初高中数学衔接第一课绝对值
数学初高中衔接知识教案1 (相反数绝对值)
第一课时 相反数与绝对值教学目的：1．理解相反数与绝对值的定义及基本运算 2．能解相反数与绝对值有关的问题教学过程：一、知识点回顾：1.相反数：（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（2）数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。
（3）在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。
2.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩3.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．4.两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离5.取绝对值得几种方法：（1）平方法；（2）讨论法二、应用拓展：典型例题：1、（教材变型题）若4x -=，则x ＝__________；若30x -=，则x ＝__________；若31x -=，则x ＝__________.2、（易错题）化简(4)--+的结果为___________3、（教材变型题）如果22a a -=-，则a 的取值范围是 （ ）A 、0a >B 、0a ≥C 、0a ≤D 、0a <4、（创新题）代数式23x -+的最小值是 （ ）A 、0B 、2C 、3D 、55、(章节内知识点综合题)已知a b 、为有理数，且0a <，0b >，a b >，则 （ ）A 、a b b a <-<<-B 、b a b a -<<<-C 、a b b a -<<-<D 、b b a a -<<-<三、课后作业高一课后作业一（相反数）一、选择题1.有理数的绝对值一定是（ ）A.正数B.整数C.正数或零D.自然数2.绝对值等于它本身的数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.无数个3.下列说法正确的是（ ）A.—|a|一定是负数 B 只有两个数相等时它们的绝对值才相等C.若|a|=|b|，则a 与b 互为相反数D.若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数4.下列说法正确的是（ ）A.一个数的绝对值的相反数一定不是负数B.一个数的绝对值的相反数是负数C.一个数的绝对值一定是正数D.一个数的绝对值一定是非负数5.下列结论正确的是（ ） A.a 一定是正数 B.—c 一定是负数 C.—a 一定是正数 D.—a 一定是非正数6.如果a ＋b =0，则a 与b 的大小关系是（ ）A.a=b=0B.a 与b 不相等C.a 与b 互为相反数D.a.b 异号7.下列各数中，互为相反数的是（ ）A ．│－32│和－32 B.│－23│和－32 C ．│－32│和23 D.│－32│和32 8.下列几组数中是互为相反数的是 ( )Ａ ―17和0.7 B 13和―0.333 C ―(―6)和6 D ―14和0.25 9.一个数在数轴上所对应的点向左移6个单位后,得到它的相反数的点,则这个数是( )A 3B － 3C 6D －610.一个数是7,另一个数比它的相反数大3.则这两个数的和是 ( )A －3B 3C －10D 11二、填空1.如果a 的相反数是最大的负整数,b 的相反数是最小的正整数,则a+b= .2.a －2的相反数是3,那么, a= .3.一个数的相反数大于它本身,那么,这个数是 .一个数的相反数等于它本身,这个数是 ,一个数的相反数小于它本身,这个数是 .4. .a － b 的相反数是 .5.若果 a 和 b是符号相反的两个数,在数轴上a所对应的数和 b所对应的点相距6个单位长度,如果a=－2,则b的值为 .6、-（-3）的相反数是＿＿＿。
初中升高中数学.第一章 数与式 1.3 绝对值
1.3绝对值
衔接归纳
绝对值是中学阶段一个重要的概念,它的代数意义是:正数和0的绝对值是它本身,夫数的绝对值是它的相反数。
在数轴上,一个数对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值,这是它的几何意义.含绝对值的问题常包括:含一个或多个绝对值的方程、函数、不等式等.处理绝对值问题的关键是去掉(或添加)绝对值,有时也利用它的几何意义加以解决。
基础知识
1.绝对值的概念
(1)绝对值的定义:
(2)几何意义:一个数的绝对值表示这个数对应的点到原点的距离。
根据这样的几何意义,我们可以得到以下结论:设a是正数,则
，
2.含绝对值的方程、函数、不等式的处理方法
(1)解含绝对值问题的基本思想:
含绝对值的方程、函数、不等式不含绝对值的方程、函数、不等式
(2)脱去绝对值符号的方法有:
①化归法:|x|=a(a>0)化为x=±a;|a+b|=c(c>0)化为ax+b=±c;
②零点分段法:找绝对值为零的点,分段讨论;
③数形结合法;
④平方法:化为不含绝对值的方程或不等式
(3)解绝对值不等式常用以下等价变形: 1. 设a是正数,则
2.
