2011年全国初中数学竞赛预赛试题含答案

合集下载

全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题考试时间：2011年3月20日9：30——11：30 满分：150分答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答；2、解答书写时不要超过装订线；3、草稿纸不上交。

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。

每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1、设32x =，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为（） A 、0 B 、1 C 、﹣1 D 、2解析：2523(1)(x x x x x -=+∴+即2、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对（a, b ）与(c, d)之间的运算“△”为：（a, b ）△（c, d ）＝（ac+bd, ad+bc ）。

如果对于任意实数u, v,都有（u, v ）△（x, y ）＝（u, v ）,那么（x, y ）为（）A 、（0, 1）B 、（1, 0）C 、（﹣1， 0）D 、（0, ﹣1）3、已知A ，B 是两个锐角，且满足225sin cos 4A B t +=，2223cos sin 4A B t +=，则实数t所有可能值的和为（）A 、83- B 、53- C 、1 D 、1134、如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点F ，设1EADF S S 四边形＝，2BDF S S ∆＝，3BCF S S ∆＝，4CEF S S ∆＝，则13S S 与24S S 的大小关系为（）A 、13S S ﹤24S SB 、13S S ＝24S SC 、13S S ﹥24S SD 、不能确定5、设33331111++++1232011S ＝，则4S 的整数部分等于（） A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、两条直角边长分别是整数a, b （其中b<2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为 .7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3 ,3,4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。

2011年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

G A B CDE F2011年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一．选择题1．已知a ＋b ＝2，(1－a )2b ＋(1－b )2a ＝-4,则ab 的值为( )(A) 1 (B) -1 (C) -1 2(D)1 22. 已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为( )(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 83. 方程│x 2－1│＝(4－23) (x ＋2)的解的个数为( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个4. 今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有( ) (A) 5组 (B) 7组 (C) 9组 (D) 11组5. 如图，菱形ABCD 中，AB ＝3， DF ＝1，∠DAB ＝60°，∠EFG ＝15°，FG ⊥BC ，则AE ＝( )(A) 1＋2 (B) 6 (C) 23－1 (D) 1＋36. 已知1x ＋1y ＋z ＝12, 1y ＋1x ＋z ＝13,1z ＋1x ＋y ＝14，则 2x ＋3y ＋4z 的值为( )(A) 1 (B)3 2(C) 2 (D)52二．填空题1. 在△ABC 中，已知∠B ＝2∠A ，BC ＝2，AB ＝2＋23，则∠A ＝．2. 二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则 b ＋2c ＝．3. 能使2n ＋256是完全平方数的正整数n 的值为．OA BCDEF4. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果DE ＝34CE ，AC ＝85，D 为EF 的中点，则AB ＝．第二试1. 已知三个不同的实数a ,b ,c 满足a －b ＋c ＝3，方程x 2＋ax ＋1＝0和x 2＋bx ＋c ＝0有一个相同的实根，方程x 2＋x ＋a ＝0和x 2＋cx ＋b ＝0也有一个相同的实根．求a ,b ,c 的值．PABCDS2. 如图，在四边形ABCD 中，已知∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝120°，对角线AC ,BD 交于点S ，且DS ＝2SB ，P 为AC 的中点．求证：（1）∠PBD ＝30°；（2）AD ＝DC ．3. 已知m ,n ,p 为正整数，m ＜n ．设A (－m ,0)，B (n ,0)，C (0,p )，O 为坐标原点．若∠ACB ＝90°，且OA 2＋OB 2＋OC 2＝3(OA ＋OB ＋OC ) （1）证明： m ＋n ＝p ＋3；（2）求图象经过A ,B ,C 三点的二次函数的解析式．参考答案一．选择题1.B2.B3.C4.C5.D6.C二．填空题1. 15°2. 23.114. 24第二试1.解依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,01121121c bx x ax x 两式相减，可解得ba c x --=11．设2x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,0222222b cx x a x x 两式相减，可解得12--=c ba x 。

