高一数学中函数的单调性4种求法

高一数学中函数的单调性非常重要，分析函数的单调性方法有：定义法，图像法，性质法,复合法.下边结合例题加以说明：

1.定义法

例题已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+)上是增函数，求a的值。

解分析函数在R+上的单调性

任取x1>x2>0

Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2)

=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1)

令y1-y2>0 所以X1^2+X1X2+X2^2-1>0

因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1

当3X2^2-1>=0时即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的

同理当3X1^2-1<=0时即X1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的

故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3)

因此 a=根号3/3

一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。

2.图像法

例题求y=x+3/x-1的单调区间

解函数定义域为（-，1）并（1，+)

Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1

由图像可知函数在（-，1）和（1，+0）上递减。

函数的图像是解决这类问题的关键。

3.性质法

性质：增+增=增减+减=减

y=f(x)与y=kf(x) 当k>0 有相同的单调性当k<0有相反的单调性

y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) 当k>0 有相反的单调性，当k<0 有相同的单调性

例题求y=x^3+x的单调区间。

解因为y=x是增函数，当x>=0时，y=x^3是递增的，当x<0时，y=x^3是递增的，所以y=x^3是R上的增函数。

由性质可知，函数y=x^3+x的单调区间为R.

4.复合法

u=p(x) y=f(u)复合后的函数为：y=f(p(x））它们的单调性为：同增异减。

例题求y=根号(x-1)(x+1)的单调区间。

解令u=(x-1)(x+1) 则y=根号u

当x>=1时 u=(x-1)(x+1)递增

当x<=-1时 u=(x-1)(x+1)递减

Y=根号u递增

所以原函数的单调增区间为[1,+)

减区间为（-，-1]