学而思五年级春季第五讲行程问题
多次相遇追击(18)
-学而思奥数网奥数专题 (行程问题)1、五年级行程问题：多次相遇、追及问题难度：高难度2、五年级行程问题：多次相遇、追及问题难度：高难度3、五年级行程问题：多次相遇、追及问题难度：中难度4、六年级行程问题：多次相遇、追及问题难度：高难度甲、乙两车分别从A ，B 两地出发，并在A ，B 两地间不断往返行驶。
已知甲车的速度是 15千米／时，乙车的速度是25千米／时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米。
求A ，B 两地的距离。
欢欢和乐乐在操场上的A 、B 两点之间练习往返跑，欢欢的速度是每秒8米，乐乐的速度是每秒5米。
两人同时从A 点出发，到达B 点后返回，已知他们第二次迎面相遇的地点距离AB 的中点5米，AB 之间的距离是________。
小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？A 、B 两地间有条公路，甲从A 地出发，步行到B 地，乙骑摩托车从B 地出发，不停地往返于A 、B 两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B 地时，乙追上甲几次？5、五年级行程问题：多次相遇、追及问题难度：高难度答案1、五年级多次相遇、追及问题答案：2、五年级多次相遇、追及问题答案：3、五年级多次相遇、追及问题答案：4、五年级多次相遇、追及问题答案：A ，B 两地相距540千米。
甲、乙两车往返行驶于A ，B 两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。
设两辆车同时从A 地出发后第一次和第二次相遇都在途中P 地。
那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？5、五年级多次相遇、追及问题答案：。
08春小学五年级 第05讲 行程 系统复习班 教师版
在对小学数学的【例1】 汽车以每小时72千米的速度从甲地到乙地，到达后立即以每小时48千米的速度返回甲地．求该车的平均速度．【分析】（法1）设甲乙两地的距离是S 千米，平均速度=228857248s s s=+（千米/小时）. （法2）特殊值法.设甲乙两地的距离是144千米（72和48的最小公倍数），144228814414457248⨯=+（千米/小时）.【例2】 汽车往返于A 、B 两地，去时时速为40千米，要想来回的平均时速为48千米，回来时的时速应为多少？【分析】设甲乙两地的距离是S 千米，回来时的时速为x 千米/小时，24840s s s x=+，解得x=60（千米/小时）.【例3】 有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等．某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为每秒4米、6米和8米，求他过桥的平均速度．【分析】（法1）设上坡、平路及下坡的路程均为S 千米，平均速度=37213468s s s s =++（千米/小时）.（法2）特殊值法. 设上坡、平路及下坡的路程均为24千米，平均速度=2437224242413468⨯=++（千米/小时）.【例4】 两地相距400千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行40千米，乙车每小时比甲车多行5千米，4小时后两车相遇了吗？【分析】乙的速度为40 +5 = 45（千米），（40 + 45）×4 = 340（千米），340千米 < 400千米 ，因为两车4小时共行340千米，所以4小时后两车没有相遇.[巩固] 甲、乙两地相距480千米.一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行52千米， 行驶312千米后遇到从乙地开来的另一辆汽车.如果乙地开来的汽车每小时行42千米，算一算这两辆车是不是同时开出的？【分析】312÷52 = 6（小时），（480—312）÷42 = 4（小时），从甲地开出的汽车行驶6小时，从乙地开出的汽车行驶4小时，所以说，这两辆车不是同时开出的.【例5】 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地S 城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车分别往南和往北驶去，南辕先生出发2小时后北辙先生才出发，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?【分析】为让学生深刻理会t v S 和和=，教师可先讲解下题.[前铺1] 大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？【分析】大头儿子和小头爸爸的速度和：3000÷50=60(米／分钟)，小头爸爸的速度：[前铺2] 孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄之间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河见面，孙悟空的速度是200千米／小时．猪八戒的速度是150千米／小时，他们同时出发2小时后还相距500千米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？【分析】 建议教师画线段图．我们可以先求出2小时孙悟空和猪八戒走的路程：(200+150)×2=700(千米)，又因为还差500米，所以花果山和高老庄之间的距离：700+500=1200(千米)．教师在讲解此题之前可以先将条件稍稍改变成两人同时出发，那么两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，这样学生就容易得到本题答案，50×2+（50+60）×5=650（千米）.【例6】 夏夏和冬冬同时从两地相向而行，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，两人在距两地中点50米处相遇，求两地的距离是多少米?【分析】根据题意，我们可以画线段图如右图，从图中可以看出（可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？）：夏夏所行路程=全程一半 – 50米 ； 冬冬所行路程=全程一半 + 50米 ；所以两人相遇时，冬冬比夏夏多走了50×2=100(米)，冬冬比夏夏每分钟多走10米，所以两人从出发到相遇共走了10分钟，两地的距离：(60+50)×10=1100(米).【例7】 甲乙两列火车同时从东西两镇之间的A 地出发向东西两镇反向而行，它们分别到达东西两镇后，再以同样的速度返回，已知甲每小时行60千米，乙每小时行70千米，相遇时甲比乙少行120千米，东西两镇之间的路程是多少千米？【分析】教师注意帮助学生画图分析.从出发到甲、乙两列火车相遇，两列火车共同行驶了2个全程.已知甲比乙少行120千米，甲每小时比乙少行（70—60 =）10（千米），120÷10 = 12（小时），说明相遇时，两辆车共同行驶了12小时.那么两辆车共同行驶1个全程需要6小时，东西两镇之间的路程是（60 + 70）×6 = 780（千米）【例8】 小伟和小华从学校到电影院看电影，小伟以每分60米的速度向影院走去，5分后小华以每分80米的速度向影院走去，结果两人同时到达影院.学校到影院的路程是多少米？【分析】小伟先走的路程是：60×5＝300（米），小华追上小伟所用的时间（也就是小华从学校到影院所用的时间）是：300÷（80-60）=15（分），学校到影院的路程（也就是小华所走的路程）是：80×15=1200（米）.【例9】 小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？【分析】可以作为“追及问题”处理.假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是：50×10÷（75-50）=20（分钟），因此，小张走的距离是：75×20＝1500（米）.【例10】 小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点出发，那么小新第一次超过正南需要多少分钟？第三次超过正南需要多少分钟？【分析】小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，根据t v S 差差 ，可知小新第一次超过正南需要：800÷（250-210）=20（分钟），第三次超过正南是比正南多跑了三圈，需要800×3÷（250-210）=60分钟.【例11】 两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑．甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？【分析】在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题.同地出发，其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长.这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度.环形道一周的长度：（250-200）×45=2250（米）.反向出发的相遇时间：2250÷（250+200）=5（分钟）.【例12】龟兔赛跑同时出发，全程7000米，乌龟以每分30米的速度爬行，兔子每分钟跑330米．兔子跑了10分钟就停下来睡了200分钟，醒来后立即以原速往前跑．当兔子追上乌龟时，离终点的距离是多少千米?【分析】兔子追乌龟的追及路程差为：30×(10+200)-330×10=3000(米)，兔子追上乌龟的追及时间为：3000÷(330-30)=10(分)，离终点的距离为：7000-330×(10+10)=400(米).小朋友，你知道谁先到达终点么？【附1】 一辆汽车往返于甲、乙两地，去时用了4小时，回来时速度提高了1/7．问：回来时用了多少时间？ 【分析】设甲乙两地的距离是S ，去时的速度为4s ，回来的速度为12(1)477s s ⨯+=，所以回来用时为7227s s =（小时）.【附2】 甲乙两车早上6时分别从A 、B 两地相向出发，到9时两车相距126千米，继续行进到中午12时，两车还相距126千米，问A 、B 两地路程是多少千米?【分析】两车的速度和为：126×2÷（9-6）=84(千米) ，A 、B 两地的总路程为：84×3+126=378(千米) .【附3】 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？ 