地图四色定理
四色定理数学证明过程
四色定理数学证明过程“四色定理”是指，由Kempe于1879年提出，即任意一个地图只需要四种颜色来涂色，就可以保证相邻区域颜色不同。
在过去的几十年中，数学家一直在努力寻找证明“四色定理”的正确方法。
在1976年，法国数学家A. Appel和W. Haken终于证明了“四色定理”的正确性。
本文将分享一下“四色定理数学证明”的过程。
证明“四色定理”的方法是“规约法”。
即将“涂色问题”转化为一些计算机可以处理的图论问题，然后通过算法求解。
步骤一：将“涂色问题”转化为图论问题首先要把“涂色问题”转化为一些计算机可以处理的图论问题。
通过数学家Halstead的研究，人们发现只需要涂四种颜色的是那些“好”的地图，将其进行编码，最终将地图还原成图。
这里的“好”的地图指的是那些没有的海岸线被其它地图穿过的地图。
步骤二：将“图论问题”转化为无矛盾的有限数学问题其次，将图论问题转化为有限的概率问题。
通过构建一个叫做“网格图”的数据结构，将图论问题通过计算概率，可以变成一个有限的数学问题。
然后通过数学的力量，我们可以证明这个数学问题是有解的。
这个证明过程中涉及到多项式定理、双射、图的对称性等。
步骤三：验证证明的正确性最后，通过计算机程序验证证明的正确性，确保其结果无误。
这个过程还涉及到超过1200页的论文撰写和审核，以及超过100万行的计算机程序代码，所有的证明过程都由计算机来完成。
总结作为一个数学难题，“四色定理”的证明让人们深入感受到数学的魅力。
它不仅仅让我们了解到了数学的应用价值，而且让人们更好地理解了数学这个学科本身的精或。
通过“规约法”，我们成功将这个看似无从下手的问题转化为计算机可处理的图论问题，最终证明了“四色定理”的正确性，为人类解决了一个具有重要实际意义的问题。
学校活动课 四色定理
我 们 的 猜 想 与 假 设
猜想与假设二：因为三种颜色和五 种颜色不行。＜4种颜色少了，＞4 种颜色多了。
＜4种颜色
所以，我们下来又做了进一步的准备。 为了更好的了解四色定理，我们组的同学 在网上查阅了相关的资料，询问了老师有 关四色定理的问题，发现这是一个世界上 著名的数学难题之一，但这并没有打退我 们前进的步伐。更想通过自己的思想证明 这一难题！
1、偶数套环偶数环： 如图：给定四种颜色为：A、B、 C、D 以点O为圆心向外建立任意个半 径不同的圆，在每个圆的圆周上 任意作偶数条垂线，与下一个圆 组成偶数个区域，组成偶数环套 偶数环的情景。 以任意一色作为第一层圆的颜色， 在下一层园中又以异于上一层的 两种不同颜色进行填充，此时， 每个圆内的区域可以被两种颜色 分开，而每下一层，圆环又可以 被异于这两种颜色的另外两色分 开，重复这样的规律一直填色下 去。 ∴四下载了， 一遍又一遍的 去玩，一遍又 一遍的去探索， 终于，在游戏 的启发下，我 们找到了方法！
我们在到了游戏，我们便反复 的去做，开始没什么进展。后 来，一位同学说：“哎呀，妳 点一种颜色，涂好后，又去点 另一种颜色，好麻烦啊。还不 如先在图上把一种颜色不重复 的填完，再把其他颜色一下一 下的带进去啊。”
于是，我在游戏中先把一 种颜色的用完，发现没有 地方可以在填这种颜色时， 再将其他颜色依次填入， 这样，用时又少，还零失 误呢！
在这个发现的基础上，我们又有了新的疑惑，而这一个重大而宝贵 的疑问，正把我们的思想转向奇偶性讨论————
为什么仅仅只要四种颜色就可以把区域分开？这和奇偶性有关 吗？我们开始从无穷的范围转化到绝对，比如，数，它的数量 是一个无穷的的值，但是，只要是数，非奇必偶，我们想，区 域会不会也是这样的呢？这样的思想，引导了我们对该定理的 分析。
四色定理的证明范文
四色定理的证明范文一、四色问题的简介根据网络上的一些内容，可知：四色猜想是说，任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
也就是说，在不引起混淆的情况下，一张地图只需四种颜色来标记就行。
用数学语言来说就是，将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
简单来说也就是，给平面或球面上的任意一张地图上色，使得相邻国家异色，那么至少需要预备几种颜料几种颜色？是否可以只预备四种颜色？在长期的论证过程中，人们发现，大量的试涂表明，四种颜色够用。
人们证明，三种颜色是不够用的，五种颜色肯定够用，四种颜色也够用（计算机证明）。
人们还证明，二维平面内无法构造五个或五个以上两两相邻区域。
在四色问题中假设相邻关系是指两个国家有一段或多段共同边界，是指有邻边，不是指有邻点。
假设没有公地，所有国家都直接接壤（分别相邻），或者间接接壤（分别相连）。
假设没有飞地，国土连通。
