二次函数中和角有关的存在性问题
(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法
二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ）(1)线段对称轴是直线2x 21x x +=(2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-=中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫ ⎝⎛++222121y y ,x x 。
2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y +=如果这两天两直线互相垂直，则有121-=⋅k k3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。
判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。
2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。
判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。
判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
总结：（1）已知A 、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A 、B 两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径AB 垂直的直线上。
二次函数背景下的相似三角形存在性问题
二次函数背景下的相似三角形存在性问题
二次函数背景下的相似三角形存在性问题是中考数学常考的题型，在考试中一般出现在压轴题的位置，综合性强，难度略大。
这篇文章主要来讨论下二次函数背景下的相似三角形存在性问题的解题思路方法及应用举例。
【模型解读】
在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．
【相似判定】
判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；
判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；
判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．
以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．
【题型分析】
通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．
【思路总结】
根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！
所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．
然后再找：
思路1：两相等角的两边对应成比例；
思路2：还存在另一组角相等．
事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．
一、如何得到相等角？
二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？
搞定这两个问题就可以了．
【例题】
【分析】
综上所述，点P的坐标为（3，2）或（3，9）．
【总结】
【练习】
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二次函数存在性问题
二次函数存在性问题一、存在三角形：1、如图，已知抛物线y=－x 2+2x+3交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 。
（1）求点A 、B 、C 的坐标。
（2）若点M 为抛物线的顶点，连接BC 、CM 、BM ，求△BCM 的面积。
（3）连接AC ，在x 轴上是否存在点P 使△ACP 为等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
2、如图，直线AC ：1y x =--与抛物线24y ax bx =+-都经过点(1,0)A -、(3,4)B -．（1）求抛物线的解析式；（2） 动点P 在线段AC 上，过点P 作x 轴的垂线与抛物线相交于点E ，求线段PE 长度的最大值； （3） 当线段PE 的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q ，使△PCQ 是以PC 为直角边的直角三角形?若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在．请说明理由．3、已知：Rt △ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA<OB ），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图11）。
（1）求线段OA 、OB 的长和经过点A 、B 、C 的抛物线的关系式。
（4分） （2）如图12，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中m >0，n >0），连接DP 交BC 于点E 。
①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点E 的坐标。
（3分） ②又连接CD 、CP （如图13），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没 有，请说明理由。
（3分）图11A B O C 图9 yx P E 图12 图13二、 存在四边形：1、如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ． （1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上， 问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在， 求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．2、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A )0,4(-，B )4,0(-，C )0,2(三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值． （3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线x y -=上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．3、如图，在平面直角坐标系中CDA Rt AOB Rt ∆≅∆,且)2,0(),0,1(B A -抛物线22-+=ax ax y 经过点C 。
二次函数与三角形存在性问题
4二次函数与三角形存在性问题(2-3次课)(总17页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二次函数与三角形存在性问题一、等腰三角形的存在性问题例1、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形若存在，请求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由。
巩固练习 1、如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知A(3,0)，且M(1,38 )是抛物线上另一点。
连接，设点是轴上任一点，若以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点的坐标。
2、如图1，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为。
（1）求该抛物线的解析式。
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形为等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）当<x<3时，在抛物线上求一点，使△CBE的面积有最大值。
（图2、图3供画图探究）二、直角三角形存在性例2、如图所示，将一边长为3的正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点A、B均落在坐标轴上，一抛物线过点A、B，且顶点为P（1，4）（1）求抛物线的解析式；（2）y轴上是否存在一点N，恰好使得△PNB为直角三角形若存在，直接写出满足条件的所有点N的坐标；若不存在，请说明理由．巩固练习1、如图，抛物线＝－x2＋2x＋3与x轴交于B、E两点，与y轴交于A 点．点P是直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t，是否存在点P，使△PAE为直角三角形若存在，求出t的值；若不存在，说明理由2、如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且点为抛物线的顶点,点B在x轴上.若点Q是y轴上一点,且为直角三角形,求点Q的坐标.三、等腰直角三角形存在性例3、在平面直角坐标系中,抛物线3-x与x轴交于A,B两点(A在=x2y2+-B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)请直接写出点A,C,D的坐标;(2)如图(1),在x轴上找一点E,使得△CDE的周长最小,求点E的坐标;(3)(3)如图(2),F为直线AC上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.巩固练习1、如图,抛物线bx=2经过A(4,0),B(1,3)两点,点B、C关于抛物线的y+ax对称轴l对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,是否存在这样的点M、N,使得以点M为直角顶点△CNM是等腰直角三角形若存在,请求出点M、N的坐标;若不存在,请说明理由.2、如图,已知直线3y与x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物=x+-线c-+=2经过A,B两点,点P在线段OA上,从点O出发,向点A以bxxy+每秒1个单位的速度匀速运动;同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B 以每秒2个单位的速度匀速运动,连接PQ,设运动时间为t秒.3、(1)求抛物线的解析式;4、(2)问:当t为何值时,△APQ为等腰直角三角形;四、全等三角形的存在性问题例4、如图所示，将一边长为3的正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点A、B均落在坐标轴上，一抛物线过点A、B，且顶点为P（1，4）（1）求抛物线的解析式；（2）点M为抛物线上一点，恰使△MOA≌△MOB，求点M的坐标；巩固练习如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且点为抛物线的顶点,点B在x轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使与全等若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;五、相似三角形的存在性问题例5、如图，直线与轴、轴分别相交于点、，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为，且对称轴为直线2=x 。
二次函数综合--角度存在性问题
二次函数综合--角度存在性问题【题型解读】二次函数综合中的角度问题是大部分地区全卷的压轴题，具有较好的区分度和选拔功能，此类试题不仅可以考查二次函数与平面几何的基础知识，还可以考查数形结合、分类讨论等数学思想方法，以及阅读理解能力、收集处理信息能力、运用数学知识探究问题的能力等.解题关键是，充分挖掘题目中的隐含条件，构造角，利用解直角三角形或相似进行计算求解.【主要类型】1.相等角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其与特定已知角相等2.二倍角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其等于特定已知角的2倍3.半角的存在性，主要形式为基于动点构造某个角使其等于特定已知角的一半【方法总结】角度存在性问题主要解题突破口在于构造相关角，主要有以下几种构造方法：⑴构造相等角的方法①利用平行线的性质或者等腰三角形的性质构造相等角②利用相似三角形构造相等角⑵构造二倍角的方法⑶构造半角的方法【典型例题】1．如图，已知直线BC的解析式为y＝﹣x+3，与x轴，y轴交于点B，C．抛物线y＝ax2+bx+3过A（﹣1，0），B，C三点，D点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，CD．（1）求二次函数及直线CD的解析式；（2）点P是线段CD上一点（不与点C，D重合），当△BCP的面积为时，求点P的坐标．（3）点F是抛物线上一点，过点F作FG⊥CD交直线CD于点G，当∠CFG＝∠EDB 时，请直接写出点F的坐标．2．如图，已知二次函数y＝ax2+x+b的图象经过点A（﹣3，0）和点B（0，4），∠BAO 的平分线分别交抛物线和y轴于点C，D．点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线AC于点E，连接PC．（1）求二次函数的解析式；（2）当以点P，C，E为顶点的三角形与△ADO相似时，求点P的坐标；（3）设点F为直线AC上一点，若∠BFD＝∠ABO，请直接写出点F的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过AB两点，与x轴的另一个交点为C．（1）直接写出点A和点B的坐标．（2）求抛物线的解析式．（3）D为直线AB上方抛物线上一动点．①连接DO交AB于点E，若DE：OE＝3：4，求点D的坐标；②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC的2倍？如果存在，直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣8，0）、B（2，0），与y轴交于点C，点D是AB中点，连接CD．点P是抛物线上一点．（1）求a、b的值；（2）若S△CDP＝S△CDO，求点P的横坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为E，若∠CPE＝∠CDO，求点P的横坐标．。
【 21】第22章 二次函数中的存在性问题-重难点题型总结(学生版)
