上海交通大学2002-2010年保送生考试数学试题
2010复旦交大清华北大自主招生数学试题
O x O xO x则该多面体的体积为______________A. 32个；B. 30个；C.28个；D.26个7、给定平面向量(1,1)，那么，平面向量(231-，231+)是将向量(1,1)经过________. A ．顺时针旋转60°所得；B ．顺时针旋转120°所得；C ．逆时针旋转60°所得；D ．逆时针旋转120°所得；8、在直角坐标系Oxy 中已知点A 1(1,0)，A 2(1/2,3/2)，A 4(−1,0)，A 5(−1/2,−3/2)和A6(1/2, −3/2).问在向量−−→−ji A A (i,j=1,2,3,4,5,6，i≠j)中，不同向量的个数有_____.A.9个；B.15个；C.18个；D.30个 9、对函数f:[0,1]→[0,1]，定义f 1(x)=f(x)，……，f n (x) =f(f n−1(x))，n=1,2,3,…….满足f n (x)=x的点x ∈[0,1]称为f 的一个n−周期点.现设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=121,22,210,2)(x x x x x f 问f 的n−周期点的个数是___________.A.2n 个；B.2n 2个；C.2n 个；D.2(2n −1)个.10、已知复数z 1=1+3i ，z 2=−3+3i ，则复数z 1z 2的幅角__________. A.13π/12;B.11π/12;C.−π/4;D.−7π/12.11、设复数βαβαcos sin ,sin cos i w i z +=+=满足z w =3/2，则sin(β−α)=______. A.±3/2;B.3/2，−1/2;C. ±1/2;D.1/2,−3/2.12、已知常数k 1,k 2满足0<k 1<k 2，k 1k 2=1.设C 1和C 2分别是以y=±k 1(x−1)+1和y=±k 2(x−1)+1为渐近线且通过原点的双曲线.则C 1和C 2的离心率之比e 1/e ·等于_______.A.222111k k ++; B.212211k k ++ C.1 D.k 1/k 213、参数方程0,)cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 所表示的函数y=f(x)是____________.A ．图像关于原点对称；B ．图像关于直线x=π对称；C ．周期为2aπ的周期函数D ．周期为2π的周期函数.14、将同时满足不等式x−ky−2≤0，2x+3y−6≥0，x+6y−10≤0 (k>0)的点(x,y)组成集合D 称为可行域，将函数(y+1)/x 称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点(x,y)使目标函数达到在可行域上的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解(x,y)，则k 的取值为_____.A.k≥1;B.k≤2C.k=2;D.k=1.15、某校有一个班级，设变量x 是该班同学的姓名，变量y 是该班同学的学号，变量z 是该班同学的身高，变量w 是该班同学某一门课程的考试成绩.则下列选项中正确的是________.A. y 是x 的函数；B. z 是y 的函数；C. w 是z 的函数；D. w 是x 的函数.16、对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是________. A. 逆命题为“周期函数不是单调函数”； B. 否命题为“单调函数是周期函数”； C. 逆否命题为“周期函数是单调函数”； D. 以上三者都不正确17、设集合A={(x,y)|log a x+log a y>0}，B={(x,y)|y+x<a}．如果A∩B=∅，则a 的取值范围是_______A ．∅;B ．a>0,a≠1;C ．0<a≤2, a≠1D ．1<a≤218、设计和X 是实数集R 的子集，如果点x 0∈R 满足：对任意a>0，都存在x ∈X 使得0<|x−x 0|<a ，则称x 0为集合X 的聚点.用Z 表示整数集，则在下列集合(1){n/(n+1)|n ∈Z, n≥0}， (2) R\{0}， (3){1/n|n ∈Z, n≠0}， (4)整数集Z 中，以0为聚点的集合有_____.A ．(2), (3)；B ．(1), (4)；C ．(1), (3)；D ．(1), (2), (4)19、已知点A(−2,0)，B(1,0)，C(0,1)，如果直线kx y =将三角形△ABC 分割为两个部分，则当k=______时，这两个部分得面积之积最大？A ．23-B ．43-C ．34-D ．32- 20、已知x x x x f 2cos 3cos sin )(+=，定义域⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππ127,121)(f D ，则=-)(1x f_____A ．π12123arccos 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-xB ．π6123arccos 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C ．π12123arcsin 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x D ．π6123arcsin 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 21、设1l ，2l 是两条异面直线，则直线l 和1l ，2l 都垂直的必要不充分条件是______ A ．l 是过点11l P ∈和点22l P ∈的直线，这里21P P 等于直线1l 和2l 间的距离 B ．l 上的每一点到1l 和2l 的距离都相等 C ．垂直于l 的平面平行于1l 和2l D ．存在与1l 和2l 都相交的直线与l 平行22、设ABC−A’B’C’是正三棱柱，底面边长和高都为1，P 是侧面ABB ’A’的中心，则P到侧面ACC’A’的对角线的距离是_____A ．21 B ．43 C ．814 D ．82323、在一个球面上画一组三个互不相交的圆，成为球面上的一个三圆组.如果可以在球面上通过移动和缩放将一个三圆组移动到另外一个三圆组，并且在移动过程中三个圆保持互不相交，则称这两个三圆组有相同的位置关系，否则就称有不同的位置关系.那么，球面上具有不同的位置关系的三圆组有______A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种24、设非零向量()()()321321321,,,,,,,,c c c c b b b b a a a a ===为共面向量，),,(31x x x x x = 是未知向量，则满足0,0,0=⋅=⋅=⋅x c x b x a的向量x 的个数为_____A ．1个B ．无穷多个C ．0个D ．不能确定 25、在Oxy 坐标平面上给定点)1,2(),3,2(),2,1(C B A ，矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-112k 将向量,,分别变换成向量',','，如果它们的终点',','C B A 连线构成直角三角形，斜边为''C B ，则k 的取值为______A ．2±B ．2C ．0D ．0，−2 26、设集合A,B,C,D 是全集X 的子集，A∩B≠∅，A∩C≠∅.则下列选项中正确的是______. A.如果B D ⊂或C D ⊂，则D∩A≠∅；B.如果A D ⊂，则C x D∩B≠∅，C x D∩C≠∅；C.如果A D ⊃，则C x D∩B=∅，C x D∩C=∅；D.上述各项都不正确.27、已知数列{}n a 满足21=a 且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，则∑==nk k a 1______A ．221-+n n B ．22)1(1+-+n n C ．)1(22-+n n n D ．n n n 22)1(+-28、复平面上圆周2211=+--iz z 的圆心是_______ A ．3+i B ．3−i C ．1+i D ．1−i29.已知C 是以O 为圆心、r 为半径的圆周，两点P 、P *在以O 为起点的射线上，且满足|OP|∙|OP *|=r 2，则称P 、P *关于圆周C 对称．那么，双曲线22x y -=1上的点P(x,y)关于单位圆周C':x 2＋y 2=1的对称点P *所满足的方程是(A)2244x y x y -=+ (B)()22222x y x y -=+ (C)()22442x y x y -=+(D)()222222x y x y-=+30、经过坐标变换⎩⎨⎧+-=+=θθθθcos sin 'sin cos 'y x y y x x 将二次曲线06532322=-+-y xy x 转化为形如1''2222=±by a x 的标准方程，求θ的取值并判断二次曲线的类型_______A ．)(6Z k k ∈+=ππθ，为椭圆 B ．)(62Z k k ∈+=ππθ，为椭圆C ．)(6Z k k ∈-=ππθ，为双曲线D ．)(62Z k k ∈-=ππθ，为双曲线31、设k, m, n 是整数，不定方程mx+ny=k 有整数解的必要条件是____________ A. m,n 都整除k ; B. m,n 的最大公因子整除k ; C. m,n,k 两两互素; D. m,n,k 除1外没有其它共因子2010年五校合作自主选拔通用基础测试 数学试题 适用高校:清华大学、上海交通大学等五校 一、选择题1．设复数2()1a i w i+=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为( ) (A)32- (B)12- (C)12 (D)322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为( ) (A)2(C)13. 无试题4. 无试题5．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为( ) (A)15 (B)14 (C)12 (D)236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为( )(A)1:4 (B)1:3 (C)2:5 (D)1:2O H G FEDCBA7．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是( )(A)1 (C)e2(D)2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为( )(A) (B)2 (C) (D)49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ.则ω可以表示为( )(A)στστσ (B)στστστ (C)τστστ (D)στσστσ 二、解答题11．在ABC ∆中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =． (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)求ABC ∆面积的最大值．12．设A B C D 、、、为抛物线24x y =上不同的四点，,A D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l ．设D 到直线AB ，直线AC 的距离分别为12,d d ，已知12d d +=．(Ⅰ)判断ABC ∆是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；(Ⅱ)若ABC ∆的面积为240，求点A 的坐标及直线BC 的方程．O(Ⅱ)一般地，设正n 棱锥的体积V 为定值，试给出不依赖于n 的一个充分必要条件，使得正n 棱锥的表面积取得最小值．14．