飞地相当于任意指定一些他国属于国，则四色肯定不够用了。
假设国家的面积都足够大，不是一丁点、一个点。
假设国家的数量有限，不是无限多。
假设国家的形状任意。
这可以是五花八门，变化莫测，花样繁多，譬如像麋鹿的剪影：在四色问题中需要考虑任意地带的上下方面的相邻情况，左右方面的相邻情况，内外方面的相邻情况，首尾衔接（例如圆周中）的相邻情况，跨越跳跃（例如国形状像拱桥、麋鹿、藤蔓、交际花，与诸多位置的国家们接壤）着的相邻情况，等等。
需要考虑各国的排序，需要考虑上色的顺序。
因为许多国家相邻相连，交织交错，来来往往，层层叠叠，那么从多个方向来上色的话，齐头并进来上色的话，就会互相遭遇、碰头，在交汇点上可能发生冲突，难以协调、确定国的颜色，使得问题复杂，影响证明的进行。
二、四色定理的证明一个平面或球面上的点是无限小、无限多，或者是足够小、非常多。
令这些点各自随机选择红黄蓝三色的一种，再做布朗运动。
地图染色-四色定理
地图染⾊-四⾊定理四⾊定理指出每个可以画出来的地图都可以⾄多⽤4种颜⾊来上⾊，⽽且没有两个相接的区域会是相同的颜⾊。
被称为相接的两个区域是指他们共有⼀段边界，⽽不是⼀个点。
主要原理：从第⼀个区域开始染⾊，到每⼀个区域依次遍历相邻的区域，若未出现重⾊则将该⾊⼊栈，遍历下⼀个区域。
若出现重⾊，进⾏换⾊直⾄四种颜⾊都出现重复，就回溯到上⼀个区域，更换颜⾊。
#include <iostream>using namespace std;#define NUM 100//⽤图存储typedef struct graph{int edges[NUM][NUM];int v[NUM];int vnum, edgenum;} Graph;//⾸先⽤邻接矩阵作图 v[i][j]=1表⽰俩个国家相邻,v[i][j]=0表⽰不相邻void Coloring(Graph G){int area = 1; //代表当前染⾊数量给第⼀个点染⾊颜⾊为1 国家序号为0——NUM-1int nowcolor = 1; //当前颜⾊最⼤为4//第⼀个地⽅染⾊为1 如果当前区域染⾊不冲突则上⾊后将顶点⼊栈，否则出栈进⾏再次染⾊G.v[0] = 1;while (area < G.vnum){while (nowcolor <= 4 && area < G.vnum){int k = 1;//判断是否重⾊while (k < area && G.edges[area][k] * G.v[k] != nowcolor){k++;}if (k == area){//说明没有重复则G.v[area] = nowcolor;area++;nowcolor = 1;}else{nowcolor++;}}//回溯到上⼀个位置换⼀个颜⾊继续染if (nowcolor > 4){area--;nowcolor = G.v[area] + 1;}}}。
地图四色定理
地图四色定理德·摩尔根：地图四色定理地图四色定理最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。
德·摩尔根（A，DeMorgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。
他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。
一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。
1976年美国数学家阿佩尔（K.Appel）与哈肯（W.Haken）宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。
以下摘录德·摩尔根致哈密顿信的主要部分，译自J． Fauve1 and J.Gray（eds.），The History of Mathematics ：A Reader，pp． 597～598。
德·摩尔根致哈密顿的信（1852年10月23日）我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道，现在仍不甚了了的事实。
他说如果任意划分一个图形并给各部分着上颜色，使任何具有公共边界的部分颜色不同，那么需要且仅需要四种颜色就够了。
下图是需要四种颜色的例子（图1）。
现在的问题是是否会出现需要五种或更多种颜色的情形。
就我目前的理解，若四个不订分割的区域两两具有公共边界线，则其中三个必包围第四个而使其不与任何第五个区域相毗邻。
这事实若能成立，那么用四种颜色即可为任何可能的地图着色，使除了在公共点外同种颜色不会画出三个两两具有公共边界的区域ABC，那么似乎不可能再画第四个区域与其他三个区域的每一个都有公共边界，除非它包围了其中一个区域（图2）。