3.
例题精讲
例1如果
求
例2
例3
变式训练1
例4
变式训练2
A. a>1
B.a<1
C.
D.。
2019年初升高数学衔接之数与式的运算
01数与式的运算高中必备知识点1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 典型考题【典型例题】阅读下列材料：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为21x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离；例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2±=x ．例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x +2|=3的解为 ；（2）解不等式：|x －2|＜6；（3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9；（4）解方程: |x -2|+|x +2|+|x -5|=15.【变式训练】实数在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简 .【能力提升】已知方程组的解的值的符号相同.(1)求的取值范围；(2)化简：. 高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．典型考题【典型例题】（1）计算：203212016(2)(2)2-⎛⎫-++-÷- ⎪⎝⎭（2）化简：2(2)(2)(2)a b a b a b +--- 【变式训练】计算：（1）0221( 3.14)(4)()3π--+--（2）2(3)(2)(2)x x x --+- 【能力提升】已知10x ＝a ，5x ＝b ，求：（1）50x 的值；（2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示）高中必备知识点3：二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如32a b ，等是无理式，而212x ++，22x y ++ 1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如，等等．一般地，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩典型考题【典型例题】计算下面各题．（1）2163)1526(-⨯-;（2-【变式训练】时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：+＝＝她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．【能力提升】先化简，再求值：(2a ba b-+-ba b-)÷a2ba b-+，其中高中必备知识点4：分式1．分式的意义形如AB的式子，若B中含有字母，且0B≠，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：A A MB B M⨯=⨯；A A MB B M÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像abc d+，2m n pmn p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．典型考题【典型例题】先化简，再求值22122()121x x x xx x x x+++-÷--+，其中x满足x2+x﹣1＝0．【变式训练】化简：22442x xy yx y-+-÷（4x2－y2）【能力提升】已知：112a b-=，则abbababa7222+---的值等于多少？专题验收测试题1．下列计算结果为a2的是（）A．a8÷a4（a≠0）B．a2•aC．﹣3a2+（﹣2a）2D．a4﹣a22．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab3．下列计算正确的是（）A．x2+x3=x5B．x2•x3=x5C．（﹣x2）3=x8D．x6÷x2=x34．下列计算正确的是（）A．a3+a4＝a7B．a4•a5＝a9C．4m•5m＝9m D．a3+a3＝2a65．下列几道题目是小明同学在黑板上完成的作业，他做错的题目有（）①a 3÷a ﹣1＝a 2②（2a 3）2＝4a 5③（12ab 2）3＝16a 3b 6④2﹣5＝132⑤（a +b ）2＝a 2+b 2 A ．2道 B ．3道C ．4道D ．5道 6．