工程流体力学答案(陈卓如)第二章

［陈书2-8］容器中盛有密度不同的两种液体，问测压管A 及测压管B 的液面是否和容器中的液面O-O 齐平？为什么？若不齐平，则A 、B 测压管液面哪个高？

［解］依题意，容器内液体静止。

测压管A 与上层流体连通，且上层流体和测压管A 均与大气连通，故A 测压管的液面与液面O-O 齐平。

测压管B 与上下层流体连通，其根部的压强为：

a p gh gh p ++=2211ρρ

其中1h 为上层液体的厚度，2h 为液体分界面到B 管根部的垂向距离，a p 为大气压 因测压管B 与大气连通，其根部的压强又可表示为：

a p gh p +=2ρ

其中h 为B 管内气液界面到B 管根部的垂向距离 所以：gh gh gh 22211ρρρ=+

212

1

22211h h h h h +=+=

ρρρρρ

由此可知：若21ρρ<，B 测压管的液面低于A 测压管的液面和O-O 面；若21ρρ>，B 测压管的液面高A 测压管的液面和O-O 面；若21ρρ=，A 、B 测压管的液面和O-O 面三者平齐。

又因为密度为1ρ的液体稳定在上层，故21ρρ<。

［陈书2-12］容器中有密度为1ρ和2ρ的两种液体，试绘出AB 面上的压强分布图。

［解］令上、下层液体的厚度分别为1h 和2h ，取垂直向下的方向为z 轴的正方向，并将原点设在自由表面上，可写出AB 表面上压强的表达式：

()⎩⎨

⎧+≤<-++≤≤+=21121111 0

h h z h h z g gh p h z gz p p a

a ρρρ 整理得：

()⎩⎨

⎧+≤<+-+≤≤+=2

11212111 0

h h z h gz gh p h z gz p p a a ρρρρ

A

C

B

P 012P g AC g BC

ρρ++01P g AC

ρ+/h m

/P Pa

［陈书2-24］直径D=1.2m ，L=2.5的油罐车，内装密度3

900m kg =ρ的石油，油面高度为h=1m ，以2

2s m a =的加速度水平运动。试确定油罐车侧盖 A 和B 上所受到的油液的作用

力。

［解］取x 坐标水平向右，y 坐标垂直纸面向内，z 坐标垂直向上，原点定在油罐的中轴线上。油液受到的体积力为：

a f x -= 0=y f g f z -=

由欧拉方程积分可得：gz ax p p C ρρ--=

根据题意及所选的坐标系，当h z x ==,0时，a p p = 故：gh p p C a ρ-=

gh p p a C ρ+=

所以：()ax z h g p p a ρρ--+=

因大气压的总体作用为零，故上式中可令0=a p 于是：()ax z h g p ρρ--=

左侧盖形心的坐标：0,2

=-

=z L

x 故该处的压强：2

L

a gh p L ρρ+=

左侧盖所受油液的作用力：N D p F L L 7.1252342

==π（取2s m 81.9=g ） 右侧盖形心的坐标：0,2

==

z L

x 故该处的压强：2

L

a gh p R ρρ-=

左侧盖所受油液的作用力：N D p F R R 1.74394

2

==π（取2s m 81.9=g ）

［陈书2-26］盛有水的圆筒形容器以角速度ω绕垂直轴作等速旋转，设原静水深为h ，容器半径为R ，试求当ω超过多少时可露出筒底？

解：非惯性坐标系中相对静止流体满足欧拉方程：()Zdz Ydy Xdx dp ++=ρ 等速旋转时液体所受的质量力为：

θωcos 2r X =，θωsin 2r Y =，g Z -=

将其代入欧拉方程，积分得：

C gz r p +⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=2221ωρ

自由表面中心处r=0，a p p =（大气压），再令此处的z 坐标为：C z （令筒底处z=0），代入上式，得：

C gz p C a +-=ρ

所以：C a gz p C ρ+= 所以：C a gz p gz r p ρωρ++⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=

2221

等压面的方程：

gz r gz p p C

a -=--222

1

ωρ

ρ 对于自由表面：a p p =，故自由表面的方程为：

gz r gz C

-=-222

1

ωρ

ρ 当筒底刚好露出时，0=C z ，所以自由面方程为：

2

221r g

z ω=

自由面与筒壁相交处的垂向坐标：2

221R g

H ω= 旋转后的水体体积：

4

2424222222

422

2222

2

20

2244221212212R g

R g R g R g R g g R g

H g R g R dz gz

h R dz r H R V H

H ωπωπωπωωωπωπ

ω

πωπωπ

πππ=-=-

=

-=-=-=⎰⎰

将水视为不可压缩流体，根据质量守恒，旋转前后的水体体积应相等，所以：

h R R g

V 2424πωπ

==

所以：gh R

2

=

ω

［陈书2-39］在由贮水池引出的直径D=0.5m 的圆管中安装一蝶阀，h=10m ，蝶阀是一个与管道直径相同的圆板，它能绕通过中心的水平轴回转。为不使该阀自行转动，问所需施加的力矩应为多大？

［解］将阀门的圆心定为坐标原点，z 轴垂直向上，则压强分布为：

()z h g p -=ρ