
静态场问题
分布型问题：已知场源（电荷、电流），直接计 算空间各点的场强或位函数 边值型问题：已知⑴.位函数方程；⑵.空间某一 确定区域内的场源分布；⑶.该区域的边界条件 （边界面上的位函数或位函数的法向导数），求 区域内位函数的分布
分析：待求电位由q与导体平面感应电荷共同产生；
导体平面感应电荷未知，其
静态场中的边值问题
❖
(4-8)
❖
g ( y ) C s i n h ( k x y ) D c o s h ( k x y )
g (y ) C e k xy D e k xy
(4-9a〕
所以
( x , y ) [ A s i n ( k x x ) B c o s ( k x x ) ] [ C s i n h ( k x y ) D c o s ( k x y ) ]
静态场中的边值问题
本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！ 本课件PPT仅供大家学习使用 学习完请自行删除，谢谢！
❖ 解边界值问题的方法： 1、理论计算方法 ◆ 解析法 ◆ 近似计算法 数值计算法 图解法
❖ 定解条件=泛定方程+边界条件+初始条件。
❖ 衔接条件：在场域内，媒质参数必须是的，但允许 它们突变〔即存在不同媒质的分界面〕或渐变〔是 空间坐标的函数〕。
❖ 在不同媒质分界面的两侧，场量〔或其位函数〕 应满足边值关系，在偏微分方程定解问题中常被称 为衔接条件。
静态场边值问题解满足3个条件：
(1) 对于场域的内点〔既非边界点又不在媒质分 界面上的点〕泛定方程成立；
或 ( x ,y ) ( A 0 x B 0 ) ( C 0 y D 0 )
[ A n e k y n x B n e k y n x ] [ C n s i n ( k y n y ) D n c o s ( k y n y ) ]
〔4-13b〕n 1
拉普拉斯方程的解f：(x)g(y)
，代入上式得
f1 ( r ) r r 2 f ( r r ) g () 1 s i n s i n g () 0
第4章静态场边值问题的解法精品PPT课件
X (x) a 1sikxn x a 2co kxxs
或
X (x) b 1 ejx k x b 2 ejx k x
当 2 0 时，令 k x ，则
X (x)c 1 sh kxx c2 ch kxx
或
X(x)d1ekxxd2ekxx
例 1 横截面如图所示的导体长槽，上方有一块与槽
相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为a×b，槽体的电位为
n1,3,
nsh1 nabshnaysinnax
分离变量法的求解步骤
建立正确的坐标系, 确定变量的个数 写出方程的通解 利用自然边界条件化简通解 利用电磁边界条件建立确定系数的方程并解方程, 求出待定系数
4.4 圆柱坐标系中的分离变量法
圆柱坐标系中的分离变量法
2 0
1 rrrrr1222 z22 0
V
S
S
令 F
F 2
V
2 d V e n d S d S
S
S n
这就是格林第一定理（第一恒等式）
把 和 交换位置
V 2 d V S nd S
V 2 2d V S n n d S S d S
这就是格林第二定理（第二恒等式）
二、唯一性定理
的值唯,则一泊性松定方理程:或在拉场普域拉V的斯边方界程面在S场上域给V定内电的位解 唯或一
n
.
说明:若对同一面积,同时给定 或 的值,则不存在
唯一解.
n
唯一性定理的意义
指出了静态场边值问题具有唯一解的条件.
为静态场边值问题求解方法提供了理论根据,为结果 正确性提供了判据.
唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程(泊松方程)的 理论根据
YZdd2X 2xXZ dd2Y2yXYdd2Z 2z0
或
X (x) b 1 ejx k x b 2 ejx k x
当 2 0 时，令 k x ，则
X (x)c 1 sh kxx c2 ch kxx
或
X(x)d1ekxxd2ekxx
例 1 横截面如图所示的导体长槽，上方有一块与槽
相互绝缘的导体盖板，截面尺寸为a×b，槽体的电位为
n1,3,
nsh1 nabshnaysinnax
分离变量法的求解步骤
建立正确的坐标系, 确定变量的个数 写出方程的通解 利用自然边界条件化简通解 利用电磁边界条件建立确定系数的方程并解方程, 求出待定系数
4.4 圆柱坐标系中的分离变量法
圆柱坐标系中的分离变量法
2 0
1 rrrrr1222 z22 0
V
S
S
令 F
F 2
V
2 d V e n d S d S
S
S n
这就是格林第一定理（第一恒等式）
把 和 交换位置
V 2 d V S nd S
V 2 2d V S n n d S S d S
这就是格林第二定理（第二恒等式）
二、唯一性定理
的值唯,则一泊性松定方理程:或在拉场普域拉V的斯边方界程面在S场上域给V定内电的位解 唯或一
n
.