但要证明这一点却很棘手，我也不能确定问题复杂的程度一对此您的意见如何呢？并且此事如果当真，难道从未有人注意过吗？我的学生说这是在给一幅英国地图着色时提出的猜测。
我越想越觉得这是显然的事情。
如果您能举出一个简单的反例来，说明我像一头蠢驴，那我只好重蹈史芬克斯①的复辙了……。
四色定理 简书
四色定理简书四色定理是数学领域中一个古老而又重要的问题，也是数学家们长期以来一直在探索的一个难题。
这个问题最早出现在1852年，当时法国数学家爱德华·卢卡斯提出了这个问题，他问：一个地图是否可以用不超过四种颜色进行染色，使得地图上相邻的区域颜色不相同？这个问题在当时引起了广泛关注，但直到1976年才被证明是正确的，这就是著名的四色定理。
在数学上，四色定理是一个关于地图染色问题的一个定理。
这个问题实际上是将地图分成若干个区域，然后对这些区域使用不同的颜色进行染色。
使用的颜色数量尽量少，但必须保证相邻的区域颜色不相同。
这个问题看似很简单，但事实上却十分复杂。
在数学家们长期的研究中，出现了很多有关这个问题的猜测和假设。
有些数学家认为，使用五种颜色是必要的，有些数学家认为仅需要三种颜色就可以完成这个任务。
但事实上，四色定理的发现表明，只需要四种颜色即可。
四色定理的证明历经了近一个世纪的时间，中间出现了很多次失败和误导，但最终还是被证明是正确的。
在这个过程中，一些重要的数学思想和方法被发现，并逐渐形成了独特的数学思想体系。
除了在数学上的重要性之外，四色定理的发现也对人们的日常生活有很大的影响。
比如在地图制作和设计中，四色定理被广泛应用到了实践中，使得地图的染色更为简单和准确。
此外，在计算机科学的研究中，四色定理也被广泛运用到计算机图形学、人工智能等领域中，成为了一个重要的理论基础。
综上所述，四色定理不仅是数学领域中的一道重要命题，更是一种思维工具和方法论。
它帮助人们从抽象的数学理论中，抽出有用的结论和方法，并转化为实际的应用和工程问题。
在今后的研究中，四色定理还将继续发挥重要的作用，为我们的生活和工作带来更多的便利和创新。
四色定理
四色定理四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。
德·摩尔根（Augustus De Morgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。
四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
基本介绍四色问题又称四色猜想、四色定理是世界近代三大数学难题之一。
地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里FrancisGuthrie的英国大学生提出来的。
德·摩尔根Augustus De Morgan180618711852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。
他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。
一个多世纪以来数学家们为证明这条定理绞尽脑汁所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。
1976年美国数学家阿佩尔K.Appel与哈肯W.Haken宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明又为用计算机证明数学定理开拓了前景。
地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行发展历史：来自地图的启示相传四色问题是一名英国绘图员提出来的此人叫格思里。
四色定理的应用
四色定理的应用一、四色定理简介四色定理是一种关于平面图的染色问题，它指出任何一个平面图都可以用最多四种颜色进行染色，使得相邻的区域颜色不同。
该问题由英国数学家弗朗西斯·贝克利于1852年提出，并在1976年被美国数学家肯尼思·阿普尔和沃尔夫冈·哈肯证明。
二、地图染色问题地图染色问题是四色定理的一个应用。
在地图上，各个国家或区域之间互相接壤，如果两个国家有共同边界，则它们被称为相邻国家。
当我们要对地图进行染色时，要求相邻的国家不能使用相同颜色。
三、实际应用1.电路板设计在电路板设计中，需要将电路分成多个区域，并且要求每个区域之间不能有电流干扰。
因此，可以将电路板看作一个平面图，在进行设计时使用四色定理来保证每个区域使用不同的颜色。
2.邮政投递员问题邮政投递员问题是指如何让一位邮递员在最短时间内遍历所有街道并回到起点。
