《高等数学》视频教程 蔡高厅教授主讲
高等数学同济大学第六版32省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
lim[af (h) bf (2h) f (0)] (a b 1) f (0) 0,
h0
f (0) 0, a b 1 0. 由罗必达法则得
0 lim af (h) bf (2h) f (0) lim af (h) 2bf (2h)
h0
h
h0
1
(a 2b) f (0), f (0) 0, a 2b 0.
g( x)
g( x)
限不存在，是否 f ( x)的极限也一定不存在？ g( x)
举例说明.
思索题解答
不一定． 例 f ( x) x sin x, g( x) x
显然 lim f ( x) lim 1 cos x
x g( x) x 1
极限不存在．
但 lim f ( x) lim x sin x 1 极限存在． x g( x) x x
0) 0
lim
x0
ln sin ax (a 0, b 0), ln sin bx
(
)
定理1 设
(1) lim f ( x) lim F ( x) 0;
xa
xa
(2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F ( x) 都存在
且 F ( x) 0;
(3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); xa F ( x)
解
原式
lim
x
e x x2
(
)
lim x
e x
2x
()
lim
2e x
2 x
.
lim
x
e x x
( 0, 0).
(2) 求 lim x
ln x x
(
0). 1
决胜2011系列第五季：高考数学创新题的必杀技之高次方程篇
1 的图像交点的横 x
坐 标 . 若 方 程 x4 ax 4 0 的 各 个 实 根 x1 , x2 , , xk (k 4) 所 对 应 的 点 xi ,
4 ， x1
(i 1, 2, , k ) 均在直线 y x 的同侧，则实数 a 的取值范围是
ax3 3x 1 ，这时只需要使得当 g ( x) ax3 的切线的斜率为 3 时的函数取值比 3x 1 就可
以了！
由 g '( x) 3ax 2 3 ， 可知：x 结合 a [2, 4] ，可知： a 4 。
1 1 3 1 。 此时， 令 a( 可以得出：a 4 ， ) 3 1 ， a a a
4 的交点处就是这道题目的 x
们可以看出当将 f ( x) x3 向上或向下平移至 y x 和 g ( x) 临界条件：
通过观察图像， 可以看出： 当函数 f ( x) x a 过点 (2, 2) 时， 若要保证点 xi ,
3
4 x1
3 都在 y x 的同侧，参数 a 取到了正向最小值 6；当函数 f ( x) x a 过点 (2, 2) 时，若要
x3 3x 2 0 的解。很容易发现 x 1 即是它的一个解，换句话说：也就是 x3 3x 2 分
解因式后必然有 x 1 这一项，这时候，我们狂凑 x 1 就可以了，因为有 x3 只需凑出 x 2 ， 答案就出来了：
x3 3x 2 x3 x 2 x 2 3x 2 x 2 ( x 1) ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2 x 2) ( x 1) 2 ( x 2) 0
第一课同济大学高等数学上预备知识ppt课件
例 设 X 1 ,2 ,3 ,Y 2 ,4 ,6 ,8 ,
T
X Y,
x
2 x,
则T 是 X 到 Y 的映射.
例 设 X 1 ,1 ,Y , ,
X Y
T
x
tan
2
x
则T 是 X 到 Y 的映射.
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
xx
域内是无界函数.
解 只要证明在 x 0 的任何空心邻域内，无论对怎样的
正数 M 0，总是存在该邻域内一点 x 0 ，使得
f x0 M.
1
现设
M
0，取
x0
2n
/
，
2
其中取
n
1
2
M
2
的正整数，
并且使得 x 0 在空心邻域内，
例：设 X R ,Y 1 ,1 ,Z 0 ,1 ,
X Y,
T1
x
sin
x,
Y Z,
T2
y
y2,
则复合映射T2 T1为
X Z, T x(sinx)2.
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
第1章 第1讲集合的概念与运算-2021版高三数学(新高考)一轮复习课件共45张PPT
第一章 集合与常用逻辑用语
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[解析] (1)B＝{x|x∈A}＝{1,2,3}＝A，故选 C．
(2)∵集合 A＝{x|x＝sin n3π，n∈Z}＝{0， 23，－ 23}，且 B⊆A，∴集合 B 的个 数为 23＝8，故选 C．
(3)解法一：(列举法)，由题意知
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(2)(多选题)(2020·湖南长郡中学模拟改编)已知集合 M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N
＝{y|y＝(12)x，x∈R}，则下列不正确的是(ABD )
A．M＝N
B．N⊆M
C．M＝∁RN
D．(∁RN)∩M＝∅
(3)已知集合 A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|mx＋10>0}，若 A⊆B，则 m 的取值范
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(3)若 a＋2＝1，则 a＝－1，A＝{1,0,1}，不合题意；若(a＋1)2＝1，则 a＝0 或－
2，当 a＝0 时，A＝{2,1,3}，当 a＝－2 时，A＝{0,1,1}，不合题意；若 a2＋3a＋3＝1，
则 a＝－1 或－2，显然都不合题意；因此 a＝0，所以 2 0200＝1.
∵1∉A，∴a＋2≠1，∴a≠－1；(a＋1)2≠1，解得 a≠0，－2；a2＋3a＋3≠1 解
A．(－1,1)
B．(1,2)
C．(－1，＋∞)
D．(1，＋∞)
[解析] 由题意得A∪B＝{x|x>－1}，即A∪B＝(－1，＋∞)，故选C．
第一章 集合与常用逻辑用语
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6． (2019·全国卷Ⅱ，5分)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B
高中数学复习专题讲座指数函数、对数函数
高中数学复习专题讲座指数函数、对数函数高考要求指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题重难点归纳(1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题 此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用(2)综合性题目 此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力(3)应用题目 此类题目要求考生具有较强的建模能力 典型题例示范讲解例1已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点(1)证明 点C 、D 和原点O 在同一条直线上；(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标命题意图 本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力知识依托 (1)证明三点共线的方法 k OC =k OD (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A 点坐标错解分析 不易考虑运用方程思想去解决实际问题技巧与方法 本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A 的坐标(1)证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题意知 x 1>1,x 2>1,则A 、B 纵坐标分别为log 8x 1,log 8x 2 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =,点C 、D 坐标分别为(x 1,log 2x 1),(x 2,log 2x 2),由于log 2x 1=2log log 818x ===2log log log ,log 38282218x x x 3log 8x 2,所以OC 的斜率 k 1=118212log 3logx x x x =,OD 的斜率 k 2=228222log 3logx x x x =，由此可知 k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一条直线上(2)解 由BC 平行于x 轴知 log 2x 1=log 8x 2即 log 2x 1=31log 2x 2,代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1>1知log 8x 1≠0,∴x 13=3x 1又x 1>1,∴x 1=3,则点A 的坐标为(3，log 83)例2在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…,对每个自然数n 点P n 位于函数y =2000(10a )x (0<a <1)的图象上，且点P n ,点(n ,0)与点(n +1,0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形(1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式；(2)若对于每个自然数n ,以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；(3)设C n =lg(b n )(n ∈N *),若a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C n }前多少项的和最大？