假定亲本总体中三种基因型式：,,AA Aa aa 的比例为:2:u v w (0,0,0,21)u v w u v w >>>++=且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个．(Ⅰ)求子一代中，三种基因型式的比例；(Ⅱ)子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由．15．设函数()1x m f x x +=+，且存在函数()1(,0)2s t at b t a ϕ==+>≠，满足2121()t s f t s-+=． (Ⅰ)证明：存在函数()(0),t s cs d s ψ==+>满足2121()s t f s t +-=； (Ⅱ)设113,(),1,2,.n n x x f x n +===证明：1123n n x --≤．2010年名牌大学自主招生考试试题(3)适用高校：清华大学、上海交通大学等五校(样题)一、选择题(每题5分，共25分)1.函数y=32cos sin cos x x x +-的最大值为 (A)2827 (B)3227 (C)43 (D)40272．已知a 、b 、c 、d 是实数,az bcz dω+=+, 且当Imz>0时，In ω＞0．则 (A)ad+bc>0; (B)ad+bc ＜0; (C)ad−bc ＞0; (D)ad−bc<0.3．甲、乙、丙、丁等七人排成一排，若要求甲在中间，乙丙相邻,且丁不在两端，则不同的排法共有( )(A)24种； (B)48种; (C)96种; (D)120种4．己知F 为抛物线y 2＝2px 的焦点，过点F 的直线l 与该抛物线交于A 、B 两点,l 1、l 2分别是该抛物线在A 、B 两点处的切线，l 1、l 2相交于点C ，设|AF|=a ，|BF|=b ，则|CF|=(C)2a b+;5．设θ是三次多项式f(x)＝x 3−3x ＋10的一个根，且α=222θθ+-,若h(x)是一个有理系数的二次多项式，满足条件()h αθ=．则h(0)= (A)−2; (B)2; (C)12-; (D)12二、解答题(本大题共55分)1.(本题15分)己知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时,f(x)单调递增，f(−1)=0．设函数()2sin cos 2x x m x m ϕ=+-,集合M=()|0,,02m x x πϕ⎧⎫⎡⎤∈<⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意的,N=()|0,,[]02m x f x πϕ⎧⎫⎡⎤∈<⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意的,求MN.2.(本题20分)甲、乙、丙、丁等4人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外3人中的任何1人．(l)经过2次传球后，球在甲乙两人手中的概率各是多少？(2)经过n 次传球后，球在甲手中的概率记为p n (n=1,2,…) ,试求1n P +与n P 的关系式,并求n P 的表达式及lim n n P →∞3.(本题20分)设p 、q 是一元二次方程x 2+2ax−1=0(a>0)的两个根．其中p ＞0，令y 1=p−q,yn+1=2n y −2,n=1,2，…，证明：11212111lim ......n n y y y y y y →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭=p. 2010年北京大学、香港大学、北京航空航天大学三校联合自主招生考试试题(数学部分)1．(仅文科做)02απ<<，求证：sin tan ααα<<．(25分) 2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB(25分)3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．(25分)4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．(25分)5．(仅理科做)存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．(25分)。
上海交通大学2002-2010年保送生考试数学试题
一、填空题（每小题 5 分，共 50 分）
1．方程 x2
−
px −
1 2 p2
= 0 的两根 x1, x2 满
2 ，则 p=_________（p∈R）．
2． sin8 x + cos8 x = 41 , x ∈ (0, π ) ，则 x=________________．
128
3，14 台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电 脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了________台，从第二小学向第三 小学移交了______台，从第五小学向第一小学移交了________台，移动总数是_________ 台． 二、计算与证明题（本题共 86 分） 17．（本题 12 分）（1）设 n 为大于 2 的整数，试用数学归纳法证明下列不等式：
任意正整数 n 都有 an = r [ n + s ] + t 恒成立（[x]表示不超过 x 的最大整数）．
60
又
3
2 3
3
=9
3
>8
=2
= 3log32 , 所以 b
>
c , a > b > c. 所以输出的数为 a.
例 6 (2001 年上海市高考题) 对任意函
数 f ( x ) , x ∈D 可按图所示构造一个数列发
3．f(x)=ax4+x3+(5−8a)x2+6x−9a，证明：（1）总有 f(x)=0；（2）总有 f(x)≠0．
4．
f1
(x)
=
1− x x +1
，对于一切自然数
n，都有
f n+1 (x) =
2002年交大联读班数学试卷
2002年交大联读班数学试卷1. 31ω=，ω是虚数，则21n n ωω++=_______________。
2. 函数y ax b =+(),a b Z ∈的图象与三条抛物线23y x =+、267y x x =++、245y x x =++分别有2，1，0个交点，则(),a b =_______________。
3. 若346a b c ==，则1112a b c+-=_______________。
4. 若222x x --=，则8x =_______________。
5. 函数22sec tan sec tan x x y x x-=+的值域为_______________。
6. 22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_______________。
7. 正实数,,x y z 满足2221x y z ++=，则222111x y z++的最小值是_______________。
8. 一个圆内接四边形ABCD ，已知AB ＝4，BC ＝8，CD ＝9，DA ＝7，则cos A =_______________。
9. 实数,a b 满足1=，则22a b +=_______________。
10. 92112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中9x 的系数为_______________。
11. x =，1a ≤≤，则方程有_______________个实数解。
12. ABC 三边长,,a b c 满足a b c ≤≤，b n =，()*,,a b c N ∈，则不同的三角形有_______________个。
13. 掷3个骰子，掷出点数之和为9的倍数的概率为_______________。
14. 若不等式2054x ax ≤++≤只有唯一实数解，则a =_______________。
15. 有两个两位数，它们的差是56，两数分别平方后，末两位数相同，则这两个两位数为_______________。
历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案
上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题（每小题5分，共50分）1．设函数满足，则．2．设均为实数，且，则．3．设且，则方程的解的个数为．4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为．5．．6．设不等式与的解集分别为M和N．若，则k的最小值为．7．设函数,则．8．设，且函数的最大值为，则．9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为．10．已知函数,对于，定义,若,则．二、计算与证明题（每小题10分，共50分）11．工件内圆弧半径测量问题．为测量一工件的内圆弧半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度，试写出用表示的函数关系式，并计算当时,的值．12．设函数，试讨论的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在内的图像．13．已知线段长度为,两端均在抛物线上,试求的中点到轴的最短距离和此时点的坐标．参考答案：1. 2。
3。
2 4. 5. 6。
27. 8。
9. 10.11.,12.；偶函数;;；周期为 13。
；14。
略；反证法 15. 2；3；2008年交大冬令营数学试题参考答案2008。
1.1 一．填空题1．若，，则．22．函数的最大值为__________．3．等差数列中,，则前项和取最大值时,的值为__________．20 4．复数,若存在负数使得，则．5．若，则．6．数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和．7．……中的系数为．39212258．数列中,，，,,，，,，，此数列的通项公式为．9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80％，乙厂生产的占20％;甲厂商品的合格率为95％，乙厂商品的合格率为90％．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为．10．若曲线与错误!未定义书签。
上海交大复旦同济大学保送生数学试题
