【课时作业 必修1】椭圆方程及性质的应用+参考答案
2020年高中数学 课时作业本 椭圆的几何性质(含答案)
2020年高中数学 课时作业本椭圆的几何性质1.若直线y=kx ＋2与椭圆＋=1相切，则斜率k 的值是( )x23y22A. B.－ C.± D.±636363332.直线y=kx ＋1与椭圆＋=1总有公共点，则m 的取值范围是( )x25y2mA.(1，＋∞)B.(0，＋∞)C.(0,1)∪(1,5)D.[1,5)∪(5，＋∞)3.经过椭圆＋y 2=1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，x22则·=( )OA ―→ OB ―→ A.－3 B.－ C.－或－3 D.±1313134.已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C 的方程为2263( )A.＋y 2=1B.x 2＋=1C.＋=1D.＋=1x23y23x23y22x22y235.设椭圆C ：＋=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠x2a2y2b2PF 1F 2=30°，则C 的离心率为________.6.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C 的方程是____________.127.椭圆x 2＋4y 2=16被直线y=x ＋1截得的弦长为________.128.已知椭圆＋=1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，x2a2y2b263B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________.9.已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2=m(m>0)的离心率e=，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐32标、顶点坐标.10.如图，以P(0，-1)为直角顶点的等腰直角△PMN 内接于椭圆＋y 2=1(a>1)，设直线PM 的斜x2a2率为k.(1)试用a ，k 表示弦长|MN|；(2)若这样的△PMN 存在3个，求实数a 的取值范围．答案解析1.答案为：C ；解析：把y=kx ＋2代入＋=1得，(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6=0，x23y22因为直线与椭圆相切，∴Δ=(12k)2－4(3k 2＋2)×6=0，解得k=±.632.答案为：D ；解析：∵直线y=kx ＋1恒过(0,1)点，若5＞m ，则≥1，m 若5＜m ，则必有公共点，∴m ≥1且m ≠5.3.答案为：B ；解析：椭圆右焦点为(1,0)，设l ：y=x －1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，∴·=x 1x 2＋y 1y 2.OA ―→ OB ―→ 把y=x －1代入＋y 2=1得，3x 2－4x=0.∴A(0，－1)，B .∴·=－.x22(43，13)OA ―→ OB ―→ 134.答案为：A ；解析：∵=，且c=，∴a=，b==1.∴椭圆方程为＋y 2=1.c a 6323a2－c2x235.答案为：33解析：法一：由题意可设|PF 2|=m ，结合条件可知|PF 1|=2m ，|F 1F 2|=m ，故离心率e==3c a 2c 2a===.|F1F2||PF1|＋|PF2|3m 2m ＋m 33法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x=c 代入椭圆方程可解得y=±，所以b2a|PF 2|=.b2a又由∠PF 1F 2=30°可得|F 1F 2|=|PF 2|，故2c=·，变形可得(a 2－c 2)=2ac ，33b2a 3等式两边同除以a 2，得(1－e 2)=2e ，解得e=或e=－(舍去).33336.答案为：＋=1x24y23解析：依题意，设椭圆方程为＋=1(a ＞b ＞0)，所以Error!解得a 2=4，b 2=3.x2a2y2b27.答案为：；35解析：由Error!消去y 并化简得x 2＋2x －6=0.设直线与椭圆的交点为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2=－2，x 1x 2=－6.∴弦长|MN|=|x 1－x 2|= = =.1＋k254[ x1＋x2 2－4x1x2]544＋24 358.答案为：－13解析：设点M(x ，y)，A(x 1，y 1)，B(－x 1，－y 1)，则y 2=b 2－，y =b 2－.b2x2a221b2x 21a2所以k 1·k 2=·==－=－1=e 2－1=－，即k 1·k 2的值为－.y －y1x －x1y ＋y1x ＋x1y2－y 21x2－x 21b2a2c2a213139.解：椭圆方程可化为＋=1，x2m y2mm ＋3由m>0，易知m>，∴a 2=m ，b 2=.m m ＋3m m ＋3∴c==.由e=，得 =，解得m=1，a2－b2m m ＋2 m ＋332m ＋2m ＋332∴椭圆的标准方程为x 2＋=1.∴a=1，b=，c=.y2141232∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1，F 2，(－32，0)(32，0)顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1，B 2.(0，－12)(0，12)10.解：(1)不妨设直线PM 所在的直线方程为y=kx-1(k<0)，代入椭圆方程＋y 2=1，x2a2整理得(1＋a 2k 2)x 2-2ka 2x=0，解得x 1=0，x 2=，2ka21＋a2k2则|PM|=|x 1-x 2|=-，所以|MN|=|PM|=-.1＋k22ka21＋k21＋a2k2222ka21＋k21＋a2k2(2)因为△PMN 是等腰直角三角形，所以直线PN 所在的直线方程为y=-x-1(k<0)，1k同理可得|PN|=-=.21k a21＋1k21＋a21k22a21＋k2k2＋a2令|PM|=|PN|，整理得k 3＋a 2k 2＋a 2k ＋1=0，k 3＋1＋a 2k(k ＋1)=0，(k ＋1)(k 2-k ＋1)＋a 2k(k ＋1)=0，即(k ＋1)[k 2＋(a 2-1)k ＋1]=0.若这样的等腰直角三角形PMN 存在3个，则方程k 2＋(a 2-1)k ＋1=0有两个不等于-1的负根k 1，k 2，则Error!因为a>1，所以a>.3。
课时作业5：2.5.2 第二课时 椭圆方程及性质的应用
第二课时 椭圆方程及性质的应用一、选择题1.过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( ) A.8，6 B.4，3 C.2， 3 D.4，23答案 B解析 由题意知a ＝2，b ＝3，c ＝1，最长弦过两个焦点，长为2a ＝4，最短弦垂直于x 轴，长度为2b 2a ＝3.2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A.a 2＝25，b 2＝16 B.a 2＝9，b 2＝25C.a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D.a 2＝25，b 2＝9 答案 D解析 椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，由题意可知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上， 即有a ＝5，b ＝3.3.方程x 2m ＋y 22m －1＝1为椭圆方程的一个充分不必要条件是( )A.m >12B.m >12且m ≠1C.m >1D.m >0答案 C解析方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆的充要条件是⎩⎨⎧m >0，2m －1>0，m ≠2m －1，即m >12且m ≠1，所以方程x 2m ＋y 22m －1＝1为椭圆方程的一个充分不必要条件是m >1，故选C.4.(多选题)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( )A.椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1B.椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1C.|PQ |＝233D.△PF 2Q 的周长为43 答案 ACD解析 由已知得2b ＝2，b ＝1，c a ＝63， 又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3.∴椭圆方程为x 2＋y 23＝1，又|PQ |＝2b 2a ＝23＝233.△PF 2Q 的周长为4a ＝4 3.5.如图，已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A.3－1B.2－ 3C.22D.32答案 A解析 ∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线， ∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ， ∵|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ，由椭圆定义可得 |MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ， ∴椭圆离心率e ＝21＋3＝3－1. 二、填空题6.已知A (－1，0)，C (1，0)是椭圆C 的两个焦点，过C 且垂直于x 轴的直线交椭圆于M ，N 两点，且|MN |＝3，则椭圆的方程为________；若B 是椭圆上一点，则△ABC 的最大面积为________. 答案 x 24＋y 23＝13解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，令x ＝c ，则y ＝±b 2a ，由|MN |＝3，得2b 2a ＝3，又a 2－b 2＝c 2＝1， ∴a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，结合椭圆知当B 点为椭圆与y 轴交点时，S △ABC 的面积最大，此时S △ABC ＝12×2×3＝ 3.7.设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点.若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为________. 答案 x 29＋y 26＝1解析 设椭圆C 的焦距为2c (c >0)，如图所示，因为△F 2AB 是面积为43的等边三角形，所以12|AB |2×sin π3＝34|AB |2＝43，解得|AB |＝4，即△F 2AB 是边长为4的等边三角形， 该三角形的周长为12＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ， 可得a ＝3，由椭圆的对称性可知，点A ，B 关于x 轴对称， 则∠AF 2F 1＝π6且AB ⊥x 轴， 所以|AF 2|＝2|AF 1|＝4，∴|AF 1|＝2，∴2c ＝|F 1F 2|＝|AF 2|2－|AF 1|2＝23， ∴c ＝3，则b ＝a 2－c 2＝6，因此椭圆C 的标准方程为x 29＋y 26＝1.8.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________答案 (2，4] 解析 ∵e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，b ＝1，0<e ≤32，∴1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤32， 则1<a ≤2，∴2<2a ≤4， 即长轴长的取值范围是(2，4]. 三、解答题9.分别求满足下列条件的椭圆标准方程.(1)中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点(－2，0)，(2，－1)； (2)离心率e ＝22，且与椭圆y 216＋x 212＝1有相同焦点. 解 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，由⎩⎨⎧4m ＝1，2m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝12.所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)由于所求椭圆与椭圆y 216＋x 212＝1的焦点相同，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0). 则c 2＝16－12＝4，所以c ＝2， 由e ＝c a ＝2a ＝22，得a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y 28＋x 24＝1.10.已知点A (4，0)，B (2，2)，椭圆x 225＋y 29＝1，M 是椭圆上的动点，求|MA |＋|MB |的最小值和最大值.解 由已知得A (4，0)是椭圆的右焦点，设左焦点为F (－4，0). 根据椭圆的定义，得|MA |＋|MB |＝2a －|MF |＋|MB |＝10＋|MB |－|MF |. 因为||MB |－|MF ||≤|FB |＝210， 所以|MB |－|MF |∈[－210，210]，故|MA |＋|MB |的最小值和最大值分别为10－210和10＋210.11.(多选题)如图所示，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，离心率分别为e 1，e 2，则下列结论正确的是( )A.a 1＋c 1>2(a 2＋c 2)B.a 1－c 1＝a 2－c 2C.a 1c 2>a 2c 1D.e 1＝e 2＋12答案 ABD解析 由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心， 可得2a 2＝a 1，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点， 可得a 2＋c 2＝c 1.所以a 1＋c 1＝2a 2＋a 2＋c 2， 又a 2>c 2，所以a 1＋c 1>2(a 2＋c 2)，所以A 正确；因为a 1－c 1＝2a 2－(a 2＋c 2)＝a 2－c 2，所以B 正确；因为a 1c 2＝2a 2c 2，a 2c 1＝a 2(a 2＋c 2)＝a 22＋a 2c 2，则有a 1c 2－a 2c 1＝2a 2c 2－a 22－a 2c 2＝a 2(c 2－a 2)<0，所以C 错误；因为e 1＝c 1a 1＝a 2＋c 22a 2＝e 2＋12，所以D 正确.12.已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.2－ 3 C.5－2 D.6－3答案 D解析 设AF 1＝x ，则AB ＝x ，BF 1＝2x ，于是x ＋x ＋2x ＝4a ，解得x ＝(4－2 2 )a ，于是AF 2＝2a －(4－2 2 )a ＝(22－2)a ，由勾股定理得[(4－2 2 )a ]2＋[(22－2)a ]2＝(2c )2，整理得e 2＝c 2a 2＝9－62，所以e ＝9－62＝9－218＝6－3，故选D.13.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，求椭圆的离心率. 解 由直线方程y ＝3(x ＋c )，得直线与x 轴的夹角∠MF 1F 2＝π3，且过点F 1(－c ，0)，∵∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，∴∠MF 2F 1＝π6，∴∠F 1MF 2＝π－π3－π6＝π2，即F 1M ⊥F 2M ，∴在Rt △F 1MF 2中，|F 1F 2|＝2c ，|F 1M |＝c ，|F 2M |＝3c ，∴由椭圆定义可得2a ＝c ＋3c ，∴ca ＝21＋3＝3－1.14.设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的两焦点，B 为椭圆上的点且坐标为(0，－1). (1)若P 是该椭圆上的一个动点，求|PF 1→|·|PF 2→|的最大值；(2)若C 为椭圆上异于B 的一点，且BF 1→＝λCF 1→，求λ的值； (3)设P 是该椭圆上的一个动点，求△PBF 1的周长的最大值. 解 (1)因为椭圆的方程为x 24＋y 2＝1， 所以a ＝2，b ＝1，c ＝3， 即|F 1F 2|＝23，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时取“＝”， 所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为4， 即|PF 1→|·|PF 2→|的最大值为4.(2)设C (x 0，y 0)，B (0，－1)，F 1(－3，0)， 由BF 1→＝λCF 1→得x 0＝3（1－λ）λ，y 0＝－1λ. 又x 204＋y 20＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，解得λ＝－7或λ＝1，又BF 1→与CF 1→方向相反，故λ＝1舍去， ∴λ＝－7.(3)因为|PF 1|＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|， |PF 1|＋|PB |＋|BF 1|≤4＋|BF 2|＋|BF 1|＝8，所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1周长最大，最大值为8.。
椭圆方程及性质的应用
求2x2+y的最大值与最小值.