这个问题可以转化为将街道分成若干个区域，并且要求相邻的区域使用不同的颜色。
然后使用四色定理来保证最少需要四种颜色，从而解决邮政投递员问题。
3.地图着色在地图着色中，可以使用四色定理来确定最少需要几种颜色来对地图进行染色。
这不仅可以帮助我们更好地了解地图结构，还可以在制作教学材料时提供便利。
4.生物学研究在生物学研究中，有时需要对分子结构或细胞结构进行染色。
如果要求相邻的区域颜色不同，则可以使用四色定理来确定最少需要几种颜色。
五、结论四色定理是一种非常重要的数学定理，在实际应用中具有广泛的应用价值。
通过对该定理的深入研究和应用，我们可以更好地了解和掌握其原理和方法，并将其应用于实际生活和工作中。
四色定理
结论：
将平面图的不相连点使其相连（这样 增加着色难度），形成有许多三角形相连 的平面图，根据三角形的稳定性，利用数 学归纳法，平面图进行着色最多需４种颜 色。
在平面图中，不在同一直线上的三点决定一个平面， 那么三点构成的三角形是平面图中最基本、最简单、最 稳定、密闭的图形。 由于在对地图着色过程中不考虑图的具体形状只考 虑点是否相邻，将平面图的不相连点使其相连（这样增 加着色难度），形成有许多三角形相连的平面图（三点 以下肯定成立）。如图1：添加辅助线（不相邻的点使 其相邻，这样就增加了着色的色数，有利于证明），将 图1分解为４个△ABC。
四色定理
许多同学都知到排列组合把， 也应该应该都做过这个着色问题 吧： 用4种不同的顏色去涂右边这 个脸谱，每区域一色，同一种顏 色可重复使用，但相邻区域不可 同色，则有多少种涂法4× 3× 2× 1× 1× 3× 3
四色問題
任何一张平面地图， 如果相邻的两个国家， 必须涂上不同的顏色以 便划清边界，则至多只 要四种顏色就搞定了， 不管这张地图有多麼奇 特复杂。
公开徵答
1878年，英国数学家 将上述问题曝光取名為「四色猜想」， 公开徵求解答。 问题一传出后，马上就有了回应。1879年和1880年， 和 分 别发表论文证明了四色问题。轰动一时的热度终於平息。不料事 隔11年后，一个名叫 的年轻人指出了 证明中的错误，并利用 的 方法证明出若用5 种顏色就保证一定能区分出地图上相邻的区域。 虽然四色问题未被破解，但是至此算是迈出了一大步。而另一方 面， 的论文亦被陆陆续续发现多处错误，甚至最后一个错误是 一直到1946年才被发现的。从这裡我们可看出这些人的研究精 神是多麼可敬，被发现错误的东西并未被弃之如敝屣般丢在一旁， 仍旧不断有人去研究它，甚至是在事隔半个多世纪之后。 尽管如此，这篇论文仍然起着巨大的作用。
四色定理是什么意思？
四色定理是什么意思？引言下图是一张世界地图，从这张地图看很清楚的看到每个国家的位置，英国数学家法兰西斯·古德里在1852年提出：“是否只用四种颜色就能为所有地图染色?”由此出现了四色定理。
1.四色定理下图是一张抽象画的地图，四色定理可以表述为：一张地图最多只要用四种颜色就快用完全表示出来。
四色定理最核心的一点是：彼此相邻的两个区域颜色不能相同。
然而，人们发现，要证明宽松一点的“五色定理”（即“只用五种颜色就能为所有地图染色”）很容易，但四色问题却出人意料地异常困难。
曾经有许多人发表四色问题的证明或反例，但都被证实是错误的。
2.普通数学表述虽然靠着“经验”感觉一张地图最多用四种颜色即可解决，但是作为数学还是需要严谨的描述。
其定义可以描述为：•将平面划分为有限个区域，使得任意两个区域的交集是空集，所有的区域的并集是整个平面；•所有区域中，只有一个区域是无界区域，其余区域都是有界区域。
3.图论阐述图论可以把上面问题更进一步抽象画，即将一个地图转化为图论中的一个无向平面图。
具体来说，是将地图中的每一个国家用其内部的一个点代表，作为一个顶点。
如果两个国家相邻，就在两个顶点之间连一条线。
这样得到的图必然是一个平面图（不会有两条边相交），而与每个国家选取的代表点无关。
四色定理可以叙述为：必然可以用四种颜色给平面图的顶点染色，使得相连的顶点颜色不同一个四个国家的地图转化为一个平面图要注意的是，并非所有的地图都可以转化为图论中的平面图。
如果一个国家有飞地的话，就不能用只一个点来代表一个国家。
另外，如果一个国家是“国中国”，那么即便可以地图其转化为平面图，也会造成讨论上的不便。
但是，“国中国”的着色十分容易解决，因为它只有一个邻国，只需将它染成和邻国不一样的颜色就可以。
所以在大部分有关四色问题的讨论中可以忽略“国中国”的情形。
同样地，只有两个邻国的情形也可以被忽略。
如果规定不能够有四个或者以上的国家有公共边界，那么地图转化成的平面图里面，每个区域都是至多由三条边围成的。
王为民证明的四色定理
四色定理的证明
王为民（四川南充龙门中学）
