齿轮基础-渐开线的形成概要

渐开线齿廓的提出已有近两百多年的历史，目前还没有其它曲线可以替代。
渐开线具有很好的传动性能，而且便于制造、安装、 测量和互换使用等优点。本章只研究渐开线齿轮。
§1－3 渐开线的形成及其特性
1、 渐开线的形成和特性 ―条直线在圆上作纯滚动时，直线 上任一点的轨迹 －渐开线
BK－发生线，基圆－rb
渐开线 t A rk 发生线 B
2.齿廓曲线的选择
理论上，满足齿廓啮合定律的曲线有无穷多，但考虑到便于制造和检测等因 素，工程上只有极少数几种曲线可作为齿廓曲线，如渐开线、其中应用最广的 是渐开线，其次是摆线(仅用于钟表)和变态摆线。(摆线针轮减速器)，近年来提 出了圆弧和抛物线。
渐开线 ----应用最广 摆线 变态摆线 圆弧
抛物线
N
rb
作者：潘存云教授
Ki
rf α
r
ra
Bi α 作者：潘存云教授 i A r1
ω
O rb
B1
ri K1
O
α＝arccos(rb/r) 或rb＝rcosα，
db＝dcosα
对于分度圆大小相同的齿轮， 如果 α 不同，则基圆大小将不 同，因而其齿廓形状也不同。
α是决定渐开线齿廓形状的一个重要参数。 规定标准值：α＝20° 某些场合采用α＝14.5°、15°、22.5°、25° 如航空齿轮。 由 d=mz 知： m 和 z一定时，分度圆是一个大小唯一确 定的圆。 由db＝dcosα可知，基圆也是一个大小唯一确定的圆。 称 m、z、α为渐开线齿轮的三个基本参数。
外齿轮传动 内齿轮传动
摆线齿轮 (1650年) 按齿廓曲线分 圆弧齿轮 (1950年) 抛物线齿轮(近年)
按封闭形式分： 开式齿轮传动、闭式齿轮传动。
ω1 1
作者：潘存云教授
ω2
作者：潘存云教授
2
椭圆齿轮
斜齿圆锥齿轮
作者：潘存云教授
曲线齿圆锥齿轮
准双曲面齿轮
§1－2 齿轮的齿廓设计
1.齿廓啮合基本定律
O
N
sb
作者：潘存云教授
αi
α
φ
θ
i
θ
ri r a r
rb
§1－7 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动
渐开线齿廓能满足齿廓啮合基本定律，那么，是否任意两个渐开线齿轮都能组成一对齿轮传动呢？
一对齿轮传动时，所有百度文库合点都在啮合线N1N2上。
pb1 rb1 r1 O1
ω1
N1
pb 1
rb1 r1
O1 ω1
N1
pb1
rb1 r1
O1
ω1
N1
2 作者：潘存云教授
N2
B1 作者：潘存云教授 P r2
B2
N2
B 作者：潘存云教授2 B1 P
N2
B
B1
P r2
rb2
r2
rb2
外观齿1 比齿2大
从外观看齿 1比齿2小
rb2
pb1<pb2 m1<m2
O2
ω2
pb1=pb2
O2
ω2
pb1>pb2 m 1 > m2
O2
ω2
0.35 0.7 0.9 1.75 2.25 2.75 (3.25) 3.5 (3.75)
第二系列 4.5 5.5
28 (30) 36
③分度圆压力角 由 rb＝ri cosαi 得:αi＝arccos(rb/ri) 对于同一条渐开线：ri ↓ →αi ↓αb＝0
定义分度圆压力角为齿轮的压力角：
αi α1
m=4 z=16 m=2 z=16
作者：潘存云教授
m=1 z=16
为了便于制造、检验和互换使用，国标GB1357-87 规定了标准模数系列。 标准模数系列表（GB1357－87）
0.1 0.12 0.15 0.2 0.25 0.5 0.4 0.5 0.6 0.8 第一系列 1 10 1.25 12 1.5 16 (6.5) 2 20 7 45 2.5 25 9 3 32 (11) 4 40 14 5 50 18 22 6 8
rb2
N
ω1
O1
N1
作者：潘存云教授
K’
P
K C2
C1
ω2 O2
要使两齿轮作定传动比 传动，则两轮的齿廓无 论在任何位置接触，过 接触点所作公法线必须 与两轮的连心线交于一 个定点。
2.齿廓间正压力方向不变 N1N2是啮合点的轨迹， 称为啮合线
O1 ω1 N1 K’
作者：潘存云教授
啮合线与节圆公切线之间
的夹角α’ ，称为啮合角
N2 rb2
K P C2 C1
α’
实际上α’ 就是节圆上的压力角
ω2 O2
由渐开线的性质可知：啮合线又是接
触点的法线，正压力总是沿法线方向， 故正压力方向不变。该特性对传动的
平稳性有利。
