线性插值与二次插值公式)

n a0 a1 x0 a n x0 y0 n a0 a1 x1 a n x1 y1 a a x a x n y 1 n n n n 0
方程组系数矩阵取行列式
1 Vn ( x0 , x1 , , xn ) 1 1 x0 x1 xn
得
求解,得a0=0,a1=1.293,a2= -0.5099,a3=0.0538 所以, L3(x)=1.293 x –0.5099 x2 + 0.0538 x3
MATLAB计算程序 x=0:.6:1.8; y=erf(x); x=x';y=y'; A=[ones(4,1) x x.^2 x.^3]; p=A\y; a0=p(1);a1=p(2); a2=p(3);a3=p(4); t=0:.2:2; u=a0+a1*t+a2*t.^2+a3*t.^3; plot(x,y,'o',t,u)
满足: Ln(xi)= yi
(4.1)
(4.2)
(k = 0,1,…,n)
则称 (4.1)为满足插值条件(4.2)的拉格朗日插值。
定理4.1 若插值结点x0,x1,…,xn 是(n+1)个互异 点,则满足插值条件 Ln(xi)= yi (k = 0,1,…,n) 的n次插值多项式 Ln(x)=a0 + a1x +……+ anxn 存在而且是唯一的。 证明 由插值条件 L(x0)= y0 L(x1)=y1 · · · · · · · · · · · · · · L(xn)=yn
上述问题称作代数多项式插值问题
拉格朗日插值
拉格朗日插值及其存在唯一性 设 f(x)∈C [a , b], 取点 a ≤x0＜x1＜· · · ＜ x n≤b · · ,n)， 已知f(x)在点xi上的函数值 yi=f(xi), (i=0,1,2,· 求一个次数不超过n的插值多项式。
Ln(x)=a0 + a1x +· · · + anxn
P(x)=a0 + a1x +· · · + an+m+1xn+m+1 使 P(xi)= f(xi), (i=p0, p1,· · · , pn) P(kj)(xj)= f(kj)(xj), (j=q0, q1,· · · , qn) 成立 则称P(x)为f(x)的插值函数。xi和xj称作插值节点
[a , b]为插值区间。
多项式插值问题的一般提法
设 f(x)∈C [a , b], 已经点xi ∈[a , b]上的函数值 f(xi), (i=p0, p1,· · · , pn)和点xj上的导数值 f(kj)(xj), (j=q0, q1,· · · , qm)，其中kj为小于或等于n+m+1的任 意正整数。 要求：作一个次数不超过n+m+1的代数多项式p(x)
0.6 0.4
0.2 0
-0.2 -0.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
误差函数
x y 0 0
Erf ( x )
1.0000 0.8427
2


x
0
e dt
2.0000 0.9953 2.5000 0.9996 3.0000 1.0000
t 2
0.5000 0.5205
F(t) 有(n+2)个相异零点. 根据Rolle定理, F’(t) 在区间(a, b)内至少有 (n +1)个相异零点.
依此类推,F ( n+ 1 )(t) 在区间 ( a, b ) 内至少有 一个零点。故存在 ∈ (a, b), 使F(n+1)( )=0
F
( n1)
(t ) f
( n1)
(t ) L
( n1) n
(t ) C
( n1) n1
(t )
f ( n1) ( ) C (n 1)! 0
f ( ) C ( n 1)!
( n 1)
f ( ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) ( n 1)!
存在C(x)，令 Rn(x) ＝f(x) – Ln(x)= C(x) n+1(x)
取定 x∈(a, b), 设 t∈( a, b ). 构造函数
F (t ) f (t ) Ln (t ) C n1 (t )
显然, F(x) = 0, F(xj) = 0, ( j = 0,1,· · · ,n )
Ln ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1 ln ( x ) yn
其中,第i (i=0,1,…，n)个插值基函数
( x x0 )( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn ) li ( x ) ( xi x0 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xn )
化为等价形式
x x0 x1 x L1 ( x ) y0 y1 x1 x0 x1 x0
记
x x0 x x1 l0 ( x ) , l1 ( x ) x0 x1 x1 x0
L1 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1
把l0(x)、 l1(x)称作线性插值基函数
C(x) = ???
定理5.2 设 f(x)∈C[a, b], 且 f (x) 在(a, b)内具有 n+1阶导数, 取插值结点 a≤x0＜x1＜· · · · · · ＜xn≤b
则对任何x∈[a , b], 满足 Ln(xi) = f(xi) 的 n 次插 值多项式Ln(x) 的误差
f ( n ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) ( n 1)!
