数列通项公式的求法(最全).
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例 6.已知数列{a n } 满足 an1 2an (2n 1) ，且 a1 2 ，求通项 an
分析：构造等比数列{an+kn+b}，
解：设 an1 k (n 1) b 2(an kn b) ，
k 2 对比系数得 解得 k 2, b 1 b k 1
an1 f (n) an
条件：f（1）f（2）… f（n-1）的积要可以求出才可用
n 已知 a 中， a 2, a 3 an , 求通项an . 例 2： n 1 n1
an 解： 3 n 1 , an 1 .......
an 1 3n 2 , an 2 a3 32 , a2
pan q
满足px - x q ) (其中 x为待定系数，
{an x }是首项为 a1 x
公比为p的等比数列，求出an x ,再进一步求通项an
例3：数列 an 满足a1 1, an1 2an 1 , 求an . 分析：构造等比数列{an+x}，若可以观察x值更好
类型二、前n项和Sn法 已知前n项和，求通项公 式 ( n 1) S1
an S n S n 1 ( n 2)
例 2： 设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足Sn=n2+2n-1, 求﹛an﹜的通项公式. 提示：当n 2时，an S n S n 1
(n2 2n - 1) - [(n - 1)2 2(n 1) 1]
解：由 an 2an1 1 得： an 1 2(an1 1) ∴ {an 1} 是以 a1 1 2 为首项，2 为公比的等比数列 故 an 1 2 2 ∴ an 2 1
n n1
2n
an1 pan f (n)
an1 pan An B
一、普通数列：
类型一 观察法：已知前几项，写通项公式 例.试写出下列数列的通项公式an
方法规律总结：
n1 2 2 1 2 1 an ( 1) （） 1 2， -1 ， ，- , ，n 3 2 5 3 7 an (10n 1) 9 （） 2 7 ， 77 ， 777， 7777 ab n ab an ( 1) （） 3 b ， a ，， b a 2 2
故 an 5 2
n1
2n 1
an1 pan f (n)
an1 pan An Bn C
2
例 7.已知数列{a n } 满足 a1 1 ，且 an1 2an n 2 n 1 ，求通项a n
解： an an 1 n an 2 an 3 n 2 ....... a3 a2 3 以上各式相加得 an a1 (2 3 4 n) (n+2)(n-1) =1+ n 2 3 1 n 1 练： 已知 an 中, a1 1, an 3 an1 ( n 2)证明：an 2 an 1 an 2 n 1 an 3 an 4 n 3 a2 a1 2
an 的前n项和S n 例3： (07重庆) 各项均正数的数列
满足S 1 1且6S n (an 1)(an 2), n N *， 求 an 的通项公式
分析：由题意得 6S n a 3an 2
2 n
①
当n 1时， 6a1 6S1 a12 3a1 2
an 2 3n 3 , an 3
an 3 3n 4 an 4
a2 3 a1
以上各式相乘得an a1 3 32 33 3n 2 3n 1 2 31 2 3 ( n-1) 2 3 an 2 3
n ( n -1) 2 n ( n -1) 2
2 n 1 an 2n 1 n 2
例 3： 设数列﹛an﹜满足a1=1, an=-SnSn-1(n≥2，n∈N*） 求﹛an﹜的通项公式.
提示：把an代换成Sn-Sn-1 等式两边再同÷（-SnSn-1）
1 n 1 an 1 n( n 1) n 2
故an 是首项为 2，公差为 3的等差数列， 故an 的通项为an 2 3(n 1) 3n 1
二、递推数列：
an1 an f (n)
条件：f（1）+ f（2）+… f（n-1）的和要可以求出才可用
例 1： 在﹛an﹜中，已知a1=1,an=an-1+n (n≥2),求通项an.
练： 已知an 中，a1 2, an1 2 an , 求通项an . n 2
an1 pan f (n)
通用方法：待定系数法
an 1 pan q
(一)若数列相邻两项 an1与an满足 an 1
则可考虑待定系数法设
an 1 x p an x
1.正负号用(-1)n或(-1)n+1来调节。分式形式观察分母间关系和分子间关系的 同时还要观察分子与分母间的关系，有时还要把约分后的分式还原后观察。
12.如0.7，0.77,0.777…类的数列，要用“归九法” an （ 7 9 1 ) n 10
3.两个循环的数列是0,1,0,1…的变形。可以拆成一个常数列b,b,b,b…与 0,a-b,0,a-b..的和，分别写通项然后相加再化简。
解得a1 1或a1 2又a1 S1 1故a1 2
2 且有6S n1 an 1 3an1 2 ②
S n1 S n an1
可找出an1与an的关系
由②－①整理得
(an1 an wenku.baidu.com(an1 an 3) 0又an1 an 0 an1 an 3
分析：构造等比数列{an+kn+b}，
解：设 an1 k (n 1) b 2(an kn b) ，
k 2 对比系数得 解得 k 2, b 1 b k 1
an1 f (n) an
条件：f（1）f（2）… f（n-1）的积要可以求出才可用
n 已知 a 中， a 2, a 3 an , 求通项an . 例 2： n 1 n1
an 解： 3 n 1 , an 1 .......
