2020年10月浙江省普通高中学业水平考试(数学试题及答案)
浙江省2020-2021学年高三上学期10月测试数学试题含解析
浙江省2020-2021学年高三上学期10月测试数学试题含解析姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、选择题（共10题）1、函数的定义域是（）A ．B ．C ．D ．2、若，则A ． 1B ．-1C ．iD ．-i3、《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“ 堑堵”. 已知某“ 堑堵” 的三视图如图所示，正视图中的虚线平分矩形的面积，则该“ 堑堵” 的体积为A ．B ． 1C ． 2D ． 44、设x ，y 满足约束条件，则z ＝ 2 x ＋y 的最小值是（）A ．－15B ．－9C ． 1D ．95、已知，则“ ” 是“ ” 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知等比数列中，若，则A ． 4B ． 5C ．16D ．257、函数的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．8、已知，不等式在上恒成立，则（）A ．B ．C ．D ．9、将 6 个数 2 ，0 ，1 ，9 ，20 ，19 将任意次序排成一行，拼成一个8 位数（首位不为0 ），则产生的不同的8 位数的个数是（）A ．546B ．498C ．516D ．53410、如图所示，平面平面，二面角，已知，，直线与平面，平面所成角均为，与所成角为，若，则的最大值是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共7题）1、在中，，且，则____________2、已知F 为抛物线C ：的焦点，点A 在抛物线上，点B 在抛物线的准线上，且A ，B 两点都在x 轴的上方，若，，则直线FA 的斜率为______ ．3、已知平面向量，，满足，，，与的夹角是，则的最大值为 __________.4、若，则________ ；________.5、设等差数列的前项和为，若，，则__________ ，___________.6、二项展开式 (1+2 x ) 5 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 ，则a 4 =___________ ，a+ a 3 + a 5 =___________.17、已知函数，则_______ ﹔若实数满足，则的取值范围是 _______.三、解答题（共5题）1、已知函数．（ 1 ）求的值；（ 2 ）若，求的值 .2、如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2BC ，∠ABC=120°． E 为线段AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A’DE ，使平面A’DE⊥平面BCD ，F 为线段A’C 的中点．（Ⅰ ）求证：BF∥平面A’DE ；（Ⅱ ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A’DE 所成角的余弦值．3、如图所示，在的图像下有一系列正三角形，记的边长为，.（ 1 ）求数列，的通项公式；（ 2 ）若数列满足，证明：. 4、已知椭圆与直线有且只有一个交点，点为椭圆上任意一点，，，且的最小值为.（ 1 ）求椭圆的标准方程；（ 2 ）设直线与椭圆交于不同两点，，点为坐标原点，且，当的面积最大时，判断是否为定值，若是求出其值并证明，若不是请说明理由 .5、已知实数，设函数．（ 1 ）求函数的单调区间；（ 2 ）当时，若对任意的，均有，求的取值范围．注：为自然对数的底数．============参考答案============一、选择题1、 A【分析】由解析式的性质即可求定义域；【详解】由解析式，知：中，中，∴ 综上，有：；故选： A【点睛】本题考查了具体函数定义域的求法，属于简单题；2、 C【详解】试题分析：，故选 C ．【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“ ” 的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成−1. 复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．3、 C【分析】由三视图中的数据，根据棱柱的体积公式求出该“ 堑堵” 的体积．【详解】解：由图可知，底面是一个等腰直角三角形，直角边为，斜边为 2 ，又该“ 堑堵” 的高为 2 ，∴ 该“ 堑堵” 的体积，故选： C ．【点睛】本题主要考查由三视图还原直观图，考查棱柱的体积公式，属于基础题．4、 A【分析】作出可行域，z 表示直线的纵截距，数形结合知z 在点B ( － 6 ，－3) 处取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，如图所示，目标函数，z 表示直线的纵截距，，数形结合知函数在点B ( － 6 ，－3) 处纵截距取得最小值，所以z 的最小值为－ 12 － 3 ＝－15.故选： A【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题 .5、 D【分析】化简得，结合充分与必要条件的判断方法即可求解【详解】由，显然由，比如，又，比如，故“ ” 是“ ” 的既不充分也不必要条件，故选： D【点睛】结论点睛：本题考查既不充分也不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（ 1 ）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（ 2 ）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（ 3 ）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（ 4 ）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．6、 B【分析】根据已知化简，由此求得表达式的值 .【详解】依题意得，即，而.【点睛】本小题主要考查等比数列通项的基本量计算，属于基础题 .7、 B【分析】根据、分类讨论的图象，利用导函数研究它在各个区间上的单调性，分别判断两个区间某一部份的单调性即可得到它的大致图象；【详解】1 、当时，，即，令，则，∴ 时，即单调递增，故，∴ 此时，，即在单调递增，故排除D 选项；2 、当时，，令，则，∴ ，，故有即，所以，∴ 在上，而，故在上一定有正有负，则有B 正确；故选： B【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，并确定函数的大致图象，注意按区间分类讨论，以及零点、极值点的讨论8、 D【分析】由题意，原不等式转化为，两边同时平方并化简得，由此分析出，进而得到，由此可解出答案．【详解】解：∵ ，且，∴ ，∴ ，∴ ，∵ 上述不等式恒成立，∴ ，即（否则取，则左边，矛盾），此时不等式转化为，∴ ，解得，∴ ，故选： D ．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的应用，考查转化与化归思想，属于难题．9、 B【分析】根据题意，由排除法分析：先求出将 2 ，0 ，1 ，9 ，20 ，19 的首位不为0 的排列数，排除 2 的后一项是0 ，且 1 的后一项是9 的排列，2 的后一项是0 ，但1 的后一项不是9 的排列， 1 的后一项是9 ，但 2 的后一项不是0 的排列，分析可得答案【详解】解：将 2 ，0 ，1 ，9 ，20 ，19 的首位不为0 的排列的全体记为，记为为的元素全数，则，将中的 2 的后一项是0 ，且1 的后一项是9 的排列的全体记为，中 2 的后一项是0 ，但1 的后一项不是9 的排列的全体记为，中 1 的后一项是9 ，但 2 的后一项不是0 的排列的全体记为，则，可得，由 B 中排列产生的每一个8 位数，恰对应 B 中的个排列（这样的排列中， 20 可与“2 ，0” 互换，19 可与“1 ，9” 互换），类似地，由 C 或 D 中排列产生的每个8 位数，恰对应 C 或 D 中的 2 个排列，因此满足条件的8 位数的个数为：，故选： B【点睛】方法点睛：此题考查排列组合的应用问题，解决排列组合问题应注意：（ 1 ）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可采用间接法（ 2 ）对于相邻问题采用捆绑法，不相邻问题采用插空法10、 B【分析】由题意知，作辅助线找到，及二面角，四边形为正方形进而得到为等腰三角形，利用所得直角三角形用边表示、，即有它们的等量关系，利用结合二面角，即可求的最大值；【详解】直线与平面，平面所成角均为，与所成角为，而，，又，可知：，若令二面角为，作于，于；过作，过作与交于点；∴ 面，又，，故面，面，即；过作，过作与交于点；∴ 面，又，，故面，面，即；作于，于，连接、，即有，且；∵ ，即，作有四边形为正方形，即，∴ ，有，故为等腰三角形且，令，，则，有，而，∴ ，，又，∴ 当时等号成立故选： B【点睛】本题考查了应用辅助线，根据已知条件以及线面角、线线角、面面角的性质，得到它们的三角函数间等量关系，并化简目标三角函数式，结合二面角的范围求目标式的最值；二、填空题1、【分析】根据正弦定理求出，再利用余弦定理求出.【详解】由正弦定理可知：，又由余弦定理可知：本题正确结果：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题 .2、【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用解直角三角形的正弦函数和正切函数的定义，求得A 的坐标，由斜率公式计算可得所求值．【详解】解：的焦点，准线方程为，如图，设A 在x 轴上的射影为N ，准线与x 轴的交点为M ，由，，可设，，可得，，即有，，则直线AF 的斜率为．故答案为．【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，注意运用解直角三角形，考查方程思想和运算能力，属于中档题．3、 5【分析】建直角坐标系，设，由条件可得点在两圆弧或上，求出，设其为，代入圆弧方程，由可求得结果【详解】解：如图，设，因为与的夹角是，所以，所以点所在的圆中，弧所对的圆心角为，所以点在两圆弧或上，因为，设，把代入中化简得，因为此方程有解，所以即，化简得，解得；把代入中化简得，因为此方程有解，所以即，化简得，解得；所以的最大值为 5【点睛】关键点点睛：此题平面向量的综合应用，属于中档题，解题的关键是建立平面直角坐标系，将向量坐标化，由与的夹角是，利用数形结合和平面几何的知识得点在两圆弧或上，是解此题的突破口4、 9 6【分析】利用对数的运算可得，再利用对数的运算性质即可求解 .【详解】若，则，.故答案为： 9 ； 6【点睛】本题考查对数的运算，需熟记对数的运算性质，属于基础题 .5、28【分析】由，，可得，从而可求出和，进而可求出，再利用等差数列的性质和前项和公式可求出【详解】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以，故答案为：， 286、 80 122【分析】直接利用二项式展开式通项公式求解即可【详解】解：因为 (1+2 x ) 5 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 ，且其展开式的通项公式为所以a 4 80.a+ a 3 + a 5 122.1故答案为： 80 ；122.【点睛】此题考查二项式定理的应用，属于基础题7、【分析】根据的解析式可直接求出，然后分、两种情况解不等式即可 .【详解】因为，所以当时，，所以，解得，所以当时，，所以，此不等式对恒成立所以的取值范围是故答案为：；.【点睛】本题考查的是分段函数，考查了分类讨论的思想，属于基础题 .三、解答题1、 (1)1 ；(2)【分析】（ 1 ）利用倍角公式、辅助角公式化简，再把代入求值；（ 2 ）由，，利用角的配凑法得：，再利用两角差的余弦公式得.【详解】解 : （1 ）因为，所以.（ 2 ）由得，【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、辅助角公式、两角差的余弦公式等，考查角的配凑法，考查运算求解能力 .2、 1/2【详解】(1) 证明: 如图所示, 取A′D 的中点G, 连接GF,GE,由条件易知FG∥CD,FG= CD,BE∥CD,BE= CD,所以FG∥BE,FG=BE,故四边形 BEGF 为平行四边形, 所以BF∥EG.因为 EG⊂平面A′DE,BF⊄平面A′DE,所以BF∥ 平面A′DE.(2) 解: 在平行四边形ABCD 中, 设BC=a,则 AB=CD=2a,AD=AE=EB=a.连接 CE, 因为∠ABC=120°,在△BCE 中, 可得CE= a.在△ADE 中, 可得DE=a.在△CDE 中, 因为CD 2 =CE 2 +DE 2 , 所以CE⊥DE.在正三角形A′DE 中,M 为DE 的中点, 所以A′M⊥DE.由平面A′DE⊥ 平面BCD,可知A′M⊥ 平面BCD,所以A′M⊥CE.取A′E 的中点N, 连接NM,NF,则NF∥CE. 则NF⊥DE,NF⊥A′M.因为 DE 交A′M 于点M, 所以NF⊥平面A′DE,则∠FMN 为直线FM 与平面A′DE 所成的角.在Rt△FMN 中,NF= a,MN= a,FM=a,则cos∠FMN= ,所以直线 FM 与平面A′DE 所成角的余弦值为.3、（ 1 ），；（ 2 ）证明见解析.【分析】先建立等量关系得到，再判断数列是以为首项，为公差的等差数列，最后求和；（ 2 ）先化简，再用裂项相消法求和证明结论 .【详解】（ 1 ）解：设，则.由题意可知：，.两式相减：.易知，故数列是以为首项，为公差的等差数列 .故，.（ 2 ）证明：由题意可知：.故.故命题得证 .【点睛】本题考查函数与数列的关系、等差数列的判断、裂项相消法求和，是中档题 .4、（ 1 ）；（ 2 ）定值为，证明见解析【分析】（ 1 ）设点，根据题意，得到，根据向量数量积的坐标表示，得到，根据其最小值，求出，即可得出椭圆方程；（ 2 ）设，，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，由弦长公式，以及点到直线距离公式，求出的面积的最值，得到；得出点的轨迹为椭圆，即可得出为定值 .【详解】（ 1 ）设点，由题意知，，则，当时，取得最小值，即，，故椭圆的标准方程为；（ 2 ）设，，，由，得，，，则点到直线的距离，，取得最大值，当且仅当即，① 此时，，即，代入① 式整理得，即点的轨迹为椭圆，且点为椭圆的左、右焦点，即，故为定值.【点睛】关键点睛：本题主要考查求椭圆的方程，考查求椭圆中的定值问题，对于第一问，解题的关键是得出，知道当时，取得最小值；对于第二问，直线与曲线的相交问题，常用步骤是设点设方程，联立方程求解，利用韦达定理求出相关量，本题可用来表示出三角形的面积，求出最值，解题的关键是得出点的轨迹为椭圆 .5、（ 1 ）在内单调递减，在内单调递增；（ 2 ）【分析】(1) 求导后取出极值点, 再分, 两种情况进行讨论即可 .(2) 当时得出的一个取值范围 , 再讨论时的情况 , 再对时构造函数两边取对数进行分析论证时恒成立 .【详解】(1) 由, 解得．① 若, 则当时 , , 故在内单调递增；当时 , , 故在内单调递减．② 若, 则当时 , , 故在内单调递增；当时 , , 故在内单调递减．综上所述 , 在内单调递减 , 在内单调递增．(2) , 即．令, 得, 则．当时 , 不等式显然成立 ,当时 , 两边取对数, 即恒成立．令函数, 即在内恒成立．由, 得．故当时 , , 单调递增；当时 , , 单调递减 .因此．令函数, 其中,则, 得,故当时 , , 单调递减；当时 , , 单调递增．又, ,故当时 , 恒成立 , 因此恒成立 ,即当时 , 对任意的, 均有成立．【点睛】本题主要考查了利用求导解决含参的函数的单调性问题以及在区间上恒成立求参数的范围的问题 , 需要构造函数讨论函数的单调性进行求解, 属于难题.。
2020年浙江省高考数学试卷(解析版)
为
当 时，则 ， ，要使 ，必有 ，且 ，
即 ，且 ，所以 ；
当 时，则 ， ，要使 ，必有 .
