《大学数学A》第三章练习题

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高等数学第三章课后习题答案

第三章中值定理与导数的应用1. 验证拉格朗日中值定理对函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上的正确性。

解：函数()ln f x x =在区间[1,]e 上连续，在区间(1,)e 内可导，故()f x 在[1,]e 上满足拉格朗日中值定理的条件。

又xx f 1)(='，解方程,111,1)1()()(-=--='e e f e f f ξξ即得),1(1e e ∈-=ξ。

因此，拉格朗日中值定理对函数()ln f x x =在区间[1,]e 上是正确的。

2．不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)('=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间。

解：函数上连续，分别在区间[3,4][2,3],2],,1[)(x f 上在区间(3,4)(2,3),2),,1(可导，且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====。

由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ),4,3(3∈ξ使),3,2,1( 0)(=='i f i ξ即方程'()0f x =有至少三个实根。

又因方程'()0f x =为三次方程，故它至多有三个实根。

因此，方程'()0f x =有且只有三个实根，分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。

3．若方程 01110=+++--x a x a x a n n n 有一个正根,0x 证明:方程0)1(12110=++-+---n n n a x n a nxa 必有一个小于0x 的正根。

解：取函数()1011nn n f x a x a xa x --=+++。

0()[0,]f x x 在上连续，在0(0,)x 内可导，且0(0)()0,f f x ==由罗尔定理知至少存在一点()00,x ξ∈使'()0,f ξ=即方程12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根。

《大学数学》习题及答案

大学数学习题第一章微积分的基础和研究对象§1 微积分的基础——集合、实数和极限一．论述第二次数学危机产生的背景和解决方法。

二．叙述极限，实数和集合在微积分中的作用。

二．叙述实数系的演变和性质，写出邻域的概念。

§2 微积分的研究对象——函数一．填空题1．函数y =的定义域 . 2．设函数f (x) =⎪⎩⎪⎨⎧>≤1||01||21x x 则函数f[f(x)]= .3．函数y =xx+-11的反函数为 . 4．设)(x f 是奇函数,且ϕ(x)=)(x f .(21121-+x) , 则ϕ(x) 是___________函数. 5．函数f (x) = sinxsin3x 的周期T= . 二．求下列函数定义域 1．y = 423+x + 21arcsin3-x .2．y =xx -2+ )3ln(x +.三．设 ⎩⎨⎧≤<≤≤=+21210)1(2x xx x x ϕ , 求)(x ϕ.四．设函数 f (x) = ⎩⎨⎧≤<≤≤211022x xx x, g (x) = ln x ，求f [ g(x) ] , g [ f(x) ].五．已知f (sin 2x ) = cos x + 1 , 求f (cos 2x ).六．证明题：设f(x)为定义在(-L,L)内的奇函数，若f(x)在(0,L)内单调增加，证明f(x)在(-L,0)内也单调增加.第二章微积分的直接基础——极限§1 数列的极限一、判断题1．数列}{n a 中去掉或增加有限项，不影响数列的极限；（） 2．数列}{n n b a +极限存在，则}{n a 与}{n b 极限均存在；（）3．若0>∀ε，存在无限多个}{n a 满足}||ε<-a a n ，则有a a n n =+∞→lim .（）二．填空题 1．数列}{n a 有界是数列收敛的条件；2．=+∞→nn 32lim；3．=+∞→nnn cos lim； 4．=-++∞→3523limn n n . 三．用极限定义证明 1．15lim2=++∞→nn n . 2．0)5(lim 2=--+∞→n n n .3．0cos lim=+∞→nn n π.四．证明：若a a n n =+∞→lim ，则有||||lim a a n n =+∞→，并举例说明其逆命题不成立.五．证明数列}3{cos πn 极限不存在.§2 函数的极限一．填空题1．设函数⎩⎨⎧≥-<+=1,121,4)(x x x x x f ，则)x (f lim 01x -→＝，)x (f lim 01x +→＝ .2．=→xx 1sinlim 0. 3．设⎩⎨⎧>+≤=0)(x b ax x e x f x ，则=+)0(f ，=-)0(f ，当=b 时，1)(lim 0=→x f x .二．判断题1. 若A x f x x =→)(lim 0，0)(lim 0=→x g x x ，则有)()(limx g x f x x →不存在；（） 2.+∞=+∞→)sin (lim 2x x x ；（）3. 若A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0，且B A >，则)()(x g x f >；（）4. =→x x x 1coslim 0x x 0lim →01cos lim 0=→xx ；（） 5. 若)()(limx g x f x x →存在，且0)(lim 0=→x g x x 则0)(lim 0=→x f x x .（）6．1sin lim=∞→xxx ；（）7．e x xx =+∞→1)1(lim ；（）8．当∞→x 时，2311x x +与kx 1是等价无穷小量，则2=k ；（） 9．无穷小量的代数和还是无穷小量；（）10．当0→x 时，无穷小量43x x y +=是关于x 的4阶无穷小量；（）11．因为0→x 时x sin ～x ～x tan ，所以有000lim sin tan lim3030=-=-→→xx x x x x .（）三．利用定义证明下列函数的极限 1．4142lim22=--→x x x ；2．2arctan lim π=+∞→x x 。

高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)

第三章微分中值定理与导数的应用一、要求：1、罗尔定理，拉格朗日定理应用；2、洛必达法则；3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘；4、简单不等式证明；5、最值在实际问题中的应用。

二、练习1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ().A.1 B.f ( x ) | x | C. f ( x) 1 x 2D. f ( x ) x22 x 1.f ( x)x 22. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的值是 ().A.4B.41C. 1D. 4.11 3.4设函数 f ( x ) ( x 1)( x2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是；.3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是.4. 函数 f ( x ) ln xx2在(0,) 内的零点的个数为.e5. 曲线6. 函数yxe x 的拐点，凹区间，凸区间.yln x1x 2的单调区间.7. 曲线 f ( x) e x的渐近线为.x 18. 计算：5 x 4x11(12（2） lim (cos x )（1） limx 1xx) （3） limtan 2 xx1xe 1x 0arctan x x(1 x 2 )1 / 31 ；1（ 4） lim ；（5） lim（6） lim (cscx ) ；x 0x ln(1 2 x 2 )xcosx1x 0x（ 7） lim x 3 (sin 11 sin2 ) ；（） lim (tanx )2 x；（ 9） limx；exx2x8x ln xx29. 证明 2 arctanxarcsin2 xx1 .21 x10. 证明方程x5x10 在区间( 1, 0)内有且只有一个实根.11. 证明多项式f x3 3 x a 在0,1上不可能有两个零点 .x12. 证明：当0x时， x sin x 22x13.证明：当x0时，1x2arctan x xx14. 设 f x32bx在 x 1 处有极值-2，试确定系数 a , b ，并求x axy f x 的所有极值点与拐点.15. 求内接于椭圆x2y2221 而面积最大的矩形的各边之长.a b16.由直线 y0,x8及抛物线 y x2围成一个曲边三角形 ,在曲边 y x2上求一点 , 使曲线在该点处的切线与直线y0 及 x 8 所围成的三角形面积最大.17.描绘 (1)y 3 x2，(2) y21的图形 .2( x1) ( x 1) 2( x 1)18.要做一个容积为 2 的密闭圆柱形罐头筒，问半径和筒高如何确定才能使所用材料最省？19．要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为500 立方米，底面为正方形。

