二次函数与最值问题专题讲座
微专题2二次函数的最值问题 课件(14张)
微专题2 二次函数的最值问题
与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点，其可以较 全面的体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养．本专题主要训练 几种常见的二次函数最值的求解方法．
类型 1 不含参数的二次函数最值问题 【例 1】 已知函数 f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量 x 在下列范围内 取值时，求函数的最大值和最小值． (1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．
t2＋1，t&1， t2－2t＋2，t>1.
类型 3 与二次函数有关的恒成立、能成立问题 【例 4】 已知二次函数 g(x)＝mx2－2mx＋n＋1(m>0)在区间[0,3] 上有最大值 4，最小值 0. (1)求函数 g(x)的解析式； (2)设 f(x)＝gxx－2x，若 f(x)－kx≤0 在 x∈81，8时恒成立，求实数 k 的取值范围．
图①
图②
(2)当 0≤a<1 时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)
＝3－4a.
(3)当 1≤a≤2 时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0) ＝－1.
图③
图④
(4)当 a>2 时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝ －1.
[解] (1)∵g(x)＝m(x－1)2－m＋1＋n， ∴函数 g(x)图象的对称轴方程为 x＝1.又∵m>0， ∴依题意得gg13＝ ＝04， ， 即3－mm＋＋1＋1＋n＝n＝4，0， 解得mn＝＝01.， ∴g(x)＝x2－2x＋1.
(2)∵f(x)＝gxx－2x，∴f(x)＝x＋1x－4. ∵f(x)－kx≤0 在 x∈18，8时恒成立，即 x＋1x－4－kx≤0 在 x∈ 18，8时恒成立， ∴k≥1x2－4x＋1 在 x∈81，8时恒成立．
二次函数的最值问题课件
顶点法
总结词
利用二次函数的顶点坐标求最值。
详细描述
根据二次函数的顶点公式$(h, k)$，代入原函数求出最值。当$a > 0$时，函数有最小值；当$a < 0$时，函数有 最大值。
导数法
总结词
通过求导数判断函数的单调性，进而 找到最值点。
详细描述
对二次函数求导得到$f'(x) = 2ax + b$，令导数等于0得到临界点$x = frac{b}{2a}$，通过判断单调性找到最 值点。
复杂的二次函数最值问题
总结词
运用配方法或公式法求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以通过配方法或公式法求出最值 。配方法是通过配方将二次函数转化为顶点式，再利用顶 点式求最值；公式法是利用公式直接求出二次函数的最值 。
总结词
利用导数求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以利用导数求出函数的极值点， 再根据极值点的位置和函数的单调性判断最值的位置，从 而求出最值。
总结词
结合实际背景求解
详细描述
对于实际应用中的二次函数最值问题，需要结合实际背景 进行分析。例如，在物理学中，可以利用二次函数的最值 求解物体的最大速度、最小压力等；在经济学中，可以利 用二次函数的最值求解成本最低、利润最大等问题。
06
总结与思考
二次函数最值问题的总结
定义与性质
二次函数最值问题主要研究的是 二次函数在特定条件下的最大值 或最小值。这些条件可能包括函 数的开口方向、顶点位置、定义
详细描述
二次函数是数学中常见的一种函数形式，其一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。a决定了抛 物线的开口方向和宽度，b决定了抛物线的左右位置，c决定 了抛物线的上下位置。
(完整)二次函数最值课件公开课ppt
∴ 花圃宽为（24－4x）米 问题2：当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
⒊会用二次函数表示实际问题中的函数关系来求实际问题中最值。
＝－4x2＋24 x （0<x<6）
(2)当x＝ 时，S ＝ ＝36（平方米） ⑵二次函数
面积为y ，由题意得：
西寨初级中学
⒈掌握二次函数的图象与性质。
⒉会求二次函数顶点坐标，并会根据顶点 坐标求最值。
⒊会用二次函数表示实际问题中的函数关 系来求实际问题中最值。
1.形如y= ax²+bx+c c、a是≠0常数，且
做y关于x的二次函数。
(a、b、 )的函数叫
2.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)
①开口方向:当a>0时,_开_口_向__上_,当a<0时,开__口_向__下;
(1,-5)
1：已知二次函数y=2x²-4x-3， （2）若2≤X≤5，求y的最值。
(5,27)
（2，-3） (1,-5)
1：已知二次函数y=2x²-4x-3
（3） 若-1≤X≤5，求y的最值。
(5,27)
(-1,3)
(1,-5)
在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔 有二道篱笆的长方形花圃，
b
图象的顶点坐
3
2 a ∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
最大值
4ac b 2 4a
(3) ∵墙的可用长度为8米
A
D
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米 B
九下数学课件利用二次函数解决实际问题中的最值问题(课件)
【归纳总结】
最大值问题的一般步骤：
（1）利用应用题中已知条件和学过有关数学公式列出关系数；
（2）把关系式转化为二次函数的关系式；
（3）求二次函数的最大值或最小值.
