第九章 聚合物材料结晶度

第九章聚合物材料结晶度

聚合物系部分结晶或非晶. 前者如PE、PET、PP等，后者如无规立构PS、PMMA等，部分结晶聚合物习惯上称为结晶聚合物. 结晶度是表征聚合物材料的一个重要参数，它与聚合物许多重要性质有直接关系. 随着聚合物材料被日益广泛应用,准确测定聚合物结晶度这个重要参数越来越受到人们的重视. 目前在各种测定结晶度的方法中, X射线衍射法被公认具有明确意义并且应用最广泛. 本文将重点介绍此方法.

§9.1 结晶聚合物结构模型

§9.1.1 樱状胶束模型

对结晶聚合物分子链在晶体中的形态，早期用“经典两相模型”—樱状胶束模型(fringed micelle model)(图9.1)解释. 这个模型的特点是结晶的聚合物分子链段主要属于不同晶体，即一个分子链可以同时穿过若干个晶区和非晶区，分子链在晶区中互相平行排列，在非晶区相互缠结卷曲无规排列. 这个模型似乎解释了早期许多实验结果，受到高分子科学工作者近30年的偏爱.

图9.1 结晶聚合物樱状胶束模型

§9.1.2 插线板模型

60年代初Flory等提出“插线板”模型(Switchboard model)，与Keller等的邻位规则折叠模型(图9.2(a))相比，此模型主要特点是组成片晶的杆(Stem)为无规连接. 即从一个片晶出来的分子链，并不在其邻位处回折到同一片晶，而是在非邻位以无规方式再折回，也可能进入另一片晶(图9.2(b)).

(a) (b)

图9.2 结晶聚合物分子链折叠模型

(a) 邻位规则折叠(b) 非邻位无规折叠

§9.1.3 结晶－非晶中间层

随着对聚合物结晶结构研究的深入，“两相模型”结构已不能满意解释聚合物的结晶结构，已证明在PE的晶区与非晶区间存在一个过渡区(transition zone)，或称中间层(中间相)(interphase)(图9.3).

不久前Flory等从统计力学出发，将晶格理论应用到高分子界面，指出半结晶聚合物片层间存在一个结晶—非晶中间相(Crystal-amorphous interphase).中间相的性质既不同于晶相,也不同于非晶相(各向同性)，即高聚物结晶形态由三个区域组成: 片层状三维有序区、非晶区、中间层(过渡层). 有关结晶聚合物中间层研究的进展, 笔者已有研究报道及综述. (喻龙宝, 张宏放, 莫志深. 功能高分子学报, 1997, 10(1): 90-101)

图9.3 结晶聚合物结晶-非结晶中间层示意图

综上所述, 无论经典樱状胶束还是折叠链模型, 都忽略中间层的存在, 把结晶聚合物视为晶相及非晶相“两相”组成. “两相模型”理论是测定聚合物结晶度的理论基础.

§9.2 结晶度概念

结晶度是表征聚合物材料，结晶与非晶在质量分数或体积分数大小的直观数值. IUPAC(1988) 推荐用W c,α表示质量分数结晶度， c,α表示体积分数结晶度. 为区别不同方法测得的结晶度，

1988年IUPAC 建议使用α,c W ，脚注α根据方法不同有不同表示.

%100%100M M W a

c c

c ,c ?+=?=ρρρα (9.1)

%100%100a

c c c ,c ?+=?=

φφφφφφα (9.2) 式中:c M 和M 分别是样品结晶部分和总的质量；c φ、a φ和φ分别是样品结晶部分、非晶部分和总的体积. ρ为整体样品密度，c ρ为结晶部分密度，a ρ为非结晶部分密度.

根据“两相模型”假定，计算结晶度应注意下面几方面问题: (一) 样品可以划分为 “明显”的结晶及非结晶相(即所谓 “两相” 模型); (二) 假定两相与它们理想状态 — 结晶, 非晶相具有相同性质, 界面的影响可忽略; (三) 结晶度可以用质量分数或体积分数表示, 两者关系如下：

ρρφαα/W c ,c ,c ?= (9.3)

(四) 聚合物材料结晶度的测定可以有多种方法，其中最常用的有：(a) X 射线衍射, (b) 量热法, (c) 密度法, (d) 红外光谱法(IR). 上述诸方法不易将晶体缺陷与非晶区分开. 不同测量方法反映的晶体缺陷及界面结构不同，因而不同方法获得的定量结果有所不同也常有之.