01
【审题指导】已知
间的向量关系是本题的
核心条
02
NP， NQ， GQ
件，可由其得出相关的几何性质解题：GQ为线段NP的
03
垂直平
分线.借助线段的垂直平分线的性质可求C的方程,进
而求
04
2x2+y的范围.
【规范解答】(1) N P 2 N Q ,G Q N P 0 ， ∴Q为PN的中点，且GQ⊥PN. ∴GQ是线段PN的垂直平分线. ∴|GN|=|GP|， ∴|GM|+|GN|=|MP|= 6 2 5, ∴G点的轨迹是以M，N为焦点的椭圆. 其中 2 a 6 ,2 c 25 , a 3 ,c 5 , ∴b2=a2-c2=4. ∴点G的轨迹C的方程是 x 2 y 2 1.
2. 弦长公式：
① 设直线方程为y=kx+m，椭圆
方程为
(a>b>0)或
直线与椭圆的位置关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),
A B 1 k 2 x 1 x 2 1 k 2x 1 x 2 2 4 x 1 x 2
或 A B 1 k 1 2|y 1 B(3y .x2 2|中 ,点y1 2问 )题,k 1 则2 y 1 y 2 2 4 y 1 y 2 .
x2 a2
1,
理解椭圆的方程与变量范围的 关系：
y2 b2
○1在 由方xa22程 0，
(a>b>0)中，
○ 可得
∴x2≤a2,∴-
a≤x≤a.
○ 同理-b≤y≤b.
注意：变量的范围一般不直接给出，而是由曲线的方程决定， 故要重视对这一隐含条件的挖掘.
课时作业1：2.1.2 椭圆的几何性质（一）
2.1.2 椭圆的几何性质(一)一、基础过关1．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( ) A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上答案 C解析 由椭圆的对称性知(－3,2)必在椭圆上．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝16或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9答案 D3．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 答案 D解析 由题意知c ＝1，e ＝c a ＝12，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 4．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52B.33C.12D.13答案 B解析 记|F 1F 2|＝2c ，则由题意，知|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3，则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33. 5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是________．答案 14解析 由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14. 6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k >0，a >0，b >0)具有________． ①相同的顶点 ②相同的离心率③相同的焦点 ④相同的长轴和短轴答案 ②解析 不妨设a >b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝k 的离心率 e 2＝ ka 2－kb 2ka 2＝ a 2－b 2a 2. 而椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率e 1＝ a 2－b 2a 2，故②正确． 7．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6. (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)． 由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)． 如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1. 二、能力提升 8．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，则椭圆的方程是________． 答案 x 212＋y 29＝1 解析 如图所示，cos ∠OF 2A ＝cos 60°＝|OF 2||AF 2|， 即c a ＝12.又a －c ＝3， ∴a ＝23，c ＝3，∴b 2＝(23)2－(3)2＝9.∴椭圆的方程是x 212＋y 29＝1. 9．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则m ＝________. 答案 14或4 解析 方程化为x 2＋y 21m＝1，则有m >0且m ≠1. 当1m <1时，依题意有 1－1m 1＝32，解得m ＝4； 当1m>1时，依题意有 1m －11m ＝32，解得m ＝14. 综上，m ＝14或4. 10．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．答案 2－1解析 因为△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝22c ，又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以22c ＋2c ＝2a ，即(2＋1)c ＝a ，于是e ＝c a ＝12＋1＝2－1. 11．求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解 椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)可转化为 x 21m 2＋y 214m 2＝1. ∵m 2<4m 2，∴1m 2>14m 2，∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m，半焦距长c ＝32m. ∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m， 焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0， 顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m . 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32. 12.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°.试求椭圆的离心率．解 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ，b ，c .因为MF 2⊥F 1F 2，所以△MF 1F 2为直角三角形．又∠MF 1F 2＝30°，所以|MF 1|＝2|MF 2|，|F 1F 2|＝32|MF 1|. 而由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，因此|MF 1|＝4a 3， ∴2c ＝32×4a 3，即c a ＝33， 即椭圆的离心率是33. 三、探究与拓展13．已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围． 解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.① MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3. ∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32. ∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1)．。
第二章 2.2 2.2.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用 答案
[课时作业][A 组 基础巩固]1．解析：∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，若5>m ，则m ≥1，若5<m ，则必有公共点，∴m ≥1且m ≠5.答案：D2．解析：因为椭圆的离心率为33，所以有c a ＝33，即c ＝33a ，c 2＝13a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝23a 2.当x ＝b 时，交点的纵坐标为y ＝kb ，即交点为(b ，kb )，代入椭圆方程b 2a 2＋k 2b 2b 2＝1，即23＋k 2＝1，k 2＝13，所以k ＝±33，选C.答案：C3．解析：由题意知：F (－c,0)，A (a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，±b 2a . ∵BF ⊥x 轴，∴AP PB ＝a c .又∵AP →＝2PB →，∴a c ＝2即e ＝c a ＝12. 答案：D4．解析：由题意知y x －2的几何意义是椭圆上的点(x ，y )与点(2,0)两点连线的斜率，∴当直线y ＝k (x －2)与椭圆相切(切点在x 轴上方)时，y x －2＝k 最小． 由⎩⎨⎧ y ＝k (x －2) 4x 2＋y 2＝4 整理得(4＋k 2)x 2－4k 2x 2＋4k 2－4＝0.Δ＝(－4k 2)2－4(4＋k 2)(4k 2－4)＝16(4－3k 2)＝0，即k ＝－233(k ＝233舍去)时，符合题意．答案：C5．解析：设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1,0)．由F A →＝3FB→， 得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1，∴|AF→|＝(2－1)2＋n 2＝1＋1＝ 2. 故选A.答案：A6．解析：若短轴的端点与两焦点组成一个正三角形，则a ＝2c ，又a －c ＝3，故c ＝3，a ＝23，∴b 2＝(23)2－3＝9，椭圆的方程为x 212＋y 29＝1.答案：x 212＋y 29＝17．解析：如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r ＞0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0，解得r 2＝50，即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝6 2.答案：6 28．解析：易知点A (3,0)是椭圆的右焦点．∵PM →·AM →＝0，∴AM→⊥PM →. ∴|PM→|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP →|min＝2， ∴|PM →|min ＝ 3. 答案： 39．解析：(1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)＞0，即m 2＜7， 解得－7＜m ＜7.10．解析：椭圆的右焦点为F (1,0)，∴l AB ：y ＝2x －2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －2，x 25＋y 24＝1，得3x 2－5x ＝0，∴x ＝0或x ＝53，∴A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43， ∴S △AOB ＝12|OF |(|y B |＋|y A |)＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋43＝53.[B 组 能力提升]1．解析：在Rt △ABF 2中，设|AF 2|＝m ，则|AB |＝m ，|BF 2|＝2m ，所以4a ＝(2＋2)m .又在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＝2a －m ＝22m ，|F 1F 2|＝2c ，所以(2c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22m 2＋m 2＝32m 2，则2c ＝62m .所以椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝621＋22＝6－ 3. 答案：A2．解析： ∵e ＝12，∴a ＝2c ，∴a 2＝4c 2，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴b ＝3c ，方程ax 2＋bx －c ＝0，可化为2cx 2＋3cx －c ＝0，即2x 2＋3x －1＝0， ∴x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝74<2，∴P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2内．故选A.答案：A3．解析：由x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝ 14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.答案：64．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2，得c a ＝22，所以e ＝22. 答案：225．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得，ax 21＋by 21＝1，① ax 22＋by 22＝1. ②②－①，得a (x 1＋x 2)(x 2－x 1)＋b (y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0.而y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1＝k OC ＝22， 则b ＝2a .又∵|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，∴|x 2－x 1|＝2.又由⎩⎨⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得 (a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b. ∴|x 2－x 1|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4.将b ＝2a 代入， 得a ＝13，b ＝23.∴所求椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.6．解析：由e ＝22得a ∶b ∶c ＝2∶1∶1，所以椭圆方程设为x 2＋2y 2＝2c 2.设直线AB ：x ＝my －c ，由⎩⎨⎧ x ＝my －c x 2＋2y 2＝2c2，得(m 2＋2)y 2－2mcy －c 2＝0， Δ＝4m 2c 2＋4c 2(m 2＋2)＝4c 2(2m 2＋2) ＝8c 2(m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程的两个根．得⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝2mc m 2＋2，y 1y 2＝－c 2m 2＋2，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝22c m 2＋1m 2＋2S △ABF 2＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝c ·22c ·m 2＋1m 2＋2＝22c 2m 2＋1＋1m 2＋1≤22c 2·12＝2c 2， 当且仅当m ＝0时，即AB ⊥x 轴时取等号， ∴2c 2＝2，c ＝1，所以，所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.。
课时作业1：3.1.2 第1课时 椭圆的几何性质
3．1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的几何性质1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( )A ．(－1,0)，(1,0)B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)答案 D解析 ∵椭圆方程化为标准式为y 26＋x 2＝1，∴a 2＝6，且焦点在y 轴上，∴长轴端点坐标为(0，－6)，(0，6)．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223答案 C解析 ∵a 2＝4＋22＝8，∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.3．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且过点(45，0)的椭圆的方程是( ) A.x 225＋y 220＝1 B.x 220＋y 225＝1C.x 220＋y 245＝1 D.x 280＋y 285＝1答案 D 解析 由x 24＋y 29＝1可知，所求椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝5，故A ，C 不正确；再将点(45，0)分别代入B ，D 检验可知，只有D 选项符合题意．4．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为() A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1答案 A解析 依题意得c ＝25，a ＋b ＝10，又a 2＝b 2＋c 2，所以解得a ＝6，b ＝4.5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13答案 A解析 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2ab a 2＋b 2＝a ，得a 2＝3b 2， 所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63. 6．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．答案 45解析 依题意，得b ＝3，a －c ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，c ＝4， ∴椭圆的离心率为e ＝c a ＝45. 7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________． 答案 (2,4]解析 ∵e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，b ＝1,0<e ≤32， ∴1－⎝⎛⎭⎫b a 2≤32，则1<a ≤2，∴2<2a ≤4，即长轴长的取值范围是(2,4]．8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为_______________． 答案 x 216＋y 28＝1 解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝22，知c a ＝22，故b 2a 2＝12. 由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝16， ∴a ＝4，∴b 2＝8，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1. 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点M ⎝⎛⎭⎫43，13，求椭圆C 的离心率．解 2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝⎝⎛⎭⎫43＋12＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫43－12＋⎝⎛⎭⎫132＝2 2. 所以a ＝ 2.又由已知c ＝1，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22. 10．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．解 (1)∵c ＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． ∵e ＝c a ＝55，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1. (2)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， ∵2c ＝8，∴c ＝4，又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20.∴椭圆的方程为x 236＋y 220＝1.11．若O 和F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8答案 C解析 由题意得点F (－1,0)．设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，可得y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204.∵FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，∴OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 0(x 0＋1)＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3. 此二次函数的图象的对称轴为直线x 0＝－2.又－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值，最大值为224＋2＋3＝6. 12．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为( ) A.22 B.32 C.3－ 2D.3－1答案 D 解析 设椭圆的焦点是F 1，F 2，圆与椭圆的四个交点是A ，B ，C ，D ，设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝c ，|AF 2|＝3c (c >0),|AF 1|＋|AF 2|＝2a ⇒c ＋3c ＝2a ，e ＝c a ＝23＋1＝3－1. 13．经过点M (1,2)，且与椭圆x 212＋y 26＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________． 答案 x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1 解析 由题意知e 2＝1－b 2a 2＝12，所以b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2， 设所求椭圆的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1或y 22b 2＋x 2b2＝1. 将点M (1,2)代入椭圆方程得12b 2＋4b 2＝1或42b 2＋1b 2＝1，解得b 2＝92或b 2＝3. 故所求椭圆方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1. 14．在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________.答案 22 解析 如图，切线P A ，PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，a 2c ＝2a . 解得c a ＝22， 则离心率e ＝22.15．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1 答案 A解析 设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2. 离心率e ＝c a＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32， 故选A.16．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率． 解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16， |AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，故|AF 2|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )． 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.。
