浙江省 高一数学 测试题
浙江省嘉兴市2023-2024学年高一上学期1月期末检测数学试题(含答案)
嘉兴市2023~2024学年第一学期期末检测高一数学试题卷（答案在最后）（2024.1）本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，则A B = （）A.[)2,4 B.[)3,4 C.[)2,+∞ D.[)3,+∞【答案】B 【解析】【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}{}24,3A x x B x x =≤<=≥，所以A B ⋂{}34x x =≤<.故选：B .2.已知()3sin π5α+=，则sin α=（）A.45 B.35 C.45-D.35-【答案】D 【解析】【分析】应用诱导公式()sin πsin αα+=-，求解即可.【详解】由诱导公式()sin πsin αα+=-，且()3sin π5α+=，可得3sin 5α-=，即3sin 5α=-.故选：D.3.已知函数()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()3f =（）A.14B.12C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 的解析式可求得()3f 的值.【详解】因为()()31,111,12x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()()113113212442f f f -====.故选：B.4.已知(),,0,a b m ∈+∞，则“a b >”是“b m ba m a+>+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用作差法，得出b m ba m a+>+的等价条件()0()m a b a a m ->+，再分析充分性和必要性，即可得出结论.【详解】由于()()b m b m a b a m a a a m +--=++，则b m ba m a+>+成立，等价于()0()m a b a a m ->+成立，充分性：若a b >，且(),,0,a b m ∞∈+，则0,0a m a b +>->，则()0()m a b a a m ->+，所以b m ba m a+>+成立，满足充分性；必要性：若b m ba m a+>+，则()0()m a b a a m ->+成立，其中(),,0,a b m ∞∈+，且0a m +>，则可得0a b ->成立，即a b >成立，满足必要性；故选：C.5.已知,αβ都是锐角，()2510cos ,sin 510αβα+==，则cos β=（）A.10B.10 C.2D.10【答案】B 【解析】【分析】根据()βαβα=+-，结合同角三角关系以及两角和差公式运算求解.【详解】因为,αβ都是锐角，则()0,παβ+∈，则()sin ,cos 510αβα+==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+++⎣⎦51051010=⨯+⨯=.故选：B.6.设函数()323f x x x =-，则下列函数是奇函数的是（）A.()12f x ++B.()12f x -+C.()12f x --D.()12f x +-【答案】A 【解析】【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项.【详解】因为()323f x x x =-，对于A 选项，()()()32322312131233136323f x x x x x x x x x x ++=+-++=+++---+=-，令()313f x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()331133f x x x x x f x -=---=-+=-，则()12f x ++为奇函数，A 满足要求；对于B 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x -+=---+=-+--+-+32692x x x =-+-，令()322692f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()2020f =-≠，所以，函数()12f x -+不是奇函数，B 不满足条件；对于C 选项，()()()323221213123313632f x x x x x x x x --=----=-+--+--32696x x x =-+-，令()323696f x x x x =-+-，该函数的定义域为R ，则()3060f =-≠，所以，函数()12f x --不是奇函数，C 不满足条件；对于D 选项，()()()323223121312331363234f x x x x x x x x x x +-=+-+-=+++----=--，令()3434f x x x =--，该函数的定义域为R ，则()4040f =-≠，所以，函数()12f x +-不是奇函数，D 不满足要求.故选：A.7.已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，ABC 是等腰直角三角形，,A B 为图象与x 轴的交点，C 为图象上的最高点，且3OB OA =，则（）A.()262f =B.()()190f f +=C.()f x 在()3,5上单调递减 D.函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称【答案】D 【解析】【分析】根据C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，ABC 为等腰直角三角形可以求出2AB =，进而求出周期，即求出ω，将点C 代入即可求出ϕ，从而确定函数()f x 解析式，再逐项判断.【详解】由ABC 为等腰直角三角形，C 为图象上的最高点，且点C 的纵坐标为1，所以2AB =．则函数()f x 的周期为4，由2π4ω=，0ω>，可得π2=ω，又3OB OA =，所以13,0,,022A B ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1,12C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将点C 代入()πsin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得π1sin 4ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则ππ2π42k ϕ+=+，k ∈Z ．而0πϕ<<，则π4ϕ=，所以()ππsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,则()2ππ6s n i 624f ⎛⎫⨯+=-⎪⎝=⎭，A 错误；()()419sin s ππππ3π3πsin sin 92424i 4n f f ⎛⎫⎛⎫++⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭=⎝+=⎭，B 错误；若()3,5x ∈，则ππ7π11π,2444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然函数不是单调的，C 错误；()5π5πsin sin π02224f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，D 正确.故选：D.8.已知函数()e xf x x =+，()lng x x x =+，若()()12f x g x t ==，则2122x x t ++-的最大值为（）A.94B.2C.2e 12- D.23e 1e -【答案】A 【解析】【分析】由已知可得出()()ln g x f x =，分析函数()f x 的单调性，可得出12ln x x =，即可得出221222x x t t t ++-=+-，结合二次函数的基本性质可求得2122x x t ++-的最大值.【详解】因为函数e x y =、y x =均为R 上的增函数，所以，函数()e xf x x =+为R 上的增函数，()()ln ln e ln ln x g x x x x f x =+=+=，因为()()()122ln f x g x f x t ===，其中t ∈R ，所以，12ln x x =，故222212221992ln 22244x x t x x t t t t ⎛⎫++-=++-=+-=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12t =时等号成立，故2122x x t ++-的最大值为94.故选：A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出12ln x x =，将所求代数式转化为以t 为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则（）A.12α=B.()f x 的图象经过点()1,1C.()f x 在[)0,∞+上单调递增 D.不等式()f x x ≥的解集为{}1xx ≤∣【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意，代入法确定函数解析式，从而依次判断选项即可.【详解】由幂函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则24α=，得12α=，所以幂函数()12f x x ==，所以A 正确；又()11f ==，即()f x 的图象经过点()1,1，B 正确；且()f x 在[)0,∞+上单调递增，C 正确；不等式()f x x ≥x ≥，解得01x ≤≤，D 错误.故选：ABC.10.已知0a >，0b >，且1a b +=，则（）A.18ab ≥B.221a b +>C.11022a b ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D.11lnln 1a b+>【答案】CD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断A 选项；利用二次函数的基本性质可判断B 选项；利用不等式的基本性质可判断C 选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，取18a =，78b =，则71648ab =<，A 错；对于B 选项，因为0a >，0b >，且1a b +=，则10b a =->，可得01a <<，所以，111222a -<-<，则211024a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，因为()22222211112212,1222a b a a a a a ⎛⎫⎡⎫+=+-=-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，B 错；对于C 选项，21111111102222222a b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---=--=--≤ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为21024a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b a b =⎧⎨+=⎩时，即当12a b ==时，等号成立，所以，()1111lnln ln ln ln ln 414ab a b ab +==-≥-=>，D 对.故选：CD.11.已知函数()()22*sin cos kkk f x x x k =+∈N ，值域为kA ，则（）A.21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B.()*,k k f x ∀∈N 的最大值为1C.*1,k k k A A +∀∈⊆N D.*k ∃∈N ，使得函数()k f x 的最小值为13【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，利用换元法与二次函数的单调性即可判断；对于B ，利用指数函数的单调性即可判断；对于C ，利用幂函数的单调性即可判断；对于D ，结合ABC 选项的结论，求得3A ，从而得以判断.【详解】对于A ，因为22sin cos 1x x +=，故()2222sin cos 1cos cos kk k k x x x x+=-+今2cos x t =，则22sin cos (1),[0,1]k k k k x x t t t +=-+∈，当2k =时，222211(1)221222t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211222y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以21,12A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故A 正确；对于B ，因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则(1)(1)k t t -≤-且k t t ≤，故(1)11k k t t t t -+≤-+=，当且仅当0=t 或1t =时，(1)1k k t t -+=，所以()k f x 最大值为1，故B 正确；对于C ；因为[0,1]t ∈，011t ≤-≤，则11(1)(1),k k k k t t t t ++-≤-≤，即11(1)(1)k k k k t t t t ++-+≤-+，所以()()1min min k k f x f x +≤，由选项B 又知()1k f x +与()k f x 的最大值都为1，所以1k k A A +⊆，故C 错误；对于D ，当3k =时，233211(1)331324t t t t t ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[0,1]t ∈，211324y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以31,14A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又()()1min min k k f x f x +≤，所以当3k >时，()min 14k f x ≤，又21,12A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，易知{}11A =，故不可能存在*N k ∈使()k f x 最小值为13，故D 错误.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用换元法将函数转化为二次函数，从而得解.12.设定义在R 上的函数()f x 满足()()()20,1f x f x f x ++=+为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2=⋅+x f x a b ，若()01f =-，则（）A.()10f =B.12a b +=-C.()21log 242f =- D.()2f x +为偶函数【答案】ABD【解析】【分析】由题意可得()()110f x f x ++-+=可判断A ；由()01f =-可得()21f =，列方程组，解出,a b 可判断B ；由函数的周期性、对称性和对数函数的运算性质可判断C ；由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-可判断D .【详解】选项A ：因为()1f x +为奇函数，所以()()110f x f x ++-+=，即()f x 关于()1,0对称，又()f x 是定义在R 上的函数，则()10f =，故A 正确；选项B ：由()01f =-可得()21f =，则有120124121a b a a b a b b ⎧+==⎧⎪⇒⇒+=-⎨⎨+=⎩⎪=-⎩，故B 正确；选项C ：因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 的周期为4；因为224log 2450log 2441<<⇒<-<，即230log 12<<，所以()223log 24log 2f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；因为()f x 关于()1,0对称，所以()()=2f x f x --，则2223381log 2log log 2233f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 错误；选项D ：由()()()()2,2f x f x f x f x +=--=-得()()22f x f x +=-，即()2f x +为偶函数，故D 正确．故选：ABD.【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论（1）()()()f x a f b x f x +=-⇒关于2a bx +=轴对称，（2）()()()2f x a f b x c f x ++-=⇒关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，（3）()()()f x a f x b f x +=+⇒的一个周期为T a b =-，（4）()()()f x a f x b f x +=-+⇒的一个周期为2T a b =-.可以类比三角函数的性质记忆以上结论.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个扇形的弧长和面积都是2π3，则这个扇形的半径为________．【答案】2【解析】【分析】由扇形的面积公式求解即可.【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，所以2π3l =，112π2π2233S rl r ===，解得：2r =.