复变函数积分与级数习题课
复变函数第3篇习题课
y
C2
解 设C1 : z x, x : 1 1
C1 1 O
|z|z dz C1
0 1
1
x
|x|x dx
1
C2 : z ei t , t : 0 d z eit i d t
|z|z dz
C2
ei
t
e i
t
i d t
idt i
0
0
i 原式= | z | z d z | z | z d z
解(C解3i1C)Cg自C22C：1CC：1z原C11zz2z：：C22点d1dzzCz3沿xz2虚3ix•iy3iy轴,,0,1,03yx(至(i3yx::x::0i0,00i再yi))1水223dd13平((x3C至1 zCi3i21y)zd)2izd6z3019(ii原y032原)3式x62 式d2i=(d=i6yx)6232962363ii i
故 被积函数 在 | z | 1 上 处处解析
积分结果为0. 6
49页8 直接得到下列积分的结果，并说明理由
Ñ (3) ez (z2 1) d z |z|1
解 结果为 0 , 因为 被积函数 ez (z2 1) 在 | z | 1上 处处解析， 所以 积分结果为0.
Ñ (4)
|z| 1 2
1 (z2 1) (z3 1)
dz
解 结果为 0 , 由 (z2 1) (z3 1) 0 得到
z 1, z 1 3 i
2 这2些点都在圆 | z | 1 的外部。
故
被积函数
在
|
z
|
1
上
2
处处解析
2
积分结果为0. 7
49页9 沿指定曲线的正向计算下列积分
复变函数与积分变(北京邮电大学)课后的习题答案
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z2cos πisin π1=+=-z35513cos πisin πi 3322=+=--z⑶33i +的平方根．解： πi 42233i=6i 6e 22⎛⎫+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∴()()1π12i 44ππ2π2π4433i 6e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪+=⋅=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2 解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
复变函数与积分变换第一章习题课.
解：
1）（1 i 3）10 [2(cos2 i sin 2 )]10
3
3
210 (cos20 i sin 20 )
3
3
1024(cos2 i sin 2 )
3
3
512 i512 3.
2)3
27
2k i
3e 3 , k
0,1,2.
13
13
w0
3( 2
i
2
), w1
3,
w2
3( 2
x2
x
y2
i
x2
y
y2
u iv,
u2 v2 1 . 4
13.已知映射 z3,求： 2）区域0 arg z 在平面上的像。
3
解：
2）映射 z3将区域0 arg z 映成
3
0 arg z .
15.设f (z) 1 ( z z ),(z 0),试证：当 2i z z
22
2
2 22
z 34 , Argz arctan5 2k , k 0,1,.
2
3
2.当x, y等于什么实数时，等式
x 1 i( y 3) 1 i 5 3i
成立。
解：
原式等价于x 1 i( y 3) 2 8i, 根据复数
相等的概念，有
x y
1 3
28,即
x 1 .
y 11
13. 三角函数
1）定义：
sin z eiz eiz , cos z eiz eiz
2i
2
2）性质： 在复平面内是解析的，且 (sin z) cosz ，(cosz) sin z ．
14. 对数函数
定义: 若 ew z ，则称 w 为复变函数 z 的对数 函数，记为 Lnz ．
(完整)《复变函数》练习题
(完整)《复变函数》练习题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)《复变函数》练习题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)《复变函数》练习题的全部内容。
福师12秋《复变函数》练习题注:1、本课程练习题所提供的答案仅供学员在学习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。
一、单项选择题1．2sin i =（ )A ． B. C ． D ．答案：D2．函数在复平面上（ ） A ．处处不连续B.处处连续，处处不可导C 。
处处连续，仅在点z =0可导 D.处处连续，仅在点z =0解析 答案:C3．设C 是绕点的正向简单闭曲线，则 ( )A ．B ．C ．D ．0答案：C 4．，分别是正向圆周与，则( ）A ．B ．cos2C ．0D ．sin2答案：D二、填空题1()e ei--1()e ei-+1()e e i --1e e-+2()f z z =00z ≠530()C z dz z z =-⎰2iπ3020z iπ502z i π1C 2C 1z =21z -==-+-⎰⎰dz z zi dz z e i c c z212sin 21221ππ2i π1. 设，则________。
考核知识点:复数代值。
2．设是解析函数．若,则______． 考核知识点:解析函数的导数.3. 设C 为正向圆周,则 。
考核知识点：柯西积分公式.4．幂级数的收敛半径为_________.考核知识点：幂级数的收敛半径。
5. = .考核知识点:复数的乘幂。
提示：6．设为的极点，则____________________．考核的知识点:函数的极点。
《复变函数与积分变换》习题册
