高数试题下(1)
高数2试题及答案(1)
模拟试卷一一、单项选择题（每题3分，共24分）1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线111231:-+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上（C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1123lim0xy xy y x （ ）（A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（ ）条件.（A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设⎰⎰≤+=ay x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ）（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知()()2y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）16、曲线积分=++⎰L z y x ds222（ ），其中.110:222⎩⎨⎧==++z z y x L（A ）5π （B ）52π （C ）53π （D ）54π7、数项级数∑∞=1n na发散，则级数∑∞=1n nka（k 为常数）（ ）（A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ）（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2（C ）221C x C y += （D ）C x y +=221 二、填空题（每空4分，共20分）1、设xyez sin =，则=dz 。
2、交换积分次序：⎰⎰-222xy dy e dx = 。
3、设L 是任意一条光滑的闭曲线，则⎰+Ldy x xydx 22= 。
4、设幂级数nn nx a∑∞=0的收敛半径为3，则幂级数()111+∞=-∑n n n x na 的收敛区域为 。
高数下册试题及答案
高数下册试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 + 3D. 3x^2 - 3x答案：A2. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 若函数f(x) = e^x，则f'(x)等于：A. e^xB. e^(-x)C. x * e^xD. 1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知曲线y = x^2 + 2x + 1，求该曲线在x = 1处的切线斜率。
答案：42. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x) = ________。
答案：1/x3. 求定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
答案：1/34. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15，求f'(x)。
答案：3x^2 - 12x + 9三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值。
答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 11/3。
计算f''(x) = 6x - 12，可以判断x = 1处为极大值点，x = 11/3处为极小值点。
极大值为f(1) = 0，极小值为f(11/3) = -2/27。
2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2 - 2x + 1) dx。
答案：首先求原函数F(x) = x^3 - x^2 + x。
南昌航空大学高数(下)期中考试试题及答案1
.____________x )1,1,1(1y )xy arcsin()1y (x z .1轴的倾角是处的切线对上点曲线⎩⎨⎧=-+= 4:π解 .41a r c t a n ,1)]xy arcsin(0x [dx d )1,x (f x π==θ=⋅+=故 ,e z .2xy=设.__________dz)2,1(=则)dy dx 2(e :2+-解.e x1e y z,e 2)xy (e xz 2)2,1(xy )2,1(2)2,1(2xy)2,1(=⋅=∂∂-=-=∂∂._________,4z 31y x t z ,t y ,t x .332则切点的坐标是的切线平行于平面已知曲线=++===)1,1,1(:--解.1z ,1y ,1x 1t 0t t 21n T },31,1,1{n },t 3,t 2,1{T 22-==-=⇒-=⇒=++=⋅==.____________2z )y x (214z .422于所围成的立体的体积等与面曲面=+-=π4:解ππθπ402)8(2)212()21212(]2)(214[42202022222=-=-=--=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰r r rdr r d dxdyy x dxdy y x V xyxy D D则平面所围成的闭区域与是上半球面设,xoy )0z (1z y x .5222≥=++Ω.______zdxdydz =⎰⎰⎰Ω4:π解.44r 2s i n 2dr sin r cos r d d zdxdydz 1042022010220π=⋅ϕπ=ϕ⋅ϕϕθ=πππΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰则曲线积分的交线与平面是球面设,0z y x R z y x .62222=++=++Γ._________z y x ds222=++⎰Γ π2:解 .2R 2R 1R ds π=π⋅==∴⎰Γ原式._________)x (f ,xoy dy )x (f dx ye .7x =-+则分平面上是某函数的全微在设 )y (e :x ϕ+-解 .)y (e )x (f e )x (f )x (f x Q ,e y P x x x ϕ+-=⇒='⇒'-=∂∂=∂∂).B ()0,0()0,0()y ,x (,0)0,0()y ,x (,y x xy2z .822处在点函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=A ．A ．连续可导B ．不连续，可导C ．连续不可导D ．不连续不可导极限不存在解∴+=+→=→,k 1k2y x xy 2lim :2220kx y 0x .0)y ,0(z ,0)0,x (z y x ==).C ()1,1,2(B )1,1,2(A z xy 2u .92方向的方向导数为指向点在点处沿点函数---=35.A 37.B 310.C 2.D}2,2,1{B A ,2z 2z u,4x 2y u ,2y 2x u :A A A A A A -=-=-=∂∂==∂∂-==∂∂ 解,32c o s ,32c o s ,31c o s -===γβα.310)32()2(324312l u =-⋅-+⋅+⋅-=∂∂故).B (rdr )sin r ,cos r (f d .1012可以写成极坐标下的二次积分⎰⎰θθθπ⎰⎰-2yy 01dx)y ,x (f dy .A⎰⎰-2y101dx)y ,x (f dy .B ⎰⎰--2x1011dy)y ,x (f dx .C⎰⎰-2xx 01dy)y ,x (f dx .D.y 1x 01y 01r 020:2⎩⎨⎧-≤≤≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤π≤θ≤解 11．设以O(0,0),A(1,1),B(1,-1)为顶点的三角形薄板上任意一点处的密度等于这点到原点的距离的平方，则薄片的质量M=（ B ）。
高数试题1
西安邮电学院课程考试试题1课程名称：高等数学 考试专业、年级：工科08级一、填空（每小题2分，共20分）1.若 ()⎪⎩⎪⎨⎧≤->=0cos 70tan 3sin x x e x xx x f x α 在0=x 处连续,则=α . 2.1()11f x x =+的可去间断点是=x .3. 函数 ()x f y ln =，其中f 可微，则=dy .4．曲线2x e y -=在区间 是凸的.5.()331-=x y 的铅直渐近线的方程是 .6. ()()=⎰⎰x f d d .7.⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++2222sin 1cos ππdx x x x x . 8.若反常积分⎰10dx x M q 收敛,M 为常数，则q . 9.抛物线24x x y -=在其顶点处的曲率半径=R .10.给定两点()()0,3,2,1,0,2N M -，在x 轴上有点A ，满足AN AM =，则点A 的坐标是 .二.求解下列各题（每小题5分，共30分）1.求极限x x x x x sin tan lim 20-→.2.已知，9lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→xx a x a x 求a 的值. 3.设()x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11，计算⎪⎭⎫ ⎝⎛'21f . 4.设⎪⎩⎪⎨⎧-=++=t t y t t x arctan )1ln(2 ，求dx dy . 5.计算定积分⎰+21ln 1e x x dx . ， 6.已知()x f 的一个原函数为xx cos ,求()⎰'dx x f x . 三.求解下列各题（每小题8分，共32分）1．设函数 ()x y y =由 1=-y xe y 所确定，求()()0,0y y ''' .2.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧<≤≤-=-010122x xe x x x x f x ，求()⎰--221dx x f . 3．已知()()(),3,1,3,1,3,3,2,1,1321M M M -求与3231,M M M M 都垂直的单位向量; 问λ和μ满足什么关系时,能使3231M M M M μλ+与z 轴垂直?4.设()x f 在1≥x 是一个正值连续函数,试求()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x dt t f t t x xx F 1ln 2ln 2在[)+∞,1的极值点. 四.（本题满分12分） 曲线22x y =在点2=x 处的切线与曲线及x 轴平面图形D . （1）求曲线在点2=x 处的切线方程；（2）求平面图形D 面积D S ;（3）求D 绕x 轴旋转所成旋转体体积V .五.（本题满分6分）设()x f 在[]b a ,上连续()0>a ，在()b a ,内可导，且()0≠'x f ，证明存在ξ与()b a ,∈η,使得()()ηηξf b a f '+='2.。
大学高等数学上下考试题库(及答案)
高数试题1（上）及答案一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xeC -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dx x x ++⎰②()0a > ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题1．2-2．33-３．２４．arctan ln x c+５．２三．计算题１①2e②162.11xyx y'=+-3. ①11ln||23xCx+++②22ln||x a x C-++③()1xe x C--++四．应用题１．略２．18S=《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭(B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2xy x e-=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ).(A) ()121xx e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰②)0a > ③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π 三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc + ②()22ln x a x c +++ ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1. 函数219y x=-的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x t d e dt dx -=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin xx e x →-; 2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120xedx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解.