如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上时，则一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从1这点开始跳，则经过2019次跳后它所停在的点对应的数为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．57．下列计算中，正确的是A ．24±=B ．a a ≥C ．236·a a a =D ．211-=8．下列从左到右的恒等变形中，变形依据与其它三项不同的是（ ）A ．11111818183636⎛⎫⨯-=⨯-⨯ ⎪⎝⎭B ．2（x ﹣y ）＝2x ﹣2yC ．0.11010.33x x --= D ．a （b ﹣1）＝ab ﹣a9．下列运算正确的是（ ）A ．a 5﹣a 3＝a 2B ．6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝2xy 2C ．2212a 2a -= D ．（﹣2a ）3＝﹣8a 3 10．下列运算：其中结果正确的个数为（ ）①a 2•a 3＝a 6 ②（a 3）2＝a 6 ③（ab ）3＝a 3b 3 ④a 5÷a 5＝aA ．1B ．2C ．3D ．411．当a ，b 互为相反数，则代数式a 2+ab ﹣2的值为_____．12．已知a 2+2a=-2，则22(21)(4)a a a +++的值为________．13．计算：（﹣2）2019×0.52018＝_______．14．已知23x y =⎧⎨=-⎩是方程组23ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则a 2﹣b 2＝_____． 15．已知关于x 、y 的方程组31223x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩，则代数式32x •9y ＝___． 16．计算：（x ﹣y ）2•（y ﹣x ）3+（y ﹣x ）4•（x ﹣y ）＝_____．17．张老师在黑板上布置了一道题：化简：2(x ＋1)2－(4x －5)，并分别求出当x ＝和x ＝－时代数式的值．小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说得对？并说明理由．18．先化简，再求值：(x +2)(x ﹣2)+(2x ﹣1)2﹣4x (x ﹣1)，其中x ＝319．已知a+1a＝3（a ＞1），求242241111()()()()a a a a a a a a -⨯+⨯+⨯-的值． 20．请你将下式化简，再求值：（x +2）（x ﹣2）+（x ﹣2）2+（x ﹣4）（x ﹣1），其中x 2﹣3x ＝1． 21．已知一组有规律的等式，它的前三项依次为：22334422,33,4112233⨯=+⨯=+⨯=+4，…， （1）写出第5个等式；（2）写出第n 个等式，并证明该等式成立．22．老师在黑板上写出三个算式:32-1=8×1，92-52=8×7，132-72=8×15。
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绝对值
初中知识回顾
1. 绝对值的代数意义：
a , a 0, | a | 0 , a 0,
a , a 0.
2. 绝对值的几何意义： 一个数的绝对值，是数轴上表示它的 点到原点的距离．如 a 1 a 1
高中知识衔接
a b 表示数轴上a,b两点间的距离.
x a x b 表示数轴上x到a的距离与x到b的距 离之和.
分析：
由绝对值的意义可知，已知 x 3, y 4 ，
可求得 x 3, y 4 ， 从而进一步求出 x y 的值.
解：因为 x 3, y 4 ，所以 x 3, y 4 . 当 x 3, y 4 时， x y 3 4 7 ； 当 x 3, y 4 时， x y 3 (4) 1； 当 x 3, y 4 时， x y (3) 4 1； 当 x 3, y 4 时， x y (3) (4) 7.
变式训练1：解不等式： x 3 1.
解不等式 x 1 x 3 4
找零点，分范围
为了利用绝对值的定义去绝对值符号， 要判断两个绝对值符号内数值的正负，可以 找出它们的临界点（零点），按零点将数轴 分段，再在各段内进行分类讨论.
巩固训练：| 2x 1| | x 2 | 4
例3. 已知： x 3, y 4 ，求 x y 的值.
分析：
当 a 为正数时，a a 1；当 a 为负数时，a a 1.
aa
a a
b 、 c 的情况类似.本题应根据 a 、b 、 c 所有可能出现 的符号情况进行讨论.
Hale Waihona Puke 本讲内容到此结束。 谢谢大家！
结束语
谢谢大家聆听！！！
18
小结
在解答某些数学问题时，有时会遇到 多种情况，这时需要对各种情况加以分类， 并逐类求解，然后综合得解，这就是分类 讨论．分类讨论是一种重要的数学思想， 同时也是一种重要的解题策略.