故答案为：2.14.函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．【答案】(],0-∞【解析】【分析】根据指数函数的单调性即可得解.【详解】()1,01222,0xxx x f x x ⎧⎛⎫>⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪≤⎩，所以函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是(],0-∞.故答案为：(],0-∞.15.海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深()H t （单位：m ）与时间t （单位：h ）之间满足关系式：()()3sin 50H t t ωω=+>，且当地潮汐变化的周期为12.4h T =．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5m ，安全条例规定至少要有1.5m 的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留________h ．【答案】6215【解析】【分析】根据函数周期性可得5π31ω=，令() 6.5H t >，结合正弦函数性质分析求解即可.【详解】由题意可得：2π5π12.431ω==，则()5π3sin 531H t t =+，令()5π3sin 5 6.531H t t =+>，则5π1sin 312t >，可得π5π5π2π2π,6316k t k k +<<+∈Z ，解得62316231,53056k t k k +<<+∈Z ，设该船到达港口时刻为1t ，离开港口时刻为2t ，可知121224t t <<<，则0k =，即1262316231,,53056t t ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，所以最多可停留时长为62316231625653015⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭小时.故答案为：6215.16.若函数()212(0)11f x x x a a a x ⎛⎫=---> ⎪+-⎝⎭有两个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】102a +<<【解析】【分析】令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++，据此即可求解.【详解】函数的定义域为R ，令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，且该零点为正数，()22011ag t t a t =⇔=-++，根据函数()()210h t tt =≥和()()22101ah t a t t =-+≥+的图象及凹凸性可知，只需满足()()1200h h <即可，即：221515011022a a a a a -+<-++⇒--<⇒<<，又因为0a >，所以实数a 的取值范围是102a <<．故答案为：0a <<.【点睛】关键点点睛：本题令1t x =-，则()2111g t t a a t ⎛⎫=---⎪+⎝⎭只有一个零点，即2211a t a t =-++的分析.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{}{}2230,2A x x x B x x =--≥=≤．（1）求集合A ；（2）求()R A B ð．【答案】（1）{}13A x x x =≤-≥或（2）(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð【解析】【分析】（1）先求解2230x x -->，从而可得1x ≤-或3x ≥，从而可求解.（2）分别求出{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，再利用集合的并集运算从而可求解.【小问1详解】由题意得2230x x -->，解得3x ≥或1x ≤-，所以{1A xx =≤-∣或3}x ≥.【小问2详解】由（1）可得{}13A x x =-<<R ð，{}22B x x =-≤≤，所以(){23}A B xx ⋃=-≤<R ∣ð.18.如图，以Ox 为始边作角α与()0πββα<<<，它们的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，已知点P 的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求sin sin αβ-的值；（2）求tan2β的值．【答案】（1）15-（2）247-【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可得出α的正弦值和余弦值，分析可得π2βα=-，利用诱导公式可求得sin β的值，由此可得出sin sin αβ-的值；（2）利用诱导公式求出cos β的值，可求得tan β的值，再利用二倍角的正切公式可求得tan 2β的值.【小问1详解】解：由三角函数的定义可得4cos 5α=-，3sin 5α=，将因为0πβα<<<，且角α、β的终边与单位圆O 分别交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，结合图形可知，π2βα=-，故π4sin sin cos 25βαα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故341sin sin 555αβ-=-=-.【小问2详解】解：由（1）可知4sin 5β=，且π3cos cos sin 25βαα⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，故sin 454tan cos 533βββ==⨯=，根据二倍角公式得22422tan 243tan21tan 7413βββ⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭．19.已知函数()()()22log 1log 1f x x x =+--．（1）求函数()f x 的定义域，并根据定义证明函数()f x 是增函数；（2）若对任意10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，关于x 的不等式()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）定义域为()1,1-，证明见解析（2）(【解析】【分析】（1）由对数的真数大于零，可得出关于x 的不等式组，即可解得函数()f x 的定义域，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）分析可知，210121xx -≤<+，由()211221x xx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭可得出1121211221xx x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩，结合参变量分离法可得出()222221x x x t <<+，利用指数函数的单调性可求得实数t 的取值范围.【小问1详解】解：对于函数()()()22log 1log 1f x x x =+--，则1010x x +>⎧⎨->⎩，可得11x -<<，所以，函数()f x 的定义域为()1,1-，证明单调性：设1211x x -<<<，则有()()()()()()1221212222log 1log 1log 1log 1f x f x x x x x -=+---+--⎡⎤⎣⎦，()()()()1221211log 11x x x x +-=-+，由于1211x x -<<<，所以120x x -<，()()12110x x +->，()()12110x x -+>，并且()()()()()()121211222121111111x x x x x x x x x x x x +---+=-+--+--()1220x x =-<，则()()()()12121111x x x x +-<-+，于是()()()()1212110111x x x x +-<<-+，所以()()()()1221211log 011x x x x +-<-+，即：()()12f x f x <，所以函数()f x 在定义域()1,1-上单调递增．【小问2详解】解：当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2120112121x x x -≤=-<++，所以不等式()211221xxx f t f ⎛⎫--⋅< ⎪+⎝⎭恒成立等价于1121211221x x x xt t ⎧-<-⋅<⎪⎨--⋅<⎪+⎩对任意的10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，等价于()222221x x x t <<+在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．由10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12x ≤≤222x≤≤，())222112x x≤+≤=+，则()221221x x≤≤+，于是实数t 的取值范围是(．20.噪声污染问题越来越受到人们的重视．我们常用声压与声压级来度量声音的强弱，其中声压p （单位：Pa ）是指声波通过介质传播时，由振动带来的压强变化；而声压级p L （单位：dB ）是一个相对的物理量，并定义020lgp p L p =⨯，其中常数0p 为听觉下限阈值，且50210Pa p -=⨯．（1）已知某人正常说话时声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，求声压级p L 的取值范围；（2）当几个声源同时存在并叠加时，所产生的总声压p 为各声源声压()1,2,3,,i p i n = 的平方和的算术平方根，即p =现有10辆声压级均为80dB 的卡车同时同地启动并原地急速，试问这10辆车产生的噪声声压级p L 是多少？【答案】（1）[]40,60dB P L ∈（2）()90dB p L =【解析】【分析】（1）因为P L 是关于p 的增函数结合声压p 的范围是0.002Pa 0.02Pa ~，即可得出答案；（2）由题意可得出08020lg i p p =⨯求出i p ，代入可求出总声压p ，再代入020lg p pL p =⨯，求解即可.【小问1详解】当30.002210Pa p -==⨯时，3521020lg 40dB 210P L --⨯=⨯=⨯；当20.02210Pa p -==⨯时，2521020lg 60dB 210P L --⨯=⨯=⨯；因为P L 是关于p 的增函数，所以正常说话时声压级[]40,60dB P L ∈．【小问2详解】由题意得：()4008020lg 10Pa ii p p p p =⨯⇒=⨯（其中1,2,3,,10i = ）总声压：()4010Pa p ==⨯(40001020lg 20lg 20490(dB)P p L p p ⨯=⨯=⨯=⨯+=故这10辆车产生的噪声声压级()90dB p L =．21.设函数()22cos 2sin cos 1(04)f x x x x ωωωω=--<<，若将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后得到曲线C ，则曲线C 关于y 轴对称．（1）求ω的值；（2）若直线y m =与曲线()y f x =在区间[]0,π上从左往右仅相交于,,A B C 三点，且2AB BC =，求实数m 的值．【答案】（1）32ω=（2）2【解析】【分析】（1）方法一：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据图象变换结合对称性分析求解；方法二：利用三角恒等变换化简可得()π24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意可知函数()f x 关于直线π12x =-对称，根据对称性分析求解；（2）方法一：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，进而结合对称性分析求解；方法二：根据题意结合图象可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，进而可得结果.【小问1详解】方法一：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：曲线C 为函数πππ212124y f x x ω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为曲线C 关于y 轴对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==；方法二：因为()()22cos 12sin cos f x x x xωωω=--cos2sin2x x ωω=-π24x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题意可知：函数()f x 关于直线π12x =-对称，则ππ2π,124k k ω⎛⎫-+=∈ ⎪⎝⎭Z ，解得36,2k k ω=-∈Z ，又因为04ω<<，所以30,2k ω==.【小问2详解】方法一：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 可知：1π01,012m x <<<<且312π3x x T -==，由2AB BC =，得2124π39x x T -==①，又因为,A B 两点关于直线π4x =对称，则12π2x x +=②由①②可得121π3617π36x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，于是()1ππ33642m f x ⎛⎫==⨯+=⎪⎝⎭；方法二：由（1）可知：()π34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，根据函数()f x 在[]0,π上的图象，如图所示：由题意可知：1π0,012m x ><<，且312π3x x T -==，又因为2AB BC =，得2124π39x x T -==，则214π9x x =+，而()()12f x f x =12ππ3344x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得111π4πππ4πcos 3cos 3cos 349443x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，令1πππ3,442t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则4πcos cos 3t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得4π2π3t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即π3t =，故()()112342m f x x t ==+==．22.已知函数()2π4cos2f x x x a x =--．（1）若1a =-，求函数()f x 在[]0,2上的值域；（2）若关于x 的方程()4f x a =-恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，求()()131278f x f x x --的最大值，并求出此时实数a 的值．【答案】（1）[]5,1-（2）12，2a =【解析】【分析】（1）根据2(2)4y x =--和πcos2y x =的单调性可得()f x 在[]0,2上单调递减，进而可求解；（2）构造()()4F x f x a =-+，根据()()4F x F x -=，可得()F x 关于直线2x =对称，进而可得13224x x x +==，即可代入化简得()()131278f x f x x --的表达式，即可结合二倍角公式以及二次函数的性质求解.【小问1详解】若()2π1,(2)cos42a f x x x =-=-+-，因为函数2(2)4y x =--和πcos 2y x =均在[]0,2上单调递减，所以函数()f x 在[]0,2上单调递减，故()()min max ()25,()01f x f f x f ==-==，所以函数()f x 在[]0,2上的值域为[]5,1-．【小问2详解】()2π4(2)cos 12f x a x a x ⎛⎫=-⇔-=+ ⎪⎝⎭，显然：当2x ≠时，2π(2)0,0cos122x x ->≤+≤，由于方程()4f x a =-有三个不等实根123,,x x x ，所以必有0a >，令()()4F x f x a =-+，则()2π4cos42F x x x a x a =---+，显然有()20F =，由()()()22ππ4(4)44cos 4444cos 22F x x x a x a x x a x a -=------+=-+--，得到()()4F x F x -=，所以函数()F x 关于直线2x =对称，由()()()1230F x F x F x ===，可得：13224x x x +==，于是()()231111π44cos2f x f x x x a x =-=--，()21111248cosπf x x x a x =--，()()221311111111π27848cosπ74cos 82f x f x x x x a x x x a x ⎛⎫--=------ ⎪⎝⎭()22111ππ32122cos 17cos 22x a x x ⎛⎫=--+--- ⎪⎝⎭①，由()10F x =可得：()211π2cos12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭②，将②代入①式可得：()()2131111πππ2783cos 1122cos 17cos 222f x f x x a x a x ⎛⎫⎛⎫--=-++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211ππ2cos 4cos 21222a x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭21π2cos 112122a x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当1πcos12x =，即()14x k k =∈N 时等号成立，由于()4f x a =-恰有三个不等实根，22x =且123x x x <<，所以10x =，此时34x =，由()211π2cos 12x a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭可得()4co 0s 1a =+，故2a =.【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.（3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.。
