(完整word版)概率论和数理统计考试试题和答案解析.doc

一. 填空题（每空题 2 分，共计 60 分）

1、A、B是两个随机事件，已知p(A )0.4, P(B) 0.5,p( AB) 0.3 ，则p(A B)0.6 ,

p(A - B)0.1，P( A B )= 0.4 ,p(A B)0.6 。

2、一个袋子中有大小相同的红球 6 只、黑球 4 只。（1）从中不放回地任取 2 只，则第一次、

第二次取红色球的概率为：1/3。（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/25。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的

球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：21/55。

3、设随机变量 X 服从 B（2，0.5 ）的二项分布，则p X 1 0.75, Y 服从二项分布 B(98, 0.5), X 与 Y 相互独立 , 则 X+Y服从 B(100,0.5) ，E(X+Y)= 50 ，方差 D(X+Y)= 25 。

4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1 、0.15 ．现从由甲厂、

乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。

（1）抽到次品的概率为：0.12 。

（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.5 ．

5、设二维随机向量( X ,Y)的分布律如右，则 a 0.1, E( X ) 0.4 ，X 0 1

X与 Y 的协方差为: - 0.2

Y

，-1 0.2 0.3

Z X Y2的分布律为 : z 1 2

1 0.4 a

概率0.6 0.4

6、若随机变量X ~ N(2,4)且(1) 0.8413 ，(2) 0.9772 ,则 P{ 2 X 4}0.815，

Y 2X 1,则Y~N( 5，16）。

7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2,方差D(X)=1，D(Y)=2,且X、Y相互独立，则：

E(2X Y)-4，D(2X Y)6。

8、设D（X）25，D（Y）1，Cov ( X ,Y ) 2 ，则 D（ X Y）30

9、设X1,, X 26是总体 N (8,16) 的容量为26 的样本，X为样本均值，S2为样本方差。则：X ~ N

（ 8 ， 8/13），25

S2~ 2 ( 25)，

X8 ~ t(25)

。

16s / 25

二、（ 6 分）已知随机变量

ax 2 , 0 x

1 X 的密度函数 f (x)

,

其它

求：（ 1）常数 a ， （ 2） p(0.5

X

1.5) （3）X 的分布函数 F （ x ）。

解 :(1) 由f (x)dx

1, 得 a 3

2

’ (2) p(0.5

X

1 5)=

1..5 1

2 dx 0.875

2 ’

f ( x) dx3x

0.5

0. 5

x 0

(3)

F ( x)

x 3 ,

0 x 1 2

’

1

,

1

x

2y, 0 x 1,0 y 1 三、（ 6 分）设随机变量（ X ，Y ）的联合概率密度为：

f (x, y)

,

其它

求：（ 1） X ， Y 的边缘密度，（ 2）讨论 X 与 Y 的独立性。

解 :(1) X ， Y 的边缘密度分别为 :

1 ydy

1

0 x 1

f X ( x)

2

其他

’

1

4

f (x ， y)dx 2 y ，

0 y 1

f Y ( y) 2 ydx

其他

(2) 由(1) 可见

f （ x ，y ） f （x ） f （ y ）,

可知 : X ， Y 相互独立

2 ’

X

Y

一 . 填空题（每小题 2 分，共计 60 分）

1. 设随机试验 E 对应的样本空间为

S 。 与其任何事件不相容的事件为

不可能事件，

而与其任何事件相互独

立的事件为

必然事件；设 E 为等可能型试验，且 S 包含 10 个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件

发生的概率为 1/10 。

2． P( A)

0.4, P(B) 0.3 。若 A 与 B 独立，则 P( A

B)

0 。 28

；若已知 A, B 中至少有一个事件发

生的概率为 0.6 ，则 P( A

B)

0.3 ， P(A

B)

1/3

。

3、一个袋子中有大小相同的红球

5 只黑球 3 只，从中不放回地任取 2 只，则取到球颜色不同的概率为：

15/28 。

若有放回地回地任取

2 只，则取到球颜色不同的概率为： 15/32

。

4、 E( X )

D ( X ) 1。若 X 服从泊松分布，则 P{ X

0} 1 e 1 ；若 X 服从均匀分布，则 P{ X

0}

0 。

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5、设 X ~ N ( ,

2

)，且P{X

2} P{ X 2}, P{ 2 X

4} 0.3

，则

2

；

P{X

0}

0.8 。

6、某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为 4 元，二等奖 2 元，假设中一、二等奖的概率分别为

0.3 和 0.5,

且每张彩票卖 2 元。是否买此彩票的明智选择为：

买

（买，不买或无所谓） 。

7、若随机变量

X ~ U (1,5) ，则 p 〈0 X 〈4

0.75

； E(2X 1) __7___，

D(3X 1)

12

．

8 、 设

X ~ b(n, p), E( X ) 2.4, D (X ) 1.44 ，

则 P{ X

n}

0.43

， 并 简 化 计 算

6

2

6 k 6 k

2

k

6 0.4

0.6 (6 0.4) 7.2 。

k 0.4 0.6

k 0

9、随机变量 X 、Y 的数学期望 E(X)= -1

，E(Y)=2, 方差 D(X)=1 ，D(Y)=2, 且 X 、Y 相互独立， 则： E( 2X Y)

-4 ， D(2X Y )

6 。

10、设 X 1 ,

, X 16 是总体 N ( 20,4) 的容量为 16 的样本， X 为样本均值， S 2 为样本方差。

则： X ~ N

）， p X

20 1

= 0.0556

，

（ 20， 1/4

15 S 2 ~ 2

(15) ，

X 20

~

t(15)

。

16

s/

15

此题中

(2) 0.9772 。

11 、随机变量

X 的概率密度 f ( x) e

x

,

x 0

E(X ) 1 。

0,

x

，则称 X 服从指数分布，

13、设二维随机向量 ( X ,Y) 的分布律是：

则 X 的方差 D(X)

0.21

； X 与Y 的相关系数为 :

XY

3/7。

X

0 1

Y

0 0.4 0.3 1

0.3 0

二、 （ 7 分）甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为

0.2 ，0.1 ， 0.3 ．现从

由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占 15%， 80%， 5%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品为甲厂

生产的概率．

解：设 A 1,A 2,A 3

分别表示产品取自甲、乙、丙厂，

有： p(A 1 )

15%, P(A 2 ) 80%, P(A 3 ) 5%

2 ’