《复变函数与积分变换》习题册合肥工业大学《复变函数与积分变换》校定平台课程建设项目资助2018年9月《复变函数与积分变换》第一章习题1.求下列各复数的实部、虚部、模、辐角和辐角主值:（1）122345i i i i +---； （2）312⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.2. 将下列复数写成三角表达式和指数形式:（1）1； （2）21i i+.3. 利用复数的三角表示计算下列各式:（1； （2）103⎛⎫4. 解方程310z +=.5. 设12cos z zθ-+=（0,z θ≠是z 的辐角），求证：2cos n n z z n θ-+=.6.指出满足下列各式的点z 的轨迹或所在范围.（1）arg()4z i π-=；（2）0zz az az b +++=，其中a 为复数，b 为实常数. （选做）7.用复参数方程表示曲线：连接1i +与i 41--的直线段.8.画出下列不等式所确定的图形，指出它们是否为区域、闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？并标出区域边界的方向.(1) 11,Re 2z z <≤；(2) 0Re 1z <<；9.函数z w 1=把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎么样的曲线？ （1）224x y +=； （2）x y =； （3）1=x .10.试证：0Re limz z z→不存在.《复变函数与积分变换》第二章习题1.用导数定义求z z f Re )(=的导数.2.下列函数在何处可导，何处不可导？何处解析，何处不解析？（1）z z f 1)(=； （2））32233(3)(y y x i xy x z f -+-=；3.试讨论y ix xy z f 22)(+=的解析性，并由此回答：若复变函数),(),()(y x iv y x u z f +=中的),(y x u 和),(y x v 均可微，那么iv u z f +=)(一定可导吗？4.设3232()(f z my nx y i x lxy =+++）为解析函数，试确定,,l m n 的值.5.设()f z 在区域D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的：（1）()f z =常数； （2）Re ()f z =常数； （3）()f z 解析.6.试解下列方程：（1）1ze =+； （2）0cos =z ； （3）0cos sin =+z z .7.求下列各式的值：（1）Ln(34)i -+； （2）i -33； （3）i e +2.8.等式33Ln 3Ln z z =是否正确？请给出理由.《复变函数与积分变换》第三章习题3.1复积分的概念与基本计算公式1. 计算积分dz ix y x C )(2⎰+-，其中C 为从原点到点1+i 的直线段.2．计算积分dz z zC ⎰的值，其中C 为2=z3.当积分路径是自i -沿虚轴到i ，利用积分性质证明：2)(22≤+⎰-dz iy x i i3.2柯西古萨基本定理1.计算积分dz z C ⎰1,其中C 为2=z2. 计算积分dz z e z C z)sin (⎰⋅-,其中C 为a z =.3.3基本定理的推广1. 计算积分dz z e Cz⎰,其中C 为正向圆周2=z 与负向圆周1=z 所组成。
复变函数_习题集(含答案)
22.用留数定理计算积分 .
23.用留数定理计算积分 ．
24.用留数定理计算积分 ．
25.用留数定理计算积分 ．
26.判断级数 的收敛性．
27.判断级数 的敛散性．
28.判断级数 的敛散性．
29.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
30.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
31.将 按 的幂展开，并指明收敛范围．
32.试将函数 分别在圆环域 和 内展开为洛朗级数．
33.试给出函数 在 处的泰勒展开式．
34.试将函数 分别在圆环域 内展开为洛朗级数．
35.试给出函数 在 处的泰勒展开式．
36.设 在区域 解析，证明在区域 内 满足下列等式
．
37.证明方程 的全部根均圆环 内．
故 ,即 在 上为 的上升函数.
(2)如果存在 及 使得 ,则有 .于是在 内 恒为常数,从而在 内 恒为常数.
39.证明：取 ,解析且连续到边界.
.
（根据Rouche定理）
故结论成立.
40.证明: 是调和函数.
使得 解析,
解析,
也是调和函数.
一、填空题1
（略）……
证明区域d上的调和函数我们有ixy上任何点处可微且满足cr条件
《复变函数》课程习题集
一、计算题
1.函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
2.试判断函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
3.试判断函数 在 平面上的哪些点处可微？哪些点处解析？
4.设函数 在区域 内解析， 在区域 内也解析，证明 必为常数．
14.计算积分 ，其中路径为（a）自原点到点 的直线段；(b)自原点沿虚轴到 ，再由 沿水平方向向右到 ．
复变函数--习题课
(4) ch2 z sh2 z 1;
(5) sin(iz) i sh z, cos(iz) ch z.
18
4）对数函数 满足方程ew z (z 0)的函数 w f (z)
称为对数函数, 记为 w Ln z. 因此 w Ln z ln z i Arg z
ln z i arg z 2ki (k 0,1, 2,). 其中ln z ln z i arg z( arg z )称为对数函 数Ln z的主值(支),所以
0
z0 z 0
x0 x
当 z 沿正虚轴 z iy 趋于0时，有
lim
f (z)
f (0)
lim
1
1 e y2
z0
z0
y0 yi
lim f (z) f (0) , 故 f (z) 在原点不可导.
z0
z0
27
例5 研究 f (z) z Re z 的可导性.
解 设 z0 x0 iy0 为 z 平面上任意一定点,
8
2. 解析函数
1)定义 如果函数 f (z) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可
导, 那末称 f (z) 在 z0 解析.