四色定理：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
证明：
公理：平面地图上，只有一点相邻的区域不增加颜色的种类，至少有一边相邻才增加颜色的种类。
可以假设平面地图上的区域原来只有一个，后来分出了无数的区域，但是，证明只需要四种颜色就可以把它们区分出来就可以了。
1、地图上的一个连续区域。
2、在这个连续区域内部增加一条线将其一分为二，就增加一个区域，变成两个相邻区域，也就增加一种颜色。
3、在它们的相邻边上增加一个区域，变成三个相邻的区域，又增加一种颜色。
4、选择在三个区域相邻的点再增加一个区域，变成四个相邻的区域，又增加一种颜色，共有四种颜色。
5、在这样的情况下，无论在什么位置选择新增加一个新的的区域，都不能做到五个区域相邻。
也就不能增加区分区域颜色的种类。
6、我们无论怎样重复2、3、4、5这些步骤，把平面上的一个区域分成无论怎样的形状，得到任意形状的地图，我们都无法作出五个有相邻边的区域。
所以，每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
证毕。
四色定理
定理的提出
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学 会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。 世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。 1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普(Alfred Kempe) 和泰勒(Peter Guthrie Tait)两人分别提交了证明四色猜想的论文， 宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。 肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其 他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是 “正规的”（左图）。如为正规地图，否则为非正规地图（右 图）。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起， 但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色， 如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五 色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地 图就足够了。
利用三角形和数学归纳法证明
利用三角形和数学归纳法证明
证明 在平面图中，不在同一直线上的三点决定一个平面，那么 三点构成的三角形是平面图中最基本、最简单、最稳定、密闭 的图形。 由于在对地图着色过程中不考虑图的具体形状只考虑点是 否相邻，将平面图的不相连点使其相连（这样增加着色难度）， 形成有许多三角形相连的平面图（三点以下肯定成立）。如图1： 添加辅助线（不相邻的点使其相邻，这样就增加了着色的色数， 有利于证明），将图1分解为４个△ABC。 在平面图中的无数点中，任取相邻三点构成各点相邻的 △ABC（见图2），则需3种颜色A B C,在平面图中再任取一点 D 与 A B C 三点相邻,同时D又与A B C三点相连后形成三角形。任取 一点E与 A、B、C、D四色相连，E必与四色之一色相同即E点在 △ABD中与C色相同、在△ACD中与B色相同、在△BCD中与A色相 同、在△ABC外与D色相同，E与另外三色相连形成新的三角形。 在三角形的三点之外任取一点只有在三角形的内部和外部 两种情况且这两种情况的点不会相邻，该点最多与三角形的三 点相连且又形成新的三角形。
四色原理简介
四色原理简介这是一个拓扑学问题，即找出给球面（或平面）地图着色时所需用的不同颜色的最小数目。
着色时要使得没有两个相邻（即有公共边界线段）的区域有相同的颜色。
1852年英国的格思里推测：四种颜色是充分必要的。
1878年英国数学家凯利在一次数学家会议上呼吁大家注意解决这个问题。
直到1976年，美国数学家阿佩哈尔、哈肯和考西利用高速电子计算机运算了1200个小时，才证明了格思里的推测。
四色问题的解决在数学研究方法上的突破，开辟了机器证明的美好前景。
四色定理的诞生过程世界近代三大数学难题之一(另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想)。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。