综上一定有 .
故选：C
【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.
10.设集合S，T，S N*，T N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
【详解】依题意 是空间不过同一点的三条直线，
当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交.
当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定一个平面 ，而 ，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面.
综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理 和公理 的运用，属于中档题.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
5.某几何体 三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（I） ；（II）
【解析】
【分析】
（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B的大小；
2020年浙江省高考数学试卷(解析版)
球的体积公式
其中 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合P= ， ，则P Q=（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合交集定义求解.
【详解】
故选：B
【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
如果事件A，B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
台体的体积公式
其中 分别表示台体的上、下底面积， 表示台体的高
柱体的体积公式
其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高
锥体的体积公式
其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高
2.已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（）
A. 1B. –1C. 2D. –2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数为实数列式求解即可.
【详解】因为 为实数，所以 ，
故选：C
【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
3.若实数x，y满足约束条件 ，则z=x+2y的取值范围是（）
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
2020届浙江省普通高校招生学业水平考试数学试题及答案解析版
2020届浙江省普通高校招生学业水平考试数学试题及答案解析版一、单选题1．已知集合{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则A B =（）A ．{}4B ．{}1,6C ．{}2,4D ．{}1,2,4,6【答案】D【解析】根据集合的并集运算,即可求解. 【详解】因为集合{}1,2,4A =,{}2,4,6B = 由集合的并集定义可知{}1,2,4,6A B =故选:D 【点睛】本题考查了集合的并集运算,属于基础题. 2．()tan a π-=（ ） A ．tan a - B ．tan a C ．tan a ±D ．1tan a【答案】A【解析】根据诱导公式,化简即可求解. 【详解】 由诱导公式可知()tan a π-tan a =-故选:A本题考查了诱导公式的简单应用,属于基础题. 3．66log 2log 3+=（ ） A ．0 B ．1 C ．6log 5 D ．12log 5【答案】B【解析】根据对数的运算及常数对数的值即可求解. 【详解】根据对数的运算性质可知66log 2log 3+()6log 23=⨯6log 61==故选:B 【点睛】本题考查了对数的运算性质的简单应用,属于基础题. 4．圆22280x y x ++-=的半径是（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】B【解析】将圆的一般方程化为标准方程,即可求得圆的半径. 【详解】因为圆22280x y x ++-= 化为标准方程可得()2219x y ++=所以圆的半径为3 故选:B本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的标准方程的性质,属于基础题. 5．不等式12x -<（ ）A ．{}13x x -<<B ．{}13x x <<C ．{1x x <-或}3x >D ．{1x x <或}3x > 【答案】A【解析】根据绝对值不等式,分类讨论解不等式即可求解. 【详解】 不等式12x -<当1x ≥时,不等式可化为12x -<,即3x <.所以13x ≤< 当1x <时,不等式可化为12x -<,即1x -<.所以11x -<< 综上可知,不等式的解集为13x ,即{}13x x -<<故选:A 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论解绝对值不等式,属于基础题.6．椭圆221259x y +=的焦点坐标是（）A ．()5,0-，()5,0B ．()0,5-，()0,5C ．()4,0-，()4,0D ．()0,4-，()0,4【答案】C【解析】根据椭圆的标准方程,先判断出焦点位置并求得,a b .再根据椭圆中a b c 、、的关系即可求得焦点坐标.椭圆221259x y +=所以为焦点在x 轴上,且2225,9a b == 由椭圆中222a b c =+ 可得22225916c a b =-=-= 因而4c =所以焦点坐标为()4,0-,()4,0 故选:C 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及简单性质,椭圆中a b c 、、的关系及焦点坐标求法,属于基础题.7．若实数x ，y 满足不等式组0,0,2,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则2x y +的最大值是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】根据不等式组,画出可行域,由可行域即可求得线性目标函数的最大值. 【详解】根据所给不等式组,画出可行域如下图所示:将12y x =-平移即可得目标函数122zy x =-+因而当经过点()0,2A 时,目标函数的截距最大 此时20224z x y =+=+⨯= 所以2x y +的最大值是4 故选:D 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数的最值求法,属于基础题.8．已知直线l 和平面α，若//l α，P α∈，则过点P 且平行于l 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B ．只有一条，且在平面α内C ．有无数条，一定在平面α内D ．有无数条，不一定在平面α内 【答案】B【解析】假设m 是过点P 且平行于l 的直线， n 也是过点P 且平行于l 的直线，则与平行公理得出的结论矛盾，进而得出答案. 【详解】假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n ，则m ∥l 且n ∥l 由平行公理得m ∥n ，这与两条直线m 与n 相交与点P 相矛盾，故过点P 且平行于l 的直线只有一条，又因为点P 在平面内，所以过点P 且平行于l 的直线只有一条且在平面内． 故选B 【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面的位置关系．过一点有且只有一条直线与已知直线平行．9．过点()3,1A -且与直线230x y +-=垂直的直线方程是（ ）A ．210x y ++=B ．210x y +-=C ．270x y -+=D ．270x y --=【答案】D【解析】根据直线垂直时的斜率关系,先求得直线的斜率.再由点斜式即可求得直线方程,进而化为一般式可得解. 【详解】因为直线230x y +-=可化为1322y x =-+ 当直线垂直时的斜率乘积为1,所以2k = 因为经过点()3,1A -由点斜式可知直线方程为()123y x +=-化简可得270x y --= 故选:D 【点睛】本题考查了垂直直线的斜率关系,点斜式方程的用法,将方程化为一般式的方法,属于基础题.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若60A =︒，45B =︒，3a =则b =（） A ．1 BC ．2D【答案】D【解析】根据正弦定理,即可求得b 的值. 【详解】在ABC ∆中, 角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c 若60A =︒,45B =︒,3a = 由正弦定理可知sin sin a bA B = 代入可得3sin 60sin 45b =解得b故选:D 【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用,属于基础题.11．函数()sin f x x x =⋅的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性及特殊值,可判断函数的图像. 【详解】 因为()sin f x x x =⋅而()g x x =为偶函数, ()sin h x x =为奇函数,所以()sin f x x x =⋅为奇函数,所以排除C,D.当0.001x =时, ()0.0010.0010.0010g ==>,()0.001sin0.0010h =>,所以()0.0010.001sin0.0010f =⋅>,所以排除B 选项.故选:A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图像,利用函数的奇偶性、单调性和特殊值,可排除选项,属于基础题. 12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．13B ．23C ．1D ．2【答案】B【解析】根据三视图,还原出空间几何体,即可求得该几何体的体积. 【详解】由三视图可知,该几何体为三棱锥,其空间结构体如下图所示:则由三视图中的线段长度可知12112ABC S ∆=⨯⨯=则121233P ABC V -=⨯⨯=故选:B 【点睛】本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体,棱锥的体积求法,属于基础题.13．设,a b ∈R ，则“0a b +>”是“330a b +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据立方和公式,结合充分必要条件的判断即可得解. 【详解】因为()()()223322324b b a b a b a ab b a b a ⎡⎤⎛⎫+=+-+=+-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当0a b +>时,223024b b a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭,所以330a b +>.即“0a b +>”是“330a b +>”的充分条件.当330a b +>时,由于223024b b a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭成立,所以0a b +>,即“0a b +>”是“330a b +>”的必要条件.综上可知, “0a b +>”是“330a b +>”的充要条件 故选:C 【点睛】本题考查了立方和公式的用法,充分必要关系的判断,属于基础题.14．设1F ，2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b -=>的左、右焦点.若双曲线上存在一点P ，使得124PF PF =，且1260F PF∠=︒，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．3C D【答案】B【解析】根据双曲线的定义及124PF PF =,用a 表示出12PF PF 、,再在三角形12F PF 中由余弦定理求得a c 、的关系,进而求得离心率. 【详解】1F ,2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左、右焦点,且双曲线上的点P 满足124PF PF =所以121224PF PF a PF PF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得128323a PF a PF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为1260F PF∠=︒,122F F c =所以在三角形12F PF 中由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠,代入可得2222644821499332a a c a a =⨯⨯⨯+- 化简可得22913c a=,即222139c ea==所以e =故选:B 【点睛】本题考查了双曲线的定义,利用余弦定理解三角形,双曲线离心率的求法,属于基础题.15．点P 从O 出发, 按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周, 点O 、P 的距离（y ）与点P 走过的路程(x )的函数关系如图所示.那么点P 所走过的图形是图中的( ).A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【详解】易知, 选项(A)、(B)的图像是若干条线段组成的折线;选项(D)中当点P 走过的路程为2lx =时，OP 不是最大值(过点P 作OP 的垂线交椭圆于点P′, 显然, OP′>OP);选项(C)中πsin πl xy l=, 其图像如图.选C.16．设数列{}n a 满足11a =，2212n n a a -=+，2121n n a a +=-，*n N ∈，则满足4n a n -≤的n 的最大值是（ ） A ．7 B ．9 C ．12 D ．14【答案】C【解析】根据数列{}n a 满足的条件,讨论n 的奇偶性,即可求得解析式.根据解析式解绝对值不等式即可求得满足条件的n 的最大值. 