课时作业1：3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用1．直线y ＝x ＋1与椭圆x 25＋y 24＝1的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断 答案 A解析 方法一 直线过点(0,1)，而0＋14<1，即点(0,1)在椭圆内部， 所以可推断直线与椭圆相交．方法二 联立直线与椭圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 25＋y 24＝1，消去y 得9x 2＋10x －15＝0， Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交．2．(多选)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B ．－63 C ．－33 D.33 答案 AB解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，x 23＋y 22＝1，得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，由题意知Δ＝144k 2－24(3k 2＋2)＝0，解得k ＝±63. 3．直线x －y ＋1＝0被椭圆x 23＋y 2＝1所截得的弦长|AB |等于( ) A.322B. 2 C ．2 2D ．3 2 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，x 23＋y 2＝1，得交点为(0,1)，⎝⎛⎭⎫－32，－12，则|AB |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫1＋122＝322.4．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m >1B ．m >0C ．0<m <5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5 答案 D解析 方法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<1m≤1且m ≠5， 故m ≥1且m ≠5.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0， 消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0.由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立，即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立，由于m >0且m ≠5，∴m ≥1且m ≠5.5．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫12，12的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．4x －2y －1＝0答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为点A ，B 在椭圆上，所以y 219＋x 21＝1，① y 229＋x 22＝1.② ①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9＋(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0.③ 因为P ⎝⎛⎭⎫12，12是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝－9，即直线AB 的斜率为－9. 故直线AB 的方程为y －12＝－9⎝⎛⎭⎫x －12， 整理得9x ＋y －5＝0.6．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为______________．答案 27解析 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)， 与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝7，所以椭圆的长轴长为27.7．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．答案 53解析 由已知可得直线方程为y ＝2x －2，|OF |＝1，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43， 所以S △AOB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝53. 8．已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，经过点F 1的一条直线与椭圆交于A ，B 两点．若直线AB 的倾斜角为π4，则弦长|AB |为________． 答案 247 解析 易知F 1(－1,0)，∵直线AB 的倾斜角为π4， ∴直线AB 的斜率为1，可得直线AB 的方程为y ＝x ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1， 整理得7x 2＋8x －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝－87，x 1·x 2＝－87， 则由弦长公式得|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×⎝⎛⎭⎫－872－4×⎝⎛⎭⎫－87＝247. 9．对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ， 得x 24＋(x ＋m )2＝1， 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝±5时，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，直线与椭圆相离．10.某海域有A ，B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发现过鱼群．以A ，B 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 的标准方程；(2)某日，研究人员在A ，B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A ，B 两岛收到鱼群在P 处反射信号的时间比为5∶3，问你能否确定P 处的位置(即点P 的坐标)?解 (1)由题意知曲线C 是以A ，B 为焦点且长轴长为8的椭圆，又2c ＝4，则c ＝2，a ＝4，故b ＝23，所以曲线C 的方程是x 216＋y 212＝1. (2)由于A ，B 两岛收到鱼群发射信号的时间比为5∶3，∴设此时距A ，B 两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A ，B 两岛的距离为5海里和3海里．设P (x ，y )，B (2,0)，由|PB |＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)2＋y 2＝9，x 216＋y 212＝1，－4≤x ≤4，∴x ＝2，y ＝±3，∴点P 的坐标为(2,3)或(2，－3)．11．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( ) A.22 B ．±22 C.12 D ．±12答案 B解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝22. 由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2＝b 2c 2a 2， 所以y 0＝±bc a ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22. 12．以F 1(－1,0)，F 2(1,0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 25＋y 24＝1 D.x 23＋y 22＝1 答案 C解析 由题意设椭圆方程为x 2b 2＋1＋y 2b2＝1， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2b 2＋1＋y 2b 2＝1，x －y ＋3＝0，得(2b 2＋1)x 2＋6(b 2＋1)x ＋8b 2＋9－b 4＝0，由Δ≥0得b 2≥4，所以b 2的最小值为4，由e ＝1－b 2b 2＋1＝1b 2＋1， 则b 2＝4时，e 取最大值，故选C.13．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________． 答案 6解析 由x 24＋y 23＝1可得，F (－1,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2， 当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.14．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为________． 答案 4105解析 方法一 设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋t ，x 24＋y 2＝1，消去y 得 x 24＋(x ＋t )2＝1， 整理得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.∵Δ＝64t 2－80(t 2－1)>0，∴－5<t < 5.设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－8t 5，x 1·x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎡⎦⎤6425t 2－4×4(t 2－1)5 ＝－32t 2＋16025. 当t ＝0时，|AB |为最大，即|AB |max ＝4105. 方法二 根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将y＝x 代入x 24＋y 2＝1得交点坐标为A ⎝⎛⎭⎫255，255和B ⎝⎛⎭⎫－255，－255， 故|AB |＝4105.15．已知椭圆的左焦点为F 1，有一质点A 从F 1处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆内壁反射(无论经过几次反射速率始终保持不变)，若质点第一次回到F 1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e 为( )A.23B.34C.35D.57答案 D解析 假设长轴在x 轴，短轴在y 轴，以下分为三种情况：(1)球从F 1沿x 轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹， 这时第一次回到F 1路程是2(a －c )；(2)球从F 1沿x 轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹， 这时第一次回到F 1路程是2(a ＋c )；(3)球从F 1沿x 轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点A ， 反弹后经过椭圆的另一个焦点F 2，再弹到椭圆上一点B ， 反弹后经过点F 1，此时小球经过的路程是4a .综上所述，从点F 1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F 1时， 小球经过的最大路程是4a ，最小路程是2(a －c )．∴由题意可得4a ＝7×2(a －c )，即5a ＝7c ，得c a ＝57. ∴椭圆的离心率为57. 16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程． 解 (1)∵椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，32， ∴1a 2＋94b2＝1， 又e ＝c a ＝12且a 2＝b 2＋c 2， 解得a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)显然直线AB 的斜率不为0，设AB 的方程为x ＝ty －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1， 整理得(3t 2＋4)y 2－6ty －9＝0，Δ＝36t 2＋36(3t 2＋4)＝144t 2＋144>0，∴y 1＋y 2＝6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4， 2ABF S ＝12|F 1F 2||y 1－y 2| ＝|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝⎝⎛⎭⎫6t 3t 2＋42＋363t 2＋4＝12t 2＋13t 2＋4＝1227， 解得t 2＝1，∴直线方程为x ＝±y －1，即y ＝x ＋1或y ＝－x －1.。
2020年高中数学 课时作业本 椭圆的标准方程(含答案)
2020年高中数学 课时作业本椭圆的标准方程1.已知椭圆C ：＋=1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标x2a2y2b2准方程为( )A ．＋=1B ．＋=1C ．＋=1D ．＋=1x236y232x29y28x29y25x216y2122.已知椭圆C ：＋=1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )x2a2y24A ．B ．C ．D ．1312222233.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C 的方程是( )12A ．＋=1B ．＋=1C ．＋=1D ．＋y 2=1x23y24x24y23x24y23x244.已知圆(x ＋2)2＋y 2=36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N(2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5.椭圆25x 2＋16y 2=1的焦点坐标是________.6.已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2=1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________.7.已知F 1，F 2为椭圆＋=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点.若|F 2A|＋|F 2B|=12，x225y29则|AB|=________.8.已知P 为椭圆＋=1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为x2254y275________.9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；(2)以椭圆9x 2＋5y 2=45的焦点为焦点，且经过M(2，).610.如图，设点P 是圆x 2＋y 2=25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD=45PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程.答案解析1.答案为：B ；解析：椭圆长轴长为6，即2a =6，得a =3，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c =·2a =2，得c =1，因此，b 2=a 2－c 2=9－1=8，13∴此椭圆的标准方程为＋=1．故选B ．x29y282.答案为：C ；解析：根据题意，可知c =2，因为b 2=4，所以a 2=b 2＋c 2=8，即a =2，2所以椭圆C 的离心率为e ==．故选C ．222223.答案为：C ；解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c =1，e =⇒a =2，b 2=a 2－c 2=3，因此其方c a程是＋=1，故选C ．x24y234.答案为：B ；解析：点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA|=|PN|，又AM 是圆的半径，所以|PM|＋|PN|=|PM|＋|PA|=|AM|=6>|MN|，由椭圆定义知，动点P 的轨迹是椭圆．故选B ．5.答案为：(0，±320)解析：椭圆的标准方程为＋=1，故焦点在y 轴上，其中a 2=，b 2=，x2125y2116116125所以c 2=a 2－b 2=－=，故c=.所以该椭圆的焦点坐标为.1161259400320(0，±320)6.答案为：(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2=1可化为＋=1.x21k2－1y213由椭圆焦点在y 轴上，得Error!解之得k>2或k<－2.7.答案为：8解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)=|AB|＋|AF 2|＋|BF 2|=2a ＋2a ，又由a=5，可得|AB|＋(|BF 2|＋|AF 2|)=20，即|AB|=8.8.答案为：25 34解析：在△F 1PF 2中，F 1F =PF ＋PF －2PF 1·PF 2cos 60°，即25=PF ＋PF －PF 1·PF 2.①2212212由椭圆的定义，得10=PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2=25，∴S △F 1PF 2=PF 1·PF 2sin 60°=.1225 349.解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为＋=1(a>b>0).y2a2x2b2∵2a=26,2c=10，∴a=13，c=5.∴b 2=a 2－c 2=144.∴所求椭圆的标准方程为＋=1.y2169x2144(2)法一：由9x 2＋5y 2=45，得＋=1，c 2=9－5=4，y29x25所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2).设所求椭圆的标准方程为＋=1(a ＞b ＞0).y2a2x2b2由点M(2，)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2=2a ，6即2a=＋=4，所以a=2， 2－0 2＋ 6－2 2 2－0 2＋ 6＋2 233又c=2，所以b 2=a 2－c 2=8，所以所求椭圆的标准方程为＋=1.y212x28法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2=45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则设所求椭圆方程为＋=1(λ＞0)，y2λ＋4x2λ将M(2，)代入，得＋=1(λ＞0)，解得λ=8或λ=－2(舍去).66λ＋44λ所以所求椭圆的标准方程为＋=1.y212x2810.解：设M 点的坐标为(x ，y)，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得Error!∵P 在圆上，∴x 2＋(y)2=25.54即轨迹C 的方程为＋=1.x225y216。
