实数的基本定理
31关于实数的基本定理分析
则称α是数集S的下确界,记作 = infS.
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例2 考察下列数集的上确界与下确界
E1
{1,
1 2
, 1 ,, 3
1 n
,}
E2 {1,2,3,, n,}
E3 {x | 0 x 1}
1
{xn
1
} n
{x2k
即证明了 x n k →∞（k→∞）．
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五 柯西收敛原理
Cauchy列：如果数列 具有以下特性：
＞
＜
则称数列
是一个基本数列.
定理７（柯西收敛准则）
数列｛ xn｝收敛的充分必要条件是：对于任 意给定的正数(不论它多么小),总存在正数 N ,
使得对于 m,n N 时,都有不等式 xn xm 都
推论：若存在数列｛xn｝的两个子列
{
x(1 nk
)
}与{
x
(2 nk
)
},分别
收敛于不同的极限，则数列｛xn｝必定发散 .
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例1
证明数列
sin
n
4
发散.
证明：取
n(1) k
4k
,
n( 2 ) k
8k
2,
则 子列
x(1 nk
)收
敛
于
0，而子列
x
(2 nk
)收敛于
1.
由上述推论
证明．因为数列｛ xn｝无界，故对任意 M>0,存在
n0 M ,使得 | x n 0 | M . 取 M=1,存在 n1 1， | x n1 | 1 ， 取 M=２,存在 n2 max{2, n1} ， | x n2 | 2 ， 取 M=３,存在 n3 max{3, n2} ， | x n1 | 3 ， ……… 则存在子列 | x nk | k , （k=1,2,3,…）
实数的基本定理
第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明六个基本定理：1实数戴德德公理 确界原理2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理定理(确界原理) 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界．定理 单调有界数列必收敛. 证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界，记{}n a a sup =．下面证明a 就是{}n a 的极限．事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<．又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有n N a a a <<-ε．另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n ．所以当N n ≥时有εε+<<-a a a n ，即a a n n =∞→lim ．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界．（区间套定理） 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，,2,1=n ，即ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 由（1）式，{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 .,2,1, =≤n a n ξ （3） 同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（¡¡）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ， （4）且 .,2,1, =≥n b n ξ （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。
最后证明满足（2）的ξ是唯一的。
设数ξ'也满足,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ 则由（2）式有≤'-ξξ.,2,1, =-n a b n n 由区间套的条件（¡¡）得≤'-ξξ0)(lim =-∞→n n n a b ，故有ξξ='.由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：推论 若[]),2,1(, =∈n b a n n ξ是区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n >N 时有[]n n b a ,⊂()．；εξU致密性定理定义2 设S 为数轴上的点集，ξ为定点(它可以属于S ，也可以不属S)．ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点．等价定义如下：定义2’ 对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即Φ≠S U );(0εξ，则称ξ为S 的一个聚点．定义2” 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S 的一个聚点现证定义2’ ⇒定义2”设ξ为S(按定义2’)的聚点，则对任给的0>ε，存在()S U xεξ;∈．令11=ε，则存在()S U x11;εξ∈；令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12,21min x ξε，则存在()S U x22;εξ∈，且显然12x x ≠；令⎪⎭⎫⎝⎛-=-1,1min n n x n ξε，则存在()S U x n n εξ;∈，且11,,-n n x x x 与互异。
《数学分析》第七章 实数基本定理
第七章 实数基本定理 （ 1 8 时）§1 关于实数集完备性的基本定理（ 4 时 ）一． 确界存在定理：回顾确界概念．Th 1 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界.二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 .Th 2 单调有界数列必收敛.三. Cantor 闭区间套定理:1. 区间套: 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ> 对n ∀, 有 ] , [11++n n b a ⊂] , [n n b a , 即 n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中;ⅱ> ,0→-n n a b )(∞→n . 即当∞→n 时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为:, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b )(∞→n . 注:这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增,} {n b 递减.例如 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n 都是区间套.但} ] 21 , ) 1 (1 [ {nn n +-+、} ] 1 , 0 ( {n 和 } ] 11 , 1 [ {nn +-都不是. 2. Cantor 区间套定理:Th 3设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a .简言之, 区间套必有唯一公共点.四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件:1. 基本列:回顾基本列概念.基本列的直观意义.基本列亦称为Cauchy 列. Cauchy 列的否定:2. Cauchy 收敛原理:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.五. 致密性定理:数集的聚点(亦称为接触点):定义 设E 是无穷点集. 若在点ξ(未必属于E )的任何邻域内有E 的无穷多个点, 则称点ξ为E 的一个聚点.数集E =} 1{n有唯一聚点0, 但E ∉0; 开区间 ) 1 , 0 (的全体聚点之集是闭区间 ] 1 , 0 [; 设Q 是] 1 , 0 [中全体有理数所成之集, 易见Q 的聚点集是闭区间] 1 , 0 [.1. 列紧性: 亦称为Weierstrass 收敛子列定理.Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六. Heine –Borel 有限复盖定理:复盖: 先介绍区间族} , {Λ∈=λλI G .定义 (复盖 )设E 是一个数集,G 是区间族.若对∍Λ∈∃∈∀ , , λE x λI x ∈,则称区间族G 复盖了E , 或称区间族G 是数集E 的一个复盖. 记为. ,Λ∈⊂λλλI E 若每个λI 都是开区间,则称区间族G 是开区间族.开区间族常记为}, , ) , ( { Λ∈<=λβαβαλλλλM . 定义 (开复盖 )数集E 的一个开区间族复盖称为E 的一个开复盖,简称为E 的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例1 } ) 1 , 0 ( ), 23 , 2 ( {∈=x x x M 复盖了区间) 1 , 0 (, 但不能复盖] 1 , 0 [; } ) , ( , ) 2 , 2 ( {b a x x b x x b x H ∈-+--=复盖) , [b a , 但不能复盖] , [b a . 1. Heine –Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.七 实数基本定理等价性的证明证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理 ⇒ 单调有界原理 ⇒ 区间套定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ⇒ 确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理 ⇒ 致密性定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ;Ⅲ: 区间套定理 ⇒ Heine –Borel 有限复盖定理 ⇒ 区间套定理 .一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 ⇒ 单调有界原理”已证明过 ).1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .证2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a . 