an 1 3n 2 , an 2 a3 32 , a2
pan q
满足px - x q ) (其中 x为待定系数，
{an x }是首项为 a1 x
公比为p的等比数列，求出an x ,再进一步求通项an
例3：数列 an 满足a1 1, an1 2an 1 , 求an . 分析：构造等比数列{an+x}，若可以观察x值更好
类型二、前n项和Sn法 已知前n项和，求通项公 式 ( n 1) S1
an S n S n 1 ( n 2)
例 2： 设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足Sn=n2+2n-1, 求﹛an﹜的通项公式. 提示：当n 2时，an S n S n 1
(n2 2n - 1) - [(n - 1)2 2(n 1) 1]
解：由 an 2an1 1 得： an 1 2(an1 1) ∴ {an 1} 是以 a1 1 2 为首项，2 为公比的等比数列 故 an 1 2 2 ∴ an 2 1
n n1
2n
an1 pan f (n)
an1 pan An B
一、普通数列：
类型一 观察法：已知前几项，写通项公式 例.试写出下列数列的通项公式an
方法规律总结：
n1 2 2 1 2 1 an ( 1) （） 1 2， -1 ， ，- , ，n 3 2 5 3 7 an (10n 1) 9 （） 2 7 ， 77 ， 777， 7777 ab n ab an ( 1) （） 3 b ， a ，， b a 2 2
故 an 5 2
n1
2n 1
an1 pan f (n)
an1 pan An Bn C
2
例 7.已知数列{a n } 满足 a1 1 ，且 an1 2an n 2 n 1 ，求通项a n
解： an an 1 n an 2 an 3 n 2 ....... a3 a2 3 以上各式相加得 an a1 (2 3 4 n) (n+2)(n-1) =1+ n 2 3 1 n 1 练： 已知 an 中, a1 1, an 3 an1 ( n 2)证明：an 2 an 1 an 2 n 1 an 3 an 4 n 3 a2 a1 2
an 的前n项和S n 例3： (07重庆) 各项均正数的数列
满足S 1 1且6S n (an 1)(an 2), n N *， 求 an 的通项公式
分析：由题意得 6S n a 3an 2
2 n
①
当n 1时， 6a1 6S1 a12 3a1 2
an 2 3n 3 , an 3
an 3 3n 4 an 4
a2 3 a1
以上各式相乘得an a1 3 32 33 3n 2 3n 1 2 31 2 3 ( n-1) 2 3 an 2 3
n ( n -1) 2 n ( n -1) 2
2 n 1 an 2n 1 n 2
例 3： 设数列﹛an﹜满足a1=1, an=-SnSn-1(n≥2，n∈N*） 求﹛an﹜的通项公式.
提示：把an代换成Sn-Sn-1 等式两边再同÷（-SnSn-1）
1 n 1 an 1 n( n 1) n 2
故an 是首项为 2，公差为 3的等差数列， 故an 的通项为an 2 3(n 1) 3n 1
二、递推数列：
an1 an f (n)
条件：f（1）+ f（2）+… f（n-1）的和要可以求出才可用
例 1： 在﹛an﹜中，已知a1=1,an=an-1+n (n≥2),求通项an.
练： 已知an 中，a1 2, an1 2 an , 求通项an . n 2
an1 pan f (n)
通用方法：待定系数法
an 1 pan q
(一)若数列相邻两项 an1与an满足 an 1
则可考虑待定系数法设
an 1 x p an x
1.正负号用(-1)n或(-1)n+1来调节。分式形式观察分母间关系和分子间关系的 同时还要观察分子与分母间的关系，有时还要把约分后的分式还原后观察。
12.如0.7，0.77,0.777…类的数列，要用“归九法” an （ 7 9 1 ) n 10
3.两个循环的数列是0,1,0,1…的变形。可以拆成一个常数列b,b,b,b…与 0,a-b,0,a-b..的和，分别写通项然后相加再化简。
解得a1 1或a1 2又a1 S1 1故a1 2
2 且有6S n1 an 1 3an1 2 ②
S n1 S n an1
可找出an1与an的关系
由②－①整理得
(an1 an wenku.baidu.com(an1 an 3) 0又an1 an 0 an1 an 3