坡印廷定理的复数形式

D t
,可得:
（5-11）
H J
D t
显然，此时 ( H ) (J J d ) 0。式（5-11）就是 时变场的安培环路定律的微分形式，是麦克斯韦方 D J 程组中的一个，其中的 ,即为位移电流密度。 t 这里已经解决了前面所述的矛盾，但是附加项位
第五章 时变电磁场
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 法拉第电磁感应定律 位移电流 麦克斯韦方程组 时变电磁场的边界条件 坡印廷定理和坡印廷矢量 波动方程 动态位与滞后位 时谐电磁场
5.1 法拉第电磁感应定律
一、 法拉第电磁感应定律 感应电动势：法拉第发现当穿过导体回路的磁通 量发生变化时，回路中就会出现感应电流，表明此 时回路中存在电动势，这就是感应电动势 。

C
E dl ( Ein Ec ) dl
C
B dS S t
E ( Ein Ec ) Ein
B t
♠ 当导体回路 C以速度运动 v 时，利用关系式
和 B 0，可以得到
d B B d S dS S S dt t
时，其内部的电荷随之运动，导体中电荷受到的洛 伦兹力为 F qv B。显然，导体中的感应电场实际上 是导体中单位电荷所受的洛仑兹力，同时也可以说 明，感应电场是由于电荷在磁场中运动而形成的。
5.2 位移电流
电场的旋度特性 静态下: E 0 非静态下: E B
t
假定非静态情况下方程 H J 仍然成立 两边取散度
( H ) J
( A) 0
J 0
矛盾！！
解决矛盾的方法:必须对静态情况下所得到的安培 环路定律作相应的修正。 修正的思路： 1. 在方程的右边加入一个附加项 ,即有 H J J d , 且 满足 (J J ) 0 ; 2. 加入的 J d 应该具有合理的物理意义。
B Ein t
上式是时变场的一个基本方程，同时也是麦克斯韦 方程组中的一个方程。法拉第电磁感应定律的解释：
（1） 式中的电场强度 Ein是因磁场随时间变化 而激发的，称为感应电场 B （2） 感应电场是有旋场，其旋涡源为 t ，即磁
场随时间变化的地方一会激发起电场，并形成旋涡 状的电场分布。故又称 Ein 为涡旋电场。
（3）上式虽然是对导体回路得到的，但是它对任意 回路（不一定有导体存在）同样成立。 （4） 当磁场随时间的变化率为零时，有 Ein 0 ,这 与静电场所得的形式完全相同，因此静电场实际上 是时变电场的特殊情况。 如果空间中还存在静止电荷产生的库仑电场 Ec , 则总电场为 E Ein Ec ，这时
磁场的旋度特性
静态下： H J 安培环路定律 非静态下： ？
变化的磁场可以激发电场
非静态情况下, 得 J 0 （这一个结果是由电荷守恒定律得到的， 而电荷守恒定律是大量试验总结出的普遍规律，显 然这显然这个结果应该是正确的）。
Hale Waihona Puke Baidu 0 t
再由电荷守恒定律 J
0 t
d
既能使 ( H) 0
又能使 J 0
J d t
( A) 0
J t
对高斯定理的 D 两边求时间的偏导数，得:
D D t t t
。如果令 J
d
B
s
C
图5-1 感应电动势的正方向和磁通的方向
回路附近的磁感应强度为，穿过回路的磁通 S B dS d B dS 于是上式可以写成 （5-3） in S dt 二、法拉第电磁感应定律的积分与微分形式 从一般意义上讲，电流是电荷的定向运动形成的， 而电荷的定向运动往往是电场力对其作用的结果。 所以，当磁通量发生变化时导体回路中产生感应电 流，这一定预示着空间中存在电场。这个电场不是 电荷激发的，而是由于回路的磁通量发生变化而引 起的，它不同于静电场。当一个单位正电荷在电场 力的作用下绕回路c一周时，电场力所做的功为 C Ein dl 它等效于电源对电荷所做的功，即电源电动
著名的法拉第电磁感应定律：法拉第发现进一步 的研究发现，感应电动势的大小和方向与磁通量的 变化有密切关系。
当通过导体回路所围面积的磁通量 发生变化时 回路中就会产生感应电动势 in，其大小等于磁通量 的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通量
的改变，即
in
d dt
式中负号即表示回路中感应电动势的作用总是要阻 止回路中磁通量的变化。这里已规定：感应电动势 的正方向和磁力线的正方向之间存在右手螺旋系。 设任意导体回路围成的曲面为 S ，其单位法向矢量 n 为 n ，如图5.1所示。
势。此时电源电动势就是感应电动势 in , 有
in

C
Ein dl
（5-4）
时间的变化率，而磁通量变化的原因可以归结为两 个：回路静止（既无移动又无形变），磁场本身变 化；磁场不变，回路运动（包括位移和形变）。 1.法拉第电磁感应定律的积分形式
d 式（5-3） dt SB dS 右边的表示穿过面积s的磁通量随
d v dt t

C
(B v ) dl
（5-9）
等式右边的两个积分分别对应着磁场变化和导体运 动的贡献。当磁场不随时间变化时，有

C
E dl
d B dS dt S

C
(v B ) dl
（5-10）
比较等式两边，E
F v B。得当导体在磁场中运动 q
当回路静止时，磁通量的变化是因磁场随时间 d 变化而引起的，时间导数 dt 可以换成时间偏导数 t， 并且可以移到积分内，故有

C
Ein dl
B dS S t
(5-5)
2. 法拉第电磁感应定律的微分形式 利用斯托克斯公式， C A dl S A dS 并考虑到回路 c(或面积s)的任意性，得