第22章二次函数中的存在性问题-重难点题型总结【】【题型1 二次函数中直角三角形存在性问题】【例1】（2021•罗湖区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．【变式1-1】（2021春•望城区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x 轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．（1）求a、b、c的值；（2）连接P A、PC、AC，求△P AC面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2021•长沙模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m．（1）求二次函数解析式；（2）设△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-3】（2021•长沙模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时点M的坐标，若不存在，请说明理由．【题型2 二次函数中等腰三角形存在性问题】【例2】（2020秋•曾都区期末）如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD（点D是点A的对应点），求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；（3）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．【变式2-1】（2020秋•云南期末）如图，直线y=−12x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．（1）求B，C两点的坐标．（2）求该二次函数的解析式．（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式2-2】（2021•南充）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=5 2．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2-3】（2021•建华区二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝；（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME 长的最大值及点M的坐标；（4）在（3）的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【题型3 二次函数中平行四边形存在性问题】【例3】（2020秋•元阳县期末）如图，直线y=−12x+c与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过点A，C，与x轴的另一个交点为B（1，0），连接BC．（1）求抛物线的函数解析式．（2）M为x轴的下方的抛物线上一动点，求△ABM的面积的最大值．（3）P为抛物线上一动点，Q为x轴上一动点，当以B，C，Q，P为顶点的四边形为平行四边形时，求点P的坐标．【变式3-1】（2020秋•泰山区期末）如图，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图．（1）求直线AB和抛物线的表达式；（2）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小，在备用图中画出图形并求出点Q的坐标；（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点且AC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-2】（2021春•雨花区期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P从点B出发，沿着射线BC运动，速度每秒√2个单位长度，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．设运动时间为t秒．①在运动过程中，当t为何值时，使（MA+MC）（MA﹣MC）的值最大？并求出此时点P的坐标．②若点N同时从点B出发，向x轴正方向运动，速度每秒v个单位长度，问：是否存在t使点B，C，M，N构成平行四边形？若存在，求出t，v的值；若不存在，说明理由．【变式3-3】（2021•北碚区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴交于A，C（﹣6，0）两点（点A在点C右侧），交y轴于点B，连接BC，且AC＝4．（1）求抛物线的解析式．（2）若P是BC上方抛物线上不同于点A的一动点，连接P A，PB，PC，求当S△PBC−12S△P AC有最大值时点P的坐标，并求出此时的最大值．（3）如图2，将原抛物线向右平移，使得点A刚好落在原点O，M是平移后的抛物线上一动点，Q是直线BC上一动点．当A，M，B，Q组成的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点Q的坐标．【题型4 二次函数中菱形存在性问题】【例4】（2020秋•巴南区期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求b，c的值；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值．（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-1】（2021•湘潭）如图，一次函数y=√33x−√3图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y=√33x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-2】（2021春•无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C．是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【变式4-3】（2020秋•南岸区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（4，0）和B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求二次函数y＝x2+bx+c的表达式；（2）将点C向右平移n个单位得到点D，点D在该二次函数图象上．点P是直线BD下方该二次函数图象上一点，求△PBD面积的最大值以及此时点P的坐标；（3）在（2）中，当△PBD面积取得最大值时，点E是过点P且垂直于x轴直线上的一点．在该直角坐标平面内，是否存在点Q，使得以点P，D，E，Q四点为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型5 二次函数中矩形存在性问题】【例5】（2021春•九龙坡区校级期末）如图1，若二次函数y＝﹣x2+3x+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC、BC．（1）求三角形ABC的面积；（2）若点P是抛物线在一象限内BC上方一动点，连接PB、PC，是否存在点P，使四边形ABPC的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-1】（2021•齐齐哈尔）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是2√2；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．【变式5-2】（2021春•杏花岭区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（2）若点P为直线BC下方抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△BCP的面积最大，求△BCP 的最大面积及此时点P的坐标；（3）点M为抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，若以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，直接写出点M的坐标．【变式5-3】（2021•北碚区校级模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y=12x﹣4．（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P 的坐标．（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2√5个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【题型6 二次函数中正方形存在性问题】【例6】（2021•渝中区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，与x 轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其中A（﹣2，0），并且抛物线过点D（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线CD上方抛物线上一点，过P作PE∥y轴交BC于点E，连接CP，PD，DE，求四边形CPDE面积的最值及点P的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移得新抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），是否在新抛物线上存在点M，在平面内存在点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若在，直接写出此时新抛物线的顶点坐标，若不存在，请说明理由．【变式6-1】（2020秋•高明区期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△ACQ是以AC为腰的等腰三角形，求点Q的坐标；（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，GM⊥x轴于点M，N为直线PF上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标．【变式6-2】（2021•合川区校级模拟）如图，在平面直角坐标系．xOy中，直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（﹣2，0）．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点F是直线AB下方抛物线上一动点，连接F A，FB，求出四边形F AOB面积最大值及此时点F的坐标．（3）如图2，在（2）问的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内任意一点M 使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【变式6-3】（2021•海南模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B （4，0），交y轴于点C（0，4）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y=34x+94与抛物线交于A、D两点，与直线BC交于点E．若点M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．①当S EOG=12S△AOE时，求m的值；②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．。
二次函数中角度的存在性问题
二次函数中角度的存在性问题类型一：等角构造法（作垂直，找相似）例1：如图，抛物线y＝x2-4x＋3与x轴交于点A，B两点，与y轴交C，连接AC.抛物线上是否存在点M，使∠OBM ＝∠OCA.若存求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.分析：1.假设∠OBM=∠OCA，过M作ME垂直x轴，构造∆MEB~∆AOC，利用对应边成比例，可求出M点坐标。
2.利用对称性，求出点M的对称点H,可得∠HBO=∠OBM，延长BH交抛物线于点M’，则点M’就为所求的。
类型二：2倍角构造法（作垂直平分线，构造等腰三角形，则外角就为已知角的两倍）例2.如图，直线y＝-3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝-x2＋bx＋c经过点A，B．抛物线上是否存在点M，使直线AM与y轴所夹锐角是∠ABO的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.分析：1.作AB的垂直平分线CD,交y轴于点D,则构造等腰三角形BDA，所以∠ODA=2∠OBA，延长AD交抛物线于点M，则联立解析式可求点M坐标。
2.利用对称性可求点M的对称点H（或者求D点的对称点），则延长AH交抛物线于M’。
类型三：半角构造法（作角平分线或向外延长作等腰三角形）例3：如图，抛物线交x 轴于A ，C 两交y 轴于点B ，连接AB .抛物线上是否存在点M ，使∠ACM ＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.分析：方法1：作∠OAB 的J 角平分线AE ，求出E 点坐标及AE 解析式。
过点C 作CM ∥AE ，则∠MCA=∠OAE=∠OAB ，则点M 就为所求作的。
然后利用对称性，可求点M ’.4x 31x 31y 2+--=BAO ∠2121方法2：延长OA 至D ，使AD 等于AB ，构造等腰三角形BAD,则∠ADB=∠OAB ，过C 点作CM ∥BD,则点M 就为所求作的。
然后一样利用对称性求出点M ’。
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二次函数中的存在性问题
二次函数中特殊四边形的存在性问题（三）——与正方形的结合一、教材分析：结合最近几年的中考真题，不难发现，第28题压轴题一定是二次函数的综合性题目，在这道题的第3问中，大致可以分为以下几类：1、存在性问题：（1）二次函数中的特殊三角形存在性问题（这里的三角形可以是等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）；（2）二次函数中与已知三角形相似的三角形存在性问题；话（3）二次函数中与已知三角形面积产生联系的三角形存在性问题；（4）二次函数中特殊四边形存在性问题（这里的特殊四边形可以是平行四边形、矩形、菱形、正方形）。
2、最值问题。
3、动点问题（路径）。
由此可见，将存在性问题分为多个小专题来授课是非常必要的。
二、学情分析：在八年级学过一次函数后，我们已经在该背景下研究过特殊三角形的存在性问题，其中不乏等腰三角形等，也研究过在已知三角形的前提下，是否有点存在，构成全等三角形。
对处理存在性问题有了一定的感悟，往往是：假设存在——尝试画图，在该过程中分析是否具有多种可能性——选择合适的分类标准，进行讨论——结合题意推理计算。
在此背景下，经历了九年级的反比例函数、二次函数和相似三角形、特殊平行四边形的学习后，便可以将存在性问题放到反比例函数和二次函数中来研究，学生也有了一定的方向和研究策略，可以进一步体会存在性问题的本质。
三、教学目标：1、能根据题中给出的条件，选择恰当的表达式（一般式、顶点式、交点式），用待定系数法求出抛物线解析式2、在二次函数的综合性题目中，能结合图象，在题意中抽取出有用的信息，并能用数学语言表达（若没有图形则可自己尝试画图），找出符合题意的点，尝试解答3、在学习的过程中，经历独自思考、小组讨论的过程，增强自信心，树立健全人格四、教学重、难点：教学重点：在二次函数的综合性题目中，能结合图象，在题意中抽取出有用的信息，并能用数学语言表达（若没有图形则可自己尝试画图），尝试解答教学难点：归纳总结怎么处理二次函数中的存在性问题，存在性问题的本质是什么。
二次函数存在性问题,角度问题