【详解】数列{}n a 满足11a =,2212n n a a -=+,2121n n a a +=-23a =则21211n n a a +--=则当n ∈奇数时, 12n n a +=所以4n a n -≤,代入可得142n n +-≤,解不等式可得79n -≤≤ 而*n N ∈,所以此时n 的最大值是9 则当n ∈偶数时, 22n n a =+所以若4n a n -≤,代入可得242nn +-≤,解不等式可得412n -≤≤ 而*n N ∈,所以此时n 的最大值是12 综上可知, n 的最大值是12 故选:C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求法,对奇偶项分类讨论数列的性质,绝对值不等式的解法,属于中档题.17．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线2x y =和2log y x =上的动点，记1I AQ AB =⋅，2I BP BA =⋅.（ ） A ．若12II =，则()PQ AB R λλ=∈B ．若12II =，则AP BQ =C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I = D ．若AP BQ=，则12II =【答案】C【解析】根据题意,由向量数量积和投影的定义,结合平面向量共线的性质即可判断选项. 【详解】根据题意,在直线AB 上取','P Q ,且''AP BQ =.过','P Q 分别作直线AB 的垂线,交曲线2x y =于12,P P 和交2log y x =于12,Q Q .在曲线2x y =上取点3P ,使13AP AP =.如下图所示:1cos 'I AQ AB AQ AB QAB AQ AB =⋅=⋅∠=⋅2cos 'I BP BA BP BA PBA BP BA=⋅=⋅∠=⋅若''AP BQ =,则''AQ BP =若12II =,则''AQ BP =即可.此时P 可以与1P 重合,Q 与2Q 重合,满足题意,但是()PQ AB R λλ=∈不成立,且AP BQ≠所以A 、B错误;对于C,若()PQ AB R λλ=∈,则PQ AB ∥,此时必有1P 与1Q 对应(或2P 与2Q ),所以满足12I I =,所以C 正确;对于D,对于点3P ,满足13AP AP =,但此时3P 在直线AB 上的投影不在P'处,因而不满足''AQ BP =,即12I I ≠,所以D 错误综上可知,C 为正确选项 故选:C 【点睛】本题考查了平面向量数量积的意义及向量投影的应用,向量共线的特征和性质,综合性强,较为复杂,属于难题. 18．如图，在圆锥SO 中，A ，B 是O 上的动点，BB '是O的直径，M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（）A ．56π B ．23πC ．2πD ．4π【答案】B【解析】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角N OA B --与M AB B '--夹角的余弦值.结合αβ≤即可求得θ的取值范围,即可得θ的最大值. 【详解】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则由()0AOB θθπ∠=<<可得()()()0,0,0,,0,0,0,0,O B r S a ,()()cos ,sin ,0,',0,0A r r B r θθ-M ,N 是SB 的两个三等分点则22,0,,,0,3333ra r a M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()2cos ,sin ,0,,0,33r a OA r r ON θθ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 设平面NOA 的法向量为()111,,m x y z =则00m OA m ON ⎧⋅=⎨⋅=⎩,代入可得()()()111111,,cos ,sin ,002,,,0,033x y z r r r a x y z θθ⎧⋅=⎪⎨⎛⎫⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得1111cos sin 02033x r y r x r az θθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =,解得11cos 2,sin ry z aθθ=-=-所以cos 21,,sin r m a θθ⎛⎫=--⎪⎝⎭ 平面OAB 的法向量为()0,0,1n =由图可知, 二面角N OA B --的平面角α为锐二面角,所以二面角N OA B --的平面角α满足cos 1m n m nα⋅==⋅+设二面角M AB B '--的法向量为()222,,k x y z =()2'cos ,sin ,0,cos ,sin ,33ra B A r r r AM r r θθθθ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭则'00k B A k AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩代入可得()()()222222,,cos ,sin ,002,,cos ,sin ,033x y z r r r r a x y z r r θθθθ⎧⋅+=⎪⎨⎛⎫⋅--= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得2222222cos sin 02cos sin 033x r x r y r x r az x r y r θθθθ++=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令21x =,解得221cos 2,sin ry z aθθ--==-所以1cos 21,,sin r k a θθ--⎛⎫=-⎪⎝⎭ 平面AB B '的法向量为()0,0,1h =由图可知, 二面角M AB B '--的平面角β为锐二面角,所以二面角M AB B '--的平面角β满足cos 1k h k hβ⋅==⋅⎛+由二面角的范围可知0αβπ≤≤≤结合余弦函数的图像与性质可知cos cos αβ≥≥化简可得1cos 2θ≤-,且0θπ<<所以203πθ<≤所以θ的最大值是23π故选:B 【点睛】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直角坐标系,求得平面的法向量,即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂,属于难题.二、填空题19．设等比数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若22a =，34a =，则1a =______，4S =______. 【答案】1 15【解析】根据等比数列的通项公式,可求得1a 与q .再求得4a ,即可求得4S 的值. 【详解】因为数列{}n a 为等比数列,由等比数列的通项公式可知11n n a a q -=而22a=,34a =所以2123124a a q a a q ==⎧⎨==⎩,解方程组可得112a q =⎧⎨=⎩所以3341128a a q ==⨯= 所以41234+++S a a a a =124815=+++=故答案为:1;15 【点睛】本题考查了等比数列通项公式的简单应用,前n 项和的求法,属于基础题.20．设u ，v 分别是平面a ，β的法向量，()1,2,2u =-，()2,4,v m =--.若a β∥，则实数m =______. 【答案】4【解析】根据两个平面平行时,其法向量也平行,即可求得参数m 的值.因为a β∥,且u ,v 分别是平面a ,β的法向量 则u v ∥因为()1,2,2u =-,()2,4,v m =-- 所以存在λ,满足u v λ= 则()()1,2,22,4,m λ-=--即12242m λλλ=-⎧⎪=-⎨⎪-=⎩解得124m λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以4m = 故答案为:4 【点睛】本题考查了平面平行时法向量的关系,平行向量的坐标表示及关系,属于基础题.21．在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖臑（biēnào ）是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角ABC ∆中，AD 为斜边BC 上的高，3AB =，4AC =，现将ABD ∆沿AD 翻折AB D '∆，使得四面体AB CD '为一个鳖臑，则直线B D '与平面ADC 所成角的余弦值是______.【答案】916【解析】作'B M CD ⊥于交CD 于M ,可证明'B M ⊥平面ACD ,则'B DM ∠即为B D '与平面ADC 的夹角.根据线段关系即可求解.作'B M CD ⊥于交CD 于M因为,'AD CD AD DD ⊥⊥ 且'CD DD D ⋂= 所以AD ⊥平面'DB C 而AD ⊂平面ACD 所以平面ACD ⊥平面'DB C又因为平面ACD 平面'DB C DC =,且'B M CD ⊥ 所以'B M ⊥平面ACD则'B DM ∠即为B D '与平面ADC 的夹角 因为直角ABC ∆中,3AB =,4AC = 所以229165BC AB AC +=+=341255AB AC AD BC ⨯⨯===则22221216455DC AC AD ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以169'555DB BC DC =-=-= 在直角三角形'B DC 中,9'95cos 'cos '16165DB B DM B DC DC ∠=∠=== 故答案为:916【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面的夹角求法,直线与平面垂直关系的判定,对空间想象能力和计算能力要求较高,属于中档题. 22．已知函数()226f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[]2,b 上恰有两个零点，则实数b 的最小值是______.【答案】2+【解析】根据函数()f x 存在a R ∈在[]2,b 上恰有两个零点,则求得当2x =时满足条件的a .再由当x b =时取到零点,即可求得b 的值. 【详解】 因为函数()226f x x ax =+--,()f x 在[]2,b 上恰有两个零点则必在2x =与x b =时恰好取到零点的边界 若2x =时,()f x 的零点满足()2222260f a =+--=解方程求得2a =或4a =- 当2a =时, ()2226f x x x =+--,满足()f x 在[]2,b 上恰有两个零点 则()22260f b bb =+--=,且2b >解方程可得2b =(舍)或4b =-(舍) 当4a =-时, ()2426f x x x =---,满足()f x 在[]2,b 上恰有两个零点 则()24260f b bb =---=,且2b >解方程可得2b =-(舍)或2b =+综上可知,当2b =+()f x 在[]2,b 上恰有两个零点故答案为:2+【点睛】本题考查了含绝对值函数零点的分类讨论,注意恰有两个零点条件的应用,根据边界取等时能刚好取得,属于中档题.三、解答题23．已知函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R （Ⅰ）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期； （Ⅲ）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（Ⅰ）3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭Ⅱ）π（Ⅲ）⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（Ⅰ）将3π代入解析式,即可求得3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. （Ⅱ）根据正弦的二倍角公式化简后,即可求得()f x 的最小正周期.（Ⅲ）根据正弦函数的图像与性质,可求得()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 【详解】（Ⅰ）2sin cos 33636f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12sin cos 266222ππ==⨯⨯=即3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（Ⅱ）因()sin 2sin 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故()f x 的最小正周期22T ππ== （Ⅲ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦因此当233x ππ-=-,即0x =时,()3min f x =-当232x ππ-=,即512x π=时,()max 1f x =所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了正弦函数的求值,正弦函数的图像与性质简单应用,属于基础题.24．如图，设抛物线21C x y =与()22:20C y px p =>的公共点M 的横坐标为()0t t >，过M 且与1C 相切的直线交2C 于另一点A ，过M 且与2C 相切的直线交1C 于另一点B ，记S 为MBA ∆的面积.（Ⅰ）求p 的值（用t 表示）；（Ⅱ）若1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求t 的取值范围. 注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切.【答案】（Ⅰ）32t p =；（Ⅱ）24,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】（Ⅰ）将M 的横坐标为t 代入抛物线1C 解析式可得()2,M t t ,再代入抛物线2C 解析式,化简即可用t 表示p 的值.（Ⅱ）设出点A 的坐标,结合M 的坐标即可表示出直线MA 的方程.联立抛物线1C ,根据相切时判别式0∆=可得2kt ,表示出直线MA 的方程.利用两点式表示出直线MA 的斜率,即可用t 表示出点A 的坐标.同理可求得B 点的坐标.进而利用两点间距离公式表示出MB ,利用点到直线距离公式求得A 到直线MB 的距离,即可表示出MBA ∆的面积S .结合S 的取值范围,即可求得t 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）因点M 在抛物线1C :2x y =上,故()()2,0M t t t >又点M 在抛物线2C ：()220y px p =>上,故()222t pt =,则32t p =（Ⅱ）设点()11,A x y ,直线MA 的方程为()2y k x t t =-+联立方程组22(),,y k x t t x y ⎧=-+⎨=⎩消去y ,得220x kx kt t -+-=则()()222420k kt t k t ∆=--=-=因此2kt即直线MA 的方程为22y tx t =-则直线MA 的斜率223112211132y t y t t k ty x t y t tt --====-+- 从而212t y =-,即2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭同理,直线MB 的方程为222t t y x =+,点2,24t t B ⎛⎫- ⎪⎝⎭因此2t MB t =-=点2,42t t A ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线MB ：2022t t x y -+=的距离29t d ==故MBA ∆的面积23911272232t t S MB d ===即32732t S =因为1,24S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即31272432t ≤≤ 解得24,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,利用韦达定理分析直线与抛物线的交点问题,两点间距离公式及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题.。