浙江省宁波市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题卷含答案
镇海2023学年第二学期期末考试高一数学试题卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点P 是椭圆2212x y +=上一动点，则点P 到两焦点的距离之和为（）A.2B.C. D.4【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的定义求解即可.【详解】由2212x y +=可得：a =，由椭圆的定义可知：点P到两焦点的距离之和为2a =.故选：C .2.若{,,}a b c是空间中的一组基底，则下列可与向量,2a c a c +-构成基底的向量是（）A.aB.2a b+C.2a c+D.c【答案】B 【解析】【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用,2a c a c +-表示即可得.【详解】由{,,}a b c 是空间中的一组基底，故,,a b c两两不共线，对A ：有()()1223a a c a c ⎡⎤=++-⎣⎦，故A 错误；对B ：设()()22a b m a c n a c +=++- ，则有()()22a b m n a m n c +=++-，该方程无解，故2a b +可与,2a c a c +-构成基底，故B 正确；对C ：有()()12423a c a c a c ⎡⎤+=+--⎣⎦，故C 错误；对D ：有()()123c a c a c ⎡⎤=+--⎣⎦，故D 错误.故选：B.3.l 为直线，α为平面，则下列条件能作为l α∥的充要条件的是（）A.l 平行平面α内的无数条直线B.l 平行于平面α的法向量C.l 垂直于平面α的法向量D.l 与平面α没有公共点【答案】D 【解析】【分析】根据直线与平面平行的定义，由于定义是充要条件得到选项．【详解】对A ：没有强调l α⊄，故A 错误；对B ：l 平行于平面α的法向量，可得l α⊥，故B 错误；对C ：同A 一样，没有强调l α⊄，故C 错误；对D :根据直线与平面平行的定义：直线与平面没有公共点时，直线与平面平行.所以“直线l 与平面α没有公共点”是“l α∥”的充要条件.故D 正确.故选：D4.己知 (2,2,1)(1,1,0)a b ==，，则a 在b 上的投影向量的坐标为（）A.(1,1,0)B.(1,2,0)C.(2,2,0)D.(1,1,1)【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量的概念求解即可.【详解】向量a 在b上的投影向量为：()()21,1,02,2,0a b b bb⋅⋅⨯==，故选：C5.点()()1122,,,P x y Q x y 为直线20kx y -+=上不同的两点，则直线111:1l x x y y -=与直线222:1l x x y y -=的位置关系是（）A.相交B.平行C.重合D.不确定【答案】A 【解析】【分析】利用这两直线的斜率来结合已知条件，即可以作出判断.【详解】由点()()1122,,,P x y Q x y 为直线20kx y -+=上不同的两点，则直线111:1l x x y y -=与直线222:1l x x y y -=的斜率存在时一定为1212x x y y ，，可以把这两个斜率看成直线上两点到原点的斜率的倒数，由已知可得OP OQ k k ≠，则1212x x y y ≠，即两直线不可能平行与重合，则只能相交;若直线111:1l x x y y -=与直线222:1l x x y y -=的斜率有一个不存在，则另一个斜率必存在，也能判定两直线相交；故选：A.6.如图，平行六面体各棱长为1，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，动点P 在该几何体内部，且满足1(1)(,R)AP xAB y AD x y AA x y =++--∈ ，则||AP的最小值为（）A.4B.3C.62D.12【答案】B 【解析】【分析】由平面向量共面定理可知：点P 在平面1BDA 内，则||AP的最小值即为点P 到平面1BDA 的距离，求出三棱锥1A A BD -为正四面体，过点A 作AH ⊥平面1BDA ，求解AH 即可得出答案.【详解】因为1(1)(,R)AP xAB y AD x y AA x y =++--∈，则()()111AP AA x AB AA y AD AA -=-+- ，即111A P xA B y A D =+ ，由平面向量共面定理可知：点P 在平面1BDA 内，则||AP的最小值即为点P 到平面1BDA 的距离，连接11,,,BD DA A B 因为平行六面体各棱长为1，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，所以111BD DA A B ===，所以三棱锥1A A BD -为正四面体，过点A 作AH ⊥平面1BDA ，因为1A H ⊂平面1BDA ，所以AH ⊥1A H ，如图，所以1223323A H ==⨯=，所以3AH ===，所以||AP的最小值为3AH =.故选：B .7.实数,x y 满足2222x y x y +=-，则|3|x y -+的最小值为（）A.3B.7C. D.3+【答案】A 【解析】【分析】化简2222x y x y +=-可得()()22112x y -++=，|3|x y -+表示为圆上点到直线30x y -+=【详解】化简2222x y x y +=-可得()()22112x y -++=，即(),x y 在圆上，则|3|x y -+表示为圆上点到直线30x y -+=倍，圆心()1,1-到直线距离为d =则|3|x y -+的最小值为3-=.故选：A8.在棱长为2的正四面体O ABC -中，棱,OA BC 上分别存在点,M N （包含端点），直线MN 与平面ABC ，平面OBC 所成角为θ和ϕ，则sin sin θϕ+的取值范围是（）A.2,33⎡⎢⎣⎦B.2,33⎡⎢⎣⎦C.,33⎣⎦D.,33⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量得到3sin sin θϕ+=最后根据,a b 范围求sin sin θϕ+的取值范围即可.【详解】如图，取ABC 的中心1O ，连接1OO ，取BC 中点F ，连接1O F ，过点1O 作1O E BC ∥交AB 于点E ，以1O 为原点，分别以111,,O E O F O O 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，因为O ABC -为正四面体，所以13O A =，13O F =，13O O =，()10,0,0O，1,,03B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,3O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，10,0,3O O ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,,33OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,,33OC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设230,3M a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,,03N b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，230,3a ⎡∈⎢⎣⎦，[]1,1b ∈-，则(),MN b a =，由题意得1O O uuu r可以作为平面ABC 的一个法向量，则113sin a MN O O MN O Oθ⋅==，设平面OBC 的法向量为(),,m x y z =，033033m OB x y z m OC x y z ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，则0x =，令y =4z =，所以4m ⎛= ⎝⎭ ，33332sin a m MNm MNϕ--⋅==33sin sin θϕ-+=因为0,3a ⎡∈⎢⎣⎦，[]1,1b ∈-，所以[]2332,3a -+∈，[]20,1b ∈，⎤⎦，3sin sin ,33θϕ+=⎥⎣⎦.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用相似设出点M 的坐标，然后利用空间向量的方法求出线面角，最后求范围即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．9.已知椭圆222:14x y C a +=的焦点分别为12,FF ，焦距为P 为椭圆C 上一点，则下列选项中正确的是（）A.椭圆C 的离心率为53B.12F PF △的周长为3C.12F PF ∠不可能是直角D.当1260F PF ∠=︒时，12F PF △的面积为3【答案】AD【解析】【分析】先确定椭圆的方程，再根据方程分析椭圆的性质.【详解】由题意，焦距为2c =⇒c =，又2<，所以椭圆焦点必在x 轴上，由245a -=3a ⇒=.所以椭圆的离心率3c e a ==，故A 正确；根据椭圆的定义，12F PF △的周长为226a c +=+，故B 错误；如图：取()0,2M 为椭圆的上顶点，则()()123,23,250MF MF ⋅=-⋅--=-<,所以12F MF ∠为钝角，所以椭圆上存在点P ，使得12F PF ∠为直角，故C 错误；如图：当1260F PF ∠=︒时，设11PF t =，22PF t =，则1222121262cos6020t t t t t t +=⎧⎨+-︒=⎩⇒12221212620t t t t t t +=⎧⎨+-=⎩⇒12163t t =，所以12121116343sin 6022323F PF S t t =︒=⨯⨯=，故D 正确.故选：AD10.已知圆221:(1)(2)9C x y a -+-=，圆2222:82120,C x y x ay a a +-+++=∈R ．则下列选项正确的是（）A.直线12C C 恒过定点(3,0)B.当圆1C 和圆2C 外切时，若,P Q 分别是圆12,C C 上的动点，则max ||10PQ =C.若圆1C 和圆2C 共有2条公切线，则43a <D.当13a =时，圆1C 与圆2C 相交弦的弦长为2【答案】ABD 【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线12C C 的方程，即可判断A ；根据圆1C 和圆2C 外切求出a 的值，数形结合，可判断B ；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C ；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D.【详解】对于A ，由圆221:(1)(2)9C x y a -+-=，圆2222:82120,C x y x ay a a +-+++=∈R ，可知()()121,2,4,C a C a -，故直线12C C 的方程为(4)y a a x +=--，即()3y a x =--，即得直线12C C 恒过定点(3,0)，A 正确；对于B ，2222:82120,C x y x ay a a +-+++=∈R 即()()222:44,C x y a a -++=∈R ，当圆1C 和圆2C 32=+，解得43a =±，当43a =时，如图示，当12,,,P C C Q 共线时,max 12||32510PQ C C =++==；同理求得当43a =-时，max ||10PQ =，B 正确；对于C ，若圆1C 和圆2C 共有2条公切线，则两圆相交，则123232C C -<<+，即15<<，解得4433a -<<，C 错误对于D ，当13a =时，两圆相交，2212:(1)(93C x y -+-=，()2221:443C x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，将两方程相减可得公共弦方程596203x y --=，则121,3C ⎛⎫⎪⎝⎭到596203x y --=4=，则圆1C 与圆2C相交弦的弦长为2=，D 正确，故选：ABD11.埃舍尔是荷兰著名的版画家，《哈利波特》《盗梦空间》《迷宫》等影片的灵感都来源于埃舍尔的作品．通过著名的《瀑布》（图1）作品，可以感受到形状渐变、几何体组合和光学幻觉方面的魅力．画面中的两座高塔上方各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2），其可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造．如图4，,,,(1,2,3)n n n n A B C D n =分别为埃舍尔多面体的顶点，,(1,2,3)n n P Q n =分别为正方形边上的中点，埃舍尔多面体的可视部分是由12个四棱锥构成．为了便于理解，图5中构造了其中两个四棱锥11122A PE P E -与22131,,(1,2)n n A P E P F E F n -=分别为线段的中点．左塔上方是著名的“三立方体合体”（图3），取棱长为2的正方体ABCD A B C D -''''的中心O ，以O 为原点，,,x y z 轴均平行于正方体棱，建立如图6所示的空间直角坐标系，将正方体分别绕,,x y z 轴旋转45︒，将旋转后的三个正方体,1,2,3n n n n n n n n A B C D A B C D n ''''-=（图7，8，9）结合在一起便可得到“三立方体合体”（图10），下列有关“埃舍尔多面体”和“三立方体合体”的说法中，正确的是（）A.在图5中，1322A P E P ⊥B.在图5中，直线12Q A 与平面122A E P 所成角的正弦值为63C.在图10中，设点nA '的坐标为(),,,1,2,3n n n x y z n =，则()122239n n n n x y z =∑++=D.在图10中，若E 为线段22B C 上的动点（包含端点），则异面直线2D E 与23A A 所成角余弦值的最大值为22【答案】BCD 【解析】【分析】利用建立空间直角坐标系，结合空间向量法可以解决各个问题.【详解】对A ，在图5中，如图建系，设1231OP OP OP ===，则()10,1,1A ，()31,0,0P ，()20,1,0P ，2111,,222E ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以()13221111,1,1,,,222A P E P ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，则()132********1,1,1,,02222222A P E P ⎛⎫⋅=--⋅-=-+=≠ ⎪⎝⎭ ，13A P 与22E P 不垂直，故A 错误；对B ，由图知：()10,0,1Q -，()21,1,0A ，()10,1,1A ，1111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，()20,1,0P 则()121,1,1Q A = ，()120,0,1A P =-，22111,,222E P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，设平面122A E P 的法向量为(),,n x y z =，则122200n A P n E P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得01110222z x y z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令1y =得，01z x ==，，即()01,1n =，，又由121212cos ,3Q A nQ A n Q A n⋅==，所以直线12Q A 与平面122A E P所成角的正弦值为3，故B 正确；对C ，在平面直角坐标系中，正方形绕中心旋转45︒，1A 坐标由()11，变为()，所以结合图形可知：点1A '的坐标为(1,0,2,点2A '的坐标为(0,1,2,-点3A '的坐标为)2,0,1,-则()()()()322211212129n n n n xy z =++=+++++=∑，故C 正确；对D ，由图知：)22,1,0A -，)22,1,0B ，(22C ,(20,2D -,)32,0,1A ,则()2301,1A A =，，由E 为线段22B C 上的动点（包含端点），则可设222C E C B λ=，[]0,1λ∈，所以())222222220,2,02,0,22,2,2D E D C C E D C C B λλλλ=+=+=+-=-，则22322322223222cos ,44221D E A A D E A A D E A A λλλλ⋅--==⋅+⋅+2t λ=，22t ∈，则()223222cos ,322121221212333t D E A A tt tt ==⎛⎫-+-+-+⎪⎝⎭，由1221,2t ⎤∈⎥⎣⎦，得2212221,32318t ⎛⎛-≥-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭即22322cos ,=211121232318333D E A A t=≤⎛⎫⨯+-+⎪⎝⎭ 所以异面直线2D E 与23A A 所成角余弦值的最大值为22，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：就是针对旋转后的点的空间坐标表示，这里先通过借助平面旋转时的坐标变化关系，再来写空间旋转后的点的坐标表示，只有表示出各点坐标，再就是借助空间向量的运算就能求解各选项问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在空间直角坐标系中，点(2,0,0)A 为平面α外一点，点(0,1,1)B 为平面α内一点．