试说明理由命题意图 本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力知识依托 指数函数、对数函数及数列、最值等知识错解分析 考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口技巧与方法 本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题解 (1)由题意知 a n =n +21,∴b n =2000(10a )21n(2)∵函数y =2000(10a )x(0<a <10)递减，∴对每个自然数n ,有b n >b n +1>b n +2则以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n ,即(10a )2+(10a )－1>0,解得a <－5(1+2)或a >5(5－1) ∴5(5－1)<a <10(3)∵5(5－1)<a <10,∴a =7∴b n =2000(107)21+n 数列{b n }是一个递减的正数数列，对每个自然数n ≥2,B n =b n B n －1于是当b n ≥1时，B n <B n －1,当b n <1时，B n ≤B n －1,因此数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n +1<1, 由b n =2000(107)21+n ≥1得 n ≤20 8 ∴n =20例3设f (x )=log 2xx -+11,F (x )=x-21+f (x )(1)试判断函数f (x )的单调性，并用函数单调性定义，给出证明； (2)若f (x )的反函数为f －1(x ),证明 对任意的自然数n (n ≥3),都有f －1(n )>1+n n ;(3)若F (x )的反函数F －1(x ),证明 方程F －1(x )=0有惟一解解 (1)由xx -+11>0,且2－x ≠0得F (x )的定义域为(－1，1)，设－1＜x 1＜x 2＜1,则 F (x 2)－F (x 1)=(122121x x ---)+(11222211log11log x x x x -+--+))1)(1()1)(1(log )2)(2(212122112x x x x x x x x -++-+---=,∵x 2－x 1>0,2－x 1>0,2－x 2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1因此F (x 2)－F (x 1)>0,F (x 2)>F (x 1),∴F (x )在(－1，1）上是增函数(2)证明 由y =f (x )=xx -+11log 2得 2y=1212,11+-=-+yyx xx ,∴f －1(x )=1212+-xx,∵f (x )的值域为R ，∴f -－1(x )的定义域为R当n ≥3时， f -1(n )>1221111221112121+>⇔+->+-⇔+>+-⇔+n n n n n n nnnn用数学归纳法易证2n >2n +1(n ≥3),证略(3)证明 ∵F (0)=21,∴F －1(21)=0,∴x =21是F －1(x )=0的一个根假设F －1(x )=0还有一个解x 0(x 0≠21),则F -1(x 0)=0,于是F (0)=x 0(x 0≠21) 这是不可能的，故F -1(x )=0有惟一解学生巩固练习1 定义在(－∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和，如果f (x )=lg(10x +1),其中x ∈(－∞,+∞),那么( )A g (x )=x ,h (x )=lg(10x +10－x+2)B g (x )=21［lg(10x +1)+x ］,h (x )= 21［lg(10x +1)－x ］C g (x )=2x ,h (x )=lg(10x +1)－2xD g (x )=－2x ,h (x )=lg(10x+1)+2x2 当a >1时，函数y =log a x 和y =(1－a )x 的图象只可能是( )3 已知函数f (x )=⎩⎨⎧<<--≥)02( )(log )0( 22x x x x 则f -－1(x －1)=_________4 如图，开始时，桶1中有a L 水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y 1=ae －nt ,那么桶2中水就是y 2=a －ae－nt,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1a5 设函数f (x )=log a (x －3a )(a >0且a ≠1),当点P (x ,y )是函数y =f (x )图象上的点时，点Q (x －2a ,－y )是函数y =g (x )图象上的点(1)写出函数y =g (x )的解析式；(2)若当x ∈［a +2,a +3］时，恒有|f (x )－g (x )|≤1,试确定a 的取值范围6 已知函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1),(x ∈(0,+∞)),若x 1,x 2∈(0,+∞),判断21［f (x 1)+f (x 2)］与f (221x x +)的大小，并加以证明y 2=a-ae -nty 1=ae -nt桶2桶17 已知函数x ,y 满足x ≥1,y ≥1 log a 2x +log a 2y =log a (ax 2)+log a (ay 2)(a >0且a ≠1),求log a (xy )的取值范围8 设不等式2(log 21x )2+9(log 21x )+9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x )的最大、最小值参考答案1 解析 由题意 g (x )+h (x )=lg(10x +1) ① 又g (－x )+h (－x )=lg(10－x +1) 即－g (x )+h (x )=lg(10－x +1) ②由①②得 g (x )=2x ,h (x )=lg(10x +1)答案 C2 解析 当a >1时，函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选，又a >1时，y =(1－a )x 为减函数答案 B3 解析 容易求得f- －1(x )=⎩⎨⎧<-≥)1( 2)1( log2x x x x,从而 f－1(x －1)=⎩⎨⎧<-≥--).2( ,2)2(),1(log 12x x x x答案 ⎩⎨⎧<-≥--)2( ,2)2(),1(log 12x x x x4 解析 由题意，5分钟后，y 1=ae－nt,y 2=a －ae－nt,y 1=y 2∴n =51l n 2 设再过t 分钟桶1中的水只有8a ,则y 1=ae－n (5+t )=8a ,解得t =10答案 105 解 (1)设点Q 的坐标为(x ′,y ′),则x ′=x －2a ,y ′=－y 即x =x ′+2a ,y =－y ′∵点P (x ,y )在函数y =log a (x －3a )的图象上， ∴－y ′=log a (x ′+2a －3a ),即y ′=log aax -21,∴g (x )=log 1(2)由题意得x －3a =(a +2)－3a =－2a +2>0;a x -1=aa -+)3(1>0,又a >0且a ≠1,∴0＜a ＜1,∵|f (x )－g (x )|=|log a (x －3a )－log aax -1|=|log a (x 2－4ax +3a 2)|·|f (x )－g (x )|≤1, ∴－1≤log a (x 2－4ax +3a 2)≤1,∵0＜a ＜1,∴a +2>2a f (x )=x 2－4ax +3a 2在［a +2,a +3］上为减函数，∴μ(x )=log a (x 2－4ax +3a 2)在［a +2,a +3］上为减函数，从而［μ(x )］max =μ(a +2)=log a (4－4a ),［μ(x )］mi n =μ(a +3)=log a (9－6a ),于是所求问题转化为求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-<<1)44(log 1)69(log 10a a a a a 的解由log a (9－6a )≥－1解得0＜a ≤12579-,由log a (4－4a )≤1解得0＜a ≤54,∴所求a 的取值范围是0＜a6 解 f (x 1)+f (x 2)=log a x 1+log a x 2=log a x 1x 2,∵x 1,x 2∈(0,+∞),x 1x 2≤(221x x +)2(当且仅当x 1=x 2时取“=”号)，当a >1时，有log a x 1x 2≤log a (221x x +)2,∴21log a x 1x 2≤log a (221x x +)，21(log a x 1+log a x 2)≤log a 221x x +,即21[f (x 1)+f (x 2)］≤f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号)当0＜a ＜1时，有log a x 1x 2≥log a (221x x +)2,∴21(log a x 1+log a x 2)≥log a221x x +,即21［f (x 1)+f (x 2)］≥f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号）7 解 由已知等式得 log a 2x +log a 2y =(1+2log a x )+(1+2log a y ),即(log a x －1)2+(log a y －1)2=4,令u =log a x ,v =log a y ,k =log a xy ,则(u －1)2+(v －1)2=4(uv ≥0),k =u +v在直角坐标系uOv 内，圆弧(u －1)2+(v －1)2=4(uv ≥0)与平行直线系v =－u +k 有公共点， 分两类讨论(1)当u ≥0,v ≥0时，即a >1时，结合判别式法与代点法得1+3≤k ≤2(1+2);(2)当u ≤0,v ≤0,即0＜a ＜1时，同理得到2(1－2)≤k ≤1综上，当a >1时，log a xy 的最大值为2+22，最小值为1+3；当0＜a ＜1时，log a xy 的最大值为1－3，最小值为2－8 解 ∵2(21log x )2+9(21log x )+9≤0∴(221log x +3)( 21log x +3)≤0 ∴－3≤21log x即21log (21)－3≤21log x ≤21log (21)23-∴(21)23-≤x ≤(21)－3,∴22≤x ≤8即M ={x |x ∈［22,8］}又f (x )=(log 2x －1)(log 2x －3)=log 22x －4log 2x +3=(log 2x －2)2－1∵22≤x ≤8,∴23≤log 2x ≤3∴当log 2x =2,即x =4时y mi n =－1;当log 2x =3,即x =8时，y max =0。
名师讲坛高考数学二轮专题复习课件：专题五 微切口19 椭圆中k1k2=-a2分之b2的应用
(2) 若 OA，OB 的斜率之积 kOA·kOB＝－ba22，求证：线段 AB 的中点 C 在某个定椭圆 上．
【解答】 设C(x0，y0)，因为C为AB的中点， 所以22xy00＝ ＝xy11＋ ＋xy22， ， 所以44xy2020＝ ＝xy2121＋ ＋22xy11xy22＋ ＋xy2222， .②① 因为kOA·kOB＝yx11yx22＝－ba22，
4. 半弦的性质特征Ax1，y1，Bx2，y2为椭圆上的两点，且kOA·kOB＝－ba22： (1) x21＋x22＝a2，y21＋y22＝b2； (2) OA2＋OB2＝a2＋b2； (3) 线段 AB 的中点的轨迹方程为ax022＋by202＝1(点(x0，y0)为线段 AB 的中点)．
所以由 M 为线段 AB 的中点，得 Ma2，b2， 所以O→M＝a2，b2，A→B＝(－a，b)． 因为O→M·A→B＝－32b2， 所以a2，b2·(－a，b)＝－a22＋b22＝－32b2， 整理得 a2＝4b2，即 a＝2b.