二次函数存在性问题，角度问题1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标；（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．2．如图，在直角坐标系中，二次函数经过A（﹣2，0），B（2，2），C（0，2）三个点．（1）求该二次函数的解析式．（2）若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当D点坐标为何值时，△ACD的周长最小．（3）在直线y＝x上是否存在一点E，使得△ACE为直角三角形？有，请求出E点坐标；没有，说明理由．3．如图抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上直线BC上方的一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，求PQ的最大值及此时P点坐标；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠BCM＝∠BCO？若存在，求直线CM的解析式．4．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度；最大时，求点E的坐标及S△ABF（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC 的面积；（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．（1）求这个抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设动点P的横坐标为m，△PAC的面积为S．请直接写出面积S随着m的增大而减小时m的取值范围．8．如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B．（1）求抛物线解析式；（2）E（m，0）是x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴于点E，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接PB．①点E在线段OA上运动，若△PBD是等腰三角形时，求点E的坐标；②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°，请直接写出m的值．9．如图在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x+c与两坐标轴分别交于A，B，C三点，且OC＝OB，点G是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）若点M为第四象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，四边形OCMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是x轴上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、A、G为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点P的坐标．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n 与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣2，0），D（10，﹣12），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A，D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式．（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF 的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N，C，M，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n 与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y ＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）直接写出抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，连接PA、PD，①当△PAD的面积最大时，P点的坐标是；②当AB平分∠DAP时，求线段PA的长．（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+x+c与x轴的另一个交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，当△BCE面积最大时，求出点M的坐标；（3）在（2）的结论下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由．13．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是顶点，过：S△CEB＝3：5．点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE（1）求抛物线的解析式及直线CE的解析式；（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；（3）已知点H（0，），G（2，0），在抛物线对称轴上找一点F，使AF+FH的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）P是直线BC上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值；（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N坐标．15．如图，抛物线y＝x2+bx+c过A（4，0），B（2，3）两点，交y轴于点C．动点P从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线CA运动，设运动的时间为t秒．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q．当t＝时，求PQ的长；（3）若在平面内存在一点M，使得以A，B，P，M为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标．16．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n 过B，C两点．（1）求抛物线和直线BC的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣的图象经过点A（﹣1，0），C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式及其顶点的坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一个动点，若平面内存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个．18．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B（5，0），C（0，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴直线l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A（2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，当∠PCB＝∠BCO时，求点P的横坐标．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；（3）连接BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标．22．如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图②，若点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD，BD，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C，CO＝3AO，点P是抛物线上第一象限内的一动点，点Q在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作PD∥y轴交BC于点D，求线段PD长度的最大值；（3）如图2，当BQ交y轴于点M，∠QBC＝∠PBC，∠BCP＝45°，求点M的坐标．。
二次函数与等角存在性问题
二次函数与等角存在性问题解题点拨除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．【基本定理】回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；（3）等腰三角形：等边对等角；（4）全等（相似）三角形：对应角相等；（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．选择较多未必是好事，挑出关键性条件确定恰当方法才是更重要的~1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++过点()()2,0,4,0A B -，x 轴上有一动点(),0P t ，过点P 且垂直于x 轴的直线与直线BC 及抛物线分别交于点D ，E ．连接CE ．(1)求抛物线的解析式．(2)点P 在线段OB 上运动时（不与点O ，B 重合）当CDE BDP ∽ 时，求t 的值．(3)当点P 在x 轴上自由运动时，是否存在点P ，使DCE DEC ∠=∠若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线2()20y ax x c a =++≠与x 轴，y 轴分别交于点A (10)-，，B 点，C (03)，三点．(1)求抛物线的解析式；(2)P 为抛物线上直线BC 上方的一点，当四边形PCOB 面积最大时，求点P 的坐标；(3)点D (2)n ，在抛物线上，连接BC BD ，．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P ，满足PBC DBC ∠=∠？如果存在，请求出点P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．4．已知：抛物线(1)(3)y a x x =+-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴的交于点()0,3C -(1)求抛物线的解析式的一般式；(2)若抛物线第一象限上有一点P ，满足ACO PCB ∠=∠，求P 点坐标；5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为A ()10-，，B ()30，，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)连接AC BC 、，求ACB ∠的正切值；(3)点P 在抛物线上，且PAB ACB ∠=∠，求点P 的坐标．6．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴分别交于点(3,0)A 、(0,2)B -，且过点(2,2)C -.（1）求二次函数表达式；（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且4PAB S ∆=,求点P 的坐标；（3）在抛物线上（AB 下方）是否存在点M ，使ABO ABM ∠=∠？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由.7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线)0(2≠=+=a c bx ax y 与x 轴交于A （4-，0）、B （1，0）两点，与y 轴交于点C （0，2-），连接AC 、BC ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是抛物线上位于直线AC 下方一动点，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点D ，过点P 作BC 的平行线交y 轴于点E ，求2PD+55PE 的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，点N 是抛物线上一点，连接NB ，当线段NB 的中点F 恰好在y 轴上时，探究抛物线上是否存在点M ，使∠MNA ＝∠CAN ．若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22++=bx ax y 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C,已知OB=2OC=2OA.连接BC.(1)求抛物线的解析式；(2)如图1,点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥BC ，垂足为点E ，作PF ∥BC 交y 轴于F 点，求PF PE 5525+的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线AC 的方向平移22个单位长度得到新抛物线1y ,点Q 为新抛物线1y 上一动点，连接BQ 并延长交AC 所在的直线于D 点，是否存在点Q 满足条件∠ADB+∠ABC=∠CAB,若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由.9．如图，过点D(3，6)的抛物线y 与x 轴交A(03，-)，B(1，0)两点，与y 轴交于点C.(1)求该抛物线的表达式；(2)连接AC ，AD ，点P 为直线AC 下方抛物线上一动点，点Q 与点P 关于y 轴对称，分别过P ，Q 作y 轴的平行线交AD 于点M ，N ，求NQ MN PM ++22的最大值及此时点P 的坐标；(3)另一条过点B 的抛物线y '的顶点P '位于直线AD 上，该抛物线与x 轴的另一交点为点E ，连接B P '，E P ',若∠BP'E=∠P'AB，请直接写出满足条件的点P '的坐标.10．已知如图1,抛物线：c=2交x轴于A、B两点，交y轴于点C,其中A(2-,0)，B(4，0).点D为y轴y++bxx上一点，且D(0，4).(1)求抛物线的解析式；(2)点P为位于BC下方抛物线上一点，过P作y轴平行线交BC于点E，再过点E作直线AD的垂线交其于点F，求PE+EF的最大值，并求此时点P的坐标；(3)将抛物线沿射线CB方向平移52个单位长度后得到新抛物线y',点M为新抛物线y'上一点，当=∠时，写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M横坐标的其中一种情况的过∠CBM∠ACDADC+程.。
二次函数与三角形的存在性问题
_ Q_ G_P_ O中考压轴题特训：二次函数与等腰、直角三角形的存在性问题一、预备知识(1)坐标系中或抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ） 线段对称轴是直线 ：2x 21x x +=(2) 两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝ 。
中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y ,x x 。
练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则线段AB 的中点坐标是（3）平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、常见考察形式（1）已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形；总结： 两圆一线（2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C ，使△ABC 是直角三角形； 总结： 两线一圆 （3）、方法总结：1、平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2、平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆；3、二次函数中三角形的存在性问题解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度；（2）再画图；（3）后计算三、精讲精练1.由动点产生的等腰三角形问题（2012临沂）26如图，点A 在x 轴上，OA=4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；（2）求经过点A ．O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．2.由动点产生的直角三角形问题26．（2018临沂中考）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB =90°，OC =2OB ，tan ∠ABC =2，点B 的坐标为 （1，0）．抛物线y = x 2+bx +c 经过A ，B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使PE =21DE ． ①求点P 的坐标；②在直线PD 上是否存在点M ，使△ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题图第263.由动点产生的等腰直角三角形（13分）（2014•临沂）26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （1，0），直线y=2x ﹣1与y 轴交于点C ，与抛物线交于点C 、D ． （1）求抛物线的解析式；（2）求点A 到直线CD 的距离；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P 在直线CD 上，抛物线与直线CD 的另一个交点为Q ，点G 在y 轴正半轴上，当以G 、P 、Q 三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G 点的坐标．四、实战演1. （2018费县一轮）如图，直线2y x =+ 与抛物线26(0)y ax bx a =++≠相交于15(,)22A 和(4,)B m ，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C .（1）求抛物线的解析式：（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由. （3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标.APED BCOxy（第26题图）2.（2016临沂中考）26.（本题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=—2x+10与x轴、y轴相交于A、B两点.点C的坐标是（8,4），连接AC、BC. （1）求过O、A、C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