证推论1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε,,N ∃当N n >时, 总有] , [n n b a ) , (εξ ⊂.推论 2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点,则有n a ↗ξ, n b ↘ξ, ) (∞→n .3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P 217—218上的证明留作阅读.现采用[3]P 70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4． 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ：Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设E 为非空有上界数集 . 当E 为有 限集时 , 显然有上确界 .下设E 为无限集, 取1a 不是E 的上界, 1b 为E 的上界. 对 分区间] , [11b a , 取] , [22b a , 使2a 不是E 的上界, 2b 为E 的上界. 依此得闭区间列} ] , [ {n n b a . 验证} {n b 为Cauchy 列, 由Cauchy 收敛准则,} {n b 收敛; 同理} {n a 收敛. 易见n b ↘. 设n b ↘β.有 n a ↗β.下证β=E sup .用反证法验证β的上界性和最小性.二. “Ⅱ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 （ 突出子列抽取技巧 ）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证 （ 用对分法 ）2．用“致密性定理” 证明“Cauch y 收敛准则” ：Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.证 (只证充分性）证明思路 ：Cauchy 列有界→ 有收敛子列→验证收敛子列的极限即为} {n a 的极限.Ex [1]P 223—224 1—7，11.三. “Ⅲ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine –Borel 有限复盖定理”:证2. 用“Heine –Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:证 采用[3]P 72例4的证明.Ex [1]P 224 8—12 选做，其中 1 0 必做.§3 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 )一. 有界性:命题1 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在] , [b a 上)(x f =) 1 (O .证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈⇒)(x f 在] , [b a 上取得最大值和最小值. (只证取得最大值) 证( 用确界原理) 参阅[1]P 170.三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 (零点定理)证法一(用区间套定理).证法二(用确界原理).不妨设,0)(>a f 0)(<b f .令} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=, 则E 非空有界, ⇒ E 有上确界. 设E sup =ξ,有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ).取n x >ξ且n x ) ( ,∞→→n ξ.由)(x f 在点ξ连续和0)(≤n x f ,⇒,0)(lim )(≤=∞→n n x f f ξ,⇒ξE ∉.于是) ( , ∞→→∍∈∃n t E t n n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(>n t f ,⇒0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ.因此只能有0)(=ξf . 证法三 (用有限复盖定理).Ex [1]P 232 1，2，5.四. 一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 )证法一 (用区间套定理).参阅[1]P 171[ 证法一 ]证法二 (用列紧性).参阅[1]P 171[ 证法二 ]Ex [1]P 232 3，4， 6*；P 236 1，2，4.。
实数知识点
1、相反数：实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
5、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。
实数和数轴上的点是一一对应的关系。
实数的运算定理1、加法：(1)同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加;(2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
可使用加法交换律、结合律。
2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3、乘法：(1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。
(2)n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0;若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正;当负因数为奇数个时，积为负。
(3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
4、除法：(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
(2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。
(3)0除以任何数都等于0，0不能做被除数。
5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。
6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。
数列极限与实数系的基本定理
在xε ∈ S 满足xε > β − ε = β − (β − α) = α, 与α也为S的上确界矛盾,从而上确界唯一.
同理可证下确界唯一.
例
{sin
π n
设E1 = (1, 1/2, · · · , 1/n, · · ·); E2 : n ∈ N+}. 则
=
(1, 2, · · · , n · · ·); E3
于进行严格的推理论证. 因此,有必要使用分析语言给出确切的定义.
定义1.2.1 设{xn}是一个数列，a是一个实数，如果对于任意给定的ε > 0，存在一个
自然数N ，使得凡是n > N 时，都有|xn − a| < ε, 就说数列{xn}当n趋向无穷大时以a为
极限，记成 lim
n→∞
xn
= a,
也可以简记为xn
→ a(n → ∞),
我们也说数列{xn}
收敛于a.
存
在极限的数列称为收敛数列,没有极限的数列称为发散的.
若 lim
n→∞
xn
=
0,
则称{xn}
为无
穷小量.
注
1、
lim
n→∞
xn
=
a
⇐⇒
xn
−
a为无穷小量.
2、 在定义中,正数ε必须是任意给定的，不能用一个很小的正数来代替.
3、 当正数ε给定之后，满足要求的N 通常是与ε有关的，此时N + 1, N + 2等也满足
n
2
xiyi ≤
i=1
n
x2i
i=1
n
yi2 .
i=1
其中等号成立当且仅当数组{xi}与{xi}对应成比例. 4、调合平均值-几何平均值-算术平均值不等式（简称平均值不等式）
实数六大基本定理
实数的六大基本定理是指以下六个关于实数的重要数学定理：
实数存在性定理（Completeness Axiom）：实数集合是一个完备的数学对象，它满足实数序列的收敛性和有界性，即实数集合中的任意非空有上界的子集都有最小上界。
实数唯一性定理：实数具有唯一性，即在实数集合中不存在两个不同的数值对应于同一数。
实数无理数定理：实数中存在无理数，即不能表示为两个整数的比例形式的实数，如根号2和圆周率π。
实数有理数定理：实数中存在有理数，即可以表示为两个整数的比例形式的实数，如整数和分数。
实数连续性定理：实数集合是连续的，即对于任意两个实数a和b（a < b），在它们之间存在无限多个实数。
实数的稠密性定理：实数集合中的有理数和无理数是稠密分布的，即在实数集合中的任意两个不同实数之间，总存在一个有理数或一个无理数。
这些基本定理在实数的理论和应用中起着重要的作用，它们为实数的性质和运算提供了基础和保障。
这些定理是由数学家们在研究和探索实数的性质中发现和证明的重要结果。
实数完备性六个定理的互相证明
0 ， x S ，使得 x ，
记为 xn a ( n ) 。如果不存在实数 a，使 xn 收敛于 a，则称数列 xn 发散。
lim xn a 0 ， N N ， n N ，有 xn a 。
二、一些基本概念
1.有界集： 设 S 是一个非空数集，如果 M R ，使得 x S ，有 x M ，则称 M 是 S 的
一个上界；如果 m R ，使得 x S ，有 x m ，则称 m 是 S 的一个下界。当数集 S 既有上界，又有下界时，称 S 为有界集。
a1 b1 a b a b , b1 S ，则记 a2 , b2 = 1 1 , b1 否则记 a2 , b2 = a1 , 1 1 ；...；对 2 2 2 an 1 bn 1 an 1 bn 1 a b an1 , bn1 二等分为 , bn 1 ，若 n 1 n 1 , bn 1 S ， an 1 , 、 2 2 2
则记 a2 , b2 =
a1 b1 a b , b1 否则记 a2 , b2 = a1 , 1 1 ；...；对 an 1 , bn 1 二等分为 2 2
an 1 bn 1 an 1 bn 1 a b , bn 1 ，若 n 1 n 1 非 s 的上界，则记 、 an 1 , 2 2 2 an 1 bn 1 a b an , bn = , bn 1 否则记 an , bn = an 1 , n 1 n 1 ；...，得到一列闭区间 2 2
上界，则记 a2 , b2 =
2(5)实数基本定理
15
例4 设有两个正数满足0 a1 b1,
作 an1
anbn
,
bn1
an
2
bn
.
证明:
lim
n
an
,
lim
n
bn
存在且相等.
分析:只要证明 an ,bn
满足闭区间套定理的条件即可.
16
上面的定理只适合于特殊的数列,
对于一般的数列,我们先介绍子列的概念.