数学 初高中衔接 学案 第一讲 绝对值
第一讲 绝对值【学习目标】1．借助数轴，理解绝对值的概念.2. 理解绝对值的代数意义，能根据条件化简绝对值.3. 通过图形的探索理解绝对值的几何意义，渗透数形结合的思想.【重点难点】绝对值的代数意义与几何意义应用，解含有绝对值的方程和不等式.【自主学习过程】知识提炼：1. 绝对值的代数意义：正数的绝对值是 ，负数的绝对值是 ,0的绝对值是 . 即⎪⎩⎪⎨⎧=a2. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到 的距离．3.绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是 ，即|x|≥0，绝对值最小的数是 .2. 任何数都有唯一的绝对值，并且任何数都不大于它的绝对值，即x |x|.3. 若两个数的绝对值相等，则这两个数 .【典例分析】例1 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A ．2a+3b-cB ．3b-cC ．b+cD ．c-b变式训练1 已知a ＜-2＜0＜b ＜2，去掉下列各式的绝对值符号： .1)3(,)2(,2)1(++-a bb a a例2 解不等式：|1|4x ->变式训练2 解不等式：(1) |5|5x +<(2) |3|20x -+>例3 解方程：|1||3|4x x -+-=变式训练3（1.） 如果||||5a b +=，且1a =-，则b = ；若|1|2,c -=则c = . （2.）解方程|2||4|8x x -++=.【课堂达标评价】1、 下列说法不正确的是（ ）.A. 有理数的绝对值一定是正数B. 数轴上的两个有理数，绝对值大的离原点远C. 一个有理数的绝对值一定不是负数D. 两个互为相反数的绝对值相等2. 若a 为任意实数，则下列式子中一定成立的是( )．A ．|a|＞0B ．|a|＞a C. a a 1> D. 01>+a3. 已知数轴上的三点A,B ，C 分别表示有理数a ,1,-1,那么1+a 表示（ ）.A. A,B 两点的距离B. A,C 两点的距离C. A,B 两点到原点的距离之和D. A,C 两点到原点的距离之和4. 如果有理数y x ,满足012)1(2=+-+-y x x ，则=+22y x .5. 解下列方程或者不等式：（1）512=+x ； （2）021=+--x x ； （3）32≥-x .第一讲 绝对值 课后作业1. 已知a 为有理数，下列式子一定正确的是（ ）.A ．︱a ︱＝aB ．︱a ︱≥aC ．︱a ︱＝－aD ． 2a ＞02. 下列不等式变形正确的是（ ）.A.由a<b ，得a-2>b-2B.由a<b ，得-2a>-2bC.由a<b ，得∣a ∣<∣b ∣D.由a<b ，得a 2<b 2 3. x =y ，那么x 和y 的关系 .4. 已知=+-=-==b a a b b a b a 那么且,,3,5 .5. 解下列方程或者不等式：（1）713=-x ； （2）135≤+x ； （3）238=+--x x .6. 化简：(1)|x+1|+|x-2|; (2)|1-3x|+|1+2x|．。
初高中数学衔接知识总汇
初高中数学衔接知识总汇(总68页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章 数与式的运算1、1 绝对值知识清单1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零，即(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。
3.两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离。
4.两个重要绝对值不等式：a x a x a a x a x ＞或＜）＞（＞，＜＜）＞（＜-⇔-⇔0a x 0a a问题导入：问题1：化简：（1）：12-x （2) : 31-+-x x问题2：解含有绝对值的方程（1）642=-x ; （2）: 5223=--x问题3：至少用两种方法解不等式 41＞-x知识讲解例1：化简下列函数，并分别画出它们的图象：（1）x y =; （2）32+-=x y .例2：解不等式：431＞-+-x x巩固拓展：1.（1）若等式a a -= , 则成立的条件是----------（2）数轴上表示实数 x 1,x 2 的两点A,B 之间的距离为--------2.已知数轴上的三点A,B,C 分别表示有理数a ，1，-1，那么1+a表示（ ）A 、 A,B 两点间的距离 B 、 A,C 两点间的距离C 、 A,B 两点到原点的距离之和D 、 A,C 两点到原点的距离之和3.如果有理数x ，y 满足()01212=+-+-y x x ，则=+22y x ______ 4.化简：（1）3223+=-x x ; （2）31--x5.已知 x= -2是方程612-=--m x 的解，求m 的值。