3.运动可分性 △ O1N1P≌△O2N2P 故传动比又可写成： i12=ω 1/ω 2= O2P/ O1P = rb2 /rb1 －－基圆半径之反比。基圆半径是定值 实际安装中心距略有变化时，不影 响 i12 ，这一特性称为运动可分性，
④渐开线形状取决于基圆 ⑤ 基圆内无渐开线。 A1 K
A
rk
θk作者：潘存云教授 αk
rb
O
B
当rb→∞，变成直线。
B1 A2 θk 作者：潘存云教授 θk B2 o1 o2
顺口溜： 弧长等于发生线， 基圆切线是法线， 曲线形状随基圆， 基圆内无渐开线。
B3
o3
αk
3、渐开线函数 tgαk= BK/rb =AB/rb= rb(θk+αk)/rb θk = tgαk-αk 上式称为渐开线函数，用invαk 表示： θk ＝invαk ＝tgαk-αk 为使用方便，已制成函数表待查。 4、渐开线方程 （极坐标方程） rk=rb/cosαk θk ＝invαk ＝tgαk-αk )
pn
α e p s B
α
α
ha hf
作者：潘存云教授
三、内齿轮 结构特点：轮齿分布在空心圆柱体内表面上。 不同点： 1)轮齿与齿槽正好与外齿轮相反。 2) df>d>da ，da＝d-2ha ,df＝d+2hf 3) 为保证齿廓全部为渐开线，
要求da>db。
hf ha N α s e p
作者：潘存云教授
N2
O1 ω1 rb1
N1
作者：潘存云教授
P
K
C2
C1
rb2
ω2 O2
对加工和装配很有利。
由于上述特性，工程上广泛采用渐开线齿廓曲线。
§1－5 渐开线齿轮各部分的名称和尺寸
B 一、外齿轮 pk p 1.名称与符号 ek 齿顶圆－ da、ra s e pn k s pb ha 齿根圆－ df、rf hf h 齿厚－ sk 任意圆上的弧长 rb 齿槽宽－ ek 弧长 rf r ra 齿距 （周节）－ pk= sk +ek 同侧齿廓弧长 法向齿距 （周节）－ pn = pb 分度圆－－人为规定的计算基准圆 表示符号： d、r、s、e，p= s+e O 齿顶高ha 齿根高 hf 齿全高 h= ha+hf 齿宽－ B
B
pn
rb ra
h
r
rf
O
§1－6 渐开线直齿圆柱齿轮任意圆上的齿厚
设计和检验齿轮时，常需要知道某些圆上的齿厚。 sa 一般表达式： si=CC=riφ si φ=∠BOB-2∠BOC C C =(s/r) - 2(θ i-θ ) s B B =(s/r)-2( invαi -invα) A A Si=riφ =(sri/r)-2ri(invαi-invα)(9-7) 其中：αi=arccos(rb/ri) 顶圆齿厚：Sa=(sra/r)-2ra(invαa-invα) 节圆齿厚：S’=(sr’/r)-2r’(invα’-invα) 基圆齿厚：Sb=(srb/r)+2rbinvα =scosα+2rcosαinvα =cosα(s+mzinvα)
vk
A
k
rk
θk作者：潘存云教授 αk
rb
O
B
§1－4 渐开线齿廓的啮合特性
1.渐开线齿廓满足定传动比要求 两齿廓在任意点 K 啮合时，过 K 作 两齿廓的法线N1N2，是基圆的切线， 2 为定直线。 两轮中心连线也为定直线，故交 点P必为定点。在位置K’时同样有此结论。 i12=ω 1/ω 2=O2P/ O1P=const 工程意义： i12 为常数可减少因速度变化所 产生的附加动载荷、振动和噪音，延长齿 轮的使用寿命，提高机器的工作精度。
k
P ω2 o2
如果要求传动比为常数，则应使O2 P /O1P为常数。 由于O2 、O1为定点，故P必为一个定点。 节圆： r’1
r’2
r’1 节圆 a
n
o1 ω1 n
作者：潘存云教授
两节圆相切于 P点，且两轮节点处 速度相同，故两节圆作纯滚动。
k
P ω2 o2
中心距：
a=r’1+r’2
r’2
共轭齿廓：一对能实现预定传动 比(i12=ω 1/ω 2)规律 的 啮合齿廓。
作者：潘存云教授
2.基本参数 ①齿数－z
②模数－m 分度圆周长：πd=zp,
出现无理数 , 不方便为了计算、 制造和检验的方便
d=zp/π
人为规定： m=p/π 只能取某些简单值， 称为模数m 。
于是有： d=mz， r = mz/2 模数的单位： mm ， 它是决定齿轮尺 寸的一个基本参 数。齿数相同的 齿轮，模数大， 尺寸也大。
不能正确啮合!