【分析】走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36÷12＝3（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是36÷（3＋1）＝9（分钟）. 【附4】 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【分析】如右图可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米），而爸爸骑的距离是 4＋8=12（千米），这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米），少骑行24-16＝8（千米），摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟，8＋8＋16＝32，这时是8点32分.【附5】 某段路程，以每分钟80米的速度前进，可以提早15分钟到达；如果以每分钟60米的速度前进，就要迟到5分钟．预定几分钟到达？这段路程长多少米？【分析】可以设想，以速度80米/分按预定时间前进，就比这段路多行（80×15）米，即1200米；以速度60米/分，按预定时间前进，就比这段路少行（60×5）米，即300米．以两种不同的速度按预定时间前进，其距离差为（1200+300）米，即1500米，速度差为（80-60）米/分，预定时间可视为追及时间．这样，就可以把问题转化成追及问题来解.（1200+300）÷（80-60）=75分，80×（75-15）=4800米，预定75分钟到达，1. 汽车往返于A 、B 两地，去时时速为60千米，要想来回的平均时速为70千米，回来时的时速应为多少？ 【分析】设甲乙两地的距离是S 千米，回来时的时速为x 千米/小时，27060s s s x=+，解得x=84（千米/小时）.2. 甲乙两车分别从相距300千米的Ａ、Ｂ两城同时出发，相向而行，已知甲车到达Ｂ城需5小时，乙车到达Ａ城需6小时，问：两车出发后多长时间相遇？【分析】300÷（300÷5+300÷6）=30/11（小时）.3. 两座大楼相距300米，甲乙二人各从一座大楼门口向相反方向走去，7分钟后两人相距860米.甲每分钟走37米，乙每分走多少米？【分析】（860—300）÷7—37 = 43（米）.4. 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点3千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.【分析】小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是：6÷（5-4）＝6（小时），因此甲、乙两地的距离是：（5＋4）×6＝54（千米）.5. 甲乙二人从AB 两地同时出发相向而行，相遇时距A 地48千米，相遇后二人继续前进，分别到达A 、B 两地后立即返回，在距A 地94千米处第二次相遇，A 、B 两地相距多少千米？【分析】 画图帮助学生分析.甲、乙第二次相遇时共同走完了3个全程，那么甲就走了3个48千米，即144千米，加上94千米，就是两个全程.（48×3 + 94）÷2 = 119（千米）.成功并不像你想像的那么难并不是因为事情难我们不敢做，而是因为我们不敢做事情才难的。
五年级数学培优：行程问题
五年级数学培优：行程问题行程问题（一）【专题导引】行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题.行程问题的主要数量关系是：路程=速度×时间.知道三个量中的两个量，就能求出第三个量.【典型例题】【例1】甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米.两车在距中点32千米处相遇.东、西两地相距多少千米?【试一试】1、小玲每分行100米，小平每分行80米，两人同时从学校和少年宫相向而行，并在离中点120米处相遇，学校至少年宫有多少米?2、一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距75千米，甲、乙两地相距多少千米?【例2】快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米.慢车每小时行多少千米?【试一试】1、兄、弟二人同时从学校和家中出发，相向而行.哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距30米.弟弟每分钟行多少米?2、汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米，4小时后，剩下的路比全程的一半少8千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到乙地?【例3】甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米.中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙.求东、西两村相距多少千米?【试一试】1、甲、乙二人同时从A地到B地，甲每分钟走250米，乙每分钟走90米.甲到达B地后立即返回A地，在离B地3.2千米处与乙相遇.A、B两地间的距离是多少千米?2、小平和小红同时从学校出发步行去小平家，小平每分钟比小红多走20米.30分钟后小平到家，到家后立即原路返回，在离家350米处遇到小红.小红每分钟走多少千米?【例4】甲、乙两队学生从相距18千米的两地同时出发，相向而行.一个同学骑自行车以每小时14千米的速度，在两队之间不停地往返联络.甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米.两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米?【试一试】1、两支队伍从相距55千米的两地相向而行.通讯员骑马以每小时16千米的速度在两支队伍之间不断往返联络.已知一支队伍每小时行5千米，另一支队伍每小时行6千米，两队相遇时，通讯员共行多少千米?2、甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米.甲每小时行6千米，乙每小时行4千米.甲带着一只狗，狗每小时行10千米.这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇时.这只狗一共走了多少千米?【﹡例5】甲、乙两车早上8时分别从A、B两地同时相向出发，到10时两车相距112.5千米.两车继续行驶到下午1时，两车相距还是112.5千米.A、B两地间的距离是多少千米?【﹡试一试】1、甲、乙两车同时从A、B两地相向出发，3小时后，两车还相距120千米，又行3小时，两车又相距120千米.A、B两地相距多少千米?2、快、慢两车早上6时同时从甲、乙两地相向开出，中午12时两车还相距50千米，继续行驶到14时，两车又相距170米.甲、乙两地相距多少千米?课外作业家长签名：1．甲、乙两车分别从两地出发相向而行，甲每小时行80千米，乙每小时行驶40千米，经过4小时后两车在途中相遇，两地相距多少千米?2、A、B两镇相距48千米，甲、乙两人分别从两镇同时出发相向而行，已知甲到达B镇需8小时，乙到达A镇需12小时，他们出发后多少时间相遇?3、小轿车每小时行60千米，比客车每小时多行5千米，两车同时从A、B两地相向而行，在距中点20千米处相遇，求A、B两地的路程.4、学校运来一批树苗，五（1）班的40个同学都去参加植树活动，如果每人植3棵，全班同学能植这批树苗的一半还多20棵.如果这批树苗全部给五（1）班的同学去植，平均每人植多少棵树?5、甲、乙二人上午7时同时从A地去B地，甲每小时比乙快8千米.上午11时甲到达B地后立即返回，在距B地24千米处与乙相遇.求A、B两地相距多少千米?6、两队同学同时从相距30千米的甲、乙两地相向出发，一只鸽子以每小时20千米的速度在两队同学之间不断往返送信.如果鸽子从同学们出发到相遇共飞了30千米，而甲队同学比乙队同学每小时多走0.4千米，求两队同学的行走速度.7、甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，8小时相遇，相遇后两车继续行驶，3小时后两车相距360千米，求A、B两地的距离.我的学习收获：.我来编题：.第二讲行程问题（二）【专题导引】本周的主要内容是“追及问题”.追及问题一般是指两个物体同方向运动，由于各自的速度不同后者追上前者的问题.追及问题的基本数量关系是：速度差×追及时间=追及路程解答“追及问题”，一定要懂得运动快的物体之所以能追上运动慢的物体，是因为两者之间存在着速度差.抓住“追及的路程必须用速度差来追”这一道理，结合题中运动物体的地点、运动方向等特点进行具体分析，并借助线段图来理解题意，就可以正确解题.【典型例题】【例1】中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，两车同时从相距60千米的两地同方向开出，且中巴车在前.求几小时后小轿车追上中巴?【试一试】1、兄、弟二人从100米跑道的起点和终点同时出发，沿同一方向跑步，弟弟在前，每分跑120米，哥哥在后，每分跑140米.几分钟后哥哥追上弟弟?2、甲骑自行车从A地到B地，每小时行16千米，1小时后，乙也骑自行车从A 地到B地，每小时行20千米，结果两人同时到达B地.A、B两地相距多少千米?【例2】一辆汽车从甲地开往乙地，要行360千米，开始按计划以每小时45千米的速度行驶，途中因汽车出故障修车2小时.因为要按时到达乙地，修好车后必须每小时多行30千米.问：汽车是在离甲地多远处修车的?【试一试】1、小王家离工厂3千米，他每天骑车以每分200米的速度上班，正好准时到工厂.有一天，他出发几分钟后，因遇熟人停车2分钟，为了准时到厂，后面的路必须每分钟多行100米.求小王是在离工厂多远处遇到熟人的?2、一辆汽车从甲地开往乙地，若每小时行36千米，8小时能到达.这辆车以每小时36千米的速度行驶一段时间后，因排队加油用去了15分钟.为了能在8小时内到达乙地，加油后每小时必须多行7.2千米.加油站离乙地多少千米?【例3】甲骑车，乙跑步，二人同时从一点出发沿着长4千米的环形公路方向进行晨练.出发后10分钟，甲便从乙身后追上了乙，已知两人的速度和是每分钟行700米，求甲、乙二人的速度各是多少?【试一试】1、爸爸和小明同时从同一地点出发，沿相同方向在环形跑道上跑步.爸爸每分钟跑150米，小明每分钟跑120米，如果跑道全长900米，问至少经过几分钟爸爸从小明身后追上小明?2、在300米长的环形跑道上，甲、乙二人同时同地同向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米.