八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x+-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且 切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)xr r r iy e C x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d = 6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）.A 、2sinxB 、 2sin x -C 、 C x +2sinD 、2sin 2x -7、⎰=+dx xx ln 2（ ）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C x x++-2ln 18、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx（ ）. A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 xe y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）.A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分； 4、求不定积分⎰++11x dx ；5、求定积分⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21xy xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ；4、C x x +++-+)11ln(212；5、)12(2e- ； 6、C x y =-+2212 ； 四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （ ）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a xx ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C xxdx 211tan 7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、设 a ﹥0，则=-⎰dx x a a22（ ）.A 、2a B 、22a πC 、241a 0 D 、241a π 10、方程（ ）是一阶线性微分方程.A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；4、=⎰-113cos xdx x；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxeC e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x x x ； 3、dx xx 221)1(1-- ； 4、C x ++ln 22 ； 5、)12(2e- ； 6、x e x y 122-= ；四、1、 29； 2、图略《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz＝（ ）.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（ ）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y = 二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z 2_____________________________.4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程xe y y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫⎝⎛31,1，求此曲线方程 .《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y x y xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）. A.0 B.1 C.1- D.216.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （ ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.cxe y = B.xce y = C.xe y = D.xcxe y = 二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________. 3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________. 4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解. 四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dt x d -=22.当0=t 时，有0x x =，0v dtdx=）《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ ）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ ） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,22 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 2217、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
陕师大可用高数下册试题库
高等数学下册试题库一、填空题1. 平面01=+++kz y x 与直线112z y x =-=平行的直线方程是___________ 2. 过点)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________3. 设k i b k j i aλ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________4. 设1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧),(b a ____________5. 设平面0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0526=+-z x 平行，则__________________,_______,===D B A6. 设直线)1(221-=+=-z y m x λ与平面025363=+++-z y x 垂直，则___________________,==λm7. 直线⎩⎨⎧==01y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是__________ 9. 曲面222y x z+=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________10. 幂级数12nn n n x ∞=∑的收敛半径是____________ 11. 过直线1 3222x z y --=+=-且平行于直线 1 1 3023x y z +-+==的平面方程是_________________ 12. 设),2ln(),(xyx y x f +=则__________)0,1('=y f13. 设),arctan(xy z=则____________,__________=∂∂=∂∂yz x z 14. 设,),(22y x y x xy f +=+则=),('y x f x ____________________15. 设,yxz =则=dz _____________ 16. 设,),(32y x y x f =则=-)2,1(|dz ______________17. 曲线t t z t y t x cos sin ,sin ,cos +===，在对应的0=t 处的切线与平面0=-+z By x 平行，则=B __________18. 曲面22y x z +=在点)2,1,1(处的法线与平面01=+++z By Ax 垂直，则==B A ________,______________19. 设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，则b a ⋅=________， b a ⨯=____________ 20. 求通过点)4,1,2(0-M 和z 轴的平面方程为________________21. 求过点)0,1,0(0M 且垂直于平面023=+-y x 的直线方程为_______________22. 向量d 垂直于向量]1,3,2[-=a 和]3,2,1[-=b ，且与]1,1,2[-=c的数量积为6-，则向量d=___________________23. 向量b a 57-分别与b a 27-垂直于向量b a 3+与b a 4-，则向量a 与b的夹角为_______________24. 球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上投影的方程为______________25. 点)1,`1,2(0-M 到直线l ：⎩⎨⎧=+-+=-+-032012z y x z y x 的距离d 是_________________26. 一直线l 过点)0,2,1(0M 且平行于平面π：042=-+-z y x ，又与直线l ：122112-=-=-x y x 相交，则直线l 的方程是__________________ 27. 设____________b 3a 2则,3πb a 2,b 5,a =-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==∧28. 设知量b ,a 满足{}1,11,b a 3,b a -=⨯=⋅，则____________b ,a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧29. 已知两直线方程13z 02y 11x :L 1--=-=-，1z11y 22x L :2=-=+，则过1L 且平行2L 的平面方程是__________________ 30. 若2=b a ，π()2=a,b ，则=⨯b a 2 ，=⋅b a ____________ 31. =∂∂=xz,x z y则______________. y z ∂∂=_________________32. 设 ()()()____________2,1z ,x y x,sin x 11y z x 32='++-=则33. 设 ()1ylnx x lny y x ,u -+= 则 ______________________du = 34. 由方程2z y x xyz 222=+++确定()y x ,z z =在点()1,0,1-全微分=dz ______35. ()222yx f y z -+= ，其中()u f 可微，则 ___________yzx z y =∂∂+∂∂36. 曲线⎩⎨⎧=+=1,222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为 _________________37. 过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为__________________ 38. 过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 _________________ 39. 与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为______________ 40. )yx(x z 2ϕ=,(u)ϕ可微，则 ____________yz y x z 2=∂∂+∂∂ 41. 已知22lny x z +=，则在点)1,2(处的全微分_________________=dz42. 曲面32=+-xy e z z在点)0,2,1(处的切平面方程为___________________43. 设()y x z z .= 由方程02=+--z xy e z e ，求xz∂∂=________________ 44. 设()()xy x g y x f z,2+-=，其中()t f 二阶可导，()v u g ,具有二阶连续偏导数 有yx z2∂∂∂=___________________45. 已知方程yzln z x =定义了()y x z z .=，求22xz∂∂=_____________ 46. 设()z y x f u..=，()0..2=Φz e x y ，x y sin =，其中f，Φ都具有一阶连续偏导数，且0z≠∂∂ϕ，求dx dz=______________________47. 交换积分次序=⎰⎰-221),(y ydx y x f dy _______________________________48. 交换积分次序dx y x f dy dx y x f dy y y⎰⎰⎰⎰-+21201),(),(=___________________49. _________==⎰⎰dxdy xe I Dxy其中}10,10),({≤≤≤≤=y x y x D50. =I________)23(=+⎰⎰dxdy y x D，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围51. =I ________1122=++⎰⎰dxdy yx D，其中D 是由422≤+y x 所确定的圆域 52. =I ___________222=--⎰⎰dxdy y x a D，其中D ：222a y x ≤+53. =I ________)6(=+⎰⎰dxdy y x D ，其中D 是由1,5,===x x y x y 所围成的区域54. ⎰⎰-2202x y dy e dx ＝ _____________________55.___________)(221221=+⎰⎰-xxdy y x dx56. 设L 为922=+y x ，则→→→-+-=j x x i y xy F )4()22(2按L 的逆时针方向运动一周所作的功为.