一题贯穿二次函数综合(二)——角的存在性问题.doc
一题贯穿二次函数综合（二）——角的存在性问题二次函数中角的存在性问题，大致可分为两大类：（1）角的顶点坐标已知；（2）角的顶点坐标未知.本专题我们就沿着这两种情况展开探究.如图，抛物线y=-x +2x+3与x轴交于A，B两点(点A 在点B的左侧)，与y轴交于点C.（6）已知点Q（0,1），P是抛物线上一个动点，过点P 作x轴的垂线，交BQ于点E，是否存在点P使得∠PBE=45°.若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解法一分析：由∠PBE=45°，所以过点P作PM⊥BQ，则△PBM是等腰直角三角形。
依托直角∠PMB构造K形图（关于K形图可参阅K形图在河南中考压轴题中的运用），先设出点M的坐标，进而表示出点P的坐标，再把点P的坐标代入抛物线解析式，解方程即可。
解法二分析：读题可知，点E始终在BQ上运动，所以∠PBE=∠PBQ=45°，见到45°，我们会联想到等腰直角三角形，将点B绕着点Q旋转90°得到点G，则∠GBE=45°，延长BG和抛物线相交，交点即为所求的点P.关于点P的坐标的求法，可先构造K形图（如下图），求出点G的坐标。
由于点B、点G的坐标已知，可求出直线BG的解析式，将直线BG解析式和抛物线的解析式联立方程组即可求得点P的坐标.用同样的方法可求出另一满足要求的点P。
将点B绕点Q 逆时针旋转90°，得到图中的点H，直线BH与抛物线的交点即为所求的点P，本题中点H刚好就是点P。
解法三分析：解法二中是通过将点B绕着点Q旋转90°，构造等腰直角三角形。
当然我们也可以将点B绕点E旋转90°，构造等腰直角三角形.（7）已知点Q（0,1），P是抛物线上一个动点，过点P 作x轴的垂线，交BQ于点E，是否存在点P使得tan∠PBE=1/2.若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.。
中考数学复习：二次函数角度的存在性问题
中考数学复习：二次函数角度的存在性问题【例1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A 、(4,0)B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ； （1）求抛物线的表达式； （2）求证：CAO BCO ∠=∠；（3）若点P 是抛物线上的一点，且PCB ACB BCO ∠+∠=∠，求直线CP 的表达式．【参考答案】（1）215222y x x =-+；（2）证明略；（3）423y x =-+或2y =． 思路点拨1．设求抛物线的交点式比较简便．2．第（2）题求两个锐角的正切值相等，可以得到两个锐角相等．3．第（3）题先把3个角的关系，转化为∠PCB ＝∠2，再按点P 与CB 的位置关系分两种情况讨论．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (1, 0)、B (4, 0)两点，所以y ＝a (x －1)(x －4)．代入点C (0, 2)，得12a =． 所以抛物线的表达式为1(1)(4)2y x x =--＝215222x x -+．（2）如图2，tan ∠CAO ＝OC OA ＝2．如图3，tan ∠BCO ＝OB OC ＝42＝2，所以∠CAO ＝∠BCO ．图2 图3（3）如图2，图3，由于∠CAO ＝∠BCO ，根据等角的余角相等，得∠1＝∠2． 因为∠PCB ＋∠ACB ＝∠BCO ，所以∠PCB ＝∠BCO －∠ACB ＝∠1＝∠2． ∠PCB 存在两种情况：①如图4，当点P 在CB 的右侧时，由∠PCB ＝＝∠2，得CP //x 轴．此时直线CP 的解析式为y ＝2．②如图5，当点P 在CB 的左侧时，设CP 与x 轴交于点D ． 由∠PCB ＝∠2，得DC ＝DB ．设D (x , 0)，根据DC 2＝DB 2，列方程x 2＋22＝(4－x )2．解得32x =．所以D 3(,0)2． 由C (0, 2)、D 3(,0)2，得直线CP 的解析式为423y x =-+．图4 图5 图6考点伸展如果第（3）题的条件不变，求点P 的坐标．第一种情形，如图4，当CP //x 轴时，点P 与点C 关于抛物线的对称轴52x =对称，所以P (5, 2)． 第二种情形，如图6，设P 215(,2)22x x x -+． 作PE ⊥y 轴于E ，那么OD CO EP CE =．所以2322152(2)22x x x =--+． 解得x ＝0，或73x =．所以P 710(,)39-．【例2】已知在直角坐标系中，抛物线283y ax ax =-+(0)a <与y 轴交于点A ，顶点为D ，其对称轴交x 轴于点B ，点P 在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧； （1）当ABBD =时（如图），求抛物线的表达式；（2）在第（1）小题的条件下，当DP ∥AB 时，求点P 的坐标； （3）点G 在对称轴BD 上，且12AGB ABD ∠=∠，求△ABG 的面积．【参考答案】（1）2138y x x =-++；（2）1(10,)2；（3）10或22． 思路点拨1．抛物线的解析式中隐含了对称轴（点B ）和点A 的坐标，根据AB ＝BD 求出点D 的坐标，再代入解析式求待定系数a ．2．看着12∠ABD ，结合BA ＝BD ，不由得让人联想起“三线合一”． 3．以∠ABD 为外角，构造等腰三角形BAG ，BG ＝BA ，这样就满足∠ABD ＝2∠AGB ．4．根据对称性，∠AGB 的顶点G 存在两种情况．满分解答（1）由y ＝ax 2－8ax ＋3，可得A (0, 3)，抛物线的对称轴为直线x ＝4． 所以B (4, 0)，AB ＝5．当BD ＝AB ＝5时，D (4, 5)．将点D (4, 5)代入y ＝ax 2－8ax ＋3，得18a =-．所以2138y x x =-++． （2）如图2，作PE ⊥BD 于E ．设点P 的坐标为21(,3)8x x x -++．当DP //AB 时，34ED OA EP OB ==．所以34ED EP =．图2解方程2135(3)(4)84x x x --++=-，整理，得x 2－14x ＋40＝0． 所以x ＝10，或x ＝4（与点D 重合，舍去）．所以P 1(10,)2．（3）如图3，在DB 的延长线上截取BG ＝BA ＝5，那么∠AGB ＝∠BAG ．又因为∠ABD ＝∠AGB ＋∠BAG ，所以此时∠AGB ＝12∠ABD ． 此时S △ABG ＝10．如图4，作AH ⊥BD 于H ，点G 关于直线AH 的对称点为G ′，那么G ′H ＝GH ＝8． 所以BG ′＝BH ＋G ′H ＝11．此时S △ABG ′＝22．图3 图4 图5考点伸展第（3）题也可以从∠ABD 的平分线开始思考：如图5，作∠ABD 的平分线与y 轴交于点C ．因为∠1＝∠2，∠1＝∠C ，所以∠2＝∠C ．所以AC ＝AB ＝5．过点A 作BC 的平行线交抛物线的对称轴于点G ，那么四边形CAGB 是平行四边形． 所以∠1＝∠G ，BG ＝AC ＝5．所以∠AGB ＝12∠ABD ．此时S △ABG ＝10． 求点G ′的过程同上．【例3】在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴角于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD =，联结AD 、将线段AD 绕着点D 顺时针旋转︒90得到线段DE 过点E 作直线x l ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．（1）求这条抛物线的解析式； （2）联结DF ，求cot EDF ∠的值；（3）点G 在直线l 上，且45EDG ︒∠=，求点G 的坐标．参考答案：（1）2312355y x x =-++； （2）cot EDF ∠= （3）3(4,6)(4,)2E 或． 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于点B (5, 0)，设3(5)()5y x x m =---，代入点A (0, 3)，得－3m ＝3．所以m ＝－1．所以23312(5)(1)3555y x x x x =--+=-++．（2）如图2，由△AOD ≌△DHE ，得DH ＝AO ＝3，EH ＝DO ＝1．所以E (4, 1)．由3(4)(5)(1)35f x x =--+=，得F (4, 3)．由D (1, 0)、F (4, 3)、E (4, 1)，可得∠DFE ＝45°，DF ＝EF ＝2． 如图3，作EM ⊥DF 于M ，那么EM ＝FM ．在Rt △DEM 中，EM ＝2，DM ＝DF －FM ＝22，所以DE ＝10． 所以cos ∠EDF ＝DM DE ＝2210＝255．图2 图3（3）符合条件的点G 有两个：①如图4，当点G 在DE 上方时，由∠EDG ＝∠EFD ＝45°，∠DEG 是公共角，可得△EDG ∽△EFG ． 所以ED 2＝EF ·EG ．所以10＝2EG ．所以EG ＝5．此时G (4, 6)．②如图5，当G ′在DE 下方时，△GDG ′是直角三角形．此时DH 2＝HG ·HG ′． 所以9＝6HG ′．所以HG ′＝32．此时G ′(4,32)．图4 图5yHHF EDABOyyGF G'H EDABOGHF EDABO【例4】已知顶点为(2,1)A -的抛物线经过点(0,3)B ，与x 轴交于C 、D 两点（点C 在点D 的左侧）； （1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB 、BD 、DA ，求△ABD 的面积；（3）点P 在x 轴正半轴上，如果45APB ︒∠=，求点P 的坐标．xyO参考答案：（1）243y x x =-+； （2）3； （3）(36,0)+ ．满分解答（1）设抛物线的顶点式为y ＝a (x －2)2－1，代入点B (0, 3)，得a ＝1． 所以这条抛物线的解析式为y ＝(x －2)2－1＝x 2－4x ＋3． （2）由y ＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)，得C (1, 0)，D (3, 0)．如图2，由A (2,－1)、B (0, 3)、D (3, 0)，可得∠BDO ＝45°，∠ADO ＝45°，BD ＝32，AD ＝2． 所以S △ABD ＝12AD BD ⋅＝12322⨯⨯＝3． （3）如图3，以AB 为斜边构造等腰直角三角形GAB ，以G 为圆心、GB 为半径画圆，与x 轴交于点P （圆与x 轴右侧的一个交点），根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可知∠APB ＝45°．如图4，由△BMG ≌△GNA ，得BM ＝GN ，MG ＝NA ．设G (m , n )，那么m ＝n ＋1，3－n ＝m －2．解得m ＝3，n ＝2．所以G (3, 2)． 设P (x, 0)．根据GB 2＝GP 2，列方程32＋12＝(x －3)2＋22．解得(36,0)+，或(36,0)-（这是圆与x 轴左侧的交点的横坐标，此时∠APB ＝135°）．所以点P 的坐标为(36,0)+．图2 图3 图4【裴文通老师和顾晓琴老师提供的解法】因为∠BDO ＝45°＝∠1＋∠3，∠APB ＝45°＝∠2＋∠3，∠ADO ＝45°＝∠2＋∠4， 所以∠1＝∠2，∠3＝∠4． 所以△PBD ∽△APD ．所以DP DA DB DP=．于是DP 2＝DA ·DB ＝232⨯＝6． 所以DP ＝6，OP ＝36+．所以P (36,0)+．图5y DCABOPy DCABOP【例5】已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x mx n =-++的图像经过点(3,0)A ，(,1)B m m +，且与y 轴相交于点C ；（1）求这个二次函数的解析式并写出其图像顶点D 的坐标； （2）求CAD ∠的正弦值；（3）设点P 在线段DC 的延长线上，且PAO CAD ∠=∠，求点P 的坐标．xyO参考答案：（1）223y x x =-++，顶点(1,4)； （2）1010； （3）33(,)22-，(6,3)--． 满分解答（1）将A (3, 0)、B (m , m ＋1)两点分别代入y ＝－x 2＋mx ＋n ，得930,1.m n n m -++=⎧⎨=+⎩解得m ＝2，n ＝3．所以y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4．所以C (0, 3)，顶点D (1, 4)． （2）如图2，作DE ⊥y 轴于E ．由A (3, 0)、C (0, 3)、D (1, 4)，可得∠ACO ＝∠DCE ＝45°，AC ＝32，DC ＝2． 所以∠ACD ＝90°．所以AD 2＝AC 2＋DC 2＝18＋2＝20．所以AD ＝25． 所以tan ∠CAD ＝DC AC ＝232＝13，sin ∠CAD ＝DC AD ＝225＝1010．（3）直线CD 的解析式为y ＝x ＋3，于是可设P (x , x ＋3)． 作PH ⊥x 轴于H ，当∠PAO ＝∠CAD 时，由tan ∠PAO ＝tan ∠CAD ，得13PH AH =． ①当P 在x 轴上方时，3133x x +=-．解得32x =-．此时P 33(,)22-（如图2所示）． ②当P 在x 轴下方时，(3)133x x -+=-．解得x ＝－6．此时P (－6,－3)（如图3所示）．图2 图3【例6】如图，在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于点A (-1,0)和点B ，与y 轴相交于点C (0,3)，抛物线的顶点为点D ，联结AC 、BC 、DB 、DC ．（1）求这条抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）求证：△ACO ∽△DBC ；（3）如果点E 在x 轴上，且在点B 的右侧，∠BCE=∠ACO ，求点E 的坐标．xx参考答案：（1）223=-++y x x ，(1,4)D ； （2）略； （3）(6,0)E ．满分解答（1）由抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A (－1, 0)，设y ＝－(x ＋1)(x －m )． 代入点C (0, 3)，得m ＝3．所以y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－(x 2－2x －3)＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4． 所以点B 的坐标为(3, 0)，顶点D 的坐标为(1, 4)．（2）如图2，由B (3, 0)、C (0, 3)、D (1, 4)，可知B 、C两点间的水平距离、竖直距离都是3，C 、D两点间的水平距离、竖直距离都是1．因此BC 、DC 与y 轴的夹角都是45°．所以∠BCD ＝90°，tan ∠DBC ＝DC BC ＝13． 由A (－1, 0)、C (0, 3)，得OA ＝1，OC ＝3，所以tan ∠ACO ＝OA OC ＝13． 所以∠ACO ＝∠DBC ．所以△ACO ∽△DBC ．（3）设CE 与BD 交于点G ．由∠BCE ＝∠ACO ＝∠DBC ，得GB ＝GC ． 于是可得CG 是Rt △DBC 斜边上的中线，点G 是BD 的中点．所以G (2, 2)． 作GH ⊥y 轴与H ，那么CH CO GH EO =，即132EO=．解得EO ＝6．所以E (6, 0)．图2 图3 图4【1】如图，抛物线25y ax bx =+-（0a ≠）经过点(4,5)A -，与x 轴的负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且5OC OB =，抛物线的顶点为D ． （1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、CD 、DA ，求四边形ABCD 的面积；（3）如果点E 在y 轴的正半轴上，且BEO ABC ∠=∠，求点E 的坐标．