两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米?【例4】甲、乙、丙三人都从A地到B地，早晨六点钟，甲、乙两人一起从A地出发，甲每小时走5千米，乙每小时走4千米.丙上午八时才从A地出发，傍晚六点，甲和丙同时到达B地，问丙什么时候追上乙?【试一试】1、客车、货车、小轿车都从A地到B地，货车和客车一起从A地出发，货车每小时行50千米，客车每小时行60千米，2小时后，小轿车才从A地出发，12小时后，小轿车追上了客车，问小轿车在出发后几小时追上货车?2、甲、乙、丙三人都从A地到B地，甲、乙两人一起从A地出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米.4小时后丙骑自行车从A地出发，用了2小时就追上乙，再用几小时就能追上甲?【﹡例5】甲、乙、丙三人步行的速度分别是每分钟100米、90米、75米.甲在公路上A处，乙、丙同在公路上B处，三人同时出发，甲与乙、丙相向而行.甲和乙相遇3分钟后，甲和丙又相遇了.求A、B之间的距离.【﹡试一试】1、甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米.甲、乙两人在B地，丙在A地与甲、乙二人同时同向而行，丙和乙相遇后，又过2分钟和甲相遇.求A、B两地的路程.2、客车、货车、小轿车的速度分别是每小时60千米、50千米、70千米，客车、货车在A地，小轿车在B地，三车同时出发，小轿车与客、货车相向而行，小轿车和客车相遇1小时后和货车相遇.求A、B两地之间的距离.课外作业家长签名：1、两地相距800千米，甲车行完全程需16小时，乙车行完全程需10小时，甲车出发3小时后，乙车去追甲车，问乙车要走多少千米才能追上甲车?2、育英小学有条300米长的环行跑道，扬扬和宁宁同时从起跑线起跑，扬扬每秒跑6米，宁宁每秒跑4米，扬扬第二次追上宁宁时两人各跑了几圈?3、甲、乙两人以每分60米的速度同时、同地、同向步行出发.走15分钟后甲返回原地取东西，而乙继续前进.甲取东西用去5分钟的时间，然后改骑自行车以每分360米的速度追乙，甲骑车多少分才能追上乙?4、汽车以每小时30千米的速度从甲地出发，6小时后能到达乙地.汽车出发1小时后原路返回甲地取东西，然后立即从甲地出发，为了能在原来时间内到达乙地，汽车必须以每小时多少千米的速度从甲地驶向乙地?5、环湖一周共400米，甲、乙两人同时从同一点同方向出发，甲过10分钟第一次从乙身后追上乙，若两人同时从同一点反向而行，只要2分钟就相遇，求甲、乙的速度.6、甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米，甲、乙两人在B地同时同向出发，丙从A地同时同向出发去追赶甲、乙，丙追上甲以后又过了10分钟才追上乙，求A、B两地的路程.7、A、B两地相距1800米，甲、乙二人从A地出发，丙同时从B地出发与甲、乙二人相向而行，已知甲、乙、丙三人的速度分别是每分钟60米、80米和100米，当乙和丙相遇时，甲落后于乙几米?第三讲行程问题（三）【专题导引】很多稍复杂的应用题，运用算术方法解答有一定困难，列方程解答就比较容易.列方程解答行程问题的优点是可以使未知的数直接参加运算，列方程时能充分利用我们熟悉的数量关系，因此，对于一些较复杂的行程问题，我们可以用题中已知的条件和所设的未知数，根据自己最熟悉的等量关系列出方程，方便解题.【典型例题】【例1】一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行20千米.到乙地后又以每小时30千米的速度返回甲地，往返一次共用7.5小时.求甲、乙两地间的路程.【试一试】1、汽车从甲地开往乙地送货，去时每小时行30千米，返回时每小时行40千米.往返一次共用8小时45分，求甲、乙两地间的路程.2、一架飞机所带的燃料最多可用9小时，飞机去时顺风，每小时可飞1500千米，返回时逆风，每小时可飞1200千米.这架飞机最多飞出多少千米就要往回飞?【例2】一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地，每小时走15千米可早到0.4小时，如果每小时走12千米就要迟到0.25小时，他去某地的路程有多远?【试一试】1、小李由乡里到县城办事，每小时行4千米，到预定到达的时间时，离县城还有1.5千米.如果小李每小时走5.5千米，到预定到达的时间时，又会多走4.5千米.乡里距县城多少千米?2、小王骑摩托车从B地到A地去开会.如果每小时行50千米，就要迟到0.2小时，如果每小时行60千米，就会早到1小时，求A、B两地的距离.【例3】东、西两地相距5400米，甲、乙从东地，丙从西地同时出发，相向而行.甲每分钟行55米，乙每分钟行60米，丙每分钟行70米.多少分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点处?【试一试】1、A、B、C三地在一条直线上如图所示：A B CA、B两地相距2千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时向C地行走，甲每分钟走35米，乙每分钟走45米.经过几分钟B地在甲、乙两人之间的中点处?2、东、西两镇相距60千米.甲骑车行全程要4小时，乙骑车行全程要5小时.现在两人同时从东镇到西镇去，经过多少小时后，乙剩下的路程是甲剩下路程的4倍?【例4】快、慢两车同时从A地到B地，快车每小时行54千米，慢车每小时行48千米.途中快车因故停留3小时.结果两车同时到达B地.求A、B两地间的距离.【试一试】1、甲每分钟行120米，乙每分钟行80米，二人同时从A店出发去B店，当乙到达B店时，甲已在B店停留了2分钟.A店到B店的路程是多少米?2、甲、乙二人同时从学校骑车出发去江边，甲每小时行15千米，乙每小时行20千米.途中乙因修车停留了24分钟，结果二人同时到达江边.从学校到江边要行多少千米?【﹡例5】一位同学在360米长的形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米.求他后一半路程用了多少时间?【试一试】1、小明在420米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑8米，后一半时间每秒跑6米.求他后一半路程用了多少时间?2、小华在240米长的跑道上跑了一个来回，已知他前一半时间每秒跑6米，后一半时间每秒跑4米.求他返回时用了多少秒?课外作业家长签名：1、甲每小时行4千米，2小时后，乙以每小时8千米的速度追赶甲，几小时后可赶上?2、两地相距900千米，快慢两车从两地同时相对开出，5小时相遇.快车每小时行80千米，慢车每小时行多少千米?3、师、徒二人加工一批零件.师傅每小时加工35个，徒弟每小时加工28个.师傅先加工了这批零件的一半后，剩下的由徒弟去加工，二人共用18小时完成了加工任务.问：这批零件共有多少个?4、玲玲从家到县城上学，她以每分50米的速度走了2分后，发现按这个速度走下去要迟到8分，于是她加快了速度，每分多走10米，结果到学校时，离上课还有5分.玲玲家到学校的路程是多少米?5、老师今年32岁，学生今年8岁.再过几年老师的年龄是学生年龄的3倍?6、兄、弟二人同时从家往学校走，哥哥每分钟走90米，弟弟每分钟走70米，出发1分钟后，哥哥发现少带铅笔盒，则原路返回，取后立即出发，结果与弟弟同时到达学校.问他们家离学校多远?7、甲、乙两地相距205千米，小王开汽车从甲地出发，计划5小时到达乙地.他前一半时间每小时行36千米，为了按时到达乙地，后一半时间必须每小时行多少千米?第四讲行程问题（四）【专题导引】通过前面对行程应用题的学习，同学们可以发现，行程问题大致分为以下三种情况：相向而行：相遇时间=距离÷速度和相背而行：相背距离=速度和×时间同向而行：追及时间=追及距离÷速度差如果上述的几种情况交织在一起，组成的应用题将会丰富多彩、千变万化.解答这些问题时，我们还是要理清题中已知条件与所求的数量关系，同时采用“转化”、“假设”等方法，把复杂的数量关系转化为简单的数量关系，把一个复杂的问题转化为几个简单的问题逐一进行解决.【典型例题】【例1】甲、乙两地相距420千米，一辆汽车从甲地开到乙地共用了8小时，途中，有一段路在整修路面，汽车行驶这段路时每小时只能行20千米，其余时间每小时行60千米.求正在整修路面的一段路长多少千米?【试一试】1、一辆汽车从甲城到乙城共行驶395千米，用了5小时.途中一部分公路是高速公路，另一部分是普通公路.已知汽车在高速公路上每小时行105千米，在普通公路上每小时行55千米，求汽车在高速公路上行驶了多少千米?2、小明家离体育馆2300米，有一天，他以每分钟100米的速度去体育馆看球赛，出发几分钟后发现，如果以这样的速度走下去一定迟到，他马上改用每分钟180米的速度跑步前进，途中共用15分钟，准时到达了体育馆.问：小明是在离体育馆多远的地方开始跑步的?【例2】客、货两车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后仍以原速前进.到达对方站后立即返回，两车再次相遇时客车比货车多行21.6千米.甲、乙两站间的路程是多少千米?【试一试】1、快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶.快车每小时行80千米，慢车每小时行45千米.两车第二次相遇时，快车比慢车多行了210千米.求甲、乙两地之间的路程.2、甲、乙两地相距216千米，客、货两车同时从甲、乙两地相向而行.已知客车每小时行58千米，货车每小时行50千米，到达对方出发点后立即返回，两车第二次相遇时，客车比货车多行多少千米?【例3】两地相距460千米，甲列车开出2小时后，乙列车与甲列车相向开出，经过4小时与甲列车相遇.已知甲列车每小时比乙列车多行10千米.求甲列车每小时行多少千米?【试一试】1、甲、乙两地相距680千米，快车从甲地向乙地开出，2小时后，慢车从乙地与快车相向开出，并经过5小时与快车相遇.已知快车每小时比慢车多行8千米，求快车每小时行多少千米?2、师、徒二人合做264个零件，徒弟先做4小时后又和师傅合做了8小时才完成了任务.已知徒弟每小时比师傅少做3个，师傅每小时做多少个零件?【例4】小明和小军同时从学校和少年宫出发，相向而行，小明每分钟走90米，两人相遇后，小明再走4分钟到达少年宫，小军再走270米到达学校.小军每分钟走多少米?【试一试】1、小强和小东同时从甲、乙两地出发，相向而行，小强每小时行15千米.两人相遇后，小强再走2小时到达乙地，小东再走45千米到达甲地，小东每小时行多少千米?2、甲、乙二车同时从A、B两地出发相向而行.甲车每小时行45千米.两车相遇后，乙车再行135千米到A地，甲车再行2小时到B地，求乙车行全程共用了几小时?