2020年10月自考试卷及答案解析高等数学(四)浙江
12018年10月自考试卷高等数学(四)浙江省课程代码：06604一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.二元函数z=2211-y -x 的定义域为( )A.{(x, y)|x2+y2＞1}B.{(x, y)|x2+y2≥1}C.{(x, y)|x2+y2＜1}D.{(x, y)|x2+y2≤1} 2.x x x ||lim 0-→( )A.等于1 B .等于-1C.等于0D.不存在3.函数y=ln(1+x2)单调增加区间为( )A.(-5,5)B.(0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,+∞)4.设函数f (x)为连续函数，则［⎰x x f d )(］′=( )A.f ′(x)B.f (x)+CC.f (x)dxD.f (x) 5.⎰+∞=+02d 11x x ( ) A.2πB.-2πC.+∞D.-∞2 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.xx x 10)31(lim +→=_________.7.函数y=x xsin 的间断点为_________.8.曲线y=(x-1)3在点(1,0)的切线方程为_________.9.已知函数y=ln cos x ，则y ′=_________.10.已知函数f (x)在x=x0处可导且取得极值，则f ′(x0)=_________.11.曲线y=x-x 1的凹区间为_________.12.曲线y=312-+x x的水平渐近线方程为_________. 13.已知f (x)=⎰-x t t0d e ，则f ′(0)=_________. 14.⎰-+x x x d )12(2=_________. 15.⎰-+1142d 1sin x x x x =_________.三、计算题（本大题共9小题，16—22题，每小题6分，23—24题，每小题5分，共52分）16.求202e e lim x x x x -+-→.17.求函数y=sin x3+sin 3x 的微分.18.求由方程y=1-xey 所确定的隐函数y 的导数x yd d .19.求⎰+x x x d 1. 20.求⎰x x x d e .21.求⎰π2sin dcose xxx.22.求函数z=x2+y的全微分.23.已知函数f (x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+11sinxkxxx，问k取何值时f (x)在点x=0处连续?24.求由曲线y=x2与直线y=x所围成的平面图形的面积.四、应用题（本大题8分）25.将一长为1米的铁丝分成两段，一段弯成正方形，另一段弯成一个圆周.问两段各为多长时，才能使所得正方形与圆的面积的和最小？3。
【2020高 考浙江卷数学真题】2020年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学试卷含答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟.考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合P =，，则P Q =（ ）{|14}<<x x {}23Q x =<< A.B. {|12}x x <≤{|23}x x <<C.D.{|34}x x ≤<{|14}<<x x 2.已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ）A. 1B. –1C. 2D. –23.若实数x ，y 满足约束条件，则z =2x +y 的取值范围是（ ） 31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩A. B. C. D. (,4]-∞[4,)+∞[5,)+∞(,)-∞+∞4.函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，+π]的图象大致为（ ）A. B.C. D.5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A. B. C. 3 D. 6731436.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，．记b 1=S 2，b n+1=S n+2–S 2n ，，下列等式不可能11a d ≤n *∈N 成立的是（ ）A. 2a 4=a 2+a 6B. 2b 4=b 2+b 6C.D. 2428a a a =2428b b b =。
2020年浙江省中考数学学业水平测试试卷附解析
2020年浙江省中考数学学业水平测试试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．一个物体从坡顶A 点出发，沿坡比为 1:7的斜坡直线运动到底端点 B ，当 AB=30m 时，物体下降了（ ）A ．307 mB ．308mC ．D ． 以上均不对2．如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，则CDE △的周长为（ ）A ．5cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm 3．在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点0，那么能通过绕点0旋转达到重合的三角形有 （ ）A ．2对B ．3对C 4对D ．5对 4．关于x 的一元二次方程22(3)60a x x a a -++--=的一个根是 0，则a 的值为（ ）A ．2-B ．3C ．-2 或 3D ．-1或 6 5．下列判断中，正确的是（ ）A ．顶角相等的两个等腰三角形全等B ．腰相等的两个等腰三角形全等C ．有一边及锐角相等的两个直角三角形全等D ．顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等6．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）A ．过顶点的直线B ．底边上的高所在的直线C ．顶角平分线所在的直线D ．腰上的高所在的直线7．若（x-y ）2+N=（x+y ）2,则N 为（ ）A ．2y 2B ． -2y 2C ．2xyD ．4xy8．一个暗箱里装有10个黑球，8个白球，12个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（ ）A ． 13B ． 18C ． 415D ． 4119．下列英文字母中是轴对称图形的是（ ）A ．SB ．HC ．PD ．Q10 ）A． 9 B．±９C． 3 D．3±二、填空题11．已知点(1，3)是双曲线myx=与抛物线y=2(1)y x k x m=+++的交点，则k的值等于．12．若252my x-=是反比例函数，则m= ．13．统计八年级部分同学的跳高测试成绩，得到如下频数分布直方图（图1）：则跳高成绩在1.29m以上的同学估计占八年级总人数的百分之．（精确到1%）14．某日天气的最高气温是15℃，气温的极差为10℃，则该日的最低气温是℃.15．按要求写出一个图形的名称．(1）是轴对称但不是中心对称的图形；(2）是中心对称但不是轴对称的图形；(3）既是轴对称又是中心对称的图形．16．小宁将如图①所示的长方形沿一条对角线剪开，拼成如图②的形状，若原来的长方形的两边长分别为3和4，则右图中的四边形较长的对角线为．解答题17．当2x=-时，二次根式122x-的值为．18．用适当的不等号填空：||a a；21x+ 0．19．如图，有反比例函数1yx=，1yx=-的图象和一个圆，则S=阴影．20．下列各图中，经过折叠恰好能够围成一个正方体的是．(横线上填该图的相应的代码)21．方程组233410x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是 ,方程组23431y xx y=-⎧⎨-=⎩的解是．三、解答题22．如图所示，要测量河对岸一铁塔的高度，小明在A处测得塔顶D 的仰角为 30°，向塔前进50 m 到达 B 处，测得塔顶的仰角为 45°，小明测得的塔高 CD 是多少？ (精确到0.1m)23．如图所示，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽 6m ，坝高 lOm ，斜坡AB 的坡度为 1：2，现要加高 2m ，在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下，加固一条长50m 的大坝，需要多少土？24．如图，四边形ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点（点G 与B 、C 不重合），AE ⊥DG 于E ，CF ∥AE 交DG 于F.(1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2）求证：AE=FC+EF.25．红星中学团委为汶川地震灾区组织献爱心捐献活动，小明对本班同学的捐款情况进行了统计，其中捐10元的人数占全班总人数的%40．小明还绘制了频数分布直方图．(1)请求出小明所在班级同学的人数；(2)本次捐款的中位数是____元；A B CD E F G(3)请补齐频数分布直方图．26．如图，如果∠1 是它的补角的5倍，∠2的余角是∠2的2倍，那么AB∥CD吗？为什么？27．已知某铁路桥长 800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用45秒，整列火车完全在桥上的时间是35秒，求火车的速度和长度.28．某校七年级甲、乙两个班共103人（其中甲班超过50人，乙班不足50人）去景点游玩，如果两班都以班为单位分别购票，那么一共需付486元．购票人数（人）1-50人51-100人100人以上每人门票单价5元 4.5元4元1．两班分别有多少名学生？2．若两班联合起来，作为一个团体购票，可以节约多少钱？29．如图所示，已知AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，F是CD的中点，说出AF是CD的中垂线的理由．解：连结AC，AD，在△ABC和△AED中，AB=AE(已知)，∠B=∠E(已知)，BC=ED(已知)，∴△ABC≌△AED(SAS)．∴AC=AD(全等三角形的对应边相等)．请把后面的过程补充完整：30．某商场出售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为l度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10％，但是每日耗电量为0．55度，现将A型冰箱打折出售，问商场至少打几折，消费者购买才合算?(按使用期为10年，每年365天，每度电0．40元计算)【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．D3．A4．A5．D6．C7．D8．C9．B10．C二、填空题11．一2.12．m=2 或一2.13．约61%14．515．等腰三角形，平行四边形，正方形16．17．．≥，＞19．2π 20．c 、f 、g21．21x y =⎧⎨=⎩，45x y =⎧⎨=⎩三、解答题22．设 CD=x,则,AC-BC=50,50x -=,1)x ==25 2.73268.3≈⨯= ∴CD=68. 3(m) 23．据题意作出加固后的坝体横断面(如图中等腰梯形 CFEP)，过A 点作AH ⊥BC 于 H ，过E 点作 EM ⊥BC 于M ，则BH=2AH=20m.∴BC=2BH+AD=46m,1(646)102602AECD S =⨯+⨯=梯形(m 2), ∵EF=AD= 6 m,EM= 12 m, PM=24m.510152010元20元50元100元捐款金额人数∴PC=54m,∴1(654)123602PCEF S =⨯+⨯=梯形(m 2), ∴加的面积为 360—260=100(m 2),∴应增加100×50= 5000(m 3)土．24．(1) ΔAED ≌ΔDFC.∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ AD=DC ，∠ADC=90º.又∵ AE ⊥DG ，CF ∥AE ，∴ ∠AED=∠DFC=90º,∴ ∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90º，∴ ∠EAD=∠FDC.∴ ΔAED ≌ΔDFC (AAS ）.(2) ∵ ΔAED ≌ΔDFC ，∴ AE=DF ，ED=FC.∵ DF=DE+EF ，∴ AE=FC+EF25．解：(1)∵50%4020=÷∴小明所在班级同学有50人；(2)∵3525020=+，∴本次捐款的中位数是35元； (3) 如图： 26．AB ∥CD ． 理由：设∠l 的度数为x,则x=5×(180°-x),解得x=150°． 同理，∠2的度数为30°∵∠l+∠2=150°+30°=180°，∴AB ∥CD 27． 火车的速度是x 米 /秒，火车的长度是y 米.则4580035800x y x y =+⎧⎨=-⎩，解这个方程组，得20100x y =⎧⎨=⎩. 经检验，这个解是原方程组的解，且符合题意.答：火车的速度是20米/秒，火车的长度是 100.28．(1)设甲班有x 名学生，乙班有y 名学生．根据题意得：⎩⎨⎧=+=+48655.4103y x y x ，解得：⎩⎨⎧==4558y x(2)744103486=⨯- ． 29． 略30． 8折。
2020年 全国普通高等学校招生统一考试数学试卷 浙江卷 (含答案)
