概率统计全国卷真题汇总及基础练习题

【2011山东高考】某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据数据可得回归

方程a x b y

ˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为？ （A ）63.6 万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元

【基础难度】东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x （单位：年， *x N ∈）和所支出的维护费用y （单位：万元）厂家提供的统计资料如下：

（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy

bx a =+； （2）若规定当维护费用y 超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论预测该批空调使用年限的最大值.

参考公式：最小二乘估计线性回归方程ˆˆˆy

bx a =+中系数计算公式： ()112

2

2

1

1

()()

ˆn n

i i i i i i n

n

i i i i x x y y x y nxy b x x x nx

====---==

--∑∑∑

∑

， ˆˆa

y bx =- 解：（1）1234535x ++++=

=， 677.5897.55

y ++++== 5

2

222221

()

(13)(23)(33)(43)(53)10i

i x x =-=-+-+-+-+-=∑

()()()()()()()()()()()5

1

()1367.52377.5337.57.54387.55397.57

i

i

i x x y y =--=--+--+--+--+--=∑

()()()

12

17ˆ70.10n

i i i n i i x x y y b x x ==--===-∑∑ 7.5ˆˆ0.73 5.4a y bx =-=-⨯= 故线性回归方程为0.7.4ˆ5y

x =+ （2）当维护费用y 超过13.1万元时，即0.7 5.413.1x +> 11x ∴>

∴从第12年开始这批空调必须报废，该批空调使用年限的最大值为11年.

【基础难度】某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行

试销，得到一组销售数据(x i ,y i )(i=1,2,3,4,5,6)如表所示,且已知80y =。

（1）求q 的值

（2）已知变量x,y 具有线性相关性，求产品销量y 关于试销单价x 的线性回归方程ˆ

ˆˆy

bx a =+ 可供选择的数据6

6

21

1

3050,271

i

i

i i i x y

x ====∑∑

（3）用ˆy 表示（2）中所求的线性回归方程得到的与x i

对应的产品销量的估计值。当销售数据(x i ,y i )(i=1,2,3,4,5,6)对应的残差的绝对值ˆ

1i i y y -≤时，则将销售数据(x i ,y i )称为一个“好数

据”。试求这6组销售数据中的 “好数据”。

参考数据：线性回归方程中ˆˆ,b a 的最小二乘估计分别是 ()

1

2

21

ˆˆˆ,n

i i

i n

i i x y nx y

b

a

y bx x n x

==-==--∑∑ 解：（1）806

68

75808384=+++++=

q y 90=∴q

（2）2

136987654=+++++=

x 42136271213

80630502

-=⎪

⎭

⎫

⎝⎛-⨯

⨯-=∴∧

b 106213)4(80=⨯--=∴∧a 1064+-=∴∧

x y （3）1064+-=∧

x y

10|9090|||,9010641111<=-=-=+-=∴∧

∧y y x y ，所以()90,4),(11=y x 是好数据； 12|8486|||,8610642222>=-=-=+-=∧

∧y y x y ，所以()84,5),(22=y x 不是好数据

1

1|8283|||,8210643333==-=-=+-=∧

∧

y y x y ，所以()83,6),(33=y x 是好数据

12|8078|||,7810644444>=-=-=+-=∧

∧

y y x y ，所以()80,7),(44=y x 不是好数据

1

1|7475|||,7410645555==-=-=+-=∧

∧

y y x y 所以()75,8),(55=y x 是好数据 1

2|6870|||,7010646666>=-=-=+-=∧

∧

y y x y 所以()68,9),(66=y x 不是好数据

所以好数据为)75,8()68,6(),90,4(，

【基础难度】某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各

类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有

10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．

（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：

若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值． 附：相关系数公式

∑∑∑===----=

n

i i

n

i i

n

i i

i

y y x x y y x x r 1

2

1

2

1

)

()()

)((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈

解：（1）由已知数据可得2456855x ++++=

=，34445

45

y ++++==．…………………1分

因为

5

1

()()(3)(1)000316i

i

i x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑

，

(2)

分

，

52310)1()3()

(222225

12

=+++-+-=-∑=i i

x x …………………3分

==…………………………4分 所以相关系数()()

0.95n

i

i x

x y y r --=

=

=

≈∑…………5分

因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． ………………6分