2011年全国初中数学竞赛试题参考答案及解析

2011年全国初中数学竞赛试题参考答案及解析一、选择题 1．A 解：因为1a =，1a += 262a a =-，所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2. B3. D 4．C解：由已知得2310x x ++=，于是 2222(1)(2)(3)(3)(32)(31)1 1.x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-5．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y ，）=（1，0）．6．D解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩，，可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩，于是 22221125x y z z z ++=-+．因此，当111z =时，222x y z ++的最小值为5411．7．C解：由题设可知1y y x -=，于是341yy x yxx-==，所以 411y -=，故12y =，从而4x =．于是92x y +=．8．C解：两式相加，得2358t t +=，解得1t =，或83t =-（舍去）．当1t =时，4530A B =︒=︒，满足等式，故1t =．所以，实数t 的所有可能值的和为1. 9．C解：如图，连接D E ，设1D E F S S ∆'=，则1423S S EF S BFS '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．10．A解：当2 3 2011k = ，，，，因为 ()()()32111112111kk k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以 333111111511123201122201120124S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭ ，于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 11．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m=．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m∆=-≥0，即2，164m∆=-≥0，所以2， 164m∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.12．19解：在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.13．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，）因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-，又因为2B D A C =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.14．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．21122y =+=+由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=．15．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以F E A F C BA C=，即1212b a b-=，故12()a b ab +=． ②由①②得2222122524a b a b a b a b+=++=++（）（），解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题16．解：设方程20x a x b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.17．证明：如图，延长A P 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为A B 为⊙1O 的直径，所以∠A D B =∠BDQ =90°，故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以A H ∥CQ ，A C ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形.所以点P 为C H 的中点.18．解：（1）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　. 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由 223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，，得 2203x kx t --=，于是 32P Qx x t=-，即 23P Q t x x =-.于是222323P P Q Q x t y tBCBD y tx t++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P QQ Q P x x x x x x x x x x x x x x --===---又因为P Qx PC Q Dx =-，所以BC PC BDQD=.因为∠B C P =∠90BDQ =︒，所以△B C P ∽△BDQ ，故∠A B P =∠ABQ .（2）解法一设P C a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠A B P =∠30ABQ =︒，B C，B D，所以 A C=2-，A D=2-.因为P C ∥DQ ，所以△AC P ∽△ADQ . 于是PC AC D QAD=，即a b=所以a b +=．由（1）中32P Qx x t=-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=，于是可求得2a b ==将2b =代入223y x=，得到点Q 2，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解析式为13y =-+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为13y =-+，或13y x =+.解法二设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠A B P =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x =将223Q Qy x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32PQ x x k+=.若2Q x =代入上式得 P x = 从而 2()33P Q k x x =+=.同理，若Q x = 可得2P x =-从而 2()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为13y =-+，或13y x =+.19．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP .由于2A B A C =，所以相似比为2. 于是224A Q A P B Q C P ====．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是3PQ ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒．于是222()28AB PQ AP BQ =++=+.故 213s i n 60282ABC S AB AC AB ∆=⋅︒==．不同见解，敬请海涵。

2011年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案_

２．已知 △ＡＢＣ的两条高线的长分别为５和２０，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大
值为（）．（Ａ）５（Ｃ）７
（Ｂ）６（Ｄ）８
３．方程｜ｘ２－１｜＝（４－２槡３）（ｘ＋２）的解的个数为
（）．
（Ａ）１个
（Ｃ）９组
（Ｄ）１１组．
５．如图，菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＤＦ＝１，∠ＤＡＢ＝６０°∠ＥＦＧ＝１５°，ＦＧ⊥ＢＣ，则ＡＥ＝（）
（Ａ）１＋槡２．
（Ｂ）槡６．
（Ｃ）２槡３－１．
（Ｄ）１＋槡３．
６．已知
１ｘ
＋ｙ１＋ｚ＝
１，１２ｙ
＋ｚ＋１ｘ＝
１，１３ｚ
＋
ｘ１＋ｙ＝
１４
，则
线交于点Ｆ，如果ＤＥ＝３４ＣＥ，
ＡＣ＝８槡５，Ｄ为ＥＦ的中点，则
ＡＢ＝
．
第二试（Ａ）
一、（本题满分２０分）已知三个不同的实数ａ，ｂ，ｃ
满足ａ－ｂ＋ｃ＝３，方程ｘ２＋ａｘ＋１＝０和ｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝
０有一个相同的实根，方程ｘ２＋ｘ＋ａ＝０和ｘ２＋ｃｘ＋ｂ
ＡＥ的延长线于点Ｈ．
由Ｄ为ＡＣ的中点，知ＣＨ＝２ＦＤ．
由分析２，ＢＦ＝４ＦＤ．
故ＥＢＣＥ＝ＣＢＨＦ＝２．
由ＥＢＣＥ＝ＳＳ△△ＡＡＣＢＦＦ＝２ＳＳ△△ＡＡＢＤＦＦ．
③
由分析２，△ＡＢＦ∽ △ＤＡＦ．
得
Ｓ△ＡＢＦＳ△ＡＤＦ
＝
（ＡＢＡＤ
）２＝４．
④
由③、④得ＢＥ＝２ＥＣ．

2011年全国初中数学联赛试题

2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为【】 A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21.【答】B.由4)1()1(22-=-+-ab b a 可得ab b b a a 4)1()1(22-=-+-，即04)(2)(3322=++++-+ab b a b a b a ，即222222()2()40a b a ab b ab -++-++=，即2240ab ab -+=，所以1-=ab ． 2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为【】A ．5.B ．6.C ．7.D ．8. 【答】B.设△ABC 的面积为S ，所求的第三条高线的长为h ，则三边长分别为hSS S 2,202,52．显然20252S S >，于是由三边关系，得⎪⎩⎪⎨⎧>+>+,252202,522202h S S S S h S S 解得3204<<h ．所以h 的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6. 3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为【】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答】C.当1||≥x 时，方程为)2)(324(12+-=-x x ，即0349)324(2=+---x x ，解得1x24x =-1||≥x ．当1||<x 时，方程为)2)(324(12+-=-x x ，即0347)324(2=-+-+x x ，解得32x ，满足1||<x ．综上，原方程有3个解．4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有【】 A ．5组. B ．7组. C ．9组. D ．11组. 【答】C.显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．又因为45921=+++ ，所以正方形的边长不大于45[]114=．由于 4352617+=+=+=；5362718+=+=+=；546372819+=+=+=+=；64738291+=+=+=+； 65748392+=+=+=+．所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。