2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷（浙江卷)数 学一、选择题1.已知集合{}=14P x x <<，则=P Q ( ) A. {}12x x <≤B. {}23x x <<C. {}23x x <≤D. {}14x x <<2.已知a R ∈，若()12a a i -+-（i 为虚数单位）是实数，则a =( ) A.1B.-1C.2D.-23.若实数,x y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是( )A.(],4-∞B.[)4,+∞C.[)5,+∞D.(),-∞+∞4.函 数cos sin y x x x =+在区间[-π,+π]的图像大致为( ) A. B.C. D.5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）是( )A.73B.143C. 3D. 66.已知空间中不过同一点的三条直线 ,,m n l 则“,,m n l 在同一平面” 是“,,m n l 两两相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知等差数列{}n a 的前n 项的和n S ，公差0d ≠，11a d≤.记12122,,,n n n b S b S S n N *++==-∈下列等式不可能成立的是( )A.4262a a a =+B.4262b b b =+C.2428a a a = D .2428b b b =8.已知点()0,0O , ()2,0A -,()2,0B .设点P 满足2PA PB -=，且P 为函数234y x =-OP =( )A.2224107109.已知,0a b R ab ∈≠且，若()()()20x a x b x a b ----≥在0x ≥上恒成立，则( ) A.0a <B.0a >C.0b <D.0b >10.设集合S,T ，*S N ⊆,*T N ⊆,S,T 中至少有两个元素，且S,T 满足： ①对于任意,x y S ∈，若x y ≠，都有xy T ∈；②对于任意,x y T ∈，若x y <，则y S x∈，下列命题正确的是( ) A.若S 有4个元素，则S T ⋃有7个元素 B.若S 有4个元素，则S T ⋃有6个元素C.若S 有3个元素，则S T ⋃有4个元素D.若S 有3个元素，则S T ⋃有5个元素 二、填空题11.已知数列{}n a 满足(1)2n n n a +=，则3=S ______. 12.设5234512345612x a a x a x a x a x a x +=++++++（），则5a =_______；123a a a ++=-_______.13.已知tan θ=2，则cos2θ=______；πtan()4θ- =______.14.已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为______.15.设直线():0l y kx b k =+>，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ,2C 都相切,则k =______;b =______.16.一个盒子里有 1个红 1个绿 2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则()0P ξ== ；()E ξ=.17.设1e ，2e 为单位向量，满足1222e e -≤，12a e e =+， 123b e e =+，设,a b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为.三、解答题18.在锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin 3b A a =. （Ⅰ）求角B（Ⅱ）求cos cos cos A B C ++的取值范围。
2020年10月浙江-中考数学-二次函数-答案
2020年浙江中考数学一模二模考试试题分类（杭州专版）（4）——二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2020•上城区二模）已知函数y1＝ax2﹣4ax+c（a＞0），当1≤x≤4时，则﹣1≤y1≤3；当1≤x≤4时，y2＝﹣ax2+4ax+c的取值范围是（）A．3≤y2≤7B．3≤y2≤6C．16≤y2≤19D．7≤y2≤19【答案】A【解答】解：∵y1＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a+c，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，c﹣4a），∵当1≤x≤4时，则﹣1≤y1≤3，∴c﹣4a＝﹣1，当x＝4时，y＝16a﹣16a+c＝3，∴c＝3，∴a＝1，∵y2＝﹣ax2+4ax+c∴y2＝﹣x2+4x+3═﹣（x﹣2）2+7，∴抛物线y2的对称轴为直线x＝2，∵1≤x≤4，∴在此范围内，当x＝2时，y2取最大值为7，当x＝4时，y2取最小值为﹣4+7＝3，∴3≤y2≤7．故选：A．2．（2020•萧山区模拟）已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＜0，m＞0．此时二次函数y1＝mx2+n 的图象应该开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，故选项符合题意；B、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＞0，m＜0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意；C、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＜0，m＜0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向下，抛物线与y轴交于负半轴，故本选项不符合题意；D、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＞0，m＞0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象开口向上，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意；故选：A．3．（2020•余杭区一模）已知二次函数y＝ax2+2ax+3a﹣2（a是常数，且a≠0）的图象过点M（x1，﹣1），N（x2，﹣1），若MN的长不小于2，则a的取值范围是（）A．a≥B．0＜a≤C．﹣≤a＜0D．a≤﹣【答案】B【解答】解：令y＝﹣1，得y＝ax2+2ax+3a﹣2＝﹣1，化简得，ax2+2ax+3a﹣1＝0，∵二次函数y＝ax2+2ax+3a﹣2（a是常数，且a≠0）的图象过点M（x1，﹣1），N（x2，﹣1），∴△＝4a2﹣12a2+4a＝﹣8a2+4a＞0，∴0＜a＜，∵ax2+2ax+3a﹣1＝0，∴x1+x2＝﹣2，，∴，即MN＝，∵MN的长不小于2，∴≥2，∴a≤，∵0＜a＜，∴0＜a≤，故选：B．4．（2020•下城区一模）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，说法正确的是（）A．若图象经过点（0，1），则﹣＜a＜0B．若x＞﹣时，则y随x的增大而增大C．若（﹣2020，y1），（2020，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2D．若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则≤m＜2【答案】C【解答】解：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，∵a＜0，1＜m＜2，∴﹣1＜a＜﹣，故选项A错误；∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），a＜0，∴该函数的对称轴为直线x＝，∴0＜＜，∴当x＜时，y随x的增大而增大，故选项B错误；∴若（﹣2020，y1），（2020，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2，故选项C正确；∴若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤，故选项D错误；故选：C．5．（2020•富阳区一模）已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+＝0的根的情况是（）A．无实数根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根【答案】D【解答】解：函数y＝ax2+bx+c向上平移个单位得到y′＝ax2+bx+c+，而y′顶点的纵坐标为﹣2+＝﹣，故y′＝ax2+bx+c+与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧，故ax2+bx+c+＝0有两个同号不相等的实数根，故选：D．6．（2020•萧山区模拟）如图，抛物线y＝x2﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．B．C．3D．2【答案】D【解答】解：令y＝x2﹣1＝0，则x＝±3，故点B（3，0），设圆的半径为r，则r＝1，当B、D、C三点共线，且点D在BC之间时，BD最小，而点E、O分别为AD、AB的中点，故OE是△ABD的中位线，则OE＝BD＝（BC﹣r）＝（﹣1）＝2，故选：D．7．（2020•西湖区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC 的面积S关于边长c的函数关系式为（）A．S＝B．S＝C．S＝D．S＝【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴a2+b2＝c2，∵Rt△ABC的面积S，∴S＝ab，∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，∴c2+4S＝25，∴S＝．故选：A．8．（2020•西湖区一模）设函数y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若当x＜m时，y随着x的增大而增大，则m 的值可以是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【答案】D【解答】解：∵k＜0，∴函数y＝kx2+（4k+3）x+1的图象在对称轴直线x＝﹣的左侧，y随x的增大而增大．∵当x＜m时，y随着x的增大而增大∴m≤﹣，而当k＜0时，﹣＝﹣2﹣＞﹣2，所以m≤﹣2，9．（2020•拱墅区模拟）已知二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，它的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，∴当x＝0时，y＝0，即该函数的图象过点（0，0），故选项A错误；该函数的顶点的横坐标为﹣＝﹣，当m＞0时，该函数图象开口向上，顶点的横坐标小于，故选项B正确，选项C错误；当m＜0时，该函数图象开口向下，顶点的横坐标大于，故选项D错误；故选：B．10．（2020•拱墅区一模）关于x的二次函数y＝x2+2kx+k﹣1，下列说法正确的是（）A．对任意实数k，函数图象与x轴都没有交点B．对任意实数k，函数图象没有唯一的定点C．对任意实数k，函数图象的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动D．对任意实数k，当x≥﹣k﹣1时，函数y的值都随x的增大而增大【答案】C【解答】解：A、△＝4k2﹣4（k﹣1）＝（2k﹣1）2+3＞0，抛物线与x轴有两个交点，所以A选项错误；B、k（2x+1）＝y+1﹣x2，k为任意实数，则2x+1＝0，y+1﹣x2＝0，所以抛物线经过定点（﹣，﹣），所以B选项错误；C、y＝（x+k）2﹣k2+k﹣1，抛物线的顶点坐标为（﹣k，﹣k2+k﹣1），则抛物线的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动，所以C选项正确；D、抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣k，抛物线开口向上，则x＞﹣k时，函数y的值都随x的增大而增大，所以D选项错误．故选：C．11．（2020•萧山区模拟）长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（）A．y＝32﹣4x（0＜x＜6）B．y＝32﹣4x（0≤x≤6）C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6）D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6）【答案】A【解答】解：∵长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，∴y与x之间的关系式是：y＝2[（10﹣x）+（6﹣x）]＝32﹣4x（0＜x＜6）．12．（2020•杭州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，该函数取最大值8．设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，若x1＞4，则a的取值范围是（）A．﹣3＜a＜﹣1B．﹣2＜a＜0C．﹣1＜a＜1D．2＜a＜4【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，该函数取最大值8，∴a＜0，该函数解析式可以写成y＝a（x﹣2）2+8，∵设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，x1＞4，∴当x＝4时，y＞0，即a（4﹣2）2+8＞0，解得，a＞﹣2，∴a的取值范围时﹣2＜a＜0，故选：B．13．（2020•西湖区一模）反比例函数（k≠0）图象在二、四象限，则二次函数y＝kx2﹣2x的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵反比例函数（k≠0）图象在二、四象限，∴k＜0，∴二次函数y＝kx2﹣2x的图象开口向下，对称轴＝﹣＝，∵k＜0，∴＜0，∴对称轴在x轴的负半轴，故选：A．14．（2020•拱墅区二模）将二次函数y＝5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y＝5（x+2）2+3B．y＝5（x﹣2）2+3C．y＝5（x+2）2﹣3D．y＝5（x﹣2）2﹣3【答案】D【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝5x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y＝5（x﹣2）2；由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝5（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y＝5（x﹣2）2﹣3．