交通大学2000年保送生数学试题一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1．若今天是星期二，则31998天之后是 ( ) A ．星期四 B ．星期三 C ．星期二 D ．星期一2．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MA THEMA TICIAN”一词的概率是 ( )A ．4813!B ．21613!C ．172813!D ．813!3．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是 ( )A ．18m ≤B ．m >-3C ．m >-1D ．138m -≤≤4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是 ( ) A ．p m B ．p 2m C ．q m D ．q 2m 5．设f ’(x 0)＝2，则000()()limh f x h f x h h→+-- ( )A ．-2B ．2C ．-4D ．4二、填空题（本题共24分，每小题3分）1．设f (x )1，则1(2)f x dx =⎰__________．2．设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是__________． 3．方程316281536xxx⋅+⋅=⋅的解x ＝__________．4．向量2a i j =+在向量34b i j =+上的投影()b a =__________．5．函数2y x =+__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________． 7．方程7x 2-(k +13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________． 三、证明与计算（本题61分）1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=．试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．3．(8分)求极限112lim (0)p p pp n n p n+→∞+++>．4．(10分)设2,0(),0x bx c x f x lx m x ⎧++>=⎨+≤⎩在x ＝0处可导，且原点到f (x )中直线的距离为13，原点到f (x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ，c ，l ，m 的值．(b ,c >0)5．(8分)证明不等式：3412≤≤，[0,]2x π∈．6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．7．(11分)如图所示，设曲线1y x=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，…，直角顶点在曲线1y x=上．试求A n 的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题10分，共60分）1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n 组含n 个数，即1；2，3；4，5，6；……．令a n 为第n 组数之和，则a n ＝________________． 2．222sin sin ()sin ()33ππααα+++-＝______________．3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞++-+++＝_________________．4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．5．正实数x ,y 满足关系式x 2-xy +4＝0，又若x ≤1，则y 的最小值为_____________．6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米． 二、解答题（每小题15分，共90分）1．数列{a n }适合递推式a n +1＝3a n +4，又a 1＝1，求数列前n 项和S n ．2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．3．正六棱锥的高等于h ，相邻侧面的两面角等于12arcsin 2，求该棱锥的体积．(1cos 124π=)4．设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0．求证：这四个点组成一个矩形．5．设(1n n x y=+x n,y n为整数，求n→∞时，nnxy的极限．6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．20XX 年上海交通大学联读班数学试题一、填空题（本题共40分，每小题4分） 1．数12825N =⨯的位数是________________．2．若log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝log 4[log 2(log 3z )]＝0，则x +y +z ＝_________． 3．若log 23＝p ，log 35＝q ，则用p 和q 表示log 105为________________．4．设sin α和sin β分别是sin θ与cos θ的算术平均和几何平均，则cos2α:cos2β＝____________． 5．设[0,]2x π∈，则函数f (x )＝cos x +x sin x 的最小值为________________．6．有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为____________．7．若在数列1，3，2，…中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前100项之和是_______________．8．在(1+2x -x 2)4的二项展开式中x 7的系数是_______________． 9．某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60°角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取a 厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中a 厘米在排版时比原稿上多1．虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a ＝________________．10．任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1的等差数列的概率为_________________．二、选择题（本题共32分，每小题4分）11．a >0，b >0，若(a +1)(b +1)＝2，则arctan a +arctan b ＝ ( )A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π12．一个人向正东方向走x 公里，他向左转150°后朝新方向走了3里，则x 是 ( )A B ．C ．3D ．不能确定 13．111113216842(12)(12)(12)(12)(12)-----+++++=( )A ．11321(12)2---B ．1132(12)--- C ．13212--D ．1321(12)2--14．设[t ]表示≤t 的最大整数，其中t ≥0且S ＝{(x ,y )|(x -T )2+y 2≤T 2,T ＝t -[t ]}，则( )A ．对于任何t ，点(0,0)不属于SB ．S 的面积介于0和π之间C ．对于所有的t ≥5，S 被包含在第一象限D ．对于任何t ，S 的圆心在直线y ＝x 上15．若一个圆盘被2n (n >0)条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的最大个数是 ( ) A ．2n +2 B ．3n -1 C ．3n D ．3n +1 16．若i 2＝-1，则cos45°+i cos135°+…+i n cos(45+90n )°+…+i 40cos3645°＝ ( )AB．2C．20)2i-D．(2120)2i+17．若对于正实数x和y定义xyx yx y*=+，则( )A．”*”是可以交换的，但不可以结合B．”*”是可以结合的，但不可以交换C．”*”既不可以交换，也不可以结合D．”*”是可以交换和结合的18．两个或两个以上的整数除以N(N为整数，N>1)，若所得的余数相同且都是非负数，则数学上定义这两个或两个以上的整数为同余．若69，90和125对于某个N是同余的，则对于同样的N，81同余于( )A．3 B．4 C．5 D．7三、计算题（本题共78分）19．(本题10分)已知函数f(x)＝x2+2x+2，x∈[t,t+1]的最小值是g(t)．试写出g(t)的解析表达式．20．(本题12分)设对于x>0，66633311()()2()11()x xx xf xx xx x+-+-=+++，求f(x)的最小值．21．(本题16分)已知函数121 ()1xf xx -=+，对于n＝1,2,3,…定义f n+1(x)＝f1[f n(x)]．若f35(x)＝f5(x)，则f28(x)的解析表达式是什么？22．(本题20分)已知抛物线族2y＝x2-6x cos t-9sin2t+8sin t+9，其中参数t∈R．(1) 求抛物线顶点的轨迹方程；(2) 求在直线y＝12上截得最大弦长的抛物线及最大弦长．23．(本题20分)设{x n}为递增数列，x1＝1，x2＝4，在曲线y=P1(1,1),P2(4,2),33(P x,…,(n nP x…，且以O为原点，由OP n、OP n+1与曲线P n P n+1所围成部分的面积为S n，若{S n}(n∈N)是公比为45的等比数列，图形X n X n+1P n+1P n的面积为332212()3n nx x+-，试求S1+S2+…+S n+…和limnnx→∞．P nO Xn+1XnP n+1复旦大学20XX 年选拔生考试数学试题一、填空(每小题5分，共45分)1．sin x +sin y =0，则cos 2x -sin 2y =___________________．2．平面π1,π2成α的二面角，平面π1中的椭圆在平面π2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为__________．3．(x 2+2x +2)(y 2-2y +2)＝1，则x +y =________________________．4．电话号码0，1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加____． 5．2002=83a 3+82a 2+8a 1+a 0，0≤a 0,a 1,a 2,a 3≤7正整数，则a 0=______________． 6．15(x的常数项为_________________．7．n ＝__________________．8．空间两平面α,β，是否一定存在一个平面均与平面α,β垂直？___________．9．在△ABC 中，cos(2A -C )＝cos(2C -B )，则此三角形的形状是________________． 二、解答题(共87分)1．求解：cos3x tan5x ＝sin7x ．2．数列3，3-lg2，…,3-(n -1)lg2．问当n 为几时，前n 项的和最大？3．求证：x ∈R 时，|x -1|≤4|x 3-1|．4．a 为何值时，方程22lg lg()log (1)lg 2lg 2x a x a -+=-有解？只有一解？5．一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？6．x 3-2y 3＝1的所有整数解(x ,y )，试证明：1334|2|||x y y -<．上海交通大学20XX 年保送生考试数学试题一、填空题（本题共64分，每小题4分）1．设方程x 3=1的一个虚数根为2,1n n ωωω++则(n 是正整数)=__________．2．设a ,b 是整数，直线y =ax +b 和3条抛物线：y =x 2+3,y =x 2+6x +7与y =x 2+4x +5的交点个数分别是2，1，0，则(a ,b )=___________．3．投掷3个骰子，其中点数之积为9的倍数的概率为___________． 4．若x ,y ,z >0且x 2+y 2+z 2=1，则222111x y z++的最小值为___________． 5．若2x -2-x =2，则8x =______________． 6．若a ,b ,c 为正实数，且3a =4b =6c ，则1112a b c+-=_____________． 7．222111(1)(1)(1)23n ---的值为_____________． 8．函数22sec sec x tgxy x tgx-=+的值域为______________． 9．若圆内接四边形ABCD 的边长AB =4，BC =8，CD =9，DA =7，则cos A =__________．10．若a ,b 满足关系：1=，则a 2+b 2=____________． 11．291(1)2x x+-的展开式中x 9的系数是_____________．12．当1a ≤<||x =的相异实根个数共有_____________个．13．若不等式2054x ax ≤++≤有唯一解，则a =_______________．14．设a ,b ,c 表示三角形三边的长，均为整数，且a b c ≤≤，若b =n （正整数），则可组成这样的三角形______个．15．