【参考答案】解：（1）∵抛物线25y ax bx =+-与y 轴交于点C ， ∴(0,5)C -， ∴5OC =．∵5OC OB =， ∴1OB =．又点B 在x 轴的负半轴上， ∴(1,0)B -．∵抛物线经过点(4,5)A -和点(1,0)B -， ∴1645550a b a b +-=-⎧⎨--=⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩． ∴这条抛物线的表达式为245y x x =--．（2）由245y x x =--，得顶点D 的坐标是(2,9)-．联结AC ． ∵点A 的坐标是(4,5)-，点C 的坐标是(0,5)-， 又145102ABC S ∆=⨯⨯=，14482ACD S ∆=⨯⨯=，∴18ABC ACD ABCD S S S ∆∆=+=四边形． （3）过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ． ∵1102ABC S AB CH ∆=⨯⨯=，52AB = ∴22CH =在Rt BCH ∆中，90BHC ∠=︒，BC =BH =∴2tan 3CH CBH BH ∠==． 在Rt BOE ∆中，90BOE ∠=︒，tan BOBEO EO∠=， ∵BEO ABC ∠=∠， ∴23BO EO =，得32EO =， ∴点E 的坐标为3(0,)2． 【2】 如图，抛物线25yx bx 与x 轴交于点A 与(5,0)B 点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点P ．（1）求抛物线的表达式并写出顶点P 的坐标； （2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ，若ABD ABP ，试求点D 的坐标；（3）设在直线BC 下方的抛物线上有一点Q ，若15BCQS，试写出点Q 坐标．参考答案：（1）265y x x =-+，(3,4)P -； （2）(1,12)D -； （3）(2,3)(3,4)Q --或．满分解答（1）将点B (5, 0)代入y ＝x 2＋bx ＋5，得．解得b ＝－6．所以y ＝x 2－6x ＋5＝－(x －3)2－4，顶点P 的坐标为(3,－4)． （2）如图2，作DN ⊥x 轴于N ．设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．由tan ∠ABD ＝tan ∠ABP ，得DN PMBN BM=． 设点D 的坐标为(x , x 2－6x ＋5)，那么2654252x x x -+==-．解得x ＝－1．所以点D 的坐标为(－1, 12)．图2 图3（3）由B (5, 0)、C (0, 5)，可知BC ＝52B C 与x 轴负半轴的夹角为45°． 设BC 边上的高为h ，那么S △BCQ ＝1522h ⨯＝15．解得32h =如图3，设y 轴上点C 下方的点G 到直线BC 的距离GH ＝32CG ＝6，G (0,－1)． 过点G 作BC 的平行线与抛物线的交点就是要求的点Q ，这条直线为y ＝－x －1． 解方程组21,65,y x y x x =--⎧⎨=-+⎩ 得2,3,x y =⎧⎨=-⎩或3,4.x y =⎧⎨=-⎩所以Q (2,－3)或(3,－4)．xylFE G PACBO QyDPACBO H【练习1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =+-经过点(2,1)A -，它的对称轴与x 轴相交于点B ；（1）求点B 的坐标；（2）如果直线1y x =+与此抛物线的对称轴交于点C 、与抛物线在对称轴右侧交于点D ，且BDC ACB ∠=∠，求此抛物线的表达式．【 参考答案】（1）(1,0)B ；（2）2510133y x x =--． 满分解答（1）将点A (2,－1)代入y ＝ax 2＋bx －1，得1－＝4a ＋2b －1．所以b ＝－2a ．抛物线的对称轴x ＝2b a -＝22aa--＝1．所以点B 的坐标为(1, 0)． （2）如图2，由y ＝x ＋1，得C (1, 2)．所以BC ＝2．由A (2,－1)、B (1, 0)，得2BA =，∠2＝45°．因为直线y ＝x ＋1与坐标轴的夹角为45°，由此可知∠1＝45°．所以∠1＝∠2． 根据等角的邻补角相等，可知∠DCB ＝∠CBA ． 当∠BDC ＝∠ACB 时，△DCB ∽△CBA ．所以DC CB CB BA =，即222DC =． 所以22DC =．因此D 、C 两点间的水平距离、竖直距离都是2．所以D (3, 4)． 将点D (3, 4)代入y ＝ax 2－2ax －1，得4＝9a －6a －1．解得53a =． 所以抛物线的表达式是2510133y x x =--．。
二次函数中的十二大存在性问题(学生版)
二次函数中的十二大存在性问题【题型1二次函数中等腰三角形的存在性问题】【题型2二次函数中直角三角形的存在性问题】【题型3二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】【题型4二次函数中全等三角形的存在性问题】【题型5二次函数中平行四边形的存在性问题】【题型6二次函数中菱形的存在性问题】【题型7二次函数中矩形的存在性问题】【题型8二次函数中正方形的存在性问题】【题型9二次函数中面积问题的存在性问题】【题型10二次函数中线段问题的存在性问题】【题型11二次函数中角度问题的存在性问题】【题型12二次函数中最值问题的存在性问题】【题型1二次函数中等腰三角形的存在性问题】1(2023春·甘肃张掖·九年级校考期中)如图甲，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．(1)求该抛物线的解析式；(2)当0<x<3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究)，并求出最大面积及E点的坐标．(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；1(2023春·广西贵港·九年级统考期末)如图，抛物线y=ax2+3x+c a≠0和与x轴交于点A-2,0点B，与y轴交于点C0,8，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)求△BCP的面积最大值；(3)点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2(2023春·山西晋城·九年级校考期末)如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A-1,0两，B4,0点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点Q．(1)求抛物线的表达式；(2)求线段PQ的最大值；(3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接QM．是否存在点P，使得△PQM为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．3(2023•沙坪坝区校级模拟)如图1，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)交x轴于点A(-1，0)，点B(4，0)，交y轴于点C．连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线于点D(异于点A)．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交AD于点E，过点E作EG⊥BC于点G，连接PG．求△PEG面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，将抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)水平向右平移32个单位，得到新抛物线y1，在y1的对称轴上确定一点M，使得△BDM是以BD为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【题型2二次函数中直角三角形的存在性问题】1(2023春·四川广安·九年级校考期中)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-3,2)，B(0,-2)，其对称轴为直线x=52，C0,1 2为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D．(1)求抛物线的函数表达式；(2)试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由．1(2023春·辽宁盘锦·九年级校考期中)如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的横坐标；(3)点P是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；不存在，说明理由．2(2023春·广东梅州·九年级校考期中)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(-2,5)，B(-1,0)，与x轴交于点C．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点P直线AC下方抛物线上的一动点，求△PAC面积的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点Q，使△ACQ是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．3(2023春·甘肃金昌·九年级统考期中)平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-1)2+92与x轴交于A，B(4，0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；【题型3二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】1(2023春·山西阳泉·九年级统考期末)综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于点A-1,0作平行于x轴的直线l，直线l与抛物线y，与y轴交于点C，过动点D0,m和点B4,0=ax2+bx-2相交于点E，F．(1)求抛物线的表达式；(2)求m的取值范围；(3)直线l上是否存在一点P，使得△BCP是以BC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．1(2023春·福建漳州·九年级校考期中)如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点B1,0，与y 轴交于点A，其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的角平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；(3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2(2023春·湖南湘西·九年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y =-x +3交x轴于点B ，交y 轴于点C ，直线AD 交x 轴于点A ，交y 轴于点D ，交直线BC 于点E -12，72，且CD =1．(1)求直线AD 解析式；(2)点P 从B 点出发沿线段BA 方向以1个单位/秒的速度向终点A 运动(点P 不与A ，B 两点重合)，设点P 的运动时间为t ，则是否存在t ，使得△AEP 为等腰直角三角形？若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，点P 出发的同时，点Q 从C 点出发沿射线CO 方向运动，当点P 到达终点时，点Q 也停止运动，连接AQ ，PQ ，设△APQ 的面积为S ，S 与t 的函数关系式为S =32t 2-12t +2120≤t <1a t -1 t -7 1<t <7，其图象如图2所示，结合图1、图2的信息，请求出a 的值及当△APQ 的面积取得最大值时AQ 的长．3(2023春·北京通州·九年级统考期末)如图，抛物线y1=ax2-2x+c的图象与x轴交点为A和B，与y 轴交点为D0,3，与直线y2=-x-3交点为A和C．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线y2=-x-3上是否存在一点M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在请说明理由．(3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标x E的取值范围．【题型4二次函数中全等三角形的存在性问题】1(2023·陕西咸阳·统考三模)如图，抛物线y=14x2-2x+3与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为C，对称轴为直线l，l交x轴于点D．(1)求点A、B、C的坐标；(2)点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥y轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．1(2023·甘肃陇南·统考一模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A-1,0，B两点，与y轴交于点C0,-3．(1)求抛物线的函数解析式；(2)已知点P m,n在抛物线上，当-1≤m<3时，直接写出n的取值范围；(3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为2,3，试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．2(2023·陕西咸阳·统考三模)如图，抛物线y=14x2-2x+3与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点为C，对称轴为直线l，l交x轴于点D．(1)求点A、B、C的坐标；(2)点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥y轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．3(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为B(2，1)，且过点A(0，2)，直线y=x与抛物线交于点D，E(点E在对称轴的右侧)，抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形(1)求该抛物线的解析式；(2)求点P的坐标；(3)求证：CE=EF；(4)连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+22=(2+1)2]．【题型5二次函数中平行四边形的存在性问题】1(2023春·云南临沧·九年级统考期末)如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A-1,0两点，、B3,0与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是抛物线上的一点，当△ABD的面积为10时，求点D的坐标；(3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．1(2023春·山东东营·九年级校考期末)如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A-1,0、B3,0两点，与y轴交于点C，连接BC．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段BC上的一动点(不与B、C重合)，PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，当△BCM的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．2(2023春·重庆梁平·九年级统考期末)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-2x2+4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点E，B(E在B的左侧)．