大学《高等数学A》课后复习题及解析答案

大学数学A （1）课后复习题第一章一、选择题1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（） A .2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B .0)(,1)(x x g x f ==C .1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f ==2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（）. A .)1ln()(2++=x x x f B .||)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1sin )1()(2--=x xx x f3.极限⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（） A ．0 B ．1 C ．21D ．∞ 4.极限xxx x sin lim+∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（）A ．0B ．1C ．2D ．∞5.当0→x 时，下列各项中与 23x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（）A ．)1(3-xe x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=xx f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要8.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤≤≤-=01,110,21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（）A ．在0=x ,1=x 处间断B ．在0=x ,1=x 处连续C ．在0=x 处间断，在1=x 处连续D ．在1=x 处间断，在0=x 处连续 9.极限xx x 10)1(lim -→-的值为.. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（）A ．1B ．e -C ．e1D ．e 二、填空题10.函数ln y x =的定义域为（用区间表示） . 11. 函数xxy -+=11的定义域为（用区间表示） . 12. 已知x xx f +=1)(，则=))((x f f . 13. 函数x x y 2353+-=的反函数为 .14. =→xx x 1sin lim 20 .15. 当________=α时，αx 与x 2sin 是0→x 时的同阶无穷小.16. 设21)1(lim e kx xx =+→，则=k .17. 设1sin lim0-=→xkxx ，则=k .18. =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→11232lim x x x x .9. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(2x x a x xx x f 在点0=x 处连续，则=a . 三、解答与证明题20. 求下列数列极限（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n （2）)12(lim +-+∞→n n n n （3）⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n n n 22221lim （4）n n n nx 10...21lim +++∞→ 21. 求下列函数极限（1）15723lim 2323+++-∞→x x x x x （2）134lim 22++∞→x x x（3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x （4）11lim 31--→x x x （5）28lim 32--→x x x （6）)1311(lim 31x x x ---→ （7）)1(lim x x x -++∞→ （8）xx x x ln )1(lim1-→（9）xx x sin ln lim 0→ （10）x xx 3sin 2sin lim 0→（11）30sin tan lim xx x x -→ （12）x x x 10)51(lim -→ 22. 若432lim23=-+-→x ax x x ，求a 的值. 23. 若已知411lim21=-++→x b a x x ，求a,b 值. 24. 当 a 取何值时，函数)(x f 在 x =0 处连续：（1）⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=0),cos(0,11)(x x a x xx x f . 25. 证明（1）方程01423=+-x x 在区间)1,0(内至少有一个根.（2）方程x e x 3=在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、设函数)(x f 在点0x 可导，则=-+→hx f h x f h )()2(lim000( )．（A ） )(0x f '-； (B) )(0x f '； (C) )(20x f '； (D) )(20x f '-． 2、设函数)(x f 是可导函数，且13)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率是 ……………………………………………( )． (A) 3； (B) 1- ； (C) 13 ； (D) 3-．3、设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，则)(a f '= ………( )． (A) )(a ϕ ； (B)0； (C)a ； (D))(a a ϕ．4、若0x 为函数)(x f 的极值点，则…………………………………………( )． (A)0)(0='x f ； (B)0)(0≠'x f ； (C)0)(0='x f 或不存在； (D))(0x f '不存在．5、设)0)(1ln(≠+=a ax y ，则y ''= ( )．(A)22)1(ax a +； (B)2)1(ax a +； (C)22)1(ax a +-； (D)2)1(ax a +-． 6、由方程5ln =-y xe y 确定的隐函数)(x y y =的导数=dxdy( )． (A)1-y y xe e ； (B)y y xe e -1； (C)yy e xe -1； (D)y y e xe 1-．7、)2sin sin (lim xx x x x +∞→＝ ……………………………………… ( )．(A)2； (B)1； (C)3； (D)极限不存在．8、设x x y =)0(>x 则='y ( )．(A)x x ； (B) x x x ln ； (C) 1-x x ； (D))1(ln +x x x ．9、曲线x y sin 1+=在点)1,0(处的切线方程是…………………………( )． (A)01=--y x (B)01=+-y x (C)01=++y x (D)01=-+y x 10．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是……………………( )(A) 2(),[0,3]f x x x =∈ (B) 21(),[1,1]f x x x=∈-(C) (),[1,1]f x x x =∈-(D) ()[0,3]f x x =∈ 二、填空题11、设x x y 2sin 2+=，则=dy ．12、已知x x y n ln )3(=-，(N n n ∈≥,3)，则)(n y ＝．13、已知过曲线24y x =-上点P 的切线平行于直线x y =，则切点P 的坐标为 . 14. 已知2)1(='f ，则=-+-→2)1()(lim31x x f x f x .15. 设x a y =(0>a 且1≠a ),则=)(n y .16. 曲线3)1(-=x y 的拐点是． 17.设函数)(x f 在0x 处可导，则xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000= ．18.设⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x ，当a =_____时，)(x f 在x = 0处可导．19.若函数5)(23-+-=x x ax x f 在),(+∞-∞上单调递增，则a 的取值范围为．20. 设由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x (其中0>a )确定的函数为)(x y y =，则=dxdy. 三、解答与证明题21.设e x x e y +=，求y '． 22.求下列函数的二阶导数.(1) 设x e y x sin =，求y ''. (2) 设1arctan1xy x-=+，求y ''23. 求曲线21x y =在点（4，2）处的切线方程和法线方程． 24. 讨论下列函数在点0=x 处的连续性和可导性：（1） 0 0 )1ln()(⎩⎨⎧<≥+=x x x x x f ，（2） 0 tan 01sin )(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x xx x f ． 25. 求由方程ln xy x y x e -=所确定的隐函数y 的导数dxdy． 26. 求极限：（1）]1)1ln(1[lim 0x x x -+→；（2）30sin tan lim xx x x -→；（3）)arctan 2(lim x x x -+∞→π；（4）x x x +→0lim ；（5）)1sin 1(lim 0x x x -→；（6）200sin lim xdt t xx ⎰→． 27. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定，求22dx yd ．28.求函数()(f x x =-. 29. 求函数32332y x x x =-++的凹凸区间、拐点． 30. 已知点)3,1(为曲线1423+++=bx ax x y 的拐点. (1) 求b a ,的值； (2)求函数1423+++=bx ax x y 的极值. 31. 设11xy x-=+，求()n y 32．设b a <<0，证明：a b ab ba a --<+ln ln 222. 33. 设0,()(0)0,x f x f ≥=连续，0'()x f x >当时,存在且'()f x 单调增加，证明：当0x >时函数()f x x 单调增加.34. 证明：当0>x 时，x x x x<+<+)1ln(1． 35. 证明:当0x >时,有1x x x e xe <-<成立.第三章一、选择题：1．下列凑微分正确的一个是（） A ．)2(sin cos x d xdx = ； B. )11(arctan 2xd xdx += C ．)1(ln x d xdx = D. )1(12x d dx x -=2．若⎰+=,)(c x dx x f 则⎰-dx x f )32(= （）A ．2-3x+c ； B. c x +-31； C. x+c ； D. c x +-2)32(213．在以下等式中，正确的一个是（） A ．⎰=')()(x f dx x f B. ⎰=')(])([x f dx x f C ．⎰=)(])([x f dx x f d D. ⎰='')(])([x f dx x f 4. 设x x f 3sin )(='，则⎰dx x f )(是（）A ．cos3x ； B. cos3x+c ； C.c x +-3cos 31； D.2193sin c x c x++- 5. 若,0(),0x x x f x e x ≥⎧=⎨<⎩，则21()d f x x -=⎰（）. A. 13e -- B. 13e -+ C. 3e - D. 3e + 6. 下列定积分是负数的是（）（A ）dx x ⎰20sin π(B)dx x ⎰20cos π(C)dx x ⎰ππ2sin (D)dx x ⎰ππ2cos7. 若4)12(1=+⎰dx x a，则a = ( )(A) 3 (B) 2 (C) 0 (D) 48.若⎰∞-=31dx e kx ，则k=( ) (A)31 (B)-31(C) 3 (D)-3 9.=+⎰)1(212x dt t t dx d （）（A ）x x+12(B) 212-+x x(C) 241x x + (D) 2512x x +10.若,21)(21)(0-=⎰x f dt t f x且1)0(=f ，则=)(x f （） (A)2x e (B)x e 21 (C)x e 2 (D)x e 221 二、填空题： 1．x d xdx 3(arcsin ________312=-）.2．⎰=+________________912dx x .3．若⎰+=,3cos )(c x dx x f 则f （x ）= .4. ⎰='____________________)()(22dx x f x xf . 5. F(x ) =dt t x ⎰+223,则=')1(F _________.6. 极限020cos d limxx t t x→⎰= ；7. 23423sin 1x e xdx x x -++⎰= 8．设()f x 连续，(0)1f =，则曲线0()d xy f x x =⎰在()0,0处的切线方程是；三、解答题：1、2x dx 2、⎰-+322x x dx3、⎰+dx x x214、422331.1x x dx x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭⎰ 5、cos 2.cos sin xdx x x -⎰6、dx x x ⎰-42 7、⎰-+211xdx8、⎰xdx x arctan 29、1x ⎰10、10d e ex xx-+⎰11、10x ⎰12、22()e d xx x x --+⎰；13．40d 1cos2xx xπ+⎰；14.41x ⎰；15.1d ln x x x+∞⎰16.2203sin d limx x t t x→⎰；17.求曲线xxe y e y -==,及直线1=x 所围成的平面图形的面积.18. 求由曲线)cos 2(2θ+=a r 所围图形的面积19. 由曲线2y x =和2x y =所围成的图形绕y 轴旋转后所得旋转体体积. 20. 计算曲线)3(31x x y -=上相应于31≤≤x 的一段弧的弧长大学数学A （1）复习题参考答案第一章一、选择题1、D2、A3、C4、B5、C6、B7、A8、C9、D二、填空题10、]3,0( 11、)1,1[- 12、x x21+ 13、)23(2353≠-+=x x x y 14、0 15、1 16、2 17、-1 18、e 19、0三、解答与证明题20（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n )1113121211(lim +-++-+-=∞→n n n 1)111(lim =+-=∞→n n . （2）2111211lim12lim )12(lim=+++=+++=+-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n . （3）因为 1212222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ，而 11lim lim 2222=+=+∞→∞→n n n n n n n ，所以121lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n nn . （4）因为n nn n n nn n n nn 101010...101010...211010=+++<+++<=，110lim 10lim 1==∞→∞→nn nn ，故1010...21lim =+++∞→n n n n n .21（1）15723lim2323+++-∞→x x x x x 33115723lim x xx x x +++-=∞→53=.（2）331341lim 134lim 2222=++=++∞→∞→xx x x x x . （3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x 503020122332lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→x x x x 503020)02()03()02(++-=3023⎪⎭⎫⎝⎛=. （4）11lim31--→x x x 1)1)(1(lim333231-++-=→x x x x x 3)1(lim 3321=++=→x x x .（5）12)42(lim 28lim2232=++=--→→x x x x x x . （6）112lim 131lim )1311(lim 2132131-=+++-=--++=---→→→xx x x x x x x x x x . （7）)1(lim x x x -++∞→011lim=++=+∞→xx x .（8）11)1(lim ln )1(lim11=--=-→→x x x x x x x x .（9）0sin lim ln sin lnlim 00==→→xxx x x x . （10）x xx 3sin 2sin lim0→3232lim 32lim 00===→→x x x x . （11）30sin tan limx x x x -→30)cos 1(tan lim x x x x -⋅=→3202lim x x x x ⋅=→21=. （12）xx x 1)51(lim -→ xt 51-== tt t 511lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+511lim -∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t 5-=e .22 解由题意知 0)2(lim 23=+-→a x x x ，即06232=+⨯-a ，从而3-=a .23 解因1→x 时, 012→-x , 而函数极限存在, 则)1(0→→++x b a x即 0lim 1=++→b a x x从而01=++b a （1）故原式=)1)(1)(1(1lim 11lim121a a x x x x x a a x x x ++++--=-+-+→→ aa a x x x +=++++=→141)1)(1(1lim1即41141=+a（2）由（1）（2）解得1,0-==b a .24 解（1）因为 a x a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 0，1lim )(lim 0==--→→x x x e x f ，而 ,)0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =，须且只须 1=a .所以当且仅当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续．（2）因为 21111lim 11lim )(lim 00=++=-+=+++→→→x xx x f x x x ， a x a x f x x cos )cos(lim )(lim 00=+=--→→，而 ,cos )0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =，须且只须 21cos =a ，即32ππ±=k a )(Z k ∈. 所以当且仅当32ππ±=k a )(Z k ∈时，函数)(x f 在0=x 处连续．25 证（1）令14)(23+-=x x x f ，则)(x f 在[0,1]上连续，且,02)1(,01)0(<-=>=f f由零点定理知，),1,0(∈∃ξ使,0)(=ξf 即01423=+-ξξ，所以方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个根.（2）设x e x f x3)(-=，则)(x f 在]1,0[上连续，且03)1(,01)0(<-=>=e f f ，故由零点定理知方程在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、C2、D3、A4、C5、C6、B7、A8、D9、B 10、D 二、填空题11、dx x x )2cos 2(2+ 12、21x -13、)415,21(- 14、1215、n x a a )(ln 16、(1,0) 17、)(20x f ' 18、1． 19、),31(+∞ 20、t tcos 1sin -.三、解答与证明题21、解：1-+='e x ex e y ．22、解：(1)(sin cos )xy e x x '=+，(sin cos )(cos sin )2cos x x x y e x x e x x e x ''=++-=．(2) 2111111x y x x x '-⎛⎫'=⎪+⎝⎭-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()()2222(1)1(1)(1)(1)1x x x x x x -+--+=⋅+++- 22212(1)(1)x x --==++()1211y x -'⎡⎤''=-+⎢⎥⎣⎦()()22222121x x x x -=+⋅=+23、解：2121-='x y ，所以4121)4(421=='=-x x y ，所以切线方程为)4(412-=-x y ，法线方程为)4(42--=-x y ． 24、解：（1）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．10lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=++→→+x x x f x f f x x ，10)1ln(lim 0)0()(lim )0(00'=--+=--=+-→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处可导．（2）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．01sin lim 001sinlim 0)0()(lim )0(0200'==--=--=+++→→→+xx x x x x f x f f x x x ， 10tan lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=--→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处不可导．25、解：两边同时对x 求导得，11ln ()xy y x y e y xy x ''--=+，所以，1ln xyxy yye x y x xe--'=+． 26、解：（1）原式＝)1ln()1ln(limx x x x x ++-→＝20)1ln(lim xx x x +-→＝xx x 2111lim 0+-→＝)1(21lim 0x x +→＝21．（2）30sin tan lim x x x x -→=30)1cos 1(sin lim xx x x -→=x x x x x cos )cos 1(sin lim 30⋅-→121lim 320⋅⋅=→x x x x =21．（3）)arctan 2(lim x x x -+∞→πx x x 1)arctan 2(lim -=+∞→π22111limxx x -+-=+∞→11lim 22=+=+∞→x x x .（4）xx x +→0lim =xx xx x x eeln lim ln 00lim +→+=→，0ln lim 0=+→x x x ，所以原极限10=e ．（5）)1sin 1(lim 0x x x -→ x x x x x sin sin lim 0-=→20sin lim xx x x -=→x x x 2cos 1lim 0-=→2sin lim 0x x →=0=．（6）2sin lim x dt t x x ⎰→=x x x 2sin lim 0→=21．27、解：22111221dy dy t dt t dx t dx dt t -+===+, 22221()12241d dy d y t dt dx dx t dx t dt t +===+.28、解：函数定义域为),(+∞-∞.'()f x =，令'()0f x =，得驻点1=x ，1x =-为不可导点.由上表可以看出，函数在),1(),1,(+∞--∞上单调上升,函数在(1,1)-上单调下降；函数在1-=x 处取得极大值0)1(=-f ，在1=x 处取得极小值343)1(-=f ， 29、解：函数定义域为),(+∞-∞.2363y x x '=-+,666(1)y x x ''=-=-，令0y ''=,得x =1.当1x >时，0y ''>；当1x <时，0y ''<，所以函数的拐点为（1，3），在（-∞，1）上是凸的；在（1，+∞）上是凹的． 30、解：(1)b ax x y ++='232,a x y 26+=''.由条件，有⎩⎨⎧+=+++=ab a 2601413，解得9,3-=-=b a .(2)149323+--=x x x y ，函数定义域为),(+∞-∞.)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ，)1(666)(-=-=''x x x f .令0)(='x f ，得稳定点 11-=x ，32=x . 又012)1(<-=-''f ，012)3(>=''f故149323+--=x x x y 在点1-=x 处取极大值，极大值为19)1(=-f ，在点3=x 处取极小值，极小值为13)3(-=f .31. 解：122111x y x x--+==-+++()2121(1)y x '=-+，()()()312121y x ''=--+ ()()()41212(3)1y x '''=---+…… ()n y()()1121!1nn n x +=-+32. 证明：令x x f ln )(=，则)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.所以由Lagrange 中值定理知，),(b a ∈∃ξ，使)()()(ξf ab a f b f '=--，即ξ1ln ln =--a b a b .又由),(b a ∈ξ，故22211ba ab +>>ξ.. 即222ln ln ba aa b a b +>--. 33. 证明：1）令()(0)f x F x x x=>()2'()()(2)'()xf x f x F x x-=2(0)0'()[()(0)]f xf x f x f x =-- 2'()'()(0)xf x xf x xξξ-<<微分中值定理 '()'()f x f xξ-=当0x >时，'()f x 单调增加 ∴'()'(),'()'()0f f x f x f ξξ<->即故有()'()0.(0,)f x F x x>+∞即在单调增加 34. 证明：令)1ln()(u u f +=，则)(u f 在],0[x 上满足Lagrange 中值定理条件，故),0(x ∈∃ξ，使)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即)0(11)01ln()1ln(-+=+-+x x ξ，即ξ+=+1)1ln(x x . 又由),0(x ∈ξ，故x xx x <+<+ξ11，即x x xx <+<+)1ln(1. 35. 证明：令()[],0,t f t e t x =∈,()t f t e =在[]0,x 应用拉格朗日中值定理 ()00,0x e e e x x ξ-=-<ξ<x e 是单调增函数，0x e e e ξ∴<<，故有1xxx e xe <-<,0x > 证毕第三章一、选择题1-5 DCBDA 6-10 CBCDC 二、填空题 1．3 2． 11arctan 33x C + 3. -3sin3x 4． 221()+C 4f x5． -2 6． -1 7． 0 8．y x =三、解答题1. 572222=557x dx x dx dx x x C --=-+⎰⎰2.2111=23(3)(1)41311ln ||43dx dx dx dx x x x x x x x Cx ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭-=++⎰⎰⎰⎰3. 22221(1)1=ln |1|+C 1212x d x dx x x x +=+++⎰⎰ 4. 42232233113arctan .11x x dx x dx x x C x x ⎛⎫++⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰5.22cos 2cos sin (cos sin )sin cos .cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x C x x x x-==+=-+--⎰⎰⎰ 6.dx x x ⎰-42=c xx +--)2arccos 24(tan 227.⎰-+211xdx =cxx x +-+-211arcsin8.⎰xdx x arctan 2=c x x x x +++-)1ln(6161arctan 312239．令t x tan =，则1x ⎰=3344111cos d ln sin 21cos t t t t ππππ-=+⎰=10. 10d e e x x x -+⎰=112200e 1d de e 1e 1x x x x x =++⎰⎰1arctan(e )arctan e 4xπ==-11.10x ⎰=102⎰2121216π===⎰12. 22()e d xx x x --+⎰=22220002e d 2de 2e2e d xxx x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰262e =-13.40d 1cos2x x x π+⎰=442001d d tan 2cos 2x x x x x ππ=⎰⎰ 444000111ln 2tan tan d lncos 228284x x x x x πππππ=-=+=-⎰14. 41x⎰412ln x =⎰4112x x ⎤=-⎥⎦⎰124ln 2x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 14218ln 22d x x -=-⎰8ln24=-15. ee 11d d(ln )ln(ln )ln ln e x x x x xx +∞+∞+∞===+∞⎰⎰ 16. 22220322000sin d 2sin 22(2)8=333lim lim lim x x x x t t x x x x x →→→==⎰17.如图所示，解方程组xxy e y e -⎧=⎨=⎩，得交点(0,1)，所求面积为11100()d []2x x x x A e e x e e e e---=-=+=+-⎰18.解：∵1D ：⎩⎨⎧+<<<<)cos 2(200θπθa r∴12220141122[2(2cos3)]4[4(sin 3sin 6)1823212D D S S a d a a ππθθπθθθπ==+=+++=⎰19. 思路：该平面图形绕y 轴旋转而成体积V 可看作1D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤yx y 010绕y 轴旋转而成的体积1V ，减去2D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤2010y x y 绕y 轴旋转而成的立体体积2V 所得，见图解： πππ103)()(102221021=-=-=⎰⎰dy y dy y V V V20.解：12y '==， ∴3432322(21)214)1(113123313122-=+=+=-+='+=⎰⎰⎰x x dx x x dx x x dx y s ba。