若平面α的一个法向量为(1,1,2)-，则点A 到平面α的距离是_______．【答案】62【解析】【分析】根据条件，利用点到面的距离的向量法，即可求出结果.【详解】由题知(2,1,1)AB =-，又平面α的一个法向量为(1,1,2)n =-，所以点A 到平面α的距离为62AB n d n ⋅==，故答案为：2.13.已知点P 是直线80-+=x y 上的一个动点，过点P 作圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，与圆切于点,M N ，则cos MPN ∠的最小值是_______．【答案】34##0.75【解析】【分析】结合切线的性质与二倍角公式可将求cos MPN ∠的最小值转化为求sin MPC ∠的最大值，结合三角函数定义与点到直线距离公式计算即可得.【详解】由题意可得PM CM ⊥、PN CN ⊥，MPC NPC ∠=∠，设MPC α∠=，则2MPN α∠=，则2cos cos 212sin MPN αα∠==-，由()()22:114C x y -+-=可得圆心为()1,1C ，半径为2r =，则2sin MC PCPC α==，又min PC ==，则()max min 2sin 4PC α===，则()22min 23cos 12sin 1244MPN α⎛⎫∠=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：34.14.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别是12(,0),(,0)F c F c -，下顶点为点()0,M b -，直线2MF 交椭圆C 于点N ，设1△MNF 的内切圆与1NF 相切于点E ，若122NE F F ==，则椭圆C 的离心率为_______，1△MNF 的内切圆半径长为_______．【答案】①.12##0.5②.5【解析】【分析】借助切线长定理与椭圆性质可得12F E FF =，从而可结合椭圆定义得到a 的值，即可得其离心率；借助余弦定理的推论可得三角形各边长，结合面积公式运用等面积法即可求取内切圆半径.【详解】设1△MNF 的内切圆与NM 、1MF 相切于点F ，G ，由切线长定理可得11F E FG =，MF MG =，NE NF =，又12MF MF a ==，则12FG FF =，故12F E FF =，由椭圆定义可知122NF NF a +=，即122222NE EF NF NE FF NF NE a ++=++==,故2a NE ==，又1222F F c ==，则12c e a ==；则2π6OMF ∠=，故12π3F MF ∠=，设1EF m =，则2422NF m m =--=-，即12NF m =+，4NM m =-，则有()()()22222111442πcos 32224m m MF MN NF MF MN m +--++-==⨯⋅⨯⨯-，计算可得45m =，则()11π24sin 235MNF S m =⨯⨯-= ，又184MNF C a == ，则11412MNF MNF S r C r =⋅= ，即有45r =，即5r =.故答案为：12；5.【点睛】关键点点睛：本题关键点一个是借助切线长定理与椭圆性质得到12F E FF =，从而可结合椭圆定义得到a 的值，第二个是借助等面积法求取内切圆半径.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤．15.已知直线l 经过点(4,4)A ，且点(5,0)B 到直线l 的距离为1．（1）求直线l 的方程；（2）O 为坐标原点，点C 的坐标为(6,3)-，若点P 为直线OA 上的动点，求||||PB PC +的最小值，并求出此时点P 的坐标．【答案】（1）4x =或158920x y +-=（2）10，1515,77P ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）考虑直线l 的斜率存在和不存在情况，存在时，设直线方程，根据点到直线的距离求出斜率，即得答案.（2）确定(6,3)-关于直线OA 的对称点，数形结合，利用几何意义即可求得答案.【小问1详解】由题意知直线l 经过点(4,4)A ，当直线斜率不存在时，方程为4x =，此时点(5,0)B 到直线l 的距离为1，符合题意；当直线l 斜率存在时，设方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k --+=，则由点(5,0)B 到直线l 的距离为11=，解得158k =-，即得15604088x y --++=，即158920x y +-=，故直线l 的方程为4x =或158920x y +-=；【小问2详解】由点(4,4)A ，可得直线OA 的方程为y x =，故点(5,0)B 关于y x =的对称点为1(0,5)B ，连接1PB ，则1PB PB =，则11||||||||||10PB PC PB PC B C +=+≥==，当且仅当1,,B P C 共线时，等号成立，即||||PBPC +的最小值为10，此时1B C 的方程为53455063y x x +=+=-+-，联立y x =，解得157x y ==，即151577P ,⎛⎫ ⎪⎝⎭.16.如图，正三棱柱111ABC A B C -所有的棱长均为2，点D 在棱11A B 上，且满足11123A D A B =，点E 是棱1BB 的中点．（1）证明：//EC 平面1AC D ；（2）求直线AE 与平面1AC D 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）65【解析】【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行，也可利用空间向量求线面角的大小.【小问1详解】如图：取AB 的中点O ，因为三棱柱是正三棱柱且棱长为2，故以O 为原点，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -，()3,0C ，()13,2C ，1,0,23D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,1E ，所以4,0,23AD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，113,03DC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3,1EC =--.设平面1AC D 的法向量为(),,n x y z =，由1n ADn DC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒()()4,,,0,2031,,3,003x y z x y z ⎧⎛⎫⋅= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩⇒460330x z x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取()6n =-.因为()()16EC n ⋅=--⋅-9360=-++=，又直线EC ⊄平面1AC D ，所以//EC 平面1AC D .【小问2详解】因为()2,0,1AE =，设直线AE 与平面1AC D 所成的角为θ，则sin θcos ,n AE n AE n AE ⋅===⋅5=.17.已知圆C 的圆心在x轴上，且过(-．（1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)P -的直线与圆C 交于,E F 两点（点E 位于x 轴上方），在x 轴上是否存在点A ，使得当直线变化时，均有PAE PAF ∠=∠？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=（2）存在，且()4,0A -【解析】【分析】（1）设出圆的方程，借助代入所过点的坐标计算即可得；（2）圆问题可转化为在x 轴上是否存在点A ，使0AE AF k k +=，设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与斜率公式计算即可得.【小问1详解】设圆C 为()222x a y r -+=，则有()()2222212a r a r ⎧--+=⎪⎨⎪-=⎩，解得24a r =⎧⎨=⎩，故圆C 的方程为224x y +=；【小问2详解】由题意可得，直线EF 斜率不为0，故可设:1EF l x my =-，()11,E x y ，()22,F x y ，联立2214x my x y =-⎧⎨+=⎩，有()221230m y my +--=，2224121216120m m m ∆=++=+>，12221my y m +=+，12231y y m -=+，设(),0A t ，1t ≠-，由PAE PAF ∠=∠，则有0AE AF k k +=，即()()()()12211212120y x t y x t y yx t x t x t x t -+-+==----，即()1221120y x y x t y y +-+=，()()()()12211212211211y x y x t y y y my y my t y y +-+=-+--+()()()()1212222216216210111m t m m t m my y t y y m m m +--+-=-++=-==+++，即()()621240m m t m t ++=+=，则当4t =-时，0AE AF k k +=恒成立，故存在定点()4,0A -，使得当直线变化时，均有PAE PAF ∠=∠.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，1π4B BC ∠=，平面11ABB A ⊥平面11CBB C ．（1）求证：1AC BB ⊥；（2）若12BB ==，点E 是线段AB 的中点，（i ）求平面1ECC 与平面1ACC 夹角的余弦值；（ii ）在平面11ABB A 中是否存在点P ，使得14PB PB +=且1PC PC =P 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）（i ）10；（ii ）存在，(2,0,0)P -【解析】【分析】（1）用线面垂直的判定定理证明BB 1⊥平面AOC ，后转移到线线垂直即可．（2）（i ）空间向量解题，先求出平面1ECC 与平面1ACC 的法向量，后按照夹角公式求解即可．（ii ）设假设存在(,0,)P x z ,若1PC PC =22560x z x +++=（∗）.1142PB PB BB +=>=,则根据椭圆定义知道P 的轨迹为椭圆，求出轨迹方程为：22143x z +=，整理得22334z x =-,联立（∗），解出即可【小问1详解】如图，过A 作1BB 的垂线AO ，交1BB 于O ，连接OC ，则,AO OB AO OC ⊥⊥．ABC 为等边三角形，则AB AC =，又AO AO =，则Rt Rt AOB AOC ≅ ，则BO CO =，则π4OCB ∠=，则π2COB ∠=，即11,,B B CO B B AO CO AO O ⊥⊥= ，,CO AO ⊂平面AOC ，则1BB ⊥平面AOC ，AC ⊂平面AOC ，则1AC BB ⊥．【小问2详解】（i ）由(1)可知OB ,OA ,OC 两两垂直，则可以O 为原点，建立如图所示空间坐标系O -xyz .122BB ==,点E 是线段AB 的中点，则2AB BC CA ===1OA OB OC ===．1111(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(2,1,0),(,0,22A B C B C E --，111(2,0,0),(0,1,1),(,1,)22CC CA CE =-=-=- .设平面1ECC 法向量(,,)m x y z = ，则100m CE m CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1102220x y z x ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩解得012x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故(0,1,2)m = ；同理平面1ACC 法向量(0,1,1)n = .则cos ,2510m n m n m n ⋅==⋅ ，设平面1ECC 与平面1ACC 夹角θ,则310cos 10θ=．（ii ）平面11ABB A 中,假设存在(,0,)P x z ,若15PCPC =222215(2)1x z x z ++=--++，整理得，22560x z x +++=（∗）.1142PB PB BB +=>=,则根据椭圆定义知道P 在以1BB 为焦距的椭圆上，且1142,22PB PB a c BB +====，解得2,1,3a c b ===则P 的轨迹方程为：22143x z +=，整理得22334z x =-,与（∗）联立方程组.2222560334x z x z x ⎧+++=⎪⎨=-⎪⎩，解得120x z =-⎧⎨=⎩，22180)x z =-<（，舍去．故在平面11ABB A 中存在点P ，使得14PB PB +=且1PCPC =P 坐标为(2,0,0)-．19.在空间直角坐标系O xyz -中，己知向量(,,)u a b c = ，点()0000,,P x y z ．若直线l 以u 为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为000(0)x x y y z z abc a b c---==≠；若平面α以u 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=．（1）若平面1:210x y α+-=，平面1:210y z β-+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的单位方向向量（写出一个即可）；（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为22αβγ、、，其中平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)-，(1,5,2)-，平面2:4y z β+=，平面:(1)(2)30mx m y m z γ+++++=，求实数m 的值；（3）若集合{}(,,)|4,4,4M x y z x y y z z x =+≤+≤+≤，记集合M 中所有点构成的几何体为S ，求几何体S 的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．【答案】（1）212,,333⎛⎫--⎪⎝⎭（2）1m =-（3）体积为128，相邻两个面（有公共棱）所成二面角为2π3【解析】【分析】（1）记平面1α，1β的法向量为11(1,2,0),(0,2,1)αβ==-，设直线l 的方向向量(,,)l x y z = ，由直线l 为平面1α和平面1β的交线，则1l α⊥，1l β⊥ ，列出方程即可求解；（2）设2:α10ax by cz +++=，由平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)-，(1,5,2)-，列出方程中求得2:4x y α+=，记平面22αβγ、、的法向量为22(1,1,0),(0,1,1),(,1,2)m m m αβγ===++ ，求出2α与2β交线方向向量为()1,1,1p =- ，根据p γ⊥ ，即可求得m 的值；（3）由题可知，S 由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，即可计算出体积，设几何体S 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为()0,πθ∈，由题得出平面EBC 和平面ECD 的法向量，根据两平面夹角的向量公式计算即可．【小问1详解】记平面1α，1β的法向量为11(1,2,0),(0,2,1)αβ==-，设直线l 的方向向量(,,)l x y z = ，因为直线l 为平面1α和平面1β的交线，所以1l α⊥，1l β⊥ ，即112020l x y l y z αβ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取2x =，则(2,1,2)l =-- ，所以直线l 的单位方向向量为212,,333⎛⎫--⎪⎝⎭．【小问2详解】设2:α10ax by cz +++=，由平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)-，(1,5,2)-，所以4103105210a a b c a b c +=⎧⎪+-+=⎨⎪-+++=⎩，解得14140a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，即2:4x y α+=，所以记平面22αβγ、、的法向量为22(1,1,0),(0,1,1),(,1,2)m m m αβγ===++ ，与（1）同理，2α与2β确定的交线方向向量为()1,1,1p =-，所以p γ⊥ ，即()1210p m m m m γ⋅=-+++=+= ，解得1m =-．【小问3详解】由集合{}(,,)|4,4,4M x y z x y y z z x =+≤+≤+≤知，S 由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，如图所示，13224433V =⨯⨯⨯=正四棱锥，3244461283S V =⨯⨯+⨯=，设几何体S 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为()0,πθ∈，平面:40EBC x z +-=，设平面EBC 法向量1(1,0,1)n = ，平面:40ECD y z +-=，设平面ECD 法向量2(0,1,1)n = ，所以121cos cos ,2n n θ== ，所以几何体S相邻两个面（有公共棱）所成二面角为2π3．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是作出空间图形，求出相关法向量，利用二面角的空间向量求法即可.。