知识点一 根据文字语言解决问题
【变式1】某工厂2019年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长
率为x(x＞0)，设2021年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数表达式为
解：设药店每天获得的利润为W元，由题意得
W＝(x－50)(－2x＋220)＝－2(x－80)2＋1 800.
∵－2＜0，
∴当x＝80时，W有最大值，最大值是1 800.
答：每桶消毒液的销售价定为80元时，药店每天获得的利润最大，最
大利润是1 800元．
知识点二 根据函数的图像解决问题
【变式2】一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场
k＝－500，
解得
5k＋b＝9 500，
b＝12 000.
∴y＝－500x＋12 000.
知识点二 根据函数的图像解决问题
(2)在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销
售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价
分别为多少？
解：根据“在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于 15 元/
随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售
策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销
售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70，且x为整
数)．
(1)写出y与x的函数表达式；
知识点二 根据函数的图像解决问题
高一数学单元知识点专题讲解5---二次函数的最值问题
1/4
【例 3】当 x ≥ 0时，求函数 y = −x(2 − x)的取值范围．
解：作出函数 y = −x(2 − x) = x2 − 2x 在 x ≥ 0 内的图象．
可以看出：当 x = 1时， ymin = −1，无最大值． 所以，当 x ≥ 0时，函数的取值范围是 y ≥ −1．
【例 4】当t ≤ x ≤ t +1时，求函数 y = 1 x2 − x − 5 的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于 x 所给的范围随着t 的变化而2变化，所以2需要比较对称轴与其范围的相对位置．
ymax = 37
当 时， ；当 时， ． (2) a ≥ 0 ymax = 27 + 10a a < 0 ymax = 27 −10a
． ． 2 −2 ≤ m ≤ −1 ． ． 3 a = 2,b = −2
4． a = − 1 或 a = −1． 4
5．当t ≤ 0 时， ymax = 2 − 2t ，此时 x = 1；当t > 0 时， ymax = 2 + 2t ，此时 x = −1．
解：函数 y = 1 x2 − x − 5 的对称轴为 x = 1．画出其草图．
2
2
(1) (2)
当对称轴在所给范围左侧．即t 当对称轴在所给范围之间．即t
> 1时：
当 时， x = t
ymin
时： ≤ 1 ≤ t + 1 ⇒ 0 ≤ t ≤ 1
=
1 t2 2
−t
−
5 2
；
(3)
当当对x称=轴1时在，所给ym范in 围= 右12 ×侧1．2 −即1t−+521
； (1) y = 2x2 − 4x + 5
二次函数的最值与应用学习二次函数的最值性质及其在实际问题中的应用
二次函数的最值与应用学习二次函数的最值性质及其在实际问题中的应用二次函数的最值与应用二次函数是高中数学中一个非常重要的概念，在学习二次函数的最值性质及其在实际问题中的应用之前，我们首先需要了解二次函数的基本形式和性质。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0，x、y为变量。
在此基础上，我们将深入探讨二次函数的最值及其在实际问题中的应用。
一、二次函数的最值性质二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项的系数a的正负决定。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
对于一个二次函数而言，其最值即为函数的最大值和最小值。
1. 最值存在性对于二次函数y=ax^2+bx+c，当抛物线开口向上时，函数存在最小值；当抛物线开口向下时，函数存在最大值。
即最值存在性与a的正负相关。
2. 最值点的横坐标对于二次函数y=ax^2+bx+c，最值点的横坐标可以通过计算二次函数的自变量x的取值来确定。
最值点的横坐标为二次函数的顶点，顶点的横坐标为-x轴的对称轴，即x=-b/2a。
3. 最值点的纵坐标最值点的纵坐标可通过将最值点的横坐标代入二次函数中求得。
将x=-b/2a代入二次函数y=ax^2+bx+c中，可以求出最值点的纵坐标。
二、二次函数最值的应用二次函数的最值性质在实际问题中具有广泛的应用。
下面将介绍二次函数最值的几个常见应用场景。
