高中数学典型例题大全第一章概率与统计正态分布

高中数学典型例题大全第一章概率与统计正态

分布

例 设ξ服从)1,0(N ，求以下各式的值：

〔1〕);35.2(≥ξP 〔2〕);24.1(-<ξP 〔3〕).54.1(<ξP

分析：因为ξ用从标准正态分布，因此能够借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出)()(,0000x x P x Φ=<≥ξ的情形，故需要转化成小于非负值0x 的概率，公式：);()()();(1)(a b b a P x x Φ-Φ=<<Φ-=-Φξ和)(1)(00x P x P <-=≥ξξ有其用武之地．

解：〔1〕;0094.09906.01)35.2(1)35.2(1)35.2(=-=Φ-=<-=≥ξξP P 〔2〕;1075.08925.01)24.1(1)24.1()24.1(=-=Φ-=-Φ=-<ξP

〔3〕)54.1()54.1()54.154.1()54.1(-Φ-Φ=<-=<ξξP P

.8764.01)54.1(2)]54.1(1[)54.1(=-Φ=Φ--Φ=

讲明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便．相反其简捷的成效更突出了核心内容．左边的几个公式都应在明白得的基础上记住它，并学会灵活应用．

求服从一样正态分布的概率

例 设η服从)2,5.1(2N 试求：

〔1〕);5.3(<ηP 〔2〕);4(-<ηP

〔3〕);2(≥ηP 〔4〕).3(<ηP

分析：第一，应将一样正态分布)2,5.1(N 转化成标准正态分布，利用结论：假设),(~2σμηN ，那么由)1,0(~N σμηξ-=知：,)(⎪⎭

⎫ ⎝⎛-Φ=<σμηx x P 其后再转化为非负标准正态分布情形的表达式，通过查表获得结果． 解：〔1〕;8413.0)1(25.15.3)5.3(=Φ=⎪⎭⎫

⎝⎛-Φ=<ηP

〔2〕;0030.0)75.2(1)75.2(25.14)4(=Φ-=-Φ=⎪⎭

⎫ ⎝⎛--Φ=-<ηP 〔3〕;4013.0)25.0(125.121)2(1)2(=Φ-=⎪⎭⎫

⎝⎛-Φ-=<-=≥ηηP P 〔4〕⎪⎭⎫ ⎝

⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=<=<25.1325.131)2()3(ηηP P )]25.2(1[7734.0)25.2()75.0(Φ--=-Φ-Φ=

.7612.0)9878.01(7734.0=--=

讲明：那个地点，一样正态分布),(~2σμξN ，总体小于x 的概率值)(x F 与)(x P <ξ和⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φσμx 是一样的表述，即：.)()(⎪⎭

⎫ ⎝⎛-Φ==<σμξx x F x P 服从正态分布的材料强度的概率

例 ：从某批材料中任取一件时，取得的这件材料强度ξ服从).18,200(2N

〔1〕运算取得的这件材料的强度不低于180的概率．

〔2〕假如所用的材料要求以99％的概率保证强度不低于150，咨询这批材料是否符合那个要求．

分析：这是一个实咨询题，只要通过数学建模，就能够明白其本质确实是一个〝正态分布下求随机变量在某一范畴内取值的概率〞的咨询题；此题的第二咨询是一个逆向式咨询法，只要把握实质反向求值即可．

解：〔1〕-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥1181201801)180(1)180(ξξP P ;8665.0)11.1()]11.1(1[1)11.1(=Φ=Φ--=-Φ

〔2〕能够先求出：这批材料中任取一件时强度都不低于150的概率为多少，拿那个结果与99％进行比较大小，从而得出结论．

;9973.0)78.2()]78.2(1[1)78.2(1182001501)150(1)150(=Φ=Φ--=-Φ-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥ξξP P 即从这批材料中任取一件时，强度保证不低于150的概率为99.73％＞99％，因此这批材料符合所提要求．

讲明：〝不低于〞的含义即在表达式中为〝大于或等于〞．转化〝小于〞后，仍须再转化为非负值的标准正态分布表达式，从而才可查表．

公共汽车门的高度

例 假设公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1％以下设计的，假如某地成年男子的身高)36,175(~N ξ〔单位：㎝〕，那么该地公共汽车门的高度应设计为多高？

分析：实际应用咨询题，分析可知：求的是门的最低高度，可设其为)cm (x ，使其总体在不低于x 的概率值小于1％，即：%101.0)(=<≥x P ξ，从中解出x 的范畴．

解：设该地公共汽车门的高度应设计高为x cm ，那么依照题意可知：%1)(<≥x P ξ，由于)36,175(~N ξ， 因此，;01.061751)(1)(<⎪⎭

⎫ ⎝⎛-Φ-=<-=≥x x P x P ξξ 也即：;99.06175>⎪⎭

⎫ ⎝⎛-Φx 通过查表可知：;33.26

175>-x 解得：;98.188>x

即该地公共汽车门至少应设计为189cm 高．

讲明：逆向思维和逆向查表，表达解决咨询题的灵活性．关键是明白得题意和找出正确的数学表达式．

学生成绩的正态分布

例 某班有48名同学，一次考试后数学成绩服从正态分布．平均分为80，标准差为10，咨询从理论上讲在80分至90分之间有多少人？

分析：要求80分至90分之间的人数，只要算出分数落在那个范畴内的概率，然后乘以总人数即可，而运算那个概率，需要查标准正态分布表，因此应第一把那个正态总体化成标准正态总体．

解：设x 表示那个班的数学成绩，那么x 服从)10,80(2N 设10

80-=x Z 那么z 服从标准正态分布)1,0(N ． 查标准正态分布表，得：

5000.0)0(,8413.0)1(==ΦΦ

因

此，3413.05000.08413.0)0()1()10()10

80901080108080()9080(=-=∅-∅=<<=-<-<-=<