2023-2024学年浙江省杭州高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年浙江省杭州高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}23M x x =-≤≤，{}ln 1N x x =≥，则M N ⋂=（）A ．[]2,0-B ．[)2,e -C ．[]2,e -D ．[]e,3【正确答案】D【分析】由对数函数单调性解不等式，化简N ，根据交集运算求解即可.【详解】因为{}ln 1{|e}N x x x x =≥=≥，{}23M x x =-≤≤,所以[e,3]M N ⋂=，故选：D 2．已知02πα<<，02βπ<<，则“αβ=”是“sin 2sin 2αβ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可.【详解】依题意02πα<<，02βπ<<，若αβ=，则22αβ=，故sin 2sin 2αβ=，即“αβ=”可推出“sin 2sin 2αβ=”；若sin 2sin 2αβ=，结合02απ<<，02βπ<<，则有22αβ=，或者22αβπ+=，故αβ=或2παβ+=，即“sin 2sin 2αβ=”推不出“αβ=”.故“αβ=”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件.故选：A.3．ABC 中，角,A B的对边分别为,a b ，且3A π=，a 4b =，那么满足条件的三角形的个数有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【正确答案】C【分析】利用余弦定理求出c 的值即可求解.【详解】因为在ABC 中，3A π=，a =，4b =，由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，所以214164c c =+-，也即2420c c -+=，解得：2c =2个，故选.C4．已知曲线12π:sin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，2:sin C y x =，则下面结论正确的是（）A ．把2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线1C B ．把2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π3个单位长度，得到曲线1C C ．把2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线1C D ．把2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π3个单位长度，得到曲线1C 【正确答案】C【分析】根据函数图像的伸缩变换与平移变换的法则，即可得解．【详解】已知曲线2:sin C y x =，把曲线2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线sin 2y x =，再把曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度，得到曲线π2πsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即曲线1C .故选：C.5．用二分法判断方程32330x x +-=在区间()0,1内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：30.750.421875=，30.6250.24414=）（）A ．0.825B ．0.635C ．0.375D ．0.25【正确答案】B【分析】设3()233f x x x =+-，由题意可得()f x 是R 上的连续函数，由此根据函数零点的判定定理求得函数()f x 的零点所在的区间．【详解】设3()233f x x x =+-，(0)30f ∴=-<，(1)23320=+-=>f ，3(0.5)20.530.530f =⨯+⨯-< ，()f x ∴在(0,0.5)内有零点，3(0.75)20.7530.7530f =⨯+⨯-> ()f x ∴在(0.5,0.75)内有零点，∴方程32330x x +-=根可以是0.635.故选：B ．6．已知函数()()()[)22,,0ln ,0,1,1,x x f x x x x x ∞∞-⎧∈-⎪=∈⎨⎪-∈+⎩，若函数()()g x f x m =-恰有两个零点，则实数m 不可．．能．是（）A ．1-B ．-10C ．1D ．-2【正确答案】C【分析】依题意画出函数图像，函数()()g x f x m =-的零点，转化为函数()y f x =与函数y m =的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；【详解】因为()()()[)22,,0ln ,0,1,1,x x f x x x x x ∞∞-⎧∈-⎪=∈⎨⎪-∈+⎩，画出函数()f x的图像如下所示，函数()()g x f x m =-的有两个零点，即方程()()0g x f x m =-=有两个实数根，即()f x m =有两个实数根，即函数()y f x =与函数y m =有两个交点，由函数图像可得1m ≤-，所以m 不能为1，故选：C.7．已知sin cos sin cos m αααα+==，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．1D ．不存在【正确答案】B【分析】由()2sin cos 12sin cos αααα+=+，代入已知条件解方程即可.【详解】()222sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos αααααααα+=++=+，由sin cos sin cos m αααα+==，则212m m =+，解得1m =由三角函数的值域可知，sin cos 1αα+=1m =故选：B8．已知22log 2023log 2022a =-，11cos 2023b =-，12022c =，则（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a>>D ．a c b>>【正确答案】D【分析】比较a c 、，等价成比较()()2log ,1f x x g x x ==-，在20232022x =时的大小，结合函数的单调性，由数形结合即可判断；比较b c 、，构造单位圆A 如图所示，12023BAC Ð=，BD AC ⊥于D ，则比较b c 、转化于比较CD 、 BC的长度即可.【详解】2222033log 2023log 2022log 2022a =-=，203312022c =-，设()()2log ,1f x x g x x ==-，函数图象如图所示，()()f x g x 、均单调递增，且()()()()11,22f g f g ==，结合图象得在()1,2x ∈，()()f x g x >，即()2log 10x x -->，故220332033log 10020222022a c ⎛⎫-->⇒-> ⎪⎝⎭，故a c >；如图，单位圆A 中，BAC θ∠=，BD AC ⊥于D ，则 BC的长度l θ=，sin BD θ=，1cos CD θ=-，则由图易得，l BC BD >>，当π2θ<，则ππ24θC -=>，故tan 1BD C BD CD CD =>Þ>，故当1π20232θ=<时，有11sin 1cos 1cos 20232023BC BD CD θθθ>>Þ>>-Þ>-，∴1111cos 202220232023c b >>-Þ>.综上，a c b >>.故选：D.（1）比较对数式大小，一般可构造函数，根据函数的单调性来比较大小；（2）比较非特殊角三角函数大小，可结合单位圆转化为比较长度，则可由数形结合解答.二、多选题9．在直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(),2P x -，且tan 2α=，则（）A ．1x =-B．sin 5α=-C．cos 5α=D ．tan02α<【正确答案】ABD【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解.【详解】则题意可得2tan 2xα-==，则1x =-，A 选项正确；sin α=-B选项正确；cos α==，C 选项错误；由()1,2P --，角α的终边在第三象限，即()3π2ππ,2πZ 2k k k α⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，则()π3ππ,πZ 224k k k α⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，即角2α的终边在二、四象限，所以tan02α<，D 选项正确.故选：ABD.10．下列说法正确的是（）A ．若()2x k k ππ≠+∈Z ，则1cos 2cos x x+≥B ．若x y ≠，则22x y xy +>恒成立C ．若正数a ，b 满足8a b ab +=-，则ab 有最小值D ．若实数x ，y 满足2sin 1x y +=，则sin x y -没有最大值【正确答案】BC【分析】对A 举反例πx=即可判断，对B 利用配方法即可判断，对C 利用基本不等式得8a b ab +=-≥ab 范围即可，对D ，利用正弦函数的有界性求出x 的范围，再结合二次函数的最值即可判断.【详解】对A ，若πx =，则cos 1x =-，则1cos 22cos x x+=-<，故A 错误；对B ，22223024y x y xy x y ⎛⎫+-=-+≥ ⎪⎝⎭，取等号的条件为2202304y x y ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，但x y ≠，故220x y xy +->恒成立，即22x y xy +>恒成立，故B 正确；对C ，若,0a b >，则8a b ab +=-≥4≥2≤-（舍去）所以16ab ≥，当且仅当4a b ==时等号成立，则()min 16ab =，故C 正确；对D ，2sin 1x y += ，则21sin 1y x =-≤，又1sin 1y -≤≤ ，2111x ∴-≤-≤，解得x ≤，()22215sin 1124x y x xx x x ⎛⎫-=--=+-=+- ⎪⎝⎭，当x =时，()2max 15sin 124x y ⎫-=+-+⎪⎭，故D 错误.故选：BC.11．设函数3()f x x bx c =-+，[,]x a a ∈-，c ∈Z ，若()f x 的最大值为M ，最小值为m ，那么M 和m 的值可能分别为（）A ．3与1B ．4与3-C ．8与2D ．6与1【正确答案】AC【分析】()f x 可以表示为一个奇函数和常数之和，利用奇函数在对称区间上的最大值加最小值为0进行分析即可.【详解】记3()h x x bx =-，[,]x a a ∈-，定义域关于原点对称，由33()()()()h x x bx x bx h x -=-+=--=-，于是()h x 为奇函数，设()h x 在[,]x a a ∈-上的最大值和最小值分别为,p q ，根据奇函数性质，0p q +=，而()()f x h x c =+，故,M p c m q c =+=+，于是2M m c +=，注意到c ∈Z ，经检验，AC 选项符合故选：AC12．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，且()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则下列结论正确的有（）A ．()f x 的最小正周期是π3B ．若2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．若()π3f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则满足条件的ω有且仅有1个D ．若π6ϕ=-，则ω的取值范围是22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】BCD【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围，判断A ，根据中心对称即可求值，知B 正确，由周期的范围求出ω的范围，利用函数平移求出周期，判断C ，结合已知单调区间得出ω范围后判断D.【详解】对于A ，因为函数()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以5π2ππ2636T ≥-=，所以()f x 的最小正周期π3T ≥，即()f x 的最小正周期的最小值为π3，故A 错误；对于B ，因为2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，若()π3f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则π3为函数()f x 的周期或周期的倍数，所以2ππ3k ω⨯=，所以6k ω=，因为π3T ≥，所以2π6Tω=≤，又0ω>，所以06ω<≤，所以6ω=，即满足条件的ω有且仅有1个，故C 正确；对于D ，由题意可知2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭为()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增区间的子集，所以2πππ2π3625ππ3π2π662k k ωω⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，其中Z k ∈，解得123125k k ω+≤≤+，k ∈Z ，当0k =时，12ω≤≤，当0k =时，2245ω≤≤，故ω的取值范围是22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：BCD三、填空题13．设函数()()2log 12,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨≥⎩，则()()2f f -=______.【正确答案】12【分析】根据分段函数解析式，利用指数式和对数式的运算规则代入求值即可.【详解】函数()()2log 12,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨≥⎩，则()222lo 3g f -=+，2322log +>，()()()223log 2o 22l 3g 2log 222341232f f f +-===⨯==+⨯.故12.14．一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为原来的距离为_______海里.【正确答案】4【分析】先结合条件找出已知角及线段长，然后结合余弦定理即可直接求解．【详解】设轮船的初始位置为A ，20分钟后轮船位置为B ，灯塔位置为C，如图所示由题意得，120BAC ∠= ，11863AB =⨯=，BC =由余弦定理得222cos1202AB AC BC AB AC︒+-=⋅，即213676212AC AC +--=，解得4AC =．则灯塔与轮船原来的距离为4海里故4．15．已知函数()log ,021,2a x x f x x x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩.若函数()f x 存在最大值，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】(]1,4【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合()f x 存在最大值即可求解【详解】当01a <<时，函数不存在最大值，故1a >，当02x <≤时，()log a f x x =在区间(]0,2上单调递增，所以此时()(],log 2a f x ∞∈-；当2x >时，()1f x x =在区间()2,+∞上单调递减，所以此时()10,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若函数()f x 存在最大值，则1log 22a ≥，解得4a ≤，又1a >，所以a 的取值范围为(]1,4故(]1,416．已知π,0,2x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，则222(1)x y --的最大值为________.【正确答案】2π2π22-+【分析】由tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，通过研究函数tan sin y x x =+单调性可得02πx y <+≤，后设x y m +=，则222(1)x y --()22422y m y m =-+-+-，其中02π,y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π02m <≤.