说明:若对同一面积,同时给定 或 的值,则不存在
唯一解.
n
唯一性定理的意义
指出了静态场边值问题具有唯一解的条件.
为静态场边值问题求解方法提供了理论根据,为结果 正确性提供了判据.
唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程(泊松方程)的 理论根据
YZdd2X 2xXZ dd2Y2yXYdd2Z 2z0
第4章静态电磁场边值问题的解法精品PPT课件
圆心坐标 (x0,y0)(K K 2 2 1 1b,0) 圆半径 RK 2b 2 1 K
当K 取不同数值时,就得到一族偏心圆。且每个圆的
半径R，圆心位置 x 0 和电轴位置b 之间满足
R 2 b 2 (K 2 b 2 1 K )2 b 2 (K K 2 2 1 1 b )2 x 0 2
将两根线电荷看成两根电轴，并用来求解平行双导 线系统的方法，称为电轴法。
1. 静电场
2
0
/
E1t
D1n
E 2t D2n
0
s
1 2
1
1
n
2
2
n
0s
2. 恒流电场
2 0
E1t E 2t
J
1n
J 2n
1 1
2 1
n
2
2
n
3. 恒流磁场
➢ 标量磁位
2m 0
H 1t B1n
H 2t B2n
m1 m2
1
m1
n
2
m2
n
➢ 矢量磁位
2
A
0
• 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位 函数的解。
一. 直角坐标系中的分离变量法
直角坐标系中的拉普拉斯方程：
22x2 y22 2z2 0
设其解为： (x ,y ,z ) X (x ) Y (y )Z (z )
只要虚设电荷和求解区域内实际电荷的共同作用产 生的电场能满足给定的边界条件，则根据唯一性定理， 这种代替是正确有效的。一般虚设电荷处于镜像位置， 故称镜像法。
一.无限大导体平面的镜像法
0 （导板及无穷远处）
P4qr4qr0
（导板及无穷远处）
空间任一点Q点电位为：
第四章静态场边值问题的解法精品PPT课件
nx
a
sinh
ny
a
U
sinh b
sin
x
a
sinh
y
a
a
16
当然也可以用三角函数的正交归一性进行处理，
第四章 静态场边值问题的解法
直角坐标中的分离变量法 镜像法 有限差分法
1
第三章我们已经知道，在边界条件已知的情况下（三类边
界条件：,,与 拉普拉斯方程 2＝0 有唯一解。
n n
求解边值问题，有两大类：一类是解析法，可以得到精确 解，其中分离变量法是最基本的解法； 另一类是数值法，如时域有限差
分法（FDTD），有限元（FEM），矩量法（MOM）等只 能得到近似解，但随着计算技术的进步，该方法优势十分 明显，因为其简单方便。
右边s
in
my在 b
b 0
d
y上积分＝ b 0 n1
Cn
sinhnasin
b
nbysin
my
b
dy
＝0bCn
sinhnasin2
b
nyd
b
y
b
0 Cn
sinhna1c
b
os2ny
b 2
dy
b 2Cn
sinhna
b
从而
b 2
C
n
sinh
na
b
2U 0b
n 2
sin
n
2
Cn
n
b
考虑到在 x 方向是有限区域，且0,y0
取
Xn
si
nhn
b
x，这是因为
选f A1sinh(xx)A2coshx(x)
当x0, f A10A2121A2 0
第4章(163)
和稳定性。这里仅对静电边值问题的唯一性加以讨论。 4.2.1 格林公式 格林公式是场论中的一个重要公式，可以由散度定理导 出。散度定理可以表示为
V
FdV F dS
S
(4-1)
第4章
静态场的解
在上式中，令 F= ，则 F=()=2+
V
(4-2)
第4章
静态场的解
实际上，边界条件(即边值)除了给定电位在边界上的值
以外，也可以是电位在边界上的方向导数。根据不同形式的 边界条件，边值问题通常分为三类: 第一类边值问题，也叫狄利克雷(Dirichlet)问题: 给定整 个边界上的位函数值； 即
S f (r )
第二类边值问题，也叫诺伊曼(Neumann)问题: 给定边界 上每一点位函数的法向导数
强度和其他物理量都可由电位求得。在无界空间，如果已知 分布电荷的体密度，可以通过积分公式计算任意点的电位。
但计算有限区域的电位时，必须使用所讨论区域边界上电位
的指定值(称为边值)来确定积分常数。此外，当场域中有不 同介质时，还要用到电位在边界上的边界条件。这些用来决 定常数的条件，通常称为边界条件。我们把通过微分方程及 相关边界条件描述的问题，称为边值问题。
