(人教)高中数学选修4-4课件：第2讲参数方程4
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲四渐开线与摆线
解：由摆线的参数方程易知半径为 2 的圆的参数方程
x＝2（φ－sin φ），
为：
(φ 为参数)．
y＝2（1－cos φ）
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归纳升华 1．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动 地滚动时圆周上一个定点的轨迹． 2．根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可 知其中的字母 r 是指定圆的半径，参数 φ 是指圆上定点相 对于某一定点运动所张开的角度大小．
于渐开线和坐标轴的交点要看坐标系的选取．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
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2．当 φ＝2π 时，圆的渐开线
x＝6（cos y＝6（sin
φ＋φsin φ－φcos
φ）， φ） (φ
为参数)上的点是(
)
A．(6，0)
B．(6，6π)
C．(6，－12π) D．(－π，12π)
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由于 r 表示圆的半径，故 r>0，所以 r＝2k1π(k∈N*)，
故所求摆线的参数方程为
x＝2k1π（φ－sin y＝2k1π（1－cos
φ）， (φ
φ）
为参数，其中
k∈N*)．
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[迁移探究] (变换条件)把典例 2 中的条件“摆线过 一定点(1，0)”改为“半径为 2”，请写出该摆线的参数 方程．
A．2π，2 B．2π，4
C．4π，2 D．4π，4
解析：因为半径 r＝2，所以拱宽为 2πr＝4π，拱高为
2r＝4.
答案：D
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4．写出半径为 2 的圆的渐开线参数方程：_________．
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程
【解】
如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
x＝6＋0＋6cosθ＝2＋2cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝ ＝1＋sinθ. 3 x－22 由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为 4 ＋(y－1)2＝ 1.
x－1＝cosθ， 3 【解】 (1)由题意可设 y＋2 ＝sinθ， 5
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求．
2 2 x y (2)x2－y2＝4变形为： 4 － 4 ＝1.
x＝2secα， ∴参数方程为 y＝2tanα
2 x ＝ 2 pt ， 2 2．抛物线y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
y 1 由于 x ＝ t ，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与 抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 3．几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 ＋ a2 ＝1(a>b>0)，其参 数方程是 [0,2π)．
x2 y2 a2＋b2＝1
x＝acosφ， y＝bsinφ
x2 y2 a2－b2＝1
x＝asecφ， y＝btanφ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
(acosφ，bsinφ)
(asecφ，btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不 同的，它们的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-4第二讲-参数方程
3π x＝ ， 2 即得对应的点的坐标． y＝3，
【答案】 3
3π ，3 2
变式训练1
半径为2的基圆的渐开线的参数方程为
________，当圆心角φ＝π时，曲线上点的直角坐标为________．
解析 半径为2的基圆的渐开线的参数方程为 (φ为参数)．
x＝2cosφ＋φsinφ， y＝2sinφ－φcosφ
(φ为参数)，求对应圆的摆线的参数方程．
解
首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为6，所以对 (φ为参数)．
x＝6φ－6sinφ， 应圆的摆线的参数方程为 y＝6－6cosφ
x＝cosφ＋φsinφ， π 【例3】 当φ＝ ，π时，求出渐开线 (φ为 2 y＝sinφ－φcosφ
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 【例1】
x＝3cosφ＋3φsinφ， 给出某渐开线的参数方程 y＝3sinφ－3φcosφ
(φ
为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是 ________，且当参数φ取 ________．
【分析】 根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程 (φ为参数)进行对照可知．
故A，B两点间的距离为 |AB|＝ 3π π [ 2 ＋1－2－1]2＋1－12
＝ π＋22＝π＋2.