全国初中数学联赛试题及解答(2011年).doc

2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为（ B ） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21. 2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（ B ）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为（ C ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（ C ） A ．5组. B ．7组. C ．9组. D ．11组. 5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，︒=∠60DAB ，︒=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE （ D ）A ．21+.B ．6.C ．132-.D ．31+. 6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则zy x 432++的值为（ C ） A ．1. B ．23. C ．2. D ．25. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A 15︒．2．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 2 ．3．能使2562+n是完全平方数的正整数n 的值为 11 ． 4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 43=，58=AC ，D 为EF 的中点，则AB ＝ 24 ．CEFBA第二试（A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．解依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,01121121c bx x ax x 两式相减，可解得b a c x --=11．设2x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,0222222b cx x a x x 两式相减，可解得12--=c ba x 。

2011年全国初中数学联赛(含答案)

12011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2a b +=，()()22114a b ba--+=-，则ab 的值为（）A ．1B ．-1C ．12-D ．12【解析】 B由22(1)(1)4a b b a--+=-可得22(1)(1)4a a b b ab -+-=-，即()2233()240a b a b a b ab +-++++=，即()()222222240a b a ab b ab -++-++=，即2240ab ab -+=，所以1ab =-．2．已知ABC △的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 B设ABC △的面积为S ，所求的第三条高线的长为h ，则三边长分别为222520S S Sh，，．显然222520S S >，于是由三边关系，得222205222205S S Sh S S S h ⎧+>⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得2043h <<．所以h 的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6．3．方程()21423(2)x x -=-+的解的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 C如图，利用函数图像，发现主要是讨论在11x -≤≤时的交点情况，可用判别式判断(21423(2)x x -=--有两个相同的实数根，所以函数图象上中间部分应该是相切的，所以共有三个交点．4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（）A ．5组B ．7组C ．9组D ．11组【解析】 C显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条，当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．yxOy=4-23((x +2)y=x 2-13又因为12945+++=L ，所以正方形的边长不大于45114⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．由于7=1+了=2+5=3+4； 8=1+7=2+6=3+5； 9=1+8=2+7=3+6=4+5；1+9=2+8=3+7=4+6 2+9=3+8=4+7=5+6．所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法．故满足条件的“线段组”的组数为1459⨯+=．5．如图，菱形ABCD 中，3AB =，1DF =，60DAB ∠=︒，15EFG ∠=︒，FG BC ⊥，则AE =（）A ．12+B 6C ．231D ．13【解析】 D过F 作AB 的垂线，垂足为H ．60DAB ∠=︒Q ，2AF AD FD =-=，30EFG ∴∠=︒，1AH =，3FH =，又15EFG ∠=︒Q90301545EFH AFG AFH EFG ∴∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒，从而FHE △是等腰直角三角形，所以3HE FH ==DCABE HFG413AE AH HE ∴=+=．6．已知111111111234x y z y z x z x y +=+=+=+++，，，则234x y z++的值为（）A ．1B ．32C ．2D ．52【解析】 C111122x x x y z y z +=∴+=++，，即22x y z x y zy z x x y z+++=∴=+++，同理可得：34x z x yy x y z z x y z++==++++，则()22342x y z x y z x y z++++==++ 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在ABC △中，已知2B A ∠=∠，223BC AB ==+，，则A ∠=______________．【解析】 15︒方法一：延长AB 到D ，使BD BC =，连线段CD ，则12D BCD ABC A ∠=∠=∠=∠，所以CA Cd =．作CD AB ⊥于点E ，则E 为AD 的中点，故()()111223223222AE DE AD AB BD ===+=+=+，((223233BE AB AE =-=+-．在Rt BCE △中，3cos EB EBC BC ∠==，所以30EBC ∠=︒，故1152A ABC ∠=∠=︒． CD5方法二：过点C 点AB 的平行线交B ∠的角平分线与D 点，分别过C 点和D 点作AB 的垂线，垂足分别为E 、F ，易知梯形ABCD 为等腰梯形易知22CD CB EF ==∴=，3Rt AF BE BCE ∴==∴中，3cos EBC ∠=，30CBE ∴∠=︒ 15A ∴∠=︒2．二次函2y x bx c =++的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A B ，两点，与y 轴正方向交于C 点，若ABD △和OBC △均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则2b c +=____________．【解析】 2．方法一：由已知，得24(0)0b b c C c A ⎫---⎪⎪⎝⎭，，，240b b c B ⎫-+-⎪⎪⎝⎭，2424b b c D ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，．过D 作DE AB ⊥于点E ，则2DE AB =，即224244b c b c -⨯-22424b c b c -=-240b c -242b c -．又240b c ->242b c -=．又OC OB =，即24b b cc -+-=，得2242b c b c +-=．方法二：OBC △为等腰直角三角形，OB OC ∴=，B ∴点坐标为()0c ，20c bc c ∴++=，又0c ≠，10c b ∴++=，24AB b c -D 点纵坐标为24b c -，BE F A CD6ABD △为等腰直角三角形，221442b c b c ∴-=-22424b c b c ∴-=-240b c -≠，所以244b c -=2444b c b ∴=+=-，0b ≠，4b ∴=-，3c ∴=3．能使2''256+是完全平方数的正整数n 的值为______________．【解析】 11．当8n <时，()82''2562''12n -+=+，若它是完全平方数，则n 必为偶数．若2n =，则2''2562652+=⨯；若4n =，则42''256217+=⨯；若6n =，则62''25625+=⨯；若8n =，则82''25622+=⨯，所以，当8n ≤时，2''256+都不是完全平方数．当8n >时，()882''256221n -+=+，若它是完全平方数，则821n -+为一奇数的平方．设()282121n k -+=+（k 为自然数），则10(1)n n k k -=+．由于k 和1k +一奇一偶，所以1k =，于是1022n -=，故11n =．4．如图，已知AB 是O e 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果34DE CE =，85AC =，D 为EF 的中点，则AB =______________．【解析】 24．设4CE x AE y ==，，则36DF DE x EF x ===，连AD BC ，．因为AB 为O e 的直径，AF 为O e 的切线，所以90EAF ∠=︒，ACD DAF ∠=∠．