1. 最值问题通过研究二次函数的最值性质，可以解决许多涉及最值问题的实际情况。
例如，我们要抛掷一个物体，求出其最高点的高度以及达到最高点时的时间。
可以建立一个关于时间的二次函数模型，然后通过最值性质计算出最高点的高度和达到最高点的时间。
2. 优化问题在实际生活中，许多问题可以通过优化函数来解决。
例如，我们要制造一个容积为V的长方体包装盒，为了节省材料成本，我们想使包装盒的表面积最小。
可以建立一个关于长方体各边长的二次函数模型，然后通过最值性质求解出使表面积最小的边长。
初升高数学衔接班第6讲——二次函数的最值问题
初升高数学衔接班第6讲——二次函数的最值问题初升高数学衔接班第6讲——二次函数的最值问题一、学习目标：1.会求自变量在某个范围内取值时二次函数的最值。
2.了解二次函数最值问题在实际生活中的简单应用，能建立二次函数模型，从而解决实际问题。
二、学习重点：会求二次函数在给定区间上的最值问题三、新课讲解：［旧知复习］对于二次函数当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．［新知探秘］二次函数的图象和性质二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）具有下列性质：（1）当a＞0时，函数图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当时，函数取最小值y=．（2）当a＜0时，函数图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x=时，函数取最大值y=．【典型例题】例1.求二次函数y=－3x2－6 x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小），并画出该函数的图象。
思路导航：借助二次函数的图象，能够很好地得出函数的性质解：∵y=－3x2－6x＋1=－3（x＋1）2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x=－1；顶点坐标为（－1，4）；当x=－1时，函数y取最大值y=4；当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小。
点津：函数的图象，能够直观地刻画出变量间的对应关系，使得函数的有关性质明显地从图形上反映出来，因此，很多问题的解决，如果能借助于函数的图象，往往起到事半功倍的效果。
【直击高中】（一）求一元二次函数的最值例2.求一元二次函数的最值思路导航：在求一元二次函数的最值时，如果函数的表达式不宜配方，我们可以先判断函数图象的开口方向，再把二次函数顶点的横坐标值代入表达式，得到相应的最值解：因为函数的图象开口向下，所以函数有最大值，无最小值又该函数顶点的横坐标为，代入表达式，得函数的最大值为点津：二次函数求最值，除配方法、顶点法外，还可直接用公式法，即先判断二次项系数的正负，再把对应的系数代入求出最值。
二次函数最值公开课课件
在求二次函数的最值时，需要先 确定函数的定义域，然后根据定
义域的范围来求解最值。
例如，对于函数$f(x) = x^2 2x$，其定义域为$x in [-1, 3]$ ，在这个范围内，函数的最小值
为-1，最大值为9。
极值点的判断
二次函数的极值点是其导数为0的点，这些点是函数增减性的转折点。
在求二次函数的最值时，需要先找到函数的极值点，然后根据这些点的 位置和函数增减性来判断最值的取舍。
二次函数最值的概念是数学中的一个基本概念，它是指一个 二次函数在某个区间内的最大或最小值。这个最大或最小值 可以是函数的顶点，也可以是函数的端点，或者是函数在某 个点的突变点。
二次函数最值的类型
总结词
二次函数最值的类型包括最大值、最小值和鞍点。
详细描述
二次函数最值的类型主要有三种，分别是最大值、最小值和鞍点。最大值和最 小值是指函数在某个区间内的最大和最小值，而鞍点则是指函数在某个点的左 右两侧单调性相反的点。
ห้องสมุดไป่ตู้
CHAPTER
02
二次函数最值的求法
配方法
通过配方将二次函数转化为顶点式，从而找到最值。
将二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$进行配方，得到$f(x) = a(x - h)^2 + k$的形式，其中$(h, k)$为函数的顶点。根据二次函 数的性质，函数的最值出现在顶点处，因此可以直接得出最值。
对二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$ 求导得到$f'(x) = 2ax + b$。令$f'(x) = 0$，解得$x = -frac{b}{2a}$。分析 导数的符号变化，确定函数的单调区 间，从而找到最值。
高中数学《二次函数在闭区间上的最值问题》省公开课一等奖全国微课优质课特等奖PPT课件
15
（3）若x∈[ , ]，求函数f(x)最值；
22 （4）若x∈[ 1 , 3 ]，求
y
22
函数f(x)最值；
三、知识深化，拓展研究
例1中将知识进行深化、迁移
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
（5）若 x∈[t，t+2]时， 求函数f(x)最小值.