2019-2020学年苏教版选修1-1 椭圆方程及性质的应用 课时作业
一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知直线l过点(3，-1)，且椭圆C：+=1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )A.1B.1或2C.2D.0【解析】选C.因为直线过定点(3，-1)且+<1，所以点(3，-1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点.2.点A(a，1)在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是( )A.-<a<B.a<-或a>C.-2<a<2D.-1<a<1【解析】选A.由题意知+<1，解得-<a<.【拓展延伸】点与椭圆的位置关系已知平面内点P(x0，y0)与椭圆+=1(a>b>0)，则①点P在椭圆外⇔+>1；②点P在椭圆上⇔+=1；③点P在椭圆内⇔+<1.3.(2018·马鞍山高二检测)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|，则椭圆C的离心率e= ( )A. B. C. D.【解析】选A.设椭圆C的焦距为2c(c<a)，由于直线AB的方程为ay+bx-ab=0，所以=c，因为b2=a2-c2，所以3a4-7a2c2+2c4=0，解得a2=2c2或3a2=c2(舍)，所以e=.【补偿训练】椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选C.PQ为过F1且垂直于x轴的弦，则Q(-c，)，△PF2Q的周长为36.所以4a=36，a=9.由已知=5，即=5.又a=9，解得c=6，解得=，即e=.4.(2018·石家庄高二检测)若AB是过椭圆+=1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，k AM，k BM分别表示直线AM，BM的斜率，则k AM·k BM= ( )A.-B.-C.-D.-【解析】选B.设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(-x1，-y1)，k AM·k BM=·===-.【一题多解】(特殊值法)：因为四个选项为定值，取A(a，0)，B(-a，0)，M(0，b)，可得k AM·k BM=-.【补偿训练】(2018·衡水高二检测)如果AB是椭圆+=1(a>b>0)的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则k AB·k OM的值为( )A.e-1B.1-eC.e2-1D.1-e2【解析】选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，则+=1，+=1，两式作差得=所以k AB·k OM=·===e2-1.5.AB为过椭圆+=1(a>b>0)中心的弦，F1(c，0)为椭圆的右焦点，则△AF1B面积的最大值是( )A.b2B.abC.acD.bc【解析】选D.如图，=+=2.又因为|OF1|=c为定值，所以点A与(0，b)重合时，OF1边上的高最大，此时的面积最大为bc.所以的最大值为bc.二、填空题(每小题5分，共15分)6.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________.【解析】将椭圆与直线方程联立：解得交点A(0，-2)，B.设右焦点为F，则S△OAB=·|OF|·|y1-y2|=×1×|+2|=.答案：7.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M，N两点，原点O与线段MN的中点P连线的斜率为，则的值是________.【解析】由消去y，得(m+n)x2-2nx+n-1=0.则MN的中点P的坐标为.所以k OP==.答案：8.(2018·宁波高二检测)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________.【解析】由·=0，得以F1F2为直径的圆在椭圆内，于是b>c，于是a2-c2>c2，所以0<e<，故离心率的范围为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知动点M(x，y)到直线l：x=4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍.(1)求动点M的轨迹C的方程.(2)过点P(0，3)的直线m与轨迹C交于A，B两点.若A是PB的中点，求直线m的斜率. 【解题指南】由动点M的坐标，根据已知条件列方程即可；设出直线方程与椭圆方程联立，得出k与x1，x2的关系式，利用中点坐标即可得斜率.【解析】(1)点M(x，y)到直线x=4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍，则|x-4|=2⇒+=1.所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为+=1.(2)P(0，3)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知：2x1=0+x2，2y1=3+y2，椭圆的上下顶点坐标分别是(0，)和(0，-)，经检验直线m不经过这两点，即直线m斜率k存在.设直线m的方程为：y=kx+3.联立椭圆和直线方程，整理得：(3+4k2)x2+24kx+24=0⇒x1+x2=，x1·x2=，+=+2⇒=⇒=⇒k=±，所以直线m的斜率k=±.10.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程.(2)当△AMN的面积为时，求k的值.【解析】(1)由题意得解得b=.所以椭圆C的方程为+=1.(2)由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.Δ=24k2+16>0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，x1+x2=，x1x2=，所以|MN|===.又因为点A(2，0)到直线y=k(x-1)的距离d=，所以△AMN的面积为|MN|·d=.由=，解得k=±1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.已知椭圆C的方程为+=1(m>0)，如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为( )A.2B.2C.8D.2【解析】选B.根据已知条件c=，则点在椭圆+=1(m>0)上，所以+=1，可得m=2.2.(2018·福建高考)已知椭圆E：+=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点.若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选A.不妨设左焦点为F2，连接AF2，BF2，由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分，所以四边形AFBF2为平行四边形，所以+=+=2a=4，所以a=2，设M(0，b)，所以d=b≥⇒b≥1，所以e==≤=，又e∈(0，1)，所以e∈.【补偿训练】过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦MN的长为( )A. B. C. D.【解题指南】求出过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线方程，代入椭圆+y2=1，可得一元二次方程，利用弦长公式，即可求弦MN的长.【解析】选A.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为椭圆+y2=1右焦点坐标为(，0)，所以过椭圆+y2=1右焦点且斜率为1的直线方程为y=x-，代入椭圆+y2=1，可得+(x-)2=1，即5x2-8x+8=0，所以x1+x2=，x1x2=，所以|MN|=·=·=.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2018·济南高二检测)已知对k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是________.【解析】因为直线y-kx-1=0过定点(0，1)，要使直线和椭圆恒有公共点，则点(0，1)在椭圆上或椭圆内，即+≤1，整理，得≤1，解得m≥1.又方程+=1表示椭圆，所以m>0且m≠5，综上m的取值范围为m≥1且m≠5.答案：m≥1且m≠54.(2018·无锡高二检测)若倾斜角为的直线交椭圆+y2=1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________________.【解析】设中点坐标为(x，y)，直线方程为y=x+b，代入椭圆方程得5x2+8bx+4(b2-1)=0，由根与系数的关系及中点的定义，可得x+4y=0，由Δ>0，得-<b<，故-<x<.答案：x+4y=0(-<x<)【补偿训练】(2018·沈阳高二检测)已知椭圆：+x2=1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为( )A.9x-y-4=0B.9x+y-5=0C.2x+y-2=0D.2x-y+2=0【解析】选B.椭圆：+x2=1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则+=1 (1)+=1 (2)由(1)(2)相减得：+(x1+x2)(x1-x2)=0，点P是AB的中点，所以x1+x2=1，y1+y2=1，由题知x1≠x2，所以=-9，则直线AB的方程y-=-9，整理得9x+y-5=0.三、解答题(每小题10分，共20分)5.设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程.(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.【解析】(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x P，y P)，由已知得因为P在圆上，所以x2+=25，即C的方程为+=1.(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y=(x-3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y=(x-3)代入C的方程，得+=1，即x2-3x-8=0.Δ=(-3)2+32=41>0所以x1+x2=3，x1x2=-8.所以线段AB的长度为|AB|=====.6.(2018·陕西高考)已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0).(1)求椭圆的方程.(2)若直线l：y=-x+m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足=，求直线l的方程.【解题指南】(1)先由已知得椭圆短半轴长，再由离心率及a，b，c间的关系，列方程组得解.(2)先利用直线与圆相交求得弦CD的长，再利用椭圆与直线相交得AB的长，通过解方程得m值从而得解.【解析】(1)由题设知解得a=2，b=，c=1，所以椭圆的方程为+=1.(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1，所以圆心到直线的距离d=.由d<1得|m|<. (*)所以|CD|=2=2=. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2-mx+m2-3=0，由根与系数的关系可得x1+x2=m，x1x2=m2-3.所以|AB|==.由=得=1，解得m=±，满足(*)，所以直线l的方程为y=-x+或y=-x-.。
课时作业1：2.5.1 椭圆的标准方程
§2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程1．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标是( ) A ．(±5,0)B ．(0，±5)C ．(0，±12)D ．(±12,0)答案 C解析 椭圆的焦点在y 轴上，且a 2＝169，b 2＝25，所以c 2＝a 2－b 2＝144，所以c ＝12，故焦点坐标为(0，±12)．2．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为( )A ．－1B ．1 C. 5 D ．－ 5答案 B解析 原方程可化简为x 2＋y 25k ＝1，由c 2＝5k－1＝4，得k ＝1. 3．已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)，则顶点A 的轨迹方程是( ) A.x 236＋y 220＝1(x ≠0) B.x 220＋y 236＝1(x ≠0) C.x 26＋y 220＝1(x ≠0) D.x 220＋y 26＝1(x ≠0) 答案 B解析 由△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)，可得|AB |＋|AC |＝12>|BC |，所以顶点A 的轨迹为椭圆，其中2a ＝12,2c ＝8，所以a ＝6，c ＝4.所以b 2＝36－16＝20，方程为x 220＋y 236＝1.因为A ，B ，C 三点构成三角形，三点不能共线，所以x ≠0，故点A 的轨迹方程为x 220＋y 236＝1(x ≠0)． 4．若椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为( )A ．64 3B ．16 3 C.6433 D.1633答案 C解析 由已知得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20，|F 1F 2|＝2c ＝12.由余弦定理，知(2c )2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°，即144＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|＝2563， ∴12F PF S ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝6433. 5．(多选)使方程x 2m ＋1＋y 25－m＝1表示椭圆的m 的值可以是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．0答案 BCD解析 ∵方程x 2m ＋1＋y 25－m＝1表示椭圆， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>0，5－m >0，m ＋1≠5－m ，解得－1<m <5且m ≠2，故选BCD.6．(多选)已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P 且与两焦点的连线垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，则椭圆的标准方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 216＋y 29＝1 C.x 29＋y 216＝1 D.x 212＋y 216＝1 答案 AD解析 依题意，不妨令|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，且△PF 2F 1为直角三角形，∴|F 1F 2|2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝52－32＝16，∴|F 1F 2|＝4，∴c ＝2，故2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝8，∴a ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝12， 又椭圆的焦点位置不明确，故所求的椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或x 212＋y 216＝1. 7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，c a ＝33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________________．答案 x 23＋y 22＝1解析 由题意知4a ＝43，即a ＝3，又因为c a ＝33，所以c ＝1， 所以b ＝a 2－c 2＝2，故方程为x 23＋y 22＝1. 8．设P 是椭圆x 216＋y 29＝1上的一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是________，此时点P 的坐标为________．答案 16 (0，±3)解析 由题意知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝⎛⎭⎫822＝16，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝4时取“＝”，故|PF 1|·|PF 2|的最大值是16.∵|PF 1|＝|PF 2|＝4，∴点P 的坐标为(0，±3)．9．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解 (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1. (2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又c ∶a ＝5∶13，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1. 10．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．解 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3. 设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4>|MN |.由椭圆定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点的椭圆(点(－2,0)除外)，其方程为x 24＋y 23＝11．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( )A ．(0，±m －n )B ．(±n －m ，0)C ．(0，±n －m )D ．(±m －n ，0) 答案 C解析 化为标准方程为x 2－n ＋y 2－m＝1， 因为m <n <0，所以0<－n <－m .所以焦点在y 轴上，且c ＝－m －(－n )＝n －m .所以焦点坐标是(0，±n －m )．12．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.233 B.263 C.33D. 3 答案 C解析 由MF 1→·MF 2→＝0，得MF 1⊥MF 2，可设|MF 1→|＝m ，|MF 2→|＝n ，在△F 1MF 2中，由m 2＋n 2＝4c 2，得(m ＋n )2－2mn ＝4c 2，根据椭圆的定义有m ＋n ＝2a ，所以2mn ＝4a 2－4c 2，故mn ＝2b 2，即mn ＝2， 所以12F MF S ＝12·mn ＝1， 设点M 到x 轴的距离为h ，则12×|F 1F 2|×h ＝1， 又|F 1F 2|＝23，故h ＝33.13．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________．答案 4解析 设椭圆的另一个焦点为E ，则|MF |＋|ME |＝10，∴|ME |＝8，又ON 为△MEF 的中位线，∴|ON |＝12|ME |＝4. 14．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．答案 7解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.15．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，椭圆C 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于B (0,2)，且BF →·BA →＝42＋4，则椭圆C 的方程为( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 26＋y 24＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 28＝1 答案 C解析 由已知得F (c ,0)，A (a ,0)，B (0,2)，所以BF →·BA →＝(c ，－2)·(a ，－2)＝ac ＋4＝42＋4， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，ac ＝42，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝8，b 2＝4.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. 16．已知F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 在椭圆上，且△PF 1F 2的面积为22b 2，求tan ∠F 1PF 2. 解 ∵F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 在椭圆上， ∴根据椭圆定义及余弦定理得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝4c 2，整理得|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos ∠F 1PF 2. ∵△PF 1F 2的面积为22b 2， ∴12·2b 21＋cos ∠F 1PF 2·sin ∠F 1PF 2＝22b 2， ∴1＋cos ∠F 1PF 2＝2sin ∠F 1PF 2. ∵sin 2 ∠F 1PF 2＋cos 2 ∠F 1PF 2＝1，∴cos ∠F 1PF 2＝13(舍负) ∴sin ∠F 1PF 2＝1－19＝223， ∴tan ∠F 1PF 2＝2 2.。