因为 a2＝b2＋c2，所以 3a2＝4c2，即 3a＝2c，
22
因为AB∥CD，故CD的方程为y＝－12(x－x0)＋y0.
联立yx4＝ 2＋－y212＝x1－，x0＋y0，
消去 y，
得 x2－(x0＋2y0)x＋2x0y0＝0，
解得 x＝x0(舍去)或 x＝2y0， 所以点 D 的坐标为2y0，12x0，
1 所以 k1·k2＝2y20x－0 2·y0x－0 1＝14，即 k1·k2 为定值14.
高等数学A1、A2课程教学大纲-山东建筑大学
目录序号编码课程名称页码1.LX1001-2 高等数学A1、A2 (1)2.LX1003-4 高等数学B1、B2 (4)3.LX1005-6 高等数学C1、C2 (8)4.LX1007 Matlab语言与数学实验 (10)5.LX2001-2 大学物理 (12)6.LX2003 大学物理B (19)7.LX3001 材料力学 (25)8.LX3002 理论力学A (29)9.LX3003 理论力学B (32)10.LX3004 基础力学 (35)11.LX3005 工程力学（LX） (39)12.LX3006 基础力学1 (42)13.LX3007 基础力学2 (44)14.LX3008 建筑力学 (47)15.LX5001-3 数学分析1-3 (51)16.LX5004-5 高等代数1、2 (55)17.LX5006 空间解析几何 (60)18.LX5007 概率论与数理统计（理） (62)19.LX5008 概率论与数理统计 (65)20.LX5009 概率论 (67)21.LX5011 复变函数 (69)22.LX5012 复变函数与积分变换 (72)23.LX5013 运筹学 (74)24.LX5014 数值计算A (76)25.LX5015 数值计算B (79)26.LX5016 常微分方程 (81)27.LX5017 C语言 (83)28.LX5018 数据库原理与应用 (86)29.LX5019 计算机组成原理 (90)30.LX5020 信息论基础 (93)31.LX5021 最优化方法 (95)32.LX5022 计算机图形学A (97)33.LX5023 数学模型 (99)34.LX5024 离散数学A (101)35.LX5025 数理方程 (104)36.LX5027 组合数学A (106)37.LX5028 数学物理方法 (110)38.LX5101 高等代数选讲 (112)39.LX5102 数学分析选讲 (114)40.LX5103 实变函数 (117)41.LX5104 近世代数概论 (119)42.LX5105 微分几何 (122)43.LX5201 宏观经济学 (126)44.LX5202 证券与投资 (129)45.LX5203 应用统计学 (132)46.LX5204 微观经济学 (135)47.LX5205 工程经济分析 (138)48.LX5206 风险管理 (141)49.LX5207 国际贸易 (143)50.LX5301 密码学与网络安全 (145)51.LX5302 现代密码学 (148)52.LX5303 信息安全数学基础 (151)53.LX5304 电子商务安全技术 (153)54.LX5305 计算机网络基础 (156)55.LX5306 计算机技术与应用 (159)56.LX5307 网页设计与制作 (161)57.LX5308 数字图像处理 (163)58.LX5401 面向对象的程序设计 (166)59.LX5402 JAVA程序设计 (169)60.LX5403 软件工程 (171)61.LX5404 DELPHI程序设计 (174)62.LX5405 最新软件分析及应用 (178)63.LX5406 PYTHON程序设计 (180)64.LX5407 专业英语 (182)65.LX5408 数学实验 (184)66.LX5502 C语言课程设计 (187)67.LX5503 毕业实习 (190)68.LX5504 认识实习 (196)69.LX5505 应用软件训练 (199)70.LX5506 信息与计算科学专业毕业论文(设计) (201)71.LX5508 密码学与网络安全课程设计 (208)72.LX5509 联想网御信息安全防火墙设计训练 (210)73.LX6001 量子力学 (212)74.LX6002 电动力学 (214)75.LX6003 固体物理学 (216)76.LX6005 原子物理 (218)77.LX6006 科技写作 (220)78.LX6007 应用物理学专业毕业设计(论文) (222)79.LX6008 创新训练 (224)80.LX6009 半导体器件与工艺 (225)81.LX6010 光电子技术 (227)82.LX6011 光电测试技术 (229)83.LX6012 网页设计 (231)84.LX6013 应用物理学专业毕业实习 (233)85.LX6014 认识实习 (235)86.LX6016 光学信息技术 (237)87.LX6017 创新与专利 (239)88.LX6021 太阳能电池原理与工艺 (241)89.LX6022 太阳能电池测试与表征 (243)90.LX6023 光电照明工程 (245)91.LX6025 单片机原理与技术 (247)92.LX6026 传感器原理及应用 (249)93.LX6027 专业英语 (253)94.LX6028 LED制造技术与应用 (255)95.LX7001 力学 (257)96.LX7003 电磁学 (260)97.LX7004 光学 (263)98.LX7005 激光原理 (267)99.LX7006 光信息科学与技术专业毕业论文 (269)100.LX7007 毕业实习 (273)101.LX7010 导波光学 (275)102.LX7011 光纤通信 (278)103.LX7012 光显示原理与技术 (283)104.LX7016 光信息存储原理 (285)105.LX7019 晶体光学 (288)106.LX7020 光学机械基础 (290)107.LX7021 物理光学与应用光学 (293)108.LX7024 计算机网络 (297)109.LX7025 信号与系统 (300)110.LX7028 认识实习 (303)111.LX7029 光纤光学 (305)112.LX7032 热学 (308)113.LX7033 数字图像处理 (311)114.LX7034 太阳能光伏原理与技术 (314)115.LX7036 物理仿真实验训练 (316)116.LX7039 热力学与统计物理 (319)117.LX7040 量子信息 (323)118.LX7041 半导体物理 (325)119.LX7042 太赫兹科学技术和应用 (328)120.LX7043 光学测量技术与应用 (331)121.LX7044 光纤通讯网络与安全 (333)122.LX7045 创新训练 (335)123.LX7047 理论力学 (336)124.LX7050 专业英语 (339)125.LX7051 信息光学 (341)高等数学A1、A2课程教学大纲课程编号：LX1001、LX1002课程名称：高等数学A1、A2 Higher Mathematics （A1）（A2）先修课程：初等数学总学时：176学时（授课学时：88 ， 88 ；上机学时：0 实验学时：0）一、课程的性质和任务高等数学是工科院校中一门重要的公共基础理论课，是工科院校学生学习专业基础理论、专业知识及技能必备的课程。
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第十二章 无穷级数 第125讲 无穷级数的概念 第126讲 无穷级数的性质 第127讲 比较审敛法 第128讲 比较审敛法和根值审敛法 第129讲 交错级数 绝对收敛与条件收敛 第130讲 幂级数的收敛半径与收敛域 点击观看 第131讲 幂级数的运算与和函数 第132讲 函数展开成幂级数(1) 第133讲 函数展开成幂级数(2) 第134讲 幂级数展开式的应用 第135讲 傅里叶级数 第136讲 函数展开成傅里叶级数 第137讲 周期延拓 奇偶延拓 第138讲 一般周期函数的傅里叶级数 2013.12.19 返回首页总目录
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第十章 重积分
第100讲 二重积分的概念与性质 第101讲 二重积分的计算法(直角坐标情形) 第102讲 二重积分的计算法(改变积分次序) 第103讲 二重积分的计算法(极坐标情形) 第104讲 二重积分的计算法(利用对称性) 第105讲 三重积分(直角坐标情形) 第106讲 三重积分(柱面坐标情形) 第107讲 三重积分(球面坐标情形) 第108讲 重积分的应用(立体的体积) 第109讲 重积分的应用(曲面的面积) 第110讲 重积分的应用(质量与质心) 第111讲 重积分的应用(转动惯量) 2013.11.2
第五章 相似矩阵及二次型
第58讲 二次型及其标准形 第59讲 二次型及其标准形(习题与考题) 第60讲 用配方法化二次型成标准形 第61讲 用初等变换化二型为标准形 第62讲 惯性定理 第63讲 正定二次型和正定矩阵 第64讲 正定矩阵的性质
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第五章 相似矩阵及二次型
第44讲 向量的内积、长度及正交性 第45讲 向量组的正交化 第46讲 正交矩阵及正交变换 第47讲 暂缺(选学内容) 点击观看 第48讲 暂缺(选学内容) 第49讲 特征值与特征向量 第50讲 特征值与特征向量的性质(1) 第51讲 特征值与特征向量的性质(2) 第52讲 几种特殊矩阵的的特征值与特征向量 第53讲 相似矩阵 第54讲 矩阵的对角化(1) 第55讲 矩阵的对角化(2) 第56讲 对称矩阵的对角化 第57讲 对称矩阵的对角化(习题与考题) 返回首页总目录
高等数学蔡高厅教材pdf
高等数学蔡高厅教材pdf高等数学是大学数学的重要组成部分，为广大理工类专业的学生提供了必要的数学基础。
而蔡高厅教材作为一本经典的数学教材，一直备受广大学生的喜爱和推崇。
本文将介绍蔡高厅教材的特点和重要性，并提供高等数学蔡高厅教材PDF的获取方式。
蔡高厅教材的特点：蔡高厅教材具有以下几个显著的特点：1.全面系统：蔡高厅教材在内容上对高等数学各个知识点进行了全面而系统的梳理和介绍。
从函数与极限、导数与微分，到积分与定积分、级数与函数项级数，各个章节都包含了大量的例题、习题以及详细的解析，使学生能够全面理解和掌握数学的基本概念和计算方法。
2.思维导向：蔡高厅教材注重培养学生的数学思维能力。
通过合理的引导和举例，教材让学生能够主动思考、分析和解决问题，培养学生的逻辑思维和推理能力。
同时，教材还强调数学公式和定理的推导过程，帮助学生深入理解数学知识。
3.难度适宜：蔡高厅教材的难度适宜，对于不同层次的学生来说都具有一定的可操作性。