(1)如图2，抛物线的顶点为点Q，求△BEQ的面积；(2)如图3，过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作PD 平行于y轴交AB于点D、交AC于点F，当点P在何位置时，PD+CF最大？求出最大值；(3)在(2)条件下，当PD+CF最大时，将抛物线y=-2x2+4x+6沿着射线AB平移，使得抛物线经过点C，此时得到新抛物y ，点N是原抛物线对称轴上一点，在新抛物线y 上是否存在一点M，使以点A，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的所有坐标，若不存在，请说明理由．3(2023春·重庆江北·九年级重庆十八中校考期末)如图1，抛物线y=ax2+bx+3a≠0与x轴正半轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且OC=OB=3OA，点D为抛物线的顶点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P为直线BC下方该抛物线上任意一点，点E为直线BC与该抛物线对称轴的交点，求△PBE面积的最大值；(3)如图2，将该抛物线沿射线CB的方向平移22个单位后得到新抛物线y ，新抛物线y 的顶点为D ，过(2)问中使得△PBE面积为最大时的点P作平行于y轴的直线交新抛物线y 于点M．在新抛物线y 的对称轴上是否存在点N，使得以点P，D ，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【题型6二次函数中菱形的存在性问题】1(2023春·重庆云阳·九年级校联考期中)如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A、B(点B在点A左侧)，与y轴相交于点C(0,3)．已知点A坐标为(1,0)，△ABC面积为6．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作直线BC的垂线，垂足为点E，过点P作PF∥y轴交BC于点F，求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标：(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y ，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．1(2023春·甘肃庆阳·九年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C0,-3，点P是直线BC下，点A在原点的左侧，点B的坐标为3,0方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式．(2)连接PO、PC，并把△POC沿CO所在直线翻折，得到四边形POP C，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的面积．点，抛物线y=-x2+bx+c经过点B，且与x轴交于点C(2,0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，四边形OAMB的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；(3)若点P在平面内，点Q在直线AB上，平面内是否存在点P使得以O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．点，抛物线y=-x2+bx+c经过点B，且与x轴交于点C(2,0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，四边形OAMB的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；(3)若点P在平面内，点Q在直线AB上，平面内是否存在点P使得以O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【题型7二次函数中矩形的存在性问题】1(2023春·浙江湖州·九年级统考期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y=a(x+3)(x-1)(a>0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)求点A与点B的坐标；(2)若a=13，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．(3)经过点B的直线l：y=kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD=4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．1(2023·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模)已知抛物线y=ax2+bx-4a≠0交x轴于点A4,0和点B-2,0，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P是抛物线上位于直线AC下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，交x轴于点E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标及PD+PE最大值．(3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且AC为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由．2(2023春·内蒙古通辽·九年级校考期中)如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(3,0),B(-1,0)两点，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式和对称轴．SΔABC，求R的坐标．(2)若R为第一象限内抛物线上点，满足SΔRAC=12(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．3(2023春·广东江门·九年级校考期末)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-2a≠0、B两点，交y轴于点C，其对称轴为x=1.5，交x轴于A-1，0(1)求该抛物线的函数解析式；(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标．(3)在(2)的条件下，将抛物线y=ax2+bx-2a≠0向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【题型8二次函数中正方形的存在性问题】1(2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点D为直线y=x上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标；(3)已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P，C，E，Q为顶点的四边形是以PC为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．1(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图，已知拋物线y=-x2+2x+c与x轴交于点A3,0，B与y轴交于点C．(1)求c的值及该抛物线的对称轴；(2)若点D在直线AC上，点E是平面内一点．是否存在点E，使得以点A,B,D,E为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．2(2023·山西晋中·山西省平遥中学校校考模拟预测)如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．连接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线PD⊥x轴于点D．交BC于点E．过点P作BC的平行线，交y轴于点M．(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)在点P的运动过程中，求使四边形CEPM为菱形时，m的值；(3)点N为平面内任意一点，在(2)的条件下，直线PM上是否存在点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3(2023·江西赣州·统考一模)已知二次函数C1：y=mx2-2mx+3(m≠0)．(1)有关二次函数C1的图象与性质，下列结论中正确的有．(填序号)①二次函数C1的图象开口向上；②二次函数C1的图象的对称轴是直线x=1；③二次函数C1的图象经过定点(0，3)和(2，3)；④函数值y随着x的增大而减小．(2)当m=1时，①抛物线C1的顶点坐标为；②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的表达式为；(3)设抛物线C1与y轴相交于点E，过点E作直线l∥x轴，与抛物线C1的另一交点为F，将抛物线C1沿直线l翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q．是否存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．【题型9二次函数中面积问题的存在性问题】1(2023春·四川广安·九年级统考期末)如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过A1,0两点，交y轴于,B3,0点C．(1)求抛物线的函数解析式．(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△ACM的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．S△BCA，请直接写出点P的横坐(3)如图2，连接BC，若在BC下方的抛物线上存在一点P，使得S△BCP=12标．1(2023春·江西九江·九年级校考期中)如图，已知二次函数L1：y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，A点坐标(-1，0)，B点坐标(3,0)，与y轴交于点C，直线L2：y=x+n经过点A．(1)求二次函数L1的表达式及顶点P的坐标；(2)二次函数L3与二次函数L1关于X轴对称，直线L2与二次函数L3相交于A、D两点．①直接写出二次函数L3的表达式；②求出D点的坐标；③在直线L2上半部分的二次函数L3上，是否存在一点M，使得△AMD的面积最大？若存在，请求出M坐标，并求出最大面积．2(2023春·山东东营·九年级东营市实验中学校考期中)如图，抛物线y=ax2+bx+c a≠0与y轴交于点C0,4．，点B4,0，与x轴交于A-2,0(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当S△MBC取得最大值时，求点M的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P，使三角形ABP的面积为12？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3(2023春·福建泉州·九年级统考期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为E1，4的抛物线y= ax2+bx+c与x轴从左到右依次交于A，B两点，与y轴的交点为C0，3，P是抛物线对称轴右侧图象上的一点，且在x轴的上方．(1)求此抛物线的解析式；(2)若直线BP与抛物线对称轴交于点D，当BD-CD取得最大值时，求点P的坐标；(3)若直线BC与抛物线对称轴交于点F，连接PC，PE，PF，记△PCF，△PEF的面积分别为S1，S2，判断2S1+S2是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【题型10二次函数中线段问题的存在性问题】1(2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中)如图1，抛物线y=ax2+bx+c a≠0与x轴交于A-8,0．点E是第二象限内抛物线上的一个动点，设点E的横坐标 两点，与y轴交于点D0,4，C2,0为n，过点E作直线EB⊥x轴于点B，作直线AD交EB于点F．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，当△EFD是以FD为底边的等腰三角形时，求点E的坐标；(3)如图2，连接CD，过点E作直线l∥CD，交y轴于点H，连接BH．试探究：在点E运动的过程中，是否存在点E，使得FD=BH，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．1(2023春·四川南充·九年级统考期中)如图，平面直角坐标系中的Rt△AOB和Rt△COD全等，直角边OB、OD在x轴上．已知点C的坐标为4，2，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F，抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．(1)写出点A的坐标并求该抛物线的函数解析式；(2)点G为抛物线上位于线段OC所在可直线上方部分的一动点，求G到直线OC的最大距离和此时点G 的坐标；(3)点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM的边AM与边BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．2(2023春·云南曲靖·九年级统考期末)已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A-1,0两，B3,0点，与y轴交于点C，连接BC．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点M，使得B、C两点到直线AM的距离相等，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由；(3)点P为x轴上一动点，以P为旋转中心，把线段BC逆时针旋转90°，得到线段GH，其中点B的对应点为点G，当抛物线的对称轴刚好经过GH中点时，求此时点P的坐标．3(2023春·安徽阜阳·九年级校考期末)如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=-2与x轴交于点C，直线y=-2x+1经过抛物线上一点B2,m，且与y轴．直线x=-2分别交于点D、E．(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式；(2)①判断△CBE的形状，并说明理由；②判断CD与BE的位置关系；(3)若P x,y是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【题型11二次函数中角度问题的存在性问题】1(2023春·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B4,0在抛物线上，点P是抛物线上一动点．两点，与y轴交于点C，点D3,4(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，连接OD，若OP平分∠COD，求点P的坐标；(3)如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO=45°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．1(2023春·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末)如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点M，使△MBC的面积为27？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．2(2023春·江苏盐城·九年级统考期末)如图，抛物线y=12x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A-4,0,C0,-2．