有两个二位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为_______． 16．某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5所小学，各小学分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了________台，从第二小学向第三小学移交了______台，从第五小学向第一小学移交了________台，移动总数是_________台． 二、计算与证明题（本题共86分） 17．（本题12分）（1）设n 为大于2的整数，试用数学归纳法证明下列不等式：(1)22211111223n n ++++<-；(2)已知当2sin 01,116x x x x<≤-<<时，试用此式与(1)的不等式求1111lim (sin12sin 3sin sin )23n n n n→∞++++18．（本题14分）若存在实数x ，使f (x )=x ，则称x 为f (x )的不动点，已知函数2()x af x x b+=+有两个关于原点对称的不动点(1) 求a ,b 须满足的充要条件；(2) 试用y =f (x )和y =x 的图形表示上述两个不动点的位置（画草图） 19．（本题14分）欲建面积为144m 2的长方形围栏，它的一边靠墙（如图），现有铁丝网50m ，问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的长度．20．（本题14分）设数列{a n }满足关系2121(1,2,)n n a a n +=-=，若N 满足1(2,3,)N a N ==， 试证明：(1) 1||1a ≤； (2) 12cos2N k a π-=（k 为整数）21．（本题16分）设()|lg |,,f x x a b =为实数，且0,,()()2()2a ba b a b f a f b f +<<==若满足试写出a 与b 的关系，并证明在这一关系中存在b 满足3<b <422．（本题16分）A 和B 两人掷骰子，掷出一点时，原掷骰子的人再继续掷，掷出不是一点时，由对方接着掷，第一次由A 开始掷，设第n 次由A 掷的概率是P n ．试求：(1)P n +1用P n 表示的式子；(2) 极限lim n n P →∞20XX 年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题2003.1.4一、填空题（本大题共40分，每题4分）1．三次多项式f (x )满足f (3)＝2f (1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为___________． 2．用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S 的最大值是_______________． 3．已知,x y R +∈，x +2y ＝1，则22x y+的最小值是______________． 4．有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个数是___________________．5．已知f (x )=ax 7+bx 5+x 2+2x -1，f (2)=-8，则f (-2)=_______________． 6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________． 7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个部分． 8．有n 个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法．9．有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是___________．10．100!末尾连续有______________个零． 二、解答题（本大题共60分，每题10分）11．数列{a n }的a 1=1，a 2=3，3a n +2=2a n +1+a n ，求a n 和lim n n a →∞．12．3个自然数倒数和为1．求所有的解．13．已知x 1000+x 999(x +1)+…+(x +1)1000，求x 50的系数．14．化简：(1) 11!22!!n n ⋅+⋅++⋅； (2) 1212k nn n k C C C ++++++．15．求证：342231a aa a +++为最简分式．16．证明不等式()!()23nnn n n >>，当自然数n ≥6时成立．复旦大学20XX 年暨保送生考试数学试题一、填空题(本大题共80分，每题8分)1．函数1()2y f t x x =-，当x =1时，252t y t =-+，则f (x )＝________________． 2．方程x 2+(a -2)x +a +1=0的两根x 1,x 2在圆x 2+y 2=4上，则a =_______________．3．划船时有8人，有3人只能划右边，1人只能划左边，共有________种分配方法． 4．A ＝{x |log 2(x 2-4x -4)>0}，B ＝{x ||x +1|+|x -3|≥6}，则A B ⋂=_______________． 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a k =k ·p k (1-p ),(p ≠1)，则S k ＝______________． 6．若(x -1)2+(y -1)2=1，则13y x --的范围是___________________． 7．边长为4的正方形ABCD 沿BD 折成60o 二面角，则BC 中点与A 的距离是_________． 8．已知|z 1|=2，|z 2|=3，|z 1+z 2|=4，则12z z =______________． 9．解方程3log 2a xx xa=，x ＝________________． 10．(a >0)，lim 2nn nn a a →∞+＝______________．二、解答题(本大题共120分)11．已知|z |＝1，求|z 2+z +4|的最小值．12．a 1,a 2,a 3,…,a n 是各不相同的自然数，a ≥2，求证：1231111()()()()2a a a anaa a a ++++<．13．已知sin cos αβ+=cos sin αβ+=tan cot αβ⋅的值．14．一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数21xy x =+(x >0)的图象上，求此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值．15．一圆锥的底面半径为12，高为16，球O 1内切于圆锥，球O 2内切于圆锥侧面，与球O 1外切，…，以次类推，(1) 求所有这些球的半径r n 的通项公式；(2) 所有这些球的体积分别为V 1,V 2,…,V n ,…．求12lim()n n V V V →∞+++．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，n a =，求S 2003．17．定义闭集合S ，若,a b S ∈，则a b S +∈，a b S -∈．(1) 举一例，真包含于R 的无限闭集合．(2) 求证对任意两个闭集合S 1,S 2⊂R ，存在c R ∈，但12c S S ∉⋃．同济大学20XX 年暨保送生考试数学试题一、填空题1．f (x )是周期为2的函数，在区间[-1,1]上，f (x )=|x |，则3(2)2f m +=___(m 为整数)． 2．函数y =cos2x -2cos x ,x ∈[0,2π]的单调区间是__________________． 3．函数2y =__________________．4．5．函数y ＝f (x )，f (x +1)-f (x )称为f (x )在x 处的一阶差分，记作△y ，对于△y 在x 处的一阶差分，称为f (x )在x 处的二阶差分△2y ，则y ＝f (x )＝3x ·x 在x 处的二阶差分△2y =____________． 6．7．从1～100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是__________． 8．正四面体ABCD ，如图建立直角坐标系，O 为A 在底面的投影，则M 点坐标是_________，CN 与DM 所成角是_________． 9．双曲线x 2-y 2＝1上一点P 与左右焦点所围成三角形的面积___________．10．椭圆22143x y +=在第一象限上一点P (x 0,y 0)，若过P 的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是_________． 二、解答题11．不等式22222log 0364x kx kx x ++<++对于任意x ∈R 都成立，求k 的取值范围． 12．不动点，()bx c f x x a +=+．(1) 12,3为不动点，求a ,b ,c 的关系；(2) 若1(1)2f =，求f (x )的解析式；(3) 13．已知sin cos ([0,2))2sin cos y θθθπθθ⋅=∈++，(1) 求y 的最小值；(2) 求取得最小值时的θ．14．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，|AA 1|=h ，|BB 1|=a ，点E 从A 1出发沿棱A 1A 运动，后沿AD 运动，∠A 1D 1E =θ，求过EB 1C 1的平面截三棱柱所得的截面面积S 与θ的函数关系式． 15．已知数列{a n }满足112n n n a a a -++=．(1) 若b n ＝a n -a n -1(n=2,3,…)，求b n ；(2) 求1ni i b =∑；(3) 求lim nn a→∞．16．抛物线y 2＝2px ，(1) 过焦点的直线斜率为k ，交抛物线与A ,B ，求|AB |．(2) 是否存在正方形ABCD ，使C 在抛物线上，D 在抛物线内，若存在，求这样的k ，正方形ABCD 有什么特点？BAC D A 1D 1 C 1 B1上海交通大学20XX 年保送生考试数学试题(90分钟)2004.1.3一、填空题：1．已知x ,y ,z 是非负整数，且x +y +z =10，x +2y +3z =30，则x +5y +3z 的范围是__________． 2．长为l 的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形，则它的面积的最大值是_________． 3．函数x x y cos sin +=（20π≤≤x ）的值域是_____________．4．已知a ,b ,c 为三角形三边的长，b =n ，且a ≤b ≤c ，则满足条件的三角形的个数为________． 5．b ax x ++2和c bx x ++2的最大公约数为1+x ，最小公倍数为d x b x c x +++-+)3()1(23，则a =______,b =_______,c =_______,d =__________．6．已知21≤≤a ,则方程x x a -=-222的相异实根的个数是__________．7．8182004)367(+的个位数是______________．8．已知数列{}n a 满足11=a ,22=a ，且n n n a a a 2312-=++，则2004a =____________． 9．n n ⨯的正方格,任取得长方形是正方形的概率是__________． 10．已知abcxyz xyzabc 76=,则xyzabc =_______________．11． 12．二、解答题1．已知矩形的长、宽分别为a 、b ，现在把矩形对折，使矩形的对顶点重合，求所得折线长．2．某二项展开式中，相邻a 项的二项式系数之比为 1：2：3：…：a ，求二项式的次数、a 、以及二项式系数．3．f (x )=ax 4+x 3+(5-8a )x 2+6x -9a ，证明：（1）总有f (x )=0；（2）总有f (x )≠0．4．