Projection pursuit regression(PPR)

第一节 投影寻踪回归我们先介绍一下Peter Hall 提出的投影寻踪回归(Projection Pursuit Regression)的思想，它一点也不神秘。

我们手中的资料是k n k k k x Y x ,},{1=是p 元，Y k 是一元。

非参数回归模型是n k x G Y k k k ≤≤+=1 ,)(ε（10.1.0）我们的任务是估计p 元函数G ，当然}|{)(x x Y E x G k k ==。

G 是将p 元变量映像成一元变量，那么何不先将p 元变量投影成一元变量，即取k x u θ'=，再将这个一元实数u 送进一元函数G 作映像呢?由于要选择投影方向),,(1p θθθ =，使估计误差平方和最小，就是要寻踪了。

所以取名为投影寻踪回归。

具体操作如何选方向θ，如何定函数G ，如何证明收敛性，下面将逐步讲述。

需要指出的是，投影寻踪回归与单指针半参数回归模型的思想基本上一样，基本算法也差不多，差别大的方面是收敛结果及证明。

若论出现时间，投影寻踪回归较早，在1989年，单指针模型较晚，在1993年。

一、投影寻踪回归算法假设解释变量集合}1,{n k x k ≤≤是来自密度函数为f 的p 元随机样本，对每一个p 元样本x k ,有一元观察Y k 与之对应，并且)()|(x G x x Y E k k ==（10.1.1）这里G 是回归函数，也是目标函数。

令Ω为所有p 维单位向量的集合，θ,θ1,θ2，…是Ω中的元素。

如果H 是一个p 元函数，比如f 或G ，则H 沿方向θ的方向导数记作u x H u x H x H n /)}()({lim )(0)(-+=→θθ（10.1.2）假如这个极限存在的话。

高阶导数则记作)()()(2121)(θθθθH H =⋅,等等。

x ∈R p 的第i 个分量记作x (i ),点积)()(i i yx y x ∑=⋅,模长21)(x x x ⋅=。

符号A 表示R p 的子集，通常是指凸集。

I (·∈A)表示A 的示性函数，I (x ∈A )=1,0)(=∈A x I 。

u 一般代表实数。

我们的任务是从观察1},{1==n k k k y x 作出p 元函数G (x )的估计，遇到的问题是p 太大，维数太高，解决的办法是作投影寻踪回归。

作沿着θ方向的一元函数Ω∈=⋅=θθθ },|)({)(u X x G E u g（10.1.3）在区域pR A ⊂内对G 的第一次投影逼近是函数)()(111x g x G ⋅=θθ（10.1.4）这里θ1是极小化下式)}()]()({[)(2A X I X g x G E S ∈⋅-=θθθ（10.1.5）的结果。

当然这里G 是未知的，所以我们要作出S (θ)与g θ(u )的估计，才能得到G 1(x )的估计。

下面构造它们的估计。

设θ·x 的密度为f θ，称作沿方向θ的X 的边沿密度，利用样本x j 但不包括x k 构造f θ的核估计为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-∑-=≠h x u K h n u f j k j k θθ)1(1)(ˆ)( （10.1.6）这里K 是核函数，h 是窗宽。

排除x k 在外的g θ的估计为)(ˆ/)1(1)(ˆ)()(u f h x u K Y h n u g k jj k j k θθθ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-∑-=≠ （10.1.7）借助于交叉核实的思想，作下式)()](ˆ[1)(ˆ2)(1A x I x gY n S k k k k nk ∈⋅-∑==θθθ （10.1.8）的极小化，其解1ˆθ就作为θ的估计。

于是)ˆ(ˆ)(ˆ1)(ˆ)(11x g x G k k ⋅=θθ （10.1.9）就可以作为回归函数G 在区域A 的第一次投影逼近。

将估计限制在区域A 的理由在于，用来估计G 1的统计量在分母中有密度的核估计。

这个核估计在f 的边界取值接近于0，再作分母就有问题了。

所以我们要对分母接近于0的区域加以限制。

刚才构造统计量时将x k 排除在外的目的是为了使交叉核实统计量获得的参数估计1ˆθ不致有额外偏差。

一旦1ˆθ确定下来，就可以在统计量中将x k 放回去，不再排除在外：)(1)(ˆ1h x u K nh u f j nj ⋅-∑==θθ（10.1.10）)(ˆ/1)(ˆ1u f h x u K Y nh u g jj n j θθθ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-∑== （10.1.11）)(ˆ/ˆ1)(ˆ1ˆ111u f h x u KY nh u G j j n j θθ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-∑== （10.1.12）我们称)(ˆ1u G 才真正是在区域A 内与f 有关的G 的第一次投影逼近。

要证明11ˆ,ˆG θ分别是θ1与G 的一致估计还是比较容易的。

我们还可以证明它们一致收敛的收敛速度。

下面我们给出核函数K 与窗宽h 的构造选择细节。

我们使用的核函数是一元的，满足f 与G 的一维投影的平滑条件。

假定f (x )与G (x )沿一切方向的前r 阶方向导数存在，定义},:{εε≤-∈∈=y x A y R x A p 对于（10.1.13）为了j gˆ不为0，进一步假定 f (x )在一个闭集外为0，而在A ε上不为0（10.1.14）为了保证集合}:{A x x ∈⋅θ是合适的区间，对于每一θ∈Ω，我们假定A 非空，是一p 维开凸集。