【﹡例5】甲、乙两地相距48千米，其中一部分是上坡路，其余是下坡路.某人骑自行车从甲地到乙地后沿原路返回，去时用了4小时12分，返回时用了3小时48分.已知自行车上坡是每小时行10千米，求自行车下坡时每小时行多少千米?【﹡试一试】1、某学生乘车上学，步行回家，途中共需1.5小时；如果往返都坐车，途中只需30分钟.如果往返都步行，途中共需多少时间?2、一辆汽车把货物从城市运往小区，往返共用15小时，去时所用的时间是返回的1.5倍，去时比回来时每小时慢12千米.这辆汽车往返共行了多少千米?课外作业家长签名：1、甲、乙两人从相隔50千米的两地同时相背而行，甲每小时行6千米，10小时后两人相距150千米，乙每小时走多少千米?2、某汽车原计划每小时行驶50千米，因有急事，将速度提高到每小时60千米，结果比原计划提早到1小时，则汽车行驶的这段路程是多少千米?3、龟、兔进行10000米赛跑，兔子的速度是龟的速度的5倍.当它们从起点一起出发后，龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉.兔子醒来时，龟已经领先它5000米.免子奋起直追，但龟到达终点时，兔子仍落后100米.那么兔子睡觉期间龟跑了多少米?4、甲、乙两车同时从相距160千米的两站相向开出，到达对方站后立即返回，经过4小时两车在途中第二次相遇.相遇时甲车比乙车多行120千米.求两车的速度.5、小明家离学校2300米，哥哥从家中出发，5分钟后弟弟从学校出发，二人相向而行.弟弟出发10分钟后与哥哥相遇，如果哥哥每分钟比弟弟多行20米，他们每分钟各行多少米?6、快、慢两车同时从甲、乙两地相向而行，4小时相遇.已知快车每小时行65千米，慢车每小时行25千米，求慢车行完全程共用了多少小时?7、南、北两镇之间全是山路，某人上山每小时走2千米，下山时每小时走5千米，从南镇到北镇要走38小时，从北镇到南镇要走32小时，两镇之间的路程是多少千米?从南镇到北镇的上山路和下山路各是多少千米?。
学而思奥数模块之行程问题
学而思奥数模块之行程问题1、基本行程问题：基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。
基本公式：路程＝速度×时间；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间关键问题：确定行程过程中的位置2、简单的相遇、追及问题：相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程追击问题：追击时间＝路程差÷速度差简单的相遇与追及问题各自解题时的入手点及需要注意的地方1.相遇问题：与速度和、路程和有关⑴是否同时出发⑵是否有返回条件⑶是否和中点有关：判断相遇点位置⑷是否是多次返回：按倍数关系走。
⑸一般条件下，入手点从"和"入手，但当条件与"差"有关时，就从差入手，再分析出时间，由此再得所需结果2.追及问题：与速度差、路程差有关⑴速度差与路程差的本质含义⑵是否同时出发，是否同地出发。
⑶方向是否有改变⑷环形时：慢者落快者整一圈(1) 甲、乙两列火车同时从相距700千米的两地相向而行，甲列车每小时行85千米，乙列车每小时行90千米，几小时两列火车相遇？(2) 两列火车从两个车站同时相向出发，甲车每小时行48千米，乙车每小时行78千米，经过2.5小时两车相遇。
两个车站之间的铁路长多少千米？(3) 甲、乙两列火车同时从相距988千米的两地相向而行，经过5.2小时两车相遇。
甲列车每小时行93千米，乙列车每小时行多少千米？（1）师徒两人合作加工520个零件，师傅每小时加工30个，徒弟每小时加工20个，几小时以后还有70个零件没有加工？（2）甲、乙两队合挖一条水渠，甲队从东往西挖，每天挖75米；乙队从西往东挖，每天比甲队少挖5米，两队合作8天挖好，这条水渠一共长多少米？(3) 甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行，8小时两船还相距22千米。
已知乙船每小时行42千米，甲船每小时行多少千米？（4）一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后两车相遇。
学而思五年级春季第五讲行程问题
（2）甲乙二人在相同的一段时间内行走，甲速为 10 米每秒，乙速为 12 米每秒，则甲速：乙速=
10:12=5:6；同样我们也可以得到甲乙二人在这段时间内所走的路程关系： 甲： 乙=5:6.
时间一定时，路程与速度成正比例
二、例题讲解
例 1、分析：第一问：速度提高之前与提高之后走的总路程是一样的，那么根据路程一定，速度与时间成
设甲的速度为 x 米/分钟。（x-50）×26=（x+50）×6
x=80
A,B 两地距离为：（80-50）×26=780（米）或者（80+50）×6=780（米）
第五讲 行程问题 5.2
五年级春季班 第五讲 行程问题
曹威
法二：比例法。由图可知（绿线表示同时间内的相遇过程红线表示同时间内的追及过程）
A
4份
B
3份
4份
乙
红色表示相同时间内甲乙走的路程比为 5：4，但此时相遇点距 A,B 两点的距离比为 3：4，
则我们可以统一甲走的路程为 15 份，则 72 千米占 8 份，全程 35 份可求。
例 4、分析：
答案：315 千米
甲
4800
2400 乙
A
B
2880
10 分钟
由图可知速度改变前，相遇时甲走了 4800 米，乙走了 2400 米，则甲乙的速度比为 2：1，
学而思 小升初专项训练_行程篇(2) 教师版
名校真题测试卷5 （行程篇二）时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________1 （05年人大附中考题）如图，ABCD是一个边长为6米的模拟跑道，甲玩具车从A出发顺时针行进，速度是每秒5厘米，乙玩具车从CD的中点出发逆时针行进，结果两车第二次相遇恰好是在B点，求乙车每秒走多少厘米?2 （06年清华附中考题）已知甲车速度为每小时90千米，乙车速度为每小时60千米，甲乙两车分别从A,B两地同时出发相向而行，在途径C地时乙车比甲车早到10分钟；第二天甲乙分别从B,A两地出发同时返回原来出发地，在途径C 地时甲车比乙车早到1个半小时，那么AB距离时多少？3 （06年十一中学考题）甲、乙、丙三人步行的速度分别是：每分钟甲走90米，乙走75米，丙走60米。
甲、丙从某长街的西头、乙从该长街的东头同时出发相向而行，甲、乙相遇后恰好4分钟乙、丙相遇，那麽这条长街的长度是米.4 （06年西城实验考题）甲乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A、乙从B同时出发；第一次相遇点距B处60 米。
当乙从A处返回时走了lO米第二次与甲相遇。
A、B相距多少米?5 (05年首师大附考题)甲，乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。
如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？【附答案】1 【解】两车第2次相遇的时候，甲走的距离为6×5=30米，乙走的距离为6×5+3=33米所以两车速度比为10：11。
因为甲每秒走5厘米，所以乙每秒走5.5厘米。
2 【解】：画图可知某一个人到C点时间内，第一次甲走的和第二次甲走的路程和为一个全程还差90×10/60=15千米，第一次乙走的和第二次乙走的路程和为一个全程还差60×1.5=90千米。
而速度比为3：2；这样我们可以知道甲走的路程就是：（90-15）÷（3-2）×3=215,所以全程就是215+15=230千米。
五年级奥数,行程问题,讲义
由于乙先到B城，并当即折返，且距离B城12千米出与甲相遇，那么相遇时，可知乙比甲多行了2×12=24千米，而甲每小时比乙慢4千米，那么可求出他们行驶的时间为24÷4=6小时。又由题意可知相遇时甲只行小时，
综合式子：
〔60-12〕÷[〔12×2〕÷4]=8千米/小时
综合式子：
〔60+50〕×[35×2÷〔60-50〕]=770 千米
习题：
甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行65千米，当乙车到达两地中点处时，与甲车还相距60千米，那么A、B两地间的路程长多少千米？
例题二：
小华和小林分别同时从家和少年宫出发，相向而行。小华每分钟行120米，5分钟后小华已超过中点50米，这是他们两还相距30米，小林每分钟行多少米？
思路分析：
此题也是追及问题。要求两地间的距离，可以用甲车的速度乘以甲车行的时间求得。同样，用乙车的速度乘以乙车行的时间也能求得。甲车载途中应故障修车用了3小时，可以看成，一开始甲车因故“迟出发3小时〞根据甲车比乙车迟到1小时，想到这1小时乙车已休息而甲车还在行驶，也可以把这1小时放到行车的开始。那么，此题就转化成乙车出发两小时后，甲车才出发。两车同时到达目的地。这就不难想到，甲乙两车的路程差就是乙车先开出2小时所行的路程：35×2＝70〔千米〕
本讲我们主要学习行程问题中的相遇问题。相遇问题是两物体想向运动，公走一段路程可分为想向，相背，环形运动等相遇问题。
相遇问题有如下的关系式：
速度和×相遇时间=相遇路程
相遇路程÷相遇时间=速度和
相遇路程÷速度和=相遇时间
例题一：
甲、乙两辆货车分别从A、B两个城市想向开发，甲每小时行60千米，乙每小时行50千米，两车在距离两城中点35千米处相遇。那么A、B两城间的路程是多少千米？
学而思奥数网奥数专题 (行程问题)
学而思奥数网奥数专题 (行程问题)1、六年级行程问题：多人行程难度：中难度甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有20米，丙离B还有40米；当乙跑到B时，丙离B还有24米。
问：（1） A， B相距多少米？（2）如果丙从A跑到B用24秒，那么甲的速度是多少？2、五年级行程问题：多人行程难度：高难度甲乙丙三人同时从东村去西村，甲骑自行车每小时比乙快12公里，比丙快15公里，甲行3.5小时到达西村后立刻返回.在距西村30公里处和乙相聚，问：丙行了多长时间和甲相遇？3、五年级行程问题：多人行程难度：中难度甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后乙车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去。
已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，丙车每分钟走多少米？4、五年级行程问题：多人行程难度：中难度甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上乙。