【详解】因tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，则1122sin ππtan sin cos tan sin tan tan x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫++≤=+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因函数tan ,sin y x y x ==均在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则函数tan sin y x x =+在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故有.02πx y <+≤设x y m +=，其中π02m <≤，则()()22222(1)21x y m y y --=---()()()()2222242222121y m y m y m m m ⎡⎤=-+-+-=---+-≤-⎣⎦，当且仅当2y m =-时取等号，则此时022πm <-<，得222ππm -<≤又函数()()221f m m =-在212π,m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时单调递减，在12π,m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时单调递增，222ππf f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22212222πππf m m f ⎛⎫=-≤=-+ ⎪⎝⎭，此时222π，π-y x =-=.故2π2π22-+关键点点睛：本题涉及构造函数，含参二次函数的最值，难度较大.对于所给不等式，分离含x ，y 式子后，通过构造函数得到02πx y <+≤.后将问题化为求含参二次函数的最值问题.四、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+.(1)求角A 的大小；(2)若a =ABCABC 的周长.【正确答案】(1)π3(2)+【分析】（1）由()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+，根据正弦定理化简得22()3b c a bc +=+，利用余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）由ABC 4bc =，结合余弦定理，求得b c +=.【详解】（1）由题意及正弦定理知22()3b c a bc +=+，222a b c bc ∴=+-，2221cos 22b c a A bc +-∴==，0πA << ，π3A ∴=.（2）a = ，226b c bc ∴+-=①又1=sin 2S bc A = ，4bc ∴=②由①，②可得b c +=所以ABC 的周长为+.18．已知π02α<<，π02β-<<，tan 7α=，sin 5β=-.(1)求()cos αβ-的值；(2)求tan(2)αβ-的值，并确定2αβ-的大小.【正确答案】(1)10(2)1-，3π4【分析】（1）由tan α解得sin ,cos αα，由sin β求出cos β，利用两角差的余弦公式求解()cos αβ-的值；（2）由sin β，cos β求出tan β，再求tan 2β，利用两角差的正切公式计算tan(2)αβ-的值，并得到2αβ-的大小.【详解】（1）π02α<< ，由22sin tan 7cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，sin 10α∴=，cos 10α=，又π02β-<<，sin 5β=，cos β∴，cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+（2）由（1）可知，1tan 2β=-，22tan 4tan 231tan βββ∴==--，tan tan 2tan(2)11tan tan 2αβαβαβ-∴-==-+，3π022αβ<-< ，3π24αβ∴-=.19．已知函数2()2sin cos 26f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)当02x π≤≤时，求()f x 的值域.【正确答案】(1)π，单调递增区间为()2,36k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z (2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由三角恒等变换化简解析式，由余弦函数的性质求解；（2）由余弦函数的性质得出()f x 的值域.【详解】（1）()11cos 2cos 21cos 2sin 2cos 2cos 213223f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=--+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，T π∴=，由2223k x k ππππ-≤+≤可得236k x k ππππ-≤≤-，k ∈Z ，即()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为()2,36k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）02x π≤≤ ，42333x πππ∴≤+≤，1cos(2)1,32x π⎡⎤+∈-⎢⎣⎦故()f x 的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20．为了迎接亚运会，滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB 的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路AB 长为4km ，四边形的另外两个顶点C ，D 设计在以AB 为直径的半圆O 上.记02COB παα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭.(1)为了观赏效果，需要保证3COD π∠=，若薰衣草的种植面积不能少于(3+km 2，则α应设计在什么范围内?(2)若BC =AD ，求当α为何值时，四边形ABCD 的周长最大，并求出此最大值.【正确答案】(1)62ππα≤<(2)3πα=，10km【分析】（1）由ABCD OBC OCD OAD S S S S =++ ，利用三角形面积公式得到πsin 62α⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭求解；（2）由BC =AD 得到,π2AOD COB COD αα∠=∠=∠=-，进而得到AB BC CD DA +++=28sin 8sin 822αα-++，利用二次函数的性质求解.【详解】（1）解：11π1222sin 22sin 22sin π22323ABCD OBC OCD OAD S S S S αα⎛⎫=++=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭，π2sin sin 26αααα⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，由题意，π36α⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，sin()6πα+因为02πα<<，所以ππ2π363α≤+<，解得ππ62α≤<；（2）由BC =AD 可知，,π2AOD COB COD αα∠=∠=∠=-，故π2422sin 22sin 22sin 48sin 4cos 2222AB BC CD DA ααααα-+++=+⋅+⋅+⋅=++，222148sin 412sin 8sin 8sin 88sin 10222222ααααα⎛⎫⎛⎫=++-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而四边形ABCD 周长最大值是10km ，当且仅当1sin22α=，即π3α=时取到.21．已知函数11()1x x f x axa -=-++，其中a 为常数，且1a >.(1)若()f x 是奇函数，求a 的值；(2)证明：()f x 在(0,)+∞上有唯一的零点；(3)设()f x 在(0,)+∞上的零点为0x ，证明.011log 2a x a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭【正确答案】(1)2a =(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）()f x 是奇函数，由()()f x f x -=-恒成立，求a 的值；（2）()f x 在(0,)+∞上是连续增函数，结合由零点存在定理可证；（3）把零点代入函数解析式，有00001+1=(1)11x ax a a x x =+--，由零点所在区间得011(1)221x a a a +>+=-，化简变形可得结论.【详解】（1）由题意，0x ∀≠，()()f x f x -=-恒成立，即1111()11x x x x ax axa a -----+=--+-++，化简得21a=，解得2a =.（2）由题意，111()1x f x ax a a =--++，∵1a >，∴11x a -+和1ax-在(0,)+∞上都是连续增函数，∴()f x 在(0,)+∞上是连续增函数，又1(1)01f a =-<+，22211(1)(2)0212(1)a f a a a a -=-+=++，所以，由零点存在定理可知()f x 在(0,)+∞上有唯一的零点.（3）由0()0f x =可知0001101x x ax a --+=+，即00001+1=(1)11x ax a a x x =+--，由（2）可知012x <<，∴011(1)221x a a a +>+=-，021x a a ∴>-，即0log (21)a x a >-，所以011log (2)a x a->-.思路点睛：第3问的证明，可以从结论出发，经过变形，对数式换指数式，寻找与已知条件的关联.22．已知函数()f x 满足：对x ∀∈R ，都有1(3)()2f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()f x x x m =--+.函数3()log (54)x x g x =-.(1)求实数m 的值；(2)已知22()3h x x x λλ=-+-+，其中[0,1]x ∈.是否存在实数λ，使得()()()()g h x f h x >恒成立?若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)8(2)存在，01λ<<【分析】（1）根据题意代入0x =，运算求解即可；（2）先根据对数函数的定义求得1λ-<<，进而可得当1λ-<<时，则可得0()3h x <≤对任意[]0,1x ∈时恒成立，结合恒成立问题结合函数单调性分析可得()0h x >恒成立，列式运算求解.【详解】（1）由题意可得：1(3)(0)2f f =-，则21332m m --+=-，解得m =8.（2）令540x x ->，可得5(14x >，即0x >，∴()g x 定义域为(0,)+∞，∵5544()14x x x x ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，则对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，可得112255()1()14044,04x x x x <<<-<-，故11225504(14()144x x x x ⎡⎤⎡⎤<-<-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即112205454x x x x <-<-，且3log y x =在(0,)+∞是增函数，则()()112233log 54log 54x x x x -<-，即12()()<g x g x ，∴3()log (54)x x g x =-在(0,)+∞是增函数，若要使(())(())g h x f h x >恒成立，则首先要满足()0h x >恒成立，则22(0)30(1)130h h λλλ⎧=-+>⎨=-+-+>⎩，解得1λ-<，则22233()(333244h x x λλλ=---+≤-+≤，故当1λ-<<时，则0()3h x <≤对任意[]0,1x ∈时恒成立，令()t h x =(03)t <≤，则()()g t f t >恒成立，即()()0g t f t ->恒成立，而()g t 在(0,3]上是增函数，()f t 在(0,3]上是减函数，∴()()g t f t -在(0,3]上是增函数，又32()log (54()8)t t f t t g t t =+-+--，(2)(2)0g f -=，故只需2t >恒成立，则22(0)32(1)132h h λλλ⎧=-+>⎨=-+-+>⎩，解得01λ<<，综上所述：存在01λ<<满足条件.方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．。
浙江高一高中数学月考试卷带答案解析
浙江高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合A={0，1，4}，B={2，4}，则A∪B=（）A．{4}B．{0，1，2，4}C．{0，1，2}D．{0，2，4}2.方程组的解构成的集合是（）A．（1，1）B．C．D．3.下列四组中表同一函数的是（）A．B．C．D．4.设，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5.下列四个函数中，在上是增函数的是（）A．B．C．D．6.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）A．B．C．D．7.函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围（）A．B．C．D．8.已知函数满足，且对任意的，有，设，则的大小关系为（）A．B．C．D．二、填空题1.设集合，集合．若，则___________，．2.设函数f（x）=则f（0）= ，f[f（﹣1）] = ．3.的单调减区间为，值域为．4.已知集合A={﹣1，3，m2}，B={3，4}，若B A，则m= ．5.已知函数的定义域为[-2，2]，且在区间[-2，2]上是增函数，，求实数m的取值范围__________________．6.已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是．三、解答题1.（本题满分8分）已知集合A={x|1≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}．（1）分别求：A∩B，A∪（）；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C B，求实数a的取值范围．2.（1）求函数++的定义域；（要求用区间表示）（2）若函数，求的值和的解析式．3.（本题满分10分）已知函数，（1）画出函数图像；（2）求的值；（3）当时，求的取值范围．4.（本题满分12分）已知函数（实数p、q为常数），且满足．（1）求函数的解析式；（2）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）当时，函数恒成立，求实数m的取值范围浙江高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.已知集合A={0，1，4}，B={2，4}，则A∪B=（）A．{4}B．{0，1，2，4}C．{0，1，2}D．{0，2，4}【答案】B【解析】由并集的定义易得，．故选B．【考点】并集运算．2.方程组的解构成的集合是（）A．（1，1）B．C．D．【答案】C【解析】解得，x=1，y=1．但应注意集合中的元素是有序数对且只有一个元素．故选C．【考点】解方程组、集合的表示．3.下列四组中表同一函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于答案A中的两个函数它们的解析式相同，定义域不同，故不是同一函数；对于答案B中的两个函数它们的解析式本质一样，定义域均为实数集R，故是同一函数．答案C中函数的定义域不同，答案D中函数的解析式不一样．因此选B．【考点】函数的三要素．4.设，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，要使，即集合A、B有公共元素，则有a>1．故选D．【考点】交集运算求参数范围．5.下列四个函数中，在上是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的单调递增区间是，显然在上是增函数，故选A．函数在上单调递减，在单调递增，故答案B错误．函数在上是减函数，故答案C错误．函数在上是减函数，故答案D错误．综上选A．【考点】函数单调性．6.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】汽车启动加速过程，随时间增加路程增加的越来越快，汉使图像是凹形，然后匀速运动，路程是均匀增加即函数图像是直线，最后减速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越来越慢即函数图像是凸形．故选A．【考点】函数图像的特征．7.函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的单调递减区间为：．要使函数在区间上是减函数需有，所以．故选C．【考点】由函数的单调性求参数范围．8.已知函数满足，且对任意的，有，设，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数满足，则函数的图像关于直线对称．又对任意的，有，则函数在单调递增．而，所以．故选D．【考点】抽象函数的对称性、单调性及由单调性比大小．