高数A三复习试卷

（一）一、选择题1、在下列矩阵中，不是初等矩阵的是（）。

(A) (B) (C) (D) 100010001⎛⎞⎜−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎟⎟⎟010100001⎛⎞⎜⎜⎟⎜⎟⎝⎠101010001⎛⎞⎜−⎜⎟⎜⎟⎝⎠101010001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠2、下列说法正确的是（）。

(A)向量组12,,,m ααα 线性相关，则1α可由2,,m αα 线性表示 (B)向量组12,,,m ααα 线性相关，则1α必不可由2,,m αα 线性表示 (C)向量组12,,,m ααα 线性无关，则1α可由2,,m αα 线性表示 (D)向量组12,,,m ααα 线性无关，则1α必不可由2,,m αα 线性表示3、已知二次型为正定二次型，则满足（）。

312322213212),,(x cx x bx ax x x x f +++=c b a ,,(A) (B) (C) (D)0,0,0>>>c b a 0,2>>b c a 0,>>ac b a 012>+++c b a 4、设是总体X 的样本，且，则（）是的无偏估计。

n X X X ,,,21 2)(,)(σμ==X D X E 2σ(A)211)(1X X n n i i −∑−= (B)211(11X X n n i i −−∑−= (C)211()ni i X X n =−∑(D)21(11X X n n i i −−∑= 5、设随机变量的方差均存在，那么下列说法正确的是（）。

（A）()()()D X Y D X D Y +=+时，必有X 与Y 是相互独立的。

（B）()()()D X Y D X D Y +=+时，必有X 与Y 是不相关的。

（C）X 与Y 是不相关的，必有X 与Y 是相互独立的。

（D）X 与Y 是不相关的是X 与Y 是相互独立的充分必要条件。

6、设总体X,Y 都服从正态分布，(0,1)N 129129(,,,)(,,,)X X X Y Y Y 与分别是来自X,Y且相互独立的样本，则T =服从（）。

高等数学第三章练习题及答案

第三章练习题一、填空1、设常数，函数在内零点的个数为 22、3、曲线的拐点是（1,4）．4、曲线的拐点是 (0, 0)5、.曲线的拐点是.6、217、38.9、函数xxe y =的极小值点是 ____1-=x ______10、函数x x e y xcos -+= 在 []π,0上的最小值是 011．=-→xe x x 1limsin 0 1 二、选择1、设，则有（ B ）实根.A.. 一个B. 两个C. 三个D. 无 2、的拐点是（ C ） A. BC.D.3．( B )A 、B 、C 、D 、4．( B )A、B、C、D、5．( C ) A、 B、C、 D、6．( A )A、 B、 C、 D、7．AA、B、C、D、8．DA、 B、C、 D、9．( C )A、B、C、 D、10．函数( C )A、0B、132C、120D、6011．( B )A、B、C、D、12．（B）A、B、C 、D 、13．设在＝2处（ A ）A. 连续B.不连续C. 可导D.不存在极限14．( B )A 、B 、C 、D 、15.设，则（ C ）A. 0B. 1C.-1.D. 2三、计算与证明：1、解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x e x x 111lim 0()11lim 0-+-=→x x x e x e x 11lim 0-+-=→x x x x xe e e 2121lim lim 00-=+-=++-=→→x xe e e e x x x x x x2、()()()()2000ln 1ln 111lim lim lim ln 1ln 1x x x x x x x x x x x x →→→⎡⎤-+-+-==⎢⎥++⎣⎦解：()00111lim lim 221x x x x x x x →→-+==+ 12=3、2ln lnarctan 2lim arctan lim xx x x x x eππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭→+∞→+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭解：112ln ln arctan 2arctan 1112lim limx x x x x xx eeπ⋅++-→+∞→+∞==2eπ-=4、1)1(1lim 11)1(1lim cot )11ln(lim22=++=+-+-=++∞→+∞→+∞→x x x x x x x arc x x x x5、解：x x x e e x x x sin 2lim 0----→= xe e x x x cos 12lim 0--+-→ =x e e x x x sin lim 0-→-=x e e x x x cos lim 0-→+=26、解 x x x sin 0lim +→=xx x e ln sin 0lim +→而+→0lim x x x ln sin =+→0lim x x x ln =+→0lim x x x 1ln =+→0lim x 211xx-=+→0lim x )(x -= 0 故x x x sin 0lim +→=10=e 7、解：原式=30sin lim x x x x -→=203cos 1lim xx x -→=x x x 6sin lim 0→=618、求函数的单调区间和极值.解：定义域为(,)-∞+∞， 212363(2),0,0,2,y x x x x y x x ''=-=-===令得列表如下：x (,0)-∞0 (0,2)2 ∞(2,+)y' + 0 － 0 + y↑1↓-3↑(,0)-∞∞所以函数的单调增区间为及(2,+)，单调减区间为(0,2)，…01-x x =当时取极大值，当=2时取极小值3.9、确定函数的单调区间及极值和凹凸区间。

高等数学A三复习题(学生版)

A A 中必有一行元素（或一列）全为零 B A 中必有两行元素成比例 C A 中必有一行是其余各行的线性组合 D A 中任意一行是其余各行的线性组合 10、设 A 是 m × n 矩阵，B 是 n × m 矩阵，则（） A 当 m > n 时，必有行列式 AB ≠ 0 B 当 m > n 时，必有行列式 AB = 0 C 当 m < n 时，必有行列式 AB ≠ 0
⎛0 1 0 ⎞ ⎟ 23、设 A = ⎜ ⎜a 0 c ⎟， ⎜ b 0 1/ 2 ⎟ ⎝ ⎠
（1）a，b，c 满足什么条件时，r(A)=3；（2）选择 a，b，c 使得 A 为正交阵。 2 24、设方阵 A 满足 A + 2 A − 3E = O （1）问 A + 4 E 是否可逆？若可逆，求出其逆矩阵；（2）问 A + kE （其中 k 为整数）是否可逆？若可逆，求出其逆矩阵。
上述基下的坐标为 ___________________ 16、设三维空间 V 上的两组基底： α1 , α 2 , α 3 和 β1 , β 2 , β3 ；又 β1 = α1 + 2α 2 + α 3 , β 2 = α1 + α 2 , β3 = α1 ， V 中向量 ξ 在基 β1 , β 2 , β3 下的坐标为 (1, 2, 2)T ，则 ξ 在基 α1 , α 2 , α 3 下的坐标是 __________ 17、设 ξ1 , ξ 2 , ξ3 是 AX = 0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示成（） A ξ1 , ξ 2 , ξ3 的一个等价向量组 B ξ1 , ξ 2 , ξ3 的一个等秩向量组 D ξ1 − ξ 2 , ξ 2 − ξ3 , ξ3 − ξ1 C ξ1 + ξ 2 , ξ 2 + ξ3 , ξ3 + ξ1 18、若 α1 = (1, −1, a, 4)T , α 2 = (−2,1,5, a − 7)T , α 3 = (a, 2, −10, −2)T 是齐次方程组 AX = 0 的基础解系，则 a 的取值范围是（） a≠0 a ≠1 a ≠ −9 A B C a ≠ 1且a ≠ −9 D ） 19、设 A 为 m × n 矩阵，齐次线性方程组 AX = 0 仅有零解的充分条件是（ A A 的列向量组线性无关 B A 的列向量组线性相关 C A 的行向量组线性无关 D A 的行向量组线性相关

