数列通项公式的求法(最全).

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(完整版)求数列通项公式常用的七种方法

求数列通项公式常用的七种方法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解.例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式.分析：设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧-=+=+54111d a d a 解得⎩⎨⎧-==231d a∴ ()5211+-=-+=n d n a a n二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =()()32321----n n=12-n而111-==s a 不适合上式，()()⎩⎨⎧≥=-=∴-22111n n a n n三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 311=+，其中11=a ，求n a . 分析： 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a即 341=+n n a a ()2≥n 又1123131a s a ==不适合上式∴ 数列{}n a 从第2项起是以34为公比的等比数列 ∴ 222343134--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=n n n a a ()2≥n ∴()()⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛==-23431112n n a n n注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与1-n s 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项.四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例4：()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a分析： 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a┅ 321-=--n a a n n ()2≥n以上各式相加得()()211327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n又01=a ，所以()21-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()21-=n a n ()*∈Nn五、累乘法：它与累加法类似，当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例5：111,1n n na a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a分析：11n n n a a n -=- ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N *≥∈故3241123123411231n n n a a a a na a n a a a a n -===- ()2,n n N *≥∈ 而11a =也适合上式，所以()n a n n N *=∈ 六、构造法：㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+ 则()11n n a ka k m -=+- 而1n n a ka b -=+ ∴()1b k m =- 即1b m k =- 故111n n b b a k a k k -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭∴数列11n b a k -⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 为公比的等比数列，借助它去求n a例6：已知111,21n n a a a -==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a分析：121n n a a -=+ ∴()1112221n n n a a a --+=+=+∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列 ∴()111122n n n a a -+=+⋅= 故21n n a =- ㈡、取倒数法：这种方法适用于11n n n ka a ma p--=+()2,n n N *≥∈（,,k m p 均为常数0m ≠），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n n a ka b -=+的式子. 例7：已知11122,2n n n a a a a --==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a1122n n n a a a --=+ ∴111211122n n n n a a a a ---+==+ 即11112n n a a --= ()2,n n N *≥∈ ∴ 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以12为公差的等差数列∴()1111222n n n a =+-⋅= ∴2n a n= ㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数）例8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a分析：由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a >∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得 211lg lg 2lg n n n a aa --==即1lg 2lg nn a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列故112lg 2lg3lg3n n n a --== ∴123n n a -=七、“m n n c ba a +=+1（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a .例9：设数列{}n a 的前n 项和为n s ，已知*11,3,N n s a a a n n n ∈+==+，求通项n a . 解：n n n s a 31+=+ 113--+=∴n n n s a ()2≥n两式相减得 1132-+⋅+=-n n n n a a a 即 11322-+⋅+=n n n a a上式两边同除以13+n 得92332311+⋅=++n n n n a a （这一步是关键）令nnn a c 3=得 92321+=+n n c c ⎪⎭⎫⎝⎛-=-∴+3232321n n c c ()2≥n （想想这步是怎么得来的） ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-32n c 从第2项起，是以93322-=-a c 为首项，以32为公比的等比数列故 ()n n n n n a a c c 32332933232322222----=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-()323232+-=∴-n n n a c 又n n n a c 3=，所以()123223--⋅+⋅-=n n n a a a a =1 不适合上式 ()()()⎩⎨⎧≥⋅+⋅-==∴--23223112n a n a a n n n 注：求m n n c ba a +=+1（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项公式的方法是等式的两边同除以1+n c ，得到一个“1n n a ka b -=+”型的数列，再用上面第六种方法里面的“一次函数法”便可求出n n ca 的通式，从而求出n a .另外本题还可以由n n n s a 31+=+得到nn n n s s s 31+=-+即 n n n s s 321+=+,按照上面求n a 的方法同理可求出n s ,再求n a .您不不妨试一试.除了以上七种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这七种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握.。

求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十种方法求解数列的通项公式是高中数学中的一个重要问题，通常需要运用数学分析方法、递推关系、差分方法等多种技巧。

下面将列举十种常见的方法来求解数列的通项公式。

方法一：等差数列的通项公式对于等差数列 an = a1 + (n - 1) * d，其中 a1 为首项，n 为项数，d 为公差。

通项公式可以直接通过公式计算得出。

方法二：等差数列的求和公式对于等差数列 S = (n / 2) * (a1 + an)，其中 S 为前 n 项和，a1 为首项，an 为末项，n 为项数。

可以通过求和公式推导出等差数列的通项公式。

方法三：等比数列的通项公式对于等比数列 an = a1 * r^(n - 1)，其中 a1 为首项，r 为公比，n 为项数。

通项公式可以直接通过公式计算得出。

方法四：等比数列的求和公式对于等比数列S=(a1*(r^n-1))/(r-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

