2020年高中物理竞赛辅导课件★★静电场的环路定理

E
20r
e无 意r
若VP令 VPE=
0 则任意点P的电势为
dr
rP
2 0r
dr
20
ln
义
rP
令某处 r
V
P
P
=Er0d（l 有 限PP0值E） dlV0=0，则
P
P
2
0r
dr
2 0
ln
r0 r
rP P'
P0 r0
可见：当电荷分布到无穷远时，
电势零点不能再选在无穷远处。
52
2. 用叠加法求V
即:静电场中场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零
44
注
1º若一矢量场的任意环路积分始终为零，则称该 矢量场为无旋场。
静电场两个基本性 质：
高斯定理 S E dS
1
0
qi
S内
有源场
环路定理 L E dl 0 无旋场
2º 运动电荷的场不是保守场，而是非保守场，将 在磁场部分讨论。
45
第5节 电势差和电势 Electric Potential Difference and
一、电势差和电势 Electrbic Potential
从L1ab上E一 d节l 讨 L2论ab E可 知dl
L2
L1
q0
存在与位置
有关的态函数
a
定义：a、b两点的电势分别为Va、Vb，
则两点间的电势差为 Va Vb ab
E
dl
即：a、b两点的电势差 =
将单位正电荷
从ab电场力作的功 46
例13. 已知真空中两金属圆筒电极间电压为U ， 半径分别为 R1、 R2 。
电荷分布在无限空间，
取有限远点为V = 0 点。
一般工程上
选大地或设备外壳为V =0点
49
二、电势的计算
1. 用定义法求V
VP
PV
0
E
dl
例14. 求点电荷q电场中任意一点P 的电势V =？
q
P
解:
设r V 0
已知q的电场分布
E
q
4 0r 2
er
根V据P 定P义 E,
P d点l的 电P 4势q为0r
4 0
ln
L l
l
55
例19.求一均匀带电圆环轴线上任意点P 的电势. 设圆环半径为R，总带电量为q。
解：根据迭加法，在带电圆环上取电荷元dq
其在P点产生的电势为
dq
dVP
dq
40r
所有电荷在P产生的电势
. R
r
qo x P x
讨论VP12oo|xx4|0d,qR0rV,PV0qP444q00Rq0dR|qx2
求：负极上静止电子到正极时的速度？
解：由电势差的定义可得 A q(V V ) (e)(U )
R2 R1
U
1 2
mv2
0
即
eU
1 2
mv2
v
2eU m
Va
Vb
ab
E
dl
47
定义：电场中任意点P
VP
V 0
P
的 电势 E dl
Va
Vb
ab
E
dl
单位：伏特或焦耳/库仑, 记为V或J/C, 1V＝1J/C
第4节 静电场的环路定理
Circuital Theorem of Electrostatic Fields
一、静电场力的功
1. 在点电荷q的电场中
F
dl dr
b
c
将点电荷q0从a点移动到 b点
在任意点c, q0的位移dl ,
q0 r +dr rb r
受电场力 F q0E
电场力作 微功
a ra +q
2
er
dlr
rP
q
4 0r
2
dr
q
40rP
q > 0时, VP为正, r V, r处V= 0 min
q < 0时, VP为负, r V, r处V = 0 max
50
例15. 求均匀带电球面电场中任一点P的电势分布。 设球面半径为R，总带电量为q。
q
P
r
o
P
R
r
V
解:
r
用定义法,
R处 VP
选P EVd=r
点电荷系场中的电势 在点电荷系 q1 , q2 qn 的电场中,
V
q
40r
q1 r1 r2
q2
qi q j
. P
rn
VP
任PPEE意1点ddllP处PP的EE2电1 dl势E2P
En En
dl dl
qn
V1q1
V2
q2
Vk
qn
40r1 40r2
40rn
VP
Vi
i
i
qi
注意
1o 电场中某点的 “V ” 由场源电荷及场点位置决 定，与q0无关。(类似于 E 与q0无关)它描述的 是电场“能的性质”。
2o 电势是标量，有正、负。
3o 电势是相对量，相对于 V =0 处而言。原则上 可选电场中任意一点的电势为零。
48
注意
4º 电势零点的选取
电荷分布在有限空间，
理论上
取无穷远为 V = 0 点。
结论
每一项都与路径无关
电场力是保守力，静电场是保守力场。
43
二、环路定理
在任意电场中, 将q0 从a 经L1 b 电场力作功：
b L2
L1 q0
a
经L2
ALL11LaabbqL1qqa0bE00qEE0EdldddlllLLL2b22aaabbqqq000EEEdddlll
A
Lq0E
dl
0
LE dl 0 静电场的环路定理
dA F dl Fdl cos =Fdr
则
A
b
Fdr
a
b
q0Edr
a
b
a
q0q
4 0r
2dr
q0q
40
1 ra
1 rb
——点电荷的电场力作功与路径无关
42
2.在点电荷系的电场中(或连续带电体的电场)
qq21Aqai将qqj0电 E荷1qndqql0E0c从qn0a点EbE21移dAl1动EA到2该电bAq点0处场E，EqF的力nFA0在dn场作(l任EEqd0强功1l1E意E为点E2q2c0受E电dElE场nn)力 dl
40ri
电势Βιβλιοθήκη Baidu加原理
任意带电体场中的电势
VP
q
dq
40r
53
例17. 计算电偶极子电场中任意一点P的电势。
解：用迭加法
VP Vi( P)
iq
4 0r
q
4 0r
P r
当 r >> l 可做如下近似
r r+
r
r
l 2
cos
r
r
l 2
cos
VP
q
40
其中 pe
(errrrrq)l
q
40
er
q
l cos
(r2
l2 4
cos2
ql cos
l +q
pe
er
) 40r2
54
例18.长为L 的均匀带电导线, 电荷线密度为+.
求:延长线上任意一点 P 的电势。
解：用迭加法
r
o
x x dx
P
L
l
x
取电荷元 dq dx
dV
dq
40r
dx 40(L l
x)
P 的电势
VP
dV
L
0 4
dx
0(L l
x)
|
q
x2 40 R2 x2
x , VP 0
相当于点电荷
56
0,
rP
q
40r2
dr
q
4 0 r
r
R处
VP
E
dr
rR
E1
dr0
R
E2
dr
P
0 Rr
R
q
40r2
dr
q
40
R
与点的位置无 关场区是等势区
注意 E =0的区域, “V ”不见得为零 51
例16. 求半径为R, 电荷线密度为的无限长均匀带电
细线的电势分布？ 解：由例10可知其电场分布