复变函数积分与级数习题课

这里 z0 , z1 为域 B 内的两点.(牛顿-莱布尼兹公式)
(6).闭路变形原理
一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲 线在区域内作连续变形而改变它的值. (7).复合闭路定理 设 C 为 多连通域 D 内的一条简单闭曲线 ,
C1 , C 2 , , C n 是在 C 内部的简单闭曲线 , 它们 互不包含也互不相交, 并且以 C , C1 , C 2 , , C n 为边界的区域全含于 D, 如果 f ( z ) 在 D 内解析,
ez C z(1 z )3 dz e e dz dz 3 3 C1 z (1 z ) C 2 z (1 z )
z z
y
C1
C
C2
1

O
x
ez 而积分 dz即为2)的结果2i , 3 C1 z (1 z ) e 而积分 dz 即为3)的结果 ei , 3 C 2 z (1 z ) e 所以 dz ( 2 e )i . 3 C z (1 z )
复变函数积分与级数 习题课
一、复积分重点与难点
重点：1. 复积分的基本定理；
2. 柯西积分公式与高阶导数公式
难点：复合闭路定理与复积分的计算
1、复积分基本定理
（1）.积分的定义
f ( k ) zk . C f ( z )dz lim n k 1
y
k
A
n
C z n 1
zk
2i f1 (0) 2if 2 ( i )
ei i 2i 2i i ( 2 e ) 2
[sin 1 i ( 2 cos 1)].
ez 例4 计算 dz,其中C是不经过0与1的闭 3 C z (1 z ) 光滑曲线 .
1
1
1 1 i 1 i. 2 2
cos(z 100 z 1) dz . 例2 计算 z 1 2 z 2z 4
解
被积函数奇点不在积分区域内，
故由柯西定理得

cos(z z 1) dz 0. z 1 2 z 2z 4
100
那末
D
C
C1
C2
C3
(1) f ( z )dz f ( z )dz ,
C k 1 Ck
n
( 2) f ( z )dz 0.

其中 C 及 Ck 均取正方向;
这里 为由 C , C1 , C 2 , , C n 组成的复合闭路 (其方向是 : C 按逆时针进行 , C1 , C 2 , , C n按 顺时针进行 ).
2i z 2i e z dz 2i z ( n 1 ) e . ( 2) (e ) n z 0 ( n 1)! z 1 z ( n 1)! z 0 ( n 1)!
高阶导数公式应用
三、复变函数级数重点与难点
1、幂级数收敛半径 重点：
2、函数展开成泰勒级数与洛朗级数
B
1 2
z1 z2
zk 1
o
x
（2）.积分存在的条件及线积分的计算
（a）化成线积分
设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 沿逐段光滑的曲线 C 连续, 则积分 f ( z )dz 存在, 且
C
C f ( z )dz C u( x, y)dx v( x, y)dy i C v( x, y)dx u( x, y)dy.
z e e 在C 2内解析, f1 ( z ) 2 在C1内解析, f 2 ( z ) z( z i ) z 1
z
因此由柯西积分公式得
ez ez ez C z( z 2 1) dz C1 z( z 2 1) dz C2 z( z 2 1) dz
e z ( z 2 1) e z z( z i ) dz dz C1 C 2 z zi
C
i
C2 C1
O
i
x
1 1 1 C z( z 2 1)dz C1 zdz C2 2( z i ) dz
1 2i 2i 2
i .
解法二
利用柯西积分公式
1 1 在C 2内解析, f1 ( z ) 2 在C1内解析, f 2 ( z ) z( z i ) z 1
zdz (t it )d(t it )
c
1
(1,1)
( t it )(1 i )dt
0
0 1
C
O
C2
2tdt 1;
0
1
C 1 (1,0)
x
2) zdz zdz zdz
c c1 c2
tdt (1 it )idt
0 0
因此 F ( z ) f ( )d 是 f ( z ) 的一个原函数.
z
f ( z ) 的任何两个原函数相差 一个常数.
定理 如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析, G ( z ) 为 f ( z ) 的一个原函数 , 那末
z0
z
z1
0
f ( z )dz G ( z1 ) G ( z0 )
例3
3 沿指定路径 C : z i 计算以下积分 2
1 (1) dz; C z ( z 2 1)
ez ( 2) dz . C z ( z 2 1)
1 在C内有两个奇点z 0及z i分别 解 (1) 2 z( z 1) 以z 0及z i 为圆心,以1 4 为半径作圆C1及C 2 , 则 由复合闭路定理有
2i f (1) 2!
( z 2 2 z 2)e z i 3 z
ei .
z 1
4)若封闭曲线C既包含1又包含0,
则分别以0,1为圆心,以 0为半径作圆C1 , C 2 , 使C1和C2也在C内, 且C1与C 2互不相交, 互不包含,
据复合闭路定理有
(7).柯西积分公式
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处解析, C 为 D 内的任何一条正向简单 闭曲线, 它的内部完全含 于 D, z0 为 C 内任一点, 那末 1 f (z) f ( z0 ) dz . 2i C z z0
如果 C 是圆周 z z0 R e , 则有 1 2π i f ( z0 ) f ( z0 R e )d . 0 2π 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 平均值.
e 2i (1 z )3 z 0
2i .
z
O C
1