可以通过求和公式推导出等比数列的通项公式。

方法五：递推关系法对于一些递推关系的数列，可以通过寻找规律，构建递推关系来求解数列的通项公式。

例如斐波那契数列就可以通过递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=1，来求解通项公式。

方法六：二项式展开法对于一些满足二项式展开的数列，可以通过展开得到二项式系数，然后通过系数的通项公式来求解数列的通项公式。

例如二项式数列(x+1)^n的展开系数就是通过n阶二项展开推导出来的。

方法七：差分法通过对数列进行差分操作，找到规律来求解数列的通项公式。

例如，如果差分的结果是一个等差数列，那么原数列就是一个二次或高次多项式。

方法八：线性递推法对于一些线性递推关系的数列，可以通过构建矩阵形式或特征方程的方法来求解数列的通项公式。

例如，对于一阶线性递推数列a(n)=p*a(n-1)+q，可以通过特征方程x-p*x-q=0来求解通项公式。

方法九：插值法通过给定数列中的若干项，利用 Lagrange 插值公式来推导数列的通项公式。

(完整版)求数列通项公式常用的七种方法

求数列通项公式常用的七种方法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列na 为等差或等比数列，根据通项公式d n a a n11或11n n qa a 进行求解.例1：已知n a 是一个等差数列，且5,152a a ，求n a 的通项公式.分析：设数列n a 的公差为d ，则54111da d a 解得231da 5211ndn a a n二、前n 项和法：已知数列n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .例2：已知数列n a 的前n 项和12nns ，求通项n a .分析：当2n 时，1n nns s a =32321n n=12n 而111s a 不适合上式，22111n n a n n三、n s 与n a 的关系式法：已知数列n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a .例3：已知数列n a 的前n 项和n s 满足n n s a 311，其中11a ，求n a .分析：13n na s ①nna s 312n②①-②得n n n a a a 331134nn a a 即341nn a a 2n又1123131a s a 不适合上式数列n a 从第2项起是以34为公比的等比数列222343134n n n a a 2n23431112n na n n注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1na 与1ns 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项.四、累加法：当数列n a 中有n f a a nn1，即第n 项与第1n 项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 例4：12,011n a a a nn，求通项na 分析：121n a a n n112a a 323a a 534a a ┅321n a a nn2n以上各式相加得211327531n n a a n 2n 又01a ，所以21n a n 2n，而01a 也适合上式，21n a n Nn 五、累乘法：它与累加法类似，当数列n a 中有1n na f n a ，即第n 项与第1n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例5：111,1nnn a a a n 2,n n N求通项na 分析：Q 11nnna a n 11nn a na n 2,n n N故3241123123411231n nn a a a a na a n a a a a n g g g g L g g g g L g 2,n n N而11a 也适合上式，所以na n n N六、构造法：㈠、一次函数法：在数列n a 中有1nna kab （,k b 均为常数且0k ），从表面形式上来看n a 是关于1n a 的“一次函数”的形式，这时用下面的方法: 一般化方法：设1nna mk a m则11nna ka k m而1nn a ka b1bk m 即1bmk 故111n nb ba k a k k数列11nba k 是以k 为公比的等比数列，借助它去求na 例6：已知111,21n n a a a 2,n n N求通项na 分析：Q 121nna a 1112221n nna a a 数列1n a 是以2为首项，2为公比的等比数列111122n nna a 故21nna ㈡、取倒数法：这种方法适用于11n nnka a ma p2,n n N （,,k m p 均为常数0m），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n na kab 的式子.例7：已知11122,2n nna a a a 2,nnN求通项na Q 1122n nna a a 111211122nnnna a a a 即11112nna a 2,n n N数列1n a 是以12为首项，以12为公差的等差数列1111222nn n a 2na n㈢、取对数法：一般情况下适用于1klnn a a （,k l 为非零常数）例8：已知2113,2nn a a a n 求通项na 分析：由2113,2nn a a an知0n a 在21n na a 的两边同取常用对数得211lg lg 2lg n n n a a a 即1lg 2lg n na a 数列lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列故112lg 2lg3lg3nn na 123nna 七、“mnnc ba a 1（c b,为常数且不为0，*,N nm ）”型的数列求通项n a .例9：设数列n a 的前n 项和为n s ，已知*11,3,N ns a a a nn n ，求通项n a .解：nn n s a 31113n nns a 2n两式相减得1132n n nn a a a 即11322n nna a 上式两边同除以13n 得92332311nn n n a a （这一步是关键）令nn na c 3得92321nn c c 3232321n nc c 2n（想想这步是怎么得来的）数列32nc 从第2项起，是以93322a c 为首项，以32为公比的等比数列故nn n n na a c c 32332933232322222323232nn nac 又nn na c 3，所以123223n n na a a a 1不适合上式23223112n a n a a n n n注：求mnnc ba a 1（c b,为常数且不为0，*,N nm ）”型的数列求通项公式的方法是等式的两边同除以1n c ，得到一个“1nna kab ”型的数列，再用上面第六种方法里面的“一次函数法”便可求出nn ca 的通式，从而求出n a .另外本题还可以由nnns a 31得到n nn ns s s 31即nn ns s 321,按照上面求n a 的方法同理可求出n s ,再求n a .您不不妨试一试.除了以上七种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这七种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握.。

