高等数学课件导数与微分

osxxs 2
inx 2
x
c
oxs
2
即
(sin x) = cos x.
同理可得 (cos x) = sin x.
例 5 求函数 y = ax ( a＞0 , a≠1) 的导数 .
解
y
lim
y
axx lim
ax
x x0
x0
x
l i max ax 1 limaxexlna 1
tt0 t t0
x0 t
f (t0 )
f (t)
o t0
t
y
yf(x)
s
切线斜率
k limf(x)f(x0) xx0 xx0
lim
x0
y x
CM
N T
两个问题的共性:
o x 0 x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 化
yf(x)在点 x 0 的导数. 记作:
y xx0 ;
f(x0);
dy dx
x
x0
;
df (x) dx x x0
即
y
xx0
f(x0)
lim y x0 x
lim f(x0x)f(x0)lim f(x0h)f(x0)
x 0
x
h 0
h
运动质点的位置函数 sf(t)
在 t 0 时刻的瞬时速度
f (t0 )
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
率 问
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 题
二、导数的概念
定义1 . 设函数 yf(x)在点 x 0 的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0) lim y
x x 0 xx0
x0 x
yf(x)f(x0) xxx0
存在, 则称函数 f ( x) 在点 x 0 处可导, 并称此极限为
lim f (x) f (x0) lim y
x x0
x x0
x0 x
yf(x)f(x0) xxx0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x 0 不可导.
若 lim y , 也称 x0 x
f (x)
在
x0
的导数为无穷大
.
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数.
x
y′=lxi→ m0xy =0
即 (c)0.
这就是说:常数的导数等于零.
例如:若 y = 8 ,则 y 0
***例 4 求函数 y = sin x 的导数.
解来自百度文库
y lim y limsinx (x)sinx
x x0
x 0
x
2cosxxsinx
lim 2 2
x0
x
1,2,3步合并
limc x0
若 f(x0),切线与 x 轴垂直 .
o y
x 0 x
f(x0)时 ,曲线在点 (x0 , y0) 处的
切线方程: y y 0 f( x 0 )x (x 0 ) o x0
x
法线方程: yy0f(1x0)(xx0) (f(x0)0)
三、 可导与连续
定理1. f(x)在点 x处可导 f(x)在点x处连续
t
s
2. 曲线的切线斜率
y
曲线 C:yf(x)在 M 点处的切线
yf(x)
N
割线 M N 的极限位置 M T
(当时)
CM
T
切线 MT 的斜率
o x 0 x x
ktan limtan
割线 M N 的斜率
tan
f(x)f(x0) xx0
k
xl im x0 f(xx)xf0(x0)
lim
x0
y x
瞬时速度 vlim f(t)f(t0) lim s
记作: y ; f (x) ; d y ; d f ( x ) . d x dx
注意:
f (x0)
f (x) xx0
d
f (x0) dx
2. 左 右导数
定义2 . 设函数 yf(x)在点 x 0 的某个右 (左) 邻域内
有定义, 若极限
lim ylim f(x 0 x)f(x 0)
x 0 x x 0
3.导数的几何意义
y yf(x)
曲线 y f (x)在点 (x0 , y0)的切线斜率为
tan f(x0)
CM
T
若 f(x0)0,曲线过 (x0 , y0)上升;
o x0
y
x
若 f(x0)0,曲线过 (x0 , y0)下降;
若 f(x0)0,切线与 x 轴平行, x 0 称为驻点;
(x0 , y0)
o t0
f (t) s t
v lim tt0
f(t)f(t0) t t0
f(t0)
曲线 C:yf(x)在 M 点处的切线斜率
k lim
xx0
f(x)f(x0) x x0
f(x0)
y
yf(x)
N
CM
T
说明: 在经济学中, 边际成本率, o x 0 x x
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
导数与微分
一、 两个实例
1. 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为 sf(t)
则 t 0 到 t的平均速度为
v
f(t)f(t0) t t0
s t
而在 t 0 时刻的瞬时速度为
vtl im t0 f(tt)tf0(t0)
lim
x0
s t
自由落体运动
s
1 2
gt2
f (t0 )
o t0
f (t)
(x0)
(x0)
x
x0
存在,则称此极限值为 f ( x) 在 x 0 处的右 (左) 导数, 记作
f(x0) (f(x0)) 即 f (x0)xl i0m f(x0 xx)f(x0)
定理 函数 yf(x)在点 x 0 可导的充分必要条件
是 f (x0)与 f (x0)存,且在 f(x0)f(x0).
证: 设 yf(x)在点 x 处可导, 即 limy f(x) x0x
存在 , 因此必有
y f(x), 其中 lim0
x
x0
故 y f(x ) x xx0 0
所以函数 yf(x)在点 x 连续 .
y
y x
注意: 函数在点 x 连续未必可导.
反例: y x 在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
简写为 f (x0)存在
f(x0) f(x0)
定理3. 函数 f ( x) 在点 x 0 处右 (左) 导数存在 f ( x) 在点 x 0 必 右 (左) 连续.
若函数 f ( x) 在开区间 (a ,b)内可导, 且 f(a) 与 f(b) 都存在 , 则称 f ( x) 在闭区间 [a , b]上可导.
x
四、求导举例
求函数 y f (x)的导数 y的步骤：
（1）求增量：y f (x x) f (x) ,
（2）算比值： y f (x x) f (x) ,
x
x
（3）取极限： y lim y .
x0 x
*例 3 求函数 y = c(c为常数) 的导数.
解 因为 y = c为常数,所以 y = 0, y 0,