第7页
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)最值；
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)最值；
22 （4）若x∈[ 1 , 3 ]，求
y
22
函数f(x)值；
（5）若x∈[t，t+2]时， 求函数f(x)最小值.
t
t +2
–1 0 1 2 3 4 x
二次函数在闭区间上最值问题
潼关县潼关中学 郭 传 涛
第1页
（请学生回答）
【教学过程】 一、复习旧知，导入新课
1、二次函数图像是什么形状？ 2、二次函数性质有哪些? 3、二次函数普通式怎样转化为顶点式？
上节课我们学习了定义域为实数函数最 值问题。假如我们碰到指定闭区间上函数求最值或 值域应该怎样来做，这节课我们来研究这个问题。
（2）当 t+2＞1且t＜1，即 -1＜t＜1 时 对称轴在区间内，
∴ 当 x=1时，f(x)取得最小值f(1)=-4. .（3）当 t≥1时，函数f(x)在【t，t+2】上为增函数
∴ 当 x=t 时， f(x)取得最小值f(t)=t2-2t-3.
总而言之: 当t≤ -1时，函数最小值为f(t+2)= t2+2t-3. 当-1＜t＜1时，函数最小值为f(1)= -4. 当t ≥ 1时，函数最小值为f(t)=t2+2t-3.
第8讲：二次函数(专题讲座)
（聚焦2008）第8讲：二次函数专题讲座（一）二次函数的解析式的三种形式（1）标准式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；（2）顶点式：y=a （x+m ）2+n （a ≠0）；（3）两根式：y=a （x －x 1）（x －x 2）（a ≠0）【例1】已知二次函数y=f （x ）同时满足条件：（1）f （1+x ）= f （1－x ）；（2）y=f （x ）的最大值是１５；（3）f （x ）＝０的两根立方和等于１７。
求y ＝f （x ）的解析式。
（二）二次函数的基本性质（1）二次函数f （x ）=a x 2+bx+c （a ≠０）的图像是一条抛物线，对称轴方程为x ＝－a b 2，顶点坐标是（－a b 2，acb ac 442-）。
当a ＞0时，抛物线开口向上，函数在(－∞，－a b 2]上递减，在[－ab 2，＋∞)上递增。
当a ＜0时，抛物线开口向下，函数在(－∞，－a b 2]上递增，在[－a b 2，＋∞)上递减。
（2）直线与曲线的交点问题：①二次函数f （x ）=a x 2+bx+c （a ≠０），当Δ＝b 2－４ac ＞0时，图像与x 轴有两个交点Ｍ１（x １，０）Ｍ２（x ２，０），于是｜Ｍ１Ｍ２｜＝｜x １－x ２｜＝||a ∆。
②若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与直线y=mx+n ，则其交点由二方程组成的方程组的解来决定，而方程组的解由一元二次方程ax 2+bx+c =mx+n ，即px 2+qx+r=0的解来决定，从而将交点问题归结为判定一元二次方程的判别式Δ的符号决定。
特别地，抛物线与x 轴的交点情况由ax 2+bx+c=0的解的情况决定，于是也归结为判定一元二次方程ax 2+bx+c = 0的判别式Δ的符号问题。
当Δ= b 2－4ac>0时，方程ax 2+bx+c=0有两个不同的实数根，即对应的抛物线与x 轴有两个交点，此时二次函数的图像被x 轴截得的弦长L=|x 2－x 1|=||4)()(21212212a x x x x x x ∆=-+=-。
专题-二次函数中的条件最值问题
