鲁教版初二上第四章实数总结

第二章：实数 济宁学院附中李涛知识梳理【无理数】1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2. 常见无理数的几种类型：（1））定义型（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。

（2）圆周率π以及含有π的一些数：如：2-π，3π等；（3）开方开不尽的数，如:39,5,2等； 注：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π（4）无理数与有理数的和差结果都是无理数。

如：2-π是无理数注：无理数和无理数的和差结果不一定是无理数。

+（- ）=0 ；- =0无理数与有理数的积或商的结果不一定是无理数。

（5）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。

如2π,3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。

（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个【算术平方根】：1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。

例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。

表示法：a 的算术平方根，记为：“a ”， 反过来，a 表示a 的算术平方根，只有一个结果。

注：特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根算术平方根是本身的是0或1；算术平方根是本身相反数的数是02.算术平方根性质：具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。

（即a 有意义，则被开方数整体a ≥0）此时，x 只能等于2.从而y=-1（2）算术平方根本身是非负数。

a ≥0（此外，还有绝对值非负，偶次方非负）3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

例：（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。

（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。

（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。

（6）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。

求x － y 的值.【平方根】：1.定义：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2（a 大于等于0），那么这个数x 就叫做a 的平方根，我们称x 是a 的平方（也叫二次方根），记做：)0(≥±=a a x表示法： a 的平方根（也叫二次方根），记做： 反过来，表示a 的平方根。

2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，它是0本身；（3）负数没有平方根平方根是本身的是0例（1）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （2）当x 时，x 23－有意义。

（3）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？3. 开平方（1）定义：求一个数a 的平方根的运算叫开平方。

注： 若a x =2，则x=叫开平方，反过来 若x=，则a x =2叫平方.注：开平方是求平方根的运算，结果有俩为正负，特殊的0只有一个。

=6，则x= 开平方与平方根不一样：开平方是种运算，与平方互逆；平方根是个结果。

4. 解方程定义：求未知数解的过程叫解方程（2x-1）2-169=0；整体思想，转化思想5.公式：① 77)0()22=≥=）如：（a a a② ||2a a =中，a 可以取任意实数。

如5|5|52==3|3-|3-2==）（ 注：（1）意义不同，表示a 的算术平方根的平方。

表示a 的平方的算术平方根。

（2）a 的范围不同，中a ≥0（a 非负）。

中a 取任意实数。

（3）被开方数不同，中被开方数是a 。

中被开方数是。

（4）结果不同，， 例：1.求下列各式的值 （1）27 （2）27-）（ （3）249-）（2.已知1)12-=-a a （，那么a 的取值范围是 。

3.已知2＜x ＜3,化简=-+|3|)-22x x （ 。

【立方根】1. 定义：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ,那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）记为3a ，读作，3次根号a 。

如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。

表示法：a 的立方根记为3a （a 为任意实数），反过来3a 表示a 的立方根2. 性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

立方根是它本身的数有0,1，-1.3. 开立方定义：求一个数a 的立方根的运算叫开立方。

注：若x 3=a 则x=3a 叫开立方，反过来 若x=3a ，则x 3=a 叫立方。

例：（1）64的立方根是（2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于 （3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。

其中正确的有 （ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“两端靠近法”，即两边无限逼近，逐级缩小范围来完成。

步骤：首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。

“精确到”与“误差小于”的区别：精确到1m ，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m ，答案在其值左右1m 内都符合题意，答案不唯一。

方法点拨：解决此类问题的关键是依据平方根（立方根）及开平方（开立方）的定义，进而采取两边靠近的办法求解。

例：在 与 之间。

的整数部分是的整数部分是a ，小数部分是b ，求-a+b=比较数的大小用估算的方法两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：（1）若a ＞b ≥0,则b a （2）若a ＞b ，则3333b a b a 或（3）若a 、b 都为正数，且a ＞b 时，则a 2＞b 2比较两个数的大小：方法一：估算法。

如3＜10＜4方法二：乘方法.如比较与2.5的大小。

方法三：作差法。

如a ＞b 则a-b ＞0.例：比较下列两数的大小方法四：作商法。

（1） 2123-10与 带根号的探索规律结论：开平方（二次）时，被开方数扩大（或缩小）100倍，平方根扩大（或缩小）10倍。

开立方（三次）时，被开方数扩大（或缩小）1000倍，立方根扩大（或缩小）10倍。

开四次时，被开方数扩大（或缩小）10000倍，四次方根扩大（或缩小）10倍。

或 开平方时，被开方数的小数点每移动2位，结果（平方根）的小数点就移动一位，方向相同。

开立方时，被开方数的小数点每移动3位，结果（立方根）的小数点就移动一位，方向相同。

1.定义：（1）有理数与无理数统称为实数。

在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。

2. 实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数实数也可以分为正实数、0负实数。

3. 实数的性质：实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称。

注：（1）实数a 的相反数是-a ，零的相反数是零（2）如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，反之亦成立。

（3）多项式的相反数就是每一项的的符号都改变（4）相反数等于本身的是02、绝对值定义：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a ， 注：（1）绝对值非负，|a|≥0。

（2）正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数，零的绝对值是它本身0（3）若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

（4）绝对值等于本身的是正数和0.去绝对值号的方法：①先看绝对值号里的是正是负②是正直接去掉绝对值得本身；是负去掉绝对值得它的相反数 注意：减整体加括号3、倒数定义：实数a 的倒数是a1（a ≠0），分数的倒数直接把分子、分母交换位置 注：（1）a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

（2）零没有倒数。

（3）倒数等于本身的数是1和-1。

4. 实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。

（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。

对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

5.实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。

运算法则和运算顺序与有理数的一1、加法交换律a b b a +=+ 2、加法结合律 )()(c b a c b a ++=++3、乘法交换律 ba ab =4、乘法结合律 )()(bc a c ab =5、乘法对加法的分配律 ac ab c b a +=+)(6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。

同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。

6.实数与数轴的关系：数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。