在数列 xn中依次任意抽出无穷多项:
1
1 x
x
1
1 n
n1
结合夹逼准则,可证 lim (1 1 )x e
x
x
7
(3) 考虑 lim (1 1 )x
x
x
令 y x
可证明 lim (1 1 )x e
x
x
故 lim(1 1)x e
x
x
令t 1 x
1
得到 lim(1 x) x e x0
8
例1 判断下列数列的收敛性
(1)
an
1 31
lim
n
xn
0
lim
xn1
1 lim
1 xn 1
x n n
n
xn
2
10
例3 证明数列 xn a a 极限存在.
a ,a 0(n重根式)的
证 (1) 显然 xn1 xn ,
所以{xn} 是单调增加的;
(2) 因为 x1
a 1
1 4a 2
数列的极限值
假定 xk 1
1 4a , 2
用归纳法可证明
1 xn
,
x1
2
Q.
可以证明: xn
实数完备性的六大基本定理的相互证明
1 确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。
2 单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。
3 区间套定理 若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点ξ，使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ。
4 Heine-Borel 有限覆盖定理 设],[b a 是一个闭区间，H 为],[b a 上的一个开覆盖，则在H 中存在有限个开区间，它构成],[b a 上的一个覆盖。
5 Weierstrass 聚点定理（Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。
） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。
6 Cauchy 收敛准则数列}{n a 收敛⇔对任给的正数ε，总存在某一个自然数N ，使得N n m >∀,时，都有ε<-||n m a a 。
一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证 不妨设{ a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记a = sup{ a n }.下面证明a 就是{ a n } 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定 义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n }的递增性,当n ≥ N时有a - ε < a N ≤ a n .另一方面,由于a 是{ a n }的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当 n ≥ N 时有a - ε < a n < a + ε,这就证得a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理 证明：１设 ［ａｎ，ｂｎ］ 是一个闭区间套，即满足： １）∀ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］⊂［ａｎ，ｂｎ］；２）ｂｎ－ａｎ ＝我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ有上确界，设sup Ｓ ＝ξ．现在，我们证明ζ属于每个闭区间［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）显然ａｎ ≤ξ，（ｎ ＝１，２，⋯）所以，我们只需证明对一切自然数ｎ，都有ξ≤ｂｎ． 事实上，因为对一切自然数ｎ，ｂｎ都是Ｓ 的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有 ξ≤ｂｎ，故我们证明了存在一实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）唯一性: 假设还有另外一点R ∈'ξ且],[n n b a ∈'ξ，则||||n n b a -≤'-ξξ,0→ 即ξξ'=。
四个实数系的基本定理的完全互证
职成教苑714289877@四个实数系的基本定理的完全互证ʏ㊀常州铁道高等职业技术学校学生工作处㊀熊晗颖㊀㊀摘要:实数系的基本定理是数学分析中重要组成部分,是分析引论中极限理论的基础㊂能够反映实数连续性的定理很多,它们彼此等价,教材中以确界存在定理为基础,将这些定理进行一次循环证明就验证了它们的等价性㊂本文把确界存在定理㊁单调有界定理㊁闭区间套定理㊁Cauchy 收敛原理这四个定理的所有互推方法列了出来,旨在更加深刻地理解他们之间的关系㊂本文主要采用了构造的方法,也采用了反证法等证明方法㊂关键词:确界存在定理;单调有界定理;闭区间套定理;Cauchy 收敛原理在高等数学领域中,实数系基本定理常见的有确界存在定理㊁单调有界定理㊁闭区间套定理㊁Cauchy 收敛定理㊂这些定理是极限理论乃至整个数学分析理论的基础㊂每一个课本上都是以一个定理为基础循环证明其它定理,一是因为在教程上一一列出来没有必要,二是这些过程太复杂,有些定理证明还是相当有难度的㊂鉴于这部分内容的重要性与复杂性,本文将其所有的证明情形列出来㊂这五个定理,其实他们属于同一类型,他们都指出,在某一条件下,便有某 点 存在,这种点分别是确界(点)(确界存在定理),极限点(单调有界定理和Cauchy 收敛原理),公共点(闭区间套定理),子列的极限点㊂1㊀利用确界存在定理证明其它定理1.1㊀用确界存在定理证明单调有界定理证㊀不妨设x n {}单调递减有下界,根据确界存在定理,由x n {}构成的数集必有下确界α,满足:(1)∀n ɪN +:x n ȡα,(2)∀ε>0,∃x n 0:x n 0<α+ε㊂取N =n 0,∀n >N :α-ε<αɤx n ɤx n 0<α+ε,因而x n -α<ε,于是得到lim n ңɕx n =α㊂同理可证数列x n {}单调增加且有上界的情况㊂1.2㊀用确界存在定理证明闭区间套定理证㊀由a n +1,b n +1[]⊂a n ,b n [],n =1,2,3, 得a 1ɤ ɤa n -1ɤa n <b n ɤb n -1ɤ ɤb 1㊂由确界存在定理有:a n {}单调增加且有上确界ξ1,b n {}单调减少且有下确界ξ2,则ȵlim n ңɕb n -a n ()=0,ʑξ1=ξ2,设lim n ңɕa n =lim n ңɕb n =ξ由于ξ是a n {}的上确界,也是b n {}的下确界,于是有a n ɤξɤb n ,n =1,2,3, ,即ξ属于所有的闭区间a n ,b n []㊂若另有实数ξᶄ属于所有的闭区间a n ,b n [],则也有a n ɤξᶄɤb n ,n =1,2,3,令n ңɕ,由极限的夹逼性得ξᶄ=lim n ңɕa n =lim nңɕb n =ξ㊂1.3㊀用确界存在定理证明Cauchy 收敛原理引理:基本数列必定有界取ε0=1,因为x n {}是基本数列,所以∃N 0,∀n >N 0:x n -x N 0+1<1㊂令M =max x 1,x 2, ,x N 0,x N 0+1{},则对一切n ,成立x n ɤM ㊂证㊀必要性:设x n {}收敛于a ,按定义,∀ε>0,∃N ,∀n ,m >N :x n -a <ε2,x m -a <ε2,于是x m -x n ɤx m -a +x n -a <ε㊂充分性:由引理,基本数列x n {}必定有界㊂由确界存在定理,数列x n {}必有上确界,记ξ=supn >N x n{},则ξ为x n {}的极限㊂2㊀利用单调有界定理证明其它定理2.1㊀用单调有界定理证明确界存在定理证㊀设S 