第二章 测试系统的基本特性-动态特性

系统串联 系统并联
H ( s ) H ( s ) H ( s ) 1 2
H ( s ) H ( s ) H ( s ) 1 2
H ( s) H ( s)
Y (s)
X ( s)
X ( s)
H1 ( s )
H 2 (s)
Leabharlann Baidu
H1 ( s )
Y (s)
H 2 (s)
2. 频率响应函数 (Frequency response function) 以 s j 代入H(s)得：
H z 信号 x 2 : f2 2
o ( f ) 8 0 . 9 6 Af ( 2) 0 .1 5 7 2
o y ( t ) 0 . 5 3 7 s i n ( t 5 7 . 5 2 ) 1
o y ( t ) 0 . 1 5 7 s i n ( 4 t 8 0 . 9 6 ) 2
输入量
输出量
m m 1 b S b S b S b m m 1 1 0 n n 1 a S a S a S a n n 1 1 0
x(t)
y(t)
传递函数的特点
H(S)只反映系统对输入的响应特性，与测量 信号无关。 H(S) 描述了测试系统的传输特性，对任一具 体的输入x(t)都明确的给出了相应的输出y(t)。 H(S)是实际物理系统抽象为数学模型后的拉 普拉斯变换，因此，物理性质不同的系统或 元件，可以具有相同类型的传递函数H(S)。 分母中s的幂次n代表系统微分方程的阶数， 如当n=1或n=2时，分别称为一阶系统或二阶 系统。
例 用一个一阶系统作100Hz正弦信号测量。(1)如果 要求限制振幅误差在-5%以内，则时间常数 应取多 少？(2)若用具有该时间常数的同一系统作50Hz信号的 测试，此时的振幅误差和相角差各是多少？

A 1 A 0 1A ( ) A 1 0
| |≤ 5 %0 . 0 5
2
1 A ( )≤ 0 . 0 5
n
n 2
1 4
22 2 n n
1
2
2 n ( ) arctg 2 1 n
二阶系统的幅相频特性
1) 、ω/ω A(ω) 近似水平直线， φ(ω) =-180º 4)、当 ω=ω 时， A(ω)=1/(2ξ) ， φ(ω) =-90º ， 。 n>2 n， 幅值剧增，共振。
分别为 x1 sin t ， x2 sin4t 时，试分别求系统 稳态输出。
1 1 j f H ( j) f 22 1 j0 . 52 f 1 f
1 1 2 f 2
A( f )
( f) a r g t a n ( f)
o ( f ) 5 7 .5 2 (f1) 0 .5 3 7 0 .5 H z A 信号 x 1 1: f 1
1
1 () 1
2
≤0.05
1 ( ) ≤ 2 1 0 . 1 0 8 0 . 9 5
0 .00052
1 1 1 1 1 1 1 0 . 9 8 6 8 1 . 3 2 % ( )1 ( 2 f )1 ( 2 5 0 5 . 2 3 1 0 )1
A ( ) 1
2 2 1 4 n n 2 2
2 f 6 . 28 500 3140 rad/s
输入(激励) x(t) (b)
测试系统 (对信号的传递特性)
输出(响应) y(t)
一般系统与输入/输出的关系
1. 传递函数 (Transfer function)
拉普拉斯变换
定义系统的传递函数H(s) 为输出量和输入量的拉普 拉斯变换之比
Y (S) H(S) X (S)
传递函数： 描述系统动态特性
2 2




A()称为系统的幅频特性，为H()的模，是给 定频率点输出信号幅值与输入信号幅值之比， 反映测试系统对信号中频率为的信号分量在幅 值上的缩放程度。
一阶系统的幅频特性曲线
()-相频特性
一阶系统的相频特性曲线
例:
某测试系统传递函数 H s
1 1 0.5s，当输入信号
τ为一阶系统的时间常数,K为灵敏度
频率响应函数
H ( j ) 1 1 j 1 1 ( ) 2 j 1 ( ) 2

( )
它的幅频、相频特性的为： 1 A( )= H(j ) 1 ( ) 2
1 H(S) S 1
H ( j ) arctan( )
( j ) bj ( ) b ( j ) b Y ( j )b m m 1 1 0 H ( j ) n n 1 X ( j )a ( j ) aj ( ) a ( j ) a n n 1 1 0
2 2 4 2
a r c t a n ( ) a r c t a n ( 2 f ) a r c t a n ( 2 5 0 5 . 2 3 1 0 ) 9 1 9 5 0
4 o
练习
一温度传感器为一阶系统，其时 间常数τ=0.001s，求当测量频率 f=100Hz信号时的幅值误差和相位误差。
H ( j )
j 1
1

