二次函数中和角有关的存在性问题

二次函数中与角有关的存在性问题
与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角：
①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角；③相似三角形对应角相等；④全等三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等。

然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，需要同学们灵活运用，融会贯通。

【类型一 相等角的存在性问题】
（一）.利用平行线、等腰三角形构造相等角
例1 如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线c bx x y ++-=2
与直线y =c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ，连接PB ，得BOA PCB ≌△△（O 为坐标原点）。

若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ，设M 是点C ，F 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m . （1）直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式. （2）求满足POA MPO ∠=∠的点M 的坐标.
解：(1)易得点P 坐标为（3，4），抛物线解析式为
432++-=x x y .
(2) ①当点M 在线段OP 上方时，∵CP ∥x 轴，∴当点C 、M 重合时，∠MPO=∠POA ，∴点M 的坐标为（0，4）；
②当点M 在线段OP 下方时，在x 轴正半轴取点D ，连接DP ，使得DO=DP ，此时∠DPO=∠POA.
设点D 坐标为（n ，0），则DO=n ，()1632
2
+-=n DP ，∴
()1632
2+-=n n ，解得：n=
625，∴点D 坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛0625，. 设直线PD 解析式为b kx y +=，代入得：7
100
724+
-=x y .联立抛物线解析式得⎪⎭
⎫
⎝⎛49124,724M 综上所述：点M 的坐标为（0，4）或⎪⎭
⎫
⎝⎛49124,724
（二）.利用相似三角形构造相等角
例2 如图，抛物线c bx x y ++=2
2
1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交
抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6. （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；
（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标；
解：（1）因为OB=OC=6，所以B （6，0），C ()6,0-， 将
B
、
C
点
坐
标
代
入
解
析
式
，
得
()822
162212
2--=--=
x x x y ， 所以点D 的坐标为（2，—8）
（2）如图1，过F 作FG ⊥x 轴于点G ，设⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--6221,
F 2x x x ，则FG=62212--x x ，AG=x +2，当EDB FAB ∠=∠时，且B ED GA ∠=∠F ，
所以BDE FAG ∽△△，所以
FG
AG
EB DE =
，即2622
12482=--+=x x x ， 当点F 在x 轴上方时，则有12422
--=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=7，此时F 点的坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛297，；
当点F 在x 轴下方时，则有）（12422
---=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=5，此时F 点的坐标为⎪⎭⎫
⎝
⎛-275，
，,综上可知点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛
297，或⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-275，
.
【类型二二倍角或半角的存在性问题】
（一）.二倍角的构造方法
如图，已知α
∠，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造α2，在BC 边上找一点D，使得BD=AD，则α
2
ADC=
∠.
这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。

例3如图，在平面直角坐标系中，直线2
2
1
+
=x
y与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线
c
bx
x
y+
+
-
=2
2
1
经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，CDE
△的面积为S1，BCE
△的面积为S2，求
2
1
S
S
的最大值；
①过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得F
CD
△中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）2
2
3
2
1
2+
-
-
=x
x
y
（2）①过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥x轴交
AC于N，
∴BNE
DME∽△
△
∴
BN
DM
BE
DE
S
S
=
=
2
1,设⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
-
-2
2
3
2
1
,
D2a
a
a，
∴⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+2
2
1
,
M a
a，∴
5
4
)2
(
5
1
2
5
2
2
1
2
2
2
1+
+
-
=
-
-
=
=a
a
a
BN
DM
S
S
，∴最大值为
5
4
.
②在OA 上取一点P 使得PA=PC ，设OP=m ，则PC=PA=4-m ，在Rt △PCO 中，由勾股
定理得：（4-m ）2=m 2+22，解得m=2
3
，∴tan ∠
CPO=34，
过D 做x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 延长线于G ，
情况一：∠DCF =2∠BAC=∠DGC+∠CDG ，∴
∠CDG=∠BAC ，∴tan ∠CDG=tan ∠BAC=21
，
即
21DR RC =，设⎪⎭
⎫
⎝⎛+--22321,D 2a a a ，∴DR=—a ，
RC=a a 2
3
212--
，代入得，a 1=0，a 2=—2，∴x D =—2 情况二：∠FDC =2∠BAC ，∴tan ∠FDC=3
4
，设FC=4k ，DF=3k ，DC=5k ，
∵tan ∠DGC=2
1
3=FG k ，∴FG=6k ，CG=2k ，DG=k 53，
∴RC=k 552，RG=k 554，DR=k k k 551155453=-，∴a
a a
k k
23215
5
255
11RC DR 2---==，
∴a 1=0(舍去)，a 2=11
29
-
， 综上所述：点D 的横坐标为—2或11
29-
.
（二）半角的构造方法
如图，已知α∠，构造半角可以用下面两种方法：
方法一：和前面二倍角的构造相对应，利用外角定理，如图，延长CB 至D ，使得BD=BA ，
则α21
D =∠，若AC 、BC 的长度已知，则容易求出tan ∠D 的值，从而进行相关计算。

方法二：如图，直接做α∠的角平分线BE ，若AC 、BC 的长度已知，则容易求出tan ∠EBC 的值。

例4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(-+=x x a y 与x 轴交与A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且过点（-2，4）.
（1）直接写出a 的值和点B 的坐标；
（2）将抛物线向右平移2个单位长度，所得的新抛物线与x 轴交于M ，N 两点，两抛物线交于点P ，求点M 到直线PB 的距离；
（3）在（2）的条件下，若点D 为直线BP 上的一动点，是否存在点D ，使得PBA ∠=∠2
1
DAB 若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）)3)(5(15
4
-+-
=x x y ；B （3，0） （2）A （—5，0）、M （—3，0）、N （3，0） 设点M 到直线PB 的距离为h ，则PMB S ∆=PB h ⋅⋅21=OP MB 21⋅⋅，∴h=5
24 （3）存在，理由： 设α=∠=
∠PBA 2
1
DAB ，如图，过点B 作PBA ∠的平分线BH 交y 轴于点H ，过点H 作HG ⊥PB 于点G ，设OH=m ，则HG=m ，PH=4—m ，PG=PB —BG=2， 在Rt △PGH 中，GH 2+PG 2=PH 2，即m 2+22=（4—m ）2，解得：m=
2
3
∴tan ∠HBO=21tan ==
OB OH α，∴2
1
=AD k 故直线AD 的表达式为：25
21+=
x y ① 同理直线PB 的表达式为：43
4
+-
=x y ② 联立①②并解得：119=
x ，∴点D （22
64119，）.。