高数a第三章习题提示与答案

习题3-1(A) 1，34=ξ 2，14-=πξ5，提示：令满足罗尔定理上，验证在)(]1,0[)()(234x F x c b a cx bx ax x F ++-++=. 6，提示：.]1,1[)(,2arccos arcsin )(上为常数在证明令--+=x F x x x F π7，提示：.],[,)(理上应用拉格朗日中值定在令a b x x F n = 8，提示：.],[,ln )(理上应用拉格朗日中值定在令a b x x F =9，提示：x x x x x x x F cos ,],[,],[,sin )(3221再利用理上应用拉格朗日中值定分别在令= .),0(上的单调递减性在π10，提示：，再用罗尔定理内有根在内有根在用零点定理证明21)1,21(,)21,0()(ξξx f证明.)1,0(),()(21内有根在⊂'ξξx f 习题3-1(B)1, 提示：令满足罗尔定理上，验证在)(]1,0[2)(210x F x na x a x a x F n n +++= . 2，提示：令，x n n a x a x a x F n )12sin()12(3sin 3sin )(21--+++= 满足罗尔定理上验证在)(]1,0[x F . 3，提示：.,0)(),(0)(),(21211以此类推使，存在使由罗尔定理存在=''∈='∈ξξξξξf b f b a 4，提示：),(,0)(),(211b c f c a ∈>'∈ξξξ存在有证明存在由拉格朗日中值定理可.],[)(,0)(212理上利用拉格朗日中值定在再对有ξξξx f f '<' 5，提示：,0)0(0)()1,0(11='='∈G G 又因为，使由罗尔定理存在ξξ .],0[)(1上验证罗尔定理在对ξx G ' 6，内，证明：在内二阶可导，且上连续，在在设]1,0[0)1()0()1,0(]1,0[)(==f f x fηηηξξξηξ-'=''-'=''1)(2)()2(1)()()1(,f f f f 得使分别存在提示：，使由罗尔定理存在设0)()1,0(),()1()()1(11='∈'-=ξξf x f x x F.0)()1,0()1,(1='⊂∈在使存在所以ξξξF.]1,0[),()1()()2(上二次应用罗尔定理在设x f x x F -= 7，提示：)(),(432)(35x F c bx ax x x F '+∞-∞+++=上有根，再证明在用零点定理证明.),(上无零点在+∞-∞ 8，提示：值定理上，所以由拉格朗日中在直线因为AB c f c ))(,( ，使得存在)()()()()()(),(),,(2121ξξξξf cb c f b f a c a f c f f b c c a '=--=--='∈∈ .),(),()(21上利用罗尔定理在再对b a x f ⊂'ξξ 9，提示：考虑.)(,)()(为常数先证明x e x f x xϕϕ=10，提示：.)()1,0()(,)()(单调内有根，并证明在用零点定理证明令x F x F x x f x F -=11，提示：.0)())(,()(>⎪⎭⎫ ⎝⎛--k a f a f k a f a a x f 可证明上用拉格朗日中值公式在对 12，提示：.,1)(,)()(利用柯西中值定理令xx G x x f x F == 习题3-2 (A)1, (1)31 (2) 81- 1)12()11()10(1)9(31)8(21)7()6(21)5(1)4(3)3(31e e --∞ 2，简答：,01sin lim 1sin lim sin 1sinlim02020===→→→xx x x x x x x x x x 但若用洛必达法则 =→x x x x sin 1sinlim 20 x x x x x c o s 1c o s1s i n 2lim0-→ 因为不存在，所以x x 1cos lim 0→不能用洛必达法则. 习题3-2 (B)1，n a a a e e 21)8(1)7(0)6(2)5(21)4(32)3(1281)2(41)1(--2，363，简答：xx x xx x x x x xxx x x x e e ee x xf 2111lim )1ln(lim ]1)1ln(1[10011000000200lim )1(lim )(lim -+-+-++→+→+→+→+→===⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=).0(21)1(21lim 20f eex x ===-+-+→4，简答：)()(2lim )0()(lim )0()()(lim )(ln limln )(000020020000lim x f x f f xx f f x f x x f x f xxx f x x x x x eeeee'-'-''-+→+→+→+→+→=====题设.10==e5，)(a f '' 6，)0()1(g a '=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+''≠--+'='0]1)0([210]c o s )([]s i n)([)()2(2x g x x x x g x x g x x f(3) 处处连续. 习题3-31，432)4()4(11)4(37)4(2156)(-+-+-+-+-=x x x x x f 2，193045309)(23456+-+-+-=x x x x x x x f3，)40(,)(cos 3]2)()[sin sin(31tan 4523<<+++=θθθθx x x x x x x4，)10()]4(4[16!4)4(15)4(5121)4(641)4(412432<<-+---+---+=θθx x x x x x5，)10()(!)1(2132<<+-++++=θn nxx O n x x x x xe6，645.1≈e7，430533103.1;3090.018sin )2(1088.1;10724.330)1(--⨯<≈⨯<≈R R8，121)3(21)2(23)1(-习题3-4 (A) 1，单调减少 2，单调增加3， .),23()23,()1(内单调下降在内单调上升；在+∞-∞ .),2[]2,0()2(内单调增加在内单调减少；在+∞ .),()3(内单调增加在+∞-∞.),21()21,()4(内单调增加在内单调减少；在+∞-∞ .),[]0[)5(内单调下降在上单调上升；，在+∞n n 4，(1) 提示：，令x x x f +-+=1211)(利用函数的单调性证明. (2) 提示：，令221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=利用函数的单调性证明. (3) 提示：，令331tan )(x x x x f --=利用函数的单调性证明. (4) 提示：，令22)(x x f x -=利用函数的单调性证明.5，提示：，令x x x f cos )(-=用零点定理证明)(x f 有根，用单调性证明其根唯一.6，提示：.)(),(的符号来说明用求出x f x f '''' 7，(1) 凸 (2) 凹（3）内凸内凹，在在),0[]0,(+∞-∞ （4）凹8，），（内凹，拐点内凸，在）在（82),2[]2,(1-+∞-∞ ），（内凹，拐点内凸，在）在（222),2[]2,(2e+∞-∞内凹，无拐点）在（),(3+∞-∞），（），（：内凹，拐点，内凸，在），，）在（2ln 1;2ln 1]11[1[]1,(4--∞+--∞），（内凸，拐点内凹，在）在（3arctan 21),21[]21,(5e +∞-∞ ），（凹，拐点），、凸，在、）在（001[]0,1[]1,0[]1,(6∞+---∞9，29,32=-=b a 10，a=3, b= -9, c=811，a=1, b= -3, c=-24, d=16 12，简答：由极限的保号性可知或则无论设,00),0()()(lim00<>≠=-''-''→k k k x x x f x f x x.)(0左右异号在x x f ''习题3-4 (B)1，.)1,21(),1()21,0()0,()1(内单调增加在内单调减少；、、在∞+-∞ .]22,32[]32,2[)2(内单调下降在内单调上升；在πππππππ+++k k k k .],32[),[]32,()3(内单调下降在内单调上升；、在a a a a ∞+-∞ 2，.1)3(10)2(1)1(是有一个实根时有两个实根时无实根ea e a e a =<<>3，.)2,0(内只有一个实根在π4，(1) 提示：，令x x x x f 2tan sin )(-+=利用函数的单调性证明. (2) 提示：.)1(2ln ln 21)1ln()(是极小值，证明令f x x x f --+= (3) 提示：证明中可利用利用函数的单调性证明令.),1ln()1(1)(x x e x f x ++--=.)(0)(↑'>''x f x f 来证明(4) 提示：.,21arctan )(利用函数的单调性证明令π-+=x x x f 证明中注意.0)(=+∞f (5) 提示：.,212)(21利用函数的单调性证明令---=x xx x f(6) .2)(),(2)(),12()(2-=''-+='+--=x x x e x f x a e x f ax x e x f 证明：令 .2ln 0)(==''x x f 可得由的极小值，是从表中可见)(2ln x f '单调递增，即时所以当)(.0)]2ln 1([2)2(ln )(2ln x f a f x f x >-+='>'≠ .,0)0()(题设得证从而=>f x f5，证明：22)()]()([))(()()())(()(a x a f x f a x x f a x x f a x x f x ----'=---'='ϕ .)),((0)()()())(())((2x a a x f x f a x a x f a x x f ∈>-'-'=--'--'=ξξξ6，提示：用5，题的方法证明.7，提示：.],[)()(0)()(上的极小值在是证明根据b a x f c f x f c x ≥'- 8，.9320实根时，方程有且仅有一个及当=≤k k 9，）（凹，拐点凹，在2,),[],(a b b b +∞-∞ 10，略 11，略12，82±=k 习题3-5 (A)1，.1)2(,5)0()1(==y y 极小值极大值 .0)0(,4)2()2(2==-y e y 极小值极大值 .25)16(,1)4()3(==y y 极小值极大值.205101)512()4(=y 极大值 .45)43()5(=y 极大值.0)0()6(=y 极小值(7) 没有极值. .)()8(1e e e y =极大值.3)1()9(=y 极大值 .0)5()1(,18881)21()10(3==-=y y y 极小值极大值 2，.14)2(,11)3()1(-==y y 最小值最大值.22)2ln 21(,2)1()2(1=-+=-y e e y 最小值最大值 .2ln )41(,0)1()3(-==y y 最小值最大值3，提示：可导函数的极值点必为驻点，.在题设条件下无驻点所以可证明y ' 4，.29)1(-=y 最大值 5，.27)3(=-y 最小值 6，.3)32(,2为极大值==f a7，.21,2-=-=b a 8，长为100m ，宽为5m. 9，.1:1:;22,233===h d v h v r ππ 10，.44ππππ++aa ，正方形周长为圆的周长为11，.3843a a h π时，最小体积为锥体的高为= 12，.22.1.776小时时间为公里处应在公路右方 13，.6000)2(1000)1(==x x14，.45060075.3元件，每天最大利润为元，进货量为定价为 15，.167080,101利润=p 习题3-5 (B) 1，1,0,43,41==-==d c b a 2，x=1为极小点，y(1)=1为极小值3, 当c=1时，a=0,b= -3，当c= -1时，a=4,b=5 4, 296)(23++-=x x x x P 5, (1) f(x)在x=0处连续；(2) 当ex 1=时,f(x)取极小值；当x=0时f(x)取极大值 6，310=x 当时，三角形面积最小7，323)2()(11)1(032=--=-l x x x x y 8，122,2-≥<b b b b 时为当时为当 9，400 10，bc a 2 11，c a e bd L ae bd q -+-=+-=)(4)(,)(2)1(2最大利润eqedd -=η)2(ed q 21)3(==得当η 12，2)2()4(25)1(=-=t t x13，156250元14，(1) 263.01吨 (2) 19.66批/年（3）一周期为18.31天（4）22408.74元 15，2)2()111(1)()1(-+-+=e n n n n M n16，提示：.)1()1(ln )1()(22是极小值，证明令f x x x x f ---= 习题3-6 (A)1， (1) x=0, y=1 (2) x= -1, y=0 (3) x= -1,x=1,y=0 (4) x=1,x=2,x= -32，略习题3-6 (B)1，ex y e x 1,1)1(+=-= （2）x= -1,x=1,y= -2 （3）y=x, x=0 （4）y= -2, x=0 4121,21)5(-=-=x y x 2，略习题3-7 (A) 1， k=22， x x k sec ,cos ==ρ3， 02sin 32t a k =4， a a k t 4,41,===ρπ 5， 233)22ln ,22(处曲率半径有最小值- 习题3-7 (B) 1，略 2， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)2(),2(,332323132323131x a y y a x axyR 曲率圆心 3， 8)2()3(22=++-ηξ4，约1246(N) [提示：作匀速圆周运动的物体所受的向心力为Rmv F 2=]5， 16125)49()410(22=-+--ηπξ习题3-81，19.018.0<<ξ 2，19.020.0-<<-ξ 3，33.032.0<<ξ 4，51.250.2<<ξ总习题三一，(1)B (2)B (3)B (4)D (5)C (6)B (7)C (8)B (9)C (10)C] 二，25)8(/82)7()0,1()6(3)5(63)4()22,22()3(2ln 1)2(2)1(3s cm π+--x x x xe yx y 4)1(,)1(4)10()9(2222+++= 三，9)3(0)2(3)1(,7541,6,50,40,31,221,123---e⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-''≠++-'='-0)1)0((210)1()()()()1(,82x g x x e x x g x g x x f x上连续在),()()2(+∞-∞'x f 9, 略四，证明题和应用题1，提示：.)21(,)0()1()1()(是最小值是最大值，证明令f f f x x x f p p =-+= 2，提示：.)ln(ln )()(明，利用函数的单调性证令x a a a x a x f +-+= 3，提示：.)1(0)(12arcsin arctan 2)(2π=='++=f x f x xx x f ，且有，证明令 4，提示：().0)(ln >'x f 证明 5，提示：，令xx x f 1)1ln(1)(-+=内单调递减，在证明)1,0()(x f)1()()0(f x f f >>+所以.6，)027.0,025.0()2(450449)1(7，)2,2(b a P8，12ln 31,2ln 3121-+ 9，%82.0%13)3(173)2(20)1(总收益增加，时，若价格上涨当=-p pp10，略第三章作业（仅供参考）习题 3-1（A ） 1，2，4，6，8，10 习题 3-1（B ） 2，3，5，6，9，12 习题 3-2（A ） 1，2 习题 3-2（B ） 1（单），5，6 习题 3-3 1，4，7，8 习题 3-4（A ） 1，3（双），4（单），5，8（双），11 习题 3-4（B ） 2，4（单），6，10 习题 3-5（A ） 1（单），2（2），5，8，10 习题 3-5（B ） 3，5，8，10，13 习题 3-6（A ） 1（单），2（双）习题 3-6（B ） 1（3）（5），2（1）（3）习题 3-7（A ） 1，4 习题 3-7（B ） 1，3，5 习题 3-8 1，3总习题三一，二，三（双），四2，4，8，10。