___________57. 曲线()⎩⎨⎧+==1,2,7y 3x z 2xy 22在点处切线方程为______________________ 58. 曲面22y 2x z +=在（2，1，3）处的法线方程为_____________________ 59.∑∞=11n p n ，当p 满足条件 时收敛 60. 级数()∑∞=---1221n nn n 的敛散性是__________61.nn nx a∑∞=1在x=-3时收敛，则n n n x a ∑∞=1在3<x 时62. 若()∑∞=1ln n n a 收敛，则a 的取值范围是_________63. 级数)21)1(1(1nn n n -+∑∞=的和为64. 求出级数的和()()∑∞=+-112121n n n =___________ 65. 级数∑∞=02)3(ln n nn的和为 _____ 66. 已知级数∑∞=1n n u 的前n 项和1+=n ns n ，则该级数为____________ 67. 幂级数nn n x n∑∞=12的收敛区间为68. ∑∞=--11212n n n x 的收敛区间为 ，和函数)(x s 为69. 幂级数∑∞=≤<0)10(n p np nx 的收敛区间为70. 级数∑∞=+011n na当a 满足条件 时收敛 71. 级数()2124nnn x n ∞=-∑的收敛域为 ______72. 设幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为 _____73. 231)(2++=x x x f 展开成x+4的幂级数为 ，收敛域为 74. 设函数)21ln()(2x x x f --=关于x 的幂级数展开式为 __________，该幂级数的收敛区间为 ________ 75. 已知 1ln ln ln=++x z z y y x ，则=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zyy x x z ______ 76. 设xyy x z )1(22++= y,那么=∂∂xz_____________，=∂∂y z _____________ 77. 设D 是由2=xy 及3=+y x 所围成的闭区域，则=⎰⎰Ddxdy _______________78. 设D是由1||=+y x 及1||=-y x 所围成的闭区域，则=⎰⎰Ddxdy _______________79.=+⎰Cds y x )(22________________,其中C为圆周)20(sin ,cos π≤≤==t t a y t a x80.=-⎰Ldx y x )(22________________,其中L 是抛物线2x y =上从点()0,0到点()4,2的一段弧。
大一高数下考试题及答案
大一高数下考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)的极限为L，是指对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
这个定义描述的是（）。
A. 函数在某点的连续性B. 函数在某点的可导性C. 函数在某点的极限D. 函数在某点的间断性答案：C2. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：C3. 以下哪个积分是收敛的？（）A. ∫(1/x)dx 从1到∞B. ∫(1/x^2)dx 从1到∞C. ∫(1/x^3)dx 从1到∞D. ∫(1/x)dx 从0到1答案：B4. 以下哪个级数是发散的？（）A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：D5. 以下哪个是二阶导数？（）A. f''(x) = 2xB. f'(x) = 2xC. f(x) = x^2D. f'(x) = 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x在x=0处的导数是________。
答案：02. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。
答案：e^x + C3. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是________。
答案：-cos(x) + C4. 函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分是________。
答案：1/35. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的极值点是________。
答案：x = -1三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限：lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。
高数试题及答案十套
。 ） （D） arctan xy 。 ）
x+ y
（B） e x ln(x 2 + y 2 )
（C） x
2 旋转抛物面 z = 2 x 2 + 2 y 2 − 4 在点 (1, −1,0) 处的法线方程为（ （A） x − 1 = y + 1 = z
4 4
1 1− y
−1
2
（B） x − 1 = y + 1 = z
⎧Fx' = 2 x + 2λ1x + λ 2 = 0 ⎪ ' ⎪Fy = 2 y + 2λ1 y + λ 2 = 0 ⎪ ' −1± 3 ,z = 2± 3 ⎨Fz = 2 z − λ1 + λ 2 = 0 ⇒ x = y = 2 ⎪ ' 2 2 ⎪Fλ1 = x + y − z = 0 ⎪F ' = x + y + z − 1 = 0 ⎩ λ2 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 = 2 ± 3 + (2 ± 3 ) 2 = 9 ± 5 3 ,故所求距离的最大值为 9 &#
⇒ f ( x) =
五、因为
ex − e−x 1 x 1 . e + ce − x ，由 f (0) = 0 ⇒ c = − ⇒ f ( x) = 2 2 2
∂z y y = y + F (u ) + xF ' (u )(− 2 ) = y + F (u ) − F ' (u ) ∂x x x
值为 9 − 5 3 。
c c
2 由于 同理
2 2 2 ∫∫∫ z dxdydz = ∫ dz ∫∫ z dxdy = ∫ z πab(1 − Ω 0
高数(下)试题1及解答
一．计算下列各题：1． [7分] 计算∑⎰⎰∑其中,zdS x 是x 2+y 2=1介于z=0,z=1之间部分.2．[7分]利用函数x-11麦克劳林公式逐项微分求级数∑∞=-112n n n 的和3. [7分] 判别级数∑∞=++111n nn是否收敛？若收敛求其和。
4．[7分] 计算I zdv Ω=⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面zyx222=+及平面2=z 所围成的区域。
5．[7分]求微分方程 (1-x)y ”=1的通解 二、[13分]在椭圆14222=+yx的第一象限部分上求一点，使过该点的切线，椭圆及坐标轴在第一卦限围成的图形的面积最小三．[11分]：设L 是⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttsin cos ππ从t=0至t=π 所对应的一段曲线计算：曲线积分⎰L (πx-y)dx+(x+πy)dy四．[11分]：求微分方程xdy+2y(lny-lnx)dx=0的通解 五．[13分] 求微分方程y ”-y ’-2y= 0通解六．[10分]：设级数∑∞=+-=12211)()(n nn n n xx x S x U 的部分和试求U n (x)及和函数S(x).七．[7分]设区域D 是由直线y=x 和曲线y=x 3围成，f(x,y)是D 上的连续函数，试写出⎰⎰Ddxdy y x f ),(直角坐标系下两种次序的二次积分。
一．计算下列各题：1．[7分] 计算∑⎰⎰∑其中,zdS x 是x 2+y 2=1介于z=0,z=1之间部分.解：∑1记前半柱面介于z=1,z=2之间部分其在yoz 面投影D 为： 由对称性I=zdSx ⎰⎰∑2=zdxdy⎰⎰∑2=22．[7分] 利用函数x-11麦克劳林公式逐项微分求级数∑∞=-112n n n 的和解：211)1(1x nxn n -=∑∞=- 级数∑∞=-112n n n =43. [7分] 判别级数∑∞=++111n nn是否收敛？若收敛求其和。
答案：发散4．[7分] 计算.⎰⎰⎰Ω=zdv I ，其中Ω是由曲面z yx 222=+及平面2=z 所围成的区域。
高数答案
《高等数学》（下册）测试题一一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）1．设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ A ）A ．平行于平面π；B ．在平面π上；C ．垂直于平面π；D ．与平面π斜交.2．二元函数22,(,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处（ C ）A ．连续、偏导数存在；B ．连续、偏导数不存在；C ．不连续、偏导数存在；D ．不连续、偏导数不存在.3．设()f x 为连续函数，1()d ()d t tyF t y f x x =⎰⎰，则(2)F '＝（ B ）A ．2(2)f ；B ．(2)f ；C ．(2)f -D ．0.4．设∑是平面132=++z yx 由0≥x ，0≥y ，0≥z 所确定的三角形区域，则曲面积分(326)d x y z S ∑++⎰⎰＝（ D ）A ．7；B ．221； C ．14； D ．21. 5．微分方程e 1xy y ''-=+的一个特解应具有形式（ B ）A ．e xa b +； B ．e xax b +； C ．e xa bx +； D ．e xax bx +.二、填空题（每小题3分，本大题共15分）1．设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面方程为2230x y z +-=；2．设arctan1x yz xy-=+，则d |z ＝24dx dy-； 3．设L 为122=+y x 正向一周，则2e d x Ly =⎰0 ；4．设圆柱面322=+y x ，与曲面xy z =在),,(000z y x 点相交，且它们的交角为π6，则正数=0Z 32； 5．设一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y =+'有两个线性无关的解21,y y ，若12y y αβ+也是该方程的解，则应有=+βα 1 .三、（本题7分）设由方程组e cos e sin uux vy v⎧=⎪⎨=⎪⎩确定了u ，v 是x ，y 的函数，求x u ∂∂及x v ∂∂与yv∂∂. 解：方程两边取全微分，则e cos e sin e sin e cos u uu udx vdu vdvdy vdu vdv⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ 解出2222cos e sin ,,e sin e cos u uu u xdx ydy du e vdx vdy x y du dv xdy ydx dv vdx vdy x y ----+⎧=+=⎪+⎪⎨-⎪=-+=⎪+⎩从而222222,,u x v y v x x x y x x y y x y∂∂-∂===∂+∂+∂+ 四、（本题7分）已知点)1,1,1(A 及点)1,2,3(-B ，求函数()3ln 32u xy z =-在点A 处沿方向的方向导数.解：{}2122,1,2,,,333AB AB ⎧⎫=-=-⎨⎬⎩⎭2333336,,323232y x z gradu xy z xy z xy z ⎧⎫-=⎨⎬---⎩⎭，{}3,3,6A gradu =- 从而{}212,,3,3,62147333uAB ∂⎧⎫=-⋅-=++=⎨⎬∂⎩⎭五、（本题8分）计算累次积分24112211d e d d e d xxyy x x y x y y y +⎰⎰⎰）.解：依据上下限知，即分区域为1212,:12,1:24,2xD D D D x y D x y =⋃≤≤≤≤≤≤≤≤ 作图可知，该区域也可以表示为2:12,2D y y x y ≤≤≤≤从而()2242222112112111d e d d e d d e d e e d xxxy y yy y x y x y x y y x y y y y +==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()2222211e e 2e e e e y y e =-=---=六、（本题8分）计算d d d I z x y z Ω=⎰⎰⎰，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面1,0==z z 围成的区域.解：先二后一比较方便，11122122zD z I zdzdxdy z dz πππ⋅==⋅⋅==⎰⎰⎰⎰七．（本题8分）计算32()d xy z S ++∑⎰⎰，其中∑是抛物面222y x z +=被平面2=z 所截下的有限部分. 解：由对称性322d 0,d d x S y S x S ==∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 从而223222()d ()d ()d 2x y x y z S z S x y S +++=+=+∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰222220(2D x y d rr πθπ=+==⎰⎰⎰⎰⎰(4041115t ππ⎫=+-=+⎪⎪⎝⎭⎰八、（本题8分）计算22222(4cos )d cos d L x x x x x x y y y y y+-⎰，L 是点ππ(,)22A 到点(π,2π)B 在上半平面)0(>y 上的任意逐段光滑曲线.