(人教)高中数学选修4-4课件：第2讲参数方程4

•四、渐开线与摆线

, F二二—

卜1.掌握基圆与滚动圆的概念.

亠—理鯉渐_旺线和摆线的概念,

I ----------------------------------------- :

L i.掌握渐开线和摆线的参数方程及应用.| [•_2—常一与方程二三角函数和圆锥曲线结合命题」

预习学案

启动思维•国际自盟场地自行车世界杯赛

,于2010年1月22日在匕京开赛

,有来自50多个国家（地区）自行车

协会和商业队的400余人参加

.如果在自行车的轮子上喷上白色印记,让它在笔直的道路上行驶.

•这个白色印记会留下怎样的轨迹曲线？

走进教材

1.渐开线及其参数方程

(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头离开圆周，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫做圆的渐开线, 相应的定圆叫做渐开线的基圆.

(2)设基圆的半径为门圆的渐开线的参数方程为

[x=r（cos（p-\-（psin（p）

(卩是参数)

y =厂（sin% —（pcos（p）

2・摆线及其参数方程

仃）当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上的定点运动的轨迹叫做半摆线,简称摆线，又叫做旋轮线.

⑵设圆的半径为r,圆滚动的角为©那么摆线的参数方

（°为参数）

程是

）=厂（1—cos。）

自主练习

•1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是（

）

•A.只有圆才有渐开线

•B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形

•C.正方形也可以有渐开线

•D.对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画岀的渐开线形状就不同

•解析:A・不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆,正方形也有渐开线

• B两者定义上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同的,因此得到的图形也不相同

• C .同A项解析

• D・对于同—个不论在什么地方建立平面

直角坐标系,画出的图形大小和形状都是一样的,只有方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同•答案：C

3cos0，

2-圆仁圖 那么其横坐

标可能是（

A ・7T C ・6兀 解析： 根据条件可知圆的摆线的参数方程为

所以(p = ^kjt(k Z).而 %— 3(p —3sin^9 — Z). （0为参数）的摆线上一点的纵坐标为0,

B. 3兀

D ・12

pr=30 — 3sin0

卜=3 — 3cos0 （°为参数），把y=0代入，得

cos^=l,

答案：C

参数），则此渐开线对应的基圆的直径是 ____________ ;当参数0= 寸时，对应的曲线上的点的坐标为 ____________

解析： 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从

方程不难看岀，基圆的半径为1,故直径为2.欲求当卩=扌时对 应的坐标只需把卩=扌代入曲线的参数方程，得％=¥+亨，y =¥—窖，由此可得对应的坐标为库+容，平―窖.

3.已知圆的渐开线的参数方程是

x=cosO+OsinO, y = sin0—OcosO

(0为

4•已知一个圆的摆线过一定点请与出该摆线的参数

方程.

解析：根据圆的摆线的参数方程的表达式

x— Y sm(p[为参数河知，只需求出其中的厂，也

)=/(]—COS 爭)

就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定，因此只需把点(1,0)代入参数方程求出厂值再代入参数方程的表达式.

令厂(1—COS0)= O 可得cos°=l,

所以（p = 2kit伙WZ）代入可得 % = r（2kii—sin2Z：7i） = 1.

所以rE

又根据实际情况可知厂是圆的半径，故厂>0. 所以，应有P>0且胆乙即胆N+.

1 兀=页

（卩—

sm°）,

所以，所求摆线的参数方程是q 1 9为

尸刼1—W）

参数）（其中胆N+）・

课堂讲义

的距离.

［思路点渐开线的参数方科紧

公瓷

-A, B 两点的距离 例已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应 的曲线上两点A, B

对应的参数分别是号和娶，求4, B 两点间

典例导航

的渐开线参数方程

［解题过程］由题意，知r=l,则圆的渐开线参数方程为f x=cos° + 0sin0

(°为参数)

y=s\n(p—(pcos(p

c

7t 7171 7t

x=cos^+2 s i n 2 ~ 2?

［规律方法］求渐开线的参数方程方法，对于圆的渐开线, 我们以基圆圆心O 为原点，一条直径所在直线为X 轴建立直角 坐标系，根据动点

满足的条件和向量的有关性质可以得到，圆 兀 71 兀 y=sin ㊁—㊁ cos ㊁( \

• 兀

•叫乞1

3K 3兀

当(p=w 时， 2 ' 2 .3兀 3兀 ^=smy-y ：.B -y, -1 .：.\AB\=yj 3兀 3兀,3兀 37i x=cos 二-十：-・ sin"^~ •COS^-= — 1,

2 + (1+ 1)2 = 2&2+1.

兀 3兀

的渐开线的参数方程为"厂cos°+0sin0为参数）.

$=rsin^? 一（pcos（p