q 4 π 0 R1 q 4 π 0 R2
(4-7)
第4章
静态场的解
图4-3 球面镜像法
第4章
静态场的解
当计算球面上一点的电位时，有
q 0 4π 0 R10 4 π 0 R20 q
(4-8)
式中R10、R20分别是从q、q′到球面上点P0的距离。在上式中 q′和b是待求量，取球面上的点分别位于离原电荷最远、最 近处，可以得到确定q′、b的两个方程。 注意到镜像电荷应该位于球内，即b<a，考虑到这个限 制条件，解上述方程，得出
V
FdV F dS
S
(4-1)
第4章
静态场的解
在上式中，令 F= ，则 F=()=2+
V
(4-2)
第4章
静态场的解
实际上，边界条件(即边值)除了给定电位在边界上的值
以外，也可以是电位在边界上的方向导数。根据不同形式的 边界条件，边值问题通常分为三类: 第一类边值问题，也叫狄利克雷(Dirichlet)问题: 给定整 个边界上的位函数值； 即
S f (r )
第二类边值问题，也叫诺伊曼(Neumann)问题: 给定边界 上每一点位函数的法向导数
强度和其他物理量都可由电位求得。在无界空间，如果已知 分布电荷的体密度，可以通过积分公式计算任意点的电位。
但计算有限区域的电位时，必须使用所讨论区域边界上电位
的指定值(称为边值)来确定积分常数。此外，当场域中有不 同介质时，还要用到电位在边界上的边界条件。这些用来决 定常数的条件，通常称为边界条件。我们把通过微分方程及 相关边界条件描述的问题，称为边值问题。
q 4 π 0 R1 q 4 π 0 R2
(4-7)
第4章
静态场的解
图4-3 球面镜像法
第4章
静态场的解
当计算球面上一点的电位时，有
q 0 4π 0 R10 4 π 0 R20 q
(4-8)
式中R10、R20分别是从q、q′到球面上点P0的距离。在上式中 q′和b是待求量，取球面上的点分别位于离原电荷最远、最 近处，可以得到确定q′、b的两个方程。 注意到镜像电荷应该位于球内，即b<a，考虑到这个限 制条件，解上述方程，得出
静态场的解.ppt
图 4-5 例 4-3 用图 (a) 导体平面与线电荷；(b) 等位线
第四章 静 态 场 的 解
解：
l 20
1n
r0 r
同理得镜像电荷-ρl的电位：
l 20
1n
r0 r
任一点(x, y)的总电位：
l 20
1n
r r
用直角坐标表示为
( x,
y)
l 40
1n
(x (x
d d
)2 )2
y2 y2
第四章 静 态 场 的 解
图 4-8 矩形截面导体槽
第四章 静 态 场 的 解
解： 本题的电位与z无关，只是x、y的函数，即φ=φ(x, y)。
在区域 0<y<a、0<y<b内， ▽2φ =0
① x=0, φ(0, y)=0 ② x=a, φ(a, y)=0 ③ y=0, φ(x, 0)=0 ④ y=b, φ(x, b)=U0
2m d m2 1
a
解之得
m2 m2
1d 1
b
m1,2 b
b2 a2 a
第四章 静 态 场 的 解
U
1
2
l 20
(1nm1
1nm2 )
l 1n b b2 a2 l 1n b b2 a2
20 b b2 a2 0
a
C l
0
U 1n b b2 a2
a
当b>>a时，
C
0
1n 2b
第四章 静 态 场 的 解
X (x) a1 sin kxx a2 coskxx
sin kxa 0
即kxa=nπ或kx=nπ/a(n=1, 2, 3, …)，这样得到X(x)=a1sin(nπx/a)。 由 于α2+β2=0，所以得到Y(y)的形式为指数函数或双曲函数， 即
第四章 静 态 场 的 解
解：
l 20
1n
r0 r
同理得镜像电荷-ρl的电位：
l 20
1n
r0 r
任一点(x, y)的总电位：
l 20
1n
r r
用直角坐标表示为
( x,
y)
l 40
1n
(x (x
d d
)2 )2
y2 y2
第四章 静 态 场 的 解
图 4-8 矩形截面导体槽
第四章 静 态 场 的 解
解： 本题的电位与z无关，只是x、y的函数，即φ=φ(x, y)。
在区域 0<y<a、0<y<b内， ▽2φ =0
① x=0, φ(0, y)=0 ② x=a, φ(a, y)=0 ③ y=0, φ(x, 0)=0 ④ y=b, φ(x, b)=U0
2m d m2 1
a
解之得
m2 m2
1d 1
b
m1,2 b
b2 a2 a
第四章 静 态 场 的 解
U
1
2
l 20
(1nm1
1nm2 )
l 1n b b2 a2 l 1n b b2 a2
20 b b2 a2 0