7又因为D 为Rt AEF △的斜边EF 的中点，DA DE DF DAF AFD ∴==∴∠=∠，，85ACD AFD AF AC ∴∠=∠∴==，在Rt AEF △中，由勾股定理得222EF AE AF =+，即2236320x y =+．设BE z =，由相交弦定理得CE DE AE BE =g g ，即24312yz x x x ==g， 23203y yz ∴+= ①又AD DE =Q ，DAE AED ∴∠=∠．又DAE BCE ∠=∠，AED BEC ∠=∠，BCE BEC ∴∠=∠，从而BC BE z ==．在Rt ACB △中，由勾股定理得222AB AC BC =+，即22()320y z z +=+，22320y yz ∴+=． ②联立①②，解得816y z ==，．所以24AB AE BE =+=．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数a b c ，，满足3a b c -+=，方程210x ax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实根，方程20x x a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实根．求a b c，，的值．解依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．CAE OFDB8设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则221211100x ax x bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，两式相减，可解得11c x a b -=-．设1x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则22211200x x a x cx b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，两式相减，可解得21a b x c -=-．所以121x x =．2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准又方程①的两根之积等于1，于是2x 也是方程①的根，则22210x ax ++=．又2220x x a ++=，两式相减，得2(1)1a x a -=-．若1a =，则方程①无实根，所以1a ≠，故21x =．于是21a b c =-+=-，．又3a b c -+=，解得32b c =-=，．二、（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线AC BD ，交于点S ，且2DS SB =，P 为AC 的中点．求证：（1）30PBD ∠=︒；（2）AD DC =．直径，P 为该圆的圆心．作PM BD ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，所以1602BPM BPD A ∠=∠=∠=︒，从而30PBM ∠=︒．（2）作SN BP ⊥于点N ，则12SN SB =．又122DS SB DM MB BD ===，，DAPM SNB C931222MS DS DM SB SB SB SN ∴=-=-==，Rt PMS Rt PNS ∴≅△△，30MPS NPS ∴∠=∠=︒，又PA PB =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒，故45DAC DCA ∠=︒=∠，所以AD DC =．三、（本题满分25分）已知m n p ，，为正整数，m n <．设(0)A m -，，(0)B n ，，(0)C p ，，O 为坐标原点．若90ACB ∠=︒，且2223()OA OB OC OA OB OC ++=++．⑴证明：3m n p +=+；⑵求图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式．解 ⑴因为90ACB ∠=︒，OC ab ⊥，所以2OA OB OC ⋅=，即2mn p =．由2223()OA OB OC OA OB OC ++=++，得2223()m n p m n p ++=++．又222222()2()()2()m n p m n p mn np mp m n p p np mp ++=++-++=++-++=2()2()()()m n p p m n p m n p m n p ++-++=+++-，从而有3m n p +-=，即3m n p +=+．（2）由2mn p =，3m n p +=+知m n ，是关于x 的一元二次方程22(3)0x p x p -++= ①的两个不相等的正整数根，从而[]22(3)40p p =-+->△，解得13p -<<．又p 为正整数，故1p =或2p =．10当1p =时，方程①为2410x x -+=，没有整数解．当2p =时，方程①为2540x x -+=，两根为14m n ==，．综合知：142m n p ===，，．设图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式为(1)(4)y k x x =+-，将点(02)C ，的坐标代入得21(4)k =⨯⨯-，解得12k =-．所以，图象经过.A B C ，，三点的二次函数的解析式为2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=++．第二试（B ）一、（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同．二、（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线AC BD ，交于点S ，且2DS SB =．求证：AD DC =．证明由已知得90ADC ∠=︒，从而A B C D ，，，四点共圆，AC 为直径．设P 为AC 的中点，则P 为四边形ABCD 的外接圆的圆心．作PM BD ⊥于点M ，则M 为BD 的中点，所以1602BPM BPD A ∠=∠=∠=︒，从而30PBM ∠=︒作SN BP ⊥于点N ，则12SN SB =．又122DS SB DM MB BD ===，，CBNSM PAD11∴31222MS DS DM SB SB SB SN =-=-==,∴Rt PMS Rt PNS ≅△△,∴30MPS NPS ∠=∠=︒,又PA PB =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒，所以45DAC DCA ∠=︒=∠，所以AD DC =．三、（本题满分25分）已知m n p ，，为正整数，m n <．设(0)A m -，，(0)B n ，，(0)C p ，，O 为坐标原点．若90ACB ∠=︒，且2223()OA OB OC OA OB OC ++=++．求图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式．解因为90ACB ∠=︒，OC AB ⊥，所以2OA OB OC ⋅=，即2mn p =．由2223()OA OB OC OA OB OC ++=++，得2223()m n p m n p ++=++．又222222()2()()2()m n p m n p mn np mp m n p p np mp ++=++-++=++-++=222()2()()2()m n p p m n p m n p p np mp ++-++=++-++，从而有3m n p +-=，即3m n p +=+．又2mn p =，故m n ，是关于x 的一元二次方程22(3)0x p x p -++= ①的两个不相等的正整数根，从而()22340p p =-+->⎡⎤⎣⎦△，解得13p -<<．又p 为正整数，故1p =或2p =．12当1p =时，方程①为2410x x -+=，没有整数解．当2p =时，方程①为2540x x -+=，两根为14m n ==，．综合知：142m n p ===，，．试图象经过A B C ，，三点的二次涵数的解析式为(1)(4)y k x x =+-，将点(02)C ，的坐标代入得21(4)k =⨯⨯-，解得12k =．所以，图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式为2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=-++．第二试（C ）一、（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同．二、（本题满分25分）如图，已知P 为锐角ABC △内一点，过P 分别作BC AC AB ，，的垂线，垂足分别为D E F ，，，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ，如果PD PE PF =+，求证：CN 是ACB ∠的平分线．证明如图1，作1MM BC ⊥于点1M ，2MM AB ⊥于点2M ，1MN BC ⊥于点1N ，2MN AC ⊥于点2N ．MAB CD EPF M 1N 1M 2N 2NP NDHMN 1M 1H 1设NP NM λ=⊥，∵11NN PD MM ∥∥，∴111N D N M λ=．13若11NN MM <，如图2，作1NH MM ⊥，分别交1MM ，于点1H H ，，则1NPH NMH :△△，∴1PH NPMH NMλ==，∴1PH MH λ=， ∴()()111111111PD PH H H MH NN MM NN NN MM NN λλλλ=+=+=-+=+-．若11NN MM =，则()11111PD NN MM MM NN λλ===+-．若11NN MM >，同理可证11(1)PD MM NN λλ=+-．∵2PE NN ∥，∴21PE PMNN NMλ==-，∴2(1)PE NN λ=-． ∵2PF MM ∥，∴2PF NPMM NMλ==，∴2PE MM λ=．又PD PE PF =+，∴1122(1)(1)MM NN MM NN λλλλ+-=+-．又因为BM 是ABC ∠的平分线，所以12MM MM =，∴()()1211NN NN λλ-=-．显然1λ≠，即10λ-≠，∴12NN NN =，∴CN 是ACB ∠的平分线．三、（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第三题相同．。

