专题利用定积分定义求极限

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考研数学专题利用定积分的几何意义求和式极限

2
ln xdx
1
故选择 B.
注：根据定积分的几何意义，易知如果将 C 选项改为 2 1ln(1 x)dx 也正确。利 0 用分部积分法容易算出结果,即：
lim ln n
n
1
1 n
2
1
2 n
2
1
n n
2
2
2
ln xdx 4 ln 2 2.
1
例题
1.2： lim n
n
1
1 n
2
1
2 n
们来看具体的做法。
解：先对原式进行适当的放缩
lim
n
sin k n
n k 1 n 1
lim
n
n k 1
sin k n
n 1
lim
n
sin k n
n n k 1
，下面利用定积分的定义求两侧极限，
k
lim
n
sin k n
n n k 1
1
sin
0
xdx
1
cos
x |10
2
,
lim
这道题目应该深刻体会和式的极限与定积分之间的转化并且熟悉定积分
的几何意义。
解：
lim ln
n
n
1
1 n
2
1
2 n
2
1
n 2 n
lim
n
1 n
(ln
1
1 n
2
1
2 n
2
1
n n
2
)

2
lim
n
1 n
(ln
1
1 n
ln
1

巧用定积分的定义求极限_吕淑婷

π ｎ→∞ ｎｎｎ
ｎ
ｎｎ
ｎｎ
ｎ
’ ＝１ｓｉｎｉπ·π
πｉ＝１ｎｎ
π
( ＝１ｓｉｎｘｄｘ πｂ
＝２ π
二、变乘积极限为和式极限
例３：求ｌｉｍ１ｎ→∞ ｎ
ｎ &（ｎ＋１）（ｎ＋２）…（２ｎ）
分析：对数运算可以将连乘式转化成和式，因此对于某类连乘式，
也可以用定积分的定义来求极限
４ｎ－ｎ
分析：此类题不能直接利用定积分的定义来求极限，要辅用加逼
准则
即：ｌｉｍ（
１
２
２＋
２
２
２＋…＋
ｎ＋１
２
２
）
ｎ→∞ ４ｎ－２４ｎ－３
４ｎ－ｎ
ｎ
’ ＝ｌｉｍ
ｉ－１
２２
ｎ→∞ｉ＝２４ｎ－２
ｎｉ－１
’ ＝ｌｉｍ１
ｎ
ｎ→∞ ｎ
ｉ＝２４－（
ｉ
２
）
ｎ
ｉ－１
ｂ－ａｎ
， ξｉ＝ａ＋
（ｂ＋ａ）ｉ，也就是将区间［ａ，ｂ］等分，每个小区间的长度为ｂ－ａ，取每个
ｎ
ｎ
ｎ
! 小区间的右端点为
ξｉ＝ａ＋
（ｂ＋ａ）ｉｎ
，
这样可以将和式的极限ｌｉｍｆ（ａ＋
ｎ→∞ ｉ＝１
$ （ｂ＋ａ）ｉ）ｂ－ａ写成定积分
科技信息
○高校讲台○
ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２００７年第３６期

定积分的定义法求极限

定积分的定义法求极限：
用定积分定义求极限的方法如下：
分子齐（都是1次或0次），分母齐（都是2次），分母比分子多一次。

定积分定义求极限是1/n趋近于0，积分下限是0，n/n是1，积分上限是1。

“极限”是数学中的分支，微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

洛必达法则。

此法适用于解0/0型和8/8型等不定式极限，但要注意适用条件（不只是使用洛必达法则要注意这点，数学本身是逻辑性非常强的学科，任何一个公式，任何一条定理的成立都是有使其成立的前提条件的，不能想当然的随便乱用。

定积分法：此法适用于待求极限的函数为或者可转化为无穷项的和与一个分数单位之积，且这无穷项为等差数列，公差即为那个分数单位。

当n趋于无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x)在区间上的定积分.记作/abf(x)dx即/abf(x)dx＝limn>00[f(r1)+...+f(rn)]，这里，a与b叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。