解：在上半平面)0(>y 上2223222322cos cos sin Q x x x x x x x x y y y y y y ⎛⎫∂∂=-=-+ ⎪∂∂⎝⎭223223222(4cos )0cos sin P x x x x x x Qx y y y y y y y y x∂∂∂=+=-+=∂∂∂且连续， 从而在上半平面)0(>y 上该曲线积分与路径无关，取π(π,)2C22222222424415(4cos )d cos d 12L AC CB x x x x y y y πππππππππ=+=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰九、（本题8分）计算222()d d ()d d ()d d x y y z y z z x z x x y +++++∑⎰⎰，其中∑为半球面221y x z --=上侧.解：补1:0z ∑=取下侧，则构成封闭曲面的外侧11222()d d ()d d ()d d x yy z y z z x z x x y ∑+∑∑+++++=-∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰()122223211133132D D x y dv x dxdy dv x dxdy dxdy πΩ∑Ω+=++-=+=⋅⋅+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2113400011922244d r dr r πππθππ=+=+⋅=⎰⎰ 十、（本题8分）设二阶连续可导函数)(x f y =，t s x =适合042222=∂∂+∂∂syt y ，求)(x f y =．解：21,y s y f f t t s t∂-∂''=⋅=⋅∂∂ 222223222211,y s s s y f f f f f t t t t t s s t t ∂∂--∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''''''==+⋅== ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由已知222223222440,0,y y s s f f f t s t t t∂∂-⎛⎫'''''+=⇒+⋅+= ⎪∂∂⎝⎭即()()()()()()()2221420,40,4x f x xf x x f x x f x c '⎡⎤'''''++=+=+=⎣⎦()()1122,arctan 422c c xf x f x c x '==++ 十一、（本题4分）求方程的x y y 2cos 4=+''通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为21,240,2r r i +==±非齐次项()cos2,f x x =，与标准式()()()cos sin xm l f x e P x x P x x αββ=+⎡⎤⎣⎦比较得{}max ,0,2n m l i λ===,对比特征根，推得1k =，从而特解形式可设为()()*12cos sin cos 2sin 2,k x n n y x Q x x Q x x e ax x bx x αββ=+=+⎡⎤⎣⎦**(2)cos2(2)sin 2,(44)sin 2(44)cos2y a bx x b ax x y a bx x b ax x'''=++-=--+-代入方程得14sin 24cos 2cos 2,0,4a xb x x a b -+=⇒==121cos 2sin 2sin 24y c x c x x x =+++十二、（本题4分）在球面2222a z y x =++的第一卦限上求一点M ，使以M 为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.解：设点M 的坐标为(),,x y z ，则问题即8V xyz =在22220x y z a ++-=求最小值。
成人高考高数一试题
成人高考高数一试题【正文】成人高考高数一试题一、选择题（共30题，每题3分，共90分）1. 单项选择题【题目】已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，则f(2)的值等于多少？A. 4B. 6C. 9D. 112. 填空选择题【题目】若a, b为整数，且a * b = 30，则a, b的取值组合可能是多少个？【答案】2二、计算题（共5题，每题10分，共50分）1. 大题【题目】请计算函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 2的导数。
【解答】f'(x) = 6x^2 - 10x + 32. 大题【题目】已知直角三角形ABC，其中∠C = 90°，AC = 5 cm，BC = 12 cm。
求∠A和∠B的大小。
【解答】根据三角形的性质，因为∠C = 90°，则∠A + ∠B = 90°。
利用三角形的角度和为180°，得到∠A + ∠B + ∠C = 180°。
代入∠C = 90°，得到∠A + ∠B + 90° = 180°。
解方程得到∠A + ∠B = 90°。
所以∠A = 90° - ∠B。
又根据三角形中的边长关系，得到AC^2 + BC^2 = AB^2。
代入AC = 5 cm和BC = 12 cm，得到5^2 + 12^2 = AB^2。
解方程得到AB = √(5^2 + 12^2) = √(25 + 144) = √169 = 13 cm。
综上所述，∠A = 90° - ∠B，AB = 13 cm。
三、证明题（共4题，每题15分，共60分）1. 证明题【题目】已知直角三角形的斜边长为5 cm，其中∠A为锐角，AC 为直角边。
求∠A的大小。
由直角三角形的性质可知，直角三角形任意一个锐角的正弦值等于对边与斜边的比值。
已知AC为直角边，而斜边长为5 cm，所以sin A = AC / 斜边 = AC / 5。
高等数学试题(含答案)
《高等数学》试题库一、选择题 （一）函数1、下列集合中（ ）是空集。
{}{}4,3,02,1,0. a {}{}7,6,53,2,1. b (){}x y x y y x c 2,.==且 {}01.≥〈x x x d 且2、下列各组函数中是相同的函数有（ ）。
()()()2,.x x g x x f a == ()()2,.x x g x x f b ==()()x x x g x f c 22cos sin ,1.+== ()()23,.x x g xx x f d ==3、函数()5lg 1-=x x f 的定义域是（ ）。
()()+∞∞-,55,. a ()()+∞∞-,66,. b()()+∞∞-,44,. c ()()()()+∞∞-,66,55,44,. d4、设函数()⎪⎩⎪⎨⎧-+2222x x x〈+∞≤〈≤〈∞〈-x x x 2200 则下列等式中，不成立的是（ ）。
()()10.f f a = ()()10.-=f f b ()()22.f f c =- ()()31.f f d =-5、下列函数中，（ ）是奇函数。
x xa . x xb sin .211.+-x x a a c 21010.x x d -- 6、下列函数中，有界的是（ ）。
arctgx y a =. t g xy b =. xy c 1.= xy d 2.= 7、若()()11-=-x x x f ，则()=x f （ ）。
()1.+x x a ()()21.--x x b ()1.-x x c .d 不存在8、函数x y sin =的周期是（ ）。
π4.a π2.b π.c 2.πd 9、下列函数不是复合函数的有（ ）。
xy a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21. ()21.x y b --= x y c s i n lg .= x ey d s i n1.+=10、下列函数是初等函数的有（ ）。
11.2--=x x y a ⎩⎨⎧+=21.xx y b 00≤〉x x x y c c o s 2.--=()()2121lg 1sin .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x e y d x11、区间[,)a +∞, 表示不等式（ ）.（A ）a x <<+∞ （B ）+∞<≤x a （C ）a x < （D ）a x ≥12、若ϕ3()1t t =+,则 ϕ3(1)t +=（ ）.（A ）31t + （B ）61t + （C ）62t + （D ）963332t t t +++13、函数log (a yx =+ 是（ ）.（A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 14、函数()yf x =与其反函数1()y f x -=的图形对称于直线（ ）. （A ）0y = （B ）0x = （C ）y x = （D ）y x =-15、函数1102x y-=-的反函数是（ ）.（A ）1xlg22y x =- （B ）log 2x y = （C ）21log y x= （D ）1lg(2)y x =++ 16、函数sin cos yx x =+是周期函数，它的最小正周期是（ ）.（A ）2π （B ）π （C ）2π （D ）4π 17、设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）． A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 3 18、下列函数中，（ ）不是基本初等函数． A ． x y )e1(= B ． 2ln x y = C ． xx y cos sin =D ． 35x y = 19、若函数f(e x)=x+1，则f(x)=( )A. e x+1 B. x+1 C. ln(x+1) D. lnx+120、若函数f(x+1)=x 2，则f(x)=( )A.x 2B.(x+1) 2C. (x-1) 2D. x 2-1 21、若函数f(x)=lnx ，g(x)=x+1，则函数f(g(x))的定义域是( ) A.x>0 B.x ≥0 C.x ≥1 D. x>-1 22、若函数f(x)的定义域为(0,1)则函数f(lnx+1)的定义域是( )A.(0，1)B.(-1，0)C.(e -1，1)D. (e -1，e) 23、函数f(x)=|x-1|是( )A.偶函数B.有界函数C.单调函数D.连续函数 24、下列函数中为奇函数的是( )A.y=cos(1-x)B.⎪⎭⎫ ⎝⎛++=21ln x x y C.e x D.sinx 2 25、若函数f(x)是定义在(-∞，+∞)内的任意函数，则下列函数中（ ）是偶函数。
高数试题下
高数试题下(总18页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除高数试题一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分）1.设直线1724:121x y z l -+-==-，26,:23,x y l y z -=⎧⎨+=⎩则l 1 与l 2 的夹角为[ ]. （A ）2π；（B ）3π；（C ）4π；（D ）6π. 2.函数 z = xe 2y在点P (1, 0)出沿从P (1, 0)到Q (2, 1)方向的方向导数为[ ]. 2233();();();().2222A B C D -- 3.函数2222221sin ,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0, 0)点[ ].(A ) 偏导数连续；(B ) 偏导数不存在； (C )偏导数存在但不可微； (D )可微但偏导数不连续。
4.积分11220xdx x y x dy -=⎰⎰[ ].1111()()()()341224A B C D 。
5.设是由x 2 + y 2 + z 2 = 1所围成的区域，则三重积分||z e dv Ω=⎰⎰⎰[ ].3()()()()2.22A B C D ππππ；；；二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）1.过点(0，2，4)且与两平面x + 2z = 1和y – 3z = 2都平行的直线方程是2.设2224,:3,x y z z ⎧++=⎪Γ⎨=⎪⎩则2x ds Γ=⎰3. 满足微分方程初值问题20d (1)d 1 xx y y ex y =⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 的解为y ＝ ．4.设z = ln(1 + x 2 + y 2), 则(1,2)dz =三、（9分）求微分方程4cos y y x x ''+=的通解．四、（9分）求函数f (x , y ) = xy 在闭区域x 2 + y 2 1上的最大值和最小值。
高数试题下