”,用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。
哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1 865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
四色定理证明
四色定理的证明一、四色定理的介绍地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
1976年美国数学家阿佩尔与哈肯宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。
二、四色定理的证明通过四色定理的介绍，我们可以知道如果两个图形相邻，则需要用不同的颜色将它们区分。
反之，若两个图形不相邻则可以用一种颜色。
由此得出，如果一张地图不能用四种颜色将它们分开，则必然存在五个两两相邻的图形。
所以，只需证明是否存在五个两两相邻的图形即可。
1.把一个图形X 分成2个小图形的情况共有两种。
分别如下：图 2说明：a.图形X 的选取是任意的(在这里举的是一个圆）。
b.将图1的分法叫线切法，点M,N 为交点，其特点是两个图形都只共用自己的一部分边界。
将图2的分法叫内取法，其特点是其中一个图形所有边界与另一个图形共用。
内取法的性质是里面的图形B 只能与图形A 相邻，称图形B 为内取图形。
2.将一个图形X 分成3个小图形的情况共有6种，方法是先把一个图形分成两个，再把其中一个分成两个。
对图1因其分成的两个图形是等价的所以共有2种（如图3和图4），对图2的继续分共有4种（如图5到图8）。
分别如下：图5图6 图8从中我们可以看出，只有图3、图5和图7是满足两两相邻的。
3.将一个图形X 分成4个小图形两两相邻的情况。
方法是先把图形X 分成2个小图形A 和B ，再把B 分成3个小图形B1、B2和B3。
又因为分成3个图形满足两两相邻的只有图3、图5和图7三种分法，图5和图7有内取图形无法与图形A 相邻，故要想满足4个图形两两相邻只能采取图3这种分法。
四色猜想 四色定理
四色猜想四色定理地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
用数学语言表示即将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色问题的内容是任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行发展历史不过情况也不是过分悲观。
数学家希奇早在1936年就认为讨论的情况是有限的不过非常之大大到可能有10000种。
对于巨大而有限的数，最好由谁去对付？今天的人都明白：计算机。
从1950年起希奇就与其学生丢莱研究怎样用计算机去验证各种类型的图形。
这时计算机才刚刚发明。
两人的思想可谓十分超前。
1972年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改进。
到1976年他们认为问题已经压缩到可以用计算机证明的地步了。
于是从1月份起他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查历时1200个小时，作了100亿个判断最终证明了四色定理。
在当地的信封上盖Four colorssutfice四色，足够了的邮戳就是他们想到的一种传播这一惊人消息的别致的方法。
人类破天荒运用计算机证明著名数学猜想应该说是十分轰动的。
赞赏者有之，怀疑者也不少，因为真正确性一时不能肯定。
后来也的确有人指出其错误。
1989年，黑肯与阿佩尔发表文章宣称错误已被修改。
1998年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依赖于计算机。
无论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了许多重要的新思维。
问题影响一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。
四色定理证明过程-定义说明解析
四色定理证明过程-概述说明以及解释1.引言1.1 概述:四色定理是著名的图论问题，最初由英国数学家弗朗西斯·伯兰德提出。
该定理表明，任何平面上的地图都可以用四种颜色进行着色，使得任何相邻的区域都拥有不同的颜色。
四色定理在图论中具有重要的地位，它不仅仅是一个数学问题，更是一种对于地图着色问题的普遍性解决思路。
通过证明四色定理，我们可以更好地理解颜色着色问题的本质，以及在实际应用中的意义。