二、填空题1.设集合，集合．若，则___________，．【答案】1，{1，2，5}【解析】因为，所以a+1=2，即a=1，同时b=2．因此，故【考点】交集、并集运算．2.设函数f（x）=则f（0）= ，f[f（﹣1）] = ．【答案】1，4【解析】将x=0，x=-1分别代入x≤1时的解析式得，f（0）=1，f（-1）=2，再将2代入x>1时的解析式得，f[f （﹣1）] =4．【考点】分段函数求函数值．3.的单调减区间为，值域为．【答案】、【解析】二次函数开口向上，定义域为R，对称轴是x=1，所以函数的单调递减区间是．由于其定点纵坐标为3，所以值域为．【考点】二次函数的单调性及值域问题．4.已知集合A={﹣1，3，m2}，B={3，4}，若B A，则m= ．【答案】±2【解析】因为B A，所以m2=4，即m=±2．【考点】由子集关系求参数值．5.已知函数的定义域为[-2，2]，且在区间[-2，2]上是增函数，，求实数m的取值范围__________________．【答案】【解析】由题意得，，解得．【考点】由单调性解抽象函数不等式．6.已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是．【答案】【解析】结合函数图像，可得，解不等式组得，．【考点】数形结合并利用单调性解不等式．三、解答题1.（本题满分8分）已知集合A={x|1≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}．（1）分别求：A∩B，A∪（）；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C B，求实数a的取值范围．【答案】（1）A∩B=（2，6），A∪=（﹣∞，6）∪[9，+∞）；（2）[2，8]．【解析】（1）由交集、并集、补集的定义容易求解；（2）由子集运算可列出关于a的不等式组，解得即可．试题解析：（1）∵A={x|1≤x＜6}=[1，6），B={x|2＜x＜9}=（2，9），全集为R，∴A∩B=（2，6），=（﹣∞，2]∪[9，+∞），则A∪=（﹣∞，6）∪[9，+∞）；（2）因为C={x|a＜x＜a+1}，B={x|2＜x＜9}，且C B，所以解得：2≤a≤8，则实数a的取值范围是[2，8]．【考点】交集、并集、补集、子集运算．2.（1）求函数++的定义域；（要求用区间表示）（2）若函数，求的值和的解析式．【答案】（1）（2），【解析】（1）要使函数有意义，需要使函数解析式中的每个因式都有意义，然后解不等式组即可．（2）换元法求解析式或者凑配法求解析式．试题解析：（1）要是函数有意义需有，解得，．所以函数的定义域为．因为，所以令，得．用配凑法求函数解析式，故，【考点】求函数定义域、求函数解析式．3.（本题满分10分）已知函数，（1）画出函数图像；（2）求的值；（3）当时，求的取值范围．【答案】（1）见解析（2），【解析】（1）一次函数、二次函数的部分图像；（2）求函数值，只需代入解析式计算即可；（3）求不等式的解集，注意分段函数应分段分别求解，最后对各段的解求并集．试题解析：（1）图像（略）．作图时注意定义域中区间的端点函数值及是否包含端点．（2），（3）当时，，解得，．当时，符合题意．当时，，解得综上，时，的取值的范围为．另解：由图像知，当时，故的取值的范围为【考点】作分段函数的图像、求函数值、解不等式．4.（本题满分12分）已知函数（实数p、q为常数），且满足．（1）求函数的解析式；（2）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）当时，函数恒成立，求实数m的取值范围【答案】（1）；（2）在区间（0，] 上单调递减的，证明过程详见解析；（3）【解析】（1）由已知条件得到p、q的两个方程，求出p、q的值即可得到函数解析式；（2）利用单调性的定义即可证明函数在在区间（0，] 上单调递减；（3）恒成立问题常转化为最值问题，所以原题等价于时，函数，从而求出m的值．试题解析：（1）所以（2）由（1）问可得在区间（0，] 上单调递减的．证明：设任意的两个实数所以在区间（0，] 上单调递减的．（3）由（2）知在区间（0，] 上的最小值是要使当时，函数恒成立，则时，函数即可，所以．【考点】待定系数法求解析式、利用单调性的定义证明函数的单调性、恒成立问题求参数范围．。
浙江高一高中数学月考试卷带答案解析
浙江高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，，则=（）A．B．C．D．2.函数的定义域为（）A．B．C．D．3.下列各组函数的图象相同的是（）A．B．C．D．4.函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5.已知函数（）A．B．C．６D．１6.若，则（）A．B．C．D．7.已知二次函数y=2x2－1在区间[a,b]上有最小值－1，是下面关系式一定成立的是（）A．a≤0<b或a<0≤bB．a<0<bC．a<b<0或a<0<bD．0<a<b或a<b<08.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06(0.5·{m}+1)（元）决定，其中m>0，{m}是大于或等于m的最小整数，（如：{3}=3，{3.8}=4，{3.1}=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（）A．3.71元B．3.97元C．4.24元D．4.77元9.给定函数：①，②，③，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④10.如果我们定义一种运算：已知函数，那么函数y=的大致图象是（）二、填空题1.设，集合，则__ .2.设＝，则＝ .3.幂函数在上为减函数，则实数的值是 .4.若是偶函数且在区间上是增函数，又，则的解集为__ .5.设函数f(x)=a x，（a>0且a≠1），对于任意x，y∈R，下列算式中：①f(x+y)=f(x)·f(y);②f(xy)=f(x)+f(y);③f(x-y)= ;④;⑤, 其中不正确的是__ .（填上所有不正确的题号）三、解答题1.（本小题8分）计算:（1）；（2）2.（本小题8分）已知函数的定义域为集合，且，；（1）求：和；（2）若，求实数的取值范围。
浙江省杭州2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案
杭州2023学年第一学期高一年级期末考数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.函数()1ln f x x x =-的零点所在的大致区间是（）A.()1,2 B.()2,e C.()e,3 D.()e,+∞【答案】A 【解析】【分析】由零点存在定理结合函数单调性得到结论.【详解】因为函数ln y x =在()0+∞，上为增函数，函数1y x=在()0+∞，上为减函数，所以函数1()ln f x x x=-在()0+∞，上为增函数，又(1)ln1110f =-=-<，112211(2)ln 2ln 4ln e 02212f =-=->-=，即(2)0f >，所以零点所在的大致区间(1,2).故选：A.2.设函数()()sin f x x θ=+，则“cos 0θ=”是“()f x 为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的性质求出ππ,Z 2k k θ=+∈，即可判断.【详解】解：由cos 0θ=，得ππ,Z 2k k θ=+∈，由()()sin f x x θ=+为偶函数，得ππ,Z 2k k θ=+∈，则“cos 0θ=”是“()()sin f x x θ=+”为偶函数的充分必要条件.故选：C3.下列四个函数中的某个函数在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图象如图所示，则该函数是（）A.322xxx xy --=+ B.cos222xxx xy -=+ C.2122xxx y --=+ D.sin222x xx y -=+【答案】B 【解析】【分析】利用题给函数在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先正值后负值的变化情况排除选项A ；利用题给图象可知函数是奇函数排除选项C ；利用当π2x =时题给函数值为负值排除D ；而选项B 均符合以上要求.【详解】当01x <<时，30x x -<，3022x xx xy --=<+.排除A ；由偶函数定义可得2122x xx y --=+为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C ；当π2x =时，ππ222πn 22si 02y -⎛⎫⎝+ ⎭⨯==⎪.排除D ；cos222x x x x y -=+为奇函数，且当π04x <<时，cos2022x xx x y -=>+，当π2x =时，ππππ2222cos 20π2222ππ222y --⨯==⎛⎫⋅- ⎪⎭<++⎝.B 均符合题给特征.故选：B.4.《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）A.4B.5C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可.【详解】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，1221921225R R R R αα=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得6α=.故选：C 5.已知π3cos(124θ-=，则πsin(2)3θ+=（）A.716-B.18-C.18D.716【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式，结合二倍角的余弦公式计算即得.【详解】当π3cos()124θ-=时，2πππππ1sin(2)sin(2)cos 2()2cos ()136212128θθθθ+=-+=-=--=.故选：C6.已知函数()()cos f x x ωϕ=+π0,2ωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，1x ，2x 是()f x 的两个零点，若214x x =，则下列不为定值的量是（）A.ϕB.ωC.1x ω D.1x ωϕ【答案】B 【解析】【分析】求函数()f x 的周期，估计1x 的范围，再求函数()f x 的零点，由此确定1x ，2x ，结合条件化简可得结论.【详解】函数()()cos f x x ωϕ=+()0ω>的周期为2πω，由图象可得1π02x ω<<，令()0f x =，可得：ππ,Z 2x k k ωϕ+=+∈，所以ππ2k x ϕω+-=，即2ππ22k x ϕω+-=，又π0,2ωϕ><，所以1π22x ϕω-=，23π22x ϕω-=，又因为214x x =，所以3π2π2422ϕϕωω--=⨯，所以π6ϕ=，1π2ππππ22263x ϕωωϕω-=⨯=-=-=，1π32π6xωϕ==为定值.故选：B7.已知0x >，0y >，且311x y +=，则2x x y y++的最小值为（）A.9B.10C.12D.13【答案】D 【解析】【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.【详解】()31322261x x y x x x y x y y x y y x y y⎛⎫++=+++=++++ ⎪⎝⎭337713y x x y =++≥+，当且仅当33y xx y=，即4x y ==时，等号成立.故选：D.8.若关于x 的方程()()2221151x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，则123x x x ++的值为（）A.32B.12C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.【详解】由题知0x ≠，由()()2221151x m x x x +-+=+，得到12301m x m x x x+-+-=+，令1t x x =+，由对勾函数的图像与性质知，2t ≤-或2t ≥，且1t x x =+图像如图，则230mt m t-+-=，即2(3)20t m t m +--=，又方程()()2221151x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，所以2(3)20t m t m +--=有两根12,t t ，且122,2t t =->，故42620m m -+-=，得到52m =，代入2(3)20t m t m +--=，得到21502t t --=，解得2t =-或52t =，由12x x +=-，得到=1x -，由152x x +=，得到22520x x -+=，所以2352x x +=，所以12353122x x x ++=-+=，故选：A.【点睛】方法点晴：对于复杂方程的根有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.设α是第一象限角，则2α为第一或第三象限角B.cos 2sin 3πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C.在ABC 中，若点O 满足0OA OB OC ++=，则O 是ABC 的重心D.()a b c a b c⋅ ≤【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据象限角的概念可判断；对B ，根据辅助角公式化简即可；对C ，取BC 中点D ，得出2OA OD =-，根据重心的性质可判断；对D ，根据cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅，结合向量数乘运算性质即可判断.【详解】对A ，因为α是第一象限角，所以π2π2π,2k k k α<<+∈Z ，则πππ,24k k k α<<+∈Z ，其为第一或第三象限角，故A 正确；对B 1cos 2sin cos 2sin 226πααααα⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，取BC 中点D ，则2OB OC OD +=，又0OA OB OC ++= ，所以2OA OD =-，所以O 在中线AD 上，且2OA OD =，所以O 为ABC 的重心，故C 正确；对D ，因为cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ ，cos ,1a b ≤，所以a b a b ⋅≤ ，所以()a b c a b c a b c ⋅=⋅≤，故D 正确.故选：ACD .10.符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数{}[]x x x =-，那么下列命题中正确的是（）A.函数{}x 的值域为[]1,0-B.函数{}x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-C.函数{}x 是周期函数D.函数{}x 是减函数【答案】BC 【解析】【分析】结合函数性质逐项判断即可得.【详解】对A ：当x ∈Z ，则{}[]0x x x x x =-=-=，当x ∉Z ，则{}[]()1,0x x x =-∈-，故函数{}x 的值域为(]1,0-，故A 错误；对B ：当x ∈Z ，则{}[]0x x x x x =-=-=，{}0x ⎡⎤=⎣⎦，当x ∉Z ，则{}[]()1,0x x x =-∈-，{}1x ⎡⎤=-⎣⎦，即函数{}x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-，故B 正确；对C ：{}[][]{}111x x x x x x +=+--=-=，故函数{}x 是周期函数，故C 正确；对D ：由函数{}x 是周期函数，故函数{}x 不是减函数，故D 错误.故选：BC.11.已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=++π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥-⎪⎝⎭，当ω取最小值时，则下列正确的是（）A.()f x 图象的对称中心为ππ,1Z 26k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭B.()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为1,3⎤+⎦C.将2sin 21y x =+的图象向左平移π6个单位长度得到()f x 的图象D.()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ACD 【解析】【分析】由题意可得()f x 的图象关于π(,1)6-对称，()f x 在5π12x =-处取得最小值，推得ϕ，ω的值，可得函数解析式()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的对称中心、值域和图象变换、单调性，可得结论.【详解】函数()()2sin 1f x x ωϕ=++π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭,可得()f x 的图象关于π(,1)6-对称，故11ππ(Z)6k k ωϕ-+=∈，即11(Z)ππ6k k ϕω∈=+，由于对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，可得()f x 在5π12x =-处取得最小值，即225ππ2π(Z)122k k ωϕ-+=-+∈，可得22π5π2π(Z)212k k ϕω=-++∈，则21π5ππ2ππ2126k k ϕωω=-++=+，化简得1224(2)πk k ω=+-12(2Z)k k -∈，因为0ω>，当ω取最小值时，1220k k -=，可得2ω=，则11ππ(Z)3k k ϕ=+∈且π2ϕ<，得π3ϕ=，所以()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对于A ，令π2π3x k +=，Z k ∈，解得ππ62k x =-+，则()f x 图象的对称中心为ππ,1Z 26k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，当ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，ππ2π2,363x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3，故B 不正确；对于C ，将2sin 21y x =+的图象向左平移π6个单位长度得到ππ2sin 2(12sin(21()63y x x f x =++=++=的图象，故C 正确；对于D ，当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确；故选：ACD.12.