XX年考研资料数学：利用定积分的定义求极限.doc

2018考研数学：利用定积分的定义求极限对于多项求和再取极限的题目初次接触往往会觉得无从下手，考试中高度紧张的情况下甚至会选择直接放弃。

像下面这样，多项的乘积求和的形式统称为“积和式”.在学过定积分的定义后，会发现积和式的形式与定积分“分割、近似、求和、取极限”类似，当遇到积和式求极限的题目，自然想到能不能将其转化为求函数的定积分来简化计算。

由以上例子可知，利用定积分的定义来计算“积和式”的极限，大大减少了计算量，从而有效节省了解题时间.这类题目不仅考查数列极限的知识点，而且考查了定积分的定义，因此，在历年考试中受到出题人的“青睐”，在复习过程中应该特别引起重视，相信会得到很好的复习效果，对大家的复习大有帮助!赠送以下资料数学解题方法与技巧全汇总，考试就能派上用场！很多同学总是特别头疼数学成绩，要知道数学题只要掌握了方法，就能够迅速提升。

距离高考还有99天，小编特地为大家整理了一份高中数学老师都推荐的数学解题方法，这里面的21种方法涵盖了高中数学的方方面面，可以说是高中数学解题方法大综合，各位同学一定要记得收藏哦！解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。

具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。

③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。

④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。

因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。

因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。

配方法的主要根据有：换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。

换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。

专题1——利用定积分定义求极限 (1)

专题1——利用定积分定义求极限 (1) 哎呀，这可是个大问题啊！今天我们来聊聊一个特别重要的数学概念——极限。

你们知道吗？极限可是数学里的灵魂啊！它就像是我们生活中的大佬，总是能解决我们遇到的各种难题。

极限到底是什么呢？别着急，我给大家慢慢道来。

我们要明白什么是定积分。

定积分就像是一种加法，它可以把无穷多个小矩形拼接起来，形成一个更大的矩形。

这个更大的矩形的面积就是我们要找的那个数。

这个过程可能会遇到一个问题——无穷多个小矩形怎么才能拼成一个大矩形呢？这时候，我们就需要用到极限的概念了。

极限就像是一个桥梁，它可以帮助我们把无穷多个小矩形联系起来。

当我们把无穷多个小矩形的面积相加时，如果结果是一个无限大的数，那么我们就可以说这个数是无穷大；如果结果是一个有限的数，那么我们就可以说这个数是有限的。

而极限就是帮助我们确定这个数到底是无穷大还是有限的。

怎么求极限呢？其实，求极限的方法有很多种。

这里我给大家介绍一种最简单、最直接的方法——四分之法。

具体操作方法就是：把分子和分母都除以同一个非零常数，然后再求极限。

这样做的好处是，可以简化我们的计算过程，让我们更容易地找到答案。

求极限并不是一件容易的事情。

有时候，我们需要通过一些巧妙的方法来突破困境。

比如说，我们可以利用“夹逼定理”来求极限。

这个定理告诉我们，如果一个函数在某个区间内单调递增或单调递减，那么它在这个区间内的极限就是它的端点值。

这样一来，我们就可以通过比较两个端点值的大小来求出函数在这个区间内的极限了。

还有一种求极限的方法叫做“洛必达法则”。

这个法则适用于那些形式比较复杂的极限问题。

它的操作方法是：先对分子和分母分别求导，然后再求极限。

这样做的好处是，可以帮助我们找到隐藏在复杂表达式中的规律，从而更容易地求出极限。

求极限是数学中的一个重要概念，也是我们解决实际问题的关键。

虽然求极限的过程可能会遇到很多困难，但是只要我们掌握了正确的方法，就一定能够攻克这些难关。

8定积分应用(求极限,变上限求导,面积,体积,不等式)