2011年全国初中数学竞赛试卷

2011年全国初中数学竞赛试题考试时间2011年3月20日9︰30－11︰30满分150答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答2、解答书写时不要超过装订线3、草稿纸不上交。

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分） 1、设532x -=，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为（ C ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．22、对于任意实数,,,a b c d ，定义有序实数对(,)a b 与(,)c d 之间的运算“△”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd ad bc ∆=++。

如果对于任意实数,u v ，都有(,)(,)(,)u v x y u v ∆=，那么(,)x y 为（ B ）。

A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(1,0)-D ．(0,1)- 3、已知,A B 是两个锐角，且满足225sin cos 4A B t +=，2223cos sin 4A B t +=，则实数t 所有可能值的和为（ C ）A ．83-B ．53-C ．1D ．1134、如图，点,D E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，BE ，CD 相交于点F ，设1E A DF S S 四边形＝，BDF 2S S ∆＝，BCF 3S S ∆＝，CEF 4S S ∆＝，则13S S 与24S S 的大小关系为（ C ）A ．13S S ＜24S SB ．13S S ＝24S SC ．13S S ＞24S SD ．不能确定 5、设33331111S 1232011 ＝＋＋＋＋，则4S 的整数部分等于（ A ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、两条直角边长分别是整数,a b （其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为 317、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。