甲和丙的速度比是多少？5、五年级行程问题：多人行程难度：高难度张、李、赵3人都从甲地到乙地．上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米．赵上午8时从甲地出发．傍晚6时，赵、张同时达到乙地．那么赵追上李的时间是几时?学而思奥数网奥数专题 (行程问题) 多人行程1. 五年级行程问题：多人行程难度：高难度甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为60千米／时和48千米／时。
有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后 6时、7时、8时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。
求丙车的速度。
解答：解题思路：（多人相遇问题要转化成两两之间的问题，咱们的相遇和追击公式也是研究的两者。
另外ST图也是很关键）第一步：当甲经过6小时与卡车相遇时，乙也走了6小时，甲比乙多走了6 60-48 6=72千米；（这也是现在乙车与卡车的距离）第二步：接上一步，乙与卡车接着走1小时相遇，所以卡车的速度为72-48 1=24第三步：综上整体看问题可以求出全程为：（60+24） 6=504或（48+24） 7=504第四步：收官之战：504 8-24=39（千米）注意事项：画图时，要标上时间，并且多人要同时标，以防思路错乱！2. 五年级行程问题：多人行程难度：高难度李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报到。
五年级奥数行程问题精品文档11页
第二讲行程(１)相遇问题知识链接：相遇问题是研究两个物体共同走一段路程的运动。
可分为相向，相背，环行运动等相遇问题。
行程问题基本数量关系式：路程=速度×时间相遇问题基本关系式：速度和×相遇时间=相遇路程相遇路程÷相遇时间=速度和相遇路程÷速度和=相遇时间超级课堂1. 甲乙两车同时从两地相对开出，经过5小时后相遇。
甲车每小时行70千米，乙车每小时行65千米，问：甲，乙两地相距多少千米？2. 甲，乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是50千米。
甲每小时走3千米，乙每小时走2千米。
甲带一只狗，每小时跑5千米，这只狗同甲一起出发，当它碰到乙后便转回头跑向甲…如此下去，直到两人碰到头为止。
问这只狗一共跑了多少千米？3. 甲,乙两辆货车分别同时从A,B两个城市相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行50千米，两车在距离两城中点25千米处相遇。
那么A,B两个城市间的路程是多少千米？4. A,B两城相距60千米，甲，乙两人都骑自行车从A城同时出发，甲比乙每小时慢4千米，乙到B城当即折返，于距B城12千米处与甲相遇，那么甲的速度是多少？5. 客车和货车早上8时分别从甲，乙两个城市同时出发相向而行，到上午10时两车相距120千米，两车继续行驶到下午1时，两车又相距120千米，那么甲，乙两城之间路程是多少千米？6. A，B两地相距1100米，甲从A地，乙从B地同时出发，相向而行，甲每分钟行90米，乙每分钟行70米，第一次在C处相遇，AC之间距离是多少米？相遇后继续前进，分别到达A，B两地后立即返回，第二次相遇于D处，CD之间的距离是多少米？超级练习1. 电气机车和磁悬浮列车各一列，从相距298千米的两面地同时相向而行，磁悬浮列车的速度比电气机车的速度的5倍还快20千米每小时，半小时后两车相遇。
则电气机车和磁悬浮列车的速度分别是多少？2. 两支部队从相距50千米的甲，乙两地同时相对而行，一名通信员骑车以每小时20千米的速度在两支部队间不断往返联络。
学而思行程问题-火车过桥
为追及问题，找路程差和速度差，题目中路程差为两车的车长之和。
5
咨询电话：85513391 10、 ★★★有两列同方向行驶的火车，快车每秒行 30 米，慢车每秒行 22 米。 如果从两车头对齐开始算，则行 24 秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始 算，则行 28 秒后快车超过慢车，那么，两车长分别是多少？如果两车相对行驶， 两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间？
100
车的路程
人和车同向而行，人和车头相遇，画图时人和车头对齐（红色部分），
车完全超过人，人和车尾相遇，画图时人和车尾对齐（绿色部分）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
车比人多走一个车长，走的时间都为 10 秒，
解法一：人走的路程：2×10=20（米）
车走的路程：20+100=120（米）
火车的速度：120÷10=12（米/秒）
解法二：车比人共多走一个车长，即多走 100 米，走了 10 秒钟
？
180
先求出第 1 棵树到第 61 棵树之间的路程，
车的路程
第 1 棵树到第 61 棵树之间的间隔共 61-1=60（个）
每两棵树间隔 2 米，路程为 60×2=120（米）
火车走的路程：120+180=300（米）
火车的速度： 300÷15=20（米/秒）
单位转换：20 米/秒=20×60=1200 米/分钟
7
咨询电话：85513391 如图所示。火车与甲同向，经过甲时火车比甲多走一个车长，时间为 8 秒，火车
的速度用 车 表示，甲乙速度相同，都用 人 表示，火车长用 L 表示
火车超过甲时，火车比人多走的路程：
L=8× 车 -8× 人
火车经过乙时，火车与乙相向而行，人共走一个车长：L=7× 车 +7× 人
三年级学而思 行程问题
一艘船在逆水中的速度为15千米/小时，水流速度为3千米/小时。问该船逆流而 上需要多少时间才能行驶60千米？
05
相对速度问题
相对速度问题的定义
相对速度问题是指两个物体在相对运 动中，由于参照物的不同而产生的速 度变化的问题。
在相对速度问题中，我们需要考虑两 个物体的速度、方向和相对位置，以 确定它们之间的相对运动关系。
例题2
甲、乙两车同时从A、B两地出发，同向而行，甲车的速度为80千米/小时，乙车的速度为 60千米/小时，甲车追上乙车时，两车共行驶了多少小时？
例题3
甲、乙两车从同一地点同时出发，沿同一路线追赶前面的丙车，甲车的速度为120千米/ 小时，乙车的速度为100千米/小时，丙车的速度为90千米/小时，最终甲车追上了丙车， 问此时乙车距离丙车多远？
相对速度问题的实例解析
甲乙两车相向而行，甲车的速度为50km/h，乙车的速度为 30km/h，两车相遇时，它们的相对速度是多少？
甲乙两车同向而行，甲车的速度为50km/h，乙车的速度为 30km/h，两车相距10km时，乙车追上甲车需要多少时间？
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பைடு நூலகம்
得出结论
根据解的合理性得出结论，解 决实际问题。
追及问题的实例解析
示例1
甲、乙两辆汽车在同一直线上同向行驶，甲车的速度为60 km/h，乙车的速度 为40 km/h，乙车从甲车后面驶来，两车相距100 km，问乙车需要多少时间 才能追上甲车？
示例2
甲、乙两辆汽车在同一直线上相向而行，甲车的速度为50 km/h，乙车的速度 为30 km/h，两车相距20 km，问两车相遇需要多少时间？
建立数学模型
根据运动场景和已知条件，建立速度、时间 、路程之间的数学关系式。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 五年级 第5讲-行程问题
第5讲行程问题四虞老师在小河里划船，顺水从A到B走36千米用了2小时，回来时走了3小时。
虞老师在小河里划船，顺水从A 到B 走36千米用了2小时，回来时走了3小时。
36÷2=18 (km/h) 顺水速度 36÷3=12 (km/h) 逆水速度 船速=（18+12）÷2=15 (km/h) 水速=（18-12）÷2=3(km/h) A 漂到B ：36÷3=12（小时）顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 顺水速度+逆水速度=2船速 顺水速度-逆水速度=2水速【例1】导引拓展篇第1题甲河是乙河的支流，甲河水速为每小时3千米，乙河水速为每小时2千米．一艘船沿甲河顺水7小时后到达乙河，共航行133千米．这艘船在乙河逆水航行84千米，需要花多少小时？乙河甲河甲顺：133÷7=19（千米/小时）船速：19-3=16（千米/小时）乙逆：16-2=14（千米/小时）船在乙河中逆水84千米的时间：84÷14=6（小时）【例2】导引拓展篇第2题一艘飞艇，顺风6小时行了900公里；在同样的风速下，逆风行600公里，也用了6小时．那么在无风的时候，这架飞艇行1000公里要用多少小时？飞艇的顺风速度为900÷6=150公里/小时 飞艇的逆风速度为600÷6=100公里/小时顺风速度 逆风速度 飞艇的无风速度为（150+100）÷3=125公里/小时 飞行1000公里需要1000÷125=8小时【例3】导引拓展篇第3题甲、乙两船分别从A港逆水驶向180千米B港，静水中甲船每时15千米，乙船每时12千米，水速每小时3千米．乙比甲船早出发2小时，当甲追上乙时，甲距A港多少千米？若甲到达B港后返回，则甲、乙两船相遇点离刚才甲船追上乙船的地点多少千米？A B180千米乙甲9×2=18千米乙船逆水速度：12-3=9千米/时甲船逆水速度：15-3=12千米/时两船速度差：12-9=3千米/时18÷3=6时12×6=72千米180-72=108千米108÷12=9小时9×9=81千米72千米81千米27千米时间：27÷（12-3+15+3）=1时乙走了：1×9=9千米相距：81+9=90千米流水行船中相遇、追及与水速无关【例4】导引拓展篇第4题一条小河流过A 、B 、C 三镇．其中A 、B 两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为每小时11千米；B 、C 两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为每小时3.5千米．已知A 、C 两镇水路相距45千米，水流速度为每小时1.5千米．某人从A 镇上船顺流而下都B 镇，吃午饭用1小时，接着乘木船又顺流而下到C 镇，共用了7小时．请问：A 、B 两镇间的距离是多少千米？ ACB 汽木45千米从A 到B ：11+1.5=12.5千米/时 从B 到C ：3.5+1.5=5千米/时坐船时间为：7-1=6小时 若6小时都为木船速度走 则走了：6×5=30千米 45-30=15千米15÷（12.5-5）=2小时 从A 到B 时间为2小时距离：2×12.5=25千米【例5】导引拓展篇第5题轮船从A城到B城需行3天，而从B城到A城需行4天．