数列求通项公式完美版八种方法

数列求通项公式的方法（八种方法）（一）由数列的前几项求数列的通项公式（观察法）1．(1)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n＝________.(2)数列{a n}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式a n＝________.解析：(1)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n＝(－1)n1n(n＋1).(2)数列{a n}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n＝2n＋1n2＋1.答案：(1)(－1)n1n(n＋1)(2)2n＋1n2＋1由数列的前几项求数列通项公式的策略根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等.（二）由a n与S n的关系求通项a n（公式法）2．(2017·东营模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n＝2S n－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式．解析：(1)令n＝1时，T1＝2S1－1，∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.(2)n≥2时，T n－1＝2S n－1－(n－1)2，则S n＝T n－T n－1＝2S n－n2－[2S n－1－(n－1)2]＝2(S n－S n－1)－2n＋1＝2a n－2n＋1.因为当n＝1时a1＝S1＝1也满足上式，所以S n＝2a n－2n＋1(n≥1)，当n≥2时，S n－1＝2a n－1－2(n－1)＋1，两式相减得a n＝2a n－2a n－1－2，所以a n＝2a n－1＋2(n≥2)，所以a n＋2＝2(a n－1＋2)，因为a1＋2＝3≠0，所以数列{a n＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．所以a n＋2＝3×2n－1，∴a n＝3×2n－1－2，当n＝1时也成立，所以a n＝3×2n－1－2.1．规律方法已知S n求a n的3个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．（三）由递推关系求数列的通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．归纳起来常见的探究角度有：(1)形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n . （累乘法） (2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n . （累加法）(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n . （构造法一）(4)形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C (A ，B ，C 为常数)，求a n . （取倒数法，构造二）命题点1 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式．解析：因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.由累乘法可得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n (n ≥2)．又a 1＝1符合上式，∴a n ＝1n .命题点2 形如a n ＋1－a n ＝f (n )，求a n4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解析：因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n (3n ＋1)2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以a n ＝32n 2＋n 2. 命题点3 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)求a n5．在数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解析：因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3.又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n－1－1.1111()n n n n n n n n a pa qa a xa pa q x px q x a x p a x ++++=+===+⇒=+⇒-=-数列第一类型解释：代换代入原式命题点4 形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解析：∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．课堂练习 a n 与S n 的关系求通项a n （公式法）1.已知数列{}n a 的前n 项和为23nn S =-,则n a = ．2.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11=a ，12n n na S +=.则n a = ．3.数列{}n a 满足112n n S a =-，则n a = ． 4．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝32a n －3，则数列{a n }的前n 项和S n 等于5.各项为正数的数列{}n a 满足2421n n n a S a =--(*n ∈N ),其中n S 为{}n a 前n 项和.(1)求1a ,2a 的值； (2)求数列{}n a 的通项公式6.已知2a 、5a 是方程027122=+-x x 的两根，数列{}n a 是递增的等差数列，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且n n b S 211-=（*∈N n ）．求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； 7．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且312n n S a =-*()n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式．8.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）.( I )求n S ； ( II ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，则说明理由.9、已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. （累加法）10、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

求数列通项公式的8种方法

求数列通项公式的8种方法一、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项二、累加、累乘法1、累加法适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++，则111213333n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯，则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-2、累乘法适用于： 1()n n a f n a +=若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，，两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