y
o
x
4.设 y ax与 y x 2 围成图形的面积为s1 , 它们与x 1 围成图形的面积为s2 , 且 0 a 1 (1) 求 a , 使 s1 s2 最小
(2) 求此最小值对应的平面图形绕 x 轴旋转而得的旋转体体积. 解 (1) 0 a 1 时, s s1 s2
例
x sin( xt ) f ( x) . lim 2 ，其中 f ( x) 2 dt x x 0 x t
例 : 设f ( x )连续, 且f ( 0 ) 0
求 lim
x0
x
0
( x t ) f (t )dt
x 0
x f ( x t )dt
1 ( ) 2
例.
例
3
设隐函数y y( x )由
o
x
1 3 1 2 （） (1 y 2 y) dy ( y y y ) . 1 S 0 3 3 0 2 2 1 2 2 （2） V ( x) dx ( x 1) dx 0 1 6 2
1 2
1
(3)绕直线 x 2 旋转所得旋转体的体积.
例
.设f ( x)为奇函数，且当 0时，f ( x) 0 x
sin( xt ) f ( x) 0, 其中 f ( x) 2 dt，令 x t
x
F ( x) f ( xt)dt tf (t 2 x 2 )dt,
1 0
1
x
判别F (x)在，上的凹凸性
3 2 2
2 f ( ) f ( ) 0
(2).设f ( x)在2,4上可导, 且
f (2) ( x 1) f ( x)dx 。

浅谈用定积分的定义解决极限问题

浅谈用定积分的定义解决极限问题王涛（周恩来政府管理学院政治学与行政学 0612723）摘要：数学是一门锻炼人的逻辑思维能力的科目。

我们在学习数学的过程中经常遇到的是计算题和证明题，掌握一定的方法和技巧对于我们快速地解出题目是非常有帮助的。

有些方法和技巧其实是对定义、概念深入理解所得到的。

本文主要探讨用定积分的定义来解决求极限的问题。

关键词：定积分的定义；定积分；极限；曲边梯形的面积在高等数学的学习中，微积分的学习占有很大的比重，地位也是很重要的。

微积分分为微分学和积分学，而微分运算与积分运算之间是互为逆运算的关系。

我们通常把微分运算看作正向运算，而把积分运算看作是微分的逆运算，在以往的实际学习上我们也可以看出这点：加减法，乘除法，平方开方，指数对数，三角函数反三角函数等等。

而在高等数学的学习中我们首先接触的是微分，然后是积分；从掌握程度上，我们对于正向运算的掌握程度可能要好于逆向运算，不管是学习的速度还是做题的准确性，正向运算可能都要好于逆向运算。

然而正逆运算是互通的，熟练掌握这两种运算对于增加解题方法，做到融会贯通都是很有帮助的。

下面就来介绍用积分学中定积分的定义来解决微分学中极限的问题。

我们一般在求解极限问题时，经常用到的方法是：极限的定义、性质，几种重要极限、洛必达法则、泰勒公式等。

但这些方法都局限于微分学中，没有超越微分学的范围，而我们知道微分与积分是互为逆运算的，那么运用积分学的方法来解决极限问题是否可行？答案是肯定的。

用定积分的定义就是解决极限问题的又一方法。

要用定积分的定义来求解极限问题，我们首先要弄清定积分的定义。

定积分的定义：设函数y =)(x f 定义在区间[]b a ,上有界，在[]b a ,上任意插入分点：a =n n x x x x ＜＜＜＜110-⋯=b ,令i x ∆=1--i i x x ，又任取[∈i ξi i x x ,1-], i =1,2,…n .作和式i ni i n x f I ∆∑==)(1ξ，令{}i ni x x ∆=∆≤≤m a x 1，如果当0→∆i x 时，和式n I 的极限存在，且此极限与[]b a ,的分法及i ξ的取法无关，则称函数)(x f 在[]b a ,上是可积的，并称该极限值为)(x f 在[]b a ,上的定积分，记作⎰b adx x f )(，即i ni i b ax x f dx x f ∆=∑⎰=→∆)()(10lim ξ.其中函数)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[]b a ,称为积分区间。