1 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 0
0
0 .5
1
1 .5
2
拉格朗日插值的基函数构造法
n=1 线性插值问题 已知函数表 x x0 x1
f(x )
y0
y1
求满足: L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1的线性插值多项式 L1(x) 由过两点直线方程,得
y1 y0 L1 ( x ) y0 ( x x0 ) x1 x0
x l0(x) x l0(x) l1(x) l2(x)
x0 1 x0 1 0 0
x1 0 x1 0 1 0 y1
x2 0 x2 0 0 1 y2
( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
( x x0 )( x x2 ) l1 ( x ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
( n 1)
如果
M max f ( n1) ( x )
a xb
存在，则 M | Rn ( x ) | n1 ( x ) ( n 1)!
1.5000 0.9661
当 x∈(0.5, 1)时
1 Erf ( x ) [( x 0.5) 0.8427 (1 x ) 0.5205] 1 0.5
当 x∈(1, 1.5)时
1 Erf ( x ) [( x 1) 0.9661 (1.5 x ) 0.8427] 1.5 1
求二次插值(抛物插值)多项式 L2(x)=a0 + a1x + a2 x2 满足:L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1, L2(x2)=y2
[y0 y1 y2] = [1 0 0]y0 + [0 1 0]y1+ [0 0 1]y2
仿照线性插值的基函数构造法，可令 L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2
即:
li ( x )
(x
j 0 ji
n
(x xj )
i
xj)
Lagrange插值的误差余项 两点线性插值
x x0 x1 x L1 ( x ) y1 y0 x1 x0 x1 x0
定义误差余项: R1(x) = f(x) – L1 (x)
由插值条件,令 R1(x)=C(x) (x – x0)(x – x1) 即 f(x) –L1(x) = C(x) (x – x0)(x – x1)
L2(x) y0
( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
把l0(x)、l1(x)、 l2(x) 称作二次插值基函数
二次插值函数: L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，
Lagrange插值公式
插值条件:Ln(xi)= yi (i= 0,1,…,n)
实际问题中遇到的函数f(x)有的表达式复杂，有 的只提供了离散点上的函数值或导数值。为了进 一步分析问题的性质和变化规律，自然希望找到 一种简单函数p(x)，能近似描述函数f(x)的变化规 律，又便于处理。把这个函数p(x)称作f(x)的近似 函数。
近似函数p(x)可以是代数多项式或三角多项式， 也可以是有理分式等等。 p(x)选不同类型的函数， 近似的效果不同，由于代数多项式结构简单，常 取p(x)为代数多项式。 如果要求近似函数p(x)取给定的离散数据，则称 p(x)为f(x)的插值函数。
( n 1)
其中, n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )
n (a, b) 且与x有关
证 记 n+1(x) =(x – x0)(x – x1)· · · · · · ( x – x n) 由插值条件 Ln(xi) = f(xi) (k = 0,1,…,n)
n x0 n x1
源自文库
n xn
n i j 0
( xi x j ) 0
这是范德蒙行列式且不等于0。故方程组有唯 一解.从而插值多项式P(x)存在而且是唯一的.
例4.2 已知误差函数在四个点处函数值
x Erf(x) 0 0 0.6000 0.6039 1.2000 0.9103 1.8000 0.9891
构造3次多项式L3(x) 逼近 Erf(x) 设 L3(x)= a0 + a1x +a2x2 + a3x3,
令 L3(xi)=Erf(xi)
a0 0 2 3 a 0 . 6 a ( 0 . 6 ) a ( 0 . 6 ) a 3 0.6039 0 1 2 2 3 a 1 . 2 a ( 1 . 2 ) a ( 1 . 2 ) a 3 0.9103 1 2 0 a 1.8a (1.8) 2 a (1.8) 3 a 0.9891 1 2 3 0
第四章
数据插值方法
插值计算引例
代数多项式插值问题
线性插值与二次插值公式 Lagrange插值公式
0.6 0.4
0.2 0
-0.2 -0.4 0 0.2 0.4 0.6
0.6 0.8 0.4
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0.2 0
-0.2 -0.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
当x0≤ x ≤x1时，0≤l0(x)≤1, 0≤l1(x)≤1
x l0(x) l1(x) x0 1 0 x1 0 1
[y0 y1] = [1 0]y0 + [0 1]y1
L1 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1
n=2 二次插值问题 已知函数表
x f(x ) x0 y0 x1 y1 x2 y2