数列求通项公式方法大全

数列求通项公式方法大全数列是数学中非常重要的概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。

在数列中，我们常常需要找到一个通项公式来表示数列中的每一项。

本文将介绍几种常用的求解数列通项公式的方法，以便读者能够更好地理解和运用这些方法。

一、等差数列的通项公式求解方法等差数列是一种每一项与前一项之差都相等的数列。

求解等差数列通项公式的方法包括以下几种：1. 直接法：已知等差数列的首项a和公差d，可以直接通过观察找出通项公式为An=a+(n-1)d。

这一方法适用于简单的等差数列。

2. 递推法：已知等差数列的首项a和公差d，可以通过递推的方式求得通项公式。

具体步骤是将首项代入通项公式，再将前一项代入，不断递推得到通项公式。

3. 求和法：利用等差数列的求和公式可以推导出通项公式。

首先求得等差数列的前n项和Sn，然后通过Sn与前一项和Sn-1之差得到通项公式。

二、等比数列的通项公式求解方法等比数列是一种每一项与前一项之比都相等的数列。

求解等比数列通项公式的方法包括以下几种：1. 直接法：已知等比数列的首项a和公比r，可以直接通过观察找出通项公式为An=a*r^(n-1)。

这一方法适用于简单的等比数列。

2. 递推法：已知等比数列的首项a和公比r，可以通过递推的方式求得通项公式。

具体步骤是将首项代入通项公式，再将前一项代入，不断递推得到通项公式。

3. 求和法：利用等比数列的求和公式可以推导出通项公式。

首先求得等比数列的前n项和Sn，然后通过Sn与前一项和Sn-1之比得到通项公式。

三、斐波那契数列的通项公式求解方法斐波那契数列是一种每一项都等于前两项之和的数列。

求解斐波那契数列的通项公式的方法有以下几种：1. 递推法：根据斐波那契数列的特点，可以通过递推的方式求得通项公式。

具体步骤是将前两项分别代入通项公式，再将前一项和前两项之和代入，不断递推得到通项公式。

2. 矩阵法：利用矩阵运算可以得到斐波那契数列的通项公式。

通过构建适当的矩阵，可以将斐波那契数列和矩阵的乘法运算联系起来，从而求解通项公式。

数列通项公式求法大全(配练习及答案)

数列通项公式的十种求法一、公式法*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈1*11()n nn a a a qq n N q-==⋅∈ 二、累加法 )(1n f a a n n +=+例 1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

2n a n = 例 2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

（3 1.n n a n =+-）三、累乘法 n n a n f a )(1=+例3 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

（(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯）评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为12(1)5n n na n a +=+，进而求出13211221n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅L ，即得数列{}n a 的通项公式。

例4已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式。

（!.2n n a =）评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为11(2)n na n n a +=+≥，进而求出132122n n n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅L ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

四、待定系数法 q pa a n n +=+1 ()n f pa a n n +=+1 nn n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