高数试题 2005.7.20一、填空（本题含6小题，每小题4分，共24分）1. 函数z =x 2+y 在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(22,+方向的方向导数是 . 2. 设(){}222,D x y xy R =+≤, 则二重积分()2Dx y d σ+⎰⎰的值是 .3. 设L 为圆x 2+y 2=1依逆时针方向一周, 则曲线积分⎰-L ydx xdy 的值是 .4．设L 为连接A (1,0)和B (0,1)的直线段, 则曲线积分()Lx y ds +⎰的值是 .5. 幂级数0!nn n n x n∞=∑的收敛半径R = .6. 已知向量33,OA i k OB j k =+=+,则三角形∆OAB 的面积的值是 . 二、单项选择（本题含3小题，每小题4分，共12分）1．设函数则()222222000,,,,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩则f (x ,y ) 在O (0,0)处（ ）.（A ）极限存在；（B ）偏导数存在；（C ）连续；（D ）可微分. 2．下列各级数中, 条件收敛的级数是（ ）. （A ）()111n n ∞-=-∑（B ）()111n n ∞-=-∑；（C ）()21121!n n n n ∞+=-∑；（D ）()1113n n n n∞+=-∑. 3. 平面2x +y -z +3=0与直线50250x y x z +-=⎧⎨-+=⎩的位置关系是（ ）.（A ）互相垂直； （B ）互相平行； （C ）相交但不垂直； （D ）直线在平面上.三、（8分）设00,,ln x zz y z y >>=，求全微分dz 及2z x y∂∂∂.四、（8分）求表面积为()20a a >的体积为最大的长方体的体积.五、（8分）设(){}000,,,,x y z x a y b z c Ω=≤≤≤≤≤≤, 计算三重积分()x y z dv Ω++⎰⎰⎰.六、（8分）设∑为球面()22220,x y z a a ++=>上的2a z ≥的部分,计算曲面积分3z dS ∑⎰⎰. 七、（8分）设∑是曲面()2212z x y =+介于平面z=0与z=2之间的部分的下侧, 计算曲面积分()()2232110I x z d y d zyz d z d x z d x d y ∑=+++-⎰⎰.八、（8分）经过两平面4x -y +3z -1=0与x +5y -z +2=0的交线作一平面使之于平面2x -y +5z -3=0垂直.九、（8分）将函数()134f x x=+展开为(x+2)的幂级数并给出收敛域.十、（8分）设f (x )为恒正连续函数, 由曲线y= f (x )与直线x =a , x =b (a<b ), y=0所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周形成旋转体, 体密度为1, 试证该物体对x 轴的转动惯量为()42bx aI f x dx π=⎰.答案 一、(1)321+; (2)42R π; (3)π2; (4)2;(5) e; (6) C 1+C 2x +(C 3+C 4x )e x . (6*) 219 二、(1) B; (2) A; (3) C . 三、dz=z x z +dx+)(2z x y z +dy.=∂∂∂y x z 2 32)(z x xz +. 四、V min =3366a . 五、)(21c b a abc ++. 六、53215a π.七、π4-.八、y y x 2-=.八*、7x +14y +5=0.九、)43,413(高数试题 2006.7.12一、选择题（本大题6小题，每小题4分，共24分）1.函数z =f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)处两个偏导数存在是该函数在此点可微分的[ ]. （A ）充要条件；（B ）必要条件；（C ）充分条件；（D ）既非充分也非必要条件.2.抛物线 y = x 2上到直线 x – y –2 = 0 距离最近的点是[ ]..41,21)();1,1)(();0,0)((;41,21)(⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛D C B A3.设Ω为平面x + y + z = 1 与三个坐标面所围成的空间闭区域，则三重积分⎰⎰⎰++Ωdv z y x )(的值是[ ]..241)(;81)(;61)(;121)(D C B A 4.设L 为星形线)0(323232>=+a a y x ，则下列各曲线积分中，值为0的是[ ].⎰⎰⎰⎰+++LLLLds y x D ds y x C ds yx xy B ds y x A .)()()()()()()()(2222222；；；5.下列级数中，发散的级数是[ ]..3)(3)1(4)(132)()1()(141111∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+-n n n n n n nn n nD n C n n B n A ；；； 6.设有两点M （2，2，2），P （1，3，0），则向量→MP 与x 轴正方向的夹角α=[ ]..41)(43)(31)(32)(ππππD C B A ；；； 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 1.曲面z = x 2 + y 2在点M （1，2，5）处的法线方程是2.函数z = x e 2 y 在点P (1，0)沿从点P(1，0)到点Q （2，-1）的方向的方向导数是3.设∑为球面x 2 + y 2 + z 2 = a 2 (a >0)，则曲面积分⎰⎰++∑dS z y x 2)(的值是4.设=⊥-=-==λλ )1014()2,1,2(则且，，，， 5.已知,2)1(11=-∑∞=-n n n u,5112=∑∞=-n n u 则=∑∞=1n n u 三、（8分）求过点M （3，1，-2）且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 四、（8分）设方程x 2+ y 2+ z 2= 2az 确定函数z = z (x , y )，求全微分d z 及yx z∂∂∂2.五、（8分）计算⎰⎰-Dd y x y σ22，其中D 是由直线y = x ，x = 1及y = 0围成的闭区域.六、（8分）设L 是由曲线x 2 + y 2 = 2 y ，x 2 + y 2 = 4y 与直线x - 3 y = 0，y - 3 x = 0所围成区域D 边界正向一周，求dy x x y x y x y dx x y x y L)cos (sin )cos 1(222+++-⎰.七、（8分）将函数f (x ) =13+4x，展开为（x +2）的幂级数并求出收敛域. 八、（8分）设a >0，物体占有空间Ω是由y o z 坐标面上曲线 y 2 +(z – a )2 = a 2 绕z 轴旋转一周形成的曲面所围成的闭区域，体密度函数为常数ρ 0，求该物体对于坐标原点的转动惯量. 九、（8分）设∑为抛物线z = 1 – x 2 – y 2 (0 ≤ z ≤ 1)，取上侧，计算⎰⎰++∑dxdy dzdx y dydz x 22233.答案 一、1.B ；2.A ；3.C ；4.B ；5.D ；6.A .二、1.x-12 = y-24 = z-5-1 ；2.22-；3.4πa 4；4.3；5.8.三、8x –9y –22z –59 = 0.四、dy z a y dx z a x dz -+-=；32)(z a xyy x z -=∂∂∂.五、112 ；六、143 . 七、∑∞=++-01)2(54n nn n x (- 134 < x < - 34 ).八、501532a πρ.九、3π.高数试题2007.7.一．选择题(4分⨯6=24分)1、设,,为非零向量，则b ⨯⨯( =[ ]．(A) )(⨯⨯ (B) ⨯⨯)( (C) )(⨯⨯ (D) )(⨯⨯ .2．][),(),(),(),(0000处在可微分的充分条件是在点函数y x y x f y x y x f z =．两个偏导数连续)(A 两个偏导数存在)(B 数存在任何方向的方向导)(C 函数连续且存在偏导)D ( 3．设x y x D 2:22≤+， ),(y x f 在D 上连续． σd y x f D⎰⎰),(=[ ]．(A)rdr r r f d ⎰⎰θπθθθsin 20)sin ,cos ( (B)rdr r r f d ⎰⎰θπθθθcos 2020)sin ,cos ((C)rdr r r f d ⎰⎰-θππθθθcos 2022)sin ,cos ( (D)rdr r r f d ⎰⎰-θππθθθsin 2022)sin ,cos (4若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv都发散，则必有[ ]．(A))(1n n nv u+∑∞= 发散 (B))(1n n nv u+∑∞= 发散(C))(212nn nv u+∑∞= 收敛 (D))(1n n nv u+∑∞=收敛二、填空题(4分⨯6=24分) 1．直线31221zy x =-+=-与平面062=++-z y x 的交点是____________． 2．用钢板做体积为38m 的有盖长方体水箱．最少用料S=_____2m ．3．二次积分⎰⎰-1102x y dy edx 的值是_____________．4．设∑为球面)0(2222>=++a a z y x ，则⎰⎰∑+dS y x 2)(=__________________．5．小山高度为2225y x z --=．在)43,1,23(--处登山，最陡方向是_____________． 6．设)(x f 为周期为π2的周期函数，它在),[ππ-的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x x f 0,0,1)(， 若)(x f 的傅立叶级数的和函数为)(x s ，则)2()(ππs s +=________________．三、（10分）求过点)3,2,1(-垂直于直线654zy x ==而与平面010987=+++z y x 的平行的直线方程． 四．（10分）将函数341)(2++=x x x f 展开成(x -1)的幂级数．并给出收敛域。
华南理工大学高数(下)习题册答案汇总
第七章 多元函数微分学作业1 多元函数1．填空题（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()22211x y y -+； （2）49arcsin2222-+++=y x y x z 的定义域是(){}22,49x y x y ≤+≤； （3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x x xyy x f 的连续范围是 全平面 ；（5）函数2222y x z y x+=-在22y x =处间断.2．求下列极限`（1）00x y →→；解：000031lim 6x t t y t →→→→===-（2）22()lim (ex y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：3y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-⎣⎦）） 由于1lim e lim lim 0tt t t t t t t e e-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0tt t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，故22()2()lim (elim (e 20x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限26300lim y x yx y x +→→是否存在.解：沿着曲线()()3,,0,0y kx x y =→,有336626262000lim lim 1x x y kx x y kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26300lim y x yx y x +→→不存在 !4．证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线()(),,0,0y kx x y =→,有2222222000222lim lim 1x x y kx xy kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异， 从而极限()0lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.；作业2 偏导数1．填空题（1）设22),(y x y x y x f +-+=，则=)4,3(x f 25； （2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1x y f y==∂=∂12； （3）设2sin x u xz y =+，则42ux y z∂=∂∂∂ 0 ；（4）曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. ￥2．设2exy u =， 证明 02=∂∂+∂∂yu y x u x.证:因为222312,xxy yu ux e e x y y y ∂∂-==∂∂ 所以222223*********x x x xy y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y∂∂--+=+=+=∂∂3. 设xyz ln =，求22x z ∂∂，yx z∂∂∂2.解：ln ln x yz e⋅=，从而222ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭—2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂4．设y x z u arctan =， 证明 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u . 解：因为()()2222222222211022,1uyz u yz x xyzz xy x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()2222222222221022,1u x xz u xz y xyzz yy x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭22arctan ,0,u x uz y x∂∂==∂∂ 所以()()2222222222222200u u u xyz xyzx y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()2221sin ,0,0,x x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.