如果函数 f (z)在区域 D内每一点解析, 则称 f (z)在区域 D内解析. 或称 f (z)是 区域 D内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
如果函数 f (z) 在 z0 不解析, 那末称 z0 为 f (z) 的奇点.
线性部分.则 f (z0 ) z 称为函数 w f (z)在点 z0 的微分, 记作 dw f (z0 ) z.
f (z)dz.
7
如果函数在z0 的微分存在, 则称函数 f (z) 在 z0 可微.
如果函数 f (z)在区域 D内处处可微, 则称 f (z)在区域 D内可微. 可导与微分的关系 函数 w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ①：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y -⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．⑤解： ∵()()1,2i 211i,knkn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+=2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了． 下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和． 7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--===其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根. ⑴i 的三次根．解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cos isin i 662=+=+z ． 2551cos πisin πi 662=+=z3991cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根．πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭)()1π12i44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
《复变函数与积分变换》教学大纲
《复变函数与积分变换》教学大纲《复变函数与积分变换》教学大纲Complex Analysis and Integral Transforms课程编号:070A1040 试用专业:理工科各专业学时:39—42 学分: 2 一、内容简介：复变函数与积分变换是工科院校机电工程类各专业的基础课程，本课程主要讨论复变函数和积分变换。
内容主要包括：复数运算，解析函数，初等函数，复变函数积分理论，级数展开及留数理论，共形映射，拉普拉斯变换，富里叶变换。
二、本课程的目的和任务本课程为工科特别是自动控制、自动化、信号处理等专业的基础课。
要求学生掌握复分析及积分变换的方法，为处理讨论好线性系统作出必要的数学准备。
三、本课程与其他课程的关系学生必须首先学习过《高等数学》课程，才能进入本课程的学习。
本课程的后续课程是专业课或专业基础课，如《线性系统理论》及信号处理分析类课程，以及凡是用到拉普拉斯变换的各类工科课程。
四、本课程的基本要求由于《复分析》的基础课地位，及在应用科学中的重要性，要求学生应对本课程有基本的理解与掌握。
在工科各类专业中开设复变函数与积分变换，是为适应诸多专业的应用的。
如自动化或自动控制专业，要应用拉普拉斯变换于线性系统的理论分析，又如凡涉及信号处理的各类专业，要用复函的方法分析传递函数理论，计算机专业中各类网络中的信息压缩理论，其中的主要方法富氏变换压缩、小波数据压缩及分形压缩，前二者都必须以复变函数为基础，同样的情况又出现在各类信号处理中的时--频域分析方法中。
而对电磁类专业，力学及材料力学，热传导学中的平面问题的分析，也是主要用复变函数理论。
因此学生必须熟练掌握（1）复变解析函数理论（2）复变函数的积分理论及留数理论（3）拉氏变换与富氏变换理论。
学生还应掌握复变函数的一些基础理论如罗朗级数理论及奇点理论。
学生还应理解调和函数理论。
学生还应初步了解共形映射的理论。
五、课程内容及学时分配●理论教学内容第一章复数与复变函数(4学时)熟悉复数的概念，掌握复数的四则运算及共轭运算；熟悉复平面、模与辐角的概念，熟练掌握复数的各种表示法；了解复球面、无穷远点及扩充复平面的概念。
复变函数 第一章习题课
(3)
17
代入极坐标下拉普拉斯方程, 看是否满足.
∂ ∂v 1 ∂ 2 v ∂ sin ϕ 1 sin ϕ + = − + − ρ 2 ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂ρ ρ ρ ρ sin ϕ sin ϕ = 2 − 2 ≡ 0. (4)
ρ
ρ
可见, 前面假设的量函数v满足Laplace方程. 进一步, 应用C-R条件(求势函数u)
∂u 1 ∂v cosϕ ∂u ∂v sin ϕ = = 2 , = −ρ = . ∂ρ ρ ∂ϕ ∂ϕ ∂ρ ρ ρ
(5)
18
于是u的全微分为
cos ϕ ∂u ∂u cos ϕ sin ϕ du = dρ + dϕ = dρ + dϕ = d − . (6) 2 ∂ρ ∂ϕ ρ ρ ρ
9
消掉u的具体办法: Eq. (1a)左右对 左右对ϕ求偏导, 得到
1 ∂ 2v ∂ 2u = , 2 ∂ϕ∂ρ ρ ∂ϕ
接着Eq. (1b)左右乘ρ然后对ρ求偏导, 得到
∂ ∂v ∂ 2u =− , ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ∂ϕ
比较上面两式, 即可得到Eq. (3b).
两边同乘x2, 考虑到y/x=t, 所以得到
(1 + t 2 ) F ' ' (t ) + 2tF ' (t ) = 0.
(3)
F '' 2t 或者 F ' = − 1 + t 2 . 一次积分后, 得F ’(t)=C1/(1+t2). 再
次积分, 得到
F (t ) = C1arctg(t ) + C2 , (C1,2为积分常数)
923872-复变函数-7-习题课
f (t) 1
F
(
)e
it
d
2
i
F ( )sintd
0
2
0
sin
1
sint 2
d
即
0
sin sint 12
d
2 0,
sint, | t | | t |
.