§9.3 几种常用方法

§9.3.1 X 射线衍射

用X 射线衍射方法测得的结晶度，用x c W ,表示，x c W ,用下式求得

a

x c c

x ,c I K I I W += (9.4)

式中c I 及a I 分别为在适当角度范围内的晶相及非晶相散射积分强度；x K 系校正常数; 若样品存在各向异性，样品必须适当被消除取向，求取平均倒易空间的衍射强度.

§9.3.2 量热法

量热法测得结晶度，用h c W ,表示，由下式求得 c fus fus h c h h W ,,/??= (9.5)

式中，fus h ?和c fus h ,?分别在相同升温速率下，测得的样品熔融热及完全结晶样品的 熔融热. 熔融热是温度函数. 下面以尼龙1010为例说明c fus h ,?求法. 用密度梯度管法(或比

重天平)测得一系列不同退火条件下得到的尼龙1010的密度ρ(换成比容sp V ), 用DSC 测得相应fus h ?值(表9.1)，并由红外吸光度—密度外推法求得尼龙1010的非晶密度=ρa 1.003g/cm 3.作fus h ?对sp V 图(图9.4). 用X 射线衍射方法测定及计算尼龙1010完全结晶密度

=c ρ 1.135g/cm 3.换算=c

sp V 0.881cm 3/g,在图9.4中外推f

u s

h ?~sp V 直线到

===c c sp sp V V ρ/10.881cm 3/g 处，求得尼龙1010的=?c fus h ,244.0J/g(58.3cal/g).

表9.1 尼龙1010样品的熔融热fus h ?和相应的比容sp V

图9.4 尼龙1010的熔融热fus h ?与比容sp V 的线性关系图

§9.3.3 密度测量

采用两相模型理论, 根据前述有关参数定义有:

1. 质量分数结晶度(W c,d )

质量分数结晶度d c W ,为

ρφ

φρc

c c

d ,c M M W =

= (9.6)

注意到，

φ

φ

φφa c 1-=， ρφφρφρ=+=+=a a c c a c M M M , M a 为样品非晶部分质量. 故: c a a a c

a c

d ,c /1/1/1/1W ρ

ρρ

ρρρρρρ

ρ--=???? ??--= (9.7)

2. 体积分数结晶度(d c ,φ)

体积分数结晶度用d c ,φ表示 φ

φ

φφφa c d ,c 1-==

(9.8)

故 c

a a d c ρρρ

ρφ--=

, (9.9)

联系式(9.7)及式(9.9)则有

ρρφ/W c d ,c d ,c ?= (9.10)

由式(9.7)可知，由密度测得的质量分数结晶度d c W ,常常大于体积分数结晶度d c ,φ. 为了计算质量分数结晶度d c W ,及体积分数结晶度d c ,φ, 很有必要由聚合物晶胞参数计算c ρ，由比重计或膨胀计分别测定完全非晶样品的密度a ρ，及整体样品的密度ρ. 上述方法测得结晶度值大小顺序为x c W .≥d c W ,＞h c W ,，主要因为上述诸法不易将晶体缺陷与非晶区分开，不同测量方法反映的晶体缺陷及界面结构不同. WAXD 是基于晶区非晶区电子密度差，晶区电子密度大于非晶区，相应产生结晶衍射峰及非晶弥散峰的倒易空间积分强度计算的结果. 密度测定是根据分子链在晶区与非晶区有序密堆积的差异，晶区密度大于非晶区，此法测得晶区密度值实际上是晶相及介晶区的加和. 故两种方法测得结晶度往往较接近. 而DSC 测得的结晶度是以试样晶区熔融吸收热量与完全结晶试样熔融热相对比的结果，此法仅考虑了晶区的贡献，所以，h c W ,值要比x c W ,和d c W ,值都低些. 可见这些方法的差别：DSC 仅考虑热效应，x c W ,和d c W ,考虑了高分子链在晶区、非晶区以及介晶区（中间相）的有序性.