教材内容从浅入深，由易到难，逐步引导学生提高数学水平。
同时，教材还提供了大量的习题和练习题，供学生反复训练和巩固。
蔡高厅教材的重要性：蔡高厅教材在高等数学教育中具有不可替代的重要性。
以下是教材的重要性体现在以下几个方面：1.权威性：蔡高厅教材是国内高等数学教育领域权威的教材之一，被广大学校和教师作为教材使用，其教学内容丰富、系统，并与国内高等数学教学大纲相契合。
2.适应性：蔡高厅教材针对大学理工类专业学生的需求，内容涵盖了数学各个重要知识点，有助于学生建立起扎实的数学基础，为后续专业课学习打下坚实的基础。
3.提升学习效果：蔡高厅教材以其系统性和思维导向的特点，可以帮助学生更好地理解和掌握高等数学知识。
通过教材中提供的大量例题和习题，学生能够不断巩固和拓展自己的数学能力，提高学习效果。
获取高等数学蔡高厅教材PDF的方式：想要获取高等数学蔡高厅教材的PDF版本，可以采取以下几种方式：1.学校图书馆：许多大学图书馆都会收藏蔡高厅教材的相关版本，你可以前往学校图书馆进行查询和借阅。
蔡高厅高等数学教材
蔡高厅高等数学教材随着社会的不断发展和科技的日新月异，高等数学作为一门基础学科，对于培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力起着至关重要的作用。
作为广受赞誉的教材编写者，蔡高厅教授经过多年的研究和实践，以其深厚的学术背景和丰富的教学经验，撰写了一本高质量的高等数学教材。
本文将对蔡高厅高等数学教材进行全面评述。
首先，蔡教授的高等数学教材以其严谨的逻辑性和系统性备受好评。
教材在内容上深入浅出，通俗易懂，将抽象的数学理论与实际问题结合得非常紧密。
例如，在微积分部分，蔡教授通过解决实际问题的实例引入概念及相关性质，提高了学生的学习兴趣和理解能力。
同时，教材中的每个章节都有明确的目标和重点，便于学生有条不紊地进行学习和掌握。
这种系统性的教学方式有助于学生全面和深入地理解数学知识。
其次，蔡高厅教授注重培养学生的实际运用能力。
教材中融入了大量的实际问题和应用案例，鼓励学生将数学理论与实际问题相结合。
通过解决实际问题，学生可以更好地理解和应用数学知识，提高解决问题的能力。
此外，教材还提供了丰富的练习题和应用题，帮助学生巩固所学的知识，并培养他们的解决问题的能力。
另外，教材中的例题设计也是一个突出的亮点。
蔡高厅教授在例题设计上注重贴近学生的生活和实际问题，力求使学生能够在理论学习的过程中感受到实际问题的魅力。
例题设计既注重了基本概念和原理的阐述，又涉及到了一定的数学技巧和解题思路，给学生提供了良好的学习范例和套路。
通过训练，学生们能够逐渐提高对数学问题的抽象思维和解决问题的能力。
此外，蔡高厅教授在教材编写中也注重了与时俱进。
教材不仅全面覆盖了高等数学的各个领域和知识点，还反映了数学学科的前沿发展和最新研究成果。
教材中涵盖了一些新兴的数学理论和应用领域，为学生提供了学习和研究兴趣。
这种与时俱进的教材编写方式有助于增加学生对高等数学的兴趣和学习动力。
总之，蔡高厅高等数学教材凭借其严谨的逻辑性、系统性和注重实际应用的特点，成为广大师生学习高等数学的重要教学资料。
高中数学优质展示课
等差数列--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频等差数列的前n项和--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频函数的思想--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频排列——求解有限制条件的排列问题的常用方法--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频观通项定类型巧放缩--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频基本不等式--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频函数与方程--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频排列组合之均匀分配问题--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频函数的极值与导数--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频求三角函数最值的方法--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频等比数列--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频数形结合--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频空间元素的平行关系--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频求函数的解析式--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频函数思想---不等式--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频余弦定理--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频平面向量的数量积--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频正态分布--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频直线的参数方程--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频平面向量的数量积--整节课例(1)_高中数学广东名师课堂教学展示视频椭圆和双曲线的构造实验--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频随机事件的概率--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频直线与圆锥曲线的位置关系--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频函数的单调性与导数--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频椭圆--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频直线与平面垂直的判定--整节课例_高中数学广东名师课堂教学展示视频正态分布习题课人教版复习课高三数学优秀课展示实录视频抛物线的标准方程苏教版选修庄素娟高三数学优秀课展示实录视频正态分布习题课人教版高三数学优秀课展示实录视频正态分布人教版高三数学优秀课展示实录视频园锥曲线的统一定义苏教版选修教材高三数学优秀课展示实录视频圆锥曲线的共性探究人教版高三数学优秀课展示实录视频直线与平面垂直的判定人教版高三数学优秀课展示实录视频复数的几何意义苏教版高三数学优秀课展示实录视频函数的图像北师大版舒焰高三数学优秀课展示实录视频正态分布高三数学优秀课展示实录视频椭圆的简单几何性质人教版高三数学优秀课展示实录视频几种常见函数的导数人教版高三数学优秀课展示实录视频直线与双曲线的位置关系人教版高三数学优秀课展示实录视频抛物线性质人教版高三数学优秀课展示实录视频椭圆及其标准方程二（复习）人教版高三数学优秀课展示实录视频导数及其应用苏教版高三数学优秀课展示实录视频椭圆及其标准方程人教版高三数学优秀课展示实录视频等差数列复习课苏教版高三数学优秀课展示实录视频函数的奇偶性人教版高三数学优秀课展示实录视频里程碑上的数北师大版_高一数学优质课实录展示视频等比数列北师大版高三数学优秀课展示实录视频等差等比数列的运用人教版高三数学优秀课展示实录视频中位数和众数郭爱玲_高一数学优质课实录展示视频空间线面的位置关系数学必修2_高一数学优质课实录展示视频平面与平面平行的判定人教版高一数学优秀课展示实录视频向量的运算人教版高一数学优秀课展示实录视频探索三角形相似的条件北师大版_高一数学优质课实录展示视频(1)探索多边形的内角和北师大版_高一数学优质课实录展示视频谁的包裹多北师大版_高一数学优质课实录展示视频余弦定理高中数学必修5_高一数学优质课实录展示视频求最大公约数人教版高一数学优秀课展示实录视频求函数的解析式人教版高一数学优秀课展示实录视频二元一次方程组(第一课时) 北师大版_高一数学优质课实录展示视频函数的奇偶性数学（上册）_高一数学优质课实录展示视频梯形北师大版_高一数学优质课实录展示视频直线与平面垂直的判定人教版高一数学优秀课展示实录视频变化的“鱼” 北师大版_高一数学优质课实录展示视频古典概型人教版高一数学优秀课展示实录视频面面平行性质定理苏教版《必修2》高一数学优秀课展示实录视频素质_高一数学优质课实录展示视频生活中的平移北师大版_高一数学优质课实录展示视频图案欣赏与设计人教版高一数学优秀课展示实录视频选择结构人教版高一数学优秀课展示实录视频线性回归方程人教版_高一数学优质课实录展示视频加减法解二元一次方程组北师大版_高一数学优质课实录展示视频利用表格分析不等式组应用题北师大版_高一数学优质课实录展示视频指数函数及其性质（1）人教版 