从A城放一个无动力的木筏，它漂到B城需多少天？假设从A城到B城的距离是12份那么轮船顺水航行的速度是12÷3=4份/天而逆水航行的速度是12÷4=3份/天水的速度：（4-3）÷2=0.5份/天木筏从A城漂流到B城需要12÷0.5=24天【例6】导引拓展篇第5题一艘游艇装满油，能够航行180个小时．已知游艇在静水中的速度为每小时24千米，水速为每小时4千米，现在要求这艘游艇开出之后沿原路回港，而且中途没有油料补给．请问：这艘游艇最多能够开出多远？游轮顺水速度为：24+4=28千米/时游轮逆水速度为：24-4=20千米/时开出的最远距离：顺水速度×顺水时间=逆水速度×逆水时间V顺：V逆=7:5T顺：T逆=5:7T顺=180÷（5+7）×5=75小时开出的最远距离：75×28=2100千米顺水速度×顺水时间逆水速度×逆水时间【例7】导引拓展篇第7题某人在河里游泳，逆流而上．他在A 处丢失一只水壶，向前又游了20分钟后，才发现丢了水壶，立即返回追寻，在离A 处2千米的地方追到．假定此人在静水中的游泳速度为每分钟60米，那么水流的速度为多少船-水水AAB=船速×时间 时间相同船+水水时间：20+20=40分钟走了2千米水流速度：2000÷40=50米/分人 壶 人壶【例8】导引拓展篇第8题黑、白两只小猫沿着周长为300米湖边跑，黑猫的速度为每秒5米，白猫的速度为每秒7米．若两只小猫同时从同一地点出发，背向而行．多少秒后两只小猫第一次相遇？如果它们继续不停跑下去，2分钟内一共会相遇多少次？300米第一次相遇：300÷（5+7）=25秒第二次相遇300÷（5+7）=25秒25秒一次相遇两分钟内：120÷25=4 (20)两分钟内4次相遇同出发点相遇，路程和为一个圆周【例9】导引拓展篇第9题在400米长的环形跑道上，甲、乙两人分别从A、B出发，同向而行．4分钟后，甲第一次追上乙，又经过10分钟甲第二次追上乙．已知甲的速度是每秒3米，那么乙的速度是多少？A、B两点相距多少米？400米3米每秒=180米每分甲追上乙后两人同出发点速度差为：400÷10=40米/分乙的速度：180-40=140米/分AB距离：40×4=160米AB【例10】导引拓展篇第10题 有一个周长是40米的圆形水池．甲沿着水池散步，每秒走1米；乙沿着水池边跑步，每秒跑3.5米．甲、乙两人从同一地点同时出发，同向而行．当乙第8次追上甲时，他还需要跑多少米才能回到出发点？40米甲、乙追上一次路程差为一个周长每次追上的时间： 40÷（3.5-1）=16秒 追上8次时间：16×8=128秒 乙共走：3.5×128=448米 448÷40=11······8 乙还需要走40-8=32米同出发点追击，路程差为一个圆周【例11】导引拓展篇第11题甲、乙两人在一条圆形跑道上锻炼．他们分别从跑道某条直径的两端同时出发，相向而行．当乙走了100米时，他们第一次相遇．相遇后两人继续前进，在甲走完一周前60米处第二次相遇．求这条圆形跑道的周长．A BC乙甲甲乙第一次相遇和走全长的一半 第二次相遇和走一个全长 乙第二次走100×2=200米 半圆弧长：100+200-60=240米 圆周长：240×2=480米D【例12】导引拓展篇第12题甲、乙两辆汽车在周长为360米的圆形道上行驶，甲车每分钟行驶20米．它们分别从相距90米的A、B两点同时出发，背向而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B地时，甲车经过B点后恰好又回到A点．此时甲车立即掉头前进，乙车经过B点继续行驶．请问：再经过多少分钟甲车与乙车再次相遇？甲乙AB90米【例12】导引拓展篇第12题甲乙A B 第一次相遇 C甲乙 A B甲从出发到第一次相遇时，经过的路程是圆形道上周长的一半所用时间：180÷20=9分钟 乙走了：180-90=90米 乙速度：90÷9=10米/分 相遇时间：90÷（10+20）=3分钟90米【例13】导引拓展篇第13题如图5-3，学校操场的400米跑道中套着300米小跑道，大跑道与小跑道有200米路程相重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针 方向跑，两人同时从两跑道的交点A 处出发，当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？甲 图5-3A 乙 甲 乙【例13】导引拓展篇第13题甲BA乙 6米/秒 4米/秒甲绕大跑道跑了一圈，需要秒3266=6÷400 秒57=4÷300 乙绕小跑道跑了一圈，需要第一次相遇在公共跑道上当乙回到A 点时，甲离开A 点275666503⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭ 甲A 乙 BD此时甲乙再次相遇所用时间为秒）（）（35=6450-400+÷甲共走了 米）（66063575=⨯+【例14】导引拓展篇第14题如图5-4，一个正方形房屋的边长为10米．甲、乙两人分别从房屋的两个墙角同时出发，沿顺时针方向前进．甲每秒行5米，乙每秒行3米．问：出发后经过多长时间甲第一次看见乙？10乙 3m/s甲 5m/s10 图5-4当甲落后10米时，追上20-10=10米所用时间：10÷（5-3）=5秒 此时甲走了：5×5=25米甲再需要5÷5=1秒可以看见乙 因此，一共需要5+1=6秒的时间本讲知识点汇总一、流水行船：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速船速=(顺水速度+逆水速度)÷2水速=(顺水速度-逆水速度)÷2二、流水行船中的相遇与追击与水速无关三、同出发点相遇，路程和为一个圆周同出发点追击，路程差为一个圆周下节课见！。
学而思小学数学“行程”问题中的特殊性及其类型
学而思小学数学“行程”问题中的特殊性及其类型摘要：“s＝vt”是小学数学行程问题基本公式，要深刻理解“路程和（差）”、“速度和（差）”、“相遇（追及）时间”等核心概念，掌握行程问题中正、反比例的应用。
行程问题中的特殊性主要体现在三个方面：一是主体类型的特殊性，行程的主体可分为“质点”主体，以及火车、轮船、钟表等特殊主体；二是主体运动方向包括相向（面对面）、背向（背靠背）和同向三种；三是时间、速度和路程的特殊性。
时间的特殊性体现在“同时”和“不同时”两个方面；速度的特殊性体现在“变速”还是“不变速”、“何时变速”、“几个主体变速”等方面。
路程的特殊性表现在三个方面：一个是路程轨迹的特殊性，路程的轨迹分直线型与非直线型两种；一个是路程“中点”问题；一个是由于路程的周期性产生的“多次相遇”问题。
在小学数学的知识体系中，行程问题是应用题中的一个重点和难点。
行程问题因其变化因素多样，使其显得“花样多”，总有“乱花渐欲迷人眼”的感觉。
如何从总体上和逻辑上把握行程问题的特殊性及其类型，从而进行有效的教学，就是本文探讨的主要问题。
一、把握“不变”行程问题是围绕“路程、速度和时间”三个基本概念展开的，“s＝vt”这一基本公式是不变的。
由于多个主体参与，衍生出的“路程和（差）＝速度和（差）×相遇时间（追及时间）”两个公式是不变的。
其中，关于s＝vt的正比例、反比例关系以及路程和（差）、速度和（差）、相遇时间、追及时间是需要认真理解和体会的关键。
二、把握“特殊”不变的是本质，变的是形式。
行程问题之所以复杂，关键在于它有很多特殊性和变化量。
只有系统地理解和把握这些特殊性和变化量，才能做到心中有数且得心应手。
1.主体的特殊性（1）主体类型的特殊性：行程的主体不仅有人、自行车、汽车这样可以视为“质点”的普通类型的主体，还有火车、轮船、钟表这样的特殊类型主体。
以火车为例，这一交通工具的特殊性在于自身长度不能被忽略，不能被视为“质点”，而火车过杆（静态点）、过人（动态点）、过桥或隧道（静态段）、过火车（动态段），都是这种特殊性的叠加与组合。
学而思五年级春季下学期超长123班讲义学案试题(1—7讲)
一．勾股定理1. 在如下图的圆中，正方形ABCD 的边长为8，圆心O 到AB 的距离为5，求正方形EFGH 的面积。
(2.如图，直角三角形ABC 中，两直角边分别为7，24，三角形内有一点P 到各边的距离相等，这这个距离为多少3.如图，对角线BD 将矩形ABCD 分割为两个三角形，AE 和CF 分别是两个三角形上的高，长度都等于6cm ，EF 的长度为5 cm ，求矩形ABCD 的面积二．2已知长方形长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平，如图，求重叠部分△FBD 的面积}二．3.如图：矩形ABCD ，AB=3cm,AD=9cm,折叠矩形，使B 点与D 点重合，折痕为EF ，则三角形BEF 的面积是多少 E三．2.在一个直径为一丈的圆形池中有一芦苇，高出水面1尺，风吹过，芦苇高刚好倒下碰到水面，芦苇到了岸边，那么水面的深度和芦苇的高度是多少@学案1.如图所示，直角三角形PQR的直角边为5厘米和9厘米，问图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少[学案3.下图是一个长为16，宽为10的长方形，沿着图中虚线的位置将这个长方形折叠成一个等腰梯形，则这个梯形的面积是_______。
[补充1.将B点折到AD边上的E点，E是五等分点，AE＝1，求三角形BCF的面积。
%补充2.一根绳子在一个圆柱上从一端到另一端均匀的绕了4圈，圆柱的底面积周长为4米，长12米，求绳子的长度。
E第二讲完全平方数一4.求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是五次方数。
…一5.从乘法算式1×2×3×…×15中至少要删除多少个数，才能使剩下的数的乘积为完全平方数》一6.从1!、2!、3!、…、100!这100个数中去掉一个数，使得剩下各数的乘积是一个完全平方数，请问：被去掉的那个数是什么？二名同学，编号为1～100，面向南站成一排，第1次全体同学向后转；第2次编号为2的倍数的同学向后转；第3次编号为3的倍数的同学向后转；……；第100次编号为100的倍数的同学向后转；这时，面向南的同学有______名.二名同学，编号为1～100，面向南站成一排，第1次全体同学向右转；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转；……；第100次编号为100的倍数的同学向右转；这时，面向东的同学有______名—三3. (1)形如11…1(n＞1，n个1)的完全平方数有______个；(2)形如1444…4(n＞1，n个4)的完全平方数有______个；三5.m3+n3+1（m、n为自然数）能否为平方数-学案1.称能表示成1+2+3+…+k的形式的自然数为三角数。
北师大版五年级上册数学《行程问题》专题课件
一个人的努力 一家人的梦想
一个人的努力 一家人的梦想