例3 计算函数f (t ) e|t| cos t的Fourier变换, 并证明
(
)e
i
(1
)dt
ei
f
(
)e i( )
dt
eiF[tf (t)]
ie i
dF ( ) d
例7求函数f (t) tet2的Fourier变换,并推证
1
e
4 2
sintd
2
tet2 .
0
解 由钟型脉冲函数的Fourier变换知,
F[et2 ]
2
e 4 .
再由微分性质可得
F[tet 2 ]
0
t
]
F[t
cos
0t]
i(
1
0
)
( 0 )
i(
1
0
)
( 0 )
( 0 ) ( 0 )
(
1
0 )2
1
( 0 )
.
例6 求函数 (t 2)f (2t) 的傅里叶变换, 其中
F ( ) F[ f (t )].
解
F[( t
2)
f
(2t )]
1 2
1 2
F[tf
(t
)]
2
2F[ f (2t )]
习题课解答(1)
− − 复变函数与数理方程习题课问题解数学科学系 吴忠俊、黄俊涛2022年秋季1 第一次习题课解答1.1 C-R 条件+Cauchy 积分公式1. 设f (z )=x 3y 3+ i(x 3+y 3) x 2+y 2z =00z =0试证f (z )在原点满足C-R 方程, 但却不可导. 证明：令f (z ) = u + i v ，得到u (x, y ) =x 3 y 3x 2+y 2(x, y ) = (0,0)0(x,y )=(0,0)v (x, y ) =x 3+ y 3 x 2+y 2 (x,y )(0, 0)(x,y )=(0,0)因为u x (0, 0) = lim u (x,0)−u (0,0) = lim x 3 3 = 1x →0 x − 0u (0,y )−u (0,0) x →0 x −y 3u y (0, 0) =lim y →0 x − 0v (x,0)−v (0,0) =lim y →0 y 3 = −1x3v x (0, 0) =lim x →0 x −0 = lim x →0 x3 = 1v y (0, 0) = lim v (0,y )−v (0,0) = lim y 33 = 1y →0 x −0y →0 y− − ..(1 − z ) R− I s in z zIz (1 − z ) −Rz =1 z =1所以u x (0, 0) = v y (0, 0)，u y (0, 0) = −v y (0, 0)，此即柯西-黎曼方程在原点(0, 0)处成立。
但当z 沿直线y = kx 趋于0时，我们有f (z )−f (0)= z − 0x 3y 3+ i(x 3+ y 3)(x +i y )(x 2 +y 2) →1−k 3+i(1+k 3) (1 + i k )(1 + k 2)该极限随k 变化。
故lim f (z ) − f (0)不存在，所给函数f (z )在z = 0不可导。
复变函数 考试复习
第三章 习题课一、内容提要复变函数积分的定义，计算，性质。
柯西定理，柯西积分公式，高阶导数公式。
柯西不等式。
())(,1012重要的常用的积分⎩⎨⎧∈≠==-⎰Zn n n i a z dzncπ其中c 为包含a 在其内部的一条简单闭曲线 二、习题选解例1、沿第一象限中线路()2,1=ℑC ，计算积分xydy dx y x ic 222-+⎰，起点和终点分别为（1，0）和（0，1）1:12221=+=+y x c y x c ：解：（1）在t y t x c =-=,11上，则10,,≤≤=-=t dt dy dt dx()[](){}⎰⎰⎰-=-=-++--=-+∴11222211212)(1dt tdt t dx t t xydydx y x c（2）在)20(,sin ,cos 2πθθθ≤≤==y x c 上，⎰⎰⎰-=-+-=-+20220222235cos sin 2sin )sin (cos 2)(2ππθθθθθθθd d xydydx y x c例2，dz iz c 2)2(+⎰其中c 为从1到i +2的简单曲线 （引理）解：2)2(iz +在复平面上解析（连续），且有原函数3)2(31)(iz iz F +=[]{})1(313)2()2(231)1()2()2(332i i i i i F i F dz iz c +-=+-++=-+=+∴⎰ 例3、计算积分dz z i c )(-⎰，这里c 为（1）自0到i +1的直线段（2）自0到i +1的抛物线2x y =的弧段解：（1）从0到i +1的直线段的方程为ti t t i t z +=++⋅-=)1(0)1( 10≤≤t ，则()ii dti t dti i t t i ti t i dz z i c +-=+--=+--=+++-=++-=-⎰⎰⎰⎰211)12()1()1()1)(()(111（2）设弧段的方程为 10,2≤≤+=t i t t z 则dt ti i t t i dz z i c )21()()(102++-=-⎰⎰[]i dt t t t 322)1()32(1023+-=+-+--=⎰例4，计算dz z z e zz ⎰-=)1(23解：（一）积分闭路内有三个奇点z=0，-1，1，为此被积函数分解为部分分式，化为三个积分之和，使每个积分的被积函数只有一个奇点，再应用柯西公式，因为121121)1(2++-+-=-z e z e z e z z e z z z z)2(2212212121121)1(1133323-+=⋅⋅+⋅⋅+⋅-=++-+-=---====⎰⎰⎰⎰e e i e i e i e i dz z e dz z e dz z e dz z z e zz z z z z zz ππππ 故（二）作互不相交的互不包含的三个小圆周321,,c c c 分别包含0，1，-1，且都在3=z 内，应用复合围线积分定理，有)2()22(21)1(1)1(11)1()1()1()1(111222223321321-+=++=+⋅-+-⋅++⋅-=-+-+-=---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e i e e e i z dzz z e z dz z z e z dz z dzz z e dz z z e