6.已知a ，b ，c 均为整数，且 1=-+-a c b a ,求: c b b a a c -+-+-的值方法指导学习本节知识，要充分领会绝对值的代数意义，从数和形两方面去研究，体会分类讨论与数形结合的两种数学思想方法。
初高衔接课程1 绝对值、二次根式、分式运算
(一)绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1、 解不等式：|x |1≥ 例2、 解不等式：|1|2x -≤ 你自己能总结出一般性的结论吗?例3、解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0； ②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4， ∴不存在满足条件的x ； ③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4．1A 0 C |x －1||x －3|图1．1－1练习1．填空题：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________ 2．选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．4．解下列不等式： （1）3233x x ++-≥（2）134x x +-->-（二）二次根式（1）0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b212x ++，22x y + 1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，等等． 一般地，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2的意义a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥； （30)x <．解： （1=（20)a ==≥；（3220)x x x ==-<．例2 (3．解法一： (3)解法二：(3)＝12．例3试比较下列各组数的大小：（1（2.解：（11===，1110=，>（2）∵1===又4＞22，∴6＋4＞6＋22，.练习：1．将下列式子化为最简二次根式：（1（22．3．（三）二次根式（2）例4 化简：20042005⋅．解：20042005⋅＝20042004⋅⋅＝2004⎡⎤⋅-⋅⎣⎦＝20041⋅-例 5 化简：（1 （21)x <<．解：（1）原式===2=2=．（2）原式1x x =-，∵01x <<， ∴11x x>>， 所以，原式＝1x x-．例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值 ．解： ∵2210x y +==+=，1xy ==， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练习1．填空题：（1＝__ ___；（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（3）__ ___；（4）若x ==______ __．(5)=成立的条件是 。
初高中数学衔接课程教案3.1绝对值⑴
§3.1 绝对值⑴同学们,大家好:今天和大家一起来学习绝对值第1课.我们在初中学过绝对值的定义,大家还记得吗？绝对值定义:正数的绝对值是正数,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即 |a|=⎩⎨⎧a ，a ≥0－a ，a<0,如|3.2|=3.2,|－2.9|=2.9,|0|=0. 注意:这里是将a 分成两种情况,a ≥0或a<0,各得到一个结果.不能理解为|a|有两个结果,一定不要写成|a|=±a.我们还学过绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示这个数的点到原点的距离.求解绝对值问题的常用方法:⑴运用绝对值定义分类讨论;⑵根据绝对值的几何意义,或函数的图象,利用数形结合解题;⑶利用平方去绝对值.例1 解方程:⑴|x －2|=3 ⑵|x+1|=|2x －3|解法1(分类讨论):⑴|x －2|=3⇔x －2=3或x －2=－3,∴x 1=5, x 2=－1.