参数)上的对应点A，B，并求出A，B间的距离．
【解】
x＝cosφ＋φsinφ， π 将φ＝2代入 y＝sinφ－φcosφ，
π π π π 得x＝cos2＋2sin2＝2， π π π y＝sin － cos ＝1. 2 2 2
π ∴A(2，1)．
x＝cosφ＋φsinφ， 将φ＝π代入 y＝sinφ－φcosφ，
第二讲 参数方程知 识归纳 课件(人教A选修4-4)
x＝5cos θ， 参数方程 y＝5sin θ
π π (－ ≤θ≤ )表示的曲线是 2 2
π π 化为普通方程是：x ＋y ＝25，∵－ ≤θ≤ ， 2 2
2 2
∴0≤x≤5，－5≤y≤5. ∴表示以(0,0)为圆心，5 为半径的右半圆．
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ห้องสมุดไป่ตู้ [例 2]
3 x＝ t＋1， 将参数方程 5 (t 为参数)化为普通方程． y＝t2－1
(t 为 参 数 ) 与 曲 线
(α 为参数)的交点个数为________．
解析：直线的普通方程为 x＋y－1＝0，圆的普通方程为 2 x ＋y ＝3 ， 圆心到直线的距离 d＝ ＜3， 故直线与圆的 2
2 2 2
交点个数是 2.
答案：2
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2．(2012· 湖北高考)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极 π 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线 θ＝ 与 4
x＝t＋1， 曲线 y＝t－12，
(t 为参数)相交于 A， 两点， B 则线段 AB
的中点的直角坐标为________．
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π 解析：记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 θ＝ ，转化为直角坐标 4 方程为 y＝x(x≥0)，曲线为 y＝(x－2)2，联立上述两个方程 得 x2－5x＋4＝0，所以 x1＋x2＝5，故线段 AB 的中点坐标 5 5 为( ， )． 2 2
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考情分析 通过对近几年新课标区高考试题的分析可见，高考对 本讲知识的考查，主要是以参数方程为工具，考查直线与 圆或与圆锥曲线的有关的问题．
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真题体验
x＝2＋t， 1 ． (2012· 京 高 考 ) 直 线 北 y＝－1－t x＝3cos α， y＝3sin α
人教A版高中数学选修4-4课件：第二讲 参数方程 (共5份)4
8 8 8
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对于攀登者来说，失掉往昔的足迹并不可惜，迷失了继续前时的方向却很危险。 如果可恨的挫折使你尝到苦果，朋友，奋起必将让你尝到人生的欢乐。 只要有信心，人永远不会挫败。 别拿自己的无知说成是别人的愚昧！ 没有了爱的语言，所有的文字都是乏味的。 心如镜，虽外景不断变化，镜面却不会转动，这就是一颗平常心，能够景转而心不转。 注意你的思想，它会变成你的言语；注意你的言语，它会变成你的行动；注意你的行动，它会变成你的习惯；注意你的习惯，它会变成你的 性格；注意你的性格，它会变成你的命运。 无所不能的人实在一无所能，无所不专的专家实在是一无所专…… 就算你的朋友再多，人脉再广，其实真正对你好的人，你一辈子也遇不到几个。 加紧学习，抓住中心，宁精勿杂，宁专勿多。 志在峰巅的攀登者，不会陶醉在沿途的某个脚印之中。 勤学和知识是一对最美的情人。 如果知识不是每天在增加，就会不断地减少。 别太注重自己和他人的长相，能力没写在脸上。如果你不是靠脸吃饭，关注长相有个屁用！ 痛不痛只有自己知道，变没变只有自己才懂。不要问我过得好不好，死不了就还好。 在灾难面前不屈服，而应更加勇敢地去正视它。 不要拿我跟任何人比，我不是谁的影子，更不是谁的替代品，我不知道年少轻狂，我只懂得胜者为。 时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。 没有人能替你承受痛苦，也没有人能抢走你的坚强。 一个华丽短暂的梦，一个残酷漫长的现实。 如果你相信自己，你可以做任何事。
人教A版高中数学选修4-4课件：第二讲 参数方程 (共5份打包)4
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
高考数学(人教,理)总复习课件：选修4-4-第2节参数方程
当 θ＝kπ＋π2(k∈Z)时，y＝0，x＝±t＋1t . 由于当 t＞0 时，t＋1t ≥2； 当 t＜0 时，t＋1t ≤－2，于是|x|≥2. ∴方程 y＝0(|x|≥2)表示 x 轴上以(－2,0)和(2,0)为端点的 向左和向右的两条射线．
参数方程、普通方程互化的方法： (1)参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程， 消参可用代入消参或利用恒等式消参等． (2)参数方程化为普通方程时，不仅要消去参数，还应注 意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致．
M 点的坐标为xy＝ ＝452＋ ×3115× 56＝113465＝1461
，即 M4116，34.