§9.3.4 红外光谱方法

由红外光谱法测得结晶度，用i c W ,表示，通常表达式如下

)/log(10,I I l

a W c i c ?=ρ (9.11)

先选取某一吸收带作为结晶部分的贡献，0I 、I 分别为在聚合物结晶部分吸收带处入射及透射光强度；c a 为结晶材料吸收率；ρ为样品整体密度；l 为样品厚度.

§9.4 X 射线衍射方法

用X 射线衍射方法测定结晶度的理论基础为，在全倒易空间总的相干散射强度只与参加散射的原子种类及其总数目N 有关，是一恒量，与它们聚集状态无关. 设)(s I 为倒易空间某位置s 处局部散射强度，则整个空间积分强度为

ds s I s dV s I )(4)(2

00∞∞?=?π

(9.12)

式中，散射矢量λθ/sin 2||==S S ，如果将X 射线衍射图中结晶散射强度)(s I c 和非晶散射强度)(s I a 分开，则结晶度)(,x c W 可用下式表示

ds

s I S ds s I S W t c x

c )()(2

02

,∞∞??= (9.13) 式（9.13）中，)()()(s I s I s I a c t +=，式（9.13）是X 射线衍射方法测定聚合物材料结晶度的基本公式. 实际上用式（9.13）需注意下面一些问题：式（9.13）中)(s I t 、)(s I c 系相干散射强度，故应从实验测得的总散射强度中减去非相干散射(Compton 散射)及来自空气的背景散射，还要对原子的吸收及偏振因子校正. 同时, 实验时不可能测得所有S 值下的散射强度，仅仅是测得某一有限范围内的S 值，并假定散射强度发生在这个范围以外是可以忽略的. 还应指出由于热运动、聚合物微晶的不完善性(畸变、缺陷等)，使得来自晶区散射部分表现为非晶散射. 准确地将一个结晶聚合物衍射曲线分解为结晶及非晶贡献，对结晶度的测定是一个关键问题. 基于上面讨论，式（9.13）可以简写成式（9.4）. 式（9.13）及式（9.4）系X 射线衍射方法测定聚合物材料结晶度的基本公式，下面仅就常用几种测定计算方法作一简述.

§9.4.1 作图法

根据式（9.4），一个多组份聚合物材料的结晶度计算公式为 %)

(I )(C k )(I )(C )

(I )(C W l ,i l ,i i )

M (N l M i j ,i j ,i )

M (P j M i j ,i j ,i )

M (P j M i 10011

1

1

1

1

?∑∑+∑∑∑∑=

======θθθθθθ (9.14)

式中，M 代表聚合物的组份数；P 是某组份所具有的结晶衍射峰数；N 是某组份所含有的非晶峰个数；)(,θj i C 是与衍射角有关的第i 个组份第j 个衍射峰的校正因子；)(,θl i C 是第

i 个组份第l 个非晶峰校正因子；)(,θj i I 是第i 个组份第j 个衍射峰强度；)(1,θi I 是第i 个组

份第l 个非晶峰强度；i k 为校正系数，i total i cal i i k I I k (/,,∑∑=≤)1，系计算时所采用第i 个组份衍射强度与该组份可能观察到的全部衍射强度之比，一些常见聚合物i k 值可从表9.3查得.式（9.14）中校正因子)(θC 值(可分别代表结晶及非晶峰校正因子),可由下式求得

2

)/(sin 22

221cos sin 2cos 1)(λθθ

θθθB e f C --??+?

=

2)/(sin 2222

cos sin cos 1λθθ

θθ

B i

i i

e f N -??+?∑= (9.15)

式（9.15）中f 是每个重复单元中所含有的全部原子散射因子；i N ,i f 分别是每个重复单元中含有的第i 种原子数目和原子散射因子；θ为衍射角；)cos /(sin )2cos 1(2

2

θθθ?+是角

因子(LP)；2

)/(sin 2λθB e

-是温度因子(T)；定义)(,θl i i x C k K ?=，x K 称总校正系数；原子散

射因子i f 可近似地表示为：

C e a f j b j i +?=-2

)/(sin 2)/(sin λθλθ

(9.16)

j a ，j b ，c 值可由文献查得.