考研数学：用定积分定义计算极限的方法和技巧

考研数学：用定积分定义计算极限的方法和技巧求极限是考研数学中的一个重要考点，每年都考，因此，各位考生应该学会如何熟练地求极限。

求极限的方法很多，包括：利用四则运算、两个准则、两个重要公式、变量代换、等价代换、恒等变形（指数化，有理化，三角变换等）、洛必达法则、泰勒公式、导数定义、定积分定义、中值定理和无穷级数。

为了帮助各位考生掌握好求极限的各种方法，文都考研辅导老师会向大家逐步地介绍这些方法，今天将向大家介绍如何用定积分定义求极限的方法，供各位考生参考。

用定积分定义求极限的基本思路：根据定积分的定义：若()f x 在[,]a b 上可积，则01lim()()nbiiak f x f x dx λξ→=∆=∑⎰，其中1max{}i i n x λ≤≤=∆，若取(),i i b a b a kx a n nξ--∆==+，则得1()lim []()nb a n k b a k b af a f x dx n n→∞=--+=∑⎰，特别是，当0,1a b ==时，1011lim ()=()n n k kf f x dx n n →∞=∑⎰。

如果所求极限可以转化为这些和式的极限形式，则可以运用定积分定义计算极限。

适用情形：利用定积分定义计算极限，主要用于n 项和式（或可以化为n 项和式）的极限计算，n 项和式中的每项须具有同样的表示形式（是某个函数()f x 的函数值），如果是分式，则分子的次数须相同，分母的次数须相同，且分母的次数须比分子的次数高1次。

一般求解步骤：1）先对和式进行恒等变形化简，使之符合11()n k k f n n =∑或1()[]nk b a k b af a n n =--+∑的表示形式；2）利用定积分的性质计算出积分值；3）由定积分值得出原和式的值（有时结合使用夹逼准则）。

典型例题：例1.求2lim+nn →∞+解：2lim+n In →∞=+111lim nn i n →∞==⎰，令tan x t =，则2444000sec sec ln sec tan ln(1sec tI dt tdt t ttπππ===+=+⎰⎰例2.求1lim()(1)nn k kn k n k →∞=+++∑ 解：先进行恒等变形化简，然后用定积分定义计算极限，具体过程如下：11()()(1)1nnk k k k kn k n k n k n k ===-=++++++∑∑ 112233()()()()1223341n nn n n n n n n n n n -+-+-++-=+++++++++1121nk n n kn =-++∑，1112122n n n=→++，1100111111lim lim ln(1)ln 211nn n n k k dx x k n k n x n→∞→∞===⋅==+=+++∑∑⎰，所以，原式=1ln 22- 例3. 求2sinsinsinlim (+++)1112n n n n n n n n n πππ→∞+++ 解：此题须结合夹逼准则求极限：112sinsinsin11sin +++sin 11112nn i i n i i n n n n n n n n n n n πππππ==≤≤++++∑∑，1011112lim sin lim sin sin 11n n n ni i i n i xdx n n n n n ππππ→∞→∞===⋅==++∑∑⎰，由夹逼准则得，所求极限为2π 例4. 求limn n→∞解：此题表达式是乘积的形式，通过指数化方法可以化为n 项和的形式：11011limlnln 12lim lim()nn i ixdxn n nn n nI e e n n nn→∞=→∞→∞∑⎰==⋅⋅⋅==，1111ln lim ln lim[(ln )]lim [ln 1+]=1xdx xdx x x dx εεεεεεεεε+++→→→==-=---⎰⎰⎰，故1I e -= 上面就是考研数学中如何用定积分定义求极限这类问题的解题方法，供考生们参考借鉴。

专题利用定积分定义求极限

专题1——利用定积分定义求极限对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法：① 是n →∞时的极限② 极限运算中含有连加符号1n i =∑在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ，我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为b a n-（即定义中的i x ∆），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n--++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n-+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i ii f x ξ=∆∑就变为1()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰。

（取左端点时1lim ((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n→∞=--+-=∑⎰）注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰，而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n λ→=--+=∑⎰。