a版_高一数学优质课实录展示视频向量数乘运算及期几何意义人教版高一数学优秀课展示实录视频一元二次不等式数学基础模块_高一数学优质课实录展示视频整式的运算复习二北师大版_高一数学优质课实录展示视频形状相同的图形北师大版_高一数学优质课实录展示视频函数的单调性和导数人教版_高一数学优质课实录展示视频任意角的三角涵数高教版_高一数学优质课实录展示视频谁的包裹多北师大版(1)_高一数学优质课实录展示视频数列求和的常用方法人教版职高基础模块（下）_高一数学优质课实录展示视频中位数和众数北师大版_高一数学优质课实录展示视频平面向量的数量积苏教版高一数学优秀课展示实录视频函数的单调性人教a版_高一数学优质课实录展示视频直线与平面平行的判定人教版高一数学优秀课展示实录视频探索勾股定理北师大版_高一数学优质课实录展示视频归纳法人教版高一数学优秀课展示实录视频点斜式方程_高一数学优质课实录展示视频中心投影与平等投影空间几何体的三视图人教版_高一数学优质课实录展示视频等比数列前n项和新人教版_高一数学优质课实录展示视频函数的单调性全国中职数学_高一数学优质课实录展示视频直线与平面垂直的判定人教版_高一数学优质课实录展示视频指数函数苏教版_高一数学优质课实录展示视频探索三角形相似的条件北师大版_高一数学优质课实录展示视频0074张广平_线面平行的判定0072李启龙_直线与平面平行的性质0074唐雪莲_由立体图形到视图(1)0072高二数学公开课多面体欧拉定理0074唐雪莲_由立体图形到视图0071陈颈彬_系统抽样0074椭圆与双曲线的构造实验(信息技术与学科整合)0072函数的建模与应用吴万辉_不等式的证明(两课时)2丁益祥_等差数列(两课时)20074吴立波_画立体图形吴万辉_不等式的证明(两课时)1游戏公平吗丁益祥_等差数列(两课时)1设计遮阳蓬椭圆与它的标准方程圆的参数方程简单的图案设计三角函数的图像与性质抛物线的简单几何性质对数导数等可能性事件的概率等差数列01等差数列02函数图像的四类变换分类讨论思想(高中)计数基本原理(职教数学)抽样调查举例函数的再值互斥事件有一个发生的概率立体图形与平面图形函数的应用平移高三数学复习课数学：圆形统计图数列复习等差数列（高三）函数的复习（高三）圆的标准方程（高二）椭圆的定义及其标准方程（高二）生活中的数学一元二次不等式图解虚根函数的单调性集合抛物线及其标准方程二次函数yax2bxc的图象1二次函数yax2bxc的图象2球的体积课堂实录四二次函数yax2的图象2二次函数yax2的图象1球的体积课堂实录三球的体积课堂实录五球的体积课堂实录二球的概念和性质课堂实录三球的概念和性质教学设计球的体积课堂实录一函数yasin(ωχφ）的图象4球的概念和性质课堂实录二函数yasin(ωχφ）的图象1球的概念和性质课堂实录一函数yasin(ωχφ）的图象3函数yasin(ωχφ）的图象2高三数学优质课展示《等差等比数列的运用》人教版_陆老师高三数学优质课视频《试卷分析》研究课_李世强高一数学优质课视频《任意角》人教版_王老师高一高中数学优质示范课视频《函数的单调性》1高一高中数学优质示范课视频《函数的单调性》2高一高中数学优质示范课视频《平面向量数量积的坐标表示》高一高中数学优质示范课视频《平面向量》高一高中数学优质示范课视频《平移_习题课》高一高中数学优质示范课视频《一类恒成立、存在性函数问题的化归》课堂实录高一高中数学优质示范课视频《一元二次方程根的分布（一）》_陈永胜高一数学优质课视频《正余弦函数周期性》高中数学优质课视频《方程的根与函数的零点》44中学王璐璐高中数学优质课视频《三角函数的诱导公式》工大附中李静高中数学优质课视频《三角函数的诱导公式》中实学校赵立娟高中数学优质课视频《三角函数的诱导公式》13中学贾功亮高中数学优质课视频《三角函数的诱导公式》37中学张巍高二高中数学优质课视频《椭圆的标准方程》丁老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高二高中数学优质课视频《椭圆的标准方程》陈老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高二高中数学优质课视频《椭圆的标准方程》翟老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高二高中数学优质课视频《椭圆的标准方程》赵老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高二高中数学优质课视频《椭圆的标准方程》方老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高二高中数学优质课视频《椭圆的标准方程》邱老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高二高中数学优质课视频选修2《平均变化率》董老师_江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动高二高中数学优质课展《导数在研究函数中的应用》高二高中数学优质示范课《双曲线的第二定义》_文静妍高二高中数学优质课视频选修2《平均变化率》杜老师_江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动高二高中数学优质课视频选修2《平均变化率》朱老师_江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动高二高中数学优质示范课《总体分布的估计》(1)高一高中数学优质课视频展示《函数的单调性》高老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高三高中数学优质示范课视频《数列复习》_熊贵旭高一高中数学优质课视频展示《函数的单调性》解老师_江苏省高中青年教师优质课观摩活动高一高中数学优质课视频展示《函数的单调性》凌老师_江苏省高中青年教师优质课观摩活动高一高中数学优质课视频展示《函数的单调性》秦老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高一高中数学优质课视频展示《函数的单调性》杨老师_江苏省高中青年教师优质课观摩活动高一高中数学优质课视频展示《函数的单调性》沈老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高一高中数学优质课视频展示《函数的单调性》张老师_江苏省高中青年教师优质课观摩高一高中数学优质课视频展示《函数综合运用》高一高中数学优质课视频展示《空间几何体的表面积》浦老师1、函数奇偶性问题探究朱胜强3、如何研究圆锥曲线离心率的问题孔繁海2、运用同角函数之间的关系求值周德3、数列中通项与和式的关系探究易雪梅4、如何研究直线与圆锥曲线中与分线段成比例有关的问题？：孔繁海《简单的线性规划问题》优质示范课2_雷波《两个变量之间的线性相关》优质示范课1_曹慧斌《两个变量之间的线性相关》优质示范课3_曹慧斌1、如何利用导数研究“恒成立”的问题刘明2、如何用导数解决与切线有关的问题？刘明《两个变量之间的线性相关》优质示范课2_曹慧斌《两个变量之间的线性相关》优质示范课4_曹慧斌《数学归纳法》2_曾群凤优质示范课《直线的倾斜角与斜率》1吴剑松优质示范课5、如何利用从特殊到一般的思想解决数列问题杨东福6、如何从函数的角度思考数列问题杨东福优质示范课a0548高三数学讲座直线与园的位置关系a0644高三数学讲座《直线与园的位置关系》a0549高三数学讲座例说数学解题思考方法《数学归纳法》1_曾群凤优质示范课a1252第四届“南回杯”优课评比录像三《函数与方程》a1253第四届“南回杯”优课评比录像四《坐标法在解三角形中的运用》g0425高一数学优质示范课《for循环语句》_郭小喜g0425高一数学优质示范课《分段函数的探索与应用》_程伟华g0425高一数学优质示范课《三角函数的图象与性质》_陈向东g0426高一数学优质示范课《函数模型的选择与求解》_陈丹妮g0427高二数学优质示范课《空间角-线面角》_曾菲g0427高二数学优质示范课《两条平行直线和重合的条件》_路彦星g0428高二数学优质示范课《椭圆及其标准方程》_曾菲g0429高二数学优质示范课立体几何《二面角》_邹建平g0430高二数学优质示范课《算法与程序设计》_林启明g0430高二数学优质示范课《算法与程序设计》_刘琦g0431高三数学优质示范课_高三数学第二轮复习《数形结合与最值》_袁海勇g0432高三数学优质示范课《正态分布》g0433高三数学优质示范课《高中数学专题复习—分类讨论思想》_王宗祥g0433高三数学优质示范课《高中数学专题复习—分类讨论思想》专家点评《函数概念及其表示》一轮复习优质示范课g44586高一数学微课示范必修5《数学的概念及其通项》讲授类教学片段_人教版g47046高三数学优质课展示《数列中的分类讨论思想》_李老师g44622高三数学优质课展示《等差数列复习课》苏教版_熊老师g73650高一数学优质课展示《线性回归方程》人教版_冯老师h5066高二数学优质课展示《双曲线及其标准方程》_曹东辉h5063高二数学优质课展示《平面与平面垂直的性质》黄海波h5057高二数学优质课展示《从抛物线定义引出的不变性问题》h5062高二数学优质课展示《抛物线性质》_h5070高二数学优质课展示《正态分布习题课》_袁志斌h5072高三数学优质课展示《导数的应用》_俞立柱h5071高二数学优质课展示《直线与平面垂直的判定》_尹向勇h5069高二数学优质课展示《正态分布习题课》_袁扬h5074高三数学优质课展示《第二轮高考数学复习：第五讲数列极限数学归纳法》h5068高二数学优质课展示《正态分布》_袁志斌h5073高二数学优质课展示《归纳推理》_管敏慧h5076高三数学优质课展示《复数的几何意义》_陈正坤h5075高二数学优质课展示选修2《椭圆及其标准方程》_-李勇成h5082高一数学优质课展示《等差数列》_吴莫林h5083高一数学优质课展示《等差数列与等比数列的类比》实录说课h5080高三数学优质课展示《圆锥曲线的共性探究》复习课_史强h5081高一必修2数学优质课展示《直线与平面垂直》_郭长慧(一等奖)h5086高一数学优质课展示《方程的根与函数的零点》_刘成雨h5088高一数学优质课展示《归纳法》_袁志斌h5087高一数学优质课展示《古典概型》_刘强h5085高一数学优质课展示《反函数》_松江二中h5089高一数学优质课展示《函数图像变换》_汪燕h5090高一数学优质课展示《平面向量的数量》_积陆春h5092高一数学优质课展示《求函数的解析式》_金海淑h5095高一数学优质课展示《数学归纳法》_刘娟h5094高一数学优质课展示《三角函数图像性质》_王家陵h5093高一数学优质课展示《求最大公约数》_罗江云h5097高一数学优质课展示《同角三角函数的基本关系》_崔传志h5098高一数学优质课展示《图案欣赏与设计》_冯辉h5096高一数学优质课展示《数学建模论文研读》h5099高一数学优质课展示《向量的运算》_赖春雨h5100高一数学优质课展示《向量的运用》_李勇h5102高一数学优质课展示《向量数乘运算及期几何意义》_陈开金h6739高二数学优质课展《导数在研究函数中的应用》h5105高中数学优质课展示《一个最值问题的解法研究》h6740高二数学优质课展示《二面角》侯老师h6742高二数学优质课展示《两平面垂直》h5103高一数学优质课展示《选择结构》_黎永生h6744高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》丁老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6743高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》陈老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6745高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》方老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6746高