对于单一组份聚合物式（9.14）可简化为：

%100)()()()()

()(,,,,,?∑+∑∑=i

j j j

hkl i hkl i i

hkl i hkl i i

x c k I C I C I C W θθθθθθ (9.17)

式中j i ,分别为计算结晶衍射峰数目和非晶衍射峰数目；)(,θhkl i C ，)(,θhkl i I 分别是hkl 晶面校正因子及衍射峰积分强度；)(θj C ，)(θj I 分别系非晶峰校正因子和散射峰积分强度.)(,θhkl i C 及)(θj C 求法见式（9.15）.)(θj i x C k K ?=.我们应用式（9.17）计算间规-1，2-聚丁二烯（st-1,2-PB ）和稀土顺-1,4-聚丁二烯(Ln-cis-1,4-PB)的结晶度.由st-1,2-PB 的广角X 射线衍射(图9.5)可见有明显的4个衍射峰，因st-1,2-PB 每个重复单元有4个碳原子、6个氢原子，故总的散射因子2

22

64H

C f f f

+= , 它的4个主要衍射晶面位于75.132010=θ,3.162200

110=θ,45.212210=θ,8.232201111

=θ,4.192=a θ. 把上述数据分别代入式（9.15）和式（9.16）中，取2B ＝10，并按(010)晶面积分强度

值归一化，得到各衍射峰的校正因子为C 010(θ)=1，)(200

110θC =1.57，C 210(θ)＝3.50. 99.4)(111201=θC ，非晶峰的C i (θ)＝2.69.据衍射强度正比于结构振幅，即2

hkl

hkl F I ∝ , 据表9.3得知 st-1,2-PB 的i k ＝0.414.将求得的C i (θ)和i k 值代入式（9.17），则得到 st-1,2-PB 的具体结晶度公式

%10010.199.450.357.199.450.357.1201

111210*********

201

111

210200110010,?+++++++=a

x c I I I I I I I I I W (9.18)

高压聚乙烯(LDPE)的W AXD 曲线及其分解见图9.6.表9.2给出了按式（9.15）～（9.17）计算PE 结晶度的具体步骤.表中取2B=10，以(110)晶面为标准进行了规一化.由表9.2可知，C 110(θ) : C 200(θ) : C a (θ)＝1 : 1.142 : 0.75，k i ＝0.89，故K i =C a (θ)0.65,据此可得PE 的结晶度公式为

%10067.042.142.1200110

200

110,?+++=

a

x c I I I I I W (9.19)

图9.5 st-1,2-PBWAXD 曲线分解

=θ219.40为非晶峰顶点, C 为结晶峰非晶峰分离的最低点

表9.3列出了按本方法得到的12种聚合物结晶度计算公式及C(θ)、i k 、K x 值.表中同时列出了文献K 值以便比较.表9.3中文献栏中有*号的K x 值，其定义是不确切的.如对PE ，文献中给出K x ＝1，实际是i k ，但如i k =1，意味着计算时把所有的结晶衍射峰强度都考虑进去

了.事实上并非如此，仅只考虑了I 200，I 110两个强衍射峰，即i k ＜1.本文算得i k =0.9.因此对聚合物结晶度按式（9.17）进行计算，除了对角因子、吸收因子、温度因子、非相干散射和背景散射扣除外，很重要的一点是对被忽略的结晶衍射强度进行补正.

图9.6 PE 的WAXD 曲线分解

表 9.2 PE 的)(θC 计算

在惯常分析中，作图法由于简便易行而常被采用.计算时只要把X 射线衍射强度曲线分解为结晶与非晶两部分，按本文给出的校正因子定义和计算方法，对各晶面衍射强度进行修正后，可由式（9.17）或表9.3中相应聚合物结晶度计算公式就可简便地获得x c W ,值.