【例题4】甲乙两人分别从相距24千米的两地同时向东而行， 甲骑自行车每小时行13千米，乙步行每小时走5千米。几小 时后甲可以追上乙？ 【思路导航】 这是一道追及问题。根据题意，甲追上乙时，比乙多行了24 千米（路程差）。甲骑自行车每小时行13千米，乙步行每小 时走5千米，甲每小时比乙多行13－5=8千米（速度差），即 甲每小时可以追上乙8千米，所以要求追上乙所用的时间， 就是求24千米里面有几个8千米。因此，24÷8=3小时甲可 以追上乙。
要求船速和水速，要先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速 度可按行程问题的一般数量关系求，即：路程÷顺水时间= 顺水速度，路程÷逆水时间=逆水速度。因此，顺水速度是 286÷11=26千米，逆水速度是286÷13=22千米。所以，船 在静水中每小时行（26＋22）÷2=24千米，水流速度是每 小时（26－22）÷2=2千米。
3，甲乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知 甲车从A城到B城需6小时，乙车从B城到A城需12小时。两车出发后多少 小时相遇？
一个人的努力 一家人的梦想
【例题2】王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而 行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米。如果一只狗 与王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即 回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去。这样不断 来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？
五年级上册数学专题讲解
一个人的努力 一家人的梦想
1、通过画线段图，理解相遇，追 及问题的过程，建立数学模型。 2、掌握双人直线相遇、追及问题 中的数量关系。
一个人的努力 一家人的梦想
学而思行程问题
学而思行程问题Prepared on 21 November 2021学习目标本讲主要通过例题加深对行程问题的三个基本数量关系的理解。
在历年小升初与各类小学竞赛试卷中，行程问题的试题占的比值是相当大的，所以学好行程问题不但对于应对小升初考试和各类数学竞赛有着举足轻重的关键性作用，而且也为初中阶段的学习打下良好的基础。
我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.行程问题主要涉及时间(t)、速度(v)和路程(.s)这三个基本量，它们之间的关系如下：=路程=速度×时间可简记为：s vt速度=路程÷时间可简记为：/v s t=时间=路程÷速度可简记为：/=t s v路程一定，速度与时间成反比速度一定，路程与时间成正比时间一定，路程与速度成正比显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量.【例1】一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1：2：3，某人走这三段路所用的时间之比是4：5：6，已知他上坡时每小时行2.5千米，路程全长为20千米，此人走完全程需多少时间？【例2】甲、乙两地相距60千米，自行车队8点整从甲地出发到乙地去，前一半时间每分钟行1千米，后一半时间每分钟行0.8千米。
自行车队到达乙地的时间是几点几分几秒？【例3】某人上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟，已知下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3时50分钟，那么下山用多少时间？【例4】汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地，求该车的平均速度。
【例5】甲、乙两车往返于A、B两地之间，甲车去时的速度为60千米/时，返回时的速度为40千米/时，乙车往返的速度都是50千米/时，求甲、乙两车往返一次所用的时间比.【例6】从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的23，一辆汽车上山速度是下山速度的一半，从甲地到乙地共行7时，这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？【例7】一辆车从甲地行往乙地，如果把车速提高20%，那么可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速度行驶100千米后再将车速提高30%，那么也比原定时间提前1小时到达，求甲、乙两地的距离。
2019年五年级行程问题学生版 (I)
2019年五年级行程问题学生版 (I)例1.南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？例2 .李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？例3. 甲乙二人分别从A 出、B 两地发相向而行，第一次相遇地点为C 点，距离两地中点500米处，然后各自到达目的地后返回再次相遇的地点D 距离B 地300米，求AB 两地的距离。
例4.甲乙二人上午8点分别开车从A 、B 两地出发，相向而行，10点时两人相距160千米，11点时两人相距40千米，问两人是在几点的时候相遇的？例5. 如图，甲、乙两辆汽车在周长为360米的圆形道上行驶，甲车每分钟行驶20米．它们分别从相距90米的A ，B 两点同时出发，背向而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B 点时，甲车经过B 点后恰好又回到A 点．此时甲车立即调头前进，乙车经过B 点继续行驶．请问：再过多少分钟甲车与乙车再次相遇？例6. 甲、乙、丙3辆车同时出发，甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米；有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后的6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙3辆车相遇．求丙车的速度是多少？例7. 两地间的路程为360km ，甲车从A 地出发开往B 地，每小时行72km ；甲车出发25分钟后，乙车从B 地出发开往A 地，每小时行使48km ，两车相遇后，各自按原来速度继续行使，那么相遇以后，两车相距100km 时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？甲 乙 A B例题8.甲乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟步行70千米。
他走后一半路程用了多长时间？例题9. 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点。
四、五年级行程：火车过桥试题及详解5
四年教学经验，全面培养学生知识系统化的掌握，开朗乐观，善于与 学生沟通来建立良好关系、亦师亦友。
四、五年级行程：火车过桥题及详解 5
学而思“专题”栏目试题细分出七大专题各自领域，并按照年级和难度 的不同为同学们每周呈现。 -本周试题由学而思智康名师马孟初精选、解析，以保证试题质量。 -本试题为 word 版本试卷，您可下载打印或在线阅读。 -每道题的答题时间不应超过 15 分钟。 难度：★★★★ 请下载附件：
四、五年级行程：火车过桥试题及详解 5 （共 4 页，本地下载在线阅读 New！） 编辑推荐： 行程问题之火车过桥练习 6 行程问题之火车过桥练习 7 行程问题之火车过桥练习 8 行程问题之火车过桥练习 9
有关火车的行程问题解析 行程问题之火车过桥解析（六年级） 名师介绍： 马孟初老师，对北京小升初有较清晰的把握，能够根据学生的情况给 予最合理可行的建议。所带学生有多名考入仁华学校并在各大杯赛中获奖。 对中的应用题有独特的理解和授课方法。 教学特色：
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在行程问题中的三个基本量：路程、速度、时间中。 路程一定时，速度与时间成反比例。路程=速度×时间。（积一定） 时间一定时，路程与速度成正比例。时间=路程÷速度。（商一定） 速度一定时，路程与时间成正比例。速度=路程÷时间。（商一定）
例如：（1）甲乙二人走相同的一段路程。甲速为 10 米每秒，乙速为 12 米每秒，则甲速：乙速=10:12=5:6； 同样我们也可以得到甲乙二人走这段路程所用的时间关系：甲时：乙时=6:5. 路程一定时，速度与时间成反比例
例 5、分析：此题用方程法还是比较简单的，设艾迪从出发到相遇用的时间为 x 分钟，则宫宝的时间为 x-30 分钟，可以根据两人走得路程是两个全程列出方程。 60x+80×15=80(x-30-15)解出 x=240,则 A,B 两地距离为：60×240+80×15=15600 米
提高练习：（1）已知甲车速度为每小时 90 千米，乙车速度为每小时 60 千米，甲乙两人分别从 A,B 两地同时出发相向而 行，在途经 C 地时乙车比甲车早到 10 分钟，第二天甲乙分别从 B,A 两地出发同时返回原来出发地，在 途经 C 地时甲车比乙车早到 1 个半小时，那么 A,B 两地距离是多少？ 提示：分别设出 AC,BC 的距离根据时间列出方程组
设甲的速度为 x 米/分钟。（x-50）×26=（x+50）×6
x=80
A,B 两地距离为：（80-50）×26=780（米）或者（80+50）×6=780（米）
第五讲 行程问题 5.2
五年级春季班 第五讲 行程问题
曹威
法二：比例法。由图可知（绿线表示同时间内的相遇过程红线表示同时间内的追及过程）
如：48︰60=（48 ）︰（60 ）=4︰5
=
= =3︰11
︰ =（
）︰（
） 5︰4 或 ︰
=
5︰4
（4） 比和除法，分数的联系与区别 联系：比的前项相当于除法中的被除数，后项相当于除法中的除数，比号相当于除号， 比值相当于商 比的前项相当于分数中的分子，后项相当于分数中的分母，比号相当于分数线， 比值相当于分数值。 区别：分数是数中的一种。如：整数，自然数，小数。 除法是运算法则中的一种。如：加法，减法，乘法。 比是一种形式，一种表示两个量之间关系的一种形式。
1、比的认识
（1） 定义：两个数相除又叫做两个数的比，表示两种量之间的数量关系。
如：4
︰ （其中 4 叫做比的前项，7 叫做比的后项）
前项 后项
如：班里一共 15 人，男生有 9 人，女生有 6 人，则男生与女生的人数关系为 9︰6.