11)(1+-=x xx f ，对于一切自然数n ，都有)]([)(11x f f x f n n =+，且)()(636x f x f =，求)(28x f ．5．对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心的轨迹．6．已知{}n b 为公差为6的等差数列，)(11N n a a b n n n ∈-=++．(1) 用1a 、1b 、n 表示数列{}n a的通项公式；(2) 若a b a =-=11，]33,27[∈a ，求n a 的最小值及取最小值时的n 的值．复旦大学20XX 年保送生考试数学试题（150分钟）2003.12.21一、填空题（每题8分，共80分）1．)1)(12(124248++++=+ax x x x x ，则=a _________． 2．已知74535=-++x x ，则x 的范围是___________．3．椭圆191622=+y x ，则椭圆内接矩形的周长最大值是___________． 4．12只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有____种取法． 5．已知等比数列{}n a 中31=a ，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为______． 6．0)1(2<++-a x a x 的所有整数解之和为27，则实数a 的取值范围是___________．7．已知194)4(22=+-y x ，则9422y x +的最大值为____________． 8．设21,x x 是方程053cos 53sin 2=+-ππx x 的两解，则21arctgx arctgx +=__________． 9．z z =3的非零解是___________． 10．x x y +-=112的值域是____________．二、解答题（每题15分，共120分） 1．解方程：1)3(log 5=--x x ．2．已知1312)sin(=+βα，54)sin(-=-βα，且2,0,0πβαβα<+>>，求α2tg ．3．已知过两抛物线C 1：2)1(1-=+y x ，C 2：2(1)41y x a -=--+的交点的各自的切线互相垂直，求a ．4．若存在M ，使任意D t ∈（D 为函数)(x f 的定义域），都有M x f ≤)(，则称函数)(x f 有界．问函数x x x f 1sin 1)(=在)21,0(∈x 上是否有界？5．求证：3131211333<++++n．6．已知E 为棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 的中点，求点B 到平面A 1EC 的距离．7．比较25log 24与26log 25的大小并说明理由．8．已知数列{}n a 、{}n b 满足n n n b a a 21--=+，且n n n b a b 661+=+，又21=a ，41=b ，求 (1)n n b a ,；(2) nnb a lim．简单解答： 一、填空题：1.2- 2.)8.0,6.0(- 3.20 4.31二、解答题： 5．证明1：111))1(1)1(1()1()1(113+-+⋅+--=+-<m m mm m m m m m m=（2111)1111-++⋅⋅+--m m m m m而m m m m m =-++<-++211211111113+--<m m m原式<1+111141213111+--++-+-n n =3111222<+--+n n证明2：)1)(1()1(2--+->+=n n n n n n n11)1(1121---=-+-<n n n n n n n nn n n n n nn 111)1(121--=---<原式〈313)1113121211(21<-=--++-+-+nn n同济大学20XX 年自主招生优秀考生文化测试数学试卷一、填空题（本大题共有8题，只要求直接填写结果，每题答对得5分，否则一律得零分，本大题满分40分） 1．函数12()log (sin cos )f x x x =+的单调递增区间是_______________________．2．如图所示，为某质点在20秒内作直线运动时，速度函数()v v t =的图象，则该质点运动的总路程s =_____（厘米）． 3．设a 与b 是两条非相互垂直的异面直线，α与β分别是过直线a 与b 的平面，有以下4个结论：(1) b //α，(2) b ⊥α，(3) β//α，(4) β⊥α，则其中不可能出现的结论的序号为__________．4．设某地于某日午后2时达到最高水位，为3.20米，下一个最高水位恰在12小时后达到，而最低水位为0.20米。
2006年上海交通大学自主招生保送生测试数学试卷
2006年上海交通大学冬令营选拔测试
数学试题
说明：考试时间2小时，考生根据自己情况选题作答，综合优秀或单科突出给予A的认定。
满分l00分。
一、填空题(每题5分．共50分)
1．矩形中，，，过作相距为的平
行线，则．
2．一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个
正实数是．
3．的末尾有连续个零．
4．展开式中，项的系数为．
5．在地面距离塔基分别为100、200、300的处测得塔顶的仰角分别为，且，则塔高为．
6．三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为；在一次游戏巾，甲获胜的概率为．
7．函数在上单调递增，则实数的取值范围
是.
8．是的非实数根，．
9．2张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成种不同的面值．
10.已知，则数列()前l00项和为.
二、解答题(第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分)
11.,,有两个相等根，
求证：成等差数列
12．椭圆，一顶点，是否存在这样的以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，若存在，求出共有几个．若不存在，请说明理由．
13．已知，是实数，是复数，求的最大值．
14．若函数形式为，其中为关于的多项式，
为关于的多项式，则称为类函数，判断下列函数是否是类函数，并说明理由．
(1)；
(2)．
15．设，解方程．。
上海交通大学《概率论与数理统计》历年考试试题及答案评分细则
P( X Y 1, Z 0) 2 pq 2 P( X Y 1)P(Z 0) ；
P( X Y 1, Z 1) 2 pq 2 P( X Y 1)P(Z 1) ；
P( X Y 2, Z 0) pq 2 P( X Y 2)P(Z 0) ；
P( X Y 2 , Z 1) p3 P( X Y 2)P(Z 1) .
E( X ) 未必存在( )
5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第
二类错误的概率不能同时减少 ( )
二．选择题（15 分，每题 3 分） 1. 设每次试验成功的概率为 p (0 p 1) ，重复进行试验直到第 n 次才取
得 r (1 r n) 次成功的概率为
上海交通大学《概率论与数理统计》历年考试试题及答案评 分细则
2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………2 2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………8 2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………17 2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………32 2003-2004年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………41 2011-2012年《概率论与数理统计》考试试卷及参考答案……………………50
故拒绝原假设 H 0 ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 .
五、证明题 (7 分) 由题设知
X0 1 P qp
X Y 0 1 2
P
q 2 2 pq p 2
P( X Y 0, Z 0) q3 P( X Y 0)P(Z 0) ；
P( X Y 0 , Z 1) pq 2 P( X Y 0)P(Z 1) ；
上海交通大学研究生入学考试数学真题
上海交通大学研究生入学考试数学真题一、选择题1. 下列哪个选项是正确的？A. 2+2=4B. 2+2=5C. 2+2=6D. 2+2=72. 解下列方程组：x + 2y = 52x + 3y = 8A. (1, 2)B. (2, 1)C. (3, 1)D. (1, 3)3. 某商店原价出售一样商品，现在打8折，则折后价格是原价的：A. 10%B. 20%C. 80%D. 90%二、填空题1. 已知函数f(x) = 2x + 5，求f(3)的值。
答：_______________2. 某地每平方公里有5000人口，若该地的面积为3000平方公里，则该地的人口总数为_______________。
三、计算题1. 求下列方程的解：x^2 + 4x + 3 = 02. 求下列集合的交集：A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {4, 5, 6, 7}四、证明题证明：对于任意实数x和y，有(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2。
解答：设x和y为任意实数。
左边：(x + y)^2 = (x + y)(x + y) = x(x + y) + y(x + y) = x^2 + xy + xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2右边：x^2 + 2xy + y^2由左边等于右边，证明得证。
五、应用题某公司从事餐饮业务，每天早上8点至下午5点，共计9小时。
该公司运营部门的工作人员分为3个班次工作，分别是早班、中班和晚班，每个班次的工作时间均为3小时。
请问一天中共有几个班次？解答：一天总共9小时，每个班次工作3小时，所以班次数 = 9小时 / 3小时/班次 = 3个班次六、综合题某商品的原价为200元，商家打折后价格为折后价格，现在又在折后价格的基础上额外打折5%。
求最终价格。
解答：原价200元，打折后价格为折后价格，即0.9 × 200元 = 180元。
在180元的基础上额外打5%折扣，即0.95 × 180元≈ 171元。
历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案