故选：D．15．（2020•拱墅区校级模拟）已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都在抛物线y＝x2+bx上，x1、x2、x3为△ABC的三边，且x1＜x2＜x3，若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1＜y2＜y3，则b的取值范围是（）A．b＞﹣2B．b＞﹣3C．b＞﹣4D．b＞﹣5【答案】D【解答】解：∵x1、x2、x3为△ABC的三边，且x1＜x2＜x3，且都是正整数，∴x1、x2、x3的最小一组值是2、3、4．∵抛物线y＝x2+bx与x轴的交点是（0，0）和（﹣b，0），对称轴是x＝﹣，∴若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1＜y2＜y3，则﹣＜解，得b＞﹣5．故选：D．二．填空题（共6小题）16．（2020•杭州模拟）若直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象只有一个交点，则交点坐标为（3，0）；若直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象有四个交点，则m的取值范围是1＜m＜．【答案】（1）（3，0）；（2）1＜m＜．【解答】解：（1）令y＝|x2﹣2x﹣3|＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴函数与x轴的坐标为（﹣1，0），（3，0），作出y＝|x2﹣2x﹣3|的图象，如图所示，当直线y＝x+m经过点（3，0）时与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象只有一个交点，故若直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象只有一个交点，则交点坐标为（3，0），故答案为（3，0）；（2）由函数图象可知y＝，联立，消去y后可得：x2﹣x+m﹣3＝0，令△＝0，可得：1﹣4（m﹣3）＝0，解得，m＝，即m＝时，直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象只有3个交点，当直线过点（﹣1，0）时，此时m＝1，直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象只有3个交点，∴直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象有四个公共点时，m的范围为：1＜m＜，故答案为：1＜m＜．17．（2020•上城区校级三模）已知函数y＝a（x+2）（x﹣），有下列说法：①若平移函数图象，使得平移后的图象经过原点，则只有唯一平移方法：向右平移2个单位；①当0＜a＜1时，抛物线的顶点在第四象限；①方程a（x+2）（x﹣）＝﹣4必有实数根；①若a＜0，则当x＜﹣2时，y随x的增大而增大．其中说法正确的是①①．（填写序号）【答案】①①．【解答】解：当函数图象向上平移4个单位时，解析式为y＝ax2+2（a﹣1）x，则其图象过原点，故①不正确；在y＝ax2+2（a﹣1）x﹣4中，令x＝0可得y＝﹣4，当0＜a＜1时，其对称轴为x＝﹣＞0，此时其顶点坐标在第四象限，故①正确；∵y＝a（x+2）（x﹣）＝ax2+2（a﹣1）x﹣4，∴方程a（x+2）（x﹣）＝﹣4可化为ax2+2（a﹣1）x﹣4＝﹣4，即ax2+2（a﹣1）x＝0，该方程有实数根，故①正确；当a＜0时，抛物线开口向下，且对称轴在y轴的左侧，但无法确定其在x＝﹣2的左侧还是右侧，故①不正确；综上可知正确的是①①，故答案为①①．18．（2020•富阳区一模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，MN∥BC交AC于点N．联结NQ，设BQ＝x．则当x＝．时，四边形BMNQ的面积最大值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝5，∵△QBM∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，∴QM＝x，BM＝x，∵MN∥BC，∴＝，即＝，∴MN＝5﹣x，∴四边形BMNQ的面积为：（5﹣x）×x＝﹣+，∴当x＝时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为．故答案为：，．19．（2020•西湖区一模）在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝30°．若二次函数y＝（a+b）x2+（a+b）x﹣（a﹣b）的最小值为﹣，则∠A＝75°．【答案】见试题解答内容【解答】解：将二次函数y＝（a+b）x2+（a+b）x﹣（a﹣b）配方得：y＝（a+b）﹣a+b，∵该二次函数的最小值为﹣，∴﹣＝﹣a+b，整理，得：a＝b，∵在△ABC中，∠C＝30°，∴当a＝b时，∠A＝∠B＝＝75°，故答案为：75°．20．（2020•萧山区模拟）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝2．【答案】见试题解答内容【解答】解：由韦达定理得：x1+x2＝﹣＝2，故答案为2．21．（2020•上城区一模）当﹣1≤a≤时，则抛物线y＝﹣x2+2ax+2﹣a的顶点到x轴距离的最小值．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2ax+2﹣a的顶点纵坐标＝＝2﹣a+a2，当a＝﹣1时，2﹣a+a2＝2+1+1＝4；当a＝时，2﹣+＝，∵4＞，∴顶点到x轴距离的最小值是．故答案为：．三．解答题（共21小题）22．（2020•上城区一模）同学A在离学校正北30km处，骑车以15km/h的速度向学校方向出发，同时，B 同学在学校的正东15km处，以15km/h的速度骑车向学校方向前进，假设2人的行驶方向和速度都不变，问：（1）当其中一人经过学校时，另一人与学校之间的距离为多少？（2）两人的最近距离是多少？（3）什么时候两人距离为30km？【答案】（1）当其中一人经过学校时，另一人与学校之间的距离为15公里；（2）最近距离为km；（3）经过或小时两人距离为30km．【解答】解：（1）B同学1小时时到达学校，而此时A同学前进了15公里，则A同学离学校15公里，即当其中一人经过学校时，另一人与学校之间的距离为15公里；（2）设x小时时，A、B所处的位置如下图所示，x小时时，AC＝|30﹣15x|（km），BC＝|15﹣15x|（km），则AB2＝（|30﹣15x|）2+（|15﹣15x|）2＝450（x﹣）2+，∵450＞0，故AB2有最小值，当x＝（h），AB2的最小值为（km2），则AB的最小值为（km）；（3）当两人距离为30km时，即AB2＝900（km2），则450（x﹣）2+＝900，解得x＝，即经过或小时，两人距离为30km．23．（2020•杭州模拟）关于x的二次函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）和一次函数y2＝x+2．（1）求证：函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2的图象与x轴有交点．（2）已知函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，①试求此时k的值；①若y1＞y2，试求x的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵△＝（2k﹣1）2+8k＝4k2﹣4k+1+8k＝4k2+4k+1＝（2k+1）2≥0，∴函数y1＝kx2+（2k﹣1）x﹣2的图象与x轴有交点；（2）①设kx2+（2k﹣1）x﹣2＝0的两根为x1，x2，则，，∴，∵函数y1的图象与x轴的两个交点间的距离等于3，∴|x1﹣x2|＝3，∴，解得，k＝1或k＝﹣；①当k＝1时，y1＝（x+2）（x﹣1），y2＝x+2∵y1＞y2，∴（x+2）（x﹣1）＞x+2，即（x+2）（x﹣2）＞0，解得：x＜﹣2或x＞2；当k＝﹣时，∵y1＞y2，∴﹣（x+2）（x+5）＞x+2，即（x+2）（x+10）＜0，解得：﹣10＜x＜﹣2．24．（2020•下城区一模）设一次函数y1＝x+a+b和二次函数y2＝x（x+a）+b．（1）若y1，y2的图象都经过点（﹣2，1），求这两个函数的表达式；（2）求证：y1，y2的图象必有交点；（3）若a＞0，y1，y2的图象交于点（x1，m），（x2，n）（x1＜x2），设（x3，n）为y2图象上一点（x3≠x2），求x3﹣x1的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）把（﹣2，1）代入一次函数y1＝x+a+b和二次函数y2＝x（x+a）+b，得，解得，，∴一次函数为y1＝x+3，二次函数y2＝x2+2x+1，（2）当y1＝y2时，得x+a+b＝x（x+a）+b，化简为：x2+（a﹣1）x﹣a＝0，△＝（a﹣1）2+4a＝（a+1）2≥0，∴方程x+a+b＝x（x+a）+b有解，∴y1，y2的图象必有交点；（3）当y1＝y2时，x+a+b＝x（x+a）+b，化简为：x2+（a﹣1）x﹣a＝0，（x+a）（x﹣1）＝0，∵a＞0，x1＜x2，∴x1＝﹣a，x2＝1，∴n＝1+a+b，当y＝1+a+b时，y2＝x（x+a）+b＝1+a+b，化简为：x2+ax﹣a﹣1＝0，（x+a+1）（x﹣1）＝0，解得，x＝1（等于x2），或x＝﹣a﹣1，∴x3＝﹣a﹣1，∴x3﹣x1＝﹣a﹣1﹣（﹣a）＝﹣1．25．（2020•江干区一模）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+a+1（a＞0）（1）若二次函数的图象与x轴有交点，求a的取值范围；（2）若P（m，n）和Q（5，b）是抛物线上两点，且n＞b，求实数m的取值范围；（3）当m≤x≤m+2时，求y的最小值（用含a、m的代数式表示）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）△＝（﹣4a）2﹣4a（a+1）≥0，且a＞0，解得：a≥；（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，当n＝b时，根据函数的对称性，则m＝﹣1，故实数m的取值范围为：m＜﹣1或m＞5；（3）①当m+2＜2时，即m＜0时，函数在x＝m+2时，取得最小值，y min＝a（m+2）2﹣4a（m+2）+a+1＝am2﹣3a+1；①当m≤2≤m+2时，即0≤m≤2，函数在顶点处取得最小值，即y min＝4a﹣4a×2+a+1＝﹣3a+1；①当m＞2时，函数在x＝m时，取得最小值，y min＝am2﹣4am+a+1；综上，y的最小值为：am2﹣3a+1或﹣3a+1或am2﹣4am+a+1．26．（2020•西湖区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣2（m+1）x+m2+2m﹣3其图象F与直线x＝﹣3交于点G．（1）当二次函数图象F经过点C（﹣1，﹣4）时，求它的表达式；（2）设点G的纵坐标为y G，求y G最小值；此时二次函数图象F上有两点M（x1，y1）、N（x2，y2），若x1＜x2≤﹣4，比较y1与y2的大小；（3）若点A（a，﹣），B（p，q）都在在抛物线F上，且满足|q+4|＜，求p的取值范围（答案用含字母a，m的不等式表示）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣4），∴﹣4＝（﹣1）2﹣2×（m+1）×（﹣1）+m2+2m﹣3，解得，m＝﹣2，∴抛物线F的表达式是：y＝x2+2x﹣3；（2）当x＝﹣3时，y G＝9+6（m+1）+m2+2m﹣3＝（m+4）2﹣4，∴当m＝﹣4时，y G的最小值﹣4，此时抛物线F的表达式是：y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，∴当x≤﹣3时，y随x的增大而减小，∵x1＜x2≤﹣4，∴y1＞y2；（3）由抛物线F：y＝x2﹣2（m+1）x+m2+2m﹣3＝（x﹣m﹣1）2﹣4可知：抛物线开口向上，顶点为（m+1，﹣4），∵点A（a，﹣），B（p，q）都在抛物线F上，且满足|q+4|＜，∴点A在x轴的下方，∴﹣4≤q＜﹣，∵点A（a，﹣）在抛物线F上，∴a＜p＜2m+2﹣a．27．（2020•江干区模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2tx﹣t+1（是常数）．（1）求此函数的顶点坐标．（用含t的代数式表示）（2）当x≥2时，y随x的增大而减小，求t的取值范围．（3）当0≤x≤1时，该函数有最大值4，求t的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2tx﹣t+1＝﹣（x﹣t）2+t2﹣t+1，∴顶点坐标为（t，t2﹣t+1）；（2）∵y＝﹣x2+2tx﹣t+1＝﹣（x﹣t）2+t2﹣t+1，∴抛物线开口向下，在对称轴x＝t的右边y随x的增大而减小，∴当x≥t时，y随x的增大而减小，∵当x≥2时，y随x的增大而减小，∴t≤2；（3）∵当0≤x≤1时，该函数有最大值4，∴①若t＜0，则当x＝0时，y＝﹣t+1＝4，解得，t＝﹣3；①若0≤t≤1，则t2﹣t+1＝4，解得，t＝（舍）；①若t＞1，则当x＝1时，y＝﹣1+2t﹣t+1＝4，解得，t＝4．综上，t＝﹣3或4．28．（2020•余杭区一模）设二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣a），其中a是常数，且a≠0．（1）当a＝2时，试判断点（﹣，﹣5）是否在该函数图象上．（2）若函数的图象经过点（1，﹣4），求该函数的表达式．（3）当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵a＝2，∴y＝（ax﹣1）（x﹣a）＝（2x﹣1）（x﹣2），当x＝﹣0.5时，y＝5≠﹣5，∴点（﹣，﹣5）不在该函数图象上；（2）∵函数的图象经过点（1，﹣4），∴（a﹣1）（1﹣a）＝﹣4，解得，a＝﹣1或3，∴该函数的表达式为：y＝（3x﹣1）（x﹣3）或y＝（﹣x﹣1）（x+1）；（3）∵二次函数y＝（ax﹣1）（x﹣a）的图象与x轴交于点（，0），（a，0），∴函数图象的对称轴为直线x＝，当a＞0时，函数图象开口向上，∵当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，∴当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，∴≥+1，∴a≤，∴0＜a≤；当a＜0时，函数图象开口向下，∵当﹣1≤x≤+1时，y随x的增大而减小，∴≤﹣1，∴a≥﹣，∴﹣≤a＜0；综上，﹣≤a＜0或0＜a≤．29．（2020•西湖区一模）已知，点A（m，n）在函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象上，也在函数y2＝（x+k）2﹣k图象上．（1）观察y1，y2图象的顶点位置，发现它们均在某个函数图象上，请写出这个函数表达式．