人教版高二上学期数学(选择性必修1)《3.1.2椭圆的标准方程及性质的应用》练习题及答案
人教版高二上学期数学(选择性必修1）《3.1.2椭圆的标准方程及性质的应用》练习题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________学号：___________一、选择题1.直线y ＝kx －k 与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A.相交 B.相切C.相离D.不确定2.直线y ＝kx ＋2和椭圆x 23＋y 22＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A.k <－63或k >63 B.k ≤－63或k ≥63C.－63<k <63D.－63≤k ≤633.德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是( ) A.159 B.259 C.2959 D.30594.已知过圆锥曲线x 2m ＋y 2n ＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x m ＋y 0y n ＝1.过椭圆x 212＋y 24＝1上的点A (3，－1)作椭圆的切线l ，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为( )A.x －y －3＝0B.x ＋y －2＝0C.2x ＋3y －3＝0D.3x －y －10＝05.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.136.如图是一个篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm ，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为( )A.13B.12C.22D.327.(多选)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B.－63C.－33 D.33 8.(多选)如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 处变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点处第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，离心率分别为e 1，e 2，则下列结论正确的是( )A .a 1＋c 1＞2(a 2＋c 2)B .a 1－c 1＝a 2－c 2C .e 1＝e 2＋12D .椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁 二、填空题9.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h 为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为87 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d 至少应是________米．10.过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________11.若直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是________________12.罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为πab(其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，π取3.14)，已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为________平方米(保留小数点后两位)．三、解答题13.已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．14.已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C ，D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．15.如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≤0)和y 2b 2＋x 281＝1(x ≥0)组成，其中a >b >9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点)．(1)求“挞圆”的方程；(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y ＝t (t ∈(0,15))，求该网箱所占水面面积的最大值．参考答案及解析一、选择题1.A 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －k ，x 29＋y 24＝1，消去y 得(4＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－36＝0Δ＝(－18k 2)2－4(4＋9k 2)(9k 2－36)＝576(2k 2＋1)，易知Δ>0恒成立∴直线y ＝kx －k 与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为相交． 2.B 解析：将y ＝kx ＋2代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，消去y ，可得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0 ∴Δ＝144k 2－24(2＋3k 2)＝72k 2－48∵直线和椭圆有公共点，∴72k 2－48≥0，∴k ≤－63或k ≥63. 3.A 解析：设椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，由题意可得a －c a ＋c ＝2930整理得a ＝59c ，即c a ＝159. ∴地球运行轨道所在椭圆的离心率是159. 4.B 解析：过椭圆x 212＋y 24＝1上的点A (3，－1)的切线l 的方程为3x 12＋(－y )4＝1，即x －y －4＝0，切线l 的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为－1，故过点A 且与直线l 垂直的直线方程为y ＋1＝－(x －3)，即x ＋y －2＝0.5.C 解析：设椭圆长轴长为2a ，短轴长为2b ，由“切面”所在平面与底面成60°角可得2b 2a ＝cos 60°，即a ＝2b ，所以e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝32. 6.B 解析：如图，l 1，l 2 是两条与球相切的直线，分别切于点A ，C ，与底面交于点B ，D ，设篮球的半径为R∴AC ＝2R ＝22，R ＝11过点C 作CE ∥BD 交l 1于点E ，则CE ＝BD在△ACE 中，CE ＝AC sin 60°，∴CE ＝22×23＝2a ，∴a ＝223＝2R 3，b ＝R ∴c ＝4R 23－R 2＝33R ，∴e ＝c a ＝3R 32R 3＝12. 7.AB 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，x 23＋y 22＝1，得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，由题意知Δ＝144k 2－24(3k 2＋2)＝0 解得k ＝±63． 8.ABC 解析：对A ，由题可知a 1＝2a 2，c 1＝a 2＋c 2＞2c 2，所以a 1＋c 1＞2(a 2＋c 2)，所以选项A正确；对B ，由a 1－c 1＝|PF |，a 2－c 2＝|PF |，得a 1－c 1＝a 2－c 2，所以选项B 正确；对C ，由a 1＝2a 2，c 1＝a 2＋c 2，得c 1a 1＝a 2＋c 22a 2＝1＋c 2a 22，即e 1＝e 2＋12，所以选项C 正确；对D ，根据选项C 知，2e 1＝e 2＋1＞2e 2，所以e 1＞e 2，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁，所以选项D 错误．故选ABC ．二、填空题9.答案：32解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 236＝1，当点(47，4.5)在椭圆上时，16×7a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫92236＝1，解得a ＝16 ∵车辆高度不超过4.5米，∴a ≥16，d ＝2a ≥32，故拱宽至少为32米．10.答案：22解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b2＝1，① x 22a 2＋y 22b 2＝1.② ∵M 是线段AB 的中点，∴x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1. ∵直线AB 的方程是y ＝－12(x －1)＋1，∴y 1－y 2＝－12(x 1－x 2)． 由①②两式相减可得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0，即2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·2b 2＝0.∴a ＝2b ，∴c ＝b ，∴e ＝c a ＝22. 11.答案：(1,3)∪(3，＋∞)解析：∵x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，∴m >0且m ≠3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0∴Δ＝16m 2－4m (m ＋3)>0，解得m >1或m <0.∴m >1且m ≠3∴m 的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．12.答案：0.22解析：由条件可得，竞技场的总面积为π×1882×1562＝7 332π(平方米)，表演区的面积为π×862×542＝1 161π(平方米)，故观众区的面积为7 332π－1 161π＝6 171π(平方米)，故观众区每个座位所占面积为6 171π90 000≈6 171×3.1490 000≈0.22(平方米)．三、解答题13.解：设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x －y ＋a ＝0(a ≠4) 由⎩⎨⎧ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，消x 得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0 由Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0，解得a ＝3或a ＝－3∴与直线l 距离较近的切线为x －y ＋3＝0，两条直线之间的距离即为所求最短距离 且直线x －y ＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P .故所求最短距离d ＝|4－3|2＝22. 由⎩⎨⎧ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.14.解：(1)设M (x ，y )．因为k AM ·k BM ＝－2，所以y x ＋1·y x －1＝－2(x ≠±1)，化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)． 即点M 的轨迹方程为2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)．(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，易知此时线段CD 的中点不是N ，不符合题意． 当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，将点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)的坐标代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，得2x 21＋y 21＝2，① 2x 22＋y 22＝2，② ①－②整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝－2×2×122×1＝－1 故直线l 的方程为y －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0. 15.解：(1)由题意知b ＝15，a ＋9＝34，解得a ＝25，b ＝15.所以“挞圆”方程为x 2252＋y 2152＝1(x ≤0)和y 2152＋x 292＝1(x ≥0)． (2)设P (x 0，t )为矩形在第一象限内的顶点，Q (x 1，t )为矩形在第二象限内的顶点则t 2152＋x 2092＝1，x 21252＋t 2152＝1，可得x 1＝－259x 0.所以内接矩形的面积S ＝2t (x 0－x 1)＝2t ×349x 0＝15×34×2·x 09·t 15≤15×34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2092＋t 2152＝510 当且仅当x 09＝t 15时，S 取最大值510. 所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米。
椭圆的标准方程与性质(有答案)
椭圆的标准方程与性质1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：2.2第1课时 椭圆及其标准方程一、选择题1．平面上到点A (－5,0)、B (5,0)距离之和为10的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．线段 D ．轨迹不存在 2．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是( )A ．(±a －b ，0)B ．(±b －a ，0)C ．(0，±a －b )D ．(0，±b －a )3．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95 B ．3 C.977 D.944．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点P 的纵坐标是( )A ．±34B ．±22C ．±32D ．±345．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.32 B.3 C.72D ．4 6．(09·陕西理)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是( )A ．5B ．3或8C ．3或5D ．208．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一个焦点F 2构成△ABF 2的周长是( )A ．2B ．4 C.2 D ．2 29．已知椭圆的方程为x 216＋y 2m 2＝1，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是( )A ．－4≤m ≤4B ．－4<m <4且m ≠0C ．m >4或m <－4D ．0<m <410．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1 B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 二、填空题11．如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝______.12．已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为____________．13．(08·浙江)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.14．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.三、解答题15．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． (2)坐标轴为对称轴，并且经过两点A (0,2)，B (12，3)16．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．17．已知m 为常数且m >0，求证：不论b 为怎样的正实数，椭圆x 2b 2＋m ＋y 2b 2＝1的焦点不变．18．在面积为1的△PMN 中，tan M ＝12，tan N ＝－2，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点且过点P (x 0，y 0)(y 0>0)的椭圆方程．2.2第2课时 椭圆的简单几何性质一、选择题1．将椭圆C 1∶2x 2＋y 2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C 2，则C 2与C 1有( )A ．相等的短轴长B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．相等的长轴长2．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率是( ) A.14 B.12 C.22 D.323．(2010·广东文，7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.154．已知椭圆2x 2＋y 2＝2的两个焦点为F 1，F 2，且B 为短轴的一个端点，则△F 1BF 2的外接圆方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋(y －1)2＝45．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( ) A ．[6,10]B ．[6,8]C ．[8,10]D ．[16,20]6．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k ＝1 (0<k <9)有( )A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴7．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为( ) A.22 B.32 C.53 D.638．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为( )A.x 24＋y 26＝1B.x 26＋y 24＝1C.x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1D.x 236＋y 232＝1 9．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，则( )A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上 10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k >0)具有( )A ．相同的长轴B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的离心率 二、填空题11．(2009·广东理)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．12．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．13．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点到两焦点的距离分别为d 1、d 2，焦距为2c ，若d 1、2c 、d 2成等差数列，则椭圆的离心率为________．14．经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________．三、解答题15．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．16．已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴的两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．17．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程．2.2第1课时 椭圆及其标准方程一、选择题 1．[答案] C[解析] 两定点距离等于定常数10，所以轨迹为线段． 2．[答案] D[解析] ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2－a＝1∵a <b <0∴－a >－b >0，∴y 2－a ＋x 2－b ＝1，焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b ＝b －a∴焦点坐标为(0，±b －a ) 3．[答案] D[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7. ∵△PF 1F 2为直角三角形．∴P 是横坐标为±7的椭圆上的点．(P 点不可能是直角顶点)设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94.4．