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》蒋老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6747高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》磊老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6748高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》潘老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6749高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》濮阳老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6750高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》邱老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6751高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》徐老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6752高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》杨老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6753高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》营老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6754高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》翟老师_江苏省高中青年教师优质课观摩h6755高二数学优质课展示《椭圆的标准方程》赵老师_江苏省高中青年教师优质课观摩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2023届高考数学二轮复习大题专讲专练第49讲柯西中值定理在高中数学的应用与第50讲泰勒展开解密
第49讲柯西中值定理在高中数学的应用微分中值定理是微分学中的一个重要内容，它主要包括罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Larange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理.本节内容所要讲解的柯西中值定理比拉格朗日中值定理更具有一般性,我将讲解其一般证明方法,如果大家在考试时使用了,则需要先给出证明. 柯西中值定理及其证明柯西中值定理:若()f x 与()g x 在(,)a b 上可导,且()0g x ≠,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ-'=-'.大家不难发现，拉格朗日中值定理只是柯西中值定理的一个特例:当()g x x =的时候,即为拉格朗日中值定理.其证明方法的探讨与研究是一个引人注目的问题,这里会顺便引人罗尔定理及其证明,并利用罗尔定理来证明柯西中值定理.罗尔定理:设函数在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 上可导,而且在两端点处函数()f x 的值相等(()())f a f b =,那么在开区间(,)a b 上至少有一点c ,使得()f x 在这点的导数等于零[]()0f c '=.证明:设M 和m 分别是()f x 在区间[a ,]b 上的最大值和最小值.由于()f x 在[,]a b 上是连续的,∴()f x 的最大值和最小值是存在的.如果等式()M m f a ==成立,那么对于一切[,]x a b ∈都有()0f x '=.如果()M f a =和()m f a =不能同时成立,那么M 和m 这两个数中间至少有一个不等于数()f a .为了确切起见,设M 是这样的数.于是,在开区间(,)a b 的某点c ,函数()f x 达到闭区间[,]a b 上的最大值,因而在这个点()f x 同时有局部极大值.因为在点c 处的导数()f c '存在且等于零.()m f a ≠的情况可以进行类似的讨论. 下面证明柯西中值定理.证明:引人函数()[()()]F x g b g a =-•()[()()]()f x f b f a g x --.这个函数在[,]a b 上显然是连续的,而且在开区间(,)a b 上有导数.此外,()F a =()F b .因此根据罗尔定理可以找到这样的点(,)c a b ∈,使得,()0F c '=,即[()()]()[()()]g b g a f c f b f a -'=-⋅()g c '.(1)显然()0f c '≠,否则的话,由于()f b -()0f a ≠,就应该有()0g c '=,但是根据已知条件()f c '和()g c '不同时等于零,因此,[()()]()0f b f a f c -'≠,用它除等式(1)的右边,即得所证.柯西中值定理证明无参不等式 【例1】若1202x x π<<<,求证:2e x-()1112e cos cos x xx x e >-⋅【解析】证明：要证()21112e e cos cos e xxxx x ->-,实际上只需证21112e e e cos cos x x x x x ->-.设()e ,()cos tf tg t t ==,则(),()f t g t 在[]12,x x 上,满足柯西中值定理条件,()()()()()211221(),,,()f x f x f c c x xg x g x g c -'=∈-'211221e e e ,0,cos cos sin 2x x c x c x x x c π-=<<<<-- ()21121e e cos cos e sin x x c x x c-=-⨯>()()11212cos cos e cos cos e x c x x x x ->-. 注意:其中用到11sin c>及e x 是单调增加函数来放缩. 柯西中值定理求解一元参数范围柯西中值定理可以解决:已知在(,)x m ∈+∞上,不等式()()f x ag x <恒成立,求参数a 的取值范围问题(其中()g m =()0)f m =,其一般步骤如下:第一步:参变分离.()()()()f x f x ag x g x <⇒<a (暂定()0g x >,具体要讨论). 第二步:柯西中值定理转换.()()f xg x =()0()()()()0()()()f x f x f m f a g x g x g m g ξξ--'==<--',其中(,)m x ξ∈.第三步:构造函数求解.令()()()f Fg ξξξ'=',问题转化为()F a ξ<在(,)m x ξ∈恒成立问题,按一元函数求解.【例1】已知函数()2()1ln f x a x x =--,若()0f x 在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围。
高中数学复习专题讲座(第3讲)运用向量法解题的思路及方法
1题目高中数学复习专题讲座运用向量法解题高考要求平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题重难点归纳1解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想2向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题3用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？典型题例示范讲解例1如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD(1)求证C1C⊥BD(2)当1CCCD的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明命题意图本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力知识依托解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单错解分析本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系技巧与方法利用a⊥ba·b=0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可(1)证明 设C B =a , C D =b ,1C C c = ,依题意，|a|=|b |，C D 、C B 、1C C中两两所成夹角为θ，于是DB =a －b ，1CC BD =c (a －b )=c ·a －c ·b =|c |·|a |cos θ－|c|·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD(2)解 若使A 1C ⊥平面C 1BD ，只须证A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DC 1， 由1111()()CA C D CA AA CD CC ⋅=+⋅-=(a +b +c )·(a －c )=|a |2+a ·b －b ·c －|c|2=|a |2－|c |2+|b |·|a |cos θ－|b |·|c|·cos θ=0,得 当|a =|c |时，A 1C ⊥DC 1，同理可证当|a |=|c|时，A 1C ⊥BD ，∴1CC CD =1时，A 1C ⊥平面C 1BD例2如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点(1)求B N的长；(2)求cos<11,BA CB>的值；(3)求证 A 1B ⊥C 1M 命题意图 本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题知识依托 解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系O －xyz ,进而找到点的坐标和求出向量的坐标错解分析 本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标技巧与方法 可以先找到底面坐标面xOy 内的A 