是非空有上界的实数集合,又设T 是由S 的所有上界所组成的集合,现证T 含有最小数,即S 有上确界㊂取a 1∉T ,b 1ɪT ,显然a 1<b 1㊂现按下述规则一次构造一列闭区间:a 2,b 2[]=a 1,a 1+b 12éëêêùûúú,若a 1+b 12ɪT a 1+b 12,b 1éëêêùûúú,若a 1+b 12∉T ìîíïïïï,a 3,b 3[]=a 2,a 2+b 22éëêêùûúú,若a 2+b 22ɪT a 2+b 22,b 2éëêêùûúú,若a 2+b 22∉T ìîíïïïï㊀显然a n {}单调递增有上界b 1,b n {}单调递减有下界a 1,由单调有界定理,a n {}与b n {}收敛,且lim n ңɕa n =lim n ңɕb n =ξ,现只需说明ξ是集合T 的最小数,也就是集博看网 . All Rights Reserved.714289877@ 职成教苑合S 的上确界㊂当ξ∉T ,即ξ不是集合S 的上界,则存在x ɪS ,使得ξ<x ㊂由lim n ңɕb n =ξ,可知当n 充分大时,成立b n <x ,这就与b n ɪT 发出矛盾,所以ξɪT ㊂若存在ηɪT ,使得η<ξ,则由lim n ңɕa n =ξ,可知当n 充分大时,成立η<a n ㊂由于a n ∉T ,于是存在y ɪS ,使得η<a n <y ,这与ηɪT 发生矛盾㊂从而得出ξ是集合S 的上确界㊂2.2㊀用单调有界定理证明闭区间套定理证㊀由条件①可得a 1ɤ ɤa n -1ɤa n <b n ɤb n -1ɤ ɤb 1㊂显然:a n {}单调增加有上界,b n {}单调减少有下界a 1,由单调有界定理,a n {}与b n {}都收敛㊂设lim n ңɕa n =ξ,则lim n ңɕb n =lim n ңɕb n -a n ()+a n []=lim n ңɕb n -a n ()+lim n ңɕa n =ξ,ξ的惟一性显然成立㊂2.3㊀用单调有界定理证明Cauchy 收敛原理证㊀必要性(略)㊂充分性:由引理1基本数列必有界,其次再证明基本数列x n {}的子列有极限㊂取单调减少的基本数列x n {}的子列x n k {}为例㊂令ε=1n ,则存在N n ()及n 1,n 2>N ,使得x n 1-x n 2<1n ,不妨假设对固定的x n k ,必有x n k <x n k -1,当n k -1,n k >N 时,有x n k -1-x n k <1n㊂否则,由于x n {}为无穷数列,必有当n >N时,x n ʉx n k (k =1,2,3, )为常数列,显然收敛㊂结论成立㊂又因为x n k {}⊆x n {},且x n k {}有界,由单调有界定理知,x n k {}收敛㊂记lim n ңɕx n k =a ㊂即对任意ε>0,存在N ,当k >N 时有:x n k -a <ε最后再证lim n ңɕx n =a ㊂因为x n {}是基本数列,所以∀ε>0,∃N ,∀n ,m >N :x n -x m <ε2㊂在上式中取x m =x n k ,其中k 充分大,满足n k >N ,并且令k ңɕ,于是得到x n -a ɤε2<ε,此即证明数列x n {}收敛㊂3㊀利用闭区间套定理证明其它定理3.1㊀用闭区间套定理证明确界存在定理证㊀设S 是非空有下界的实数集合,又设T 是由S 的所以下界所组成的集合,现证T 含有最小数,即S 有下确界㊂构造一列闭区间,存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间a n ,b n [],通过反证法可得证ξ是集合T 的最大数,也就是S 的下确界㊂当ξ∉T ,即ξ不是集合S 的下界,则存在x ɪS ,使得ξ>x ㊂由lim n ңɕa n =ξ,可知当n 充分大时,成立a n >x ,这就与a n ɪT 发出矛盾,所以ξɪT ㊂若存在ηɪT ,使得η>ξ,则由lim n ңɕb n =ξ,可知当n 充分大时,成立η>b n ㊂由于b n ∉T ,于是存在y ɪS ,使得y <b n <η,这与ηɪT 发生矛盾㊂从而得出ξ是集合S 的下确界㊂3.2㊀用闭区间套定理证明单调有界定理证㊀设数列x n {}单调递增有上界,记单调递减数列M n {}是x n {}的全体上界,则x 1<x 2< <x n <M n <M n -1< <M 2<M 1,显然有x n +1,M n +1[]⊂x n ,M n [],且limn ңɕM n -x n ()=0,所以x n ,M n []{}形成了一个闭区间套㊂由闭区间套定理,存在唯一实数ξ属于所有的闭区间x n ,M n [],且lim n ңɕx n =lim n ңɕM n =ξ,同理可证单调减少有下界的情况㊂3.3㊀用闭区间套定理证明Cauchy 收敛原理证㊀必要性(略)㊂充分性:设x n {}为基本数列,且a 1ɤx n ɤb 1,n ɪN +,将a 1,b 1[]二等分,令c 1=a 1+b 12得到两个长度相同的子区间a 1,c 1[]㊁c 1,b 1[],分别记为J 1㊁J 2,据它们在实数轴上的左右位置和基本数列的定义即可发现:在左边的J 1和右边的J 2中,至少有一个子区间只含有数列x n {}中的有限项㊂这从几何上看是很直观的,若在J 1和J 2中都有数列中的无穷多项,则可以在J 1中取x n ,在J 2中取x m 使得n ,m 都可以任意大,同时满足不等式x m -x n ȡb -a2这与x n {}为基本数列的条件矛盾,所以可以从a 1,b 1[]去掉只含有数列x n {}中有限项子区间J 1和J 2(若两个子区间都是如此则任取其一)将得到的区间记为a 2,b 2[],重复上述步骤,无限进行下去,便得区间套a k ,b k []{},且满足闭区间套中的每个区间长度是前一个区间长度的12,每一个a k ,b k []中含有数列x n {}中从某项起的所有项㊂所以存在ξ是a n {},b n {}从两侧分别单调收敛于ξ㊂现只需证明基本数列x n {}收敛于ξ㊂∀ε>0,∃n ɪN ,使a n ,b n 进入点ξ的邻域,即有a n ,b n []⊂ξ-ε,ξ+ε()㊂因a k ,b k []中含有数列x n {}中从某项起的所有项,所以∃N 1,当n >N 1时成立x n -ξ<ε㊂4㊀利用Cauchy 收敛原理证明其它定理4.1㊀用Cauchy 收敛原理证明确界存在定理证㊀设S 是一个有上界的集合㊂取实数b 1,使对所有x ɪS ,都有x <b 1㊂取a 1ɪS 并考察区间a 1,b 1[]的中点a 1+b 12,若a 1+b 12是S 的上界,则令a 2=a 1,b 2=a 1+b 12;若a 1+b 12不是S 的上界,则令a 2=a 1+b 12,b 2=b 1㊂于是总可得到区间a 2,b 2[],使b 2是S 的上界㊂a 2,b 2[]中有S 点且b 2-a 2=12b 1-a 1()再对闭区间a 2,b 2[]进行同样的处理,又可得到闭区间a 3,b 3[],使得b 3是S 的上界,a 3,b 3[]中有S 的点且b 3-a 3=b 2-a 22=b 1-a 122㊂重复此步骤,可得到一个闭区间的序列a n ,b n []{},满足下列条件:博看网 . All Rights Reserved.