dz z z e dz z z e z cz c c zc z c z c z z ππ例5、计算：232)1(-⎰=z z dzz 解、被积函数22)1(1-z z 有两个奇点：01=z 积12=z ，都在2=z 内，利用复合围线积分定理，作圆周4114121=-=z c z c ：，：23411324123412341222)1(1)0()1(1)1()1()1(1-+--=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰=-====z z dz z z z z dz z z dzdz z z z z z z z 由高阶导数公式，得()0"11!22)1(02222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-==⎰z z z i z z dz π例6，P 56，9（2）证明01)(22≥=≤+⎰Kez z dz iy x c ，，若为有半单位圆π 证明：因为在C 上，122=+y xππ≤+≤+≤++≤+=+⎰⎰dy iy x dz iy x C iy x C y x y x iy x c c 222222224422)(1有，由积分估值公式，的长度为，又上，故在而例7、P 56，14 通过计算)21(1121 ，，=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰=n dz zz z nz 证明⎰⋅⋅-⋅⋅⋅=ππθθ2022642)12(5312cos nn d n证明：因为()θθθππθθd i id ee z dz z z n nni i nz ⎰⎰⎰=+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=20202221cos 21!)!2(!)!12(2!)!2(2)1(22!)22)(12(22)2!)(2!()!2(2cos )!()!2(2!)12()12(22!)12()12(211!)12()12(21211121002212112221n n n n n n n n n n n d n n i n n n n n izdz n n n n n dzz z z n n n n n z nz z z z z k i k dk z n n nn z nz n n nkz -=⋅-⋅--==⋅=+--=⋅+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++++=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎩⎨⎧-=-≠=⎰⎰⎰⎰==-=πππθθπππ 从而于是而0cos 2012=⎰-θθπd n 同理例8、计算221-⎰=z dzz解：因为，2=z 所以θπθθθd ie dz e z i i 2,20,2=≤==+===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=+-=---=-∴-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰=====θθππθθπθθd i i dz z dz z i z z dz i z z z dz i z dz zdzid e ie i d dz z z z z z i i 202222222cos 45234)20(32114132452)1)(1(2122222或原式例9、P 56 6，8，16，17 6、)('z g 在D 内解析[])(')()()('')()(z g z f z g z f z g z f +=，积分与路径无关。
(仅供参考)复变函数-第一章习题课
x2 + y2 x4
F ''(t) +
2y x3
F '(t)
=
0,
两边同乘x2, 考虑到y/x=t, 所以得到
(1+ t 2 )F ''(t) + 2tF '(t) = 0.
PlotPoints → 400, AspectRatio → 1,
TextStyle → 8FontSize → 20<E;
Show@u, vD
12
2
1
0
−1
y= -1
−2
−3
−4
−2
0
2
4
6
x=2
红线: u(x,y)=c1, 兰线: v(x,y)=c2, 分别是在点(2, -1)处 相切于直线x=2和y=-1的圆族. 两个切线本身也包含
偏导数:
∂v ∂x
= F '(t) ∂t ∂x
=
−
y x2
F '(t),
∂v ∂y
= F '(t) ∂t ∂y
= 1 F '(t), x
(2a)
∂2v ∂x 2
=
−
y x2
2 F ''(t)
+
2y x3
F '(t),
∂2v ∂y 2
=
1 x
2
F ''(t).
(2b)
14
将Eq.(2b)代入Laplace方程, 得
=
−
1
ρ
∂ 2u
∂ϕ 2
,
(2b)
比较Eqs. (2a)和(2b),自然得到
复变函数讲义-3-习题课
f (z) M ,那末 f (z)dz f (z)ds ML.
C
C
机动 目录 上页 下页 返回 结束
29
例9 设C为圆周 z − 1 = 2证明下列不等式.
c
z z
+ 1dz −1
8.
证明 因为 z − 1 = 2，
所以 z + 1 = z − 1 + 2 z − 1 + 2 = 2,
24
2)若封闭曲线C包含0而不包含1,则
由柯西积分公式得
C
ez z(1 −
z)3
dz
=
ez
C
(1 − z)3 d z z
= 2i ez (1 − z)3 z=0
= 2i.
y
O
•
1x
C
机动 目录 上页 下页 返回 结束
25
3)若封闭曲线C包含1而不包含0,则
f (z) = ez 在C内解析, 由高阶导数公式得 z
机动 目录 上页 下页 返回 结束
20
(2) a在曲线C内，b不在曲线C内
由高阶导数公式，有
1
C
(
z
−
1 a)n (
z
−
b)
dz
=
C
(
z−b z − a)n
dz
=
2i
1 (n−1)
(n − 1)! z − b
z=a
=
2i (−1)n−1
(n − 1)!