考研数学：用定积分的定义求极限

f ( x)
在区间
[ a, b]
上有界，在，这样
[ a, b]
内任意插入
n 1
个分点
a x0 x1 x2 ... x n 1 x n b [ xi 1 , xi ], (i 1, 2,..., n)
用 xi
[ a, b]
就被分为了
1i n
0
i 1
…………………………………………………………………………………………取极限
则作dx lim f (i )xi ，其中 f ( x) 称为被积函数， f ( x)dx 称为被积式， x 称
0
i 1
n
为积分变量， [a, b] 称为积分区间， b, a 分别称为积分上、下限。我们从定积分的定义内容可知，定积分的本质其实就是和式的极限。因此，我们可以利用定积分的定义来计算和式的极限。 2.利用定积分的定义求极限基本公式： lim
i 1 i
n
i
f (1 )x1 f (2 )x2 f (n )xn …………………求和 f ( x)
在区间 [ a, b] 上的定积分，记令
称
f ( x)
在区间 [ a, b] 上可积，该极限称之为
n
max(xi ) ，如果有极限 lim f (i )xi 存在且与 [a, b] 的划分及 i 的选取无关
取自 xi 处，那么和式极限就可以表示为 lim
n
f nn
i 1
n
i 1
1
0
f ( x)dx
考研试题中的应用：我们 2017 年研究生考试数一、二、三中就出现了这种题型。例题:求 lim

(完整版)专题1——利用定积分定义求极限(1)

（取左端点时1lim((1))()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑⎰）注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n→∞=--+=∑⎰，而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n nλ→=--+=∑⎰。

定积分求极限例题

定积分求极限例题定积分是微积分中的重要概念之一，用于计算曲线下方的面积或者曲线围成的图形的面积。

在求定积分的过程中，有时需要考虑极限的问题。

下面我们来看一个例题：已知函数$f(x)=frac{1}{x}$，求$lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^{n}frac{1}{n+i}$的极限。

首先，我们将$sum_{i=1}^{n}frac{1}{n+i}$转化为定积分的形式。

对于函数$f(x)=frac{1}{x}$，我们需要计算从1到2的定积分，即$int_{1}^{2}frac{1}{x}dx$。

根据定积分的定义，我们可以将区间$[1,2]$分成$n$个小区间，每个小区间的宽度为$frac{1}{n}$。

于是，我们可以将$int_{1}^{2}frac{1}{x}dx$近似为$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}frac{1}{1+frac{i}{n}}$。

进一步，我们可以将$frac{1}{1+frac{i}{n}}$展开为$frac{1}{1+frac{i}{n}}=frac{n}{n+i}$。

于是，我们的问题可以转化为求$lim_{ntoinfty}frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}frac{n}{n+i}$的极限。

接下来，我们可以将$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}frac{n}{n+i}$简化为$frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}frac{1}{1+frac{i}{n}}$，再进一步化简为$int_{0}^{1}frac{1}{1+x}dx$。

计算出$int_{0}^{1}frac{1}{1+x}dx$，我们得到结果为$ln(2)$。

所以，原问题的极限为$ln(2)$。

通过这个例题，我们可以看到定积分在求极限问题中的应用。

将求和转化为定积分，可以更方便地计算极限。

同时，这个例题也展示了定积分的定义和计算过程。

除了这个例题之外，定积分求极限还有很多其他的例题。

用定积分定义求极限的n次方

用定积分定义求极限的n次方在数学分析领域中是一个非常重要且常见的问题。

在研究这个问题之前，我们首先需要了解定积分的定义和性质。

定积分是微积分的一个重要概念，它描述了函数在一定区间上的面积或曲线下的面积。

而求极限则是计算函数在某一点或趋于某一点时的取值。

在本文中，我们将探讨如何利用定积分的定义求极限的n次方，并深入研究这个问题的数学原理和推导过程。

# 定积分的定义和性质定积分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在一定区间上的面积或曲线下的面积。

在数学上，定积分可以定义为函数在一个区间上的面积，它可以被用来描述曲线下的面积、求函数的平均值等。

定积分的定义如下所示：\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n→∞}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)Δx其中，a和b是积分区间的上下限，f(x)是被积函数，dx表示积分变量，n 表示将区间分成的小区间的个数，x_i^*是每个小区间的取样点，Δx表示每个小区间的长度。

