常微分方程基本知识点

常微分方程基本知识点

第一章 绪论

1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！ （重要）

例：03)(22=-+y dx

dy x dx dy （1阶非线性）； x e dx y d y =+22sin 。 2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。（以书后练习题为主） （习题1，2，9题）

例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________.

第二章 一阶方程的初等解法

1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要）

2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要）

3.线性非齐次方程的常数变易法；

4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）；

例题：(1).经变换_____y c u os =___________后，

方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程；

(2).经变换_____y x u 32-=____________后， 方程1

)32(1'2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(22

2=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。

(4).方程2

21'y x y -=为：线性方程。 5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子；

6.恰当方程的解法（分项组合方法）。（重要）

第三章 一阶方程的存在唯一性定理

1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ；

2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题

3.1的1，2，3题）

第四章 高阶微分方程

1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质；

2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系；

3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要）

4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）；

5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（比较系数法、复数法）；（重要） 例题：t te x x 24=-''，确定特解类型？

（习题4.2相关题目）

6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。（重要）

7.其他如Euler 方程、高阶方程降阶、拉普拉斯变换法等了解。

第五章线性微分方程组

1.n阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程组的等价关系（重要）；

例题：习题5.1第2题a）、b）题。

2.线性微分方程组的解的存在唯一性定理，解的结构理论（熟悉，了

解）；

3.解矩阵，基解矩阵的概念和性质（重要）；

4.非齐次线性微分方程组的常数变易公式（熟悉、不要求算）；

5.常系数线性微分方程组基解矩阵（e At）的求法(至少掌握一种方法)。

（重要）

6.习题5.2后练习题