(n − 1)! (z − b)n
2
一、定积分与不定积分
定积分(参数方程法)常用于函数在积分曲线上有 奇点或在积分区域内部有无穷多奇点情况；不定 积分注意所要求条件
复变函数与积分变换课后习题答案
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()R e in=，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++ ①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈C ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈C ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3) 的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根．πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭∴)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z=12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
《复变函数与积分变换》课程教学大纲
《复变函数与积分变换》课程教学大纲一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学生需掌握知识与能力及其应达到的水平）课程性质：《复变函数与积分变换》的理论和方法广泛应用于电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。
对于本专业而言，是学习《自动控制原理》、《现代控制理论》、《线性系统理论》、《信号与系统》等许多相关课程的必须先修课程之一。
教学目标：通过本课程的讲授和学习，使学生在学习高等数学的基础上，系统的掌握《复变函数与积分变换》中必要的基础理论和常用的计算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法来有效地比较系统地解决一些问题。
并且逐步培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地提升分析问题、解决问题的水平和能力。
并为后续的专业基础课程、专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要相当水准的理论知识基础。
本课程的具体教学目标如下：1.熟练掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本概念、基本理论、基本方法和某些相关的应用，为进一步学习打下坚实的理论基础。
2.大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电气系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。
3.基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业课上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。
为以后解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。
教学目标与毕业要求的对应关系：二、课程教学内容及学时分配（含课程教学、自学、作业、讨论等内容和要求，指明重点内容和难点内容。
复变函数与数理方程教学（吴昊）cvpde11_hw到第13次
复变函数与数理方程作业题数学科学系吴昊2014年秋季§1复变函数与积分变换§1.1第01次课作业刚刚开学，大家适应一下，本次课程不布置作业。
§1.2第02次课作业（10月9日提交）习题1.1下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？（并给出具体过程）(1)|z−a|=|z−b|(a,b为复常数),(2)|z|+Re z≤1,(3)Re (1z)=2.习题1.2计算下列数值(a,b,φ为实常数，x为实变量)(1)i i,(2)cosφ+cos2φ+···+cos nφ,(3)sin(a+i b),(4)cos(i x).习题1.3(1)用复变量表示过点(1,3),(−1,4)的直线的方程；(2)设A,C∈R,B∈C，问方程Azz∗+BZ∗+B∗z+C=0在什么条件是圆方程，并求其圆心和半径。
1习题1.4已知解析函数f (z )的实部u (x,y )或虚部v (x,y )，求该解析函数(1)u =e x sin y,(2)u =x 2−y 2(x 2+y 2)2,f (∞)=0,(3)u =ln ρ,f (1)=0.习题1.5指出下列多值函数的支点及其阶(1)√(z −a )(z −b ),(2)ln(z −a ).§1.3第03次课作业（10月16日提交）习题1.6(1)已知函数ψ(t,x )=e 2tx −t 2，将x 作为参数，t 为复变数，试应用柯西积分公式将∂n ψ∂t n t =0表示为回路积分。