职成教苑714289877@(1)a n +1,b n +1[]⊂a n ,b n [],n =1,2,3, ㊂(2)b n -a n =b 1-a 12n -1,n =1,2,3, ㊂(3)对每个n ɪN ,b n 是S 的上界且a n ,b n []ɘS ʂ⌀,由(1)和(2)知,当m >n 时有b m -b n =b m -b n <b n -a n=12n -1b 1-a 1(),可见b n {}为基本数列,由柯西收敛原理知b n {}收敛,设b n {}收敛于M ㊂任意x ɪS 和任意n ɪN ,均有x ɤb n ,所以x ɤM ,即M 为S 的上界㊂对∀ε>0,由于b n -a n {}的极限为0,所以有n 0使b n 0-a n 0<ε,又因为b n 0ȡM ,所以a n 0ȡb n 0-εȡM -ε由(3)知a n 0,b n 0[]中有S 的点,这表明M -ε不是S 的上界,所以S 是M 的上确界,所以(2)成立㊂4.2㊀用Cauchy 收敛原理证明单调有界定理证㊀假设x n {}单调减少且有下界,但不收敛,则∃ε0,对∀N ,∃m >n >N 使得x n -x m ȡε0,即x m -x n ɤε0㊂取N 1=1,则∃m 1>n 1>N 1使得x m 1-x n 1ɤε0;取N 2=m 1,则∃m 2>n 2>N 2使得x m 2-x n 2ɤε0; ;取N k =m k -1,则∃m k >n k >N k 使得x m k -x n k ɤε0,如此下去,得到子列x n k {},x m k {}满足:kε0ȡx m k -x n k ()+ +x m 2-x n 2()+x m 1-x n 1()ȡx m k-x m k -1()+ +x m 2-x m 1()+x m 1-x n 1()=x m k -x n 1所以x m k -x n 1ң+ɕ,k ңɕ㊂这与x n {}有界矛盾,从而x n {}收敛㊂同理可证单调增加有上界的情形㊂4.3㊀用Cauchy 收敛原理证明闭区间套定理证㊀设m >n ,有0ɤa m -a n <b n -a n ң0(n ңɕ),所以数列a n {}是一基本数列,顾lim n ңɕa n =ξ,由此得到㊀lim n ңɕb n =lim n ңɕb n -a n ()+lim n ңɕa n =ξ㊂由于数列a n {}单调增加,数列b n {}单调减少,可知ξ是属于所有闭区间a n ,b n []的唯一实数㊂参考文献[1]陈纪修.於崇华.数学分析第二版上册[M ].北京:高等教育出版社,2004.[2]包丙寅.实数基本定理的等价性证明[J ].赤峰学院学报,2010,26(07).[3]胡永生.浅谈致密性定理的不同证明方法[J ].中国校外教育下旬刊,2008,(03).[4]扶炜.实数完备性六大基本定理的等价性证明[J ].信阳农业高等专科学校学报,2012,22(02).[5]刘利刚.实数系基本定理等价性的完全互证[J ].数学的实践与认识,2008,38(24).[6]常利利.数学分析同步辅导与课后习题详解[M ].第二版.上册.长春:吉林大学出版社,2008:7.责任编辑㊀孙晓东(上接第37页)4.2㊀多方面评价,全方位发展首先,弱化评价的选拔目的,重视学生发展的过程的均衡㊂促进每一个学生的全面发展是我国基础教育的根本任务,作为评价教学效果的重要指标,基础教育的根本目的不应是选拔拔尖性人才,而是帮助每一个学生发现其学习过程中存在的问题,以获得在未来获得更好的发展㊂其次,评价标准应更加多元化㊂每个学生都有自己的性格特长和钟爱的优势领域,因而在教育评价上就不能 单以分数论英雄 ,用一把尺子衡量所有学生㊂评价标准应包含道德品质㊁学业考试成绩㊁身体素质以及综合实践能力等多项标准,并且每项标准所占权重应均等,从而彻底打破考试卷面得分在学生评价中的 垄断地位 ㊂最后,避免单独使用结果评价,应将过程评价与结果评价相结合㊂过程评价是指在学生学习过程中,经常进行的对学生知识掌握情况㊁能力发展水平的评价㊂其目的不在于打分,而在于发现问题㊂结果评价是对学生学习成果的整体评价,在基础教育阶段,通常以打分的方式出现㊂评价的根本目的在于促进学生的发展而不仅仅是评定学生学习的阶段性成果㊂发现学生在学习过程中出现的问题并给予改进建议是促进学生迅速成长的有效途径,因而评价指标应更全面㊁合理,而不是仅给学生一个单一的分数认定㊂4.3㊀明确责任主体,加强监督管理建议国家将减负政策的全面落实纳入法治管理范围㊂如果教育主管部门放任不管,拒不履行责任,就应当承担相应的法律责任;如果校领导和教师违反减负政策要求,也应接受相应处罚;如果家长擅自给学生加压,也应承担相应的后果㊂加强对校外辅导机构的监管力度,杜绝超前教学㊁课业负担过重等不利于学生成长的教学方式,从而促进中小学生的健康成长㊂参考文献[1]聂清杰.中小学生负担过重的原因及对策[J ].国家高级教育行政学院学报,2000,(05):25-26.[2]朱晓芬. 减负 不要走向极端[J ].湖北教育:政务宣传,2001,(09):8-8.[3]姚佳胜,方媛.政策工具视角下我国减负政策文本计量研究[J ].上海教育科研,2019,(02):10-15.[4]张冰,程天君.新中国成立以来学生 减负 历程的回顾与反思[J ].教育科学,2019,35(06):33-39.[5]何东昌.中华人民共和国教育史纲[M ].海南:海南出版社,2002:203.[6]陈的非. 文革 期间中,小学课程与教学改革研究[D ].长沙:湖南师范大学.[7]王硕. 减负 背景下小学生家长家教观念研究[D ].芜湖:安徽师范大学,2019.[8]新华社.中共中央办公厅㊀国务院办公厅㊀关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见[J ].河南教育(基础版),2021,(09):4-8.[9]罗秀艳.提升教学实践能力促进教师专业发展[J ].科学中国人,2015,(1X ):104.责任编辑㊀孙晓东博看网 . 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七个实数基本定理
从开始学习数学分析至今，我们共学习了七个实数基本定理，他们分别是： ○1127页中间值定理 ○256页单调有界有极限定理 ○3确界定理 ○459页区间套定理 ○5附录4Borel 有限覆盖定理 ○662页有界必有限 ○764页Cauchy 收敛原理 书上证明各定理的思路是：从○1出发证明○2及○3，并证明○1、○2、○3相互等价，此过程中得到：“单调上升有上界数列的极限即为数列上确界”这一加强结论。
由○2及此加强结论可证出○4，再由○4分别证出○5及○6，由○6证出○7。
下面给出这七个实数基本定理之间相互等价的证明，大概思路如下：⇔⇔⇒⇔⇒⇒⇒①④⑦②⑥②③⑤④详细证明如下： ⇒①④已知有区间套[]{},n n a b 满足()lim 0n n n b a →∞-=，[][]()11,,n n n n a b a b n ++⊂∀。
要证存在唯一的[]1,n n n r a b ∞=∈ ，且lim lim n n n n b a r →∞→∞==记{}n a 全体上界组成的集合为B ，\A =B R 。
由[][]()11,,n n n n a b a b n ++⊂∀，知121n n a a a b b ≤≤⋅⋅⋅≤≤≤⋅⋅⋅。
显然11a -∈A ，11b +∈B ，且{}n b ⊂B ，故知A B、不空；由A =B R \知A B 、不漏；,a b ∀∈A ∀∈B ，由于a 不是{}n a 的上界，因此存在{}0n n a a ∈，使0n a a <。
而b 是{}n a 上界之一，所以0n a b ≤，故0n a a b <≤，即a b <，故不乱，因此|A B 构成实数的一个分划。
由①知，存在唯一的r ，,a b ∀∈A ∀∈B ，有a b ≤。
下证[]1,n n n r a b ∞=∈ ，即,n n n a r b ∀≤≤若∃N ，使n a r >，则2n n a r a +<，因此2n a r +∈A ，而2n a r r +>，与,a a r ∀∈A ≤矛盾。
关于实数连续性的6个基本定理的互证
[ a2 , b2 ] ，照这样分下去得到一个区间列 {[ an , bn ]} ，这些区间适合下面 3 个条件：
n →∞
n→ ∞
an
= r， lim
n→ ∞
bn = r ′
，由
∴ ∀ n，有 an
≤ r ≤ bn .