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点E是线段AC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDAF的面积最大?求出四边形CDAF的最大面积及此时E点的坐标；(3)在y轴上是否存在点P，使得∠OAP+∠OAC=60°？若存在，请直接写出P点的坐标，若不存在，请说明理由．3(2023春·浙江湖州·九年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x-2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B，点P为抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当△ACP的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；(3)是否存在点P，使得∠ACP=∠ABC-∠BAC，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【题型12二次函数中最值问题的存在性问题】1(2023春·甘肃庆阳·九年级统考期中)如图，已知抛物线y=38x2-34x-3与x轴的交点为点A、D(点A在点D的右侧)，与y轴的交点为点C．(1)直接写出A、D、C三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为点B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．1(2023春·浙江宁波·九年级校考期中)对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x <0时，它们对应的函数值互为相反数；当x ≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为“伴随”函数．例如：一次函数y =x -3，它的“伴随”函数为y =-x +3x <0 x -3x ≥0 ．(1)已知点M -2，1 在一次函数y =-mx +1的“伴随”函数的图象上，求m 的值．(2)已知二次函数y =-x 2+4x -12．①当点A a ，32 在这个函数的“伴随”函数的图象上时，求a 的值．②当-3≤x ≤3时，函数y =-x 2+4x -12的“伴随”函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．。
中考数学 二次函数存在性问题 及参考答案
中考数学二次函数存在性问题及参考答案中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线 $y=x^2$ 向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线 $y=(x-h)^2+k$。
所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D。
1）写出h、k的值；2）判断△ACD的形状，并说明理由；3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。
2.如图，已知抛物线经过A（$-2,0$），B（$-3,3$）及原点O，顶点为C。
1）求抛物线的解析式；2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线 $y=ax^2+bx$ （$a>0$）与双曲线$y=\frac{k}{x}$ 相交于点A，B。
已知点B的坐标为（$-2,-2$），点A在第一象限内，且 $\tan\angle AOX=4$。
过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C。
1）求双曲线和抛物线的解析式；2）计算△ABC的面积；3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积。
若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
4.如图，抛物线 $y=ax^2+c$ （$a>0$）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（$-2,0$），B（$-1,-3$）。
1）求抛物线的解析式；2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使$\triangle PAD=4\triangle ABM$ 成立，求点P的坐标。
基于核心素养的数学课堂教学——“二次函数中与角有关的存在性问题”专题教学设计与思考
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０４基于核心素养的数学课堂教学基于核心素养的数学课堂教学㊀㊀㊀ 二次函数中与角有关的存在性问题 专题教学设计与思考Һ陈煜舟㊀（苏州市沧浪中学校，江苏㊀苏州㊀２１５００７）㊀㊀ʌ摘要ɔ‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“颁布后， 如何将核心素养真正落实到课堂教学中 成了诸多教师㊁学者热烈讨论的话题．本文通过 二次函数中与角有关的存在性问题 这节专题课的教学，以小见大，将数学思想渗透于学生的数学活动中，以培养学生的数学核心素养，让学生学有所得．文章应用新课标引领教育新生态，采用 巧设问题，体验由繁化简；对比探究，悟得方法优劣；变化局部，调动类比思维；探本寻源，发展建模素养；以编促学，统筹知识全局 等策略，旨在将核心素养真正落实到数学课堂，让学生在分析和思考问题的过程中感悟转化㊁对比㊁类比等数学思想方法，提炼出思维精华，发展建模素养，在开放性的问题中打破知识的壁垒，建立联系，从而通过教学活动实现数学教育的育人功能．ʌ关键词ɔ数学活动；数学思维；核心素养一㊁新课标引领教育新生态２０２２年４月２１日，教育部颁布了‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“，标志着我国以核心素养为导向的新一轮课程改革拉开了序幕．从 双基 到 三维目标 ，再到现在以 核心素养 为本位，数学教学把核心素养的培育作为主要教学目标，使义务教育呈现出新的面貌，也使数学学科独特的育人价值不断地体现出来．初中阶段，学生的数学学习需要掌握很多显性的表层知识，如一些概念㊁性质㊁公式等．新课标更加关注数学思维的形成㊁活动经验的积累㊁理想信念和价值观的引领，让学生在与周围环境产生相互作用时具备良好的数学核心素养．接下来，笔者以 二次函数中与角有关的存在性问题 这节专题课的教学为例，阐述如何将核心素养的培养贯彻到数学教学中．这堂课重点解决下面的问题：如图１，已知抛物线ｙ＝－２３ｘ２＋４３ｘ＋２交ｘ轴于Ａ，Ｂ两点（点Ａ在点Ｂ右边），交ｙ轴于点Ｃ，点Ｐ在抛物线上运动．在抛物线上是否存在点Ｐ（在ＡＣ上方），使得øＡＣＰ＝４５ʎ？若存在，求点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由．图１二㊁核心素养落地数学课堂（一）巧设问题，体验由繁化简首先，学生会画一个草图了解点Ｐ的大致位置（如图２），但经过尝试会发现直接求点Ｐ的坐标比较复杂．因此，教师抛出一个简单清晰的问题 点Ｐ的位置在哪里 ，以合适的问题引导学生观察点Ｐ的位置：点Ｐ在抛物线上，也在直线ＣＰ上．这便让学生意识到：要求点Ｐ的坐标，可以先求直线ＣＰ的解析式．这是解决该问题最关键的一步．图２教师鼓励学生将最终转化而成的问题写下来以明确解题目标，即解决该问题的第一步可以转化为：如图３，在平面直角坐标系中，已知一次函数ｙ＝－２３ｘ＋２分别交ｘ轴㊁ｙ轴于Ａ，Ｃ两点，将直线ＡＣ绕点Ｃ逆时针旋转４５ʎ，求旋转后的直线ｌ１的解析式．图３这一巧妙的设计开拓了学生的思路，使学生能通过观察点的位置主动推理出解决问题的方法．因此，教师应通过巧设问题引导学生分解㊁转化综合问题，为学生提供思维的阶梯．按照上述解题思路，大问题分解成了相对简单的小问题，由难到易，由繁化简．教师应有意识地向学生揭示这里利用了转化的数学思想，将数学思想加以明确．（二）对比探究，悟得方法优劣在求旋转后的直线解析式时可以发现只有一个点Ｃ的坐标是已知的，因此还需确定这条直线上另一点的坐标．那么如何选取这个点呢？教师让学生合作讨论后再分享各自的做法．有的小组提出：过点Ａ向ｌ１作垂线，交ｌ１于点Ｄ（如图４），然后求垂足Ｄ的坐标；也有小组认为：过点Ａ向ＡＣ作垂线，交ｌ１于点Ｄ（如图５），然后求点Ｄ的坐标．还有一些㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０４类似的方法这里不一一赘述．图４㊀㊀㊀图５接着，教师引导学生回忆求点的坐标的常用方法：向ｘ轴或ｙ轴作垂线．学生马上联想到可通过构造 ｋ型全等 求出点Ｄ的坐标．为了更好地让学生感受 构造 这一数学方法，教师请学生将解题方法进行对比，可以发现两种方法都构造了 ｋ型全等 ，即把倾斜着的难以解决的线段转化为横平竖直的线段，从而转移了线段长度，求出了点的坐标，这是一种大家常用的化斜为直的构造方法．但两种方法有繁易之分，所以教师进一步请学生分析两种方法的不同之处：图４中的解题过程比较烦琐，需要设未知数，图５可直接求解．教师继续引导：造成这种区别的主要原因是什么呢？学生通过观察发现，图４中由于点Ｄ未知，ＲｔәＥＤＣ与ＲｔәＦＡＤ的直角边都是未知的，所以需要设未知数；而图５中点Ａ是已知的，ＲｔәＡＯＣ的两条直角边都已知，因此可以直接求解．两种思路的比较让学生感悟到：在解决此类问题时，应尽可能地选择以已知点为直角顶点构造 ｋ型全等 ．在这一过程中，学生由浅入深㊁由表及里，在对比中主动地 悟 出解决这个问题的好方法．教师的启发引导㊁小组的相互合作㊁班级的分享互动，改变了传统的 教师教，学生学 的教学模式，构建了以学生为中心的课堂．（三）变化局部，调动类比思维教师将 旋转４５ʎ 改为 旋转一个正切值为１２的角度，即ｔａｎøＡＣＰ＝１２，其余条件及问题不变．虽然旋转角度不是特殊角，但正切值确定，øＡＣＰ的度数相当于是已知的，因而这是一道与旋转角为４５ʎ一脉相承的题目．考虑到正切值的利用应该放在直角三角形中，学生经过观察㊁分析能迅速类比得出此类问题的解决思路，依然可以作垂直构造 ｋ型相似 ，并且模仿较简单的辅助线构造方法，即以点Ａ为直角顶点构造 ｋ型相似 ．角度的一般化同时带来了 ｋ型全等 到 ｋ型相似 的变化，教师通过列举一个一般化的例子，调动起学生的类比思维，让学生在以后接触到其他一般化的角度时也能得心应手地解题，这为后续归纳解题步骤做好了铺垫．（四）探本寻源，发展建模素养此时，学生对本节课的第一个难点有了初步的理解，但是教师不需要急着展开后面的内容，应该给予学生充分的时间，小结解决问题的步骤，归纳图形的共同属性．教师引导学生观察图形中的已知信息：直线ＡＣ是已知的，点Ａ，Ｃ为已知点，旋转角度α也是已知的．列举出已知信息之后，教师请学生思考要求的是什么，并将已知信息与所求内容用语言组织起来，进行口头完整叙述．问题是： 已知直线ＡＣ绕点Ｃ旋转一个角度α，其中点Ａ，Ｃ是已知点，旋转角度α已知，如何求旋转后的直线解析式？ 解法是： 应该尽可能以已知点Ａ为直角顶点构造 ｋ型相似 ，再求点Ｄ的坐标，最后求直线解析式．将思维的结果用文字语言表达出来，可以帮助学生梳理解题脉络，并锻炼他们的表达能力，也能辅助教师及时获得学情，让教师了解学生是否观点明确㊁条理清晰，是否具有丰富的数学语言系统，从而调整教学策略．为了将信息多方面地呈现给学生，教师请学生用图示的方法明确解题思路，进一步把抽象的文字语言转化为具体㊁直观的图示信息（如图６）．图６接下来，教师带领学生 回头 看课堂开始时提出的问题．通过前后比较，学生能够很容易找出两幅图关联的地方，即有两条相同的直线，因此可将求二次函数上动点的坐标转化为求抛物线与直线的交点．至此，这个问题便迎刃而解．这时，教师就可顺势引出本节课研究的专题 二次函数中与角有关的存在性问题 ．自然的过渡强化了学生的解题思路：对于这类二次函数中与角有关的存在性问题，需要先求旋转后的直线解析式．接下来，教师请学生完善图６的步骤（如图７）．图７就如初中数学一开始先学习具体的有理数加减乘除㊁再学习用字母表示数一样，学生总能慢慢地从特殊的数据处理中得出具有普遍意义的结论．在本节课上，教师通过具体的语言归纳以及直观的图示两种策略，让学生对于这类问题的解决脉络逐渐清晰化，建立起这类题目的解题模型，达到对这类问题的深度认知目标，将知识尽快地转化为学生的能力．㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０４（五）以编促学，统筹知识全局在应用部分，教师让学生模仿例题，合作编题，并讨论解决．具体过程如下：教师：这个角度可以为４５ʎ，在相同的题目条件下，根据我们研究的内容，还可以怎样编题呢？生１：在抛物线上是否存在点Ｐ（在ＡＣ上方），使得øＡＣＰ＝３０ʎ？若存在，求点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由．生２：在抛物线上是否存在点Ｐ（在ＡＣ上方），使得ｔａｎøＡＣＰ＝１２？若存在，求点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由．生３：在抛物线上是否存在点Ｐ，使得ｔａｎøＡＣＰ＝１２若存在，求点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由．如果学生很难提出问题，那么教师可以加以引导：在这个图像中，已经有一个特殊的角，是øＢＣＯ，它的正切值为１２，你觉得这个问题还可以怎样变化？生４：问题也可以改成：在抛物线上是否存在点Ｐ，使得øＡＣＰ＝øＢＣＯ？若存在，求点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由．教师在此处可进行适当的停顿，并引导学生发现这是一道什么类型的题目，从而引导学生总结出：对于二次函数中一个角等于已知角的问题，也可以用类似的方法求解．由角相等也可以联想到相似，所以也会有学生做下面的联想．生５：在抛物线上是否存在点Ｐ，过点Ｐ作ＰＤʅＡＣ，垂足为Ｄ，使得әＣＰＤʐәＣＢＯ？若存在，求点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由．生６：在抛物线上是否存在点Ｐ，过点Ｐ作ＰＤʅＡＣ，垂足为Ｄ，使得әＣＰＤ与әＣＢＯ相似？若存在，求点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由．思维比较发散的学生也能想到更换角的顶点．生７：在抛物线上是否存在点Ｐ，使得øＣＡＰ＝øＢＣＯ？若存在，求点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由．生８：在抛物线上是否存在点Ｐ，使得øＡＣＰ＝øＡＣＯ？若存在，求点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由．在这种情况下，ＡＣ是øＯＣＰ的平分线，所以也可以利用角平分线加平行推导出等腰三角形来解决．一题多解的具体方法可以留给学生课后思考．如果此时学生觉得提问题有难度，那么教师可以继续引导学生思考：两个角还可能有什么关系？是互余㊁互补或两倍角吗？生９：在抛物线上是否存在点Ｐ，使得øＰＣＡ与øＣＡＯ互余？若存在，求点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由．这一环节实际上检验的是学生对这类问题是否真正建立起了数学模型，即是否都能转化为今天课堂开始时提出的问题．开放性的编题活动促使学生全身心地参与课堂活动，让学生在自己创造性的思考以及聆听他人想法的过程中感受这类问题的特点，强化了对这类问题的认知，突破了 就题论题 的弊端．以后碰到类似的问题时，学生就能迅速将新问题转化为旧问题，自身的数学思维得以提升．教师的例题是一个 纲 ，学生通过讨论将一个问题进行发散，将已有的知识进行串联㊁积累㊁加工，主动地进行一种更高难度的思维活动，是一种立足于整体的学习．在这一过程中，教师只需要扮演点拨者的角色，在学生有困难的时候帮助其将知识点牵桥搭线，建立起宏观的数学观念．课堂最后，教师拓展布置了一道题： 在相同的条件下，在第四象限是否存在点Ｐ，点Ｑ在ＰＢ的延长线上，满足øＣＢＱ＝øＣＡＢ＋４５ʎ？若存在，求点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由． 这道题也涉及两个角度之间的关系，改编自一道中考题．学生通过课后思考巩固本节课所学知识及思想方法，链接了中考．同时，教师可以通过这道题检验学生的习得情况，对学生今日所学做出评价．三㊁数学活动变革学科育人‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“坚持了以往课标中对于数学基本属性的描述，即 数学是研究数量关系和空间形式的科学 ，还明确提出： 数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系㊁图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系；基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算㊁形式推理㊁模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识㊁理解和表达现实世界的本质㊁关系和规律．数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言．数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分．以这节专题课作为 数学 的典型代表，学生学会了如何解决这类问题，在分析图形的过程中感悟到了转化㊁对比㊁类比等数学思想方法，同时经历了文字语言㊁图形语言的抽象归纳过程，提炼出思维精华，发展了建模素养，最后在开放性的问题中打破了知识的壁垒，建立了联系．这些真实㊁深刻的数学活动让学生的学习变得更有价值，学生在潜移默化中感悟到数学是什么，具备了认识世界的一种 眼光 ㊁思考世界的一种 方式 ㊁表达世界的一种 语言能力 ．正如著名的数学家波利亚所说， 完善的思想方法犹如北极星 ，许多人通过它找到了正确道路，从 解题 学会 解决问题 ，从 做题 学会 做人做事 ，以期学生之所学终身受用．ʌ参考文献ɔ［１］义务教育数学课程标准修订组．聚焦核心素养㊀指向学生发展：义务教育数学课程标准（２０２２年版）解读［Ｊ］．基础教育课程，２０２２（１０）：１２－１８．［２］史宁中．核心素养统领的数学教育：‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“修订的理念与要点［Ｊ］．小学教学（数学版），２０２２（０７）：４－１２．［３］陈华忠．‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“ 新 在何处［Ｊ］．课程教材教学研究（小教研究），２０２２（０７）：７－１０．。
