土力学 库伦理论
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第十二讲 土压力
-------库伦理论
§ 库仑土压力理论
一、假设
（1）当墙后填土达到极限平衡状态 时，其滑动面为一平面； （2）填土面为坡角β的平面，且无超载； （3）墙后填土为C=0的无粘性均质土体； （4）墙背粗糙，有摩擦力，墙与土的摩 擦角为δ（称为外摩擦角）； Charles- Auguste de Coulomb (1736~1806)
将G和Ea分解为垂直和平
行于基底的分力，抗滑力 与滑动力之比称为抗滑安 全系数， 应符合下式要求
其中：
式中：μ—— 挡土墙基底对地基的摩擦系数
若验算结果不能满足上式要求时，可采取下列措施：
（1）增大挡土墙断面尺寸，增加墙身自重以增大抗滑力；
（2）在挡土墙基底铺砂石垫层，提高摩擦系数μ，增大抗滑力；
为求得E的极大值，可令dE/dα＝0，从而解得最危险滑动面的 倾角α（过程略），再将此角度代入上式，整理后可得库仑主 动土压力计算公式为：
其中，
称为库仑主动土压力系数，由上式见，库仑主动土压力系数与
内摩擦角φ，墙背倾角ε，外摩擦角δ，以及填土面倾角β有关， 参见P182表9---1。
若填土面水平，墙背竖直光滑，即β＝0、ε＝0、δ＝0，由式 上式可得，
式中
则
上式中γ、H、ε、β和φ、δ均为常数，因此，E只随滑动面的 倾角α而变化，即E是α的函数。当α＝φ以及α=900+ε时，均有 E＝0，可以推断，当滑动面在α＝φ和α=900+ε之间变化时，E
必然存在一个极大值EMax。这个极大值的大小即为所求的主动
土压力Ea，其对应的滑动面为最危险滑动面。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
和Eaz分别为
式中：θ—— Ea与水平面的夹角θ＝ε＋δ
二、库仑被动土压力计算
当挡土墙在外力作用下推向土体时，墙后填土作用在填背上的
压力随之增大，当位移量达到一定值时，填土中出现过墙踵的
滑动面BC，形成三角形土楔体，此时，土体处于极限平衡状 态。
此时土楔ABC在自重G、反力R及E三力作用下静力平衡，与
（3）将挡土墙基底做成逆坡，利用滑动面上部分反力抗滑； （4）在墙踵后加钢筋混凝土拖板，利用拖板上的填土自重增大 抗滑力。
四、Rankine理论与Coulomb理论的比较
1. 分析方法
极限平衡状态 朗肯 土体内各点均处 于极限平衡状态 极限应力法 库仑 刚性楔体,滑面处 于极限平衡状态 滑动楔体法
应符合下式要求
其中：
若验算结果不能满足上式要求时，可采取下列措施：
（1）增大断面尺寸，增加挡土墙自重，使抗倾覆力矩增大，但 同时工程量随之加大； （2）将墙背仰斜，以减小土压力；
（3）选择衡重式挡土墙或带卸荷台的挡土墙，如下图所示，均 可起到减小总土压力，增大抗倾覆能力的作用。 2．挡土墙抗滑动稳定性验算
法国科学家
二、库仑主动土压力计算
当挡土墙向前移动或转
动时，墙后土体作用在 墙背上的土压力逐渐减 少。当位移量达到一定 值时，填土面出现过墙 踵的滑动面BC，土体处 于极限平衡状态，那么土楔体ABC有向下滑动的趋势，但由于挡 土墙的存在，土楔体可能滑动，二者之间的相互作用力即为主 动土压力。所以，主动土压力的大小可由土楔体的静力平衡条 件来确定。
18
2. 应用条件
朗肯
墙背光滑 墙背垂直 填土水平
库仑
墙背无限制 填土表面形状无限制 填土为砂性土
19
3. 计算误差 朗肯
朗肯主动土压力偏大 朗肯被动土压力偏小
库伦
主动土压力偏小 被动土压力偏大
20
主动平衡状态相反，R和E的方向均处于相应法线的上方，三
力构成一闭合力矢三角形。
滑 面
Ep
ε
Ep
G
α
Rp
Rp
G
α+
Ψ=90°+δ-ε