(3)|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2＝85 73.
1．涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的参数方
程．(1)直线的点斜式方程为 y－y0＝k(x－x0)，其中 k＝tan α(α≠90°) ． (2)α 为 直 线 的 倾 斜 角 ， 则 参 数 方 程 为
x＝2cos φ， y＝3sin φ
(φ 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是 ρ＝2，正方形
ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，
点 A 的极坐标为(2，π3)．
(1)求点 A，B，C，D 的直角坐标； (2)设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2 的取值范围．
(α 为参数)，
这是点 P 轨迹的参数方程，消参得点 P 的直角坐标方程
为 x2＋(y－1)2＝1.
(2)直线 l 的普通方程为 x－y－1＝0，曲线 C 的普通方程 为 x2＋(y－2)2＝4，
选修4-4 第2讲 参数方程
例1
(1)求直线xy＝ ＝2－＋1t－，t
(t
为参数)与曲线xy＝ ＝33csions
α， α
(α 为
参数)的交点个数．
[解] 将xy＝ ＝－ 2＋1－t，t 消去参数 t 得直线 x＋y－1＝0；
将xy＝ ＝33csions
α， α
消去参数 α，得圆 x2＋y2＝9.
又圆心(0,0)到直线 x＋y－1＝0 的距离 d＝ 22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有 2 个交点．
[解] (1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1：y＝k(x－2)；消去参数 m 得 l2 的普通方程 l2：y＝1k(x＋2)．
y＝kx－2 设 P(x，y)，由题设得y＝1kx＋2 ，
消去 k 得 x2－y2＝4(y≠0)． 所以 C 的普通方程为 x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C 的极坐标方程为 ρ2(cos2θ－sin2θ) ＝4(0<θ<2π，θ≠π)． 联立ρρ2ccoossθ2θ＋－sisninθ2θ－＝42，＝0 得 cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故 tan θ＝－13，从而 cos2θ＝190，sin2θ＝110. 代入 ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4 得 ρ2＝5，所以交点 M 的极径为 5.
(t 为参数)
圆
x2＋y2＝r2
x＝rcos θ， y＝rsin θ
(θ 为参数)
椭圆
ax22＋by22＝1(a>b>0)
x＝acos φ， y＝bsin φ
(φ 为参数)
抛物线 y2＝2px(p>0)
x＝2pt2， y＝2pt
(t 为参数)
[知识感悟] 1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保 持一致．否则不等价． 2．直线的参数方程中，参数 t 的系数的平方和为 1 时，t 才有几 何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点 M(x，y)到 M0(x0，y0)的距 离，即|M0M|＝|t|.