⑵|x+1|=|2x －3|⇔x+1=2x －3或x+1=－(2x －3),∴x 1=4, x 2=－23. 解法2(平方法):⑴|x －2|=3⇔(x －2)2=32,整理得x 2－4x －5=0,解此一元二次方程得x 1=5, x 2=－1.⑵|x+1|=|2x －3|⇔(x+1)2=(2x －3)2,整理得3x 2－14x+8=0,解此一元二次方程得x 1=4, x 2=－23. 注:1.绝对值方程解法:⑴|x|=a(a>0)⇔x=a 或x=－a;⑵|f(x)|=a(a>0)⇔f(x)=a 或f(x)=－a;⑶|f(x)|=|g(x)|⇔[f(x)]2=[g(x)]2.这里f(x),g(x)表示含x 的代数式.例2 解不等式:⑴|x|<2⑵|x|≥3解法1(分类讨论): ⑴若x ≥0,则x<2,取0≤x<2;若x<0,则－x<2,即x>－2,取－2<x<0.∴原不等式的解－2<x<2.⑵若x ≥0,则x ≥3;若x<0,则－x ≥3,即x ≤－3,∴原不等式的解x ≤－3或x ≥3. 解法2(利用绝对值的几何意义解题)⑴|x|<2,就是数轴上表示x 的点到原点距离小于2,∴原不等式的解－2<x<2.⑵|x|≥3,就是数轴上表示x 的点到原点距离大于或等于3,∴原不等式的解x ≤－3,或x ≥3.例3 解不等式:⑴|x －1|>3 ⑵|x+1|<|2x －3|⑴解: |x －1|>3⇔x －1<－3或x －1>3,∴原不等式的解x<－2或x>4.⑵分析:因为此题含有两个绝对值,要对绝对值内“整体”的正负进行分类讨论,去掉绝对值.解法1:由x+1=0得,x=－1,由2x －3=0得x=32. 若x<－1,则x+1<0,2x －3<0,原不等式化为－(x+1)<－(2x －3),解得x<4,取x<－1.若－1≤x<32,则x+1≥0,2x －3<0,原不等式化为x+1<－(2x －3),解得x<23,取－1≤x<23. 若x ≥32,则x+1>0,2x －3≥0,原不等式化为x+1<2x －3,解得x>4,取x>4. ∴原不等式的解x<23,或x>4. 分析:此题已知两个绝对值的大小,也可以两边平方,去掉绝对值.解法2: |x+1|<|2x －3|⇔(x+1)2<(2x －3)2,整理得3x 2－14x+8>0,此不等式称为一元二次不等式,我们将在后面专门学习此类不等式的解法.注:2.绝对值不等式解法:⑴|x|<a(a>0)⇔－a<x<a; |x|>a(a>0)⇔x<－a或x>a⑵|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a; |f(x)|>a(a>0)⇔f(x)<－a或f(x)>a;⑶|f(x)|<|g(x)|⇔[f(x)]2<[g(x)]2; |f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2.小结:本节课我们一起研究了绝对值的定义、绝对值的几何意义,重点是含绝对值的方程和不等式的解法:1.利用绝对值定义分类讨论:⑴|x|=a(a>0)⇔x=a或x=－a;⑵|f(x)|=a(a>0)⇔f(x)=a或f(x)=－a;2.利用绝对值的几何意义,数形结合求解:⑶|x|<a(a>0)⇔－a<x<a; |x|>a(a>0)⇔x<－a或x>a⑷|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a; |f(x)|>a(a>0)⇔f(x)<－a或f(x)>a;3.利用平方法,去绝对值:⑸|f(x)|=|g(x)|⇔[f(x)]2=[g(x)]2.⑹|f(x)|<|g(x)|⇔[f(x)]2<[g(x)]2; |f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2.一定要注意,式子两边要“同正”,才能平方.如|x|=－2,此题无解,但如果两边平方,得x2=4,此式有解,矛盾.错误原因是原式两边异号,是不相等的,平方后,两边同正,反而相等了,导致错解.下面给大家留一份课后练习,请大家及时完成,下节课我们先讲评练习.。
初三升高一数学衔接教学教案——初三知识汇总,高一数学提前预习(教师版教案)
第二讲 函数与方程——一元二次方程练习题
（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况 是（ ） （A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程 的实数根． （1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
第一讲 数与式
1．2 分解因式
初中升高中数学衔接