（2） 性质：比的前项和后项同时乘以或除以一个数（0 除外），比值不变。（与分数性质，除法性质相似） （3） 应用：化简比（相当于分数中的约分，但最终要写成比的形式）
26 分钟
甲
6 分钟
6 分钟 26 分钟 乙
A
C
B
D
若想应用比例解决问题先要固定一个量，从图中可以发现 CD 这一段中甲乙的时间是
都可以找到的。那么走相同的 CD 这段路程，甲用 26-6=20 分钟，乙用 26+6=32 分钟， 则甲乙的时间比为 20:32.则甲乙的速度比为 32:20（反比例），已知乙的速度为 50，
2、比例的认识
（1）定义：表示两个相等的比的式子叫做比例。如：12︰20 和 28︰35 的比值都是 。那么这两个比就可
外项
以构成比例：12︰20=28︰35 或
。
内项
其中 20 和 28 叫做比例的内项，12 和 35 叫做比例的外项。
（2）性质：内项乘积等于外项乘积。即：20
写成分数形式为对角相乘相等。如：
第五讲 行程问题 5.3
五年级春季班 第五讲 行程问题
曹威
（4）甲乙两列火车的速度比为 5：4，乙车先出发，从 B 站开往 A 站，当走到离 B 站 72 千米的地方时，
甲车从 A 站开往 B 站，两车相遇的地方离 A,B 两地比是 3：4，那么 AB 两地的距离是多少千米？
提示：由图可知
甲
5份
72 千米
反比。则 原来
现在
， 原来
现在
现在距上课还有 30 分钟。
,原来用 45 分钟，现在就应该用 45÷3×2=30 分钟，所以
第二问：实际上还差 5 分钟说明他只用了 30-5=25 分钟就到校了。则 原来
现在
，原来 .
现在
所以今天与原来的速度比为 9:5.
例 2、分析：法一：方程法。根据相遇与追及的路程都是 A,B 两地的距离列出等式。
甲速为：（4800-2880）÷10=192（米∕分）
提高练习：（1）甲乙两人同时从 A 地出发到 B 地，经过 3 小时，甲先到 B 地，乙还需要 1 小时到达 B 地，此时甲乙共 行了 35 千米，求 A,B 两地之间的距离？ 提示：走相同的距离甲乙的时间比为 3：4，则速度比为 4：3，则当甲到达时 35 千米里，甲走的占 ，则全 程可求。 答案:20 千米。
当乙速提高 3 倍后，甲乙的速度比变为 2：3，则可求出新相遇时二人走的距离，甲走全程的 即
2880 米，则提前 10 分钟相遇即 10 分钟内甲少走了 4800-2880 米的路程，则甲速可求。
解答：（7200-2400）：2400=2：1，提高速度后的速度比 2：3，则甲走的为 7200× =2880 米
提高练习：（1）甲乙二人从 A,B 两地同时出发，相向而行，甲走到全程的 的地方与乙相遇，已知甲每小时走
4.5 千米，乙每小时走全程的 ，求 A,B 两地之间的距离？ 提示：甲乙的速度比为 5：（11-5），则乙的速度可求，再根据乙每小时走全程的 ，即可求全程。 答案： 16.2 千米 （2）甲乙两车同时从 A,B 两地相向而行，他们相遇时距 A,B 两地中点处 10 千米，已知甲车速度是乙 车速度的 2 倍，求 A,B 两地的距离？ 提示：甲乙的速度比为 2：1，则相遇而行全程为 3 份，且相遇时甲比乙多走 1 份即为 10 2=20
（2）甲乙二人在相同的一段时间内行走，甲速为 10 米每秒，乙速为 12 米每秒，则甲速：乙速=
10:12=5:6；同样我们也可以得到甲乙二人在这段时间内所走的路程关系： 甲： 乙=5:6.
时间一定时，路程与速度成正比例
二、例题讲解
例 1、分析：第一问：速度提高之前与提高之后走的总路程是一样的，那么根据路程一定，速度与时间成
（3）应用：解比例。（四个数中知 3 推 1）
（）︰43=58︰129 （）=
=
=（ ）
（）=
=
第五讲 行程问题 5.1
五年级春季班 第五讲 行程问题
曹威
3、正比例，反比例
（1）正比例：两种相关联的量，一种变化，另一种也随着变化，如果两个量中，相对应的两个数的比值一
定，这两种量就叫做正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
如：a、每支铅笔的单价是一定的，买的铅笔数量和总价钱成正比例。单价=总价 （商一定）
数量
b、梯形的高一定，面积与上下底的和成正比例。高= 面积 （商一定）
上底 下底
c、房子铺地砖，一块砖的面积一定，房屋面积和砖的块数成正比例。
砖的面积=房屋面积 （商一定）
砖的块数
（2）反比例：两种相关联的量，一种变化，另一种也随着变化，如果两个量中，相对应的两个数的积一定， 这两种量就叫做正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 如：a、长方形的面积一定，长方形的长和宽是成反比例的。长×宽=面积（积一定） b、工人生产零件的总个数一定，工人数和每人生产的个数成反比例。 工人数×每人生产个数=零件总个数（积一定） c、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。 工作效率×工作时间=工作总量（积一定）
例 3、分析：法一、画图分析。相遇时甲比乙多行 32×2=64 千米，甲车比乙车每小时多行 56-48=8 千米， 所以甲乙相遇的时间相当于甲乙拉开 64 千米的时间，即 64÷8=8 小时，则全程为 8×（56+48）=832 千米
法二、比例法。两人相遇时间内的路程与速度成正比，则甲走了 56 份，乙走了 48 份，差 8 份为 32×2=64 千米，则全程 56+48=104 份为 104×（64÷8）=832 千米
其实，只要我们有信心，有恒心，下狠心，行程这块硬骨头一定会被我们啃下去的。到那时候„„。 本讲主要是向大家介绍行程问题中经常用到的两种方法：比例法和方程法。其中，方程法对我们来说并不陌生， 所以本讲不会过多的讲解这种方法，只有例 5 一道方程法解题。重点是比例法在行程中的应用。
一、 基础知识复习与铺垫
五年级春季班 第五讲 行程问题
曹威
第五讲 行程问题——方程和比例方法
行程问题是我们都很熟悉的数学题型，因其情况多样，分析复杂，而成为小学奥数中的重难点。因此好多学 员一听到“行程”两个字，就已经打算放弃。但其实，我们只要把行程中的各类情况一一攻破（多人多次相遇与追 及，环形跑道，流水行船，发车间隔，错车过桥），各类方法一一掌握（基本公式法，方程法，比例法，流卡图法）， 最后再来几回综合练习，你就会发现，行程也不过如此。
（2）一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行 750 米，预计 50 分钟到达，但汽车行驶到路程的 时，出了故障， 用 5 分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快 多少米？ 提示：速度不变，当行驶路程的 ，时间也用了 。则剩下的路程要在 15 分钟内走完，则后面的速度很 容易求出。 答案：250 米