人教A版高中数学选修4-4课件：第二讲 参数方程 (共5份)
2019-2020学年数学人教A版选修4-4课件：第2讲 第4课时椭圆的参数方程
消去 θ，得x＋122＋43y2＝1，这就是线段 F1P 的中点的轨迹
方程．
1．在利用yx＝＝bascions
θ， θ
(θ 为参数)研究椭圆问题时，椭圆
上的点的坐标可记作(acos θ，bsin θ)．
2．椭圆的参数方程化为普通方程的主要方法：利用 sin2θ
＋cos2θ＝1．
方程为xy＝＝43csions
φ， φ
(φ 为参数)．
4．如下图，在椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 中内接矩形，问内接矩形的 最大面积是多少？
【解析】椭圆的参数方程为yx＝＝45scions
θ， θ
(0≤θ＜2π)，
设第一象限内椭圆上的点 M(x，y)，由椭圆的对称性，知内
接矩形的面积为 S＝4xy＝4·5cos θ·4sin θ＝40sin 2θ．
率．
【解题探究】 将参数的值直接代到参数方程中，即可求 出对应点M的坐标，再利用斜率公式求出直线的斜率．
【解析】点 M 的坐标为xy＝ ＝24csionsπ3π3＝＝21，3，
直线 OM 的斜
率为 k＝yx＝213＝2 3．
参数方程xy＝ ＝24csions
t， t
(t 为参数)化为普通
因此
S＝x＋y＝
3 cos
φ ＋ sin
φ
＝
2
3 2 cos
φ＋12sin
φ ＝
2sinπ3＋φ． 所以当 sinπ3＋φ＝1，即 φ＝π6时，S 取最大值 2．
在所求函数为一次，而已知为二次时，常 常用曲线的参数方程求出，其实质为换元或为三角代换，目的 就是降次．
当 sin 2θ＝1，即 θ＝π4时，面积的最大值 Smax＝40，
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：第二讲《参数方程》小结
本讲小结
知识结构
知识要点
方法技巧
本讲主要介绍了参数方程的概念，以及常用曲线的参数方程和 它们的应用． 1．曲线参数方程的定义 一般地，在给定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y 都是某个变量t的函数
x＝ft， y＝gt.
(1)
并且对于t的每一个允许值，由方程(1)所确定的点M(x，y) 都在这条曲线上，那么方程(1)就叫作这条曲线的参数方程， 联系x，y之间关系的变数叫作参变数，简称参数．参数方程的 参数可以有物理意义，几何意义，也可以没有明显的意义．
(t为参数)．
代入圆的方程x2＋y2＝7，得 3 2 1 2 (－4＋ t) ＋( t) ＝7，化简得 2 2 t2－4 3t＋9＝0.
(1)设点A，B所对应的参数分别为t1和t2，由韦达定理，得t1＋ t2＝4 3，t1· t2＝9. ∴|AB|＝|t1－t2| ＝ t1＋t22－4t1t2 ＝ 4 32－4×9＝2 3. (2)设过P0作圆的切线为P0T. 由切割线定理及参数t的几何意义得 |P0T|2＝|P0A|· |P0B|＝|t1t2|＝9. ∴切线长|P0T|＝3.
在互化后某个变量的范围扩大了(或缩小了)，则必须注明，将 扩大(或缩小)的部分去掉(或补上)．由于选取参数不同，同一 曲线的参数方程也不一样．因此，一般曲线的参数方程不唯 一．另外，不是所有的参数方程都能用初等方法化为普通方程 的． 化参数方程为普通方程，常用的方法有：代入法、三角恒 等式消参数法、代数恒等式消参数法等．
(φ 为参数)．
【答案】
x＝2cosφ＋φsinφ， y＝2sinφ－φcosφ
(φ为参数)
x＝2φ－sinφ， y＝21－cosφ
高中数学人教A版选修4-4课件 第二讲参数方程
2
专题一
|PA|=
式 asin θ+bcos θ= ������2 + ������ 2 sin(θ+φ)求解 .
������ .转化为求关于 sin30°
θ 的三角函数的最值问题,利���� = 2cos������, (θ 为参数 ). ������ = 3sin������ 直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)设曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ), 解： (1)曲线 C 的参数方程为 则点 P 到 l 的距离为 d= |4cos θ+3sin θ-6|,
专题一
专题二
例1求下列条件下普通方程4x2+y2=16对应的参数方程: (1)设y=4sin θ,θ为参数; (2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数. 分析：对于(1),可以直接把y=4sin θ代入已知方程,解方程求出x 即可;对于(2),可寻找斜率k与此方程任意一点的坐标之间的关系来 求解. 解：(1)把y=4sin θ代入方程,得4x2+16sin2θ=16, 于是4x2=16-16sin2θ=16cos2θ. 所以x=±2cos θ. 由于参数θ的任意性, 可取x=2cos θ, ������ = 2cos������, 2 2 因此4x +y =16的参数方程是 ������ = 4sin������ (θ 为参数).