定积分具有一些重要的性质，如线性性、可加性等，这些性质在求解极限的n次方问题中发挥着重要作用。

# 求极限的n次方的定义求极限的n次方是一个常见且重要的数学问题，在实际问题中也经常遇到。

当我们要计算一个函数在某一点或趋于某一点时的取值时，就需要求该函数的极限。

求极限的n次方问题可以表示为：\lim_{x→a}(f(x))^n其中，f(x)是一个函数，n是一个正整数，a是函数的极限点。

当n为奇数时，求解这个极限问题比较简单，但当n为偶数时，就需要一些特殊的技巧和方法来求解。

在本文中，我们将重点讨论求极限的n次方问题中n为偶数的情况，并探讨如何利用定积分的定义来求解这个问题。

# 利用定积分定义求极限的n次方在求解极限的n次方问题中，当n为偶数时，我们可以利用定积分的定义来求解这个问题。

具体的推导过程如下：首先，我们将求解的问题转化为求解函数f(x)在区间[a,b]上的平均值的n 次方的极限。

利用定积分定义求极限的原理

利用定积分定义求极限的原理宝刀君近几日翻看了曾经的考研数学笔记，发现对于利用定积分定义求若干项和的极限这一部分知识点，发现汤家凤和杨超两位老师的讲解内容各有千秋。

本着服务广大应试考生的角度，宝刀君抽空将两位考研届的前辈内容整理一番，加上自己的一些理解，尽量用通俗易懂的形式写出来，供大家理解学习使用！（一）定积分的定义定义部分，容宝刀君偷个懒，直接从百度百科中截图过来，需要着重理解的三部分我用红虚线标注了出来：定积分的定义用公式表示就是：对于定积分的定义，我们知道有四个步骤：分割、近似、求和、取极限。

其中，分割是任意的分割，想怎么分就怎么分，任意分！分割的目的在于第二步的代替。

代替什么呢？就是“化曲为直”，用直线来近似代替那段曲线，为什么这时候能够用直线来近似代替那段曲线了？就是因为第一步的分割呀！因为你第一步的分割分的让每个子区间足够小，小的让在小区间内随便取一点，代入到被积函数中，它的值都一样！既然都一样了，此时就可以将曲线看成直线了，此时这段小区间的面积就可以近似看作是小矩形的面积，宽就是小区间长度，长就是将这一点代入被积函数后的值。

那么，考研里面对定积分的定义怎么考呢？这里借用杨超老师的言论：“考研里面是对定积分的定义做了两步的改进！”哪两步呢？就是第一步的分割和第二步的近似！大家对照着上面的图一，看看上面讲的n等分法，这就是考研里面的特殊分割！你之前是任意分割，现在我就取个特殊，我将这个区间分成n 等份，每一份的区间长度都是n分之一。

而近似呢，你之前的定义是说取小区间的任意一点，我这时候就取个特殊点，我取每个小区间的右端点！把这个右端点代入到被积函数中，用它的函数值来近似代替这段曲线上的每一点值，即：正是因为有了上面两步的特殊改进，才有了下面的0到1区间上的积分表达式：对于这个积分表达式，宝刀君需要提醒大家的是：你要想明白1/n代表什么？它代表的是矩形面积微元中的那个宽！小f这个函数代表什么？它代表的是矩形面积微元中的那个长！因此，对于若干项和的极限，你关注的焦点就是在这两个因子上！即提取配凑出这面积微元！（二）利用定积分定义求极限的题目特征在哪些题目需要考虑用定积分的定义？或者说这类题目有什么样的特征？这里宝刀君引用“汤神”课堂上的讲解笔记，给大家解释下。