例5 已知数列{}n a 满足112356nn n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

史上最全的数列通项公式的求法13种

最全的数列通项公式的求法之青柳念文创作数列是高考中的重点内容之一，每一年的高考题都会考查到，小题一般较易，大题一般较难.而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要.本文给出了求数列通项公式的常常使用方法. 一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式.二、公式法①操纵等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要思索合并通项)例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 知足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式.②已知数列{}n a 的前n 项和n S 知足21n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式.③解析：由题意，321++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q ∴q a a a a b b n n n n n n =++=+++++21321，故数列{}n b 是等比数列，)1(211321+=+=+=q q q a q a a a b ， ∴)1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n n n 三、归纳猜测法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜测出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之.也可以猜测出规律，然后正面证明.四、累加（乘）法对于形如)(1n f a a n n +=+型或形如n n a n f a )(1=+型的数列，我们可以根据递推公式，写出n 取1到n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式.例4. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a .例5.在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+（*N n ∈），求通项n a .五、取倒（对）数法a 、r n n pa a =+1这种类型一般是等式双方取对数后转化为q pa a n n +=+1，再操纵待定系数法求解b 、数列有形如0),,(11=--n n n n a a a a f 的关系，可在等式双方同乘以,11-n n a a 先求出.,1n na a 再求得 c 、)()()(1n h a n g a n f a n nn +=+解法：这种类型一般是等式双方取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1.例6.．设数列}{n a 知足,21=a ),N (31∈+=+n a a a n nn 求.n a 例7设正项数列{}n a 知足11=a ，212-=n n a a （n≥2）.求数列{}n a 的通项公式.解：双方取对数得：122log 21log -+=n na a ，)1(log 21log 122+=+-n na a ，设1log 2+=nan b ，则12-=n n b b {}n b 是以2为公比的等比数列，11log 121=+=b .11221--=⨯=n n n b ，1221log -=+n a n，12log 12-=-n a n， ∴1212--=n n a 变式:1.已知数列｛an ｝知足：a1＝32，且an ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－求数列｛an ｝的通项公式； 2、若数列的递推公式为11113,2()n na n a a +==-∈，则求这个数列的通项公式.3、已知数列{n a }知足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项公式.4、已知数列｛an ｝知足：1,13111=+⋅=--a a a a n n n ，求数列｛an ｝的通项公式.5、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n na a n∈N +，求通项a n ．六、迭代法迭代法就是根据递推式，采取循环代入计算. 七、待定系数法：1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解.一般地，形如a 1+n =p a n +q （p≠1，pq≠0）型的递推式都可通过待定系数法对常数q 分解法：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得pk －k=q ，即k=1-p q，从而得等比数列{a n +k}.例9、数列{a n }知足a 1=1，a n =21a 1-n +1（n≥2），求数列{a n }的通项公式.说明：通过对常数1的分解，停止适当组合，可得等比数列{ a n －2}，从而达到处理问题的目标. 操练、1数列{a n }知足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式.2、已知数列{}n a 知足11=a ，且132n n a a +=+，求n a ．2、递推式为11+++=n n n q pa a （p 、q 为常数）时，可同除1+n q ，得111+⋅=++n nn n qa q p qa ，令n n n qa b =从而化归为q pa a n n +=+1（p 、q 为常数）型．、例10．已知数列{}n a 知足11=a ，123-+=n n n a a )2(≥n ，求n a ．解：将123-+=n n n a a 双方同除n 3，得n n n n a a 32131-+=⇒1133213--+=n n nn a a 设n nn a b 3=，则1321-+=n n b b ．令)(321t b t b n n -=--⇒t b b n n 31321+=-⇒3=t ．条件可化成)3(3231-=--n n b b ，数列{}3-n b 是以3833311-=-=-a b 为首项，32为公比的等比数列．1)32(383-⨯-=-n n b ．因n n n a b 3=,)3)32(38(331+⨯-==∴-n n n n n b a ⇒2123++-=n n n a ．3、形如b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a、p解法：这种类型一般操纵待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列.例11:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a . 解：令1(1)3()n n a x n y a xn y ++++=++ 化简得：1322n n a a xn y x +=++-所以2221x y x =⎧⎨-=-⎩解得10x y =⎧⎨=⎩ ，所以1(1)3()n n a n a n +++=+又因为115a +=，所以数列{}n a n +是以5为首项，3为公比的等比数列.从而可得1153,53-n n n n a n a n --+=⨯=⨯所以 4、形如21n n a pa an bn c +=+++)001(≠≠，a 、p解法：这种类型一般操纵待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()n n a x n y n c p a xn yn c ++++++=+++，与已知递推式比较，解出yx ,{}2naxn yn c +++是公比为p 的等比数列.例12:设数列{}n a ：2114,321,(2)n n a a a n n -==+-≥，求n a . 八：不动点法，形如hra qpa a n n n ++=+1解法：如果数列}{n a 知足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有hra qpa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且rh a r qr ph -≠≠≠1,0,），那末，可作特征方程hrx q px x ++=,当特征方程有且唯一一根0x 时,则01n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列;当特征方程有两个相异的根1x 、2x 时，则12n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列.例15：已知数列}{n a 知足性质：对于,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.九：换元法：类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目标是代换后出现的整体数列具有规律性.例16已知数列{}n a知足111(14116n n a a a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式.解：令n b =21(1)24n n a b =- 故2111(1)24n n a b ++=-，代入11(1416n n a a +=++得即2214(3)n n b b +=+因为0n b =，故10n b +=≥则123n n b b +=+，即11322n n b b +=+，可化为113(3)2n n b b +-=-，所以{3}n b -是以13332b -===为首项，以21为公比的等比数列，因此121132()()22n n n b ---==，则21()32n n b -=+21()32n -=+，得2111()()3423n n n a =++.评注：本题解题的关键是通过将n b ，使得所给递推关系式转化11322n n b b +=+形式，从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式. 例18. 已知数列{}n a 知足211=a ，211nn a a +=+，求n a .解析：设3cos 211π==a ，∵211nn a a +=+，∴6cos2π=a ，32cos23⋅=πa ，…，32cos1⋅=-n na π总之，求数列的通项公式，就是将已知数列转化成等差（或等比）数列，从而操纵等差（或等比）数列的通项公式求其通项. 十、双数列解法：根据所给两个数列递推公式的关系，矫捷采取累加、累乘、化归等方法求解.例19. 已知数列{}n a 中，11=a ；数列{}n b 中，01=b .当2≥n 时，)2(3111--+=n n n b a a ,)2(3111--+=n n n b a b ，求n a ,n b .解：因=+n n b a ++--)2(3111n n b a )2(3111--+n n b a 11--+=n n b a所以=+n n b a 11--+n n b a 1112222=+=+=•••=+=--b a b a b a n n 即1=+n n b a …………………………………………（1）又因为=-n n b a -+--)2(3111n n b a )2(3111--+n n b a )(3111---=n n b a所以=-n n b a )(3111---n n b a =-=--))31(222n n b a ……)()31(111b a n -=-1)31(-=n .即=-n n b a 1)31(-=n ………………………（2）由（1）、（2）得：])31(1[211-+=n n a ， ])31(1[211--=n n b十一、周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期.例20：若数列{}n a 知足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-≤≤=+)121(,12)210(,21n n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 的值为___________.变式:（2005，湖南,文，5）已知数列}{n a 知足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a = （）A ．0B ．3-C ．3D ．23十二、分解因式法当数列的关系式较复杂，可思索分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得an.),1,0(,)1()(,)1()(34≠-⋅=-=r x r x g x x f 数列}{n a 知足1,21==n a a （n∈N ），且有条件n a a f n g a a n n n n (,0)()1()(11求=+-⋅---≥2）.解：由得：0)]1()([)1(.0)1()1()(113141311=-+--=-+-⋅⋅-------n n n n n n n n a a a r a a a r a a 即对n∈N ，,11:.0)1()(,1111---⋅-+==-+-≠n n n n n n a rr r a a a a r a 合并同类项得故再由待定系数法得：).1(111--=--n n a rr a ∴.)1(11--+=n n rr a十三、循环法数列有形如0),(12=++n n n a a a f ，的关系，如果复合数列构不成等差、等比数列，有时可思索构成循环关系而求出.n a例22.．在数列}{n a 中，.19981221,,5,1a a a a a a n n n 求-===++ 解：由条件,)(11123n n n n n n n a a a a a a a -=--=-=+++++即,,363n n n n n a a a a a =-=∴-=+++即每间隔6项循环一次.1998=6×333， ∴.461998-==a a总结方法比做题更重要!方法发生于详细数学内容的学习过程中.。