土楔与墙背的相互作用力即为被动土压力，则被动土压力可由 土楔体的静力平衡条件来确定。 按上述求主动土压力同样的原理，可求得被动土压力的库仑公 式为：
（3）墙背对土楔体的反力E
它是面上的摩擦力T2与法向反力N2的合力，因摩擦阻力沿
BA 向上，所以E位于法线N2的下方，且与法线方向的夹
角为墙土间的外摩擦角δ。它的反作用力即为填土对墙背的 土压力。
2. E与α的关系 滑动土楔体在以上三力作用下处于静力平衡状态，因此三力必 形成一闭合的力矢三角形，如上所示。由正弦定理可知
式中 KP —— 库仑被动土压力系数。
由上式可以看出，库仑被动土压力合力EP也是墙高的二次函 数，因此，被动土压力强度pp=γzKp，沿墙高仍呈三角形分布， 合力作用点在墙高1/3处，EP的作用方向与墙背法线成δ角， 在外法线的下侧。
三、挡土墙稳定性验算
1．挡土墙抗倾覆稳定性验算
图（a）表示一具有倾斜基底的挡土墙，设在挡土墙自重G和 主动土压力Ea作用下，可能绕墙趾O点倾覆，抗倾覆力矩与倾 覆力矩之比称为抗倾覆安全系数Kt
C
A
滑 面
Ea
ε
H
Ea
G
α
B
D
Ra
G
Ra
α-
Ψ=90°-δ-ε
1. 作用在土楔体ABC上的力
假设滑动面AC与水平面夹角为α，取滑动土楔体ABC为脱离 体，则作用在土楔体ABC上的力有：
（1）土楔体自重
在三角形ABC中，利用正弦定理可得：
(2)滑动面 BC 上的反力R
R是 BC 面上的摩擦力T1与法向反力N1的合力，因摩擦阻 力沿向上，所以R位于法线N1的下方，且与法线方向的夹角 为土的内摩擦角φ。
此式即为朗肯主动土压力系数的表达式。由此可见，在这种特
定条件下，两种土压力理论得到的结果是一致的。
同时可以看出，主动土压力合力Ea是墙高的二次函数。将上 式中的Ea对z求导，可求得离墙顶深度z处的主动土压力强度 pa，即
可见，主动土压力pa沿墙高呈三角形分布，如下图所示。
墙背土压力合力Ea作用点在墙高1/3处，Ea作用方向与墙背法 线成δ角，与水平面成θ角。 若将Ea分解为水平分力Eax与竖向分力Eaz两个部分，则Eax
-------库伦理论
§ 库仑土压力理论
一、假设
（1）当墙后填土达到极限平衡状态 时，其滑动面为一平面； （2）填土面为坡角β的平面，且无超载； （3）墙后填土为C=0的无粘性均质土体； （4）墙背粗糙，有摩擦力，墙与土的摩 擦角为δ（称为外摩擦角）； Charles- Auguste de Coulomb (1736~1806)
将G和Ea分解为垂直和平
行于基底的分力，抗滑力 与滑动力之比称为抗滑安 全系数， 应符合下式要求
其中：
式中：μ—— 挡土墙基底对地基的摩擦系数
若验算结果不能满足上式要求时，可采取下列措施：
（1）增大挡土墙断面尺寸，增加墙身自重以增大抗滑力；
（2）在挡土墙基底铺砂石垫层，提高摩擦系数μ，增大抗滑力；
为求得E的极大值，可令dE/dα＝0，从而解得最危险滑动面的 倾角α（过程略），再将此角度代入上式，整理后可得库仑主 动土压力计算公式为：
其中，
称为库仑主动土压力系数，由上式见，库仑主动土压力系数与
内摩擦角φ，墙背倾角ε，外摩擦角δ，以及填土面倾角β有关， 参见P182表9---1。
若填土面水平，墙背竖直光滑，即β＝0、ε＝0、δ＝0，由式 上式可得，
式中
则
上式中γ、H、ε、β和φ、δ均为常数，因此，E只随滑动面的 倾角α而变化，即E是α的函数。当α＝φ以及α=900+ε时，均有 E＝0，可以推断，当滑动面在α＝φ和α=900+ε之间变化时，E
必然存在一个极大值EMax。这个极大值的大小即为所求的主动
土压力Ea，其对应的滑动面为最危险滑动面。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
和Eaz分别为
式中：θ—— Ea与水平面的夹角θ＝ε＋δ
二、库仑被动土压力计算
当挡土墙在外力作用下推向土体时，墙后填土作用在填背上的