[答案] C[解析] 设F 1(－3,0)∴P 点横坐标为3代入x 212＋y 23＝1得y 23＝1－34＝14，y 2＝34，∴y ＝±325．[答案] C[解析] 如图所示，由x 24＋y 2＝1知，F 1、F 2的坐标分别为(－3，0)、(3，0)，即P 点的横坐标为x p＝－3，代入椭圆方程得y p ＝12，∴|PF 1|＝12，∵|PF 1|＋|PF 2|＝4.∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72.6． [答案] C[解析] 方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆⇔1n >1m>0⇔m >n >0.故选C. 7．[答案] C[解析] 2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝12或4－m ＝12，∴m ＝5或m ＝3且同时都大于0，故答案为C. 8．[答案] B[解析] ∵|AF 1|＋|AF 2|＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2，∴|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4， 即|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4. 9．[答案] B[解析] 因为焦点在x 轴上，故m 2<16且m 2≠0，解得－4<m <4且m ≠0. 10．[答案] D[解析] 顶点C 满足|CA |＋|CB |＝10>|AB |，由椭圆定义知2a ＝10,2c ＝8 所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9， 故椭圆方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．二、填空题 11．[答案] 2 3[解析] 由题意S △POF 2＝34c 2＝3，则c 2＝4⇒c ＝2 ∴P ＝(1，3)代入椭圆方程x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1中得，1b 2＋4＋3b2＝1，求出b 2＝2 3. 12． [答案] x 2＋43y 2＝1[解析] 如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2，∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1.13． [答案] 8[解析] (|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|) ＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20，∴|AB |＝8. 14．[答案] 35[解析] 设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知， |P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋12(|P 4F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝35.三、解答题15．[解析] (1)由于椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1故所求椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设所求椭圆的方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)．∵椭圆过A (0,2)，B (12，3)，∴⎩⎨⎧0m ＋4n ＝1，14m ＋3n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝4.∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.16． [解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b 2＝1，又a ＝3b ，代入得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆的方程为x 29＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9b 2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程为y 281＋x 29＝1.故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29＋y 2＝1.17． [解析] ∵m >0，b 2＋m >b 2，∴焦点在x 轴上，由(b 2＋m )－b 2＝m ，得椭圆的焦点坐标为(±m ，0)，由m 为常数，得椭圆的焦点不变．18． [解析] 以线段MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴，建立坐标系． 设M (－c,0)，N (c,0)，c >0， 又P (x 0，y 0)，y 0>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0－c＝－2，y 0x 0＋c ＝12，cy 0＝1⇒⎩⎨⎧x 0＝53c ，y 0＝43c ，⇒P (523，23)．设椭圆方程为x 2b 2＋34＋y 2b 2＝1，又P 在椭圆上，故b 2(523)2＋(b 2＋34)(23)2＝b 2(b 2＋34)，整理得3b 4－8b 2－3＝0⇒b 2＝3. 所以所求椭圆方程为x 2154＋y 23＝1.2.2第2课时 椭圆的简单几何性质一、选择题 1． [答案] C[解析] 把C 1的方程化为标准方程，即 C 1：x 22＋y 24＝1，从而得C 2：x 22＋y 2＝1.因此C 1的长轴在y 轴上，C 2的长轴在x 轴上．e 1＝22＝e 2，故离心率相等，选C. 2．[答案] D[解析] △ABF 1为等边三角形， ∴2b ＝a ，∴c 2＝a 2－b 2＝3b 2 ∴e ＝c a＝c 2a 2＝3b 24b 2＝32. 3． [答案] B[解析] 本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a ，b ，c 的方程式，消去b 得到关于e 的方程，由题意得：4b ＝2(a ＋c )⇒4b 2＝(a ＋c )2⇒3a 2－2ac －5c 2＝0⇒5e 2＋2e －3＝0(两边都除以a 2)⇒e ＝35或e ＝－1(舍)，故选B.4．[答案] A[解析] 椭圆的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，短轴的一个端点为(1,0)，于是△F 1BF 2的外接圆是以原点为圆心，以1为半径的圆，其方程为x 2＋y 2＝1.5．[答案] C[解析] 由题意知a ＝10，b ＝8，设椭圆上的点M (x 0，y 0)，由椭圆的范围知，|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，点M 到椭圆中心的距离d ＝x 20＋y 20.又因为x 20100＋y 2064＝1，所以y 20＝64(1－x 20100)＝64－1624x 20，则d ＝x 20＋64－1625x 20＝925x 2＋64，因为0≤x 20≤100，所以64≤925x 20＋64≤100，所以8≤d ≤10. 6． [答案] B[解析] 依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上，对于椭圆C 1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆C 2：焦距＝2(25－k )－(9－k )＝8，故答案为B. 7．[答案] A[解析] 由题意知b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.8．[答案] C[解析] ∵长轴长2a ＝12，∴a ＝6，又e ＝13∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，∵焦点不定，∴方程为x236＋y232＝1或x232＋y236＝1.9． [答案] C[解析]∵点(3,2)在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，∴由椭圆的对称性知，点(－3,2)、(3，－2)、(－3，－2)都在椭圆上，故选C.10． [答案] D[解析]椭圆x2a2＋y2b2＝1和x2a2＋y2b2＝k(k>0)中，不妨设a>b，椭圆x2a2＋y2b2＝1的离心率e1＝a2－b2a，椭圆x2 a2k ＋y2b2k＝1(k>0)的离心率e2＝k a2－b2ka＝a2－b2a.二、填空题11． [答案]x236＋y29＝1[解析]设椭圆G的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，半焦距为c，则⎩⎪⎨⎪⎧2a＝12ca＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧a＝6c＝33，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9，∴椭圆G的方程为x236＋y29＝1.12． [答案]2120°[解析]依题知a＝3，b＝2，c＝7，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝6，∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2. 又|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝27.在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－12，∴∠F1PF2＝120°.13． [答案]12[解析]由题意得4c＝d1＋d2＝2a，∴e＝ca＝12.14． [答案]2b2a[解析]∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x＝±c，由⎩⎪⎨⎪⎧x＝±cx2a2＋y2b2＝1，得y2＝b4a2，∴|y|＝b2a，故弦长为2b2a.三、解答题15． [解析] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1， ∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0， ∴m >m m ＋3. 即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1， ∴a ＝1，b ＝12，c ＝32. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1(－32，0)，F 2(32，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－12)，B 2(0，12)． 16． [解析] 由于椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，可设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由椭圆的对称性知，|B 1F |＝|B 2F |，又B 1F ⊥B 2F ，因此△B 1FB 2为等腰直角三角形，于是|OB 2|＝|OF |，即b ＝c .又|F A |＝10－5即a －c ＝10－5，且a 2＋b 2＝c 2.将以上三式联立，得方程组，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c a －c ＝10－5a 2＝b 2＋c 2解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10b ＝5 所求椭圆方程是x 210＋y 25＝1. 17． [解析] 由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2，再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b . 由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1， 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.。
课时作业1：2.1.1 椭圆及其标准方程(一)
2.1.1 椭圆及其标准方程(一)一、基础过关1．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 答案 C解析 ∵|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝2×2＝4>|F 1F 2|.∴P 的轨迹应是以F 1，F 2为焦点的椭圆．这里c ＝1，a ＝2.∴轨迹方程为x 24＋y 23＝1. 2．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( ) A ．16 B ．18 C ．20 D ．不确定答案 B解析 △PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c .因为2a ＝10，c ＝25－9＝4，所以周长为10＋8＝18.3．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，所以1<m <3；但当1<m <3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．4．设P 是椭圆 x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B解析 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8.又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3.又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．5．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．以上均不对答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0m －2>0，得2<m <10， 由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8.6．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________________．答案 a >3或－6<a <－2解析 由于椭圆焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0，a >－6. ⇔a >3或－6<a <－2.7．已知椭圆两焦点为F 1、F 2，a ＝32，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，求△ABF 2的周长． 解如图所示，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)， 又∵a ＝32. ∴△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝6.二、能力提升8．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5答案 A解析 由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3， ∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2×5－6＝4.9．设定点F 1(0，－3)、F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段答案 D解析 ∵a ＋9a ≥2a ·9a＝6， 当且仅当a ＝9a，a ＝3时取等号， ∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0，且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是椭圆．10．点P 是椭圆x 225＋y 216＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且△PF 1F 2的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为________．答案 83解析 |PF 1|＋|PF 2|＝10，|F 1F 2|＝6，S △PF 1F 2＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·1＝8 ＝12|F 1F 2|·y P ＝3y P .所以y P ＝83. 11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1. 12．椭圆x 29＋y 24＝1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．解如图所示，以F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝5与椭圆x 29＋y 24＝1交于A 、B 、C 、D 四点， 则∠F 1AF 2＝∠F 1BF 2＝∠F 1CF 2＝∠F 1DF 2＝90°，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝54x 2＋9y 2＝36. 得x ＝±355，如果点P 在椭圆弧AB 及CD 上，即在圆的内部，那么∠F 1PF 2是钝角，故－355<x <355. 三、探究与拓展13．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持|P A |＋|PB |的值不变，求曲线E 的方程．解如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝322，∵|P A |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋322＝22， 且|P A |＋|PB |>|AB |， ∴由椭圆定义知，动点P 的轨迹E 为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝1.∴所求曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.。
高二数学椭圆方程与性质(经典含答案)
椭圆方程与性质(经典含答案)一、单选题1．椭圆224936x y +=中，离心率为（ ）A ．255B ．13C ．45D ．532．曲线221169144x y +=与曲线()221144169144x y k k k+=<--的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．方程()()22222210x y x y +-+++=的化简结果是（ ）A ．2212521x y +=B ．2212521y x +=C ．221254x y +=D ．221254y x +=4．已知椭圆C ：22143x y +=，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝（ ） A ．4 B ．8 C ．12D ．165．已知点F 1，F 2分别是椭圆E ：22x y 259+=1的左、右焦点，P 为E 上一点，直线l为∠F 1PF 2的外角平分线，过点F 2作l 的垂线，交F 1P 的延长线于M ，则|F 1M|=（ ） A ．10B ．8C ．6D ．46．如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为,,F A B 分别为椭圆的上､下顶点，P是椭圆上一点，//,||||AP BF AF PB =，记椭圆的离心率为e ，则2e =（ ）A B C ．12D 7．过椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的右顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为左焦点F ，若1243k <<，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，且12122PF PF PF PF ⋅=⋅，若12F PF △的内切圆的半径r 满足1123sin PF r F F P =∠，则椭圆的离心率为（ ） A ．47B ．23C ．37D ．139．设椭圆C ：22214x y a +=(2a >)的左､右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：y x t =+交椭圆C 于点A ，B ，若1F AB 的周长的最大值为12，则C 的离心率为（ ）A B C ．3D ．5910．已知22221x y a b+=（0a b >>）M N 、是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM PN 、的斜率分别为1k ，2k （1k 20k ≠），若12k k +的最小值为12，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B C D 11．已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222222:1(0,)x y C a b c a b a b+=>>=-，若圆1C ，2C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A ．1[,1)2B ．1(0,]2C ．D ．二、填空题12．若椭圆2215x y m+=的焦点在y 轴上，离心率为23，则m =__________．13．设点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，12,F F 分别是椭圆的左，右焦点，I是△12PF F 的内心，若12PF F ∆的面积是12IF F ∆面积的3倍，则该椭圆的离心率为_____．