（1）试求(),f x y 的偏导函数； 解：当()()()3222221110,,42sin cos x x f x y x xyx x y xx x-≠=+++⋅()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+(当()()()()222001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x→→+--≠===-()()()000,0,000,limlim 00y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.()()200331lim ,lim 2sin00,3y y x x y y f x y x y f x→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续作业3 全微分及其应用1．填空题（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的必要 条件；（2）函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量）z ∆=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ∆=+；（4）22yx x u +=在点)1,0(处的d u =dx ；（5）xy u cos )(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦； （6）zyx u )(=,则d u =()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（7）2221zy x u ++=,则d u = ()()3222212x y z -++ .2．证明：(),f x y =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是limlimx x y y ∆→∆→∆→∆→=不存在，从而在()0,0处不可微.;3．设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；证：因为 ()()()()2201sin0,00,00,0limlim 0,0,000x y x x x f x f x f f x x →→--====--又()()()22221sinlimlim0x x y y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆+∆∆+∆==）所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.证：当()222222221210,,2sincos x x x y f x y x x y x y x y +≠=-+++()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ∆→∆→∆→∆→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭不存在， 故(),x f x y 在点()0,0处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设2ln ,,32yz u v u v y x x===-，则 z x ∂=∂()()223222ln 3232y y y x x x y x ----； |（2）设22,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则zv∂=∂()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--； （3）设()22,zu x y z x y =-=+，则u x ∂=∂()()222ln z x y x y x x y x y ⎡⎤+--+⎢⎥-⎣⎦；（4）设2sin z x y x ==，则dd zx =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭其中f 具有一阶连续偏导数，求,u x ∂∂u y ∂∂和uz ∂∂； 解：111,f u f x y y ∂=⋅=∂121222222211,u x x u y yf f f f f f y y z y z z z z∂--∂--=⋅+⋅=+=⋅=∂∂ （2）设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ϕψ==，其中,,f ϕψ均可微，求u x ∂∂和uy∂∂. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ϕϕψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ϕϕψψ=++++⎡⎤⎣⎦~()()1322231321f f dx f f f ϕψϕϕψ=+++++所以1322231321,u u f f f f f x yϕψϕϕψ∂∂=+=++∂∂ 3．验证下列各式 （1）设()22yz f x y =-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ∂∂+=∂∂； 证：因为222212,z xyf z y f x f y f f''∂-∂==+∂∂ 所以222211121121z z z xyf y f zx x y y x x f y f f yf y''⎛⎫∂∂∂-+=++== ⎪∂∂∂⎝⎭ （2）设()23y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，则220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂. 证：因为()()222,33z y z y y xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂ 所以22z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫''-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222033y y x y xy y x y xy y ϕϕ''=-+--+=-4．设22,,y z xf x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂.解：因为221212222,z y y f x f f f xf f x x x ⎛⎫∂-=++⋅=+- ⎪∂⎝⎭所以22212212222222222z y y y y y y f xf f f xf f f x y y x x x x x x⎡⎤∂∂=+-=+⋅--⋅⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 31222224y yf f x=-4．设)()(xy x x y u ψϕ+=其中函数ψϕ,具有二阶连续偏导数，试证：022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y y x u xy x u x . 证：因为222223432,u y y u y y y x x x x x x x ϕψψϕϕψ∂-∂'''''''=+-=++∂∂222322211,,u y y u u x y x x x y x y x xϕψϕϕψϕψ''''∂∂∂'''''''=---=+=+∂∂∂∂ 从而左边222234323222120y y y y y x xy y x x x x x x x x ϕψϕϕψϕϕψ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业5 隐函数求导法1．填空题*（1）已知3330x y xy +-=，则d d y x =22x yx y --；（2）已知20x y z ++-=，则x y ∂=∂（3）已知xzz y =，则d z =2ln ln z dy yz zdxxy yz y--；（4）已知222cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydyz+-；（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z =12121zf dx f dyxf f ---.2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂．解：212120,yF z z z F F y y x x x F yF -∂∂∂⎛⎫+⋅+=⇒= ⎪∂∂∂+⎝⎭ ()()[]()22122122122221212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '⋅+++-+⎡⎤⎛⎫∂∂⎣⎦=-=- ⎪∂∂++⎝⎭()()()()()2222112111222212221231212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++⎡⎤-⎣⎦=+++3．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x .$解：由已知()2222222602460dz xdx ydy dz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨+-+=++=⎪⎩⎩ ()()22606,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dxy yz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧+⎪⇒⇒==-⎨+++++=⎪⎩4．设函数()z f u =，又方程()()d xy u u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),P t u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠. 试证：()()0z zP y P x x y∂∂+=∂∂. 证：因为()(),z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''=⋅=⋅∂∂∂∂， ()()()(),1P x u u u u P x x x x u ϕϕ∂∂∂'=⋅+='∂∂∂- ()()()(),1P y u u uu P y y y y u ϕϕ-∂∂∂'=⋅-='∂∂∂- ()()()()()()()()()()011P x P y z zP y P x P y f u P x f u x y u u ϕϕ-∂∂''+=+=''∂∂--5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin x zf y =满足方程22222e x z zz x y∂∂+=∂∂，求()f u . 】解：因为()()()()222sin ,sin sin x xx z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂()()()()222cos ,cos (sin )x xx z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+作业6 方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率 最大 ； （2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的 模 ； （3）函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是@cos cos cos αβγ++，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()xu yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l 的方向导数是23；（6）函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是12. 2．求222z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角.解：{}2,2,2{2,0,0}AAgradux y z a =-={}2,2,2{0,2,0}B Bgradu x y z a =-=夹角余弦为cos 02A B A Bgradu gradu gradu gradu πϕϕ⋅==⇒=⋅3．求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向z 的值不变解：(){}(){}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-5l =⎨⎩，{3,3}zl∂=-⋅=∂ )z 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变 4．设x轴正向到l 得转角为α，求函数()22220,0,x y f x y x y +>=+=⎩在点()0,0处沿着方向l 的方向导数.解：{}cos ,sin ,cos l αααα===由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：()()00,0,0lim x y f x y f fl ρρρ→→→→-∂===∂1cos sin sin 22ααα==作业7 偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面224z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P的坐标是(1,1,2)； !