我们应用式（9.14），计算了多组份聚合物(乙丙共聚物及其链转移共混物)的结晶度值.从X 射线衍射图(图9.7，图9.8)中可以清楚地看到，所研究的聚合物样品基本上保持了i －PP 的单斜晶系结构，也存在表征PE 乙烯长序列规整的结晶衍射峰，计算中必须考虑这2种聚合物各自对结晶的贡献. 按it-PP 和PE 非晶峰的位置(分别为=θ216.3°和=θ219.5°)将共聚物(或共混物)的非晶散射峰分解为2部分，由表9.4、表9.5的值及具体测得各衍射峰强度值结果代入式（9.14）-（9.16）中得到

%1003

212

1,??+?+??+?=x c W (共聚物) (9.20)

式中 ?1 = (I 110+1.64I 040+2.16I 130+2.73I γ+2.91I 111) PP ?2 = (5.37I 110+6.86I 200) PE ?3 = 3.4I a PE+1.29I a PP

%1003

212

1,??+?+??+?=x c W (共混物) (9.21)

式中 ◇1 = (I 110+1.60I 040+2.16I 130+2.68I γ+3.18I 111) PP

◇ 2 = (5.29I 110+6.88I 200) PE

◇3 = 3.3I a PE+1.27I a PP

图9.7 乙丙共聚物WAXD 图及分解 图9.8 乙丙共混物WAXD 图及分解

表9.3a 高聚物结晶度计算公式及校正因子

180

181

182

表9.3b 聚芳醚酮类聚合物(PAEK S)结晶度计算公式

表9.4 乙丙共聚物结晶度计算格式*

表9.5 乙丙共混物结晶度计算格式*

*表9.4及表9.5 中，A 为非晶；以PP 的(110)晶面为标准，对)(θC 进行归一化； γ峰是EPR. 共聚

物中乙丙长序列所形成，且 PE 的i k =0.89，PP 的i k =0.85.

§9.4.2 Ruland 方法

使用式（9.13）计算结晶度时，Ruland 考虑了热运动晶格畸变的影响，从而使算得的结晶度值较合理. 在不失计算结晶度x c W ,数值精度的情况下，应用Ruland 方法进行计算时可以只取具有较大衍射峰强度的s 范围，就可达到计算结晶度的数值准确性，克服了其他方法必须收集尽可能大范围s 内的衍射强度数据的限制.Ruland 方法测定结晶度的基本公式

Dds

f s ds

s ds )s (I s ds )s (I s W 2202

20t 0c 20x ,c ∞∞∞???

??= ( 9.22 )

式中，x c W ,系聚合物中结晶物质的重量分数即结晶度；λθ/sin 2=s 是倒易空间矢量s 值；

θ为衍射角；λ是X 射线波长；)(s I t ，)(s I c 分别为聚合物样品在倒易空间s 处的总散射(结

晶加非结晶)强度和结晶部分的散射强度，2

f 为均方原子散射因子

i i

i i i

N f N f ∑∑=/22

( 9.23 )

i f 为第i 种物质的原子散射因子，i N 为第i 种物质在每个重复单元中的原子数目. D 称为晶

格无序度参数，它与晶格不完善性参数k 有下述关系，对第一类晶格畸变

2

ks e D -= (9.24 )

对第二类晶格畸变

)1/(22

2

as as e

e D --+= ( 9.25 )

式（9.22）最右端项是考虑了热运动和晶格不完善性引起衍射强度改变对结晶度的修正，此修正称校正因子，常用K 表示

Dds f s ds

f s K 220220∞∞??=

( 9.26 )

为计算校正因子K 值，作为近似可仅考虑第一类晶格畸变式（9.26）即已足够.21k k k K T ++=，即K 来源于分子的热运动)(T k 和第一类)(1k (短程无序)、第二类

)(2k (长程无序)晶格畸变. 由于热运动及晶格畸变的影响往往使来自晶区的衍射强度降低，

表现为非晶弥散峰，故若使用式（9.13）不经校正计算结晶度值将偏低，式（9.26）校正因子K 与S ，D ，f 2有关，因此式（9.22）可改写为

)f ,D ,s ,s (K ds

)s (I s ds

)s (I s W 20t 2

0c 20x ,c ∞∞∞???= ( 9.27 )

实际上，在实验中衍射角不可能(也不必)取得无穷大，只需在稍大于某一有限角范围内即可,

∞S 相应地取至稍大于较强衍射峰所对应的衍射角值. 现以应用Ruland 方法计算聚噻吩(PTh)

和聚环氧乙烷(PEO)为例加以说明. 在PTh 的计算中取 2θ＝?7(S 1=0.08×108cm -1)到最大2θ=60°(S 2=0.65×108cm -1)(图9.9). 在此范围内应用式（9.27）进行计算可获得合理的x c W ,值.计算时当固定1S ，改变2S ，在某些足够大的21S S —范围内，所得x c W ,值基本与2S 无关. 换句话说，为求x c W ,值，在某些假定的k 值下，可以找到x c W ,与2S 基本无关的某个k 值，即式（9.27）化为

Dds f s ds

s ds s I s ds

s I s W 2

2S S 22S

S c 2S S c 2S

S x ,c 2121

21

21

???