关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结(最新整理)

n1
f
k 0
k
n
1 n
第一项是f
0
n
=f
0
, 第二项是f
n- 1
n
,
n- 1 n
0 n
n- 1 n
n
f
k 1
k
n
1 n
第一项是f
1 n
,
第二项是f
n n
,
n n
1 n
n- 1 n
n- 1 我们发现这两种方法选取的第一个点和最后的一个点自变量相减都是，
n
n
1
1
n
1
2
AAA
1 2n
=
1 n
n
n
1
n
n
2
AAA
n
2n
现在问题又来了，
1
感觉括号里面还是找不到对应的规律啊，因为要出来 f 0
n
x dx =l i m f n k 1
k 1
n
n
也就是说要出来 k ，说的更详细点也就是每一项要出现 0 , 1 , 2 , 3 之类的，
n
nnnn
分析：因为每一项xnk
1 k 1含有n, 所以想到定积分，但是每一项并没有 n2
出来
1 n
,
所以转化一下xnk
1 k n2
1=
1 n
n
1 k n2
1
下面我要让式子中出现 k 这个整体有关的东西，不然没法利用定积分去做 n
xnk
1 n
n
1 k n2
1
=
1 n
n
k n2
1 n n
n 1
2n

高数辅导之专题十五：利用定积分的定义求极限

专题十五本专题为利用定积分的定义求极限，定积分的定义可简单分为三步，分割、求和、取极限，故可用定积分的定义求和式的极限。

本专题节选的几道例题都是遵循一定的步骤，可仔细理解。

建议事先仔细阅读教材113-115页的两个实例。

例题1. 求)12111(lim nn n n n ++++++∞→ 。

解：∑=∞→∞→+=++++++n i n n i n n n n n 11lim )12111(lim ∑=∞→⋅+=ni n n n i 1111limdx x ⎰+=11110|)1ln(x += 2ln = 2. 求)241241141(lim nn n n n ++++++∞→ 。

解：∑=∞→∞→+=++++++n i n n in n n n n 2141lim )241241141(lim ∑=∞→⋅+=ni n n i n n 212142lim∑=∞→⋅+=ni n nni 2121221limdx x ⎰+=12110|)2ln(x += 2ln 3ln -=23ln = 3. 求)21(lim 22222nn nn n n n n ++++++∞→ 。

解：∑=∞→∞→+=++++++n i n n i n nn n n n n n n 12222222lim )21(lim ∑=∞→⋅+=ni n n in n 12221lim∑=∞→⋅+=ni n n n i 121)(11limdx x⎰+=1021110|arctan x = 4π=4. 求)12111(lim 22222nn n n n ++++++∞→ 。

解：∑=∞→∞→+=++++++ni n n i n nn n n 122222221lim )12111(lim∑=∞→⋅+=ni n n i n n1221lim∑=∞→⋅+=ni n nni 121)(11lim⎰+=1211dx x102|)1ln(x x ++=)21ln(+= 5. 求)4116141(lim 2222nn n n n ++++++∞→ 。

利用定积分定义求极限lim（n趋向于无穷大）（1+√2+√3+…+√n）n√n

利用定积分定义求极限lim（n趋向于无穷大）（1+√2+√3+…+√n）n√n利用定积分定义求极限lim（n趋向于无穷大）(1+√2+√3+…+√n)/n√nlim（n趋向于无穷大）(1+√2+√3+…+√n)/n√n=lim（n趋向于无穷大）1/n*(√1/n+√2/n+√3/n+…+√n/n)=∫（0,1）√xdx=2/3*x^(3/2)|（0,1）=2/3用ε-Ν定义证明lim(1-n)/(1+n)=-1,n趋向于无穷大设ε是已知的任小的数lim(1-n)/(1+n)=lim[-1+2/(n+1)]由于lim[-1+2/(n+1)]-（-1）=lim（2/(n+1)）令lim（2/(n+1)）-ε ①由于n趋向于无穷大所以当n大于/2ε-1时不等式①总小于0.也就是说lim[-1+2/(n+1)]-（-1）=0即lim(1-n)/(1+n)=-1用极限定义证明： lim( 2^n/n！)=0 其中n趋向于无穷。