数列通项公式的十种求法

数列通项公式的十种求法方法一：直接法对于一些简单的数列，可以通过观察数列的规律，直接写出通项公式。

例如，对于等差数列an=3n+1，可以观察到每一项都是前一项加上3，因此可以直接写出通项公式。

方法二：递推法递推法是通过数列前一项和通项之间的关系式来推导通项公式。

例如，对于斐波那契数列an=an-1+an-2，可以通过给出前两项的值，然后通过关系式不断求解后续项的值，得到通项公式。

方法三：代数法对于一些特殊的数列，可以通过代数方式求解通项公式。

例如，对于等比数列an=2^n，可以通过代数方法得到通项公式。

方法四：数学归纳法数学归纳法是通过证明法来得到通项公式。

首先证明数列的前几项符合一些表达式，然后假设n=k时表达式成立，再证明n=k+1时也成立，从而得到通项公式。

方法五：求和法有些数列的通项公式可以通过求和公式得到。

例如，对于等差数列an=3n+1，可以通过求和公式求得前n项和Sn=3n(n+1)/2，然后推导出通项公式。

方法六：线性递推法对于一些特殊的数列，可以通过线性递推法求解通项公式。

线性递推法是通过设定通项公式的形式，然后求解出相应的系数。

例如，对于一阶等差数列an=ax+b，可以通过线性递推法求解出通项公式。

方法七：矩阵法矩阵法是通过将数列表示成矩阵的形式，然后通过矩阵运算求解出通项公式。

例如，对于数列an=2n+1，可以将其表示为一个2×2的矩阵，然后通过矩阵运算得到通项公式。

方法八：生成函数法生成函数法是通过定义一个函数来表示数列，然后通过函数运算求解出通项公式。

例如，对于斐波那契数列an=an-1+an-2，可以定义一个生成函数F(x)=a0+a1x+a2x^2+...，然后通过函数运算得到通项公式。

方法九：离散动力系统法离散动力系统法是通过建立数列的动力系统方程，然后求解出通项公式。

例如，对于一阶等差数列an=ax+b，可以将其表示为一个离散动力系统方程xn+1=axn+b，然后通过求解方程得到通项公式。

数列通项公式的求法(史上最全)