(2)对回路积分进行变量替换ζ=x −z ，并由此证明∂n ψ∂t n t =0=(−1)n e x 2d n d x n e −x 2.习题1.7计算下面积分(1) |z |=1d z cos z ,(2) |z |=1d z z 2+2z +4,(3) |z |=2z 3cos z d z,(4) |z |=4(4z +1+3z +2i )d z.习题1.8用积分|z |=1d z z +2,计算积分∫π01+2cos θ5+4cos θd θ.习题1.9求下列幂级数的收敛圆(1)∞∑k =11k (z −i)k ,(2)∞∑k =1k ln k (z −2)k ,(3)∞∑k =1k !(z k )k ,(4)∞∑k =1k k (z −3)k .2§1.4第04次课作业（10月23日提交）习题1.10在指定点z 0的邻域上将下列函数展开为泰勒级数(1)3√z,z 0=i ,(2)ln(1+e z ),z 0=0,(3)(1+z )1/z ,z 0=0,(4)sin 2z,z 0=0.习题1.11在挖去奇点z 0的环域上或指定环域上将下列函数展开为洛朗级数(1)z 5e 1/z ,z 0=0,(2)1/z 2(z −1),z 0=1(3)1/(z 2−3z +2)在1<|z |<2或2<|z |<∞,(4)sin(1/z )在奇点,(5)e z /z 在奇点,(6)1/z 2(z 2−1)2在0<|z |<1或1<|z |<∞.§1.5第05次课作业（10月30日提交）习题1.12确定下列函数的奇点，求出函数在各奇点的留数(1)e z /(1+z ),(2)e i z /(z 2+a 2),(3)1/(z 3−z 5),(4)z 2n /(z +1)n ,(5)e 1/(1−z ).习题1.13计算下列回路积分(1) ℓd z (z 2+1)(z −1)2,(ℓ的方程是x 2+y 2−2x −2y =0),(2) |z |=2z d z 12−sin 2z .习题1.14计算下列实变函数定积分(1)∫2π0d x (1+εcos x )2,0<ε<1,(2)∫2π0sin 2x d x a +b cos x ,(a >b >0),(3)∫2π0cos x d x 1−2εcos x +ε2,(|ε|<1),(4)∫2π0cos 2n x d x.3习题1.15计算下列实变函数定积分(1)∫∞−∞d x (x 2+a 2)2(x 2+b 2),(2)∫∞−∞x 2d x (x 2+9)(x 2+4)2,(3)∫∞0x 2+1x 6+1d x,(4)∫∞0x 2mx 2n +1d x,(m <n ).§1.6第06次课作业（11月6日提交）习题1.16计算下列实变函数定积分(1)∫∞0cos x (x 2+a 2)(x 2+b 2)d x,(2)∫∞−∞e i mx x −i αd x,(m >0,Re α>0),(3)∫∞0sin mx x (x 2+a 2)d x,(m >0,a >0),(4)∫∞0x sin x 1+x 2d x.习题1.17计算下列实变函数定积分(1)∫2π0d x 2+cos x ,(2)∫π0a d x a 2+sin 2x ,(a >0)(3)∫∞−∞x 2+1x 4+1d x,(4)∫∞0x 2(x 2+a 2)2d x,(5)∫∞0cos mx 1+x 4d x,(m >0),(6)∫∞0sin 2x x 2d x.§1.7第07次课作业（11月13日提交）习题1.18求下列函数的傅里叶变换(1)f (x )={sin x,|x |≤π,0,|x |>π.(2)f (x )=1a 2+x 2,a >0.(3)f (x )=sin 3x.(4)f (x )=e i ω0x u (x ).(5)f (x )=1−2δ(x )+3δ′(x ).习题1.19求函数f (x )=xe −x 2的傅里叶变换，并推证∫+∞0ωe −ω2/4sin(ωx )d ω=2√πxe −x 2.注：该题必须写出具体推导过程，不能套用课本的例题结论。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C
i
C2 C1
O
i
x
1 1 1 C z( z 2 1)dz C1 zdz C2 2( z i ) dz
1 2i 2i 2
i .
解法二
利用柯西积分公式
1 1 在C 2内解析, f1 ( z ) 2 在C1内解析, f 2 ( z ) z( z i ) z 1
C f ( z )dz C
1
f ( z )dz f ( z )dz;
C2
(5) 设曲线 C 的长度为 L, 函数 f ( z ) 在 C 上满足 f ( z ) M , 那末
C f ( z )dz C
f ( z ) ds ML.
(4) 柯西定理
如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析, 那末函数 f ( z ) 沿 B 内的任何一条封闭曲线 C 的积分为零 :
ez C z(1 z )3 dz e e dz dz 3 3 C1 z (1 z ) C 2 z (1 z )
z z
y
C1
C
C2
1
O
x
ez 而积分 dz即为2)的结果2i , 3 C1 z (1 z ) e 而积分 dz 即为3)的结果 ei , 3 C 2 z (1 z ) e 所以 dz ( 2 e )i . 3 C z (1 z )
1 1 1 C z( z 2 1) dz C1 z( z 2 1) dz C2 z( z 2 1) dz
解法一
利用柯西定理及重要公式
1 1 1 1 1 1 2 z( z 1) z 2 z i 2 z i
由柯西定理有
y
1 1 C1 2 z i dz 0, 1 1 C1 2 z i dz 0, 1 1 1 C2 zdz 0, C2 2 z i dz 0,
2i f1 (0) 2if 2 ( i )
ei i 2i 2i i ( 2 e ) 2
[sin 1 i ( 2 cos 1)].
ez 例4 计算 dz,其中C是不经过0与1的闭 3 C z (1 z ) 光滑曲线 .
例3
3 沿指定路径 C : z i 计算以下积分 2
1 (1) dz; C z ( z 2 1)
ez ( 2) dz . C z ( z 2 1)
1 在C内有两个奇点z 0及z i分别 解 (1) 2 z( z 1) 以z 0及z i 为圆心,以1 4 为半径作圆C1及C 2 , 则 由复合闭路定理有
(1) f ( z )dz
C C C C
f ( z )dz;
( 3) [ f ( z ) g( z )]dz f ( z )dz g( z )dz;
C C C
( 2) kf ( z )dz k f ( z )dz; ( k为常数)
(4) 设C由C1 , C2连结而成, 则
z z
dz 例5 计算下列积分 (1) z 1 z n , n为大于1的自然数.
解
ez ( 2) dz . n z 1 z
1 ez 因为 z 0 是 n 和 n 的奇点, 所以 z z
dz 2i ( n1) 0; (1) ( 1 ) n z 0 z 1 z ( n 1)!
