定积分的应用(1)

定积分的应用

一 元素法

1．能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件

(1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关；(2) U 对于区间],[b a 具有可加性； (3) U 部分量i U ∆可近似地表示成i i x f ∆⋅)(ξ.

2．写出计算U 的定积分表达式步骤

(1) 根据问题，选取一个变量x 为积分变量，并确定它的变化区间[,]a b ； (2) 设想将区间[,]a b 分成若干小区间，取其中的任一小区间[,]x x dx +，

求出它所对应的部分量∆U 的近似值dx x f U )(≈∆( f x ()为[,]a b 上一连续函数)

则称

f x dx ()为量U 的元素，且记作dx x f dU )(=

。

(3) 以U 的元素dU 作被积表达式，以[,]a b 为积分区间，得()b

a U f x dx =

⎰

这个方法叫做元素法，其实质是找出U 的元素dU 的微分表达式)()(b x a dx x f dU ≤≤=

平面图形的面积

一、直角坐标的情形

由曲线 ()y f x = 与()y g x = 及直线x a =，x b =()a b <且所围成的图形面积A 。

()()b

a

A f x g x dx =-⎰

例 计算抛物线x y 22

=与直线4-=x y 所围成的图形面积。

解：选取

y 为积分变量，则 42≤≤-y ，

dy y y dA ]21)4([2-

+=，()42214182A y y dy -⎡⎤

=+-=⎢⎥⎣⎦

⎰

例 求椭圆122

22=+b

y a x 所围成的面积 )0,0(>>b a 。

解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍。

取x 为积分变量，则 a x ≤≤0， 221a x b y -=，dx a

x b ydx dA 22

1-==

故

04

()4a

a

A f x dx ==⎰⎰

作变量替换 t a x cos = )2

0(π

≤≤t ，得A ab π=

二、极坐标情形

设平面图形是由曲线 )(θϕ=r 及射线αθ=，βθ=所围成的曲边扇形。

曲边梯形的面积元素 θθϕd dA 2])([2

1

=，从而21()2A d βαϕθθ=⎰

例 计算心脏线r

a a =+>(cos )()10θ所围成的图形面积。

解： 由于心脏线关于极轴对称，2220

13

2(1cos )22

A a d a π

θθπ=+=⎰ 例

计算r θ=，2cos2r θ=围成图形的面积

解：交点5,66ππ⎛⎛

⎝⎭⎝⎭

)

2

4

6

06

1

1

2cos 222A dx dx π

ππ

θ

θ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎣

⎦

⎰⎰ 46061cos 2122cos 2244d d πππθθθθ⎡⎤-⎢⎥=+⎢⎥⎣⎦

⎰

⎰6π=+

体积

一、旋转体的体积

1）计算由曲线

y f x =()直线x a =，x b =及x 轴所围成的曲边梯形，绕x 轴

旋转一周而生成的立体的体积。

体积元素为[]dx x f dV 2

)(π=，所求的旋转体的体积为[]2

()b

a

V f x dx π=

⎰，

2）由曲线0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕y 轴旋转一周而生成的立体的体积。

2()b

a

V xf x dx π=⎰

3）由曲线)(y x ϕ=直线c y =，d y =及y 轴所围成的曲边梯形，绕y 轴旋转一周而生成的立体的体积。

体积元素为[]2

()dV y dy πϕ=，所求的旋转体的体积为[]2

()d

c

V y dy πϕ=

⎰

二、平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法 )

取定轴为x 轴， 且设该立体在过点a x =，b x =且垂直于x 轴的两个平面之内， 以

)(x A 表示过点x 且垂直于x 轴的截面面积。

体积元素为 dx x A dV )(=，该立体的体积为 ()b

a V A x dx =

⎰

例 计算椭圆122

22=+b

y a x 所围成的图形绕x 轴旋转而成的立体体积。

解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆22x a a

b

y -=及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所生成的立体。

解：在x 处)(a x a ≤≤-，用垂直于x 轴的平面去截立体所得截面积为

2

22)()(x a a b x A -⋅=π，(

)

22222

4

()3

a a

a a

b V A x dx a x dx ab a

ππ--==-=⎰⎰

例 计算摆线的一拱(sin )

(0,02)(1cos )x a t t a t y a t π=-⎧>≤≤⎨=-⎩