初中数学知识汇总，高一数学提前预习
第一讲 数与式
1．2 分解因式
第一讲 数与式
1．2 分解因式
第一讲 数与式
1．2 分解因式
初中升高中数学衔接
初中数学知识汇总，高一数学提前预习
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
第二讲 函数与方程
第一讲 数与式
1.1.3．二次根式第源自讲 数与式1.1.3．二次根式
第一讲 数与式
初高中数学衔接知识一-绝对值
2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离
0
a
数形结合的思想
两个数的差的绝对值的几何意义：|a-b|表示在数轴上，数a与数b相应点 之间的距离
0
a
b
典例 1 、 (1)已知 x a, 则 x a ( A、 0或2a B、 2a C、 2a ) D、 0
(2)若 a 5, b 3, 且 a b b a, 那么a b
初高中数学衔接一
绝对值的问题
知识回顾
1、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反 数,零的绝对值仍是零.即
a
a ( a 0） 0 ( a 0) a ( a 0) a ( a 0） a ( a 0)
分类讨论的思想
(3)若a、b、c为整数，且a b 那么c a a b b c
(4)若a、b、c都是负数，且x a y b z c 0, 则xyz是（ A、正数 B、非负数 C、负数 D、非整数 )
19
ca
99
1
典例2、
1、已知0 a 4, 那么a 2 3 a 的最大值 。
3、 a b 2a b (a b )( a a b b ) 2a b (a b 0)
6 6 3 3 2 2 4 2 2 4 3 3
例4、解方程。 1 、 x 2 2x 1 7
2、 3x 2 x 1 x 2
例5、解绝对值不等式。 (1) 3x 5 3 4
2、若0 p 15, x p x 15 x p 15 在p x 15时的最小值是（ A、 30 B、 0 C、 15 D、一个与p有关的代数式
江苏省启东中学高一数学衔接教材学案：第一讲 绝对值
衔接教材 第一讲 绝对值第1课时 绝对值的含义 主备人：杨黄健学习目标：理解绝对值的含义，会处理含绝对值的不等式。
学习重点：.会用两种方法解含绝对值的不等式。
学习难点：绝对值问题的处理方法。
学习过程：一、温故链接 导引自学1．绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 。
2．绝对值的几何意义： 。
3．两个数的差的绝对值的几何意义： 。
二、交流质疑 精讲点拨例1 如果|x －2|＋(x －y ＋3)2＝0，求(x ＋y)2的值．例2当|x|＝x ＋2时，求代数式19x 2 016＋3x ＋27的值．例3解不等式：||x －1＋||x －3＞4. 解法一：（零点分段法）解法二：（绝对值的几何意义）变式训练：解不等式: |x－5|－|2x－13|> x＋1．当堂反馈：1. 下列叙述正确的是()A. 若|a|＝|b|，则a＝bB. 若|a|＞|b|，则a＞bC. 若a＜b，则|a|＜|b|D. 若|a|＝|b|，则a＝±b2. |a－b|＝|a|＋|b|成立的条件是()A. ab＞0B. ab＞1C. ab≤0D. ab≤13. 若a＜－8，则|6－（a＋1）2|等于()A. 5－aB. －a－7C. a＋7D. a－54. 如果|a|＋|b|＝5，且a＝－1，那么b＝________；如果|1－c|＝2，那么c＝________．5. 若|x＋y－1|与|x－y＋3|互为相反数，则(x＋y)2 017＝________．6. 若x＜－4，则|2－|2＋x||＝________．7. 已知A，B为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1) |A＋B|＝|A|＋|B|;(2) |AB|＝|A||B|；(3) |A－B|＝|B－A|；(4) 若|A|＝B，则A＝B；(5) 若|A|<|B|，则A<B.8. 已知|a|＝5，|b|＝3，且|a＋b|＝|a|＋|b|，求a＋b的值．9. 若|x|＝5，|y|＝3，且|x－y|＝y－x，求(x＋y)|x＋y|的值．10. 解不等式：|x＋2|＋|x－3|<7.11. 已知a ，b 都是非零实数，求a |a|＋|b|b ＋ab |ab|的所有取值．12. 若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为－53<x<13，求a 的值．第2课时含绝对值的方程和函数学习目标：会解含绝对值的方程，会处理含绝对值的函数问题。