上海交通大学2002-2010年保送生考试数学试题

上海交通大学 2002 年保送生考试数学试题
一、填空题（本题共 64 分，每小题 4 分）
1．设方程 x3=1 的一个虚数根为ω, 则ω 2n + ω n +1 (n 是正整数)=__________．
2．设 a,b 是整数，直线 y=ax+b 和 3 条抛物线：y=x2+3,y=x2+6x+7 与 y=x2+4x+5 的交点个数 分别是 2，1，0，则(a,b)=___________．
3，14 台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电 脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了________台，从第二小学向第三 小学移交了______台，从第五小学向第一小学移交了________台，移动总数是_________ 台． 二、计算与证明题（本题共 86 分） 17．（本题 12 分）（1）设 n 为大于 2 的整数，试用数学归纳法证明下列不等式：
(1)1 +
1 22
+
1 32
+L+
1 n2
<
2−
1 n
；(2)已知当 0 <
x
≤ 1时 ,1−
x2 6
<
sin x x
<1，
试用此式与(1)的不等式求 lim 1 (sin1+ 2sin 1 + 3sin 1 +L + n sin 1)
n→∞ n
2
3
n
18．（本题 14 分）若存在实数 x，使 f(x)=x，则称 x 为 f(x)的不动点，已知函数 f (x) = 2x + a x+b
13．若不等式 0 ≤ x2 + ax + 5 ≤ 4 有唯一解，则 a=_______________．
14．设 a,b,c 表示三角形三边的长，均为整数，且 a ≤ b ≤ c ，若 b=n（正整数），则可组成这
样的三角形______个． 15．有两个二位数，它们的差是 56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为_______． 16．某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等 5 所小学，各小学分别有电脑 15，7，11，
3．投掷 3 个骰子，其中点数之积为 9 的倍数的概率为___________．
4．若 x,y,z>0 且 x2+y2+z2=1，则
1 x2
+
1 y2
+
1 z2
的最小值为___________．
5．若 2x−2−x=2，则 8x=______________．
6．若 a,b,c 为正实数，且 3a=4b=6c，则 1 + 1 − 1 =_____________． a 2b c
有两个关于原点对称的不动点
(1) 求 a,b 须满足的充要条件； (2) 试用 y=f(x)和 y=x 的图形表示上述两个不动点的位置（画草图）
19．（本题 14 分）欲建面积为 144m2 的长方形围栏，它的一边靠墙 （如图），现有铁丝网 50m，问筑成这样的围栏最少要用铁丝
x
144m2
网多少米？并求此时围栏的长度．
用 Pn 表示的式子；(2)
极限
lim
n→∞
Pn
2003 年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题 2003.1.4
一、填空题（本大题共 40 分，每题 4 分） 1．三次多项式 f(x)满足 f(3)＝2f(1)，且有两个相等的实数根 2，则第三个根为___________． 2．用长度为 12 的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积 S 的最大值是_______________．
10．若 a,b 满足关系： a 1− b2 + b 1− a2 = 1 ，则 a2+b2=____________． 11． (x2 +1− 1 )9 的展开式中 x9 的系数是_____________．
2x
12．当1 ≤ a < 2 时，方程 a2 − x2 = 2 − | x | 的相异实根个数共有_____________个．
3．已知 x, y ∈ R+ ，x+2y＝1，则 2 + 2 的最小值是______________． xy
4．有 4 个数，前 3 个成等比数列，后 3 个成等差数列，首末两数和为 32，中间两数和为 24，则这四个数是___________________．
5．已知 f(x)=ax7+bx5+x2+2x−1，f(2)=−8，则 f(−2)=_______________． 6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________． 7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个部分． 8．有 n 个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法． 9．有一个整数的首位是 7，当 7 换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小
y
20．（本题 14 分）设数列{an}满足关系 an+1 = 2an2 −1 (n = 1, 2,L) ，若 N 满足
aN = 1(N = 2, 3,L) ， 试证明：(1) | a1 |≤ 1；
(2)
a1
=
cos
kπ 2N −2
（k 为整数）
21．（本题 16 分）设 f (x) =| lg x |, a,b 为实数，且
7．
(1 −
1 22
)(1 −
1 32
)L(1
−
1 n2
)
的值为_____________．
8．函数
y
=
sec2 sec2
x x
− +
tgx tgx
的值域为______________．
9．若圆内接四边形 ABCD 的边长 AB=4，BC=8，CD=9，DA=7，则 cosA=__________．
0 < a < b, 若 a,b 满足 f (a) = f (b) = 2 f ( a + b) 2
试写出 a 与 b 的关系，并证明在这一关系中存在 b 满足 3<b<4
22．（本题 16 分）A 和 B 两人掷百度文库子，掷出一点时，原掷骰子的人再继续掷，掷出不是一点 时，由对方接着掷，第一次由 A 开始掷，设第 n 次由 A 掷的概率是 Pn．试求：(1) Pn+1
值是___________． 10．100!末尾连续有______________个零． 二、解答题（本大题共 60 分，每题 10 分）
11．数列{an}的
a1=1，a2=3，3an+2=2an+1+an，求
an
和
lim
n→∞
an
．
12．3 个自然数倒数和为 1．求所有的解． 13．已知 x1000+x999(x+1)+…+(x+1)1000，求 x50 的系数．