二次函数与特殊三角形存在性问题
探究二次函数特殊三角形存在性问题1．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中A (1，0)，C (0，3)．(1)若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．第1题图解：(1)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝－1a ＋b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，∵对称轴为x ＝－1，抛物线经过A (1，0)，∴B (－3，0)，∴把B (－3，0)、C (0，3)分别代入y ＝mx ＋n ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3m ＋n ＝0n ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3；第1题解图(2)设直线BC 与对称轴x ＝－1的交点为M ，如解图，连接AM ，∵MA ＝MB ，∴MA ＋MC ＝MB ＋MC ＝BC ，∴使MA ＋MC 最小的点M 应为直线BC 与对称轴x ＝－1代入直线y ＝x ＋3，得y ＝2，∴M (－1，2)，(3)设P (－1，t )，∵B (－3，0)，C (0，3)，∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10，①若B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2；②若C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4；③若点P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172， 综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为为P 1(－1，－2)，P 2(－1，4)，P 3(－1，3＋172)，P 4(－1，3－172)． 2．如图，二次函数y ＝43x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (3，0)、B (－1，0)，与y 轴交于点C .若点P 、Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB 、AC 运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．(1)求该二次函数的解析式及点C 的坐标；(2)当P 、Q 运动t 秒时，将△APQ 沿PQ 翻折，点A 恰好落在抛物线上D 点处，判断四边形APDQ 的形状，并说明理由；第2题图(3)当点P 运动到B 点时，点Q 停止运动，这时，在x 轴上是否存在点E ，使得以A 、E 、Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E 点坐标，若不存在，请说明理由． 解：(1)∵二次函数y ＝43x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (3，0)、B (－1，0)两点， ∴⎩⎨⎧0＝43×9＋3b ＋c 0＝43×1－b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－83c ＝－4， ∴二次函数的解析式为y ＝43x 2－83x －4， ∴C (0，－4)；(2)四边形APDQ 为菱形，理由如下：如解图①所示，第2题解图①∵AP ＝AQ ＝t ，AP ＝DP ，AQ ＝DQ ，∴AP ＝AQ ＝DQ ＝DP ，∴四边形APDQ 为菱形；(3)存在．如解图②，过点Q 作QM ⊥OA 于点M ，此时QM ∥OC ，第2题解图②∵A (3，0)，B (－1，0)，C (0，－4)，∴AB ＝4，OA ＝3，OC ＝4，∴AC ＝32＋42＝5，∵当点P 运动到B 点时，点Q 停止运动，AB ＝4，∴AQ ＝4.∵QM ∥OC ，∴△AMQ ∽△AOC ，∴QM OC ＝AM AO ＝AQ AC ， ∴QM 4＝AM 3＝45， ∴QM ＝165，AM ＝125，设E (x ，0)，∵Q (35，－165)， 则AE 2＝(3－x )2，AQ 2＝AB 2＝16，EQ 2＝(35－x )2＋(165)2， ①当AE 2＝AQ 2，即(3－x )2＝16时，解得x 1＝－1，x 2＝7，②当AE 2＝EQ 2，即(3－x )2＝(35－x )2＋(165)2， 解得x 3＝－13， ③当AQ 2＝EQ 2，即(35－x )2＋(165)2＝16时， 解得x 3＝－95，x 4＝3(舍)， 综上所述，存在满足条件的点E ，点E 的坐标为(－13，0)或(－95，0)或(－1，0)或(7，0)．。
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二次函数中与角有关的存在性问题
与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角：
①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角；③相似三角形对应角相等；④全等三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等。
然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，需要同学们灵活运用，融会贯通。
【类型一 相等角的存在性问题】
（一）.利用平行线、等腰三角形构造相等角
例1 如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线c bx x y ++-=2
与直线y =c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ，连接PB ，得BOA PCB ≌△△（O 为坐标原点）。
若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ，设M 是点C ，F 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m . （1）直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式. （2）求满足POA MPO ∠=∠的点M 的坐标.
解：(1)易得点P 坐标为（3，4），抛物线解析式为
432++-=x x y .
(2) ①当点M 在线段OP 上方时，∵CP ∥x 轴，∴当点C 、M 重合时，∠MPO=∠POA ，∴点M 的坐标为（0，4）；
②当点M 在线段OP 下方时，在x 轴正半轴取点D ，连接DP ，使得DO=DP ，此时∠DPO=∠POA.
设点D 坐标为（n ，0），则DO=n ，()1632
2
+-=n DP ，∴
()1632
2+-=n n ，解得：n=
625，∴点D 坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛0625，. 设直线PD 解析式为b kx y +=，代入得：7
100
724+
-=x y .联立抛物线解析式得⎪⎭
⎫
⎝⎛49124,724M 综上所述：点M 的坐标为（0，4）或⎪⎭
⎫
⎝⎛49124,724
（二）.利用相似三角形构造相等角
例2 如图，抛物线c bx x y ++=2
2
1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交
抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6. （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；
（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标；
解：（1）因为OB=OC=6，所以B （6，0），C ()6,0-， 将
B
、
C
点
坐
标
代
入
解
析
式
，
得
()822
162212
2--=--=
x x x y ， 所以点D 的坐标为（2，—8）
（2）如图1，过F 作FG ⊥x 轴于点G ，设⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--6221,
F 2x x x ，则FG=62212--x x ，AG=x +2，当EDB FAB ∠=∠时，且B ED GA ∠=∠F ，
所以BDE FAG ∽△△，所以
FG
AG
EB DE =
，即2622
12482=--+=x x x ， 当点F 在x 轴上方时，则有12422
--=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=7，此时F 点的坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛297，；
当点F 在x 轴下方时，则有）（12422
---=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=5，此时F 点的坐标为⎪⎭⎫
⎝
⎛-275，
，,综上可知点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛
297，或⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-275，
.
【类型二二倍角或半角的存在性问题】
（一）.二倍角的构造方法
如图，已知α
∠，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造α2，在BC 边上找一点D，使得BD=AD，则α
2
ADC=
∠.
这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。
例3如图，在平面直角坐标系中，直线2
2
1
+
=x
y与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线
c
bx
x
y+
+
-
=2
2
1
经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，CDE
△的面积为S1，BCE
△的面积为S2，求
2
1
S
S
的最大值；
①过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得F
CD
△中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）2
2
3
2
1
2+
-
-
=x
x
y
（2）①过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥x轴交
AC于N，
∴BNE
DME∽△
△
∴
BN
DM
BE
DE
S
S
=
=
2
1,设⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
-
-2
2
3
2
1
,
D2a
a
a，
∴⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+2
2
1
,
M a
a，∴
5
4
)2
(
5
1
2
5
2
2
1
2
2
2
1+
+
-
=
-
-
=
=a
a
a
BN
DM
S
S
，∴最大值为
5
4
.
②在OA 上取一点P 使得PA=PC ，设OP=m ，则PC=PA=4-m ，在Rt △PCO 中，由勾股
定理得：（4-m ）2=m 2+22，解得m=2
3
，∴tan ∠
CPO=34，
过D 做x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 延长线于G ，
情况一：∠DCF =2∠BAC=∠DGC+∠CDG ，∴
∠CDG=∠BAC ，∴tan ∠CDG=tan ∠BAC=21
，
即
21DR RC =，设⎪⎭
⎫
⎝⎛+--22321,D 2a a a ，∴DR=—a ，
RC=a a 2
3
212--
，代入得，a 1=0，a 2=—2，∴x D =—2 情况二：∠FDC =2∠BAC ，∴tan ∠FDC=3
4
，设FC=4k ，DF=3k ，DC=5k ，
∵tan ∠DGC=2
1
3=FG k ，∴FG=6k ，CG=2k ，DG=k 53，
∴RC=k 552，RG=k 554，DR=k k k 551155453=-，∴a
a a
k k
23215
5
255
11RC DR 2---==，
∴a 1=0(舍去)，a 2=11
29
-
， 综上所述：点D 的横坐标为—2或11
29-
.
（二）半角的构造方法
如图，已知α∠，构造半角可以用下面两种方法：
方法一：和前面二倍角的构造相对应，利用外角定理，如图，延长CB 至D ，使得BD=BA ，
则α21
D =∠，若AC 、BC 的长度已知，则容易求出tan ∠D 的值，从而进行相关计算。
方法二：如图，直接做α∠的角平分线BE ，若AC 、BC 的长度已知，则容易求出tan ∠EBC 的值。
例4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(-+=x x a y 与x 轴交与A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且过点（-2，4）.
（1）直接写出a 的值和点B 的坐标；
（2）将抛物线向右平移2个单位长度，所得的新抛物线与x 轴交于M ，N 两点，两抛物线交于点P ，求点M 到直线PB 的距离；
（3）在（2）的条件下，若点D 为直线BP 上的一动点，是否存在点D ，使得PBA ∠=∠2
1
DAB 若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）)3)(5(15
4
-+-
=x x y ；B （3，0） （2）A （—5，0）、M （—3，0）、N （3，0） 设点M 到直线PB 的距离为h ，则PMB S ∆=PB h ⋅⋅21=OP MB 21⋅⋅，∴h=5
24 （3）存在，理由： 设α=∠=
∠PBA 2
1
DAB ，如图，过点B 作PBA ∠的平分线BH 交y 轴于点H ，过点H 作HG ⊥PB 于点G ，设OH=m ，则HG=m ，PH=4—m ，PG=PB —BG=2， 在Rt △PGH 中，GH 2+PG 2=PH 2，即m 2+22=（4—m ）2，解得：m=
2
3
∴tan ∠HBO=21tan ==
OB OH α，∴2
1
=AD k 故直线AD 的表达式为：25
21+=
x y ① 同理直线PB 的表达式为：43
4
+-
=x y ② 联立①②并解得：119=
x ，∴点D （22
64119，）.。