a
C l
0
U 1n b b2 a2
a
当b>>a时，
C
0
1n 2b
第四章 静 态 场 的 解
X (x) a1 sin kxx a2 coskxx
sin kxa 0
即kxa=nπ或kx=nπ/a(n=1, 2, 3, …)，这样得到X(x)=a1sin(nπx/a)。 由 于α2+β2=0，所以得到Y(y)的形式为指数函数或双曲函数， 即
[工学]电磁场与电磁波课件高教版 第四章 静态场边值问题的解法
例3.2 图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位
为100 sin x ，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。
a
解：选定直角坐标系 边值问题
图 接地金属槽的截面
2
2 x 2
2 y 2
0
( x0,0 ya) 0
( y0,0xa) 0
( ya,0xa)
。等式两端同乘 sin m a
x
，然后从 0到
a对 x积分
a 100sin m xdx
0
a
n1
a
n
0 Fn ' 'sin a
x sin m
a
xdx
400
Fn '' Fn ' shn n
d2 dr
)
0
(0 r a) (a r )
积分之，得通解
1( r
)
r 2 60
C1
1 r
C2
2(
r
)
C3 r
C4
边界条件
1 ra
2 ra
0
1
r
ra
0
2
r
ra
1 r0 有限值 2 r 0 参考点电位
解得 C1 0 C4 0
C3
a 2 2 0
,
C2
a3 3 0
电位：
1(r)
根据 可能的取值，可有6个常微分方程：
1
1
d 21
dx2
0
1 2
d 21 dx2
Kn2
1
1
d 21
dx2
Kn2
1
2
d 22
dy2
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由边界条件（4）
10s0inπx代入通解得
ya,0xa
a
10 si0 π a n x n 1F n's(h nπ)sin a n πx
比较系数
当 n 1时， 当 n 1时，
F1'shπ100
F1 '
100 sh π
Fn' 0
(x,y)1 sh0s0iπ a nx)(sh π ay
上页 下页
若金属槽盖电位＝U，0 再求槽内电位分布
对于具体问题，根据边界条件确定积分常数，
积分常数的确定一般有：
① 比较系数法 ② 傅立叶级数展开法
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分离常数的确定：
① 若边界条件可看成周期性（0），则分离常数 为虚数，对应解为三角函数；
② 若边界条件为非周期性，则分离常数为实数，对 ③ 应解为双曲函数或指数函数，其中有限区域的取 ④ 双曲函数，而无限区域的解衰减的指数函数；
由 x,20可知
g(y)A1sinnd( y) nx
f(x)B1e d
通解
2
Cns
n1
inn( y)endπx
d
n1Cnsinn(d
y)U0 d
y
由x=0边界条件，n1Cnsinn(d
y)U0
U0 d
y
0yd 2
d yd 2
返回 上页 下页
傅里叶级数系数
C n d 2 [0 d 2( d U 0y )sin dn y )d( y d 2 d(U 0 U d 0y )sin dn y )d(]y d 2 [0 d( d U 0y )sin d n y )d ( y d 2 d U 0sin d n y )d (]y C nd 2{ U n0[y (cn o d y)s0 d0 dco n dy s)d (]y
③ 若场与某坐标无关，则分离常数为零，对应解为 ④ 常数；
④ 确定了各坐标变量方程的解，它们的乘积是 ⑤ 拉氏方程的特解，须将特解线性叠加，使其满 ⑥ 足边界条件，从而确定各系数，求得电位函数。
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例： 试求长直接地金属槽内电位的分布。
解： 边值问题（D 域内）
0
x0,0 ya
(1)
0
si nxka0
nπ kxa (n1,2,3)
上页 下页
可知 g( yC ) sxyhkDcxyhk
由边界条件（3）
0 代入得
y0,0xa
g(0)=0
C0
将各特解线性叠加得通解
(x,y)n 1BnD nsin n a πx()sh na πy
n 1Fn'sinnaπ(x)sh(naπy)
上页 下页