线性代数第三章习题及解答

解：取 α1 = (1, 0, 0)T , α2 = (0, 1, 0)T , β1 = (−1, 0, 0)T , β2 =
(0, −1, 0) α1 + α2 + β1 + β2 = 0, 但 α1 , α2 线性无关，且 β1 , β2 也线性无关 (3) 若只有当 λ1 , . . . , λm 全为 0 时，等式 λ1 α1 + · · · + λm αm + λ1 β1 +· · ·+λm βm = 0 才能成立，则 α1 , α2 , . . . , αm 线性无关， β1 , β2 , . . . , βm
证明：因为 n = R(e1 , . . . , en ) ≤ R(α1 , . . . , αn ) ≤ n 于是 R(α1 , . . . , αn ) = n，则 α1 , α2 , . . . , αn 线性无关
7. 设向量组 α1 , α2 , . . . , αm 线性相关，且 α1 ̸= 0, 证明：存在某
2
(0, 0, 0)T , β3 = (−1, −1, 1)T 5. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大线性无关
组，并把其余列向量用最大线性无关组线性表示 . 25 31 17 43 75 94 53 132 (1) 75 94 54 134 25 32 20 48 25 31 17 43 25 31 17 75 94 53 132 0 1 2 解： 75 94 54 134 −→ 1 3 0 25 32 20 48 0 1 3 α1 α2 α3 α4 25 31 17 43 1 0 0 8 5 0 1 2 3 0 1 0 −1 −→ 0 0 1 2 −→ 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 于是最大线性无关向量组之一为 α1 , α2 , α3

09高等数学A(上)习题册

09高等数学A（上）习题册《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 1第一章函数与极限第一节映射与函数1、下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)?lgx2,g(x)?2lgx;f(x)?x，g(x)?x2.2、求函数y?3?x?arctan1x 的自然定义域。

3、已知f(x)?11?x，求f[f(x)]的定义域。

4、设f(x)??lgx,x?0?；g(x)??1,x?0?x?1,x?0?，求f[g(x)]。

1,x?05、已知f(x)?3x?5，且f[g(x)]?2x，求g(x)。

第二节数列的极限1、观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势，判断它们是否存在极限。

如果存在极限，写出它们的极限，如果不存在极限，请写出原因：xn1n?(?1)n x1n?2?n2xn=(?1)n?1 xn?n=sin2(5)xn?n?1n x?1n?nn?1nxn?2?13nxn=(?1)n?1?n《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 2n2、证明数列354n?(?1)2，23，4，5?，的极限是1n3.根据数列极限的定义证明：limn2?9．n??n?1第三节函数的极限1、根据函数极限的定义证明：lim(3x?1)?8.x?32、根据函数极限的定义证明：lim1?x3??2x3?12. x3、求f(x)?xxx,g(x)?x当x?0时的左、右极限，并说明它们在x?0时的极限是否存在。

《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 34、证明：若limf(x)?A，则limf(x)?A，但反之不真。

第五节极限运算法则x?x0x?x0第四节无穷小与无穷大1、两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之。

2、求下列极限并说明理：lim5x?10 x??xlim4?x2x?22?x3、函数y?xcosx在内是否有界？这个函数是否为x 时的无穷大？为什么？1、计算下列极限：(1)lim(x?h)2?x2h?0h(2)lim(1?1?11n??24)2n(3)lim1?2?3(n?1)n??n2limxxxxx??《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 4limx2sin1x?0xlimn?3nx??(?2)n?1?3n?17）lim??1?1?x1?22?3??1?n(n?1)?? ?8）lim?xn?3n?n?n???第六节极限存在准则两个重要极限1、计算下列极限： limsin5xx?04xlimx?0cotxlimsinx3x?0(sinx)2lim(1?1x??x)kxlim?x?0?1?x?x?1?x?1、利用极限存在准则证明：limn(1?11)?n??n2??n2?2?n21。

大学数学A试题库(学生用)

大学数学A 试题库(学生用)第一章函数、极限、连续1. 设1)(2+=t t f ，则=+)1(2t f .2. 函数12ln(5)3y x x x =-++--的定义域为。

3. 函数12ln(8)3y x x x =-++--的定义域为 .4. 设函数)(x f 的定义域是[0，1]，则函数)(2x f 的定义域为 .5. 求极限 145lim 1---→x xx x ;6. 2arctan lim x xx →∞=________。

7. 求极限123lim 21x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭.8. 求极限 20cos 1lim x xx -→;9. 设n nn n x 1)321(++=，求：n n x ∞→lim ．10. 662421lim 23x x x x x →∞+-=++____ ____。

11. =⋅→x x x 1sin 2lim 0 .12. 2011lim x x x →+-= 。

13. 极限 222111lim()12n n n n n →∞++++++ 等于 ( )A. 0,B. ∞,C. 1,D. n .14. 101lim(1)lim sin xx x x x x -→→∞++ 等于（）A. e ,B. 1e -,C. 1e +,D. 1e 1-+15. 下列函数中当+→0x 时为无穷小量的是（）A ．x x 1sin , B. x x sin 1, C ．x ln , D. x e 1.16. =⋅∞→x x x 31sin lim .17. 极限 32322lim 2x x x →+-=- .18. 411lim 1x x x →-=-___ _ ____。

19. 数列有界是数列收敛的（）A. 必要条件B. 充分条件C. 充要条件D. 无关条件20. 当0x →时，1x e -是 ( )A. 较x 高阶的无穷小B. 较x 低阶的无穷小C. 无穷大量D. 与x 等价的无穷小21. 函数()f x 在0x x =处有定义，是()f x 在0x x =处连续的条件.22. 函数231)(22+--=x x x x f 的第一类间断点是（）A. 1=x ,B. 1-=x ,C. 2-=x ,D. 1-=x ，2-=x .23. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,2)(x x a x e x f x 在),(∞+-∞内连续，则=a . 24. 设函数22(1cos ), 0() 21, 0ax x f x x x x x ⎧-<⎪=⎨⎪++≤⎩当时当时，在(,)-∞+∞上处处连续，求a 的值。

大学数学A习题册(学案)