上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题(每小题5分，共50分)1 设函数f(x)满足2f(3x) f (2 3x) 6x 1，贝卩f(x) ________________________ .2.设a,b,c均为实数，且3a 6b 4，则1丄.a b3 .设a 0且a 1 ,则方程a x 1 x2 2x 2a的解的个数为____________ .4. _______________________________________________ 设扇形的周长为6,则其面积的最大值为___________________________ .5. 1 1! 2 2! 3 3! L n n! ____________________ .6•设不等式x(x 1) y(1 y)与x2 y2 k的解集分别为M和N.若M N ,贝H k的最小值为___________ .7 设函数f(x)- , 则xS 1 2 f (x) 3f2(x) L nf n1(x) _____________ .8 .设a 0 ,且函数f (x) (a cosx)(a sin x)的最大值为空,则2a ________________ .9. 6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 _______________ .10. 已知函数f1(x)気」，对于n 1,2,L，定义f n 1(x) f1(f n(x))，若x 1f35 ( x) f s(x)，贝S f28(X) _____________ .二、计算与证明题(每小题10分，共50分)11.工件内圆弧半径测量问题.为测量一工件的内圆弧半径R，工人用三个半径均为r的圆柱形量棒O1Q2Q3放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒02顶侧面的垂直深度h，试写出R用h表示的函数关系式，并计算当r 10mm, h 4mm 时，R 的值.12. 设函数f(x) |sinx cosx，试讨论f(x)的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值，并作出其在0,2内的图像.13. 已知线段AB长度为3，两端均在抛物线x y2上，试求AB的中点M 到y轴的最短距离和此时M点的坐标.参考答案:1. 2x 12. 1丄3. 2 4. n 1 ! 1 6. 242410.7. 11. !n n 12n11 2n 1 42 2R r r ,h12.1^.21k 2d min14.略; 反证法x 08.x 060mm15. 2 29.；周期为2；3; 3 43 45222n2008年交大冬令营数学试题参考答案 1.若 f(x)2 1 3厂，g(x) f1(x)'则 g(5)2x 3 5 3x2008.1.1xH 的最大值为 ------------ .13 .等差数列中，5a 8 3^3，则前n 项和S n 取最大值时,2.函数y.204 .复数|z| 1 ,若存在负数a 使得z 2 2az a 25.若 cosx sin xcos 3x2.3sin x111613.n 的值为a 0，则6.数列a.的通项公式为a n1 nn 1 (n 1). n,则这个数列的前 99乙厂生产的占20%甲厂商品的合格率为95%乙厂商品的合格率为 90%若某人购买了此商品发现为次品，贝眦次品为甲厂生产的概率10.若曲线C i ：x 2 y 2 0与C 2：(x a)2 y 2 1的图像有3个交点，则a _______ . 1二.解答题1. 30个人排成矩形，身高各不相同.把每列最矮的人选出，这些人 中最高的设为a ;把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为 b .(1) a 是否有可能比b 咼？ (2)a 和b 是否可能相等？1. 解：1不可能① 若a 、b 为同一人，有a b ;② 若a 、b 在同一行、列，则均有a b ;③ 若a 、b 不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记a所在列与b 所在行相交的人为x 。
交大自主招生(2010-2013)●●数学●物理●英语●●试题
2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题 1．设复数2()1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） （A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ）（A ）2 （B （C ）1 （D 3。
缺 4。
缺5．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为（ ） （A ）15 （B ）14 （C ）12 （D ）236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（ ）（A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）（A ）1 （B （C ）e 2 （D ）2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）（A ） （B ）2 （C ） （D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ） （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ。
2002年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及答案
2002年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数y =的定义域为 .2．若椭圆的两个焦点坐标为()11,0F -,()25,0F ，长轴的长为10，则椭圆的方程为 . 3．若全集I=R,f(x)、g(x)均为x 的二次函数，(){}0P x f x =<,()0{}Q x g x =≥，则不等式组()0()0f x g x <⎧⎨<⎩的解集可用P 、Q 表示为 .4．设f(x)是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，()()31f x log x =+，则()2f -= .5．若在1nx ⎫⎪⎭的展开式中，第4项是常数项，则n= .6．已知()x f =，若),2(ππα∈，则()()cos cos f f αα+-可化简为 .7．六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是 .8．设曲线C 1和C 2的方程分别为()1,0F x y =和()2,0F x y =，则点()12,P a b C C ⋂∉的一个充分条件为 .9.若()2si ()n 01f x x ωω=<<在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，则ω= .10.右图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方形中相互异面的有 对。
11．如右图所示，客轮以速度2v 由A 至B 再到C 匀速航行，货轮从AC 的中点D 出发，以速度v 沿直线匀速航行，将货物送达客轮。
已知AB ＝BC ＝50海里，若两船同时起航出发，则两船相遇之处距C 点 海里。
（结果精确到小数点后1位）12．如图，若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上，分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．若c b a、、为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是 （ ）（A ）)()(c b a c b a ++=++ （B ）c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(（C ）()m a b ma mb +=+（D ）)()(c b a c b a ⋅=⋅14．在⊿ABC 中，若2cos sin sin B A C =，则⊿ABC 的形状一定是 （ ）（A ）等腰直角三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）等边三角形15．设0a >,1a ≠,函数log a y x=的反函数和1log ay x =的反函数的图象关于（ ）（A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）y=x 对称 （D ）原点对称16．设{}()n a n N *∈是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5<S 6,S 6=S 7>S 8，则下列结论错误的是 （ ）（A ）d ＜0 （B ）a 7=0 （C ）S 9>S 8 （D ）S 6与S 7均为S n 的最大值三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．(本题满分12分)已知z 、ω为复数，()13i z +为纯虚数，2ziω=+，且ω=，求ω。
上海交通大学·2002_年第一学期高等数学期末试题(A卷)(附参考答案)
试题照登上海交通大学·高等数学期末试题(A 卷)(附参考答案)2002年第一学期一、选择题(每题3分,共15分,每题选项仅有一项符合要求,把所选项前的字母填入括号内)1.f (x )在a 连续,且lim x ※a f (x )-f (a )(x -a )m =c >0,其中m 是偶数,则(B ……………………………)A .a 是f (x )的极大值点; B .a 是f (x )的极小值点;C .a 不是f (x )的极大值点;D .不能判别a 是否f (x )的极值点.2.f (x ),g (x )均为恒不为零的可微函数,且f ′(x )g (x )-g ′(x )f (x )>0,则当x >a 时,成立不等式(A ……………………………………………………………………………………………………)A .f (x )g (a )>f (a )g (x );B .f (x )g (x )>f (a )g (a );C .f (a )g (x )>f (x )g (a );D .f (a )g (a )>f (x )g (x ).3.函数f (x )=lim n ※∞n 1+x 2n 在(-∞,+∞))连续且(C ………………………………………………)A .处处可导; B .仅有一个不可导点;C .仅有二个不可导点;D .至少有三个不可导点.4.∫1-11+x sin 2x 1+x 2dx =(B ………………………………………………………………………………)A .π4 B .π2 C .π D .0.5.微分方程y ″-2y ′=xe 2x 的特解形式可设为(C ……………………………………………………)A .(ax +b )e 2x ;B .x (ax +b );C .x (ax +b )e 2x ;D .axe 2x .二、填空题(每小题3分,共15分,把答案填在题中横线上)1.f (x )=ln (1+ax b ), x ≥0,e x 2-1sin2x, x <0在x =0可导,则a =12,b =1.2.设函数y =y (x )由方程y =∫2x +y 0sin t 2dt -∫x 20e -t dt (其中x >0)所确定,则其导数dy dx =2sin (x +y )2-2xe -x 1-sin (2x +y )23.∫20x 44-x 2dx =2π.4.x ※0时,∫x 30sin 3tdt 是βχα的等价无穷小,则α= 4 β= 34 .5.f (x )为连续函数,F (x )=∫2x0f (x +t )dt ,则F ′(x )=3f (3x )-f (x ).三、计算下列积分(18分)1.∫x (e x2x x 122-12+12(6分)63Vol .6,No ,4Dec .,2003 高等数学研究STUDIES IN COLLECE MATHEMATICS2.∫π0dx 2+cos x =23arctan x 3|+∞0=π33.∫+∞2dx x 4x 2-1=12arcsin 15四、解下列方程(14分)1.(x y -x 2)y ′=y 2 e y x =cy2.y ″+2y ′+2y =4e x sin x 通解为y =12e x (sin x -cos x )+c 1e -x cos x +c 2e -x sin x 五、(14分)1.设f (x )=ln x -2x 2∫e 1f (x )xdx ,求f (x ). f (x )=ln x -e -2x 22.设f 2(x )=2∫x 0f (t )1+f ′2(t )dt -2x ,求f (x ). f (x )=1-e x六、应用题(18分)1.求心脏线r =a (1+cos θ)(a >0)上对应0≤θ≤π2的孤线段的长度,且求该弧段与射线θ=0及θ=π2所围图形绕极轴旋转所得旋转体的体积.V =52πa 32.(8分)D 是由抛物线y =2x (2-x )与x 轴所围成的区域,直线y =kx 交区域D 分为面积相等的两部分,求k 的值。
上海交通大学2016年保送生考试数学试题解析
易知，当 t 3
3.若 a 679e 能被 72 整除，则 a
，e
.