1 j 1 ( ) 2 1 ( ) 2
它的幅频、相频特性的为： 1 A( )= H(j ) 1 ( ) 2
( ) H ( j ) arctan( )
负值表示相角的滞后
A(ω)－ωτ φ(ω) －ωτ
2 f 6 .28 100 628 1/s,
A ( ) 1 1 ( )2 0 .849 1 ( 628 0 .001 )2 1
( ) arctan( ) 32 .13
A ( ) 1 0 . 849 1 100 % 100 % 15 . 1 % 1 1 32 . 13
H()
H ( )H ( s )( sj )
F h ( t)
Y ( ) X ( ) H ( )
典型系统的频率响应特性 1. 一阶系统(First-order System)
dy a a0 y b 1 0x 数学表述： dt 1 K 传递函数： H(S) H(S) S 1 S 1
三种函数的关系
复频 s j H ( s)
H ( s ) L h ( t )
1 H(s) h(t) L 1
Y ( s ) X ( s ) H ( s )
时间 t
h (t )
F H()
y ( t ) x ( t ) h ( t )
频率 或 f
C
u 0 (t )
2 1 n H ( S ) 2 2 1 2 2 S 2 S n n S 1 2
1 n H ( ) 2 2 2 j 2 n n 1 ( ) j 2 ( ) n n
A ( )
m m 1
频率响应函数是传递函数的特例。
Y ( j ) X ( j ) H ( j )
传递函数H(s)是在复数域中描述和考察系统的 特性；频率响应函数H(ω)是在频域中描述和 考察系统特性。
m m 1 b ( j ) bj ( ) b ( j ) b Y ( j ) m m 1 1 0 H ( j ) n n 1 X ( j )a ( j ) aj ( ) a ( j ) a n n 1 1 0
练习
0 求周期信号 x ( t ) 0 . 2 cos( 100 t 45 )
通过传递函数为
1 H (s ) 0 .005 s 1
的装置后得到的稳态响应?
3. 脉冲响应函数 (Weight function)
Y () s H () sX () s
1 若x(t)=δ(t)，则： X ( S ) L [ ( t )] 1
2)、当ω« ωn， 即ω/ωn « 1时， A(ω) ≈ 1；φ(ω) 近似线性。 3)、当ω«ωn时， ωn越大，系统工作频率范围越大。
ξ≈ 0.7, A(ω) 水平近似线性较长， φ(ω) 近似线性较长。
例：一动圈式记录仪为二阶系统，其固有频率 ωn=6280(rad/s)，阻尼比ζ=0.7。求当测量频率 f=500Hz信号时的幅值误差和相位误差。 解：
Y ( S ) H ( S ) 1 H ( S )
1 y ( t ) L [ H ( S )] h ( t ) 进行拉氏逆变换：
称h(t)为测试装置的脉冲响应函数
系统特性在时域可以用h(t)来描述，在频域可以 用H(ω)来描述，在复数域可以用H(s)来描述。三 者的关系是一一对应的。
练习
0
( t ) 0 . 5 cos 10 t 0 . 2 cos( 100 t 45 ) 求周期信号 x
通过传递函数为
1 H (s ) 0 .005 s 1
的装置后得到的稳态响应?
一阶系统在典型输入下的响应
• 脉冲响应
x(t) (t) 其拉氏变换：X(s) 1 1 t / 一阶系统的响应： y(t) e
测试系统的动态特性
动态特性:输入量随时间作快速变化时，测试系统 的输出随输入而变化的关系。 在对动态物理量进行测试时，测试系统的输 出变化是否能真实地反映输入变化，则取决于测 试系统的动态响应特性。
输入(重量) x(t) (a) 弹簧 (线性比例特性) 线性弹簧的比例特性 输出(弹簧位移) y(t)

• 阶跃响应
0 t 0 x(t ) 1 t 0 1 其拉氏变换： X ( s) s t / 一阶系统的响应：y(t ) 1 e
练习
对某一阶装置输入一阶跃信号,其
输出在2S内达到输入信号最大值的
20%,试求: 1 装置的时间常数 2 经过40S后,输出幅值达到多少?
练习
用一个具有一阶动态特性的测 量仪表( =0.35s ),测量阶跃信 号,输入由25单位跳变到240单位,求当 t=0.35s, 0.7s, 2s 时的仪表示值 分别为多少?
2. 二阶系统（Second-order system） 微分方程 传递函数 频率响应函数
幅频特性和相频特性
L
R
2 u r (t ) dy ( t ) dy ( t ) a a a y ( t ) b x ( t ) 2 1 0 0 2 dt dt
H(j)一般为复数，写成实部和虚部的形式：
j() H ( j) A () e R e () j I m ()
其中：

A ( w ) y A ( w ) H ( jw ) Re( w ) Im( w ) A ( w ) x Im( w ) ( w ) H ( jw ) arctg ( ) ( w ) ( w ) y x Re( w )
幅频特性曲线图 相频特性曲线图
一阶系统的幅相频特性
A ( )
1 1( )
2
( ) arctg ( )
一阶系统频率特性的特征
• 当ω<1/5τ时，A(ω)≈1(误差不超过2%)； • 当ω》1/ τ时，系统相当于积分环节，幅 值衰减成线性，相位滞后接近90°； • 当ω=1/τ时，A(ω)=0.707，相角滞后45°；