三、解答题14．已知椭圆222:1(1)Γ+=>y x a a与抛物线2:2(0)C x py p =>有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆Γ于A ，B 两点，且1AB =. （1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，若P 为椭圆Γ上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与椭圆Γ的焦点F F 交于M ，N 两点，求证：MN 为定值.15．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．16．设D 是圆O ：x 2+y 2＝16上的任意一点，m 是过点D 且与x 轴垂直的直线，E 是直线m 与x 轴的交点，点Q 在直线m 上，且满足2|EQ |=ED |．当点D 在圆O 上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程．（2）已知点P （2，3），过F （2，0）的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交直线x ＝8于点M ．判定直线P A ，PM ，PB 的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．17．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，左、右焦点分别为12,F F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设Q 为椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，过点2F 作OQ 的平行线交椭圆C 与,M N 两个不同的点，记2QF M △的面积为1S ，2OF N △的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值.参考答案1．D 【分析】计算出a 、b 、c 的值，进而可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】将椭圆的方程化为标准方程得22194x y +=，则3a =，2b =，c =，因此，该椭圆的离心率为3c e a ==. 故选：D. 2．D 【分析】两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，进而可得出结论. 【详解】对于椭圆221169144x y +=，113a =，112b =，15c ==，离心率为111513c e a ==， 对于椭圆()221144169144x y k k k +=<--，2a =2b =25c ==，离心率为222c e a ==. 因此，两椭圆的焦距相等. 故选：D. 3．B 【分析】设1(0,2)-F ，2(0,2)F ，(,)P x y ，利用两点间的距离公式将方程化为12||||10PF PF +=，再根据椭圆的定义可求得结果. 【详解】设1(0,2)-F ，2(0,2)F ，(,)P x y，10=得12||||10PF PF +=，且1210||4F F >=，所以动点P 的轨迹是以1(0,2)-F ，2(0,2)F 为焦点的椭圆， 这里210a =，5a =，2c =，所以22225421b a c =-=-=，所以该椭圆方程为2212521y x +=.10=的化简结果是2212521y x +=.故选：B 【点睛】关键点点睛：利用椭圆的定义化简方程是解题关键. 4．B 【分析】根据已知条件，作出图形，MN 的中点连接椭圆的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为2a 即可求出||||AN BN +． 【详解】设MN 的中点为D ，椭圆C 的左右焦点分别为1F ，2F ， 如图，连接1DF ，2DF ，1F 是MA 的中点，D 是MN 的中点，1F D ∴是MAN △的中位线；∴11||||2DF AN =，同理21||||2DF BN =；12||||2(||||)AN BN DF DF ∴+=+，D 在椭圆上，∴根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知：1224DF DF a +==，||||8AN BN ∴+=．故选：B ．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用三角形中位线定理得到12||||2(||||)AN BN DF DF +=+，然后再利用椭圆的定义解答. 5．A 【分析】由题意可得三角形PMF 2为等腰三角形，|PM|=|PF 2|，运用椭圆的定义，计算可得所求值． 【详解】如图，由直线1为∠F 1PF 2的外角平分线，l ⊥F 2M ， 可得|PM|=|PF 2|，而椭圆E: 221259x y +=的a=5，2a=|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PM|=|F 1M|=10， 故选A ．【点睛】本题考查椭圆的定义，以及等腰三角形的性质，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题． 6．B 【分析】首先求直线AP 方程，并求点P 的坐标，根据222PB AF a ==，整理为关于,a c 的齐次方程，再求2e . 【详解】()()0,,,0B b F c -，则BF b k c=，所以直线:bAP y x b c =+，与椭圆方程联立()222220a c x a cx ++=，所以点P 的横坐标是2222a c x a c =-+，322by a c =-+，即2322222,a c b P a c a c ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，222322222222a c b PB a b a a c a c ⎛⎫⎛⎫=⇒+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理为：6244264321c a c a c a --+=，两边同时除以6a 得：64243210e e e --+=，()()2421410ee e -+-=，210e -≠，所以42410e e +-=，得2e =2e =. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆离心率，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解. 7．B 【分析】首先求出(),0A a ，2,b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再利用1243AB k <<，可得,,a b c 之间的关系，结合222a b c =+即可求解.【详解】由题意可得(),0A a ，因为点B 在x 轴上的射影恰好为左焦点F ，(),0F c -，所以点B 横坐标为x c =-代入22221x y a b+=可得22221c y a b +=，解得2by a =±，因为直线AB 的斜率1243k <<，所以2b y a =-，即2,b Bc a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以2222221b b a c a c a k ec a ac a ac a a ---=====---++， 因为1243k <<，所以12143e <-<解得：1334e <<，故选：B 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法： （1）直接利用公式ce a=； （2）利用变形公式e =；（3）根据条件列出关于,a c 的齐次式，两边同时除以2a ，化为关于离心率的方程即可求解. 8．C 【分析】由已知12122PF PF PF PF ⋅=⋅，得123F PF π∠=，在12F PF △中，利用余弦定理及面积公式可得1223F PF S=，再利用12F PF △的内切圆的半径r ，可知12=()F PF S ac r +，建立等式关系，=，结合222b a c =-，将关系式转化为,ac 的关系式，从而求得离心率. 【详解】由题可知1212121222cos ,PF PF PF PF PF PF PF PF ⋅=⋅=⋅，即121cos ,2PF PF =，123F PF π∴∠= 在12F PF △中，利用椭圆定义知212PF PF a +=，由余弦定理得()()2222222212121122121212122424cos 3222PF PF PF PF c PF PF F F a PF PF c PF PF PF PF PF PF π+--+---===即2212142122b PF PF PF PF -=，整理得22143PF PF b =易得面积122221114=sin 232323F PF SPF PF b π=⨯⨯= 又12F PF △的内切圆的半径为r ，利用等面积法可知12211211=()(22)()22F PF SPF PF F F r a c r a c r ++=+=+， 所以1223F PF S r a c a c==++ 由已知1123sin PF r F F P =∠，得1123sin PF r F F P =∠，则2112sin 33PFa F F Pc ⨯=+∠，即121sin PF F F P=∠ 在12F PF △中，利用正弦定理知1211212sin sinsi 2n3PF F c F F F PF F P π===∠∠ ()234b c a c =⇒=+，又222b a c =-，整理得22437ac a c =- 两边同除以2a ，则2437e e =-，解得37e =或1e =-（舍去） 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中利用12122PF PF PF PF ⋅=⋅，得123F PF π∠=，在12F PF △中，利用解三角形思想可得122F PF S=，再利用12F PF △的内切圆的半径r ，可知12=()F PF S a c r +，建立等式关系，再由已知结合正弦定理得到所要求的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题． 9．B 【分析】先利用椭圆的定义求出1F AB 的周长的最大值可得a 的值，根据椭圆方程即可求,b c 得值，进而可求离心率. 【详解】1F AB 的周长等于112222AB AF BF AB a AF a BF ++=+-+-()224a AB AF BF =+-+，因为22AF BF AB +≥当且仅当2,,A B F 三点共线时等号成立， 所以()22444a AB AF BF a AB AB a +-+≤+-=， 即1F AB 的周长的最大为4a ，所以412a =，解得：3a =，由椭圆的方程可得：24b =，所以c =，所以C 的离心率为c e a ==， 故选：B 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法： （1）直接利用公式c e a=；（2）利用变形公式e =；（3）根据条件列出关于,a c 的齐次式，两边同时除以2a ，化为关于离心率的方程即可求解.10．C 【分析】设()cos ,sin P a b αα，则可得1222sin b bk k a aα+=≥，即可求出离心率.【详解】设()cos ,sin P a b αα，∵(),0M a -，则(),0N a ，∴1sin cos b k a a αα=+，2sin cos b k a aαα=-，∴12sin sin cos cos b b k k a a a aαααα+=+-+()()()()sin 1cos sin 1cos 221cos 1cos sin b b b ba a aααααααα++-==≥-+，由题意可得：212b a =，即14b a =，所以c e a ===． 故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的离心率问题，解题的关键是设出点()cos ,sin P a b αα，由题得出1222sin b bk k a a α+=≥，即212b a =，即可求出. 11．B 【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，圆1C ，2C 都在椭圆内，可得圆2C 上的点(2,0)c ，(,)c c 都在椭圆内，由此列关于a ，c 的不等式组得答案．【详解】由圆221:20C x cx y ++=，得222()x c y c ++=， 得圆1C 的圆心为(,0)c -，半径为c ，由圆222:20C x cx y -+=，得222()x c y c -+=， 得圆2C 的圆心为(,0)c ，半径为c ， 要使圆1C ，2C 都在椭圆内，则22222{1c ac c a b+，解得102ca <． ∴椭圆离心率的范围是1(0,]2．故选：B ． 【点评】本题考查圆与椭圆的综合，考查数学转化思想方法，考查运算求解能力，是中档题． 12．9 【分析】由已知5m >，22,5a m b ==，利用离心率的公式计算即可. 【详解】由已知，5m >，所以22,5a m b ==，所以23c a ===，解得9m =. 故答案为：9 【点睛】本题考查已知椭圆离心率求参数的问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 13．12【分析】利用内切圆半径可分别表示出12PF F S ∆和12IF F S ∆，利用两三角形面积的比例关系可得到3a c c +=，进而求得离心率.【详解】设12PF F ∆内切圆半径为r()()121212121212PF F IPF IPF IF F S S S S PF PF F F r a c r ∆∆∆∆∴=++=++⋅=+⋅ 又121212IF F S F F r c r ∆=⋅=⋅，12123PF F IF F S S ∆∆= 3a c c ∴+= 12c e a ∴== 本题正确结果：12【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够利用内切圆半径表示出两个三角形的面积，从而构造出关于,a c 的齐次方程.14．（1）椭圆Γ的方程为：2214y x +=，抛物线C 的方程为：243x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题意222122114p a p a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解方程组求得a ，p 的值，即可求解； （2）设(,)P m n ，则2214+=nm ，写出圆P 和圆F 的方程，两个圆的方程相减可得直线MN 的方程，计算点F 到直线MN 的距离为d ，再利用22||2MN r d =-. 【详解】（1）椭圆222:1(1)Γ+=>y x a a可得焦点(21a -，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，所以212p a -=①， 由22221p y y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得22214p x a +=，解得2214p x a -=±， 所以222114p AB a-==②， 由①②可得：24a =，23p =，所以椭圆Γ的方程为：2214y x +=，抛物线C 的方程为：243x y =；（2）设(,)P m n ，则2214+=nm ，圆P 的方程为：2222()()-+-=+x m y n m n ，圆F 的方程为：22(3)5+-=x y ，所以直线MN 的方程为：(3)10+--=mx n y ， 设点F 到直线MN 的距离为d ，则22222|34||34|2|34|2(3)383161(3)4n n n d nm n n n n ---====+--+-+-.2||252MN d =-=.所以MN 为定值.【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为L ，则2222L r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）代数法，设直线与圆相交于()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与圆的方程()()222y kx mx a y b r=+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y 得到一个关于x 的一元二次方程，从而可求出12x x +，12x x ，根据弦长公式AB =.15．（1）22163x y +=；（2）详见解析. 【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置. 【详解】（1）由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k 4260x kmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x k m ++--++-+=，所以()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为2,1A （）不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=， 得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）. 此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭. 令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭， 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP 的斜边，故12DQ AP ==， 若D 与P 重合，则12DQ AP =， 故存在点41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用AM AN ⊥得 ·0AM AN =，转化为坐标运算，需要设直线MN 的方程，点()()1122,,,M x y N x y ，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立消去y 可12x x +，12x x 代入·0AM AN =即可，当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题.16．（1）221612x y +=1，（2）成等差数列 【分析】（1）由题意设Q （x ，y ），D （x 0，y 0），根据2|EQ |=ED |Q 在直线m 上，则椭圆的方程即可得到；（2）设出直线l 的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到k 1+k 3，并求得k 2的值，由k 1+k 3=2k 2说明直线PA ，PM ，PB 的斜率成等差数列． 【详解】解：（1）设Q （x ，y ），D （x 0，y 0），∵2|EQ |=ED |，Q 在直线m 上， ∴x 0＝x ，|y 0|＝|．① ∵点D 在圆x 2+y 2＝16上运动， ∴x 02+y 02＝16，将①式代入②式即得曲线C 的方程为x 243+y 2＝16，即221612x y+=1，（2）直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，证明如下： 由（1）知椭圆C ：3x 2+4y 2＝48， 直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），代入椭圆方程并整理，得（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣48＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线P A ，PM ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则有x 1+x 2221634k k =+，x 1x 222164834k k -=+，可知M 的坐标为（8，6k ）． ∴k 1+k 3()()121212122323332222k x k x y y x x x x ------=+=+---- ＝2k ﹣3•()121212442x x x x x x +-=+-+2k ﹣3•1236-=-2k ﹣1， 2k 2＝2•6382k -=-2k ﹣1． ∴k 1+k 3＝2k 2．故直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列． 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，该题是中档题．17．（1）22142x y +=；（2【分析】（1）由离心率可得222a b =，再根据条件求出b =a ，写出椭圆方程；（2）设()11M x y ，，()22N x y ，，直线OQ x my =：，则直线MN x my =：圆方程，根据弦长公式求出()22412m MN m +=+，再求出点O 到直线MN的距离d =OMN 的面积，进而求出最大值.【详解】（1）由题意知2c e a ==，所以22222212c a b e a a -===，即222a b =， 又以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆为222x y b +=，且与直线20x y -+=相切，所以b ==2224a b ==，故椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）设()11M x y ，，()22N x y ，，直线OQ x my =：，则直线MN x my =：，由22142x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()22220m y ++-=，1222y y m +=-+，12222y y m =-+.∴22MN y y =-∣==()22412m m +=+ ， 因为MN OQ ∥，所以2QF M △的面积等于2OF M △的面积，12OMNS S S S =+=，因为点O 到直线MN x my =：的距离d =所以()224111222m S MN d m +=⋅=⨯=+∣∣t =，则()2211m t t =-≥，211S t t t==++，因为12t t +≥=，当且仅当1t t =，即1t =时，也即0m =时取等号，所以当0m =时，S 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中的三角形面积最值问题，属于较难题.。