（2）曲面e 23zz xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；（3）由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M处的指向内侧的单位法向量为0,⎧⎪⎨⎪⎩； （4）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是122146x y y -+-==-； （5）已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P的坐标是()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．求曲线22sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π4t =处的切线和法平面方程.解：切点为{}224111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t tπ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，从而切线为11110222,11012x z x y z y +-=⎧---⎪==⎨-=⎪⎩，法平面为110,022x z x z ⎛⎫---=-= ⎪⎝⎭3．求两个圆柱面的交线22221:1x y x z ⎧+=⎪Γ⎨+=⎪⎩在点M 处的切线和法平面的方程.解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z =&{}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =⨯=--==，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz =切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为000000x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z ab ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法线方向的方向导数.解：2222,,MM x y gradza b a b ⎧⎪⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩⎭2222,M x y n a b a b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为(2a z ngradz n n ∂=⋅=-∂6．证明：曲面y z xf x ⎛⎫=⎪⎝⎭在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. —证：设切点为()000,,x y z ，则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪''=--=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭切平面为()()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。
高等数学下册试题集
1、设 ，则 ，在点 处的梯度 。
2、设 ，则 1。
3、 由曲线 所围成的闭区域，则 。
4、函数 在点 处沿从点 到点 所确定方向的方向导数是。
5、曲线 在点 处的切线方程为，法平面方程为。
6、改变积分次序 。
三、计算题（每小题7分，共计49分）
1、求 。
2、求椭球面 的平行于平面 的切平面方程。
求微分方程 的通解。
三、计算三重积分 ，其中 是由柱面 与平面 ，x=0所围成的第一卦限内的区域。（9分）
四、计算 ，其中 为球面 的外侧。
（9分）
五、计算曲线积分 ，其中L：自点A＝ 沿曲线 到点B＝ 的一段有向曲线弧（9分）
六、求级数 的收敛域与和函数。（9分）
七、求极限 （4分）
高等数学II（A卷 重修）
六、求级数 的收敛域与和函数。（9分）
七、求极限 （4分）
等数学试卷(下期04)
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(每小题4分,共8分)
1、二重积分 (其中D：0≤y≤x2,0≤x≤1)的值为
答( )
2、设∑为球面x2+y2+z2=a2在z≥h部分，0<h<a,则
五、（10分）确定 的值，使曲线积分 与路径无关，
并求 分别为 ， 时曲线积分的值。
六、（10分）化三重积分 为柱面坐标及球面坐标系下的三次积分，其中 是由 和 ，所围成的闭区域。
七、（10分）求 ，其中∑为锥面 的外侧。
八、（4分）设 在点 的某一邻域内具有二阶连续导数，且 ，证明级数
绝对收敛。
高等数学II（A卷）096
1．1．(本小题6分)
大一高数试题及答案[1]
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大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋────── 的定义域为_________√１－ｘ2_______________。
２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。
ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。
ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。
１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。
x→∞ Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。
_______R √R2－ｘ2８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。
0 0ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。
ｄｘ3ｘｄｘ2∞ ∞１０．设级数∑ ａn 发散，则级数∑ ａn_______________。
n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－── ②１＋── ③ ──── ④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④ ──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫ │ｘ│ｄｘ＝（）-1① ０ ② １ ③ ２ ④ ３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是 （ ）①平行于ｘｏｙ面的平面 ②平行于ｏｚ轴的平面 ③过ｏｚ轴的平面 ④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3＋ ｙ3＋ ｘ2ｙｔｇ── ，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝ （ ） ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ） ②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ） １③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ） ④ ──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn ＋１ ∞９．设ａn ≥０，且ｌｉｍ ───── ＝ｐ，则级数 ∑ａn （ ） n→∞ ａ n=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散 ②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散 ③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散 ④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程 ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ 是 （ ）①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是 （ ）①ｙ＝ｅx②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（ ）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ─── ∫ ３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0 ｘ3 0１① ０② １③ ── ④ ∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ───── ＝（）x→0 ｘ2＋ｙ2y→0① ０② １③ ∞ ④ ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）① 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ② 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝── ───ｐｄｙ∞ ∞１９．设幂级数∑ ａn ｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ ａnｘn在│ｘ│〈│ｘo│（）n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫ ─────ｄσ＝（） D ｘ1 1 ｓｉｎｘ① ∫ ｄｘ∫ ───── ｄｙ0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ② ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 y ｘ__1 √x ｓｉｎｘ③ ∫ ｄｘ∫ ─────ｄｙ0 x ｘ__1 √x ｓｉｎｘ④ ∫ ｄｙ∫ ─────ｄｘ0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／────── 求ｙ' 。
习题册 高数1,2 中期考试模拟试题(一)
2
2
sin x
x
dx ,
则
2 0
dy
sin x
y
x
2 0
dx
2
0
yF y
2 0
y
sin y
y
dy
sin ydy
2
0
cos y
10
1.
成都理工大学 · 理工《数学》模拟试题
7．设C为椭圆
x2
4
2
y2
3
1, 其周长记为a，求
C (3x
解 由C ：
x 1
u 1,0, 1 y
y2 1
1 2
2y
y 0
y 0
1 1
y 1 2 y 1
0
d ln 1 z u 1,0, 1 z dz
z 1
1 2
AB 2,2,1 ,
1,0,1
u u u u cos cos cos 1,0, 1 l y z x
（D ） 最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上
成都理工大学 · 理工《数学》模拟试题
25
解
2 2 2 2 u u u u 由 0 2 2 2 x y y x 2
解
2 2 2 x y a 设曲线C： 围成的区域为D，则 W x 2ydx xy 2dy
C
D
2 0
y 2 x 2 dxdy
d r 3dr
高数章节测试题(1)5页word
高数章节测试题（一）一、填空题（每题2分，共20分）1、微分方程34()0'''-=x y yy 的阶数为（ B ）A ．1B ． 2C ．3D ．42、下列函数中是方程0y y '''+=的通解的是（D ）．A ．12sin cos y C x C x =+B ．x y Ce -=C ．y C =D ．12x y C eC -=+ 3、函数ln z xy =的定义域为（D ）A 0,0≥≥y xB 0,00,0≤≤≥≥y x y x 或C 0,0<<y xD 0,0>>y x 或0,0<<y x4、函数xy z sin =在（0，1）处的全微分=dz （ A ）．A ．dx ．B ．dy ．C ．dx -．D ．dy -5、设D 为122≤+y x ，二重积分⎰⎰Ddxdy =（ A ）． A ．π． B ．π2． C ．π32． D ．π21． 6、如果0=+-xy e e x y ，则dy dx=( A ). A. x y e y e x -+； B. x y e y e x+-； C. x y e x e y -+； D. x y e x e y +- . 7、若正项级数 ∑∞=11n p n 收敛，则（ A ）．A ．p ＞1．B ．p ≥1．C ．p ＜1．D ．p ≤1．8、直线327x y z ==-与平面3278x y z -+=的关系是（ A ） A.垂直 B.相交但不垂直 C.直线在平面上 D. 平行9、下列级数中发散的级数是（C ）A ．∑∞=+1)1(1n n n ． B ．∑∞=-1)1(n n n ． C ．∑∞=11n n ． D ．∑∞=121n n ．10、交换积分00(,)(a y dy f x y dx a ⎰⎰为常数）的次序后得（ B ） A00(,)y a dx f x y dy ⎰⎰ B 0(,)a ax dx f x y dy ⎰⎰ C 00(,)a x dx f x y dy ⎰⎰ C 00(,)a ydx f x y dy ⎰⎰ 二、填空题（每题2分，共20分）1、设)0,1,1(=→a ，)1,0,1(=→b ，则数量积→→⋅b a = 1 ． 2、向量{1,1,}a k =-与{2,2,1}b =--相互垂直则k = 4 .3、微分方程1cos +='x y 的通解为c x x y ++=sin ．4、设2为方程0=+'+''qy y p y 的特征方程的二重根，则其通解为xe x c c 221)(+． 5、2210ln()lim y x y x e x y →→++=ln 2. 6、设y x y x z 253+=，则=∂∂x z 22 562xy y +． 7、若级数1n n u∞=∑收敛，则lim n n u →∞= 0 。