能正确啮合!
不能正确啮合!
1.正确啮合条件 要使进入啮合区内的各对齿轮都能正确地进入啮合， 两齿轮的相邻两齿同侧齿廓间的法向距离应相等： O1 pb1= pb2 pb 1 将pb=π mcosα代入得： m1cosα1=m2cosα2 因 m和 α 都取标准值，使上式成立的条 N2 件为： m1=m2 ， α 1= α 2 结论： 一对渐开线齿轮的正确啮合条件是它 们模数和压力角应分别相等。
o1 ω1 n
根据三心定律可知： P点为相对瞬心。
由： v12 ＝O1P ω 1 ＝O2 P ω 2
得： i12 ＝ω 1/ω 2＝O2 P /O1P
齿廓啮合基本定律: 互相啮合的一对齿轮在任一位 置时的传动比，都与连心线 O1O2 被其啮合齿廓的在接触处的公法 线所分成的两段成反比。
v12
n
作者：潘存云教授
安徽工程科技学院专用 作者： 潘存云教授
§1－1 齿轮机构的应用和分类
作用：传递空间任意两轴（平行、相交、交错）的旋 转运动，或将转动转换为移动。 优点： ①传动比准确、传动平稳。 ②圆周速度大，高达300 m/s。 ③传动功率范围大，从几瓦到10万千瓦。
④效率高(η→0.99)、使用寿命长、工作安全可靠。
作者：潘存云教授
t k
θk
O
θ k－AK段的展角 2、渐开线的特性
r
b
基圆
① AB = BK;
②渐开线上任意点的法线切于基圆,切 点B点为曲率中心，BK为曲率半径。
渐开线起始点A处曲率半径为0
αk ③离中心越远，渐开线上的压力角越大。 vk
k
定义：啮合时K点正压力方向与速度方向 所夹锐角为渐开线上该点之压力角αk。 cosαk ＝ rb/rk
ra
基圆直径： db=dcosα =mzcosα 法向齿距： ha hf pn=pb h =π db/z =π mcosα =pcosα 统一用pb表示 标准齿轮的含义：
s
B p e N
作者：潘存云教授
pb
rb
pn
rf α
r ra
m 、α、取标准值， ha* 、c* 取标准值， 且e=s的齿轮
一个标准齿轮的基本参数和参数的值确定之后，其主要尺寸和 齿廓形状就完全确定了。
O
二、齿条 z→∞的特例。齿廓曲线（渐开线）→直线 特点：齿廓是直线，各点法线和速度方向线平行 1)压力角处处相等，且等于齿形角， α为常数。 2)齿距处处相等: p=π m pn=pcosα 其它参数的计算与外齿轮相同, 如： s=π m/2 e=π m/2 ha=ha*m hf=(ha* +c*)m
齿轮各部分尺寸的计算公式： 分度圆直径： d=mz 齿顶高：ha=ha*m 齿顶高系数:ha* 正常齿： ha*＝1 短齿制： ha*＝0.8
h ha hf
作者：潘存云教授
rf
r
齿根高：hf=(ha* +c*)m （顶隙 c= c* m） 顶隙系数: c* 正常齿： c*＝0.25 短齿制： c*＝0.3 全齿高：h= ha+hf =(2ha* +c*)m 齿顶圆直径： da=d+2ha=(z+2ha*)m 齿根圆直径： df=d-2hf =(z-2ha*-2c*)m
第一章 齿轮机构及其设计
§1－1 齿轮机构的应用和分类 §1－2 齿轮的齿廓曲线 §1－3 渐开线的形成及其特性 §1－4 渐开线齿廓的啮合特性 §1－5 渐开线标准齿轮的基本参数和几何尺寸 §1－6 渐开线直齿圆柱齿轮任意圆上的齿厚 §1－7 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动 §1－8 渐开线齿轮的切制 §1－9 变位齿轮概述 §1－10 变位齿轮传动 §1－11 斜齿圆柱齿轮传动 §1－12 圆锥齿轮传动传动 §1－13 其他曲线齿廓的齿轮传动简介 §1－14 齿轮传动设计
⑤可实现平行轴、相交轴和交错轴之间的传动。 缺点： 要求较高的制造和安装精度，加工成本高、不适 宜远距离传动。
分类：
齿 轮 传 动 的 类 型
直齿 圆柱齿轮 斜齿 齿轮齿条 平面齿轮传动 人字齿 （轴线平行） 非圆柱齿轮 直齿 按相对 圆锥齿轮 斜齿 运动分 两轴相交 曲线齿 球齿轮 空间齿轮传动 蜗轮蜗杆传动 （轴线不平行） 两轴交错 交错轴斜齿轮 渐开线齿轮(1765年) 准双曲面齿轮