??=

）（）（ ( 9.28 )

将图9.9中实验数据经偏振因子校正后，把散射强度分解为非晶散射和结晶散射两部分，以）

（s I S c 2对s 作图 (图9.10).表9.6中列出了由式（9.28）求出的不同热处理条件下PTh 的x c W ，值，表中可以看出当3=k 时，x c W ，值趋于与2S 无关的常数.

未经热处理的PTh 样品=x c W ，36.5%；在N 2中分别经200℃，250℃和300℃热处理后，x c W ，各为42.5%，46.3%和51.6%.可见热处理对Wc,x 的影响是明显的.这里据式（9.22），取S 1=0.08×108cm -1为固定,仅2S 改变. 对原子散射因子f 的计算,取h PT 的重复单元为C 8H 4S 2. 将K 对2S 作图可知，对不同的k 值，K 与2S 是线性关系(图9.11). 利用此图可以简化用式（9.28）计算聚合物结晶度. 由图9.11可以直接查出某一2S 下，不同k 值时的K 值.

表9.6 PTh 的x c W ,与k 值及积分区间

注：b —平均值.

图9.9 不同热处理条件的PT h WAXD 图 图9.10 PT h 在不同热处理条件的 S 2I(s)～S 曲线

应用Ruland方法我们曾对不同分子量PEO的结晶度值进行了计算.分子量M n=1.2万的

θ29°～72°，不同取角PEO大角X射线衍射强度如图9.12所示.表9.7给出了衍射角=

范围不同k值下计算结果.应用Ruland方法对不同分子量PEO的结晶度与分子量的关系列于表9.8.

表9.7 PEO(M n=1.2万)Wc,x值

表9.8 不同分子量PEO的Wc,x值

图9.11 不同k值的K与S2图图9.12 PEO(M n=12000)WAXD图

Ruland 方法是各种测定聚合物结晶度方法中理论基础较完善的. 唯此法实验数据采集及计算处理较复杂. 特别是在划分原始衍射曲线为结晶及非晶界线上往往带有任意性, 为克服这一缺点, 在可能的条件下应作出非晶散射曲线以资参考. 另外本方法仅考虑了温度和晶格畸变的修正, 为此我们对实验衍射强度进行了极化因子和背底的校正，从而进一步提高了结果的准确性.

§9.4.3 X 射线衍射曲线拟合分峰计算法

聚合物X 射线衍射曲线中，某些结晶衍射峰由于弥散往往会部分地重叠在一起，另外结晶峰与非晶峰一般是完全重合或大部分重叠，如何把结晶聚合物X 射线衍射强度曲线准确地分解为结晶部分与非晶部分，是一个很有意义的工作. 在过去，分峰对从事结构研究的工作者而言，是个很难处理的问题，随着电子计算机的发展与广泛应用，给这一问题的解决带来了令人鼓舞的生机. Hindeleh 等在前人工作的基础上，根据任意一组晶面的衍射强度在倒易空间的分布是正态函数的特性，提出了用Gauss-Cauchy 复合函数来表征结晶衍射峰强度曲线的办法. 设第t 个衍射晶面的衍射强度为t Q ，则结晶部分总衍射强度Q(S)为

]C )f 1(G f [Q )s (Q t t t t B

i

t B

1

t -+∑=∑== ( 9.29 )

B 是衍射峰数目, t f 是第t 个衍射峰的峰形因子, t G ，t

C 分别是Gaussian 和Cauchy 函数.

}

{2

]/)(2[2ln exp t

t t t W P X A G --= ( 9.30 )

}

{2]/)(2[1/t t t t W P X A C -+= ( 9.31 )

其中, 为计算点(衍射角).t A 为第t 个衍射峰的峰高，t P 为第t 个衍射峰的位置，t W 为第t 个衍射峰的半高宽，可见每个衍射峰含有4个待定量：t P ，t f ，t A ，t W .