本文将从四色定理的基本概念入手，介绍其证明过程和要点，希望可以帮助读者更深入地理解这一经典的数学问题。
1.2 文章结构本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，将对四色定理进行简要概述，介绍文章的结构和目的。
正文部分将分为三个小节：四色定理简介、证明过程概述和证明要点。
在四色定理简介中，将介绍四色定理的背景和基本概念；在证明过程概述中，将介绍证明四色定理的主要思路和方法；在证明要点中，将详细展开证明过程中的关键步骤和技巧。
结论部分将总结全文内容，探讨四色定理的意义和展望。
通过本文，读者将对四色定理的证明过程有一个清晰的了解，同时也能认识到四色定理在数学领域的重要性和影响。
1.3 目的：本文的目的在于阐述四色定理的证明过程，通过详细分析和解释，让读者了解四色定理的重要性和深刻意义。
同时，通过揭示证明过程中的关键要点，帮助读者更好地理解数学领域中的重要定理和证明方法。
通过本文的阐述，希望能够激发读者对数学的兴趣，增强他们对数学知识的掌握和运用能力，促进数学领域的发展和进步。
2.正文2.1 四色定理简介四色定理是数学领域中一项著名的定理，它指出任何一个平面上的地图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域颜色不同。
这个定理最早由英国数学家弗朗西斯·格斯特在1852年提出，并在1976年被美国数学家康韦·阿佩尔和沃夫冈·汉克尔利用电脑进行证明。
四色定理的重要性在于它证明了一个简单而直观的问题，却需要复杂的数学推理和计算才能得出结论。
四色定理和拓扑
四色定理和拓扑
四色定理是一个关于地图着色的数学定理。
它指出，任何平面图都可以用最多四种颜色进行着色，使得相邻的区域不会使用相同的颜色。
拓扑是一门研究空间和空间中的连续变化的数学学科。
它关注的是空间中的形状、连通性和连续映射等性质，而不关注度量、角度和大小等性质。
拓扑学主要涉及拓扑空间、拓扑映射、拓扑不变量等概念。
在拓扑学中，也有一些定理和理论与四色定理有关。
例如，拓扑学中的一个重要定理是Jordan定理，它指出一个平面上的
封闭曲线将平面分成两个区域，内部和外部。
类似地，四色定理可以看作是将平面分成几个区域，使得相邻的区域使用不同的颜色。
因此，拓扑学的一些理论和方法可以用来解释和理解四色定理。
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地图四色定理
地图四色定理最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。
德·摩尔根（A，DeMorgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。
他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。
一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。
1976年美国数学家阿佩尔（K.Appel）与哈肯（W.Haken）宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。
以下摘录德·摩尔根致哈密顿信的主要部分，译自J． Fauve1 and J.Gray（eds.），The History of Mathematics ：A Reader，pp． 597～598。
德·摩尔根致哈密顿的信（1852年10月23日）
我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道，现在仍不甚了了的事实。
他说如果任意划分一个图形并给各部分着上颜色，使任何具有公共边界的部分颜色不同，那么需要且仅需要四种颜色就够了。
下图是需要四种颜色的例子（图1）。
现在的问题是是否会出现需要五种或更多种颜色的情形。
就我目前的理解，若四个不订分割的区域两两具有公共边界线，则其中三个必包围第四个而使其不与任何第五个区域相毗邻。
这事实若能成立，那么用四种颜色即可为任何可能的地图着色，使除了在公共点外同种颜色不会
现画出三个两两具有公共边界的区域ABC，那么似乎不可能再画第四个区域与其他三个区域的每一个都有公共边界，除非它包围了其中一个区域（图2）。
但要证明这一点却很棘手，我也不能确定问题复杂的程度一对此您的意见如何呢？并且此事如果当真，难道从未有人注意过吗？我的学生说这是在给一幅英国地图着色时提出的猜测。
我越想越觉得这是显然的事情。
如果您能举出一个简单的反例来，说明我像一头蠢驴，那我只好重蹈史芬克斯的复辙了。