压力随之增大，当位移量达到一定值时，填土中出现过墙踵的
滑动面BC，形成三角形土楔体，此时，土体处于极限平衡状 态。
此时土楔ABC在自重G、反力R及E三力作用下静力平衡，与
（3）将挡土墙基底做成逆坡，利用滑动面上部分反力抗滑； （4）在墙踵后加钢筋混凝土拖板，利用拖板上的填土自重增大 抗滑力。
四、Rankine理论与Coulomb理论的比较
1. 分析方法
极限平衡状态 朗肯 土体内各点均处 于极限平衡状态 极限应力法 库仑 刚性楔体,滑面处 于极限平衡状态 滑动楔体法
应符合下式要求
其中：
若验算结果不能满足上式要求时，可采取下列措施：
（1）增大断面尺寸，增加挡土墙自重，使抗倾覆力矩增大，但 同时工程量随之加大； （2）将墙背仰斜，以减小土压力；
（3）选择衡重式挡土墙或带卸荷台的挡土墙，如下图所示，均 可起到减小总土压力，增大抗倾覆能力的作用。 2．挡土墙抗滑动稳定性验算
法国科学家
二、库仑主动土压力计算
当挡土墙向前移动或转
动时，墙后土体作用在 墙背上的土压力逐渐减 少。当位移量达到一定 值时，填土面出现过墙 踵的滑动面BC，土体处 于极限平衡状态，那么土楔体ABC有向下滑动的趋势，但由于挡 土墙的存在，土楔体可能滑动，二者之间的相互作用力即为主 动土压力。所以，主动土压力的大小可由土楔体的静力平衡条 件来确定。
18
2. 应用条件
朗肯
墙背光滑 墙背垂直 填土水平
库仑
墙背无限制 填土表面形状无限制 填土为砂性土
19
3. 计算误差 朗肯
朗肯主动土压力偏大 朗肯被动土压力偏小
库伦
主动土压力偏小 被动土压力偏大
20
主动平衡状态相反，R和E的方向均处于相应法线的上方，三
力构成一闭合力矢三角形。
滑 面
Ep
ε
Ep
G
α
Rp
Rp
G
α+
Ψ=90°+δ-ε
土楔与墙背的相互作用力即为被动土压力，则被动土压力可由 土楔体的静力平衡条件来确定。 按上述求主动土压力同样的原理，可求得被动土压力的库仑公 式为：
（3）墙背对土楔体的反力E
它是面上的摩擦力T2与法向反力N2的合力，因摩擦阻力沿
BA 向上，所以E位于法线N2的下方，且与法线方向的夹
角为墙土间的外摩擦角δ。它的反作用力即为填土对墙背的 土压力。
2. E与α的关系 滑动土楔体在以上三力作用下处于静力平衡状态，因此三力必 形成一闭合的力矢三角形，如上所示。由正弦定理可知
式中 KP —— 库仑被动土压力系数。
由上式可以看出，库仑被动土压力合力EP也是墙高的二次函 数，因此，被动土压力强度pp=γzKp，沿墙高仍呈三角形分布， 合力作用点在墙高1/3处，EP的作用方向与墙背法线成δ角， 在外法线的下侧。
三、挡土墙稳定性验算
1．挡土墙抗倾覆稳定性验算
图（a）表示一具有倾斜基底的挡土墙，设在挡土墙自重G和 主动土压力Ea作用下，可能绕墙趾O点倾覆，抗倾覆力矩与倾 覆力矩之比称为抗倾覆安全系数Kt
C
A
滑 面
Ea
ε
H
Ea
G
α
B
D
Ra
G
Ra
α-
Ψ=90°-δ-ε
1. 作用在土楔体ABC上的力
假设滑动面AC与水平面夹角为α，取滑动土楔体ABC为脱离 体，则作用在土楔体ABC上的力有：
（1）土楔体自重
在三角形ABC中，利用正弦定理可得：
(2)滑动面 BC 上的反力R
R是 BC 面上的摩擦力T1与法向反力N1的合力，因摩擦阻 力沿向上，所以R位于法线N1的下方，且与法线方向的夹角 为土的内摩擦角φ。
此式即为朗肯主动土压力系数的表达式。由此可见，在这种特
定条件下，两种土压力理论得到的结果是一致的。
同时可以看出，主动土压力合力Ea是墙高的二次函数。将上 式中的Ea对z求导，可求得离墙顶深度z处的主动土压力强度 pa，即
可见，主动土压力pa沿墙高呈三角形分布，如下图所示。
墙背土压力合力Ea作用点在墙高1/3处，Ea作用方向与墙背法 线成δ角，与水平面成θ角。 若将Ea分解为水平分力Eax与竖向分力Eaz两个部分，则Eax