上述3种表征函数的曲线见图9.13.由图9.13可知，式（9.29）—（9.31）所表征的曲线，在t P , t A , t W 值相同时, 是互相近似的, 具有极其相似的曲线形状. 在半高宽以上的曲线是相同的, 只是在峰两端尾巴部分有些不同. Gaussian 函数适合于更窄些的正态分布, Cauchy 适合于较宽分布，Gauss-cauchy 复合函数介于两者之间(图9.13).

非晶态散射与晶态不同，在非晶态中，原子排列不呈周期性，杂乱无章. 非晶态散射曲线弥散不对称，呈“馒头”状，Hindeleh 提出用三次多项式拟合.

3

2

)(dX cX bX a X R +++= ( 9.32 )

d c b a ,,,是待定参数，X 定义同前.由此晶态与非晶态总的衍射强度cal Y (计算值)为

)(1X R Q Y t B

t cal +∑== ( 9.33 )

式(9.33)共含有4B+4个未知量，计算时可采用阻尼最小二乘法，对给定适当小量δ，使目标函数S 满足

2,,1][i cal i obs n

i Y Y S -∑==≤δ (9.34)

则求得了拟合后各衍射峰的t P ，t A ，t f ，t W ，实现了衍射曲线的结晶叠合峰以及结晶峰非晶峰互相重叠的分解. 在此基础上便可以按结晶度定义进行x c W ,的计算了.

应用上述方法我们计算了Nylon-66 X 射线衍射峰的分解，在=θ210°～30°之间，Nylon-66样品的W AXD 谱仅观察到2个明显相互重叠的衍射晶面(100), (010). 很明显，非晶散射峰亦与结晶峰相重合(图9.14). 图中曲线 a 是实测值，b ，c 分别为分解后的结晶衍射峰和非晶散射峰. 拟合计算值与原实测值，除在=θ213°～15°之间有稍许偏差外，其他衍射角部分，两者是重合的，拟合中样品的非晶曲线采自文献值.

图9.13 Gauss-Cauchy 及其 图9.14 Nylon-66 衍射曲线分解

复合函数曲线

近年来拟合分峰法在理论上和应用上都得到了进一步的发展，吴文斌等提出了既可用于描述多种聚合物的结晶峰，又可用于描述非晶散射峰的统一数学表达式.

)1/()1(]2ln exp[Q A f Q fA Y e +-+-= (9.35)

式中:2

212221212)/()])(()()[()(W W P W P W P W W X W W P X Q +-+--+--=, Y 代

表每一个散射峰(晶态或非晶态)的散射强度；A 、P 、f 、X 分别为散射峰(晶态或非晶态)的峰高、峰位、峰形因子、散射角；1W 、2W 为散射峰左半高宽和右半高宽.对于结晶衍射峰21W W =，且1=f 则为Gaussian 函数形式(式9.30)；若21W W =且0=f 则是Cauchy 函数形式(式9.31).

某些聚合物可获得纯非晶X 射线衍射强度实验数据，这样可消除分峰计算时与非晶态划分的任意性. 尽管如此，由式（9.34）可知在求解目标函数时仍存在多解性. 不同的初始条件，完全可以求出满足式（9.34）的解. 然而，实际问题只能存在唯一解，因此本方法的初始值选取很重要，并且由本方法获得的结果应与其他方法相比较，否则尽管拟合偏差δ很小，但与实际物理背景却大相径庭. 这里经验也是非常重要的，它既可以使计算量大为缩短，又会获得满意的结果. 假如我们不能取得非晶样品的散射强度数据，本方法也可进行分峰计算，只是需要借助经验给定非晶的有关参量进行拟合分峰，将所得结果再与密度法或其他方法结果相比较以确定其合理性.

我们曾采用此法对不同分子量的PEO 先进行分峰拟合，据此得到各峰的位置，宽度与峰高，然后再用Ruland 方法计算其结晶度，获得了满意的结果.

§9.4.4 回归线法

Hermans 和Weidinger 首先应用这一方法计算了纤维素的结晶度，以后又用在PE, i-PP(等