最 后 证 明 唯 一 性 . 若 有 r , r ′ 满 足 r ∈ ∩ [ an , bn ] ， r ' ∈ ∩ [ an , bn ] ， 则
n =1 n =1
∞
∞
| r − r ′ |≤ bn − a n → 0(n → ∞)
∞
∞
最 后 证 明 唯 一 性 . 若 有 r , r ′ 满 足 r ∈ ∩ [a n , bn ] ， r ′ ∈ ∩ [ a n , b n ] ， 则
n =1
n =1
| r − r ′ |≤ bn − a n → 0(n → ∞)
故 r = r ′ .即这样的 r 是唯一的.
3、用单调有界定理证明致密性定理 证明：首先证明有界数列 {an } 有单调子数列. 称其中的项 a n 有性质 M，若对每个 i > n ，都有 a n ≥ a i ，也就是说， an 是 集合{ ai | i ≥ n }的最大数. 分两种情形讨论： ①数列 {an } 有无穷多项具有性质 M，将它们按下标的顺序排列，记为 an ，
∴∀n > N , 有r − ε ≤ xN ≤ xn ≤ r ，即 | xn − r |< ε
2、确界定理证明区间套定理 证明：由 [ an +1 , bn +1 ] ⊂ [ an , bn ] ，知 {an } 是单调上升有上界的实数列，{bn } 是单调下 降有下界的数列.且 b1 是 a n 的上界， a 1 是 bn 的下界.设 lim 确界定理对单调有界定理的证明知 r=sup {an } ， r ′ =inf {bn } .由 lim(bn − an ) = 0 得 r − r ' =0 即 r − r ' = sup {an } =inf {bn }
实数系完备性基本定理的循环证明
实数系完备性基本定理的循环证明实数系的完备性基本定理是指实数系是一个完备的数系，即实数系中的有界非空集合必有上确界或下确界。
为了证明实数系的完备性基本定理，我们可以采用循环证明的方法。
循环证明的思想是通过引入一个递归过程，构造一个序列，然后使用序列的性质来证明定理的正确性。
让我们来进行详细的证明：首先，我们定义一个数集合A是非空的有下界的实数集合。
设A的下界为m。
1.构造序列a₁,a₂,a₃,...。
首先，在A中选择出一个数a₁，使得a₁>m。
这一步可以保证序列的递增性质。
然后，在A中选择出一个数a₂，使得a₂>a₁。
同样，这个数的选择可以保证序列的递增性质。
接着，继续在A中选择出一个数a₃，使得a₃>a₂。
同样的，这一步也可以保证递增性质。
以此类推，通过不断选择A中的元素，我们可以构造出一个序列a₁,a₂,a₃,...。
2.证明序列的有上界性质。
我们可以通过数学归纳法来证明序列a₁,a₂,a₃,...有上界的性质。
首先，由于m是A的下界，所以a₁>m。
因此，m是序列的一个上界。
然后，假设aₙ是序列的最大值，即aₙ>aₙ₋₁。
由于A是一个有上界的非空集合，所以存在一个实数M，使得M是A的上界。
我们可以证明aₙ≤M。
假设不成立，即aₙ>M，则存在一个数β，使得M<β<aₙ。
但是由于aₙ是序列中的最大值，不存在一个元素大于aₙ，因此β不可能属于集合A。
综上所述，M是序列的一个上界。
3.构造序列的上确界。
根据实数中的确界原理，非空的有上界的实数集合必有上确界。
因此，我们可以构造一个上确界L，使得L是序列a₁,a₂,a₃,...的上确界。
4.证明L是A的上确界。
首先，根据序列的定义，对于任意的正实数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，有aₙ>L-ε。
其次，由于aₙ是序列的一个元素，所以有aₙ≤L。
因此，L-ε<aₙ≤L。
综上所述，对于任意的正实数ε，存在一个元素aₙ满足L-ε<aₙ≤L。
§2 实数完备性的基本定理
§2 实数完备性的基本定理实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性。
实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。
因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。
本节主要介绍7个较直观并且容易理解的基本定理，同时给出它们的等价证明。
我们将在附录中建立严格的实数理论和这些基本定理两两之间的等价性证明。
2.1 实数基本定理的陈述简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列。
区间套还可表达为, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b )(∞→n 。
我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增, } {n b 递减。
例2.1 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n 都是区间套. 但} ] 21 , ) 1 (1 [ {nn n +-+、 } ] 1 , 0 ( {和 } ] 11 , 1 [ {+-都不是。
推论 1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε,,N ∃ 当N n >时, 总有] , [n n b a ( , ) U x e Ì。
推论2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则有n a 单增且收敛于ξ，同时n b 单减且收敛于ξ，) (∞→n 。
根据假设，对任给的0ε>，总存在自然数N ，对一切n N ≥，都有n N a a ε-≤，即在区间[],N N a a εε-+内含有{}n a 中除掉有限项外几乎所有的项。
据此，令12ε=，则存在1N ，在区间1211,22N N a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上含有{}n a 中除有限项外的几乎所有的项，并记这个区间为[]11,αβ。
实数基本定理
第一章绪论重点：实数基本定理（戴德金实数连续性定理）。
§1绪论1.初等数学:主要是离散量的运算体系(加,减,乘,除)数学分析：连续量的运算体系及其数学理论(微积分)。