( 2)
ez 在C内有两个奇点z 0及z i分别 2 z ( z 1)
以z 0及z i 为圆心,以1 4 为半径作圆C1及C 2 , 则 由复合闭路定理有
ez ez ez C z( z 2 1) dz C1 z( z 2 1) dz C2 z( z 2 1) dz
e 2i (1 z )3 z 0
2i .
z
O C
1
x
3)若封闭曲线C包含1而不包含0, 则
ez f ( z ) 在C内解析, 由高阶导数公式得 z ez ez z ez z C z(1 z )3 dz C (1 z )3dz C ( z 1)3dz
c f ( z )dz 0.
定理1 如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解 析, 那末积分 f ( z )dz 与连结起点及终点的路
C
线 C 无关.
由定理得
f ( z )dz f ( z )dz z C C
1 2
z1
0
f ( z )dz
B
B
z0
C1 C2
这里 z0 , z1 为域 B 内的两点.(牛顿-莱布尼兹公式)
(6).闭路变形原理
一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲 线在区域内作连续变形而改变它的值. (7).复合闭路定理 设 C 为 多连通域 D 内的一条简单闭曲线 ,
C1 , C 2 , , C n 是在 C 内部的简单闭曲线 , 它们 互不包含也互不相交, 并且以 C , C1 , C 2 , , C n 为边界的区域全含于 D, 如果 f ( z ) 在 D 内解析,
1 1 1 C z( z 2 1) dz C1 z( z 2 1) dz C2 z( z 2 1) dz 1 ( z 1) 1 [ z( z i )] dz dz C1 C2 z zi
2
2i f1 (0) 2if 2 ( i ) 1 2i 2i i . 2
i
(8).高阶导数公式
解析函数 f ( z ) 的导数仍为解析函数 , 它的 n 阶 导数为 : f
(n)
n! f (z) ( z0 ) ( n 1,2,) n 1 dz 2i C ( z z0 )
其中 C 为在函数 f ( z ) 的解析区域 D 内围绕 z0 的 任何一条正向简单闭曲 线, 而且它的内部全含于D.
(7).柯西积分公式
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处解析, C 为 D 内的任何一条正向简单 闭曲线, 它的内部完全含 于 D, z0 为 C 内任一点, 那末 1 f (z) f ( z0 ) dz . 2i C z z0
如果 C 是圆周 z z0 R e , 则有 1 2π i f ( z0 ) f ( z0 R e )d . 0 2π 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 平均值.
z e e 在C 2内解析, f1 ( z ) 2 在C1内解析, f 2 ( z ) z( z i ) z 1
z
因此由柯西积分公式得
ez ez ez C z( z 2 1) dz C1 z( z 2 1) dz C2 z( z 2 1) dz
e z ( z 2 1) e z z( z i ) dz dz C1 C 2 z zi
B
1 2
z1 z2
zk 1
o
x
（2）.积分存在的条件及线积分的计算
（a）化成线积分
设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 沿逐段光滑的曲线 C 连续, 则积分 f ( z )dz 存在, 且
C
C f ( z )dz C u( x, y)dx v( x, y)dy i C v( x, y)dx u( x, y)dy.
2i f (1) 2!
( z 2 2 z 2)e z i 3 z
ei .
z 1
4)若封闭曲线C既包含1又包含0,
则分别以0,1为圆心,以 0为半径作圆C1 , C 2 , 使C1和C2也在C内, 且C1与C 2互不相交, 互不包含,
据复合闭路定理有
因此 F ( z ) f ( )d 是 f ( z ) 的一个原函数.
z
f ( z ) 的任何两个原函数相差 一个常数.
定理 如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析, G ( z ) 为 f ( z ) 的一个原函数 , 那末
z0
z
z1
0
f ( z )dz G ( z1 ) G ( z0 )
复变函数积分与级数 习题课
一、复积分重点与难点
重点：1. 复积分的基本定理；
2. 柯西积分公式与高阶导数公式
难点：复合闭路定理与复积分的计算
1、复积分基本定理
（1）.积分的定义
f ( k ) zk . C f ( z )dz lim n k 1
y
k
A
n
C z n 1
zk
难点：函数展开成洛朗级数
四、内容提要
1.复变函数项级数
设 { f n ( z )} ( n 1,2,) 为一复变函数序列,
（b）用参数方程将积分化成定积分 设简单光滑曲线C 的参数方程是
z z( t ) x( t ) iy( t ) (a t b)
则
C f ( z )dz a f [ z(t )] z(t )dt .
b
(3).积分的性质
设 f ( z ), g( z )沿曲线C连续.
z1
C1
z0
C2
z1
定理2
如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解
z z0
析, 那末函数 F ( z ) f ( )d 必为 B 内的一个 解析函数, 并且 F ( z ) f ( z ).
(5).原函数的定义
如果函数 ( z ) 在区域 B 内的导数为f ( z ), 即 ( z ) f ( z ), 那末称 ( z ) 为 f ( z ) 在区域 B 内 的原函数.
zdz (t it )d(t it )
c