2011年全国中学生数学竞赛初赛试题答案1-3

伊（ 12
+
1 3
-
1 4
+
1 6
-
1 8
）
4分
=
1 1001
伊［（ 12
+
1 3
+
1 6
）-（
1 4
+
1 8
）］
5分
=
5 8008
.
7分
15. 两种填法均可：
-1-
5
1
3
4 或4
3
1
5
2
2
（填正确一个数给 1.6 分） 16. 令 5x + 4y + 11z = 4020，淤 7x + 12y + 17z = 4024，于淤 + 于得，12x + 16y + 28z = 8044，即 4 伊（3x + 4y + 7z）= 8044，所以 3x + 4y + 7z = 2011. 四、一鼓作气（本大题共 2 道小题，17 题 12 分，18 题 12 分，总计 24 分） 17. 设尖头有 x 盏灯，根据题意列方程，有 x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x + 64x = 381 （1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64）x = 381 127x = 381 x=3 答：尖头有 3 盏灯. 18. 由题中的三个图形可知：第 1 个图形中有：1 + 3 = 4（个）三角形，第 2 个图形中有：1 + 3 + 3 = 1 + 3 伊 2 = 7（个）三角形，第 3 个图形中有：1 + 3 + 3 + 3 = 1 + 3 伊 3 = 10（个）三角形，第 4 个图形中有：1 + 3 + 3 + 3 + 3 = 1 + 3 伊 4 = 13（个）三角形， …… 第 10 个图形中有：1 + 3 + 3 + … + 3 = 1 + 3 伊 10 = 31（个）三角形；

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题及参考答案

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.）1．设，则代数式的值为( ).（A）24 （B）25 （C）（D）解：因为，，，所以2．对于任意实数，定义有序实数对与之间的运算“△”为：（）△（）＝（）．如果对于任意实数都有（）△（）＝（），那么（）为( ).（A）（0，1）（B）（1，0）（C）（﹣1，0）（D）（0，-1）解：依定义的运算法则，有即对任何实数都成立. 由于实数的任意性，得（）=（1，0）．3．若，，且满足，则的值为( ).（A）1 （B）2 （C）（D）解：由题设可知，于是，所以，故，从而．于是．4．点分别在△的边上，相交于点，设，则与的大小关系为( ).（A）（B）（C）（D）不能确定解：如图，连接，设，则，从而有．因为，所以．（第4题）5．设，则的整数部分等于( ).（A）4（B）5（C）6 （D）7解：当时，因为，所以 .于是有，故的整数部分等于4．二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是 .解：易知是方程的一个根，设方程的另外两个根为，则，．显然，所以 ≥0，即，≥0，所以， ≥0，解之得 3＜m≤4.7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .解：在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是.8．如图，点为直线上的两点，过两点分别作y轴的平行线交双曲线（）于两点. 若，则的值为 .解：如图，设点的坐标为，点的坐标为,则点的坐标为，点的坐标为因为点在双曲线上，所以．由于，又因为，于是所以即9．若的最大值为a，最小值为b，则的值为 .解：由≥0，且≥0，得≤≤．．由于，所以当时，取到最大值1，故．当或1时，取到最小值，故．所以，．10．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为 .解：如图，设BC＝a，AC＝b，则＝1225．①又Rt△AFE∽Rt△ACB，所以，即，故． ②由①②得，解得a＋b＝49（另一个解－25舍去），所以．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得，两式相加得，即，所以或解得或又因为所以；或者，故，或29.12．如图，点为△的垂心，以为直径的⊙和△的外接圆⊙相交于点，延长交于点，求证：点为的中点.证明：如图，延长交⊙于点，连接.因为为⊙的直径，所以∠∠90°，故为⊙的直径.于是.又因为点为△的垂心，所以所以∥，∥，四边形为平行四边形.所以点为的中点.13．如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.（1）求证：∠=∠；（2）若点的坐标为（0，1），且∠=60º，试求所有满足条件的直线的函数解析式.解：（1）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）.设直线的函数解析式为,并设的坐标分别为 ,.由得，（第13题）于是，即.于是又因为，所以.因为∠∠，所以△∽△，故∠=∠.设，，不妨设≥>0，由（1）可知∠=∠，=，=，所以 =，=.因为∥，所以△∽△. 于是，即，所以．由（1）中，即，所以于是可求得将代入，得到点的坐标（，）.再将点的坐标代入，求得所以直线的函数解析式为.根据对称性知，所求直线的函数解析式为，或.解法二设直线的函数解析式为,其中.由（1）可知，∠=∠，所以.故.将代入上式，平方并整理得，即.所以或又由 (1)得，.若代入上式得从而.同理，若可得从而 .所以，直线的函数解析式为，或.14．如图，△ABC中，，．点P在△ABC内，且，求△ABC的面积．解：如图，作△ABQ，使得则△ABQ∽△ACP .由于，所以相似比为2.于是．（第14题）.由知，，于是．所以，从而．于是 .故．。