2.｛an｝的前项和Sn=2n2－1，求通项an
解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1) －[2(n－1)2－1] =4n－2
当n=1时, a1=1 不满足上式
因此 an=
1 (n=1) 4n －2(n≥2,
n N*)
不要遗漏n=1的情形哦！
3.已知{an}中，a1+2a2+3a3+ •••+nan=3n+1,求通项an
• 数 a1·列a2{·aan}3·中…，·aan＝1＝n12，，数对列所{有an的}的n≥通2，项都公有式为________．
• 解析：由题意，当n≥2时， • a1·a2·a3·…·an＝n2，① • 故当n＝2时，有a1·a2＝22＝4， • 又因为a1＝1，所以a2＝4.
故当 n≥3 时，
Sn2 Sn1 an2 4an1 4an
即 an2 2an1 2(an1 2an)
bn an1 2an bn1 2 bn
数列 {bn}是公比为 2 的等比数列 .
（2）
设Cn
an 2n
，求证：数列{Cn}是等差数列.
证明：
cn
an 2n
cn 1
cn
an1 2n1
an 2n
解: ∵ an= 3n－1+an－1 (n≥2)
∴ an= 3n－1+an－1 = 3n－1 +3n－2+ an－2
解: ∵(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0 ∴( an+1+ an)[(n+1) an+1 － nan]=0
∵ an+1+ an>0

数列求通项公式方法大全

数列求通项公式方法大全数列是数学中经常使用的概念，它是由一系列按照特定规律排列的数字组成。

在数列中，每个数字被称为项，而数列求通项公式的方法则是为了找到这些数列中的规律，从而可以通过公式来表示数列中的任意一项。

本文将介绍一些常用的数列求通项公式的方法。

一、等差数列求通项公式等差数列是一种数列，其中任意两项之间的差值保持不变。

等差数列可以用通项公式来表示，通项公式如下：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。

二、等比数列求通项公式等比数列是一种数列，其中任意两项之间的比值保持不变。

等比数列可以用通项公式来表示，通项公式如下：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。

三、费波纳契数列求通项公式费波纳契数列是一种特殊的数列，其规律是每一项都是前两项的和。

费波纳契数列可以用通项公式来表示，通项公式如下：an = (1/sqrt(5)) * (((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n)其中，an表示第n项。

四、算术几何平均数列求通项公式算术几何平均数列是一种结合了等差数列和等比数列的数列，其规律是每一项既满足等差数列的差值规律，又满足等比数列的比值规律。

算术几何平均数列可以用通项公式来表示，通项公式如下：an = (a1 * r^n - b1)/(r - 1)其中，an表示第n项，a1表示等差数列的首项，r表示等比数列的公比，b1表示几何数列的首项。

五、斐波那契-黄金分割数列求通项公式斐波那契-黄金分割数列是一种结合了费波纳契数列和黄金分割比例的数列，其规律是每一项与前一项的比值趋近于黄金分割比例（约为1.618）。

斐波那契-黄金分割数列可以用通项公式来表示，通项公式如下：an = a1 * Phi^n其中，an表示第n项，a1表示首项，Phi表示黄金分割比例（约为1.618）。

(完整版)求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十一种方法(方法全，例子全，归纳细)总述：一．利用递推关系式求数列通项的11 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法(目的是去递推关系式中出现的根号) 、数学归纳法、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式) 、特征根法二。

四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

、累加法1．适用于：a n 1 a n f (n) ------------------ 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。

2．若a n 1 a n f (n) (n 2) ，a2 a1 f (1)a3 a2 f (2) LLa n 1 a n f ( n)n两边分别相加得a n 1 a1 f (n )k1例1已知数列｛a n ｝满足a n 1a n 2n 1, a i 1，求数列｛a n ｝的通项公式。

解：由 a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1 则a n (a n a n 1) (a n 1 a n 2) L @3a 2) (a 2 aja 1 [2( n 1) 1] [2( n 2) 1]L (2 21) (2 11) 12[(n 1) (n 2) L 2 1] (n 1) 1 (n 1)n 2 (n 1) 12(n 1)( n 1) 1 2n2所以数列｛a n ｝的通项公式为a n n 。

例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2 3n 1，印3，求数列佝｝的通项公式。

解法一：由a n 1 a n n 2 31 得 a n 1a n n2 31则a n (a * an 1)(a n 1 a n 2) L(a 3 a 2) (a 2 a 1) a 1n (2 3 1 1) (2 3n 21)L (2 32 31 1) (2 31) 312(33n2L 32 ；31)(n 1)3「(1 3n1)2(n 1) 31 3n3 3 n 133 n1所以a n 3n n 1.解法二：时3an 2 3 1两边除以3n1，得鄴J 3 3a n 2 n3 32132)3 32 3a3na n 3a n 1)a n 1(an 1a n 1a n 2) (a n 2(尹z a2 q 色(3231)33n )1)12门22(n 1)313n 3n13n2Lan 13n22答案：n数、分式函数，求通项 an .① 若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 ② 若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③ 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 ④ 若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