二次函数中的条件最值内容简概：二次函数的最值在实际应用中常常与自变量的取值范围密切相关，根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．如果对称轴和取值范围都给定，可分为对称轴在取值范围内和不在取值范围内两种情形；若对称轴在取值范围内，顶点为最值点，（开口向上为最小值，开口向下为最大值），离对称轴较远的一个端点为另一个最值点（前者是最大值则后者是最小值，否则为最大值）. 如果对称轴、取值范围不能确定，可以分为三种情形；（1）取值范围确定，但对称轴不确定（2）对称轴确定但取值范围不能确定（3）对称轴和取值范围都不能确定关键词：二次函数、条件最值、取值范围、对称轴二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）是初中函数的主要内容，二次函数的最值是近年中考的一个热点．二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况为：当a＞0时，函数在x=－2ba处取得最小值244b aca-，无最大值；当a＜0时，函数在x=－2ba处取得最大值244b aca-，无最小值．而二次函数的最值在实际应用中常常与自变量x的取值范围密切相关，根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．可分为对称轴在取值范围内和不在取值范围内两种情形，下面就不同类型举例说明。
一．对称轴在取值范围内【例1】当－2≤x≤2,时，求函数y=x2－2x－3的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值．【解析】作出函数的图象．当x=1时，y最小值=－4，当x=－2时，y最大值=5．【例2】当1≤x≤2时，求函数y=－x2－x+1的最大值和最小值．【解析】作出函数的图象．当x=1时，y最小值=－4，当x=2时，y最大值=5．由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．可以归纳为：若对称轴在取值范围内，顶点为最值点，（开口向上为最小值，开口向下为最大值），离对称轴较远的一个端点为另一个最值点（前者是最大值则后者是最小值，否则为最大x值）。
二次函数最值知识讲稿
4
22
1
y
当 x1,2 时，
1
1 , 1
如图所示,截取的图象
o1
x 为所求的区间的图象
2, 1
fx f 1 7 m in
fx f11 m ax
1, 7
y
1
1 , 1
o1
1 0, 1
fxm axf00a2
a0,0
fxm axfaa2
当
a2
fx f2 a 2 4 a 4 m a x
即 a22,
综上所述: 0a2
（三）轴定区间动：
y
例3、已知函数 yx22x3
若 x t,t1 ,(t R )求,该函数的
a 2
4
fxminfa2a4212
o
2
4
x
当 a 4 fx m in f4 1 4 7 a
2
练习：已知函数 yx(2ax)(,a R)若
x0,2 时，有最大值 a 2 ，求a的
取值范围。
解：由已知可得对称轴方程为 x a
当 a0 当 0a2
练习：已知函数 y x 2 2 x 1 ,x m ,m 2
求函数的最大值。
解:由已知可得对称轴方程为 x 1
1 当 m21 时 ,即 m 1
fm a x x fm 2 m 2 2 m 1
2 当 m1m2时 ,即 1m1
《3》、区间中点在对称轴右：
当 3 t 1 2
y m f i n 1 4 ,y m f a ( t x 1 ) t2 4 t
（3）、区间在对称轴右边：
当 t 1 时，
二次函数最值问题复习专题(专题复习或公开课适用)
为
.
时y有最 值
• 2．已知二次函数 y 1 x 32 5.
2
• （1）若 为任意实数时，y最大值=________，y 有最小值吗？
•
________（填“有”或“无”）；
• （2）若1≤ x≤7时，则y最大值=________， y最小值=________；
• （3）若 -2≤x ≤1 ， y最大值=________， y最小值=________；
；抛物线的解析式
为
．
（2）若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，
过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线
于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值
是多少？
当堂练习： 方法小结：
• 三、当堂过关
• 1. 在二次函数y=(1-x)(x+2) 中，即当x=
谈谈你这节课的收获: 2.利用了哪些数学思想和方法来解决问题.