（2）若k＝3，当﹣3＜x＜3时，请比较y1，y2的大小．（3）求证：m+n＞．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0），y2＝（x+k）2﹣k，∴函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象的顶点坐标为（k，k），函数y2＝（x+k）2﹣k图象的顶点坐标为（﹣k，﹣k），∴它们均在函数y＝x的图象上；（2）当k＝3时，y1＝（x﹣3）2+3，y2＝（x+3）2﹣3，令y1＝y2，∴（x﹣3）2+3＝（x+3）2﹣3，解得x＝，∴它们图象的交点的橫坐标为，∵a＝1＞0，两图象开口向上，∴当﹣3＜x≤时，y1＞y2，当x＝时，y1＝y2，当＜x＜3时，y1＜y2．（3）证明：∵点A（m，n）在函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象上，也在函数y2＝（x+k）2﹣k图象上，∴，解得：，∵k2≥0，∴m+n＝．30．（2020•下城区模拟）已知点A（1，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）上一点．（1）用a的代数式表示b；（2）若1≤a≤2，求﹣的范围；（3）在（2）的条件下，设当1≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n（用a的代数式表示）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，1＝a+b+4，∴b＝﹣a﹣3；（2）∵b＝﹣3﹣a，∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x﹣）2﹣﹣+，∴对称轴为直线x＝，∵1≤a≤2，∴≤+≤2，∴≤﹣≤2；（3）∵≤﹣≤2，1≤x≤2，∴当x＝时，n＝﹣﹣+，∵抛物线开口向上，∴离对称轴越远，函数值越大，①当≤﹣≤时，x＝2函数值最大，∴m＝4a﹣2a﹣6+4＝2a﹣2，∴m﹣n＝2a++﹣＝+﹣，①当＜﹣≤2时，x＝1函数值最大，∴m＝a﹣a﹣3+4＝1，∴m﹣n═+﹣．31．（2020•拱墅区一模）已知一次函数y1＝2x+b的图象与二次函数y2＝a（x2+bx+1）（a≠0，a、b为常数）的图象交于A、B两点，且A的坐标为（0，1）．（1）求出a、b的值，并写出y1，y2的表达式；（2）验证点B的坐标为（1，3），并写出当y1≥y2时，x的取值范围；（3）设u＝y1+y2，v＝y1﹣y2，若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，求m的最小值和n的最大值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）把A（0，1）代入y1＝2x+b得b＝1，把A（0，1）代入y2＝a（x2+bx+1）得，a＝1，∴y1＝2x+1，y2＝x2+x+1；（2）解方程组得或，∴B（1，3），作y1＝2x+1，y2＝x2+x+1的图象如下：由函数图象可知，y1＝2x+1不在y2＝x2+x+1下方时，0≤x≤1，∴当y1≥y2时，x的取值范围为0≤x≤1；（3）∵u＝y1+y2＝2x+1+x2+x+1＝x2+3x+2＝（x+1.5）2﹣0.25，∴当x≥﹣1.5时，u随x的增大而增大；v＝y1﹣y2＝（2x+1）﹣（x2+x+1）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣0.5）2+0.25，∴当x≤0.5时，v随x的增大而增大，∴当﹣1.5≤x≤0.5时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，∵若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，∴m的最小值为﹣1.5，n的最大值为0.5．32．（2020•上城区模拟）已知函数y＝﹣x2+bx+c（其中b，c是常数）（1）四位同学在研究此函数时，甲发现当x＝0时，y＝5；乙发现函数的最大值为9；丙发现函数图象的对称轴是直线x＝2；丁发现4是方程﹣x2+bx+c＝0的一个根．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，请直接写出错误的那个人是谁，并求出此函数表达式；（2）在（1）的条件下，函数y＝﹣x2+bx+c的图象顶点为A，与x轴正半轴交点为B，与y轴的交点为C，若将该图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）若c＝b2，当﹣2≤x≤0时，函数y＝﹣x2+bx+c的最大值为5，求b的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）甲发现当x＝0时，y＝5，则c＝5；乙发现函数的最大值为9，即c+＝9；丙发现函数图象的对称轴是直线x＝2，则﹣＝2，即b＝4；丁发现4是方程﹣x2+bx+c＝0的一个根，则c+4b＝16，假设甲和丙正确，即c＝5，b＝4，则即c+＝9，故乙正确，而丁错误，故错误的是丁，函数的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；（2）y＝﹣x2+4x+5，则点A（2，9），平移后顶点坐标为：（2，9﹣m），y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，则x＝5或﹣1，故点B（5，0），而点C（0，5），过点A作y轴的平行线交BC于点H，设直线BC解析式为：y＝kx+5，把点B的坐标代入，得5k+5＝0．解得k＝﹣1．故直线BC的表达式为：y＝﹣x+5，当x＝2时，y＝3，故点H（2，3），函数图象的顶点落在△ABC的内部，则3＜9﹣m＜9，解得：0＜m＜6；（3）c＝b2，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+bx+b2，函数的对称轴为：x＝b，①当b≥0时，即b≥0，则x＝0时，y取得最大值，即b2＝5，解得：b＝（舍去负值）；①当﹣2＜b＜0时，即﹣4＜b＜0，当x＝b时，y取得最大值，即﹣（b）2+b2+b2＝5，解得：b＝±2（舍去2）；①当b≤﹣4时，同理可得：b＝1﹣（舍去）；综上，b＝或﹣2．33．（2020•萧山区模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣2m+1与x轴交于点A，B．（1）若AB＝2，求m的值；（2）过点P（0，2）作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N．当MN≥2时，求m的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）抛物线y＝mx2﹣2mx﹣2m+1的对称轴为直线．∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝2∴抛物线与x轴交于点A（0，0）、B（2，0），将（0，0）代入y＝mx2﹣2mx﹣2m+1中，得﹣2m+1＝0即；（2）抛物线y＝mx2﹣2mx﹣2m+1与x轴有两个交点，∴△＞0即（﹣2m）2﹣4m（﹣2m+1）＞0，解得：或m＜0，①若m＞0，开口向上，当MN≥2时，则有﹣2m+1≤2解得，所以，可得；①若m＜0，开口向下，当MN≥2时，则有﹣2m+1≥2解得所以可得，综上所述m的取值范围为或．34．（2020•拱墅区二模）已知在同一平面直角坐标系中有函数y1＝ax2﹣2ax+b，y2＝﹣ax+b，其中ab≠0．（1）求证：函数y2的图象经过函数y1的图象的顶点；（2）设函数y2的图象与x轴的交点为M，若点M关于y轴的对称点M'在函数y1图象上，求a，b满足的关系式；（3）当﹣1＜x＜1时，比较y1与y2的大小．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：∵y1＝ax2﹣2ax+b＝a（x﹣1）2﹣a+b，∴函数y1的顶点为（1，﹣a+b），把x＝1代入y2＝﹣ax+b得，y＝﹣a+b，∴函数y2的图象经过函数y1的图象的顶点；（2）设函数y2的图象与x轴的交点M（m，0），则点M关于y轴的对称点M'（﹣m，0），由题意可知，解得b＝﹣3a；（3）∵y1＝ax2﹣2ax+b，y2＝﹣ax+b，∴y1﹣y2＝ax（x﹣1）．∵﹣1＜x＜1，∴当﹣1＜x＜0，x（x﹣1）＞0．当0＜x＜1，x（x﹣1）＜0，当x＝0，x（x﹣1）＝0，∴y1＝y2；当a＞0且﹣1＜x＜0时，ax（x﹣1）＞0，y1＞y2；当a＞0且0＜x＜1时，ax（x﹣1）＜0，y1＜y2；当a＜0且﹣1＜x＜0时，ax（x﹣1）＜0，y1＜y2；当a＜0且0＜x＜1时，ax（x﹣1）＞0，y1＞y2．35．（2020•拱墅区模拟）已知抛物线y1＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣2，﹣3）．（1）若点A（1，m），B（3，n）为抛物线上的两点，比较m，n的大小．（2）当x≥﹣2时，y1≤﹣2，求抛物线的解析式．（3）无论a取何值，若一次函数y2＝a2x+m总经过y1的顶点，求证：m≥﹣．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）将点（﹣2，﹣3）坐标代入抛物线y1的表达式得：﹣3＝4a﹣2b﹣3，解得：b＝2a，故抛物线y1＝ax2+2ax﹣3，将点A、B坐标分别代入上式得：m＝3a﹣3，n＝9a+6a﹣3＝12a﹣3，故当a＞0时，m＜n，当a＜0时，m＞n；（2）当x≥﹣2时，y1≤﹣2，则a＜0，抛物线的顶点坐标为：（﹣1，﹣3﹣a），即﹣3﹣a＝﹣2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y1＝﹣x2﹣2x﹣3；（3）y1的顶点坐标代入y2＝a2x+m得：m＝a2﹣a﹣3，∵1＞0，故m有最小值，此时，a＝时，最小值为﹣，故m≥﹣．36．（2020•富阳区一模）我们不妨规定：关于x的反比例函数y＝称为一次函数y＝ax+b的“次生函数”，关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）称为一次函数y＝ax+b的“再生函数”．（1）求出一次函数y＝﹣x+7与其“次生函数”的交点坐标；（2）若关于x的一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在直线y＝x+b上，求b的值；（3）若关于x的一次函数y＝ax+b与其“次生函数”的交点从左至右依次为点A，B，其“再生函数”经过点（﹣2，3），且与x轴从左至右依次交于点C，D，记四边形ACBD的面积为S，其中a＞2b＞0，判断是否为定值，若为定值，请说明理由：若不为定值，试确定其取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7的“次生函数”为y＝∴∴或∴交点坐标为（1，6），（6，1）（2）∵一次函数y＝x+b的“再生函数”为y＝x2+bx﹣（1+b），∴顶点坐标为（﹣，﹣﹣1﹣b）∵一次函数y＝x+b的“再生函数”的顶点在直线y＝x+b上，∴﹣﹣1﹣b＝﹣+b∴b＝±﹣3（3）∵∴，∴点A（﹣1﹣，﹣a），B（1，a+b）∵y＝ax2+bx﹣（a+b）过点（﹣2，3）∴3＝4a﹣2b﹣a﹣b∴a＝1+b∴y＝（1+b）x2+bx﹣（1+2b）∵与x轴交于点C，点D，∴0＝（1+b）x2+bx﹣（1+2b）∴x＝1，x＝﹣∴点C（﹣，0），点D（1，0）∵a＝1+b，∴b＝a﹣1∴点A（﹣2+，﹣a），点B（1，2a﹣1），点C（﹣，0），点D（1，0）∴S＝（2a﹣1+a）（1﹣）＝，∴＝＝（﹣3）2∵a＝1+b，a＞2b＞0，∴1+b＞2b∴0＜b＜1，∴1＜a＜2∴2＜＜37．（2020•萧山区一模）如图，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C直线y＝﹣x+4经过点B、C．（1）求抛物线的表达式；（2）过点A的直线交抛物线于点M，交直线BC于点N．①点N位于x轴上方时，是否存在这样的点M，使得AM：NM＝5：3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．①连接AC，当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时，请求出点M的横坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由直线y＝﹣x+4知：点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），则二次函数表达式为：y＝ax2﹣3ax+4，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，则点A（﹣1，0）；（2）①不存在，理由：设直线AM的表达式为：y＝kx+b，将点A的坐标代入上式并解得：直线AM的表达式为：y＝kx+k，如图1所示，分别过点M、N作x轴的垂线交于点H、G，∵AM：NM＝5：3，则MH＝NG，设点N（m，mk+k），即：mk+k＝﹣m+4…①，则点M[m+，]，将点M的坐标代入二次函数表达式得：＝﹣（+）2+3（+）+4…①，联立①①并整理得：5m2﹣2m+3＝0，△＜0，故方程无解，故不存在符合条件的M点；①当∠ANB＝2∠ACB时，如下图，则∠NAC＝∠NCA，∴CN＝AN，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4设点N（n，﹣n+4），由CN＝AN，即：（n）2+（4﹣n﹣4）2＝（n+1）2+（4﹣n）2，解得：n＝，则点N（，），将点N、A坐标代入一次函数表达式并解得：直线NA的表达式为：y＝x+…①，将①式与二次函数表达式联立并解得：x＝，故点M（，）．38．（2020•余杭区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C 的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．（1）求点A的坐标．（2）求抛物线的表达式．（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）令y＝﹣x+2＝0，解得：x＝4，y＝0，则x＝2，即：点A坐标为：（4，0），B点坐标为：（0，2）；（2）把点A、C坐标代入二次函数表达式，解得：b＝﹣，c＝﹣2，故：二次函数表达式为：y＝x2﹣x﹣2；（3）设点M（m，﹣m+2），则Q（m，m2﹣m﹣2），以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，则：|MQ|＝±（m2﹣m﹣4）＝BD＝4，当m2﹣m﹣4＝4，解得：m＝1；当m2﹣m﹣4＝﹣4，解得：m＝2，m＝0（舍去）；故：m＝2或1或1﹣．39．（2020•拱墅区模拟）已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）抛物线与x轴另一交点为点B，与y轴交于点C，平行于x轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3）．