2011全国初中数学联赛七年级试题与答案

2011年全国初中数学联赛七年级试卷答案及评分细则一、选择题（每小题5分，共40分）本大题共8小题，每小题均给出四个正确选项，其中只有一个正确选项，请将正确选项的代号填在下表的指定位置. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 正确选项DCCABCBD1.若有理数a 、b 满足条件：a+b >a -b ，那么：A.a 、b 同号B.a 、b 异号C.0a >D.0b >2.大于-π并且不是正整数的整数有：A.2个B.3个C.4个D.无数个3.杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天较第二天增加了10%，那么第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是： A.一样多 B.多了 C.少了 D.多了或少了的可能性都有4.轮船往返于两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将： A.增多 B.减少 C.不变 D.增多或减少都有可能5.如图.A 、B 、C 、D 、E 是数轴上的5个点，且AB =BC =CD =DE ，则与点D 所表示的数最接近的整数是： A.1510 B.1511 C.1512 D.15136.当1x =-时，代数式32-38ax bx +的值为18，这时，代数式9-62b a +的值为：A.28B.-28C.32D.-32 7.如图，1ABCS =△且BDE DEC E S S S ==△△△AC ，则DE S △A 等于：A.15 B.16 C.17 D.188.有一份选择题试卷共6道小题，一道小题答对得8分，答错得0分，不答得2分，某同学共得了20分，那么他答卷情况是：A.至多答对1题B.至少答对3题C.至少有3题没答D.答错2题二、填空题（每小题5分，共40分）本大题共8小题，请将答案直接填在题中横线上.9.现在4点5分，再过11916分钟，分针和时针第一次重合. 10.含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的质量是 45 千克.11.在计算一个正数乘以.3.57的运算时，某同学误将.3.57错写成3.57，结果与正确答案相差1.4，则正确的乘积结果是 644 .12.如图，O 为圆心，半径OA =OB =r ，∠AOB =90°，点M 在OB 上，OM =2MB ，用r 表示阴影部分的面积是241()33p r +. 13.如图，给出的乘法竖式中，四个方块盖住的四个数字之和的最大值是 24 .14.若-3x y +与1995x y +-互为相反数，则2-x yx y+的值是 -998 .OMBA5×2011-4E DC B A EDCBA15.计算：2345⨯⨯⨯（）·1111+++2345（）= 154 16.若a 、b 、c 为整数，且2011--1a b c a+=，则---c a a b b c ++的值是 2 .三、解答题（每小题20分，共60分）本大题共有2个小题，要有科学简洁的表述过程.17.图中有四个面积相同的圆，每个圆的面积都记为S ，∠ABC 的两边分别经过圆心1O 、2O 、3O 和4O ，四个圆盖的面积为5（S -1），∠ABC 内部被圆盖住的面积为8，阴影部分的面积为1S 、2S 、3S 满足关系式：3121133S S S ==. 求S 的值.解：根据题意，有：12312331245(1)1128221133S S S S S S S S S S S S ⎧⎪---=-⎪⎪---=⎨⎪⎪==⎪⎩解之得：8119S =评分说明：列出方程组得10分，算出正确答案得10分.18.A ，B ，C 三支球队进行足球循环比赛，第一阶段的比赛情况有些记录见下表：球队名比赛场次胜场平场负场进球数失球数 A 2 2 1 B 2 1 2 4 C237（1）请完成上表；（2）求A ，B 两支球队比赛时，A 队的进球水与B 的进球数之比；（3）求B ，C 两支球队比赛时，B 队的进球数与C 队的进球数之比；A ，C 两支球队比赛时，A 队的进球数与C 队的进球数之比；（4）设计一种表格，反映第一阶段A ，B ，C 三支球队的比分，并排出相应的名次. 解：（1）球队名比赛场次胜场平场负场进球数失球数 A 2 2 0 0 7 1 B 2 0 1 1 2 4 C21137（2）设A ，B 两队比赛时，A 队进球数为x 个，B 队进球数为y 个；则A ，C 两队比赛时，C 队进球数为（1-y ）个； B ，C 两队比赛时，C 队进球数为（4-x ）个；则1-y+4-x=3.∴x+y=2.因为A ，B 两队比赛时，A 队胜，所以x>y ，又x ，y 均为非负数整数，因此x=2，y=0.∴x ：y=2：0. （3）C 队的进球数分两种：1-y=1,4-,x=2，B 队的进球数分两种：y=0，'y2=.A 队的进球数分两种：x=2，'5x =∴BC 队比赛时，B 2C 2=队的进球数队的进球数A ，C 两队比赛时，A 55:1C 1==队的进球数队的进球数（4）说明：主队进球数：客队进球数评分说明：每小题5分，共20分.。