人教A版高中数学选修4-4课件：第二讲 参数方程 (共5份打包)
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：第二讲一第2课时圆的参数方程
(2)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 的参数方程为 ___xy_＝＝__yx_00＋＋__rr_sc_ion_s_θθ_，__(_θ_为__参__数__)_．__
温馨提示 圆的参数方程不唯一，选取的参数不同，
相应的参数方程也不同．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程； (2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值．
解：(1)消去参数 t，得到圆的标准方程为(x－1)2＋(y
＋2)2＝9. 由 2ρsin(θ－π4)＝m，得 ρsin θ－ρcos θ－m＝0.
所以直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋m＝0. (2)依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，
(1)圆
x2＋y2＝25
的参数方程是xy＝＝55csions
θ， θ (θ
为参
数)．( )
(2)圆(x＋6)2＋y2＝4
的参数方程是xy＝＝26s＋in2θcos
θ， (θ
为参数)．( )
(3)参数方程xy＝＝44scions
θθ，(θ∈[0，2π)与xy＝＝44scions
x＝5cos θ，
中 θ 的几何意义是不同的，但参数方程是正
y＝5sin θ
确的．Βιβλιοθήκη (2)由圆方程知圆心为(－6，0)，半径为 2，故参数方
x＝－6＋2cos θ，
程为
故不正确．
y＝2sin θ，
x＝4cos θ，
(3)
θ∈[0，2π)表示以原点为圆心，半径为
y＝4sin θ
x＝－1＋cos θ，
所以参数方程为
第二讲 坐标系与参数方程(选修4-4)
2．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：
2 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2 0－r ＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r； (2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；
【标准解答】
(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换
x＝x1 下变为C上点(x，y)，依题意，得 y＝2y1
2 y y 2 2 2 2 由x 1 ＋y 2 1 ＝1得x ＋( ) ＝1，即曲线C的方程为x ＋ ＝ 2 4
1.
x＝cost 故C的参数方程为 y＝2sint
π π 3 3 故D的直角坐标为(1＋cos3，sin3)，即(2， 2 )．
类题通法
对于同时含有极坐标方程和参数方程的题可考虑同时 化为普通方程再求解.
x＝－2t－1， 5．已知直线l： y＝t－1
(t为参数)与曲线C：ρ＝ )
π 4 2sin(θ＋ )，则直线l和曲线C的位置关系为( 4 A．相交 C．相离 B．相切 D．相交或相切
ห้องสมุดไป่ตู้例3】
(2014· 新课标卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以
坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C π 的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0， ]． 2 (1)求C的参数方程； (2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝ 3 x＋2
垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：将曲线C1的参数方程化为普通方程，曲线C2的极 坐标方程化为参数方程后求解． (1)由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为y＝ x2(x≠0)，由曲线C2的极坐标方程可得曲线C2的直角坐标方 程为x＋y－1＝0，则曲线C2的参数方程为 x＝－1－ 2t， 2 2 y＝2＋ 2 t 得t2＋ 2t－2＝0，
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•四、渐开线与摆线
, F二二—
卜1.掌握基圆与滚动圆的概念.
亠—理鯉渐_旺线和摆线的概念,
I ----------------------------------------- :
L i.掌握渐开线和摆线的参数方程及应用.| [•_2—常一与方程二三角函数和圆锥曲线结合命题」
预习学案
启动思维•国际自盟场地自行车世界杯赛
,于2010年1月22日在匕京开赛
,有来自50多个国家（地区）自行车
协会和商业队的400余人参加
.如果在自行车的轮子上喷上白色印记,让它在笔直的道路上行驶.