解析： 72 8 9 ，所以 a 679e 能被 8 和 9 整除， 被 8 整除即后三位能被 8 整除，所以 e 只能是 2（可以用计算器验证），
a6792 能被 9 整除，则 a+6+7+9+2=a+24 能被 9 整除，所以 a=3. 1 1 1 1 3 3 ，则 4 S 的整数部分是 3 1 2 3 20153
2 2
，
，故
.
12.求证：不定方程 x y 8 z 6 无正整数解. 解析：
13.设 f ( x ) x x x x ( n 2,3,4,) （1）求证：方程 f ( x ) 1 在 ( ,1) 内只有一个实根； （2）设 X n ( ,1) 是 f ( x ) 1 的根，求 lim X n .
n
2
3
n
1 2
1 2
解析：(1)令 g ( x ) f ( x ) 1 x x 2 x n 1 ，
1 1 n 1 ( ) 1 1 1 2 1 n 1 2 1 ( ) n 0 ， 则 g( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 g (1) n 1 0 ，由介值定理得，方程 g ( x ) 0 在 ( ,1) 上有根. 2 1 又 g ' ( x ) 1 2 x 3 x 2 nx n 1 0 ，所以函数 g ( x ) 在 ( ,1) 上递增， 2 1 故，方程 g ( x ) 0 即 f ( x ) 1 在 ( ,1) 上只有一个实根. 2
上海交通大学_高等数学期末试题(A卷)(附参考答案)
高等数学研究
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试题照登
上海交通大学·高等数学期末试题（! 卷）（附参考答案）
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一、选择题（每题#分，共$%分，每题选项仅有一项符合要求，把所选项前的字母填入括号内）
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三、计算下列积分（$4分）
2002年交大推荐生试题
2002年交大推荐生试题一、填空题1．设2x a x b ++和2x bx c ++的最大公约数为1x +，最小公倍数为324x x x d -++，则a =______，b =_______，c =______，d =______。
2．设曲线3:l y x =上三点A 、B 、C 的横坐标分别为a 、b 、c （a <b <c ），则A 、B 、C 三点共线的充要条件为：a 、b 、c 必须满足关系式___________________。
3．(71996+36)18的个位数是_____________。
4．在10x -<<内，22x kx -≤，则k 的最大值是_____________；在10x -<<内，21x kx +≥，则k 的最小值是_____________。
5．设集合{}1,2,3S =，①当x y ≠时，对于S 的一切元素x 、y ，使()()f x f y ≠的S 到S的映射的个数为____；②对于S 的一切元素x ，有(())f f x x =，则由S 到S 的映射个数为__________。
6．如图所示的立体图形，它的三边AB 、CD 、EF互相平行，底面ABCD 是矩形，已知AB =9，BC =8，EF =3，EA =ED =FB =FC =13，则该立方体的体积 为__________，梯形ABFE 对角线AF 的长为__________。
7．过抛物线2y x =上一点P 作切线，若该切线与抛物线上(0，0)，(1，1)的连线平行，则P 的坐标为_____________。
8．设点P 是通过空间4点O (0，0，0)，A (6，0，0)，B (3，5，0)，C (3，2，a )（a >0） 的球面的中心，若a =3，则P 的坐标为_________；若P 被包含在四面体OABC 内或者它的四个面的某一个面里，则当a 变化时，a 的最小值为__________。
2010年交大附中预录取数学试题
2010年自主招生数学试卷一、填空（每题5分，共50分）1、设实数x 、y满足1y x =+，则x y += .2、已知2a =的小数部分为b ，那么()1a b -= .3、方程513x x -+=的所有解的和为 .4、已知0abc ≠，并且a b b c c ap c a b+++===，那么，直线y px p =+一定通过 . A 、第一、二象限 B 、第二、三象限 C 、第三、四象限 D 、第一、四象限5、已知关于x 的不等式21x x x a <⎧⎪>-⎨⎪>⎩无解，则a 的取值范围是 .6、若函数()2211001*********y x x x x =-++-+，则当自变量x 取值1,2,3,,100，这100个自然数时，函数值的和是 .7、设ABC ∆的面积为1，D 是AB 边上一点，且13AD AB =，若在AC 边上取一点E ，使得四边形DECB 的面积为34，则CE EA的值为 . 8、已知抛物线()()2y x c x c d =----与x 轴两个交点的横坐标分别为a 、b （a 、b 为常数），且a b <，则a c cb -+-的值为 .9、若函数()0y kx k =>与函数1y x=的图像相交于A 、C 两点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，则ABC ∆的面积为 .10、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线 表示它们有网线相连。
连线标注的数字表示该网络单 位时间内可以通过的最大信息量。
现从结点A 向结点 B 传递信息，信息可以分开沿不同的线路同时传递， 则单位时间内传递的最大信息量为 .二、解答题：11、（8分）已知方程组1620224ax by cx y +=-⎧⎨+=-⎩的解应为810x y =⎧⎨=-⎩，小明解题时把c 抄错了，因此得到的解是1213x y =⎧⎨=-⎩，求222a b c ++的值。
·212、（10分）求满足如下条件的所有实数k 的值，使得关于x 的方程()()2110kxk x k +++-=的根都是整数。
3上海交通大学2002年硕士研究生入学考
1、上海交通大学2000年硕士研究生入学考试数学分析试题一、 判断题(以下各题，对的证明，错的要举反例并说明理由) 1、f(x)在(a,b)连续的充分必要条件是对任意的闭区间［a ,P ］u (a,b) , f(x)在 ［a , P ］上一致连续。
解：正确，证明：因为f(x)在(a, b)连续，有对任意的闭区间［ot ,P ］匚(a,b)，f(x)在［ot ,P ］连续，所以f (x)在［sP ］上一致连续;对任意的X 0忘(a,b)，存在X , ,X 2忘(a,b)，满足x , < x 。
c x ?，由题设有f (x)在 ［X i ,X 2］上一致连续，更有f (x)在［x i ,x 2］上连续，即有f (x)在X 0上连续，故f(x)在(a,b)连续。
2、f(X)在X 0可导的充分必要条件f(x)在x o 既有右可导又有右可导。
解：错，例：f(x)，f 』0) = lim £(""(0)=1, f 70^ lim -f(X ^f(0)X , X c 0 T* X I 0+f (x)在X = 0处既有右可导又有右可导，但f (x)在X = 0处不可导。
3、可积函数的复合函数也为可积函数。
「1g(x)在m 可积，但f(g(x))=b 在［0'1］不可积。
4、若送a n 收敛，则送(-1)na n 收敛。
n ¥n zt4 比处1错，例：a n =(-1)7，Z a ^ (-1)n 1收敛,nn 三 nrn n计算并证明下列各式 lim J 2sin n xdx 。
『0 x =0解：错，例 f(x)=4， ， g(x)=« U ，X H 01 q—,x= —,( p,q)=1 P P0,为黎曼函数, 显然f (X)， 解: 但 Z (-1)n a n =I ：-发散。
解：对任意的1 ^>0,)f (x)dx = f (H ) U (X -¥)dx = f (H )1 (字)2，2 2 2 2又f(x)在［a,b ］上递增和心,『sin n xdx =J 02 Exdx+jgjnFM f 2sin n -0xdx + 瓷 -sin nxdxJI由积分中值定理存在0宀汁使得I 2%in n xdx = (sin n ©)『 dx ，且0 <sin E <1，所以sin nE T 0，即存在 N 》0，当n 》N 时,故当n A N 时,sin即 n m 『sin nxdx=0 o2、求函数U =x yz的全微分。
上海交通大学 2010-2中 高数试卷(A)
2010级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A 类)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设函数21,0(,)0,y x f x y ⎧<<=⎨⎩其它，则(,)f x y 在(0,0)点 【 】(A ) 连续，且可偏导. (B ) 沿任何方向的方向导数都存在. (C ) 可微，且(0,0)d 0.f= (D ) (,)x f x y 和(,)y f x y 在(0,0)点连续.2. 设有三元方程ln e 1xy xy z y -+=. 由多元隐函数存在性定理，在(0,1,1)的某邻域内，该方程 【 】 (A ) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =. (B ) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y =. (C ) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y =. (D ) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =.3. 设函数()f u 具有二阶连续导数，且()0,(0)0f u f '>=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极大值的一个充分条件是 【 】(A )(0)1,(0)0f f ''<<. (B )(0)1,(0)0f f ''>>. (C )(0)1,(0)0f f ''<>. (D )(0)1,f f ''>4. 