2011年全国初中数学联赛一试二试试题、答案及评分标准

2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为（） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21.【答】B.由4)1()1(22-=-+-ab b a 可得ab b b a a 4)1()1(22-=-+-，即04)(2)(3322=++++-+ab b a b a b a ，即222222()2()40a b a ab b ab -++-++=，即2240ab ab -+=，所以1-=ab ．2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8. 【答】B.设△ABC 的面积为S ，所求的第三条高线的长为h ，则三边长分别为h S S S 2,202,52．显然20252SS >，于是由三边关系，得⎪⎩⎪⎨⎧>+>+,252202,522202h S S S Sh S S 解得3204<<h ．所以h 的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答】C.当1||≥x 时，方程为)2)(324(12+-=-x x ，即0349)324(2=+---x x ，解得1x24x =-1||≥x ．当1||<x 时，方程为)2)(324(12+-=-x x ，即0347)324(2=-+-+x x ，解得32x ，满足1||<x ．综上，原方程有3个解．.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（） A ．5组. B ．7组. C ．9组. D ．11组.【答】C.显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．又因为45921=+++ ，所以正方形的边长不大于45[]114=．由于 4352617+=+=+=； 5362718+=+=+=； 546372819+=+=+=+=； 64738291+=+=+=+； 65748392+=+=+=+．所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。

(2021年整理)2011年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

(完整版)2011年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)2011年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整版)2011年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)的全部内容。

（完整版)2011年全国初中数学联赛试题及答案（修正版)编辑整理:张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是我们任然希望（完整版）2011年全国初中数学联赛试题及答案(修正版) 这篇文档能够给您的工作和学习带来便利。

同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区，这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为〈(完整版）2011年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)〉这篇文档的全部内容.G ABCDE F2011年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一．选择题1．已知a ＋b ＝2,错误!＋错误!＝-4，则ab 的值为（）(A) 1 （B) -1 (C ） — 错误! （D ）错误!2。

已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）（A) 5 (B ） 6 （C) 7 (D ） 83. 方程│x 2－1│＝(4－2错误!） (x ＋2)的解的个数为（）(A ） 1个（B ） 2个（C) 3个 (D) 4个4。

2011年全国初中数学联赛决赛试卷及其答案

2011年全国初中数学联赛决赛试卷（4月10日本试卷共三大题（13个小题），用圆珠笔、签字笔或钢笔作答. 解题书写不要超出装订线. 不能使用计算器.4. 若不等式2卜一1| + 3卜一3|S“有解，贝IJ 实数"的最小值是（）A. 1 B ・2 C ・4 D ・65. 若一个三角形的任意两条边都不相等，则称它为“不规则三角形”.用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，“不规则三角形”的个数是（）A. 18B ・ 24C ・ 30D ・ 366. 不宦方程X 2-2/=5的正整数解（x, y ）的组数是（）A. 0组B. 2组 C ・4组 D.无穷多组.二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）本题共有4小题，要求直接将答案写在横线上.1. _____________________________________________________________________ 二次函数y = ?-t/x+2的图象关于直线x=l 对称，则y 的最小值是 ________________________________________ ・2. 已知“=妇-1,贝忖^+加汕一加⑹。

的值为 ____________________3. 已知AABC 中，AB=y/39 , BC=6, CA= $ 点M 是BC 的中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D,则线段BD 的长度是 _________________ .4. 一次棋赛，有"个女选手和％个男选手参赛，每位选手都与其余10“一 1个选手各对局一次.计分方式为：胜者得2分，负者得0分，平局各得1分•比赛结束后统汁发现，所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍.则“的所有可能值是 _____________ • 三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1. （本题满分20分）已知XI ,卫是关于X 的一元二次方程++（3“_1）久+加_1=：0的两个实数根，使得一、选择题（本题满分42分，每小题7分）一个凸多边形的每一个内角都等于150。

2011年全国初中数学竞赛试题及参考答案

2011 年全国初中数学竞赛试题及参考答案
一、选择题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分. 以下每道小题均给出了代号为 A，B， C， D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得 0 分）一、选择题（每小题 7 分，共 35 分，每小题只有一个正确选项） 1、设 a 7 1 ，则代数式 3a 3 12a 2 6a 12 的值为（（A）24 （B）25 （C） 4 7 10 ）
1 的最大值为 a，最小值为 b，则 a2+b2 的值为___________。 2
10、如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 35，正方形 CDEF 内接于△ABC，且其边长为 12，则△ABC 的周长为__________。
三、解答题（每题 20 分，共 80 分） 11、已知关于 x 的一元二次方程 x2+cx+a=0 的两个整数根恰好比方程 x2+ax+b=0 的两个根都大 1，求 a+b+c 的值。
12、如图，点 H 为△ABC 的垂心，以 AB 为直径的⊙O1 和△BCH 的外接圆⊙O2 相交于点 D，延长 AD 交 CH 于点 P，求证：点 P 为 CH 的中点。
13、如图，点 A 为 y 轴正半轴上一点， A， B 两点关于 x 轴对称，过点 A 任作直线交抛物线 y
2 2 x 3
于 P，Q 两点。（1）求证：∠ABP=∠ABQ （2）若点 A 的坐标为（0，1），且∠PBQ=60o，试求所有满足条件的直线 PQ 的函数解析式。
14、如图，△ABC 中，∠BAC=60o，AB=2AC，点 P 在△ABC 内，且 PA= 3 ，PB=5，PC=2，求△ ABC 的面积。