数形结合 分类讨论 数学建模
祝同学们学习进步,中考凯旋！ 谢谢！
四、本堂小结：你学到了什么？
四、本堂小结：你学到了什么？
〖变式训练〗 如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个 同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的 厚度忽略不计）． （1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的 边长为多少？ （2）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去4个同样大小的正方形 然后折合成一个无盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况； 如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没 有，请你说明理由．
• （4）若 0<x<13且x 为偶数时，则 y最大值=_____，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四讲 二次函数与最值问题专题讲座
一、考点梳理
考点1：二次函数的解析式
一般式：y=ax 2+bx+c 顶点式：y=a(x+k)2+h 交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2) 考点2：二次函数的图象：抛物线
考点3 二次函数的性质：二次函数图像的开口方向；顶点坐标；对称轴方程；最值.
二、题型透视
（一）、填空题
1、（2010 丽水）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠ACB=90°, AB=AD,AC=4BC,设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x
之间的函数关系式是（ ） A 、2252x y =
B 、2
25
4x y = C 、252x y = D 、254x y = 2（2010南充）抛物线)0)(3)(1(≠-+=a x x a y 的对称轴是（ ） A 、x=1 B 、x=1- C 、x=3- D 、x=3
3、（2010 荆州）若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x ，2x+1）记，……则E （x ，122
+-x x ）可以由E （x ，2
x ）怎样平移得到？（ ） A ．向上平移１个单位 B ．向下平移１个单位 C ．向左平移１个单位 D ．向右平移１个单位 4、（2010 咸宁）已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、 B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是 A ．1y ＞2y
B ．1y 2y =
C ．1y ＜2y
D ．不能确定
5（2010 襄樊）若函数22(2)2x x y x ⎧+=⎨⎩ ≤ （x>2）
，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是（ ）
A B ．4 C 4 D ．4
6、（2010 东营）二次函数c bx ax y ++=2
的图形如图所示，则一次函数ac bx y -=与
c
b a y +-=
在同一坐标系内的图象大致为（ ）
7、（2010 荆门）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误．．
的是( ) (A)ab ＜0 （B)ac ＜0
(C)当x ＜2时，y 随x 增大而增大；当x ＞2时，y 随x 增大而减小
(D)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程
ax 2＋bx ＋c ＝0的根。
8．（2010 桂林）12．如图，已知正方形ABCD 的边长为4 ， E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ， EF 交DC 于F , 设BE =x ， FC =y ，则当点E 从点B 运动到点C 时,y 关于x 的函数图象是( )．
A ．
B ．
C ．
D ．
（二）、解答题
9、已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k-1=0有实数根，k 为正整数
. （1）求k 的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
(3) 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象。
请你结合这个新的图像回答：当直线y=
2
1
x+b (b<k)与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.
10、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2． （1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求 出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状； 若不存在，请说明理由．
A
D
B E
F
11、如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到
直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请
说明理由；
（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线
与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移
多少个单位长度？
12. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），
C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD 交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
F
E
C B
A
B'
C'13. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C 1:()()1
y x 2(x m)m 0m
=-
+->与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C 1过点M (2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE 的面积．
(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH +EH 最小，并求出点H 的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．
【压轴训练】
（2010 眉山）如图，Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC ' 交 斜边于点E ，CC ' 的延长线交BB ' 于点F ．
（1）证明：△ACE ∽△FBE ； （2）设∠ABC =α，∠CAC ' =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全
等三角形，并说明理由．
第一部分
1、（2009 鄂州）把抛物线c bx ax y ++=2的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是532+-=x x y ，则a+b+c=_______________。
2、（2009 湖州）已知抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴为直线x=1，且经过（11y ，-），（22y ，），试比较21y y ，的大小：21_______y y .(填“<”或“>”或“=”)
3、（2012浙江湖州3分）如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A
两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ， 射线OB 与AC 相交于点D ．当OD =AD =3时，这两个二次函数的 最大值之和等于（ ）
A B C ．3 D ．4 第二部分
5. （2012福建福州14分）如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过A (3，0)、B (4，4)两点．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求 m 的值及点D 的坐标；
(3) 如图②，若点N 在抛物线上，且∠NBO ＝∠ABO ，则在(2)的条件下，求出所有满足 △POD ∽△NOB 的点P 的坐标(点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应)．。