①求直线BC的解析式．①若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2+bx﹣3得1﹣b﹣3＝0，解得b＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）①当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则B（3，0），当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；①如图，x2﹣1＝1﹣x1，∴x1+x2＝2，∴x1+x2+x3＝2+x3，∵y3＜﹣3，即x3﹣3＜﹣3，∴x3＜0，∵y＝﹣4时，x﹣3＝﹣4，解得x＝﹣1，∴﹣1＜x3＜0，∴1＜x1+x2+x3＜2．40．（2020•西湖区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过点A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，点A（1，0），∴B（﹣3，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入得：﹣3a＝3，a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，（2分）把B（﹣3，0）和C（0，3）代入y＝mx+n中，，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝x+3；（4分）（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y＝2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时，M的坐标为（﹣1，2）；（8分）（3）设P（﹣1，t），又B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2＝32+32＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10．①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2，即18+4+t2＝t2﹣6t+10，解得t＝﹣2；①若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2，即18+t2﹣6t+10＝4+t2，解得t＝4；①若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2，即4+t2+t2﹣6t+10＝18，解得t＝．综上所述，P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．（12分）41．（2020•拱墅区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B顶点为C点．（1）求点A和点B的坐标；（2）若∠ACB＝45°，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1）和Q（x2，y2），与直线AB交于点N（x3，y3），若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）与y轴交于点A，∴点A的坐标为（0，﹣3）；∵抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）的对称轴为直线x＝1，∴点B的坐标为（1，0）．（2）∵∠ACB＝45°，∴点C的坐标为（1，﹣4），把点C代入抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3得出m＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（3）如图，当直线l1经过点A时，x1＝x2＝0，x3＝2，此时x1+x3+x2＝2，当直线l2经过点C时，直线AB的解析式为y＝3x﹣3，∵C（1，﹣4），∴y＝﹣4时，x＝﹣此时，x1＝x2＝1，x3＝﹣，此时x1+x3+x2＝，当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2∴．42．（2020•拱墅区模拟）在同一直角坐标系中画出二次函数y＝x2+1与二次函数y＝﹣x2﹣1的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图：，（1）y＝x2+1与y＝﹣x2﹣1的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，y＝x2+1与y＝﹣x2﹣1的不同点是：y＝x2+1开口向上，顶点坐标是（0，1），y＝﹣x2﹣1开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；（2）性质的相同点：开口程度相同，不同点：y＝x2+1 当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；y＝﹣x2﹣1当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．。
2019-2020学度浙江普通高中10月学业水平考试数学试题 word版
2019-2020学度浙江普通高中10月学业水平考试数学试题 word 版【一】选择题 〔本大题共18小题，每题3分，共54分。
每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多项选择、错选均不得分〕 1. 函数2()3x f x -=的定义域为A.〔－∞，0〕B.[0，+∞〕C. [2，+∞〕D. 〔－∞，2〕2. 以下数列中，构成等比数列的是A.2，3，4，5，B.1，－2，－4，8C.0，1，2，4D.16，－8，4，－23. 任给△ABC ，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，那么以下等式成立的是A.c 2=a 2+b 2+2abcosCB. c 2=a 2+b 2－2abcosCC. c 2=a 2+b 2+2absinCD. c 2=a 2+b 2－2absinC4. 如图，某简单组合体由一个圆锥和一个圆柱组成，那么该组合体三视图的俯视图为5. 要得到余弦曲线y=cosx ，只需将正弦曲线y=sinx 向左平移A.2π个单位 B.3π个单位 C.4π个单位 D.6π个单位 6. 在平面直角坐标系中，过点(0，1)且倾斜角为45°的直线不．经过A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7. 平面向量a =(1，x)，b =(y ，1)。
假设a ∥b ，那么实数x ，y 一定满足A.xy －1=0B. xy+1=0C.x －y=0D.x+y=08. {a n }(n ∈N *)是以1为首项，2为公差的等差数列。
设S n 是{a n }的前n 项和，且S n =25，那么n=A.3B.4C.5D.69. 设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F 。
假设F 到直线33p=A.2B.43310. 在空间直角坐标系Oxyz 中，假设y 轴上点M 到两点P(1，0，2)，Q(1，－3，1)的距离相等，那么点 M 的坐标为A.(0，1，0)B. (0，－1，0)C. (0，0，3)D. (0，0，－3)11. 假设实数x ，y 满足2230,20,(1)1,x y x y x y ⎧-≥⎪-≤⎨⎪-+≤⎩那么y 的最大值为A.3B.1C.32D.4512. 设a>0，且a≠1，那么〝a>1”是〝log a 12<1”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件13. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱D 1C 1的中点。
浙江省十校联盟2020届高三上学期10月月考试题 数学【含解析】
【详解】如图所示，设正方体的棱长为 ，线段 的长为x,, 底面积 ,当三棱锥 的体积取得最大值时，即底面积 最大时,此时 。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知，圆柱的底面半径为1，高为2，利用圆柱的体积公式即可求出结果。
【详解】由三视图可知圆柱的底面半径为1，高为2，
则 ，
故答案选C。
【点睛】本题主要考查根据几何体 三视图求体积问题，考查学生的空间想象能力。
6.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
【详解】由题意知，圆 的圆心坐标为 ，圆 的圆心坐标为 ，可得两圆连心线CD的方程为 。
联立两圆方程，
易知两圆公共弦AB所在直线的方程为 ，圆心到直线的距离 ，根据勾股定理，可知弦长为 。
【点睛】本题主要考查圆的一般方程与标准方程之间的转化以及两圆相交公共弦长的求解。
14.在 中， ， ， ，则 ________，若D是AB的中点，则 ________.
（Ⅱ）利用错位相减法求数列 的前 项和 ，再利用数列的单调性求得 的最小值。
【详解】（Ⅰ）由 ，得 ， .
故 的公差 ， .
即数列 的通项公式为 .
当 时， ，
而 ，
故 ，即数列 的通项公式为 .
（Ⅱ） ，
，
上述两式相减，得
得 .
设 ，显然当 时， ， ，且单调递增.
而 ， ， ，故 的最小值为 .
浙江省十校联盟2020届高三10月联考数学试题卷(解析版)
浙江省十校联盟2020届高三10月联考数学试题卷一、单选题1．若集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，则A B =（ ）A.∅B.{0,1}C.{0,1,2}D.{2,0,1,2}-【答案】B【解析】根据题意，利用交集定义直接求解。
【详解】集合{|12}A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以集合{}0,1A B =。
【点睛】本题主要考查集合交集的运算。
2．已知双曲线2221(0)2x y b b -=>的两条渐近线互相垂直，则e =（ ）A.1D.2【答案】B【解析】根据题意，利用双曲线的两条渐近线垂直推出-1b ba a=-，可得a b =，再通过离心率的计算公式即可得出。
【详解】由题意得，-1b b a a =-，可得a b =，则2222222,c a b e e a a+==== 【点睛】本题主要考查双曲线的性质中离心率的求解。
3．定义在R 上的奇函数()f x 满足2()2(0)f x x x x =-，则函数()f x 的零点个数为（ ） A.0 B.1C.2D.3【答案】D【解析】根据题意，可知2x =，0x =为()f x 的零点，利用奇函数图像关于原点对称的性质，可推()f x 在(,0)-∞这个区间上的零点，即可得出答案。
【详解】根据题意，可知2x =，0x =为()f x 的零点，利用奇函数图像关于原点对称的性质，可推得2x =-也为()f x 的零点，所以()f x 的零点共有三个，故答案选D 。
【点睛】本题主要考查奇函数图像关于零点对称的性质和函数零点个数的求解。
4．若实数,x y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）A.[7,2]-B.[1,2]-C.[1,)-+∞D.[2,)+∞【答案】C【解析】根据题意，画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解函数的最值，即可推出结果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017年10月浙江省普通高中学业水平考试
数学试题
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
4、log21
4= （）
5、下列函数中，最小正周期为π的是（）
6、函数
的定义域是（）
A.(－1，2]
B.[－1，2]
C.(－1，2)
D.[－1，2)
7、点(0，0)到直线x+y－1=0的距离是（）
8、设不等式
0,
240,
x y
x y
->
⎧
⎨
+-<
⎩
所表示的平面区域为M，则点(1，0)，(3，2)，(－1，1)中
在M内的个数为（）
A.0
B.1
C.2
D.3
9、函数f(x)=x·ln|x|的图象可能是（）
10、若直线l不平行于平面α，且l α，则（）
A.α内的所有直线与l异面
B. α内只存在有限条直线与l共面
C. α内存在唯一直线与l平行
D. α内存在无数条直线与l相交
11、图（1）是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥A1－AB1D1后的几何体，
将其绕着棱DD1逆时针旋转45°，得到如图（2）的几何体的正视图为（）12、过圆x2+y2－2x－8=0的圆心，且与直线x+2y=0垂直的直线方程是（）
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）
19、设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n =2n －1， n ∈N*，则a 1= ，S 3=
20、双曲线
22
1916
y x -=的渐近线方程是 21、若不等式|2x －a|+|x+1|≥1的解集为R ，则实数a 的取值范围是
22、正四面体A －BCD 的棱长为2，空间动点P 满足||PB PC +=2，则AP AD ⋅的取值范
围是
三、解答题（本大题共3小题，共31分）
23、（本题10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。
已知cosA=12
. （1）求角A 的大小；
（2）若b=2，c=3，求a 的值；
（3）求2sinB+cos(
6
π+B)的最大值。
24、（本题10分）如图，抛物线x 2=y 与直线y=1交于M ，N 两点。
Q 为该抛物线上异于M ， N 的任意一点，直线MQ 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线NQ 与x 轴、y 轴分别 交于点C ，D 。
（1）求M ，N 两点的坐标； （2）证明：B ，D 两点关于原点O 对称； （3）设△QBD ，△QCA 的面积分别为S 1，S 2，若点Q 在直线y=1的下方，求S 2－S 1
的最小值。
25、（本题11分）已知函数g(x)=－t·2x+1－3x+1，h(x)=t·2x －3x ，其中x ，t ∈R . （1）求g(2)－h(2)的值（用t 表示）； （2）定义[1，+∞)上的函数f(x)如下：
f(x)=(),[21,2),
(),[2,21)
g x x k k h x x k k ∈-⎧⎨
∈+⎩（k ∈N *）.
若f(x)在[1，m)上是减函数，当实数m 取最大值时，求t 的取值范围。