2.两种体系的区别：初等数学主要是恒等变形技巧;而数学分析则更多地应用用不等式及极限来刻划事物。
3.微分问题和积分问题微分问题：一个连续量随着另一个连续量变化的“瞬时”变化率.例:“瞬时”速度。
积分问题：计算一个连续量在连续量的作用下的总和成或积累。
例：质点受力作用的位移，求力作用的功。
微分问题和积分问题问题互为逆运算。
4微积分的发展历史开普勒(Kepler,1571-1630)行星三大定律伽利略(Galileo,1564-1642)落体速度的变化惯性定律在以落体和行星为典型的机械运动中提出的两个基本问题：已知运动，求力（速度与加速度）；已知力，求运动。
在笛卡儿（Descartes1596-1650）和费儿玛（Fermat1601-1665）创立的解析几何中，问题转化为求（1）曲线的切线；（2）曲线下的面积。
牛顿（Newton1642-1727）和莱布尼兹（Leibniz1646-1716）在前人的基础上建立了微积分及其演算体系。
从形式演算−→严格的科学体系哥西(Cauchy，1789-1857)、波尔察诺（Bolzano，1781-1848）、维尔斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）等用用极限的概念把微积分的概念澄清。
戴德金（Dedekind，1831-1916）、康托（Cantor，1845-1918）、维尔斯特拉斯等又给出了连续量的数学表示，建立了实数连续统的理论。
§2．实数连续统离散量：有最小的单位，可数。
例如正整数。
连续量：不能分解成最小的单位。
不是不可分，而是可分，无限可分，分不完。
例如线段，时间等。
问题：离散量可用整数表示，连续量的数学表示是什么？长度是最基本的量，也是最直观的量。
实数系的基本定理
a1
an1 an bn bn1
b1 。
显然 an 单调增加而有上界 b1 ， bn 单调减少而有下界 a1 ，由定理 2.4.1， an 与 bn 都收敛。 设 lim an ，则
n
lim bn lim bn an an lim bn an lim an 。
实数系的基本定理
确界存在定理
Cauchy收敛原理
单调有界数列收敛 定理
Bolzano—Weierstrass 定理 闭区间套定理
定理 2.1.1 （确界存在定理——实数系连续性定理） 非空有上界的 数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。 证：
x R ，都可以表示成 x x x 1。
n, m N ：
xn a
于是
2
， xm a
2
，
xm xn xm a xn a 。
再证明充分性。 先证明基本数列必定有界， 取 0 1， 因为 xn 是基本数列， 所以 N 0 ，
n N0 ：
令 M max x1 , x2 ,
由此得到一个闭区间套 an , bn ，满足
an T , bn T ， n 1, 2,3,
。
由闭区间套定理，存在唯一的实数 属于所有的闭区间 an , bn ，且
lim bn lim an 。现在说明 是集合 T 的最小数，也就是集合 S 的
n n
an bn ， n 1,2,3,
令 n ，由极限的夹逼性得到
，
lim bn lim an ，
n n
实数6个基本定理
实数6个基本定理
实数是数学当中最重要的概念之一，它们是研究几何图形、求解方程与不等式等内容时尤其用得多的数值。
实数的性质决定它们之间的性质也就确定了其中的特点与定理。
首先，关于实数的基本定理有以下六个：
1.正实数集合中，所有数字加减乘除后仍然是正实数。
这是最基本的定理，也就是说，只要数字本身为正实数，那么无论是加、减、乘还是除，它们运算后的答案均为正实数，不可能出现负实数的结果。
2.实数的乘法也有自身的性质，即0乘任何实数均为0，而1乘任何实数，结果均为实数本身。
3.实数的加法运算也有其规律，即两个实数相加、相减后的结果仍然是实数，而且，加一个实数可以把另一个实数变换成另一个实数，从而称其为可加实数。
4.实数的比较有其特定规律，即实数之间可以相等，也可以大小不等：两个实数可以相等，当它们的值完全一样时，也可以大小不等，它们大小的不等依据是它们的值，大者大，小者小。
5.实数可以被分成正负两类，正数比负数大，而负数比正数小。
因此，实数可以分成三类：正数、负数、零。
正实数的值大于零，负实数的值小于零，而零则既不大于，也不小于任何实数。
6.最后，实数的除法也有特定的法则，即除以0的操作永远都是无效的，也就是说，不能将一个实数除以0，否则结果就是无穷大。
以上就是实数的六大基本定理。
它们构成了实数运算发展过程中
的不可缺少的重要组成部分，只有掌握了实数的基本定理，才能更好地掌握实数的运算，进而在数学学习中取得良好的成果。
实数连续性的八个等价定理证明
开区间所复盖，在此基础上再加σ β ，便知[ a ,c]也被∑中有限个开区所复盖，所
以 c∈E
(3) c＝ b ，事实上，若 c＜ b ，取 x ∈ (c,b) ∩ (c,bβ ) ，易知[ a, x ]被∑中有
递减的实数列 {an }发散于-∞的充分必要条件是 {an }无下界。
证明：仅证的推论的前半部分，后半部分可完全类似地得到。 必要性由极限的定义可得。
充分性：由条件，对任意 M＞0，M 不是 {an }的上界， 因此存在 n0 ∈ N ，使
an0 ＞M，从而 n ≥ n0 时，有 an ≥ an0 ＞M, 此即
无限开复盖，若∑中开区间的个数是有限的，则称∑是 E 的有限开复盖。
例 如 开 区 间 集 {(n −1, n + 1) : n ∈ Z} 是 整 个 实 数 的 一 个 开 复 盖 ，
5
{(2n −1,2n + 3) : n ∈ Z} 也 是 整 个 实 数 的 一 个 开 复 盖 。 又 如 开 区 间 集
第一章 实数系与不等式
§1.1 实数系连续性的基本定理
实数系连续性的八大基本定理： (1) Cauchy 准则
(2) Weierstrass 单调有界定理
(3) Cauchy－Cantor 闭区间套定理 (4) Dedekind 分割定理 (5) 确界存在定理 (6) Heine－Borel 有限复盖定理 (7) Weierstrass 聚点定理 (8) Bolzano－Weierstrass 致密性定理 是数学分析的基础，本节我们证明这八大基本定理的等价性，其顺序是:
n, m > N 时，恒有 an − am ＜ε.