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an1 f (n) an
条件：f（1）f（2）… f（n-1）的积要可以求出才可用
n 已知 a 中， a 2, a 3 an , 求通项an . 例 2： n 1 n1
an 解： 3 n 1 , an 1 .......
an 1 3n 2 , an 2 a3 32 , a2
例 6.已知数列{a n } 满足 an1 2an (2n 1) ，且 a1 2 ，求通项 an
分析：构造等比数列{an+kn+b}，
解：设 an1 k (n 1) b 2(an kn b) ，
k 2 对比系数得解得 k 2, b 1 b k 1
练：已知an 中，a1 2, an1 2 an , 求通项an . n 2
an1 pan f (n)
通用方法：待定系数法
an 1 pan q
(一)若数列相邻两项 an1与an满足 an 1
则可考虑待定系数法设
an 1 x p an x
类型二、前n项和Sn法已知前n项和，求通项公式 ( n 1) S1
an S n S n 1 ( n 2)
例 2：设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足Sn=n2+2n-1, 求﹛an﹜的通项公式. 提示：当n 2时，an S n S n 1
(n2 2n - 1) - [(n - 1)2 2(n 1) 1]
an 2 3n 3 , an 3
an 3 3n 4 an 4
a2 3 a1
以上各式相乘得an a1 3 32 33 3n 2 3n 1 2 31 2 3 ( n-1) 2 3 an 2 3
n ( n -1) 2 n ( n -1) 2
解：由 an 2an1 1 得： an 1 2(an1 1) ∴ {an 1} 是以 a1 1 2 为首项，2 为公比的等比数列故 an 1 2 2 ∴ an 2 1
n n1

2n
an1 pan f (n)
an1 pan An B
pan q
满足px - x q ) (其中 x为待定系数，
{an x }是首项为 a1 x
公比为p的等比数列，求出an x ,再进一步求通项an
例3：数列 an 满足a1 1, an1 2an 1 , 求an . 分析：构造等比数列{an+x}，若可以观察x值更好
故an 是首项为 2，公差为 3的等差数列，故an 的通项为an 2 3(n 1) 3n 1
二、递推数列：
an1 an f (n)
条件：f（1）+ f（2）+… f（n-1）的和要可以求出才可用
例 1：在﹛an﹜中，已知a1=1,an=an-1+n (n≥2),求通项an.
故 an 5 2
n1
2n 1
an1 pan f (n)
an1 pan An Bn C
2
例 7.已知数列{a n } 满足 a1 1 ，且 an1 2an n 2 n 1 ，求通项a n
an 的前n项和S n 例3： (07重庆) 各项均正数的数列
满足S 1 1且6S n (an 1)(an 2), n N *，求 an 的通项公式
分析：由题意得 6S n a 3an 2 a12 3a1 2
解得a1 1或a1 2又a1 S1 1故a1 2
2 且有6S n1 an 1 3an1 2 ②
S n1 S n an1
可找出an1与an的关系
由②－①整理得
(an1 an )(an1 an 3) 0又an1 an 0 an1 an 3
解： an an 1 n an 2 an 3 n 2 ....... a3 a2 3 以上各式相加得 an a1 (2 3 4 n) (n+2)(n-1) =1+ n 2 3 1 n 1 练：已知 an 中, a1 1, an 3 an1 ( n 2)证明：an 2 an 1 an 2 n 1 an 3 an 4 n 3 a2 a1 2
2 n 1 an 2n 1 n 2
例 3：设数列﹛an﹜满足a1=1, an=-SnSn-1(n≥2，n∈N*）求﹛an﹜的通项公式.
提示：把an代换成Sn-Sn-1 等式两边再同÷（-SnSn-1）
1 n 1 an 1 n( n 1) n 2
1.正负号用(-1)n或(-1)n+1来调节。分式形式观察分母间关系和分子间关系的同时还要观察分子与分母间的关系，有时还要把约分后的分式还原后观察。
12.如0.7，0.77,0.777…类的数列，要用“归九法” an （ 7 9 1 ) n 10
3.两个循环的数列是0,1,0,1…的变形。可以拆成一个常数列b,b,b,b…与 0,a-b,0,a-b..的和，分别写通项然后相加再化简。
一、普通数列：
类型一观察法：已知前几项，写通项公式例.试写出下列数列的通项公式an
方法规律总结：
n1 2 2 1 2 1 an ( 1) （） 1 2， -1 ，，- , ，n 3 2 5 3 7 an (10n 1) 9 （） 2 7 ， 77 ， 777， 7777 ab n ab an ( 1) （） 3 b ， a ，， b a 2 2