•这个白色印记会留下怎样的轨迹曲线？
走进教材
1.渐开线及其参数方程
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头离开圆周，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫做圆的渐开线, 相应的定圆叫做渐开线的基圆.
(2)设基圆的半径为门圆的渐开线的参数方程为
[x=r（cos（p-\-（psin（p）
(卩是参数)
y =厂（sin% —（pcos（p）
2・摆线及其参数方程
仃）当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上的定点运动的轨迹叫做半摆线,简称摆线，又叫做旋轮线.
⑵设圆的半径为r,圆滚动的角为©那么摆线的参数方
（°为参数）
程是
）=厂（1—cos。
）
自主练习
•1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是（
）
•A.只有圆才有渐开线
•B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形
•C.正方形也可以有渐开线
•D.对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画岀的渐开线形状就不同
•解析:A・不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆,正方形也有渐开线
• B两者定义上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同的,因此得到的图形也不相同
• C .同A项解析
• D・对于同—个不论在什么地方建立平面
直角坐标系,画出的图形大小和形状都是一样的,只有方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同•答案：C
3cos0，
2-圆仁圖 那么其横坐
标可能是（
A ・7T C ・6兀 解析： 根据条件可知圆的摆线的参数方程为
所以(p = ^kjt(k Z).而 %— 3(p —3sin^9 — Z). （0为参数）的摆线上一点的纵坐标为0,
B. 3兀
D ・12
pr=30 — 3sin0
卜=3 — 3cos0 （°为参数），把y=0代入，得
cos^=l,
答案：C
参数），则此渐开线对应的基圆的直径是 ____________ ;当参数0= 寸时，对应的曲线上的点的坐标为 ____________
解析： 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从
方程不难看岀，基圆的半径为1,故直径为2.欲求当卩=扌时对 应的坐标只需把卩=扌代入曲线的参数方程，得％=¥+亨，y =¥—窖，由此可得对应的坐标为库+容，平―窖.
3.已知圆的渐开线的参数方程是
x=cosO+OsinO, y = sin0—OcosO
(0为
4•已知一个圆的摆线过一定点请与出该摆线的参数
方程.
解析：根据圆的摆线的参数方程的表达式
x— Y sm(p[为参数河知，只需求出其中的厂，也
)=/(]—COS 爭)
就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定，因此只需把点(1,0)代入参数方程求出厂值再代入参数方程的表达式.
令厂(1—COS0)= O 可得cos°=l,
所以（p = 2kit伙WZ）代入可得 % = r（2kii—sin2Z：7i） = 1.
所以rE
又根据实际情况可知厂是圆的半径，故厂>0. 所以，应有P>0且胆乙即胆N+.
1 兀=页
（卩—
sm°）,
所以，所求摆线的参数方程是q 1 9为
尸刼1—W）
参数）（其中胆N+）・
课堂讲义
的距离.
［思路点渐开线的参数方科紧
公瓷
-A, B 两点的距离 例已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应 的曲线上两点A, B
对应的参数分别是号和娶，求4, B 两点间
典例导航
的渐开线参数方程
［解题过程］由题意，知r=l,则圆的渐开线参数方程为f x=cos° + 0sin0
(°为参数)
y=s\n(p—(pcos(p
c
7t 7171 7t
x=cos^+2 s i n 2 ~ 2?
［规律方法］求渐开线的参数方程方法，对于圆的渐开线, 我们以基圆圆心O 为原点，一条直径所在直线为X 轴建立直角 坐标系，根据动点
满足的条件和向量的有关性质可以得到，圆 兀 71 兀 y=sin ㊁—㊁ cos ㊁( \
• 兀
•叫乞1
3K 3兀
当(p=w 时， 2 ' 2 .3兀 3兀 ^=smy-y ：.B -y, -1 .：.\AB\=yj 3兀 3兀,3兀 37i x=cos 二-十：-・ sin"^~ •COS^-= — 1,
2 + (1+ 1)2 = 2&2+1.
