近世代数习题解析

近世代数复习思考题

一、基本概念与基本常识的记忆 （一）填空题

1.剩余类加群Z 12有_________个生成元.

2、设群G 的元a 的阶是n ，则a k

的阶是________. 3. 6阶循环群有_________个子群.

4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n

=，那么m 与n 存在整除关系为———。 5. 模8的剩余类环Z 8的子环有_________个. 6.整数环Z 的理想有_________个. 7、n 次对称群Sn 的阶是——————。

8、9-置换⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛728169345987654321分解为互不相交的循环之积是————。

9.剩余类环Z 6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S 的单位元是____________. 10.

24

中的所有可逆元是：__________________________.

11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构。

12. 设()G a =为循环群，那么（1）若a 的阶为无限，则G 同构于___________，（2）若a 的阶为n ，则G 同构于____________。 13. 在整数环

中，23+=__________________；

14、n 次对称群S n 的阶是_____.

15. 设12,A A 为群G 的子群，则21A A 是群G 的子群的充分必要条件为___________。 16、除环的理想共有____________个。 17. 剩余类环Z 5的零因子个数等于__________.

18、在整数环Z 中，由｛2，3｝生成的理想是_________. 19. 剩余类环Z 7的可逆元有__________个.

20、设Z 11是整数模11的剩余类环，则Z 11的特征是_________. 21. 整环I={所有复数a+bi(a,b 是整数)}，则I 的单位是__________. 22. 剩余类环Z n 是域⇔n 是_________.

23、设Z 7 ={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z 7 [x]中, (5x-4)(3x+2)=________. 24. 设G 为群，a G ∈，若12a =，则8

a =_______________。

25、设群G=｛e ，a 1，a 2，…，a n-1｝，运算为乘法，e 为G 的单位元，则a 1n

=___. 26. 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个. 27、整数环Z 的商域是________.

28. 整数加群Z有__________个生成元.

29、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R I是一个域当且仅当I是————————。

30. 已知

12345

31254

σ

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

为

5

S上的元素，则1

σ-＝__________。

31. 每一个有限群都与一个__________群同构。

32、设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是——————。

二、基本概念的理解与掌握。

（二）选择题

1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有

（）个元素。

A.2

B.5

C.7

D.10

2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射

ϕ：x→x＋2，∀x∈R，

则ϕ是从A到B的（）

A.满射而非单射

B.单射而非满射

C.一一映射

D.既非单射也非满射

3.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（）个。

A.2

B.4

C.6

D.8

4、G是12阶的有限群，H是G的子群，则H的阶可能是( )

A 5；

B 6；

C 7；

D 9.

5、下面的集合与运算构成群的是 ( )

A {0，1}，运算为普通的乘法；

B {0，1}，运算为普通的加法;

C {-1，1}，运算为普通的乘法；

D {-1，1}，运算为普通的加法;

6、关于整环的叙述，下列正确的是 ( )

A 左、右消去律都成立；

B 左、右消去律都不成立;

C 每个非零元都有逆元；

D 每个非零元都没有逆元;

7、关于理想的叙述，下列不正确的是 ( )

A 在环的同态满射下，理想的象是理想;

B 在环的同态满射下，理想的逆象是理想;

C 除环只有两个理想，即零理想和单位理想

D 环的最大理想就是该环本身. 8.整数环Z 中，可逆元的个数是( )。

A.1个

B.2个

C.4个

D.无限个

9. 设M 2(R)=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛d c b a a,b,c,d ∈R ，R 为实数域⎭⎬⎫按矩阵的加法和 乘法构成R 上的二阶方阵环，那么这个方阵环是( )。 A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环 C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环

10. 设Z 是整数集，σ(a)=⎪⎩⎪⎨⎧+为奇数时当为偶数时

当a ,2

1a a ,2a

，Z a ∈，则σ是R 的( ).

A. 满射变换

B. 单射变换

C. 一一变换

D. 不是R 的变换

11、设A={所有实数x}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集 的

同态满射的是( ).

A 、x →10x

B 、x →2x

C 、x →|x|

D 、x →-x .

12、设 是正整数集Z 上的二元运算，其中{}max ,a b a b =（即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ）

A 、不适合交换律

B 、不适合结合律

C 、存在单位元

D 、每个元都有逆元.

13.设3S ={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则3S 中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4. 14、设(),

G 为群，其中G 是实数集，而乘法

:a b a b k =++，这里k 为G 中固定的

常数。那么群(),

G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）

A 、0和x -；

B 、1和0；

C 、k 和2x k -；

D 、k -和(2)x k -+

15、设H 是有限群G 的子群，且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH 。如果H =6,那么

G 的阶G =（ ）

A 、6

B 、24

C 、10

D 、12