大学数学A（3）作业册数学科学学院大学数学教学部编制学院专业学号姓名第1次作业1、袋中有个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设{取得球的号码是偶数}，{取得球的号码是奇数}，{取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).2、判别下列级数的收敛性：用事件的运算关系式表示下列事件：(1) 三个事件都不出现；(2) 不多于一个事件出现；(3) 不多于两个事件出现；(4) 三个事件中至少有两个出现.3、接连进行三次射击，设={第次射击命中}，，{三次射击恰好命中二次}，{三次射击至少命中二次}；试用表示和.4、一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同.求(1) 第一次.第二次都取到红球的概率；(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率；(3) 二次取得的球为红.白各一的概率；(4) 第二次取到红球的概率.5、一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：(1) 2只都合格；(2) 1只合格，1只不合格；(3) 至少有1只合格.6、把甲.乙.丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率.12.总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：(1) 事件：“其中恰有一位精通英语”；(2) 事件：“其中恰有二位精通英语”；(3) 事件：“其中有人精通英语”.7、设一质点一定落在平面内由轴.轴及直线所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线的左边的概率.8、设是两个事件，已知，，，试求及.9、一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率.第2次作业1、下给定，，，验证下面四个等式：， .2、已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球.求下列事件的概率：(1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；(2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球.3、发报台分别以概率0.6，0.4发出和，由于通信受到干扰，当发出时，分别以概率0.8和0.2收到和，同样，当发出信号时，分别以0.9和0.1的概率收到和.求(1) 收到信号的概率；(2) 当收到时，发出的概率.4、设与独立，且，求下列事件的概率：，，.5、甲.乙.丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率.6、假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率.7、设在三次独立试验中，事件出现的概率相等，若已知至少出现一次的概率等于19/27，求事件在每次试验中出现的概率.8、三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率.9、将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？第3次作业1、一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只,以表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量的分布律.2、设在15只同类型的零件中有2只是次品,在其中取3次,每次任取1只,做不放回抽样.以表示取出次品的只数.（1）求的分布律.（2）求的分布函数，并画出其图形.3、甲.乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7.今各投3次,求（1）两人投中次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率.4、（1）设服从分布,其分布律为求的分布函数,并作出其图形；（2）求第1题中的随机变量的分布函数.5、以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计）,的分布函数是求下述概率:（1）（至多3分钟）；（2）（至少4分钟）；（3）（3分钟至4分钟之间）；（4）（至多3分钟或至少4分钟）；（5）（恰好2.5分钟）.6、设随机变量的密度函数为（1）（2）求的分布函数,并画出（2）中的及的图形.7、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分计）服从指数分布,其密度函数为=，某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开.他一个月要到银行5次.以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数.写出的分布律,并求.8、设,（1）求(2)确定使得；（3）设满足,问至多为多少？9、求的分布律.10、设,(1)求的密度函数,（2）求的密度函数,（3）求的密度函数.11、设随机变量的概率密度为，求的密度函数.第4次作业1、容易证明二元函数关于每个变量单调不减的函数；，且有；关于是右连续的.但不是一个分布函数，为什么？2、一批产品中有一等品50%，二等品30%，三等品20%，从中有放回地任取5 件，以.分别表示取出的5件一等品.二等品的件数，求的联合分布律.3、.设二维随机变量具有密度函数，（1）试求常数; （2）求分布函数；（3）求概率；（4）.4.设二维离散型随机的可能值为，，，，且取这些值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12，试求与各自的边缘分布律.5、设二维随机变量具有密度函数试求关于、的边缘密度函数..6、试验证：以下给出的两个不同的联合密度函数，它们有相同的边缘密度函数.，.7、设二维随机变量具有密度函数试求（1）边缘密度函数和；（2）与是否相互独立？8、在长为的线段的中点两边随机地各选取一点，求两点间的距离小于的概率.已知，试求的分布律.10、设二维随机变量具有密度函数试求密度函数.11、以记某医院一天内诞生婴儿的个数，以记其中男婴的个数.设与的联合分布律为.试求条件分布律.12、设二维随机变量具有联合密度函数试求条件密度函数.13、设随机变量，相互独立，的分布律为，的密度函数为记.（1）求;（2）求的密度函数.第5次作业1、某产品的次品率为0.1，检验员每天检验员4次.每次随机地取出10个产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备.以表示一天中调整设备的次数，试求.（设诸产品是否为次品是相互独立的）试求该地区发生重大交通事故月平均数.3、某推土机发生故障后的维修时间是一个随机变量（单位：h），其密度函数为试求平均维修时间.4、设随机变量密度函数为求（1）；（2）的数学期望.5、设在区间上随机地取个点，求相距最远的两个点间的距离的数学期望.6、设密度函数为求，，，.7、设随机变量服从瑞利分布，其密度函数为其中是常数，求，.8、设随机变量的密度函数为求.9、设随机变量相互独立，且有，设，求，.10、设是独立同分布的随机变量，其共同的密度函数为试求的密度函数、数学期望和方差.11、设二维随机变量的联合密度函数为求的相关系数.12、设随机变量具有密度函数求，，，，.13、设，求此分布的变异系数.第6次作业1、设是一列随机变量，且满足则服从大数定律.2、一养鸡场购进一万只良种鸡蛋，已知每只鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.9，试计算由这批鸡蛋得到雏鸡不少于8970只的概率.3、在次品率为的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用中心极限定理计算抽取到的次品数在40～60之间的概率.4、某市公交1路车平均6分钟一班，乘客到达站台的时间是随机的.(1) 1200人在某站台候车，问候车时间总和不超过3000分钟的概率是多少？(2) 最多人候车，可使候车时间总和小于3200分钟的概率为0.99？5、设是来自两点分布的一个样本（未知），指出以下样本的函数中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？，，， .6、设容量为的样本观察值为-5,4，-1,1,5,4，-3,5,5，-1,1，-3.求样本均值、样本方差、顺序统计量及经验分布函数的观察值.7、设总体以等概率取1,2,3,现从中抽取一个容量为4的样本，试分别求和的分布.8、设总体密度函数为现从该总体抽得一个容量为5的样本，试计算.9、设是来自正态总体的简单随机样本，样本均值，令（为常数），求的分布.10、设和是来自正态总体的容量为的两样本和的样本均值，试确定，使得这两个样本均值之差超过的概率大约为0.01.11、设总体，是来自总体的简单随机样本，求下列统计量的分布：；； .12、从正态总体中抽取容量为16的一个样本，、分别为样本的均值和方差.（1）若，试求；（2）若、均未知，求的方差及概率.1、设一批电子元的件寿命服从参数为的指数分布，现从中抽取8个进行寿命试验，得到如下数据(单位：h):1050 1100 1130 1040 1250 1300 1200 1080试对这批元件的平均寿命以及寿命的标准差给出矩估计值.2、设总体分布列如下，是一个样本，试求未知参数的矩估计.(1)是未知参数.(2)是未知参数.3、设总体的密度函数如下，是一个样本，试求未知参数的矩估计量.(1)是未知参数.(2)，是未知参数.(3)，是未知参数.4、求上述各题中的参数的最大似然估计量.5其中为未知参数.已知取得了样本值，试求的矩估计与最大似然估计.6、设总体的密度函数为，是一个样本，试求未知参数的最大似然估计量.7、(1)设是来自总体一个样本，且服从参数为的泊松分布.求的最大似然估计.(2)某铁路局证实一个扳道员在五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布.求一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率的最大似然估计.使用下面122个观察值.下表中，表示一扳道员某五年中引起严重事故的次数，表示观察到的扳道员人数.8、设是来自总体一个样本，设.(1)确定常数使为的无偏估计.(2)确定常数使是的无偏估计(是样本均值和样本方差).9、(1)设是的无偏估计，且有，试证不是的无偏估计.(2)试证明均匀分布中未知参数的最大似然估计不是无偏的.10、设是来自均匀总体的一个样本.(1)证明，，都是的无偏估计.(2)比较上述三个估计量的有效性.11、总体，其中是未知参数，又为取自该总体的样本，为样本均值.(1)证明：是参数的无偏估计和相合估计.(2)求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？第8次作业1.已知某食品的含糖量服从正态分布，现随机抽取9份食品进行测定，平均含糖量为.如果估计方差没有变化，能否认为现在生产的此种食品的平均含糖量为.()2.用传统方法种植水稻的一般生产水平为亩产公斤，其标准差为30公斤.现用一种新方法进行试验,从25个小区抽样,平均产量为270公斤.新方法是否使水稻明显增产. ()3.某房地产经纪人宣称某邻近地区房屋的平均价值低于480000元.从40间房屋组成的一个随机样本得出的平均价值为450000元，标准差为120000元.在0.05的显著水平下，是否支持这位经纪人的说法？4.设学生成绩服从正态分布,在一次高数考试中,随机抽取了25位学生的高数成绩,算得平均分为70分,标准差为14,问在显著水平0.05下,（1）是否可以认为这次全体高数成绩的平均分为65分；（2）是否可以认为这次全体高数成绩高于65分？5.随机抽取36个学生的体重，测得样本方差为144，对下面假设进行检验，.显著水平.6. 以表示耶路撒冷新生儿的体重（以克计），设，均未知.现测得一容量为30的样本，得样本均值为3189，样本标准差为488.试检验假设（）：（1）.（2）.7.已知两种材料的抗压强度服从正态分布，其方差分别为=，.第一种材料中随机取样81件，测得，第二种材料中随机取样64件，测得.请根据以上调查结果,能否认为两种材料的平均抗压强度相同?()8.下面是两种不同手机充电后所能连续工作的时间(小时)的观测值:手机1 4.8 5.5 5.6 6.3 4.6 5.3 5.0 6.2 5.8 5.1 5.2 5.9手机2 5.0 3.8 4.3 4.2 4.0 4.9 4.5 5.2 4.8 4.5 3.9 3.7 4.6假设两手机工作时间的方差相等,试问能否认为手机1的平均工作时间与手机2的平均工作时间相等?(显著水平)9. 两个班级A和B，参加数学课的同一期终考试.分别在两个班级中随机地取9个，4个学生，他们的得分如下：设A班、B班考试成绩的总体分别为，，均未知，两样本独立.取,检验假设.10.测定家庭中的空气污染.令X和Y分别为房间中无吸烟者和有一名吸烟者在24小时内的悬浮颗粒量（以计）.设，，均未知.今取到总体X的容量的样本，算得样本均值为，样本标准差为；取到总体Y的容量为11的样本，算得样本均值为，样本标准差为，两样本独立.（1）试检验假设()： .（2）如能接受，接着检验假设()： .11.分别在两种牌号的灯泡中各取样本容量为的样本，测得灯泡的寿命（以小时计）的样本方差分别为.设两样本独立，两总体分别为，分布，均未知.试检验假设)： .(显著水平)第9次作业1、用对角线法则计算下列行列式：（1）（2）2、用行列式的定义计算下列行列式：（1）（2）3、计算下列行列式：（1）（2）4、计算（1）（2）第10次作业1、求下列矩阵的逆矩阵.（1）（2）2、解下列矩阵方程.（1）（2）3、设矩阵满足，证明可逆，并求.4、判断下列微量的线性相关性。

大学高等数学各章节练习题

大学高等数学各章节练习题在大学阶段的学习中，高等数学是一个必修课程，它包含了各个章节和知识点的练习题。

练习题是帮助学生巩固理论知识、提高解题能力和应用能力的重要工具。

本文将根据大学高等数学的各个章节，对其练习题进行介绍和总结。

第一章导数与微分在高等数学的第一章中，导数与微分是其中的基础知识。

通过学习导数与微分的定义和性质，可以掌握求导法则和应用，从而解决各种函数的极值、单调性、函数图像以及相关应用问题。

以下是几道典型的练习题：1. 求函数f(x)=3x^2-2x+1的导函数。

2. 设函数f(x)=√(x+1)，求f'(x)。

3. 设函数f(x)=e^x+2x，求f''(x)。

通过练习这些题目，可以加深对导数与微分概念的理解，熟练掌握运用导数的方法。

第二章不定积分在高等数学的第二章中，不定积分是其中的重要内容。

学习不定积分可以学会对函数的原函数进行求解，从而求出函数的不定积分。

以下是几道典型的练习题：1. 求函数f(x)=3x^2-2x+1的不定积分。

2. 求∫(2x+1)dx的结果。

3. 求∫sinx^2dx的结果。

通过练习不定积分的题目，可以提高对不定积分的理解和熟练应用。

第三章定积分与曲线长度在高等数学的第三章中，定积分是其中的关键知识点。

学习定积分可以求解曲线下面积、定积分的性质以及曲线长度等问题。

以下是几道典型的练习题：1. 求∫[0,1]x^2dx的结果。

2. 求曲线y=x^2在[0,1]上的下曲边与y轴围成的面积。

3. 求曲线y=√(1-x^2)在[-1,1]上的弧长。

通过练习定积分的题目，可以加深对定积分概念的理解，并且掌握运用定积分求解相关问题的方法。

第四章微分方程在高等数学的第四章中，微分方程是其中的核心内容。

学习微分方程可以理解微分方程的概念和基本解法，并且可以应用微分方程解决实际问题。

以下是几道典型的练习题：1. 求解微分方程dy/dx = 2x。

2. 求解微分方程 dy/dx = y/x。

MK_09-10(1)高数A(三)答案

则当 X = QY 时，有 f ( x1 , x2 , x3 ) = y12 + y2 2 + 10 y3 2 因为二次型的正惯性指数为 3，故二次型为正定二次型。 14.（本小题 10 分）解：设 B1 ={那天下雨}， B2 ={那天不下雨}， A ={那天外出购物}，则有 P ( B1 ) = 0.3, P ( B2 ) = 0.7 ， P ( A | B1 ) = 0.2, P( A | B2 ) = 0.9 。（1）由全概率公式有
[‰Y'•Q~ÜNf^—
( X , Y ) 关于 Y 的边缘分布律为
1 1 1 3 P (Y = −1) = P ( X = −1, Y = −1) + P ( X = 0, Y = −1) + P ( X = 1, Y = −1) = + + = 8 8 8 8 1 1 1 P (Y = 0) = P ( X = −1, Y = 0) + P ( X = 0, Y = 0) + P ( X = 1, Y = 0) = + 0 + = 8 8 4 1 1 1 3 P (Y = 1) = P ( X = −1, Y = 1) + P ( X = 0, Y = 1) + P ( X = 1, Y = 1) = + + = 8 8 8 8
λ
得到 a =
2
λ
（2）设总体 X 的样本值为 x1 , x2 ,
L (λ ) = ∏
i =1
n
⎧ 1 n ⎫ ⎛2⎞ n f ( xi ) = ⎜ ⎟ i∏ xi iexp ⎨− ∏ xi 2 ⎬ ⎝ λ ⎠ i =1 ⎩ λ i =1 ⎭
n
n