如图，单位圆域221x y +≤被直线y x =±四个区域k D (k =1,2,3,4)，记cos d d kk D I x y x =⎰⎰则14max{}k k I ≤≤等于 【 (A )1I . (B )2I . (C )3I . (D )4I .5. 设D 是由曲线22(231)(43)1x y x y ++++-=围成的平面闭区域，则二重积分22[(231)(43)]d d Dx y x y x y ++++-⎰⎰之值为 【 】(A )π. (B )1π5. (C )1π10. (D )2π5.二、填空题（每小题3分，共15分）6. 极限22200sin()lim x y x y x y →→+＝ .7. 设函数()f t 可导，且2(e )1f '=. 又(,)()y u x y f x =，则(e,2)d u =_________.8. 曲线2221224x y z x y z ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩在点(1,1,2)-处的切线方程为: .9. 交换二次积分的次序：122(1)1d (,)d d (,)d y y f x y x y f x y x -+=⎰⎰⎰⎰.10. 设函数(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+⎰⎰，其中D 是由直线1,0x y ==和y x =所围成的有界闭区域，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰ .三、（本共题8分）11. 设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，且(1,1)1f =，(1,1)x f a =，(1,1)y f b =， 又()(,(,))x f x f x x ϕ=，求(1)ϕ及(1)ϕ'. 四、计算下列积分（每小题10分，共20分） 12.计算}221min)d d DI x y x y =+⎰⎰，其中D ：224x y +≤.13. 计算()22d d d I ax by cz x y z Ω=++⎰⎰⎰，其中Ω为椭球体2222221x y z a b c ++≤.五、应用题（每小题8分，共16分）14.设物体位于1z Ω≤≤，其体密度函数为||e z ，求此物体的质量. 15. 求柱面122=+z x 介于平面0=y 和2=+y x 之间部分曲面的面积. 六、（每小题10分，共20分）16.设r =(,)()u x y f r =，其中()f r 具有二阶连续导数.(1) 把u ∆=2222u ux y∂∂+∂∂表示成r 的函数；(2) 若u 满足方程223/2()u x y -∆=+，求函数()f r . 17. 在曲线412y x =上求一点P ，使P 到直线220x y --=的距离最短，并求此最短距离.七、证明题（本题共6分）18. 设函数(,)f x y 在圆域D ：224x y +≤上可微，且|(,)|1f x y ≤. 证明：存在D 的内点00(,)x y ，使得()()220000(,)(,)1x y f x y f x y +<.。
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y
20．（本题 14 分）设数列{an}满足关系 an+1 = 2an2 −1 (n = 1, 2,L) ，若 N 满足
aN = 1(N = 2, 3,L) ， 试证明：(1) | a1 |≤ 1；
(2)
a1
=
cos
kπ 2N −2
（k 为整数）
21．（本题 16 分）设 f (x) =| lg x |, a,b 为实数，且
10．若 a,b 满足关系： a 1− b2 + b 1− a2 = 1 ，则 a2+b2=____________． 11． (x2 +1− 1 )9 的展开式中 x9 的系数是_____________．
2x
12．当1 ≤ a < 2 时，方程 a2 − x2 = 2 − | x | 的相异实根个数共有_____________个．
7．
(1 −
1 22
)(1 −
1 32
)L(1
−
1 n2
)
的值为_____________．
8．函数
y
=
sec2 sec2
x x
− +
tgx tgx
的值域为______________．
9．若圆内接四边形 ABCD 的边长 AB=4，BC=8，CD=9，DA=7，则 cosA=__________．
上海交通大学 2002 年保送生考试数学试题
一、填空题（本题共 64 分，每小题 4 分）
1．设方程 x3=1 的一个虚数根为ω, 则ω 2n + ω n +1 (n 是正整数)=__________．
2．设 a,b 是整数，直线 y=ax+b 和 3 条抛物线：y=x2+3,y=x2+6x+7 与 y=x2+4x+5 的交点个数 分别是 2，1，0，则(a,b)=___________．
3．已知 x, y ∈ R+ ，x+2y＝1，则 2 + 2 的最小值是______________． xy
4．有 4 个数，前 3 个成等比数列，后 3 个成等差数列，首末两数和为 32，中间两数和为 24，则这四个数是___________________．
5．已知 f(x)=ax7+bx5+x2+2x−1，f(2)=−8，则 f(−2)=_______________． 6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________． 7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个部分． 8．有 n 个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法． 9．有一个整数的首位是 7，当 7 换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小
3．投掷 3 个骰子，其中点数之积为 9 的倍数的概率为___________．
4．若 x,y,z>0 且 x2+y2+z2=1，则
1 x2
+
1 y2
+
1 z2
的最小值为___________．
5．若 2x−2−x=2，则 8x=______________．
6．若 a,b,c 为正实数，且 3a=4b=6c，则 1 + 1 − 1 =_____________． a 2b c
3，14 台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电 脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了________台，从第二小学向第三 小学移交了______台，从第五小学向第一小学移交了________台，移动总数是_________ 台． 二、计算与证明题（本题共 86 分） 17．（本题 12 分）（1）设 n 为大于 2 的整数，试用数学归纳法证明下列不等式：
有两个关于原点对称的不动点
(1) 求 a,b 须满足的充要条件； (2) 试用 y=f(x)和 y=x 的图形表示上述两个不动点的位置（画草图）
19．（本题 14 分）欲建面积为 144m2 的长方形围栏，它的一边靠墙 （如图），现有铁丝网 50m，问筑成这样的围栏最少要用铁丝
x
144m2
网多少米？并求此时围栏的长度．
13．若不等式 0 ≤ x2 + ax + 5 ≤ 4 有唯一解，则 a=_______________．
14．设 a,b,c 表示三角形三边的长，均为整数，且 a ≤ b ≤ c ，若 b=n（正整数），则可组成这
样的三角形______个． 15．有两个二位数，它们的差是 56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为_______． 16．某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等 5 所小学，各小学分别有电脑 15，7，11，
0 < a < b, 若 a,b 满足 f (a) = f (b) = 2 f ( a + b) 2
试写出 a 与 b 的关系，并证明在这一关系中存在 b 满足 3<b<4
22．（本题 16 分）A 和 B 两人掷骰子，掷出一点时，原掷骰子的人再继续掷，掷出不是一点 时，由对方接着掷，第一次由 A 开始掷，设第 n 次由 A 掷的概率是 Pn．试求：(1) Pn+1
(1)1 +
1 22
+
1 32
+L+
1 n2
<
2−
1 n
；(2)已知当 0 <
x
≤ 1时 ,1−
x2 6
<
sin x x
<1，
试用此式与(1)的不等式求 lim 1 (sin1+ 2sin 1 + 3sin 1 +L + n sin 1)
n→∞ n
2
3
n
18．（本题 14 分）若存在实数 x，使 f(x)=x，则称 x 为 f(x)的不动点，已知函数 f (x) = 2x + a x+b
值是___________． 10．100!末尾连续有______________个零． 二、解答题（本大题共 60 分，每题 10 分）
11．பைடு நூலகம்列{an}的
a1=1，a2=3，3an+2=2an+1+an，求
an
和
lim
n→∞
an
．
12．3 个自然数倒数和为 1．求所有的解． 13．已知 x1000+x999(x+1)+…+(x+1)1000，求 x50 的系数．
用 Pn 表示的式子；(2)
极限
lim
n→∞
Pn
2003 年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题 2003.1.4
一、填空题（本大题共 40 分，每题 4 分） 1．三次多项式 f(x)满足 f(3)＝2f(1)，且有两个相等的实数根 2，则第三个根为___________． 2．用长度为 12 的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积 S 的最大值是_______________．