x
3)若封闭曲线C包含1而不包含0, 则
ez f ( z ) 在C内解析, 由高阶导数公式得 z ez ez z ez z C z(1 z )3 dz C (1 z )3dz C ( z 1)3dz
z1
C1
z0
C2
z1
定理2
如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解
z z0
析, 那末函数 F ( z ) f ( )d 必为 B 内的一个 解析函数, 并且 F ( z ) f ( z ).
(5).原函数的定义
如果函数 ( z ) 在区域 B 内的导数为f ( z ), 即 ( z ) f ( z ), 那末称 ( z ) 为 f ( z ) 在区域 B 内 的原函数.
( 2)
ez 在C内有两个奇点z 0及z i分别 2 z ( z 1)
以z 0及z i 为圆心,以1 4 为半径作圆C1及C 2 , 则 由复合闭路定理有
ez ez ez C z( z 2 1) dz C1 z( z 2 1) dz C2 z( z 2 1) dz
1 1 1 C z( z 2 1) dz C1 z( z 2 1) dz C2 z( z 2 1) dz
解法一
利用柯西定理及重要公式
1 1 1 1 1 1 2 z( z 1) z 2 z i 2 z i
由柯西定理有
y
1 1 C1 2 z i dz 0, 1 1 C1 2 z i dz 0, 1 1 1 C2 zdz 0, C2 2 z i dz 0,
二、复积分典型例题
例1 计算 czdz 的值，其中C为 x t , y t ,0 t 1; 1）沿从 (0,0) 到(1,1) 的线段： C1 : x t , y 0,0 t 1, 2）沿从 (0,0) 到 (1,0) 的线段： 与从 (1,0) 到 (1,1) 的线段 C 2 : x 1, y t ,0 t 1 所接成的折线. y 解
1 1 1 C z( z 2 1) dz C1 z( z 2 1) dz C2 z( z 2 1) dz 1 ( z 1) 1 [ z( z i )] dz dz C1 C2 z zi
2
2i f1 (0) 2if 2 ( i ) 1 2i 2i i . 2
（b）用参数方程将积分化成定积分 设简单光滑曲线C 的参数方程是
z z( t ) x( t ) iy( t ) (a t b)
则
C f ( z )dz a f [ z(t )] z(t )dt .
b
(3).积分的性质
设 f ( z ), g( z )沿曲线C连续.
z z
dz 例5 计算下列积分 (1) z 1 z n , n为大于1的自然数.
解
ez ( 2) dz . n z 1 z
1 ez 因为 z 0 是 n 和 n 的奇点, 所以 z z
dz 2i ( n1) 0; (1) ( 1 ) n z 0 z 1 z ( n 1)!
C f ( z )dz C
1
f ( z )dz f ( z )dz;
C2
(5) 设曲线 C 的长度为 L, 函数 f ( z ) 在 C 上满足 f ( z ) M , 那末
C f ( z )dz C
f ( z ) ds ML.
(4) 柯西定理
如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析, 那末函数 f ( z ) 沿 B 内的任何一条封闭曲线 C 的积分为零 :
c f ( z )dz 0.
定理1 如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解 析, 那末积分 f ( z )dz 与连结起点及终点的路
C
线 C 无关.
由定理得
f ( z )dz f ( z )dz z C C
1 2
z1
0
f ( z )dz
B
B
z0
C1 C2
i
(8).高阶导数公式
解析函数 f ( z ) 的导数仍为解析函数 , 它的 n 阶 导数为 : f
(n)
n! f (z) ( z0 ) ( n 1,2,) n 1 dz 2i C ( z z0 )
其中 C 为在函数 f ( z ) 的解析区域 D 内围绕 z0 的 任何一条正向简单闭曲 线, 而且它的内部全含于D.
难点：函数展开成洛朗级数
四、内容提要
1.复变函数项级数
设 { f n ( z )} ( n 1,2,) 为一复变函数序列,
解 分以下四种情况讨论：
1)若封闭曲线C既不包含0也不包含1, 则
ez f (z) 3 在C内解析, z(1 z ) ez 由柯西定理得 C z(1 z )3 dz 0.
2)若封闭曲线C包含0而不包含1, 则
ez f (z) 3 在C内解析,由柯西积分公式得 (1 z ) y ez e z (1 z )3 C z(1 z )3 dz C z dz
(1) f ( z )dz
C C C C
f ( z )dz;
( 3) [ f ( z ) g( z )]dz f ( z )dz g( z )dz;
C C CBiblioteka Baidu
( 2) kf ( z )dz k f ( z )dz; ( k为常数)
(4) 设C由C1 , C2连结而成, 则