大学高等数学各章节练习题

第一章极限与连续一、填空 1、设11()01x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，则[]()___________.f f x = 2、假设数列{}n x 收敛，则数列{}n x 肯定。

3、假设0lim ()x x f x A →=，而0lim ()x x g x →不存在，则0lim(()())x x f x g x →+ 。

4、当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则_______=a 5、设函数()f x 在点0x x =处连续，则()f x 在点0x x =处是否连续。

6、设21))((,sin )(x x f x x f -==ϕ，则)(x ϕ的定义域为_________7、如果⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,00,12sin )(2x x xe x xf ax 在),(+∞-∞内连续，则__=a8、曲线22x e x y -=的渐近方程为__________________二、选择9、如果)(),(x g x f 都在0x 点处间断，那么〔〕〔A 〕)()(x g x f +在0x 点处间断〔B 〕)()(x g x f -在0x 点处间断〔C 〕)()(x g x f +在0x 点处连续〔D 〕)()(x g x f +在0x 点处可能连续。

10、设数列n x 与n y 满足lim 0n n n x y →∞=，则以下断言正确的选项是〔〕〔A 〕假设n x 发散，则n y 必发散。

〔B 〕假设n x 无界，则n y 必有界〔C 〕假设n x 有界，则n y 必为无穷小〔D 〕假设1nx 为无穷小，则n y 必为无穷小。

11、已知0()lim0x f x x→=，且(0)1f =，那么〔〕〔A 〕()f x 在0x =处不连续。

〔B 〕()f x 在0x =处连续。

〔C 〕0lim ()x f x →不存在。

〔D 〕0lim ()1x f x →=12、设2()43x xf x x x+=- ，则0lim ()x f x →为〔〕〔A 〕12 (B)13 (C) 14 (D)不存在13、设2(1)sin ()(1)x xf x x x-=-，那么0x =是函数的〔〕〔A 〕无穷间断点。

安徽大学15-16(1)线性代数A(三)A卷答案

安徽大学2015—2016学年第一学期《高等数学A （三）》（线性代数）考试试卷考试试卷（（A 卷）试题参考答案及评分标准一、选择选择题题（每小题2分，共10分）(1) B (2) A (3) A (4) C (5) D二、填空题填空题（（每小题2分，共10分）(6)−−0011A B (7) 6(8) -2 和 1(9)−−−101010432(10) 054<<−a三、计算题计算题（（每小题13分，共65分)(11)03142313150113142342:14131211=−−−−−−−−=−−−A A A A 解 .........(6分）2190218042401251314131315011125141312111−−−−−−=−−−−−−−=+++M M M M001218424219218424=−−−−=−−−−−= ............(7分） (12)=714131A 解：由，得=−7431A 而XA A XA A +=−61，得A XA E A 6)1=−−（又E A −−1可逆，且=−−−613121)(11E A 故=−=−−123)(611E A X ..........................................（13分）(13) 解：设方程组为AX=b ，其导出组为AX=0 由题意知b A i =α 3,2,1=i 从而 0)2(132=−+αααA即)10,2,9,32132−−=−+（ααα为导出组AX=0的解。

...................(6分) 又3)(=A r ，故AX=0的基础解系为)10,2,9,3(−−，于是AX=b 的全部解为 )10,2,9,3(15,0,2−−+−k ），（，其中k 为任意常数。

......（7分） (14) 解：属于特征值-1的特征向量令为),,(321x x x X = 则==0,(0),(21）X X αα 即=++=++0220321321x x x x x x 解得)0,1,1(),,321−=x x x （故属于特征值-1的全部特征向量为)0,1,1(−k )0≠k （ ...................(6分) 令),,(21X P αα=，则−=111P AP ，即 1111−−=P P A ，于是= − − −=−1000010100111211211110111211211A ..............(7分)(15) 解：二次型所对应的矩阵=3030002a a A由条件知，其特征值为1 , 2 , 5而)3)(3)(2(330002a a aa A E +−−−−=−−−−−=−λλλλλλλ 由于0>a ，得2=a ...................(6分)对11=λ，由0)=−X A E （，解得=1101α ，单位化−=212101η 对53=λ，由0)5(=−X A E ，解得=1103α ，单位化为=212103η故作正交变换的矩阵为−2102121021010 ............................................(7分)四、证明题证明题（（第16题8分，第17题7分，共15分）(16) 证明：由B A A E A A E B TT T T =+=+=λλ)(，故B 为实对称阵 .....................(2分）又对任意0),,,(21≠=Tn x x x X ⋯，有)()()(AX AX X X A A E X BX X TT T T T T +=+=λλ令nT n R y y y AX ∈=),,,(21⋯ ，于是)()(2222122221n n T y y y x x x BX X +++++++=⋯⋯λ当0>λ时， 0>BX X T，即B 为正定矩阵。

大学数学A上试题库按章节

常州大学怀德学院大学数学A （上）试题库（一）函数、极限、连续1. 下列函数中偶函数有( ). (A )2x xa-;(B )||sin x x ;(C ) x 2+cos x ;(D )21010xx --.2. 下列函数中奇函数有( ).(A )xx x +||; (B ) x 2sin )2(x -π; (C ) )]()([1x f x f --+; (D )11+-x x a a . 3．设函数)(x f 是奇函数，且⎪⎭⎫⎝⎛-+=21121)()(xx f x F ，则函数)(x F 是（）（A ）偶函数; （B ）奇函数; （C ）非奇非偶函数 ; （D ）不能确定. 4．下列数列极限不存在的有( ).（A ）10, 10, 10, ⋅ ⋅ ⋅ , 10, ⋅ ⋅ ⋅ ; （B ）23,32,45,54, ⋅ ⋅ ⋅ ;（C ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n nn n nnn f 1 1)(;（D ）⎪⎩⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n n n n f n )1( 11)(.5. 数列{x n }与{y n }的极限分别为A 与B , 且A ≠B , 则数列x 1, y 1, x 2, y 2, x 3, y 3, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限为( ).(A ) A ; (B ) B ; (C ) n 奇数时为A ，n 偶数时为B ; (D ) 不存在. 6.下列数列收敛的是（）。

（A ）nn x nn 1)1(--=；（B ）nx n n 1)1(-=；（C ）2sinπn x n = ；（D ） n n x 2=.7.下列极限存在的有（）。

（A ）x x sin lim ∞→；（B ）x xx sin 1lim ∞→；（C ）121lim 0-→x x ；（D ）xx e 10lim→. 8. 下列变量在给定变化过程中不是无穷大量的有( ). (A )132+x x (x →+∞); (B ) lg x (x →0+); (C ) lg x (x →+∞); (D )xe 1(x →0).9. 若lim ()x ag x →=∞．若lim ()x af x →=∞, 则必有( ).（A ）lim[()()]x af xg x →+∞=; （B ）lim[()()]x af xg x →-=0;（C ）1lim0()()x af xg x →=+; （D ） lim ()x a kf x →=∞ (k 为非零常数). 10. 当x →a 时, f (x )是( ), 则可能0)()(lim ≠-→x f a x ax . (A ) 有极限的函数; (B ) 无穷大量; (C )无穷小量; (D )有界函数. 11. 下列极限不正确的有( ).(A )∞=→xx e 10lim;(B )0lim 10=-→xx e ;(C )+∞=+→xx e 10lim ;(D )1lim 1=∞→xx e .12. 函数11)1(3-+-=x x x x y 在过程 ( ) 中不是无穷小量. (A ) x →0; (B ) x →1; (C ) x →-1+; (D ) x →+∞.13．当x →0时,与x 是等价无穷小量的有( ).（A ）xx sin ; （B ）ln(1+x ); （C1; （D ） x 2(x +1).14．当x →∞时, 若11~12+++x c bx ax ,则a , b , c 之值一定为 ( ).（A ）a =0, b =1, c =1; （B ）a =0, b =1, c 为任意常数; （C ） a =0, b 、c 为任意常数; （D ） a 、b 、c 均为任意常数. 15．设1121()arctan12x xef x xe-=+，则0=x 是)(x f 的（）（A ）可去间断点;（B ）跳跃间断点; （C ）无穷间断点; （D ）振荡间断点.16. 当|x |<1时, 211xy -=( ).(A )是连续函数; (B )有界函数; (C )有最大值与最小值; (D )有最大值无最小值. 17.函数lg(2)y x =+的定义域是 18．设)(x f 的定义域是（1，3]，则)11(xf +的定义域是19设)(x f 的定义域是[0，1]，102a <≤，则)()(a x f a x f -++)0(>a 的定义域为 20.若0→x 时,)(x f 是2x 高阶的无穷小，则0()lim1cos x f x x→-为 ,21. 函数2)1(1-+=x x y 当是无穷大量，当是无穷小量.22. 若432lim23=-+-→x kx x x , 则k = ，23.若A x x x x n x =+-+-∞→133132lim2存在 , 则n = , A= ，24.xx x 1sin lim ∞→= ，25.0x →=_______________。