【课时作业 必修1】椭圆的简单几何性质+参考答案
椭圆的简单几何性质（45分钟100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·安阳高二检测)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.152.(2013·汝阳高二检测)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,一个焦点的坐标是(3,0),则椭圆的标准方程为( )A.x29+y216=1 B.x225+y216=1C.x2 16+y225=1 D.x216+y29=13.若焦点在x轴上的椭圆x22+y2m=1的离心率为12,则m等于( )A.√3B.3C.8D.24. (2013·新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )A.√36B.13C.12D.√335.设椭圆x22+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=1,右焦点F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在( )A.圆x2+y2=2上- 1 -B.圆x2+y2=2内C.圆x2+y2=2外D.以上三种情况都有可能二、填空题(每小题8分,共24分)6.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为.7.(2013·沧州高二检测)椭圆的焦点在y轴上,一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4,短轴长为8,则椭圆的标准方程为.8.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP→·FP→的最大值为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=√32,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.10.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),若椭圆的离心率e满足√33≤e≤√22,且1a2+1b2=2,求椭圆长轴长的取值范围.11.(能力挑战题)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.(1)求椭圆离心率的范围.(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.- 1 -答案解析1.【解析】选B.由条件知2a+2c=2×2b,∴a+c=2b,从而(a+c)2=4b2=4(a2-c2),解得e=c=3.2.【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在x轴上,且{2a+2b=18,c=3,解得a=5,b=4,∴方程为x225+y216=1.【变式备选】(2013·北京高二检测)离心率为√32,且过点(4,0)的椭圆的标准方程是( )A.x2+y2=1B.x2+y2=1或x2+y2=1C.x2+4y2=1D.x2+y2=1或x2+y2=1【解析】选D.由条件知,(4,0)为椭圆的一个顶点.若a=4且c=√3,则b2=4,方程为x2+y2=1.若b=4且c=√3,则a2=64,方程为x2+y2=1.- 1 -- 1 -3.【解析】选B.∵椭圆的焦点在x 轴上,且e=12,∴√2−m √2=1,解得m=3.【举一反三】若把题中“焦点在x 轴上”去掉,结果会怎样? 【解析】当椭圆焦点在x 轴上时,由√2−m √2=1得m=3.当椭圆焦点在y 轴上时,由√m −2√m=1得m=8.∴m 的值是3或8.4.【解题指南】利用已知条件解直角三角形,将PF 1,PF 2用半焦距c 表示出来,然后借助椭圆的定义,可得a,c 的关系,从而得离心率. 【解析】选D.因为PF 2⊥F 1F 2,∠PF 1F 2=30°,所以PF 2=2ctan 30°=2√33c,PF 1=4√33c. 又PF 1+PF 2=2√3c=2a,所以ca=√3=√33, 即椭圆的离心率为√33.5.【解题指南】判断点P(x 1,x 2)与圆的位置关系,就是判断点P 与圆心(0,0)的距离与半径的大小关系,利用根与系数的关系表示成关于离心率的关系式,再判断位置关系.【解析】选B.由题意e=c a =12,{x 1+x 2=−ba ,x 1x 2=−c a,∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=b 2a 2+2c a。
高中数学课时检测16椭圆的方程及性质的应用习题课含解析苏教版选择性必修第一册
椭圆的方程及性质的应用(习题课)[A 级 基础巩固]1．已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( )A ．1B ．1或2C ．2D ．0解析：选C 因为直线过定点(3，－1)且3225＋（－1）236＜1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l 与椭圆有2个公共点．2．(多选)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1有一个公共点，则斜率k 的值可以为( ) A.63 B ．－63 C.33D ．－33解析：选AB 把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1，得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由题意知Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63.3．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( )A.67B.167C.716D.76解析：选B 易求直线AB 的方程为y ＝3(x ＋2)． 由⎩⎨⎧y ＝3（x ＋2），x 2＋2y 2＝4消去y 并整理，得7x 2＋122x ＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1227，x 1x 2＝87.则AB ＝（y 2－y 1）2＋（x 2－x 1）2＝（x 2－x 1）2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－y 1x 2－x 12＝ 1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝167.4．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12解析：选D 由题意知，S △ABF ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.5．(多选)如图所示，一探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是( )A ．a 1＋c 1＝a 2＋c 2B ．a 1－c 1＝a 2－c 2C ．c 1a 2>a 1c 2D.c 1a 1<c 2a 2解析：选BC 椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ中相同的量是|PF |，即a 1－c 1＝a 2－c 2，所以B 正确；两椭圆比较有a 1>a 2，c 1>c 2，所以a 1＋c 1>a 2＋c 2，所以A 错误；两椭圆中轨道Ⅰ较扁，因此离心率较大，即c 1a 1>c 2a 2，整理可得c 1a 2>a 1c 2，所以C 正确，D 错误．6．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1<y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1消y 得3x 2－4x ＝0，可得A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13， 又F 1(－1，0)， ∴|F 1A |＋|F 1B |＝2＋523＝823. 答案：8237.如图，底面直径为12 cm 的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为________ cm ，短轴长为______ cm ，离心率为________．解析：由题图知短轴长为底面直径12 cm ，长轴长为12cos 30°＝83(cm)，则c 2＝(43)2－62＝12，∴c ＝23，∴离心率e ＝c a ＝12.答案：8 3 12 128．直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1没有公共点，则m 取值范围是________；有一个公共点，则m 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ， 得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ<0即m <－5或m >5时直线与椭圆没有公共点； 当Δ＝0即m ＝±5时直线与椭圆有一个公共点． 答案：(－∞，－5)∪(5，＋∞) ± 59．某火星探测器的运行轨道是以火星(其半径R ＝34百公里)的中心F 为右焦点的椭圆．已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A 到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B 到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O 的距离为ab 百公里时进行变轨，其中a ，b 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里)．解：设轨道方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且c ＝ a 2－b 2.∵a ＋c ＝800＋34，a －c ＝8＋34，∴a ＝438，c ＝396， ∴b 2＝a 2－c 2＝35 028，∴轨道方程为x 2191 844＋y 235 028＝1.设变轨时，探测器位于P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝ab ≈81 975.1，x 20191 844＋y 2035 028＝1，解得x 0≈239.7，y 0≈156.7， ∴ （x 0－c ）2＋y 20－R ≈187.故探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里．10．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．解：由题意知，右焦点的坐标为(1，0)，直线的方程为y ＝2(x －1)，将其与x 25＋y 24＝1联立，消去y ，得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0，所以|AB |＝ （x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（x 2－x 1）2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－y 1x 2－x 12＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝553. 设原点到直线的距离为d ，则d ＝|－2|12＋22＝25.所以S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×553×25＝53.[B 级 综合运用]11．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1解析：选A 由题意，得4m 2＋n2>2，所以m 2＋n 2<4，所以点P (m ，n )是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点， 所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有2个交点．故选A.12．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2D ．6 2解析：选D 设圆心为点C ，则圆x 2＋(y －6)2＝2的圆心为C (0，6)，半径r ＝ 2. 设点Q (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，则x 2010＋y 20＝1，即x 20＝10－10y 20.由x 20≥0，解得y 0∈[－1，1]．|CQ |＝x 20＋（y 0－6）2＝10－10y 20＋（y 0－6）2＝－9y 20－12y 0＋46 ＝－9⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋232＋50， 当y 0＝－23时，|CQ |有最大值52，则P ，Q 两点间的最大距离为52＋r ＝6 2.故选D.13．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM ―→|＝1，且PM ―→·AM―→＝0，则|PM ―→|的最小值是________．解析：易知点A (3，0)是椭圆的右焦点． ∵PM ―→·AM ―→＝0，∴AM ―→⊥PM ―→.∴|PM ―→|2＝| AP ―→|2－|AM ―→|2＝|AP ―→|2－1， ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小， 故|AP ―→|min ＝2，∴|PM ―→|min ＝ 3. 答案： 314．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，焦距为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知椭圆C 与直线x －y ＋m ＝0相交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的中点不在圆x 2＋y 2＝1内，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意知e ＝c a ＝22，2c ＝2，解得a ＝2，c ＝1，又a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝2，b 2＝1.故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 22＋y 2＝1， 消去y 可得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0. 则Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0⇒－3<m < 3. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m3，则y 1＋y 2＝2m3.所以MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 3，m 3， 因为MN 的中点不在圆x 2＋y 2＝1内，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32≥1⇒m ≥355或m ≤－355， 综上，可知－3<m ≤－355或355≤m < 3.[C 级 拓展探究]15．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A ，B 分别是它的左、右焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，求小球经过的路程．解：(1)静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a －c )；(2)静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a ＋c )；(3)静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线出发，经椭圆壁非左、右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a .综上可知，三种情况均有可能．。
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椭圆方程及性质的应用
（45分钟100分）一、选择题(每小题6分,共30分)
1.(2013·重庆高二检测)已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:x2
25+y2
36
=1,则直线l与椭圆
C的公共点的个数为( )
A.1
B.1或2
C.2
D.0
2.若AB为过椭圆x2
25+y2
16
=1的中心的弦,F1为椭圆的左焦点,则△F1AB面积的最大
值为( )
A.6
B.12
C.24
D.36
3.椭圆x2
16+y2
4
=1上的点到直线x+2y-√2=0的最大距离为( )
A.3
B.√11
C.√10
D.2√2
4.直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M,N两点,MN的中点为P,若k OP=√2
2
(O为原点),则m等于( )
A.√2
2B.√2 C.-√2
2
D.-√2
5.(2013·南昌高二检测)已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为( )
A.√5
3B.2
3
C.√2
2
D.5
9
- 1 -
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.(2013·绵阳高二检测)短轴长为√5,离心率e=2
3
的椭圆的两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为.
7.(2013·宜春高二检测)椭圆x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为√2
2
,若直线y=kx与其一
个交点的横坐标为b,则k的值为.
8.过椭圆x2
6+y2
5
=1内的一点P(2,-1)的弦AB,满足OP→=1
2
(OA→+OB→),则这条弦所在
的直线方程是.
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.(2013·合肥高二检测)已知椭圆C的焦点F1(-2√2,0)和F2(2√2,0),长轴长为6,
设直线l交椭圆C于A,B两点,且线段AB的中点坐标是P(-9
10,1
10
),求直线l的方
程.
10.(2013·安阳高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(-√3,0),F2(√3,0),离心率e=√3.
(1)求此椭圆的方程.
(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.
11.(能力挑战题)已知大西北某荒漠上A,B两点相距2km,现准备在荒漠上开垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8km.
- 1 -
(1)试求四边形另两个顶点C,D的轨迹方程.
(2)农艺园的最大面积能达到多少?
(3)该荒漠上有一条直线型小溪l刚好通过点A,且l与AB成30°角,现要对整条小溪进行加固改造,但考虑到今后农艺园的小溪要重新设计改造,因此,对小溪可能被农艺园围进的部分暂不加固,则暂不加固的部分有多长?
答案解析
1.【解析】选C.∵直线过定点(3,-1)且32+(−1)2<1,
∴点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.
2.【解析】选B.c2=25-16=9,∴|OF1|=c=
3.
∵AB过原点(0,0).
∴当AB与短轴重合时,△F1AB的面积最大,其值为1×2b×3=4×3=12.
3.【解题指南】可设出与直线平行的直线方程,利用直线与椭圆相切确定切点,两平行线间的距离即为最大或最小值.
【解析】选C.由{x+2y+m=0,
x2+y2=1,得2x2+2mx+m2-16=0.
当直线与椭圆相切时,Δ=0即4m2-4×2(m2-16)=0,解得m=±4√2.当m=4√2
- 1 -
- 1 -
时,切点到直线x+2y-√2=0的距离最大,其值为d=
√2+√2|√12+22
=√10.
4.【解题指南】利用设而不求的思想,用m,n 表示出中点P 的坐标,再建立方程求解.
【解析】选A.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),P(x 0,y 0). 由{y =1−x ,mx 2+ny 2
=1得(m+n)x 2-2nx+n-1=0. ∴x 0=
n ,从而y 0=1-x 0=1-n
=
m
.
∴k OP =m =√2.
【变式备选】过点M(-1,1
2)的直线l 与椭圆x 2+2y 2=2交于A,B 两点,设线段AB
中点为M,设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0),直线OM 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为( ) A.2
B.-2
C.1
D.-1
【解析】选D.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).
则x 12+2y 12
=2 ① x 22+2y 2
2=2 ② ②-①,得(x 2-x 1)(x 2+x 1)+2(y 2-y 1)(y 2+y 1)=0,即y 2−y 12−x 1
=-
x 1+x 2
1+y 2)
,
∴k 1=
y 2−y 1x 2−x 1
=-−2
2×1
=1,而k 2=
1
2
−0−1−0
=-1
2
,
故k 1·k 2=-1.
5.【解题指南】采用数形结合,建立a,b,c 的齐次式.。