222 0
x2 y2
分离变量，设解答为： (x,y)f(x)g(y)
代入微分方程
d2 f d2g g dx2 f dy2 0
上页 下页
除以fg
1 d2 f 1 d2g 0 f dx2 g dy2
分离常数
设
1 f
d2 f dx2
，
1 g
d2g dy 2
－
分离常数的取值有三种情况：
(1) λ0
d2f dx2 0
(2)
xa ,0 ya
y0,0 xa 0
(3)
100
ya,0 xa
sin
πx a
(4)
接地金属槽的截面
上页 下页
由边界条件(1)、（2）分析可知：
f(xA ) cxoxsBksxixnk
代入边界条件，确定积分常数
由边界条件（1） x0,0ya 0 得：f(0)=0
A0
由边界条件（2） xa,0ya 0 得 f(a)=0
第四章 静态场边值问题的解法
静电场和恒定电场的求解，可归结为在给定 边界下，对拉普拉斯方程或泊松方程的求解。
分离变量法 镜像法 复变函数法
格林函数法
数值法
有限差分法
返回
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4.1 分离变量法
1. 分离变量法的思想
把一个包含多个自变量的函数用含单个自变量的函数的乘 积表示，从而将偏微分方程分离为几个常微分方程分别求解， 最后利用边界条件确定积分常数，得到级数形式的解。
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通解为所有特解的叠加
f(x )g (y ) (A 0 B 0 x )C 0 ( D 0 y )
(A n ckn h x B n skn h x)C (nck o ny sD nsk iny n ) n 1
(A n'ck o nx sB n'sk inn x)C (n'cn h yD kn'sh ny)k n 1
分离变量法解题的一般步骤： 写出边值问题（微分方程和边界条件）； 分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程； 解常微分方程，并叠加得到通解；
返回 上页 下页
利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。 分离变量法采用正交坐标系，当场域边界与正
交坐标面重合或平行时，分离变量法是一种有效 的方法。
2. 直角坐标系中的分离变量法（二维场）
大，槽内有两块T形的导体构成，两块间有一狭缝，
上导体板的电压为U0 ，试求导体槽内的电位。
y U0
y U0
U0
U0 d
y
y0
d
d
d
O
0x
O
0 x U 0 yO
0xd解：1 Nhomakorabea12
U0 y 在x=0平面上，2 d
U 0
U0 d
U0 d
y
y
d yd 2 0 y d
2
返回 上页 下页
由y=0,y=d时，2=0可知
返回 上页 下页
4U0 nπ
En
Fn'sh(nπ)
Fn'nπ4sUh(0nπ) n1,3,5.....
代入通解
接地金属槽内 的等位线分布
(x,y)4 U 0 1 sin n πx)(s(h n πy)
πn 1 ,3 ,n(s n π h)a a
上页 下页
返回 上页 下页
例： 一导体槽，槽的宽度在x方向和z方向均为无穷
特解2
nfg
A nckh nxB nsk h nxC nco kny sD nsikn n y
返回 上页 下页
(3) ＝ kn20
1 f
d2 f dx2
kn2
1 g
d2g dy2
kn2
fA n co knx sB n siknn x gC n ch ny kD n shnyk
特解3
nfg
A n co knxsB n sikn nxC n ch ny kD n sh nyk
通解 （ x,y)n 1Fns（ in naπx)s(hnaπy)
当ya时，＝U0
傅立叶级数
U 0 ＝ n 1F n s(n h π )sin a π nx) ( n 1E nsin a π nx)(
Ena20aU0sinnaπxdx
0 4U0
nπ
n0,2,4..... n1,3,5.....
d 2g dy2
0
f A0 B0x g C0 D0 y
特解1
0 f(x )g (y ) (A 0 B 0 x )C 0 ( D 0 y )
上页 下页
(2) kn20
1 f
d2 f dx2
kn2
1 g
d2g dy2
kn2
指数函数
fA nckh nxB nsk h nx
gC nco knys D nsiknn y