证明：对于任意给定的ε＞0，要使│2^n/n!-0│=2^n/n!＜ε2^n/n!=(2/1)(2/2)...(2/n)=2(2/3)(2/4)...(2/n)< 2/n<ε所以，n＞2/ε所以，对于任意给定的ε＞0，取N=[2/ε],当n＞N时，恒有│2^n/n!-0│＜ε所以，lim2^n/n!=0求极限lim{n[In(n+2)-Inn]},n趋向于无穷n→∞时，ln(n+2)-lnn=ln(1+2/n)等价于2/n，所以原极限＝lim n×2/n=2高数极限证明 lim(1-n)/(1+n)=-1,n趋向于无穷大对所有ε大于0-（1-n)/(1+n)+1小于ε 2/(1+n)小于ε n大于(2/ε)-1 所以取N=(2/ε)-1 n大于N （1-n)/(1+n)+1就小于ε 所以lim(1-n)/(1+n)=-1 n趋向于无穷大lim n趋向于无穷大（n－8／n）∧n／2标准的1^无穷未定型拿E做底进行变换原式=e^(n/2ln（n－8／n）) 无穷小代换即可答案是e^-4已知极限lim (( n的平方+2n/n )+an)=2,则常数a=?n 趋向于无穷大,lim(x→∞) [(n²+2n)/n+ an]=lim(x→∞) [(1+a)n+2]=2，则 1+a=0，所以 a=-1。

利用定积分定义求极限(by汤)

= lim Xn k
n
n!1
n+k n+n+1
k=1
= lim 1 Xn 1
n!1
n
k=1
1
+
k n
1 Z1 =
1
dx
2 0 1+x
1 2
= ln 2 1 2
n +
n+n
Ã n n+n+1
Example 7: 求极限:
lim
1
bn
1
X n 1 i bn
sin
b
2i +1 2n
(b > 1):
n!1
i =0
lim 1 Xn i = 1 n!1 n n
i =1
Z
1
x dx
=
1
0
2
故由夹逼准则知
p
p
lim
12 23
+
+
n!1 n2 + 1 n2 + 2
p
!
n (n + 1) 1
+
=
n2 + n
2
Example 3:
求极限:
I
= lim 1p + 3p + + (2n
n!1
np+1
1)p

Solution
考虑
利用定积分定义求极限
1 入门题
同济 7 的 p226
Zb
Xn
f (x) dx = I = lim f ( i )∆xi ; xi 1 6
a
!0 i=1
6 xi
做题时的公式

3-2-10-胡桐春-利用定积分定义求极限

lim n
n i 1
1 1 (1 i )2 n
n
11
0 (1 x)2 dx
11 1

1 x 0 2
n (n n)2 ]
8.已知
f
(x)

a x3
，求极限lnim
1 n4
ln[
f
(1)
f
(2)
解：原式 lim ln a n ( i )3 1
n

1

00

2.求极限
lim(
n
1 4n2 1
1 ... 4n2 22
1) 4n2 n2
解：原式

lim
n
1 n
(
1 4 (1 )2
1 ... 4 (2 )2
1) 4 (n )2
n
n
n
n
lim
1 1 1 1 dx
n i1 4 ( i )2 n
i1 n n
ln a 1 x3dx 0
ln a 1 x4 1 1 ln a 4 04
f (n)]
感谢各位聆听
n i1 1 4( i )2 n
0 1 4x2
n
1 1 1 d(2x) 1 2 1 dt
2 0 1 (2x)2
2 0 1t2
1 ln(t 1 t2 ) 2 1 ln(2 5)
2
02
n
n
7.求极限
lim[
n
(n
1)2

(n

2)2

解：原式
04
4.求极限 lim( 1 1 ... 1 )

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