2011年全国初中数学竞赛预赛试题含答案

2011年全国初中数学竞赛预赛试题参考答案

一、选择题

（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．如果2

1

21≤≤-

x ，则=+-+++14414422x x x x （ B ） （A ）x 4 （B ）2 （C ）2- （D ）x 42-

2．如果多项式201142222++++=b a b a p ，则p 的最小值是（ A ）

（A ） 2008 （B ） 2009 （C ） 2010 （D ） 2011

3．已知四边形ABCD 中，∠A ＝60 ，CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，

CB ＝2，CD ＝1.则AB 的长为（ C ） （A ） 3 （B ） 34

（C ）

334 （D ） 34

3

4．在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2

点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退。开始时骰子如图（1）那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图（2）所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的（ D ）

（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）1

5．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ A ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分. ）

B

A

C

D

6．从分数组{}111111,,,,,24681012

中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去的两个

数是 ． 解：11810

与

7．如果我们把y x *定义为)1)(1(++=*y x y x ，2

*x 定义为x x x *=*2

，那么多项式

12)(32+*-**x x ，当2=x 时的值为 .

解：32

8．将54321，，，，这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有 种。 解：5种

9．若[]x 表示不超过x 的最大整数，且满足方程[]04953=-+x x ，则x ＝ ． 解．

3

19

10．如图，在ABC ∆中，M 是边AB 的中点，N 是边AC

AN

相交于点K ，若BCK ∆的面积等于1，则ABC ∆解：4

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．若干个1与2排成一行：1，2，1，2，2，l ，2，2，2，1，2，．．．，规则是：第1个数

是l ，第2个数是2，第3个数是1．一般地，先写一行1，再在第k 个1与第k + 1个1之间插入k 个2 (k = 1，2，3，．．．)．试问：(1) 第2011个数是1还是2 ？

(2) 前2011个数的和是多少?

解： (1)第2011个数是2． ………………………………10分

(2)前2011个数的和为3960． ……………………20分

12．某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后

每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？ 解：设从6时起x 分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车S 辆，进场车y 辆，则

⎪⎩

⎪

⎨⎧->+=-=3815)

1(6x y y S S x ……………………………………6分

∴ 3)1(6)15(8-->-S S ， 解得 5.55>S ．……………………10分

∵ S 为正整数，∴ S ＝56，

即到第56辆车开出后，停车场内第一次出现无车辆． ………………15分 此时330)156(6=-=x ，6+

60

330

=11.5（时） 答：到11时30分时，停车场内第一次出现无车辆．……………………20分

13．如图，OA 是⊙O 的直径，延长OA 至B ，使OA=AB ，C 是OA 的中点，D 是圆周上的点，连结CD 、BD 求证：BD=2CD

证明：延长DC 至E ，使连结DO 、DA 、EA 、EO

DC=CE ，C 是OA 的中点

∴四边形OEAD 是平行四边形 ∴OD=AE ，OE DA

OD=OA ，OA=AB ，∴AE=AB ，AE=OA

∴AOE AEO ∠=∠………………………………8分

OE DA ∴AEO DAO ∠=∠

︒=∠+∠︒=∠+∠180,180AEO DAE DAO DAB

∴DAE DAB ∠=∠………………………………12分

DA=DA ∴DAE DAB ∆≅∆

∴DB DE =…………………………………………16分

DC=CE ∴ BD=2CD ……………………………………20分

D

B

.

A O

C

E

O

A C

D

B

.

14． 坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点我们称为整点， 试在二次函数

y=

5

9

10102+-x x 的图象上找出满足y x ≤的所有整点(x,y), 并说明理由.

(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)，(－3，3)，(－6，6). ……………………6分 理由如下： 由x 2－x+18≤10x .

当x ≥0时，x 2－x+18≤10x,

x 2－11x+18≤0, (x －2)(x －9)≤0，2≤x ≤9,

这时，有4个整数点：(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)；……………………………13分 当x<0时，x 2－x+18≤－10x,

x 2＋9x+18≤0， （x+6）(x+3)≤0，－6≤x ≤－3,

这时有两个整数点：(－3，3)，(－6，6).……………………………………………20分