《高等代数》第三章习题及答案

习题3.1计算下列行列式：①5312--+a a ②212313121+----a a a解 ①5312--+a a =(a+2)(a-5)+3=a 2-3a-7②212313121+----a a a =(a-1)(a-1)(a+2)-3-12+2(a-1)-3(a-1)+6(a+2)= a 3+2a习题3.2求从大到小的n 阶排列(n n-1 … 2 1)的逆序数．解 τ(n n-1 … 2 1)=(n-1)+(n-2)+…+1+0=2)1(-n n 习题3.31.在6阶行列式中，项a 23a 31a 42a 56a 14a 65和项a 32a 43a 14a 51a 66a 25应各带有什么符号？解因为a 23a 31a 42a 56a 14a 65=a 14a 23a 31a 42a 56a 65，而τ(4 3 1 2 6 5)=3+2+0+0+1+0=6，所以项a 23a 31a 42a 56a 14a 65带有正号．又因为项a 32a 43a 14a 51a 66a 25=a 14a 25a 32a 43a 51a 66，而τ(4 5 2 3 1 6)=3+3+1+1+0+0=8，所以项a 32a 43a 14a 51a 66a 25带有正号． 2.计算：000400010002000300050000 解因为a 15a 24a 33a 42a 51的逆序数为τ(5 4 3 2 1)=5×4/2=10，带有正号，所以000400010002000300050000=5×3×2×1×4=120 习题3.4计算：6217213424435431014327427246-解 6217213424435431014327427246-=6211003424431001014327100246-=100×621134244*********1246-=-294×105习题3.51.计算下列行列式：①1723621431524021----- ②6234352724135342------解 ①1723621431524021-----=1374310294111120001------=137410291111-----=-726②6234352724135342------=1035732130010313410------=0105731331310---- =05723133710----=-5×72337--=-1002. 计算下列n 阶行列式（n ≥2）：①ab ba b a b a 000000000000 ②1210010010011110-n a a a③n n n n x x x x x x a a a a x a 1322113211000000000-----+④111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n n n n --------- 解 ① n n a b b a b a b a ⨯000000000000=)1()1(00000000000-⨯-⨯n n a b a b a b a a+)1()1(1000000000000)1(-⨯-+⨯-n n n b a b b ab b=a n+(-1)n+1b n② D n =1210010*********-n a a a=a n-1×D n-1+(-1)n+1×)1)(1(2100000000001111---n n n a a= a n-1D n-1+(-1)n+1×(-1)1+(n-1)×)2)(2(232100000000----n n n n a a a a=a n-1D n-1-a 1a 2…a n-2=a n-1(a n-2D n-2-a 1a 2…a n-3)-a 1a 2…a n-2 =a n-1a n-2D n-2-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2 …= a n-1a n-2…a 2D 2-a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2= a n-1a n-2…a 21110a -a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2=-a n-1a n-2…a 2-a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2 =-∑---11211)...(n i in a a a a ③ D n =nn n n x x x x x x a a a a x a 1322113211000000000-----+=112111...)1()1(---++-⨯-n n n n n n D x x x x a =a n x 1x 2…x n-1+x n D n-1=a n x 1x 2…x n-1+x n (a n-1x 1x 2…x n-2+x n-1D n-2) =a n x 1x 2…x n-1+x n a n-1x 1x 2…x n-2+x n x n-1D n-2 …=a n x 1x 2…x n-1+x n a n-1x 1x 2…x n-2+…+x n x n-1…x 4a 3x 1x 2+x n x n-1…x 4x 3D 2=a n x 1x 2...x n-1+x n a n-1x 1x 2...x n-2+...+x n x n-1...x 4a 3x 1x 2+x n x n-1...x 4x 3[(a 1+x 1)x 2+a 2x 1] =)( (1)1121121∑=+--+ni n i i i n n x x a xx x x x x x④D n+1=111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n nn n ---------=nn n n n n n n a a a n a a a n a a a )1()1()()1()()1(111)1(1112)1(----------+=)1()]}1([)2)(1)]{(()2)(1[()1(2)1(---------+ n n n n=2!3!...n!3.计算下列n 阶行列式（n ≥1）：①n a a a a ++++1111111111111111321②ax x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n nn ----- 321321321321解 ① D n =na a a a ++++1111111111111111321=na a a a +++++++11110111*********11321=1111111111111111321a a a ++++na a a a111011101110111321+++ =110010010321a a a +1-n n D a =a n D n-1-a 1a 2…a n-1=a n (a n-1D n-2-a 1a 2…a n-2)-a 1a 2…a n-1 =a n a n-1D n-2-a n a 1a 2…a n-2-a 1a 2…a n-1 =n ni n i i a a a a a aa 211111)(+∑=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=ni i n a a a a 12111 (a i ≠0) ②D n =a x x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n n n -----321321321321=ax x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n n n -+-+--+- 321321321321000=n n n n x x x x x a x x x x a x a x x x x x a x 321321321321----+ax x x a x x x a x a x x x x a x -----321321321321000 =x n (-a)n-1(x 1+x 2+…+x n )+(-a)n4.证明：n 阶行列式yz z x y y x z xzz zz y y x z z yy y x z yy y y x nn ----=)()( 其中z ≠y ．解 D n =xzz zzy y x z z yy y x z x y zx00--=(x-z)D n-1-(y-x))1()1(-⨯-n n x zz zy y x zy y y z=(x-z)D n-1-(y-x)z)1()1(111-⨯-n n x z z y y x y yy=(x-z)D n-1-(y-x)z)1()1(10010001-⨯-----n n y x yz y z y x=(x-z)D n-1-(y-x)z(x-y)n-2=(x-z)D n-1+z(x-y)n-1即有D n =(x-z)D n-1+z(x-y)n-1(1)又D n =xzz zy y x z yy y x x z yy y y y x--=(x-y)D n-1-(z-x))1()1(-⨯-n n x zz zy y x zy y y y=(x-y)D n-1-(z-x)y)1()1(1111-⨯-n n x z z z yy x z=(x-y)D n-1-(z-x)y)1()1(001111-⨯-----n n z x z y z y z x=(x-y)D n-1-(z-x)y(x-z)n-2即有D n =(x-y)D n-1+y(x-z)n-1(2) 联立式（1）和式（2）得yz z x y y x z xzz zzy y x z z yy y x z yy y y x nn ----=)()( 习题3.61.设A,B,P ∈Mat n ×n (F)，并且P 是可逆的，证明：如果B=P -1AP ，则|B|=|A|．证因为|P -1||P|=1，所以|B|=|P -1AP|=|P -1||A||P|=|A|． 2*.仿照例3.6.1，试用分块初等变换，证明定理3.6.1．证设A ，B 都是n ×n 矩阵，则nE BA -0=B A B A A E B n n n n=-=--+)1(0)1(另一方面，对nE BA -0的第2行小块矩阵乘以A 加到第一行上去，有nE BA -0=AB E BAB n=0所以B A AB =．习题3.71.求下列矩阵的伴随矩阵和逆矩阵①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1112 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--325436752解 ①设原矩阵为A ，则A 11=-1，A 21=-1，A 12=1，A 22=2，伴随矩阵A *=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2111，|A|=-2+1=-1，所以，A -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---211111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2111②设原矩阵为A ，则A 11=3243--=-9+8=-1，A 21=3275---=-（-15+14）=1，A 31=4375=20-21=-1，A 12=3546--=38，A 22=3572-=-41，A 32=4672-=34， A 13=2536-=-27，A 23=2552--=29，A 33=3652=-24伴随矩阵A *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----242927344138111，|A|=-18-84+100-105+16+90=-1，所以，A -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------24292734413811111=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2429273441381112.证明：上三角形矩阵是可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零．证因为矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零，而上三角形矩阵的行列式等于它的主对角线上所有元的乘积，所以上三角形矩阵的行列式不为零的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零，故上三角形矩阵可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零．3.设A 是n ×n 矩阵．证明：A 是可逆的，当且仅当A *也是可逆的．证因为 AA *=|A|E ，两边取行列式得|A||A *|=|A|n．若A 可逆，则A 的行列式|A|≠0，从而有|A *|=|A|n-1≠0，所以A *可逆．反之，若A *可逆，设A *的逆阵为(A *)-1．用反证法，假设A 不可逆，则A 的行列式|A|=0，所以AA *=|A|E=0，对AA *=0两边同时右乘(A *)-1，得A=0，从而A 的任一n-1阶子式必为零，故A *=0，这与A *可逆相矛盾，因此A 可逆． 4.证明定理3.7.2的推论1．推论1的描述：设A 是分块对角矩阵，A=diag(A 1,A 2,…,A s )，证明：A 可逆当且仅当A 1,A 2,…,A s 均可逆，并且A -1=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)．证 A 可逆，当且仅当A 的行列式|A|≠0，而|A|=|A 1||A 2|…|A s |，所以|A|≠0当且仅当|A 1|，|A 2|，…，|A s |都不为零，即A 1,A 2,…,A s 均可逆．令B=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)，则有AB=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S A A A21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11211s A A A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛S E E E21=E 故A -1=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)．4.设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a 是实矩阵（实数域上的矩阵），且a 33=-1．证明：如果A 的每一个元都等于它的代数余子式，则|A|=1．证如果A 的每一个元都等于它的代数余子式，则A 的伴随矩阵A *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111a a a a a a a a a =A T ．所以|A *|=|A|，又AA *=|A|E ，两边取行列式得|A|2=|A|3．由a 33=-1，得AA *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111a a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12313322212312111a a a a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12313322212312111a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++1232231a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛||000||000||A A A比较最后一个等式两端第3行3列的元素知|A|=a 312+a 322+1≠0，对|A|2=|A|3两边同时除以|A|2得|A|=1．6.设A=(a ij )是n ×n 可逆矩阵，有两个线性方程组（Ⅰ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++u x c x c x c bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n nn nn n n n n n n (221122112222212111212111)（Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++vx b x b x b cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n nn nn n n n n n n (221122112222211211221111)如果（Ⅰ）有解．证明：当且仅当u =v 时，（Ⅱ）有解．证设方程组（Ⅰ）的解为x 1*, x 2*,…, x n *，代入方程组（Ⅰ）得（Ⅲ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++ux c x c x c bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n n n n nnn n n n n **2*1**2*12*2*22*211*1*12*11................................................ (212)12121 当u =v 时，因为 A=(a ij )是n ×n 可逆矩阵，A 的行列式不等于零，根据克莱姆法则，方程组（Ⅱ）的前n 个方程作为一个线性方程组，它有唯一解，记该解为x 1**, x 2**,…, x n **，代入方程组（Ⅱ）的前n 个方程中得（Ⅳ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++----nnn n n n nn n n n n c x a x a x a cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n nn ****2**11**1**12**112**2**22**121**1**21**11......................................................21212121 对等式组（Ⅳ）中第1个等式的两端同时乘以x 1*,第2个等式的两端同时乘以 x 2*,…, 第n个等式的两端同时乘以 x n *，然后将n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（Ⅲ）式，可得b 1x 1**+b 2x 2**+…+b n x n **=c 1x 1*+ c 2x 2*+…+ c n x n *=u由u =v ，得b 1x 1**+b 2x 2**+…+b n x n **=u即x 1**, x 2**,…, x n **也满足（Ⅱ）中最后一个方程．所以方程组（Ⅱ）有解．反之，若方程组（Ⅱ）有解，设其解为x 1**, x 2**,…, x n **，代入（Ⅱ）得到（Ⅴ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++-vx b x b x b cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n n n n n nn n n n n ****2**11****2**12**2**22**121**1**21**11......................................................21212121 对等式组（Ⅲ）中第1个等式的两端同时乘以x 1**,第2个等式的两端同时乘以 x 2**,…,第n 个等式的两端同时乘以 x n **，然后将n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（Ⅴ）式，可得c 1x 1*+c 2x 2*+…+c n x n *=b 1x 1**+ b 2x 2**+…+ b n x n **将上式左端与（Ⅴ）式中最后一个等式比较，将上式右端与（Ⅲ）式中最后一个等式比较，得 u =v ．7.设A 是n ×n 矩阵．证明：|A *|=|A|n-1证因为AA *=|A|E ，两边取行列式得 |A||A *|=|A|n ．如果|A|≠0，两边除以|A|，得|A *|=|A|n-1如果|A|=0，也可写成|A *|=|A|n-1，总之，有|A *|=|A|n-1成立．。

大学高等数学第三章典型例题及小结

有且仅有一个小于1 的例1. 证明方程正实根 . 证: 1) 存在性 . 5 设 f ( x) x 5 x 1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且由零点定理知存在 x0 (0 ,1) , 使
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
f (x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
证明 e x (ax 2 bx c ) 0 至多有三个实根证记
f ( x ) e x (ax2 bx c )
直接证明有困难，采用反证法
设 f ( x ) 0 有四个实根 x1 x2 x3 x4
记 f ( x ) e (ax bx c ) 连续、可导对 f ( x ) 在[ x1 , x2 ],[ x2 , x3 ],[ x3 , x4 ] 用罗尔定理得
x ln(1 x) x ( x 0) . 例3. 证明不等式 1 x 证: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
例4. 设
至少存在一点证: 结论可变形为使
证明
设 F ( x) x 2 , 则 f ( x) , F ( x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使
x
lim
x2 x
2
x 1
lim
x
1 1 1 1 2

思考: 如何求 lim
2
arctan n
1 n
n
( n 为正整数) ?
例3. 求

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