、B 、C 点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标(1)解 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O －xyz 依题意得 B (0，1，0)，N (1，0，1)∴|B N|=)01()10()01(222=-+-+-(2)解 依题意得 A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2) ∴1BA =1(1,1,2),CB -=(0，1，2)11BA CB ⋅=1×0+(－1)×1+2×2=3 |1BA|=6)02()10()01(222=-+-+-1||CB == 111111cos ,10||||BA CB BA CB BC CB ⋅∴<>===⋅(3)证明 依题意得 C 1(0，0，2)，M (2,21,21)1111(,,0),(1,1,2)22C M A B ==--∴111111(1)1(2)00,,22A B C M A B C M ⋅=-⨯+⨯+-⨯=∴⊥∴A 1B ⊥C 1M例3三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求 (1)BC 边上的中线AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ABC 的值解 (1)点M 的坐标为x M =)29,0(,29227;0211M y M ∴=+==+-||2AM ∴==(2)||10,||5AB AC ====D 点分BC 的比为2∴x D =31121227,3121121=+⨯+==+⨯+-D y||AD ==(3)∠ABC 是BA 与B C 的夹角，而BA=(6，8），B C =(2，－5）2629cos 145||||BA BC ABC BA BC ⋅∴====⋅学生巩固练习1 设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD 为( )A 正方形B 矩形C 菱形D 平行四边形2 已知△ABC 中， AB =a ，A C =b ，a ·b <0，S △ABC =415,|a|=3,|b |=5,则a与b 的夹角是( )A 30°B －150°C 150°D 30°或150°3 将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x－5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a=_________4 等腰△ABC 和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB ，它们所在的两个平面成60°角，若AB =16 cm,AC =17 cm,则CD =_________5 如图，在△ABC 中，设AB =a ，A C =b ，AP =c , AD =λa,(0<λ<1),AE =μb (0<μ<1),试用向量a ，b 表示c6 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a(1)建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标； (2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角7 已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使,,M P M N PM PN N M N P⋅⋅⋅成公差小于零的等差数列(1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 坐标为(x 0,y 0),Q 为PM 与P N的夹角，求tan θ8 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的 中点(1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； (2)用向量法证明 BD ∥平面EFGH ； (3)设M 是EG 和FH 的交点，求证 对空间任一点O ，有1(4O M O A O B O C O D =+++参考答案1 解析 AB =(1，2），D C =(1，2），∴AB =D C ，∴AB∥D C ，又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又|AB|=5，A C =(5，3），|A C |=34，∴|AB|≠|A C },∴ ABCD 不是菱形，更不是正方形； 又B C =(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB 不垂直于B C ，∴ABCD 也不是矩形，故选D 答案 D2 解析 ∵21415=·3·5sin α得sin α=21,则α=30°或α=150°又∵a·b ＜0,∴α=150°答案 C3 (2,0)4 13 cm5 解 ∵BP 与BE 共线，∴BP =m BE =m (AE －AB )=m (μb－a ),∴AP =AB +BP =a +m (μb －a )=(1－m ) a+m μb ①又C P 与C D 共线，∴C P =n C D =n (AD －A C )=n (λa－b ), ∴AP =A C +C P =b +n (λa －b )=n λa+(1－n ) b ② 由①②，得(1－m ）a +μm b =λn a+(1－n ) b∵a与b 不共线，∴110110m a n m m n n m λλμμ-=+-=⎧⎧⎨⎨=-+-=⎩⎩即 ③解方程组③得 m =λμμλμλ--=--11,11n代入①式得c =(1－m ) a+m μb =πμ-11［λ(1-μ) a+μ(1-λ)b ］6 解 (1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系由已知，得A (0，0，0），B (0，a ,0）,A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23a a 2a )(2)取A 1B 1的中点M ，于是有M (0，2,2aa ），连AM ，MC 1，有1M C =(－23a ,0,0）,且AB =(0，a ,0）,1AA =(0,02a )由于1M C ·AB=0，1M C ·1AA =0，所以M C 1⊥面ABB 1A 1，∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角∵1AC=(,),(0,,),222a a a A M -=22190244a AC AM a a ∴⋅=++=13||,||2AC AM a ====而2194cos ,322aAC AM a∴<>==⨯所以1AC AM与所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°7 解 (1)设P (x ,y ）,由M (－1，0），N (1，0）得， PM =－M P=(－1－x ,－y ）,PN N P =-=(1－x ,－y ), M N =－N M=(2,0),∴M P ·M N =2(1+x ), PM ·P N=x 2+y 2－1,N M N P ⋅ =2(1－x )于是，,,M P M N PM PN N M N P ⋅⋅⋅是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(2)点P 的坐标为(x 0,y 0)220012,||||PM PN x y PM PN ⋅=+-=⋅===cos ||PM PN PM PNθ⋅∴==⋅010cos 1,0,23x πθθ<≤∴<≤≤<||3cos sin tan ,411cos 1sin 0222y x x =-==∴--=-=∴θθθθθ8 证明 (1）连结BG ，则 1()2EG EB BG EB BC BD EB BF EH EF EH =+=++=++=+由共面向量定理的推论知 E 、F 、G 、H 四点共面，(其中21BD=EH ）(2）因为1111()2222EH AH AE AD AB AD AB BD =-=-=-=所以EH ∥BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH 所以BD ∥平面EFGH(3）连OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG由(2）知12EH BD =，同理12FG BD = ，所以EH FG = ，EH FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分，所以 1111111()[()][()]2222222OM OE OG OE OG OA OB OC OD =+=+=+++ 1().4O A O B O C O D=+++课前后备注。
高等数学方明亮版数学课件101常数项级数的概念与性质.ppt
都是公比小于1 的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为
2 和 4，由性质 2 知所给级数收敛，其和为
(1 1)
1 2
3 4
1 22
32 42
1 2n1
3n1 4n1
1
1 2
1 22
1
2n1
1
3 4
32 42
3n1 4n1
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n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
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例6 判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
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内容小结
1. 常数项级数的基本概念: 常数项级数、 收敛、发散、等比级数、调和级数
2. 收敛级数的5个性质
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
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3、 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:
(2)
n1n3
1 3n2
2n
;
解: (1) 令
则
e n1 ( n 1) !