对于固定的θ，估计量如θθθf g f k k ˆ,ˆ,ˆ)()(和θg ˆ是经典的一元核估计，使用的是一元样本{θ·x k ,1≤k ≤n }，为了得到较高的收敛速度，可以使用r 阶正交核函数K ，它满足⎩⎨⎧-≤≤==⎰∞+∞-11001)(r j j du u K u j（10.1.15）并且K 是lder o H连续的。

所谓lder o H 连续，即存在ε>0,c >0,对一切实数u ,ν,有 ε|||)()(|v u c v K u K -≤-（10.1.16）现在我们确定窗宽。

考虑模型n k x G Y k k k ≤≤+=1 ,)(ε（10.1.17）这里n k k ,,1, =ε是独立同分布的，其均值为0，方差为σ2，与n k x k ,,1, =相互独立。

假定h =h (n )→0，且nh →∞。

对于固定的θ∈Ω，假定f θ(u )>0,且2122]}|))()({([1)()(ˆσθθθθ+=⋅-+=u X u g X G E nhu g u g)(0),()()()}({21221r r h u c h u Z dx K u f +⋅+⋅⎰-θθ（10.1.18） 这里Z (u )是渐近服从正态N (0，1)，当取121~+-r nh 收敛于)(ˆu gθ的收敛速度是)()12/(+-r r p n O 。

c (u ,θ)表示一个常数，它依赖于u ,θ取值，但不随n , r 改变。

二、投影寻踪回归收敛性质设θ1，θ0∈Ω，θ0固定而θ收敛于θ0。

为了引进S (θ)的Taylor 展开，令θ00是与θ、θ0在同一平面上两个单位向量之一，且与θ0垂直。

假定θ与θ0、θ00的关系如下000212)1(ηθθηθ+-=（10.1.19）这里-1≤η≤1。

这个式子对于变换：(η，θ00)(-η,-θ00)是相等的，并且当θ→θ时η=θ·θ00→0。

在合适的规则条件下，S (θ)有合适的Taylor 展式，当θ→θ0时：)(0),(21),()()(20002200010ηθθηθθηθθ+++=S S S S（10.1.20）下面的定理表述得更清楚一些：定理10.1.1 假定f 与G 在各个方向上的一阶方向导数都存在且在R p 上一致连续，A 是一非空p 维开凸集，其边界有两个方向，函数f 在一个闭集外为0，而在A ε上不为0。

令θ0与00θ为两个平行单位向量，定义000212000)1(),(ηθθηθθθθ+-==。

在上述条件下，则存在θ0与θ00的与η无关的一致连续函数S 1与S 2，当η→0时，(10.1.20)一致成立。

这个定理的结果可从如下Radon 变换的随机展开获得。

令T 为中心在原点半径为t 的p 维球，选择t 充分大使T 包含f 的支撑。

给定θ∈Ω，u ∈R ,定义Γθ=Γθ(u ),它是点集{x ∈T :θ·x =u }所形成的(p -1)维表面。

令)(x d θγ是位于x ∈Γθ的(p -1)维的微元，其法线平行于θ。

定义Radon 变换为)()(),(x d x u A θγαθθΓ⎰=（10.1.21）则对此随机变换有如下定理：定理10.1.2 假定在x ∈T 上沿各个方向都存在一致连续的两个一阶方向导数，令θ0，00θ是两个平行单位向量，按(10.1.19)定义θ=θ(θ0,θ00)，则存在一致有界的连续函数A 1,A 2,使当η→0时，)(0|)},,(21),,(),({),(|sup 20002200010ηθθηθθηθθ=++-u A u A u A u A （10.1.22）这里上界对u ≥0所取，θ0，θ00∈Ω，并且θo ⊥θ00。

我们看到这个定理是上一定理的具体化。

这里的A (u,θ),A 1(u ,θ0,θ00)，A 2 (u ,θ0,θ00)对应于上一定理的S (θ),S 1(θ0,θ00)，S 2(θ0,θ00)。

我们再进一步把A 、A 1、A 2的表达式写具体。

在Radon 变换中，取α(x )=fG ,结果记为A ；取α(x )=f ,结果记为B ，再记A 1、B 1为)()}())(()())({(),,(0)(00)(000010000x d x fG x x fG x u A γθθθθθθθθ⋅-⋅⎰=Γ （10.1.23）)()}()()(){(),,(00000)(00)(00001x d x f x x f x u B θθθγθθθθθ⋅-⋅⎰=Γ（10.1.24）)/()/()()(),,(21100000010B AB B A x g x x g -+⋅'⋅=θθθθθ（10.1.25）这里A 1表示A 1(u ,θ0,θ00)在u =θ0·x 处取值，B 1亦然。

注意g θ(u )=A (u ,θ)/B (u ,θ)，以及(10.1.5)关于S (θ)的定义，我们可以推出(10.1.20)中S 1(θ0,θ00)的表达式dx x f x g x G x g S A )(),,()}()({2),(0001000010θθθθθθ-⋅⎰=（10.1.26）类似还可推出S 2(θ0,θ00)的表达式，不过太复杂。