兀 3兀
的渐开线的参数方程为"厂cos°+0sin0为参数）.
$=rsin^? 一（pcos（p
［变式训练］1•给出某渐开线的参数方程
开线的基圆半径是 ___________ ,且当参数（P 取号时对应的曲线上的 点的坐标是 __________ ・
=3cosy + 3°sin°,
y=3 sin(p —
（卩为参数），根据参数方程可以看出该渐
3
解析：本题考查对渐开线参数方程的理解.根据一般情
371
把厂号分别代入无和y,可得胃亍
即得对应的点的坐标.
UV=3,
答案:
况下基圆半径为r 的渐开线的参数方程 \x=厂（cos 爭 +
（psin （p ）, 卜=
（卩 为参数）进行对照可知，这里的r=3,即基
半径是3•然后
•例勿M 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请 写岀该圆的半径最大时该摆线的参数方程. •［思路点拨］
的摆线方程
［解题过程］令y=0,可得a(l—cos°) = 0, 由于a>0,所以cos°=l,
所以(p—2k7t(k Z). 代入兀=a(0—sin°),得x=a(2kn—sin2kTt)(k G Z). 又因为x=2,所以a(2hr—sin2br)=2,解得a=£伙WZ). 又由实际可知a>0,所以a=右伙WN+), 易知当£=1时，。
取最大值丄代
入，
兀
1
兀=詡9_sin。
)，
得圆的摆线的参数方程4 1 (卩为参数)
y=Jl_cos°)
为参数），可知只需求出其中的半径八圆摆线的参数方程即可写 出・也
就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的.
［规律方法］根据圆的摆线的参数方程
x=r(p — sin(p, y =
rl ——cos 爭
(
［变式训练］2•求摆线世:霍爲
(0WfW27i)与直线 y
=2的交点的直角坐标.
解析： V=2 时，2=2（1—cost ）, .\cost=0.
T0W/W271, 或寸兀.
/•交点坐标为（7C —2,2）, （3兀+2,2）.
A %! = 2 =71 — 2,
%2 = 2
.3
sin_7
=3 兀+2. ‘3
题型三平摆线和渐开线参数方程的应用
•例紐M设圆的半径为8,沿x轴正向滚动，开始时圆与无轴相切于原点0,记圆上动点为M ,它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴.
•［思路点拨］⑴列出轨迹方程；
•(2)根据图象找出最大值点；
•(3)得曲线的对称轴
轨迹曲线的参数方程为忙篇二爲［解题过程］
（0勺£2兀）
l|J t—Ti时，即x=8兀时，y有最大值16.
第一拱（0£/£2兀）的对称轴为兀=8兀.
［规律方法］摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方.
•［变式训练］3.—个圆的半径为d,沿着一条直线作无滑动的滚动时，在圆平面上有一定点M, M点到圆心的距离b(b<a),求M的轨
建立如图坐标系，开始时定点位于Mo,滚动f角
又心|兀—F.
得
BM=(bcosa，
3 K ==(PCOS(^~bsma)
3兀
方sin(T—/)) = (—bsint, —
由此得OM=OB-\rBM=(at—bsint, a—bcost),
又OM=g y),得M点的参数方程为x=a—b—bsint v-.-Z.cosr (f
为参数)・
疑难解读
• 1.在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力・由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动平稳制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形.设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程.
•除了我们已经了解的平摆线、内外摆线，还有各种各样的摆线，它们已经被应用在图案设计、摆线齿轮、少齿差行星减速器、摆线转子油泵、旋转活塞发动机的缸体曲线以及名动形切削等方面.如果你有兴攧・可以杳
•根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母。
是指基圆的半径，而参数° 是指绳子外端运动时绳子上的定点P相对于
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