高数下期末复习模拟试题3份
2
∂P ∂P = 在 D 内 连 续 ， 且 有 ∂x ∂y ， 则
∫
L
( P( x, y ) + y )dx + ( P( x, y ) − x)dy =（
）
2 − 2 a A、 ;
B、 − 2a ;
2
C、 − a ;
2
D、 a
→
2
7. 设流体速度场 v = ci + y j ( c 为常数 ), 则单 位时间内由半径为 2 的球面内部流出球
u = f ( x, xy ), v = g ( x + xy ) ，
∂u ∂u 求 ∂x , ∂y
。
x +t
∂u ∂u 2.（8 分）设 u ( x, t ) = ∫ x −t f ( z )dz ，求 ∂x , ∂t 。 四、求解下列问题（共计 15 分） 。
1.计算 I
= ∫ 0 dx ∫ x e dy 。 （7 分）
即
∫
x0 0
ydx −
1 2 x0 y 0 = x0 2
将 ( x 0 , y 0 ) 改为 ( x, y ) 得： 求导得： y ′ −
∫
x
0
ydx −
1 xy = x 2 2
1 y = −4 ，且 y (1) = 1 x
该方程的通解为 y = (c + (−4)e
∫
−
∫ x dx1dx源自e∫ x dx∂ 2u ∂ 2u 数，则 x ∂x 2 + y ∂y 2
等于（
）
（A） x + y （B） x ； (C) y
(D)0 。
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高数试题 2008.7一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分）1.设直线1724:121x y z l -+-==-，26,:23,x y l y z -=⎧⎨+=⎩则l 1 与l 2 的夹角为[ ]. （A ）2π；（B ）3π；（C ）4π；（D ）6π. 2.函数 z = xe 2y 在点P (1, 0)出沿从P (1, 0)到Q (2, -1)方向的方向导数为[ ].()(()(A B C D 3.函数2222221sin ,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0, 0)点[ ].(A ) 偏导数连续；(B ) 偏导数不存在； (C )偏导数存在但不可微； (D )可微但偏导数不连续。
4.积分11xdx =⎰⎰[ ].1111()()()()341224A B C D 。
5.设Ω是由x 2 + y 2 + z 2 = 1所围成的区域，则三重积分||z edv Ω=⎰⎰⎰[ ].3()()()()2.22A B C D ππππ；；； 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）1.过点(0，2，4)且与两平面x + 2z = 1和y – 3z = 2都平行的直线方程是2.设2224,:x y z z ⎧++=⎪Γ⎨=⎪⎩则2x ds Γ=⎰ 3.1()1f x x=+展开成x - 2的幂级数为 4.设z = ln(1 + x 2 + y 2), 则(1,2)dz = 5. f (x ) = x 在(0, π)上展开成的余弦级数为三、（9分）求幂级数35213521n x x x x n ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-在收敛域上的和函数. 四、（9分）求函数f (x , y ) = xy 在闭区域x 2 + y 2 ≤ 1上的最大值和最小值。
.五、（9分）某物体的边界由曲面z = x 2 + y 2和平面z = 0, |x | = a ，|y | = a 围成, 其密度函数为ρ = x 2 + y 2, 求该物体的质量.六、（9分）设直线0,:30,x y b L x ay z ++=⎧⎨+--=⎩在平面π 上，而平面π 与曲面z = x 2 + y 2相切于(1, -2, 5)，求a , b 的值。
.七、（9分）计算曲面积分333()()()x y z dydz x y z dzdx x y z dxdy ∑++++++++⎰⎰ 其中∑为由圆锥面x 2 + y 2 = z 2与上半球面x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (R > 0)围成曲面的外侧. 八、（8分）设函数Q (x , y )在xOy 平面上具有一阶连续偏导数，第二类曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关，且对任意t ，有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰，求Q (x , y ).九、（6分）设f (x )是(-∞, +∞)内的可微函数，且满足： (1) f (x ) > 0 x ∈ (-∞, +∞),(2)存在0 < λ <1, 使得| f '(x )| < λ f (x ), x ∈ (-∞, +∞). 任取a 0 ∈ (-∞, +∞), 定义a n = ln f (a n -1), (n = 1, 2, ⋅⋅⋅), 证明11()nn n aa ∞+=-∑绝对收敛.答案 一、1.B ；2.A ；3.D ；4.C ；5.D .二、1. 24231x y z --==-；2.1233dz dx dy =+；3.π；4. 10(1)(2)3nn n n x ∞+=--∑；5.214cos(21)2(21)n n xn ππ∞=---∑ (0 ≤ x ≤ π). 三、11ln 21x x +- (-1 < x < 1).四、max min 11,22f f ==-.五、611245a , 六、a = -5, b = -2.七、59(25R π-.八、Q (x , y ) = x 2 + 2y – 1.高数试题 2009.7一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分） 1. 函数(,)z f x y =在00(,)x y 处可微的充分条件是[ ] (A)(,)f x y 在点00(,)x y 处连续； (B) (,)f x y 在点00(,)x y 处存在偏导数；(C) 00000lim[(,)(,)]0x y z f x y x f x y x ρ→∆-∆-∆=，ρ=(D) 00000(,)(,)lim0x y z f x y x f x y xρρ→∆-∆-∆=.2. 圆心在原点半径分别为R 和r 的()R r >的两个圆所围成的均匀圆环形薄板(面密度为μ)关于原点的转动惯量为[ ].(A)44()R r πμ-； (B)441()2R r πμ-； (C) 441()4R r πμ-； (D) 441()6R r πμ-.3.设幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-时收敛，则幂级数11(1)n nn na x ∞-=-∑在2x =时[ ](A)条件收敛； (B) 发散；(C) 绝对收敛； (D) 收敛性由n a 决定.4. 设Ω是由球面2222 (0)x y z a a ++=>所围成的闭区域，则Ω= [ ](A)443a π； (B) 44a π； (C) 4a π； (D) 412a π. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）1. 已知3a =，26b = ，72a b ⨯= ，则a b ⋅=2．函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的梯度为3. 已知曲线Γ为连接(1,1,1)和(2,2,2)两点的直线段，则曲线积分(23)x y z ds Γ++⎰=4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22z x y =+所围立体的体积为 ． 5. 设∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分，则4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰= 6. 设()f x 是周期为4的周期函数，它在[2,2)-上的表达式为0, 20()3, 022x f x x -≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，则在[2,2]-上()f x 的Fourier 级数的和函数()s x =三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1．求点0(1,1,1)P 到直线723123x y z ---==的距离. 2．已知一平面通过球面x 2+ y 2+z 2= 4(x - 2y - 2z )的中心, 且垂直于直线L :00x y z =⎧⎨+=⎩, 求（1）该平面的方程；（2）该平面与球面的交线在xOy 平面上的投影。
3．设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求yx u∂∂∂2.4．计算二重积分D⎰⎰，其中D是由两条抛物线y =2y x =所围成的闭区域. 5判断级数1n ∞=的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？四、 (8分)计算积分222(cos cos cos )I x y z dS αβγ∑=++⎰⎰, ∑是抛物线z = x 2 + y 2被z = 4割下的有限部分的下侧, cos α, cos β , cos γ是∑上各点法线方向余弦.五、(8分)设f (x ) 为连续可微函数，且(1)2f =，对任一闭曲线L 有34()0Lx ydx f x dy +=⎰ 。
求曲线积分34()Lx ydx f x dy +⎰ 的值.其中L 是圆周4)2()2(22=-+-y x 上由(2,0)A 经(4,2)D 到(2,4)B 的一段弧. 六、(8分)经过点1(2,1,)3P 作一平面,使该平面在第一卦限内与3个坐标面所围成的四面体的体积最小,求该平面方程.七、(6分)设0()nnn f x a x ∞==∑在[-1, 1]上收敛，试证：当a 0 = a 1 = 0时，级数11()n f n ∞=∑收敛。
答案 一、1.D ；2.B ；3.C ；4.C .二、1.±30；2.(1, 1)；4.2π；5.；6.020302230, 2.4x x x ⎧⎪-<<⎪⎪<<⎨⎪⎪=±⎪⎩ . 三、1.2.-y + z = 0, 22241600.x y x y z ⎧+-+=⎨=⎩; 3.f 1 + xf 11 + (x + y )f 12 + f 22 ; 4. 655; 5.条件收敛.四、643π.五、68, 六、163x y z ++=.七 证：由于0()nn n f x a x ∞==∑在x = 1出收敛, 即级数0n n a ∞=∑收敛, 因此lim 0n n a →∞=,则存在M > 0, 使得 |a n | ≤ M . (n = 0, 1, 2, ⋅⋅⋅),32231()a a f n n n =++⋅⋅⋅ , 23223231111()(1)1a a M n f M M n n n n n n n n⎛⎫≤++⋅⋅⋅≤++⋅⋅⋅== ⎪-⎝⎭-, 级数1(1)n M n n ∞=-∑收敛,则级数11()n f n ∞=∑绝对收敛.高数试题 2010.7一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分）1. 函数222)2(),(x y x y x f -+=在闭区域(x – 1)2 + y 2 ≤ 1上的最小值为[ ] (A)0； (B)1； (C) 2； (D) 3。
2. 设函数f (x , y )连续，则二次积分=⎰⎰ydx y x f dy 01),( [ ].(A)⎰⎰110),(ydx y x f dy ； (B)⎰⎰ydx x y f dy 010),(； (C)⎰⎰110),(xdy y x f dx ； (D)⎰⎰xdy y x f dx 010),(.3. 设Ω为平面x + y + z = 1与三个坐标面所围成的闭区域，则⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(= [ ](A)61； (B) 81； (C) 121； (D) 241.4. 设)11ln()1(nu nn +-=，则级数[ ](A)∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都收敛； (B)∑∞=1n nu与∑∞=12n nu都发散；(C)∑∞=1n nu收敛而∑∞=12n nu发散； (D)∑∞=1n nu发散而∑∞=12n nu收敛.二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）1. 已知1||=a ，2||=b ，a 与b 的夹角为4π，则=+||b a2．设Ω是由曲面221y x z --=与z = 0围成的立体，则Ω的形心坐标为3. 设曲线Γ为连接(1,1,1)和(2,3,4)两点的直线段，则曲线积分⎰Γ++ds z y x )(=4. 设∑为锥面22y x z +=被平面z = 1截下的有限部分，则曲面积分=⎰⎰∑zdS ．5. 级数∑∞=12n n n x a的收敛区间为(-∞, +∞)，则a 应满足三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题7分，共计30分）1．求过点)5,2,3(-M 且与两平面x –4z = 3和2x – y – 5z = 1的交线垂直的平面方程.2．求函数u = x 2 + 3yz 在点(1, 1, 1)处沿椭球面x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 6在该点的外法线方向的方向导数。