结构优化设计大作业(北航)

《结构优化设计》

大作业报告

实验名称: 拓扑优化计算与分析

1、引言

大型的复杂结构诸如飞机、汽车中的复杂部件及桥梁等大型工程的设计问题，依靠传统的经验和模拟实验的优化设计方法已难以胜任，拓扑优化方法成为解决该问题的关键手段。近年来拓扑优化的研究的热点集中在其工程应用上，如: 用拓扑优化方法进行微型柔性机构的设计，车门设计，飞机加强框设计，机翼前缘肋设计，卫星结构设计等。在其具体的操作实现上有两种方法，一是采用计算机语言编程计算，该方法的优点是能最大限度的控制优化过程，改善优化过程中出现的诸如棋盘格现象等数值不稳定现象，得到较理想的优化结果，其缺点是计算规模过于庞大，计算效率太低;二是借助于商用有限元软件平台。本文基于matlab软件编程研究了不同边界条件平面薄板结构的在各种受力情况下拓扑优化，给出了几种典型结构的算例，并探讨了在实际优化中优化效果随各参数的变化，有助于初学者初涉拓扑优化的读者对拓扑优化有个基础的认识。

2、拓扑优化研究现状

结构拓扑优化是近20年来从结构优化研究中派生出来的新分支，它在计算结构力学中已经被认为是最富挑战性的一类研究工作。目前有关结构拓扑优化的工程应用研究还很不成熟，在国外处在发展的初期，尤其在国内尚属于起步阶段。1904 年Michell在桁架理论中首次提出了拓扑优化的概念。自1964 年Dorn等人提出基结构法，将数值方法引入拓扑优化领域，拓扑优化研究开始活跃。20 世纪80 年代初，程耿东和N. Olhoff在弹性板的最优厚度分布研究中首次将最优拓扑问题转化为尺寸优化问题，他们开创性的工作引起了众多学者的研究兴趣。1988年Bendsoe和Kikuchi发表的基于均匀化理论的结构拓扑优化设计，开创了连续体结构拓扑优化设计研究的新局面。1993年Xie.Y.M和Steven.G.P

提出了渐进结构优化法。1999年Bendsoe和Sigmund证实了变密度法物理意义的存在性。2002 年罗鹰等提出三角网格进化法，该方法在优化过程中实现了退化和进化的统一，提高了优化效率。目前常使用的拓扑优化设计方法可以分为两大类：退化法和进化法。结构拓扑优化设计研究，已被广泛应用于建筑、航天航空、机械、海洋工程、生物医学及船舶制造等领域。

3、拓扑优化建模（SIMP）

结构拓扑优化目前的主要研究对象是连续体结构。优化的基本方法是将设计区域划分为有限单元，依据一定的算法删除部分区域，形成带孔的连续体，实现连续体的拓扑优化。连续体结构拓扑优化方法目前比较成熟的是均匀化方法、变密度方法和渐进结构优化方法。

变密度法以连续变量的密度函数形式显式地表达单元相对密度与材料弹性模量之间的对应关系，这种方法基于各向同性材料，不需要引入微结构和附加的均匀化过程，它以每个单元的相对密度作为设计变量，人为假定相对密度和材料弹性模量之间的某种对应关系，程序实现简单，计算效率高。变密度法中常用的插值模型主要有:固体各向同性惩罚微结构模型(solidisotropic microstructures with penalization，简称SIMP)和材料属性的合理近似模型(rational approximation ofmaterial properties，简称RAMP)。而本文所用即为SIMP插值模型。

SIMP法基于最小柔度的优化模型如下:设材料模型为:

则拓扑优化模型为:

式中：

和 ——分别是均质实体的密度和弹性矩阵

——单元的相对密度

——惩罚因子

和——分别是位移矢量、力矢量

——总体刚度矩阵

——单位位移矢量

——单位刚度矩阵

——单元总数

——体积分数

优化时以单元的相对密度为拓扑设计变量，这样结构拓扑优化问题被转换为材料的最优分布问题。

4、优化算法（OC）

目前在拓扑优化中应用较多的求解方法主要有: 优化准则法(OC—optimality criteria)和序列线性规划法(SL P———sequential linear programming)，本文所参考的99行代码所引用的即为OC法。这一方法是根据数学规划理论中的Kuhn2tucker条件导出优化准则，并通过数值迭代求解最优解。该法收敛速度快，迭代次数少且与结构大小及复杂程度关系不大，缺点是对于多约束优化的处理不太方便。

5、数值算例

这一部分主要通过若干简单的算例来研究各个输入参数、载荷施加方式以及边界约束条件对拓扑优化结果的影响，进而对拓扑优化问题加深理解和认识。受力模型采用长宽比为6:2的外伸梁，在梁的上表面施加竖直向下的均布载荷。

模型如下图所示：

图5-1

6、影响因素分析

6.1 nelx和nely 对结果的影响

先设置体积分数volfrac=0.5，惩罚因子为penal=3.过滤半径rmin=1.2，不断变化划分单元数，寻求划分单元数对于优化结果的影响。

nelx*nely =60×20

nelx*nely =84×28

nelx*nely =120×40

图6-1

由图6-1可以看出，随着划分单元数的增多，图像的细节越加清晰。图像所显示的锯齿现象有所缓解。虽然拓扑优化结果有一些局部的改变，总体的趋势还是一致的。采用更多的网格划分密度，可以得到更加清晰的优化结果，但是拓扑优化结果中过多的孔洞使结果集合复杂性增加，结构的制造成本提高，制造难度加大，并且降低了结构的局部强度和刚度。所以，从实际应用的角度出发，需要限制结构的集合复杂性，

来抑制拓扑优化算法的网格依赖性。

6.2材料体积保留分数volfrac的影响

设置划分单元为60*20，惩罚因子为penal=3.过滤半径rmin=1.2;不断变化体积分数，寻求体积分数对于优化结果的影响。

volfrac=0.3

volfrac =0.5

volfrac =0.7

图6-2

由图6-2的优化结果可以看出，随着体积保留分数的增大，优化结果中保留的材料也逐渐增多。这说明在基本的传力路线的基础上增加了一