线性代数论文设计(矩阵在自己专业中地应用及举例)

矩阵在自己专业中的应用及举例

摘要：

I、矩阵是线性代数的基本概念，它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。

II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等容。

III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用，比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。

关键词：

矩阵可逆矩阵图形学图形变换

正文：

第一部分引言

在线性代数中，我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的容，而这些容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的，是其它一些学科的很好的辅助学科之一。因此，能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事，而且对我们的学习只会有更好的促进作用。在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有，但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。在计算机图形学中，矩阵可以是一个新的额坐标系，也可以是对一些测量点的坐标变换，例如：平移、错切等等。在后面的文章中，我通过查询一些相关的资料，对其中一些容作了比较详细的介绍，希望对以后的学习能够有一定的指导作用。在线性代数中，矩阵也占据着一定的重要地位，

与行列式、方程、向量、二次型等容有着密切的联系，在解决一些问题的思想上是相同的。尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。

图形变换是计算机图形学领域的主要容之一，为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察，需要对图形实施一系列的变换，计算机图形学主要有以下几种变换：几何变换、坐标变换和观察变换等。这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。

第二部分 研究问题及成果

1. 矩阵的概念

定义：由n m ⨯个数排列成的m 行n 列的矩阵数表

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡ann an an n a a a n a a a Λ

M ΛM M K

Λ

212222111211 称为一个n m ⨯矩阵，其中an 表示位于数表中第i 行第j 列的数，i=1,2,3，…n ，又称为矩阵的元素。A,B 元素都是实数的矩阵称为实矩阵。元素属于复数的矩阵称为复矩阵。

下面介绍几种常用的特殊矩阵。 （1）行距阵和列矩阵

仅有一行的矩阵称为行距阵（也称为行向量），如 A=(a11 a12 .... a1n), 也记为

a=(a11,a12,.....a1n).

仅有一列的矩阵称为列矩阵（也称为列向量），如

a= ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡12111an a a M 。

(2) 零矩阵

A=⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡0000

00000000

0000 记为o 或者0.

(3) 方阵。行数与列数相等的矩阵称为方阵.例如：

A= ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡ann an an n a a a n a a a ΛM M M M K Λ212222111211 为n n ⨯矩阵，称为n 阶方阵或者n 阶矩阵，简记为A=（an ）n ，过元素a11，a22，a33,a44,.....ann,的直线为主对角线，主对角线上的元素为主对角元。按方阵的元素排列所构造的行列式称为方阵的行列式。 （4） 对角矩阵。主对角意外的元素全部为零的方阵称为对焦矩阵，常记为：

A=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡ann a a 0002200011M M M M ΛΛ (5） 单位矩阵。主对角线上的元素全部为1的对角矩阵称为单位矩阵，简记为E 或者I ：

A= ⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡100010

001M M M M M ΛΛ

(6) 数量矩阵 。主对角线上全相等的对角矩阵。例如：

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡c c c Λ

M ΛM M ΛΛ00

00

00 （其中c 为常数） 为一阶数量矩阵。

（7） 三角矩阵。主对角线上方或下方的元素全部为零的方阵称为上（下）三角矩阵。

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡ann n a a n a a a ΛM M M M ΛΛ00222011211 为n 阶上三角矩阵。

（8） 对称矩阵与反对称矩阵，在方阵A=（aij ）n ，中，如果aij=aji （ij=1,2,3.。。。。。），则称A 为对称矩阵，如果A 还为实矩阵，那么A 为实对称矩阵。如果aij=-aji ，则称A 为反对称矩阵。 定义：两个同类型的矩阵，如果对应的元素相等，则称矩阵A 等于矩阵B 。 2 .矩阵的运算 2.1 矩阵的加法 ⑴A+B=B|+A(加法交换律)

⑵(A+B)+C=A+(B+C)（加法结合律） ⑶A+0=0+A=A ⑷A+(-A)=0.

2.2 数乘矩阵

定义1：数乘一矩阵等于这个数乘以矩阵中的每一个元素。

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=kann kan kan n ka ka ka n ka ka ka kaij ΛM M M M ΛΛ212222111211)( 定义2：设A B 为同类型的矩阵，k ，l 为常数，则 ⑴1A=A

⑵k （lA ）=（kl ）A ⑶k （A+B)=KA+KB ⑷(K+L)A=KA+LA. 2.3 矩阵的乘法

（1）矩阵的乘法不满足交换律。 （2）两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵。 （3）矩阵的乘法不满足消去律。 命题：（1）设A 为p m ⨯矩阵，则

O o

P K m

k A ⨯⨯=,O O N M N P A ⨯⨯=

(2)设A 为n m ⨯矩阵，则

A A A A E E

N m

==,

其中E 为单位阵

（3）设A 为m*p 矩阵，B 为p*q 矩阵，k 为数，则 A(BC)=(AB)C (kA)B=A(kB)=k(AB)

(4)J 矩阵满足数乘的分配律，矩阵乘积的行列式等于矩阵对应行列式的乘积。