un1 un
(n1)n1 enn!第十章 无穷级数（Infinite Series）
主要内容
第一节 常数项级数的概念与性质 第二节 常数项级数的审敛法 第三节 幂级数 第四节 函数展开成幂级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用 第六节 傅立叶级数
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《高等数学》视频教程蔡高厅教授主讲
中文名称：蔡高厅高等数学上下册RM压缩清晰版本
地区：大陆
语言：普通话
简介：
高等数学辅导讲座（蔡高厅）
分189讲上册95讲下册94讲！赠送与之配套的电子书课文！
本教程讲解之细致，容量之庞大令人叹为观止！适合任何程度的朋友学习。
即使只有高中数学水平，凭此讲座可在一月内快速成为高数高手，也可作为复习后期查缺补漏之用。
本教程是目前国内水平最高的高等数学长期教程，影音俱佳，强烈推荐！！
第一章函数第二章极限第三章导数与微分第四章导数的应用第五章不定积分
第六章定积分第七章空间解析几何与矢量代数第八章多元函数微积分第九章重积分
第十章曲线积分及曲面积分第十一章级数第十二章微分方程
适合人群：
1、在校大学生
2、自考人
3、考研人士（高数一，二）
4、其它想学习数学的人士
[点评][天津大学][高数](蔡高厅)
我来谈谈对天津大学蔡高厅高数的一些看法。
这部高等数学教程应该是现在名气最大的，也是好评最高的。
原因我认为有这么些，首先，整部教程体积很小（全部一起不到3G），而北航柳重堪高等数学加起来超过10G，对硬盘空间不是很大的用户是个不小的负担，这点使的很多人选择了它（包括我本人），在着，一共189讲的超大
容量，整个高等数学的全部知识，无论巨细，无一遗漏，是其他教程所不能及的（北航柳重堪高等数学），其次，本科学校的正规教程也是个很诱人的地方。
以上说的是它的优点，下面说说我自己的体会。
我是在看完北航柳重堪高等数学第一章时再看的，对比而言，蔡高厅高数给我感受就是蔡高厅本人一直在黑板上不停的版书，对知识本身的讲解很机械，这点我很不喜欢。
既然是本科学校的教程，就应该讲究对知识本身和思维的沟通，重点应该是放上创造性上，而不只是知识的简单堆砌，蔡高厅的讲课完全是教科书的移植，加上一点做题的技巧，对基本概念的理解讲解很生硬，缺少沟通性。
跟真正的数学教学相差很远“蔡高厅的讲课完全是教科书的移植”，这点我很同意。
他的例题基本上都是他与别人合写的那本高数上的。
[点评][天津大学][数学]【蔡教授讲】
提起蔡教授的数学，想想我干瘪的荷包真是感慨呀！那时想考试，看到网上无数的同志推荐这门课程，在购回后，白天在办公室偷偷看，晚上回家接着看，整整花了偶2月光阴才大功告成。
因此，昨天看了网友对蔡教授的批评，本人对此是不同意的，数学是一门逻辑性很强的课程，讲究环环紧密相扣，因此，学习的风
格也以稳重为主，正是基于这一点，本人是十分推崇蔡教授的课的，别的不说，光是他老人家，诺高的身材弯腰板书，这种敬业精神与师德，就强过了许多年轻后辈。
就以课程的本身而言，蔡教授讲得条理清晰，对每个定理都进行了详细的证明，辅以充足的示例，让你想不学好这门课都难。
个人认为，蔡教授的这门课，无论下
载还是购买都值得！
关于这门课已经说的很多了，再说可能就有画蛇添足之嫌了，但总有种莫名的冲动使的我还想说两句，就当做是个人的一点感受吧，留给各位商榷，大家仁者见仁，智者见智好了。
关于对这课程的评价我在自己的文章已经说了，这里就不赘述了。
这里我想谈谈对数学这门学科的一点感受，我们大部分人学习数学应该都在10年以
上，个人认为它是所有学科中最难也是最有魅力的，揭示的是宇宙最深的本质，是整个人类智慧集中的体现。
学习数学，绝非一朝一夕之功，更不可能仅凭一两部视频教程就能大功告成的。
对鬓微霜的话我表示怀疑，除非你把考试当做学数学的唯一目的，这样的话我无话可说，人各有志，我也不能过多勉强。
对于现在好的教学
视频，很多人的一致看法是，内容全，每个知识点都不能遗漏；老师讲的要细，例题越多越好，而且难题要有一定数量，否则心理不平衡。
我说这样完全是走进应试教育的死胡同！成功的教育应该是授人渔而不仅是授人鱼，一部数学教学片，不管讲课的老师将数学定理讲的多详细，证明的多严谨，例题解的多完美，解题方法用的多巧妙。
如果缺乏对数学思想的培养，对数学知识的再创造，对数学精神的探索，那都是行而上学的，不能算是成功的。
大学的教育实质应该是教人，其次才是知识。
人可以很快接受知识，但要接受一种思想，运用一种思想就不是那么容易的事。
国内大学和国外大学的差距也在此，这点看过麻省视频教学的应该清楚。
放弃对知识创造能力的开发，过分追求知识本身有限的细节，无异于舍本逐末，是中国高度教育的一大失误！学数学过去是兴趣所至，而今是应付考试。
蔡老的视频我看了两遍，他的板书甚是喜欢，我现在还没见过有那位老师的书写能比过他的~~总的说，这是一部不错的入门教材。
再加上平日里多练多思，对付考试够了！我只知道学习是一个反复的过程，至于为何学，也许真的只有天知道~~
::补充说明::
* 我们的讲座的优势在于:
权威: 本站讲座均为名牌大学的视频录像,讲课的老师为名牌大学的著名教授和讲师.
自由: 您什么时候有空就什么时候学习,完全依照您的安排来上课,不影响工作.
灵活: 您可以随时调节进度,随时暂停和开始.自由调节音量大小和视频大小.
听不懂的地方,可以倒退一下重新听一遍
* 资料说明里面的"1 课时"就是指大学里面的1节课,时间在50-60分钟左右.
* 因光盘是容易损坏的介质,质量再好的光盘,在频繁读取的情况下也会损坏.为了让顾客更长久的使用,我们在制作光盘的时候,是根据单张光盘的读取时间来制作的.这样虽然光盘数量增加,我们的成本也提高了,
但是价格不变(我们的价格是根据课时数量来定价的).从而更好的保障了顾客的权益.
* 某课程有48课时,就表示:按照大学的教学大纲,这门课在大学里面总共要上48节课,而我们的光盘,就包含了这门课的所有视频录像.你把我们的讲座看一遍,就相当于在大学里面把这门课的所有讲座都听了一遍!。