若不然，即存在 ε 0 ＞0，对任意自然数 N ，存在 n > m > N ，使
实数的概念与性质
实数的序性质在数学分析、实变函数等领域有着广泛的应 用，是研究实数集合的重要工具之一。
实数的连续性质
实数具有稠密性
在实数集中，任意两个不同的数 之间都存在其他数。
实数具有完备性
实数集具有一些特殊的性质，这 些性质在数学分析中非常重要。
03
实数的基本定理
实数的基本定理
实数的有序性
01 实数具有有序性，即每个实数都可以与另一个实数进行大小比较。
实数的概念与性质
汇报人：xxx
目录
01 实 数 的 定 义 与 分 类 02 实 数 的 性 质 03 实 数 的 基 本 定 理 04 实 数 的 教 学 设 计
01
实数的定义与分类
实数的定义
实数是可以表示为两个整数的比的数，即 有理数和无理数的总称。实数包括有理数 和无理数两大类。
实数具有完备性，即实数集具有在数学上 称为阿基米德性质和皮亚诺公理的数学性 质。
02
教学内容
根据教学目标，设计实数 的教学内容，包括实数的 定义、表示方法、性质和 运算等。
03
教学步骤
按照教学内容，制定教学 步骤，包括引入、讲解、 示范、练习和总结等环节。
教学方法与手段
01 讲解与示范
通过讲解和示范，帮助学生理解实数的概念和性质，增 强学生的理解能力。
02 互动与讨论
鼓励学生参与互动和讨论，引导学生自主思考和探索实 数的问题，提高学生的学习积极性。
实数的加法和乘法满足结 合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)， (ab)c=a(bc)。
分配律
实数的加法和乘法满足分 配律，即a(b+c)=ab+ac。
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第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明六个基本定理： 1实数戴德德公理 确界原理2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理定理(确界原理) 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界．定理 单调有界数列必收敛. 证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界，记{}n a a sup =．下面证明a 就是{}n a 的极限．事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<．又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有n N a a a <<-ε．另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n ．所以当N n ≥时有εε+<<-a a a n ，即a a n n =∞→lim ．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界．（区间套定理） 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，,2,1=n ，即ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 由（1）式，{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 .,2,1, =≤n a n ξ （3） 同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（¡¡）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ， （4）且 .,2,1, =≥n b n ξ （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。
最后证明满足（2）的ξ是唯一的。
设数ξ'也满足 ,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ则由（2）式有≤'-ξξ.,2,1, =-n a b n n 由区间套的条件（¡¡）得≤'-ξξ0)(lim =-∞→n n n a b ，故有ξξ='.由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：推论 若[]),2,1(, =∈n b a n n ξ是区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n >N 时有[]n n b a ,⊂()．；εξU致密性定理定义2 设S 为数轴上的点集，ξ为定点(它可以属于S ，也可以不属S)．ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点．等价定义如下：定义2’ 对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即Φ≠S U );(0εξ，则称ξ为S 的一个聚点．定义2” 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S 的一个聚点现证定义2’ ⇒定义2”设ξ为S(按定义2’)的聚点，则对任给的0>ε，存在()S U xεξ;∈．令11=ε，则存在()S U x11;εξ∈；令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12,21min x ξε，则存在()S U x22;εξ∈，且显然12x x ≠；令⎪⎭⎫⎝⎛-=-1,1min n n x n ξε，则存在()S U x n n εξ;∈，且11,,-n n x x x 与互异。
无限地重复以上步骤，得到S 中各项互异的数列{}n x ，且由nx n n 1≤<-εξ，易见ξ=∞→n n x lim 。
下面我们应用区间套定理来证明聚点定理．定理 (魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点． 证 因S 为有界点集，故存在0>M ，使得[]M M S ,-⊂，记[][]M M b a ,,11-=现将[]11,b a 等分为两个子区间．因S 为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S 中无穷多个点，记此子区间为[]22,b a ，则[][]2211,,b a b a ⊃且()M a b a b =-=-112221再将[]22,b a 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有S 中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为[]33,b a ，则[][]3322,,b a b a ⊃，且()2212233M a b a b =-=- 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][]11,,++⊃n n n n b a b a ,,,2,1 =n021→=--n n n Ma b ()∞→n 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都含有S 中无穷多个点．由区间套定理，存在唯一的一点[]n n b a ,∈ξ，,,2,1 =n ．于是由定理5的推论，对任给的0>ε，存在0>N ，当M n >时有[]()εξ;,U b a n n ⊂．从而()εξ;U 内含有S 中无穷多个点，按定义2，ξ为S 的一个聚点．推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列．证 设{}n x 为有界数列．若{}n x 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的.若{}n x 不含有无限多个相等的项，则其在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集{}n x 至少有一个聚点，记为ξ。
则存在{}n x 的一个收敛子列(以ξ为其极限).推论 若{}n x 是一个无界数列，则存在子列k n x →∞。
证明 取界为k ,则存在着一个项1k k n n x x -位于之后，则有k n x k >。
（前面有限个项是有界的）。
Cauchy 收敛原理 数列{ }n x 收敛 ⇔ 0,,N N ε+∀>∃∈当,n m N >时，有n m x x ε-<。
证 充分性设数列{}n a 满足柯西条件．先证明{}n a 是有界的．为此，取,1=ε则存在正整数N ，当m=N+1及n>N 时有.11<-+N n a a由此得n a =+-≤+-+++111N n N N n a a a a a 111+<++N N a a .令 M=max {},1,,,,121++N N a a a a则对一切正整数n 均有.M a n ≤于是，由致密性定理，有界数列{}n a 必有收敛子列{},k n a 设k n k a ∞→lim =A ．对任给的ε>0，存在K>0，当m,n,k>K 时，同时有2ε<-m n a a (由柯西条件)，).lim (2∞→=<-k n n A a A a k k 由ε因而当取m=n k (K k >≥)时，得到 .22εεε=+<-+-≤-A a a a A a k k n n n n这就证明了A a n n =∞→lim .(海涅一博雷尔(Heine —Borel)有限覆盖定理) 设H 为闭区间[]b a ,的一个(无限)开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[]b a ,证 用反证法 假设定理的结论不成立，即不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,．将[]b a ,等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖．记这个子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11⊂，且()a b a b -=-2111． 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖．记这个子区间为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ⊂，且()a b a b -=-22221． 重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列[]{}n n b a ,，它满足 [][]11,,++⊃n n n n b a b a ，,,2,1 =n()()∞→→-=-n a b a b n n n 021即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖由区间套定理，存在唯一的一点()n n b a ,∈ξ， ,2,1=n ．由于H 是[]b a ,，的一个开覆盖，故存在开区间()H ∈βα,，使()βαξ,∈．由定理5推论，当n 充分大时有 []()βα,,⊂n n b a这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间()βα,就能覆盖，与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾．从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,． 有界性定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界．证 [证法一] (应用致密性定理) 倘若f 在[]b a ,上无上界，则对任何正整数n ，存在[]b a x n ,∈，使得()n x f n >．依次取 ,2,1=n ，则得到数列{}[]b a x n ,⊂．由致密性定理，它含有收敛子列{}k n x ，记ξ=∞→k n k x lim 。
由b x a k n ≤≤及数列极限的保不等式性，[]b a ,∈ξ．利用f 在点ξ连续，推得()()+∞<=∞→ξf x f k n k lim另一方面，由n x 的选取方法又有()()+∞=⇒+∞→≥>∞→k k n k k n x f k n x f lim与(1)式矛盾．所以f 在[]b a ,有上界．类似可证f 在[]b a ,有下界，从而f 在[]b a ,上有界.[证法二] (应用有限覆盖定理) 由连续函数的局部有界性(定理4．2)，对每一点[],,b a x ∈'都存在邻域);(x x U ''δ及正数x M '，使得[].,);(,)(b a x U x M x f x x '''∈≤δ考虑开区间集 []{}b a x x U H x ,);(∈''='δ,显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集()[]{}k i b a x x U i i i ,,2,1,,;* =∈=H δ覆盖了[]b a ,，且存在正数k M M M ,,,21 ，使得对一切()[]b a x U x i i ,; δ∈有().,,2,1,k i M x f i =≤ 令,max 1i ki M M ≤≤=则对任何[]b a x ,∈，x 必属于某()()M M x f x U i i i ≤≤⇒δ;．即证得f 在[]b a ,上有界． 注：开区间上的连续函数既可能有界，也可能无界。