实数的基本定理

第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明

六个基本定理： 1实数戴德德公理 确界原理

2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理

5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理

定理(确界原理) 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界．

定理 单调有界数列必收敛. 证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界，记{}n a a sup =．下面证明

a 就是{}n a 的极限．事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<．又

由{}n a 的递增性，当N n ≥时有

n N a a a <<-ε．

另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n ．所以当N n ≥时有

εε+<<-a a a n ，

即a a n n =∞

→lim ．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界．

（区间套定理） 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，

,2,1=n ，即

ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 由（1）式，{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 .,2,1, =≤n a n ξ （3） 同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（¡¡）有

ξ==∞

→∞

→n n n n a b lim lim ， （4）

且 .,2,1, =≥n b n ξ （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。

最后证明满足（2）的ξ是唯一的。设数ξ'也满足 ,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ

则由（2）式有

≤'-ξξ.,2,1, =-n a b n n 由区间套的条件（¡¡）得

≤'-ξξ0)(lim =-∞

→n n n a b ，

故有ξξ='.

由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：

推论 若[]),2,1(, =∈n b a n n ξ是区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n >N 时有

[]n n b a ,⊂()．

；εξU

致密性定理

定义2 设S 为数轴上的点集，ξ为定点(它可以属于S ，也可以不属S)．ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点．

等价定义如下：

定义2’ 对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即Φ≠S U );(0εξ，则称ξ为S 的一个聚点．

定义2” 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞

→n n x lim 称为S 的一个聚点

现证定义2’ ⇒定义2”

设ξ为S(按定义2’)的聚点，则对任给的0>ε，存在()S U x

εξ;∈．

令11=ε，则存在()S U x

11;εξ∈；

令⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=12,21min x ξε，则存在()S U x

22;εξ∈，且显然12x x ≠；

令⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-1,1min n n x n ξε，则存在()S U x n n εξ;∈，且11,,-n n x x x 与互异。 无限地重复以上步骤，得到S 中各项互异的数列{}n x ，且由n

x n n 1

≤

<-εξ，易见ξ=∞→n n x lim 。

下面我们应用区间套定理来证明聚点定理．

定理 (魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点． 证 因S 为有界点集，故存在0>M ，使得[]M M S ,-⊂，记[][]M M b a ,,11-=

现将[]11,b a 等分为两个子区间．因S 为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S 中无穷多个点，记

此子区间为[]22,b a ，则[][]2211,,b a b a ⊃且

()M a b a b =-=

-11222

1

再将[]22,b a 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S 中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为[]33,b a ，则[][]3322,,b a b a ⊃，且

()2

21

2233M a b a b =-=

- 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足

[][]11,,++⊃n n n n b a b a ,,,2,1 =n

02

1

→=

--n n n M

a b ()∞→n 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都含有S 中无穷多个点．

由区间套定理，存在唯一的一点[]n n b a ,∈ξ，,,2,1 =n ．于是由定理5的推论，对任给的0>ε，存在0>N ，当M n >时有[]()εξ;,U b a n n ⊂．从而()εξ;U 内含有S 中无穷多个点，按定义2，ξ为S 的一个聚点．

推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列．

证 设{}n x 为有界数列．若{}n x 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的.

若{}n x 不含有无限多个相等的项，则其在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集{}n x 至少有一个聚点，记为ξ。则存在{}n x 的一个收敛子列(以ξ为其极限).

推论 若{}n x 是一个无界数列，则存在子列k n x →∞。

证明 取界为k ,则存在着一个项1k k n n x x -位于之后，则有k n x k >。（前面有限个项是有界的）。 Cauchy 收敛原理 数列{ }n x 收敛 ⇔ 0,,N N ε+∀>∃∈当,n m N >时，有n m x x ε-<。 证 充分性

设数列{}n a 满足柯西条件．先证明{}n a 是有界的．为此，取,1=ε则存在正整数N ，当m=N+1及n>N 时有

.11<-+N n a a

由此得n a =+-≤+-+++111N n N N n a a a a a 111+<++N N a a .令 M=max {}

,1,,,,121++N N a a a a