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则（）A.1233BD BA BC=+ B.x y +的最大值为13+C.BP BC ⋅ 最大值为9 D.1BO DO ⋅=【答案】AC 【解析】【分析】对于AD ，将,,BD BO DO 分别用,BA BC表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于BC ，以点O 为原点建立平面直角坐标系，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.【详解】对于A ，因为23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以113OA OD DC AC ====，则()11123333BD BC CD BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，故A 正确；对于B ，()22213333BO BC CO BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，211211333333DO BO BD BA BC BA BC BA BC ⎛⎫=-=+-+=- ⎪⎝⎭，则2211212113333999DO BO BA BC BA BC BA BC BA BC⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112133922=--⨯⨯⨯=，故D 错误；对于C ，如图，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则()()1331,0,,,2,022A B C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，因为点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以点P 的轨迹方程为221x y +=，且在x 轴的下半部分，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，则133333333cos ,sin ,,,,222222BP BC BA αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以333327πcos 3cos 624243BP BC ααα⎛⎫⋅=--+=++ ⎪⎝⎭ ，因为[]π,2πα∈，所以π4π7π,333α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π2π3α+=时，BP BC ⋅ 取得最大值9，故C 正确；因为BP xBA yBC =+ ，所以133333333cos ,sin ,,222222x y αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()133333cos ,sin ,2222x y x y αα⎛⎫⎛⎫--=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3333sin 22x y α-=-+，所以23sin 19x y α+=-+，因为[]π,2πα∈，所以当3π2α=时，x y +取得最大值2319+，故B 错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数tan y x =的定义域为_____________．【答案】,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【详解】函数tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭故答案为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭14.若sin1a =，ln sin1b =，sin1e c =，则a ，b ，c 三数中最小数为_________.【答案】b 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合sin1的范围比较大小即得.【详解】依题意，0sin11<<，ln sin1ln10b =<=，10sin 1e e c >==，所以,,a b c 三数中最小数为b .故答案为：b15.在解析几何中，设()111,P x y ，()222,P x y 为直线l 上的两个不同的点，则我们把12PP及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n表示，此时120P P n ⋅=.若点P l ∉，则可以把PP 在法向量n上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离.现已知平面直角坐标系中，()2,2P --，()12,1P ，()21,3P -，则点P 到直线l 的距离为__________.【答案】13【解析】【分析】先求出直线方程，后利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】设l 的斜率为k ，点P 到直线l 的距离为d ，则3123k -==--1-2，l 的直线方程为2370x y +-=，由点到直线的距离公式得31d ==.故答案为：1316.对于非空集合M ，定义()0,Φ1,M x M x x M ∉⎧=⎨∈⎩，若sin 2A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，(),2B a a =，且存在x ∈R ，()()2A B x x Φ+Φ=，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】π3π9π,,848∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭##π3π84a <<或9π8a >【解析】【分析】首先解三角不等式求出集合A ，依题意A B ⋂≠∅，则π2a ≥时一定满足，再考虑π02a <<时，求出A B ⋂≠∅时参数的取值范围，即可得解.【详解】因为sin 2A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，所以π3{|2}ππ2π4Z 4()A x k x k k =+∈<<+，因为(),2B a a =，B ≠∅，所以2a a >，所以0a >，因为()()2A B x x Φ+Φ=，所以1A B Φ=Φ=，所以A B ⋂≠∅，此时区间长度π2a ≥时一定满足，故下研究π02a <<时，此时02πa a <<<，因此满足题意的反面情况024πa a <<≤或92443ππa a ≤<≤，解得π02a <≤或834ππ9a ≤≤，因此满足题意a 的范围为π3π9π,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故答案为：π3π9π,,848⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于考虑π02a <<时，求出A B ⋂≠∅时参数的取值范围.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为04,5y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求cos α，sin α的值；（2）求()()πcos πcos 2πsin tan π2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）35-（2）13-【解析】【分析】（1）根据任意角三角函数定义和同角基本关系式可解；（2）利用诱导公式化简即可求值.【小问1详解】∵角α的终边与单位圆的交点为04,5M y ⎛⎫⎪⎝⎭，∴4cos 5α=，∵3π,2π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭∴sin 0α<，∴3sin 5α==-.【小问2详解】原式()cos sin cos sin 1cos tan sin 3ααααααα--+===-⋅-.18.如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e ，2e分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量()12,OP xe ye x y =+∈R ，则把有序数对(),x y 叫做向量OP在坐标系xOy 中的坐标.（1）设()0,3OM = ，()4,0ON = ，求OM ON ⋅的值；（2）若()3,4OP =，求OP 的大小.【答案】（1）6（2【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【小问1详解】∵23OM e = ，14ON e = ，∴121212cos 606OM ON e e ⋅=⋅=︒=；【小问2详解】∵()222212112234924162524cos 6037OP e e e e e e =+=+⋅+=+︒= ，∴OP =19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量(),m c a b =-，()sin sin ,sin sin n B C A B =-+ ，m n ⊥ .（1）求角A 的大小；（2）若2a =，ABC 的周长为l ，面积为S ，求Sl的最大值.【答案】（1）π3A =（2）6【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示，结合正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解；（2）利用（1）中结论与三角形面积公式将Sl表示为b c +的表达式，再利用基本不等式求得b c +的最大值，从而得解.【小问1详解】因为m n ⊥，故()(),sin sin ,sin sin 0m n c a b B C A B ⋅=-⋅-+=，即()()()sin sin sin sin 0c B C a b A B -+-+=，由正弦定理得，()()()0c b c a b a b -+-+=，整理得到222a b c bc =+-，则221cos 22b c bc A bc +-==，又()0,πA ∈，故π3A =.【小问2详解】由（1）知222a b c bc =+-，则224b c bc =+-，所以()243b c bc =+-，即()2143bc b c ⎡⎤=+-⎣⎦，因为1sin 24S bc A bc ==，2l b c =++，所以()()()()243324212212b c S b c l b c b c ⎡⎤+-⎣⎦===+-++++，又()24b c bc +≤，所以()()22434b c b c bc +=+-≥，所以4b c +≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以)()33324212126S b c l =+-⨯-=≤，即S l 的最大值为36.20.如图所示，有一条“L ”，河道均足够长.现过点D 修建一条栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中OAB ）养殖观赏鱼，且π02OAB θθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭.点H 在线段AB 上，且OH AB ⊥.线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤.（1）养殖区域面积最小时，求θ值，并求出最小面积；（2）若游客可以在栈道AH 上投喂金鱼，在河岸OB 与栈道HB 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求θ的取值范围.【答案】（1）π6θ=，（2）ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出养殖观赏鱼的面积13tan tan OAB S θθ=++ ，再由基本不等式求解；（2）由题意BH OB AH +≥，则11sin 1cos tan cos tan cos sin ≥≥θθθθθθθ++⇔即可求解.【小问1详解】过D 作DM ，DN 垂直于OA ，OB ，垂足分别为M ，N ，则DM ON ==DN OM ==tan tan DM AM θθ==，tan BN DN θθ==，养殖观赏鱼的面积)1113tan 22tan tan OAB S OA OB θθθθ⎫=⋅=+=++⎪⎪⎭，由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得tan 0θ>，则13tan tan θθ+≥，当且仅当tan 3θ=即π6θ=时取等号，故π6θ=时，OAB S 最小=.【小问2详解】由2AOB OHA π∠=∠=，可得BOH θ∠=，则tan OH AH θ=，tan BH OH θ=，cos OHOB θ=，由题意BH OB AH +≥，则()2211sin 1cos tan sin 1sin cos 1sin cos tan cos sin θθθθθθθθθθθ++≥⇔≥⇔+≥=-，则1sin 1sin sin 2θθθ-⇔≥≥，结合π02θ<<，则ππ,62θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.21.设a ∈R ，函数()2sin cos f x x x a =--，π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，试证明：12121tan tan 31tan tan x x x x --≤.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123ππ2x x <+<，即()12cos 0x x +<，令1201tan tan x x λ=<-，则将原命题转化为证明2210λλ++≥，显然成立，进而原命题成立得证.【小问1详解】()2cos cos 1f x x x a =---+，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=-+，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，令()cos 1,0t x =∈-，所以21,04t t ⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭，则()0f x =即21t t a +=-+，所以当10a -+≥或114a -+<-时，即1a ≤或54a >时，21t t a +=+无解；当114a -+=-时，即54a =时，21t t a +=+仅有一解；当1104a -<-+<即514a <<时，21t t a +=+有两解，综上，1a ≤或54a >时，()f x 无零点；54a =时，()f x 有一个零点；514a <<时，()f x 有两个零点.【小问2详解】若()f x 有两个零点1x ，2x ，令11cos t x =，22cos t x =，则1t ，2t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则1222211c cos 2c o os os c s x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得1cos 0x <，2cos 0x <，则120c 2os cos x x >，所以2212cos cos 1x x +<，所以2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得23,22πππx ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以23πcos 02x ⎛⎫-<⎪⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，所以123ππ2x x <+<，所以()12cos 0x x +<令121tan tan x x λ=-，则()1212121212cos cos cos sin sin 0cos cos cos cos x x x x x x x x x x λ+-==<要证12121tan tan 31tan tan x x x x --≤成立，即证：1132λλλ--=--≤；即证：2210λλ++≥，因为()222110λλλ++=+≥显然成立，故原式成立.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．。
2024届浙江省杭州市高级中学高一数学第二学期期末达标检测试题含解析
2024届浙江省杭州市高级中学高一数学第二学期期末达标检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．菱形，是边靠近的一个三等分点，，则菱形面积最大值为（ ） A ．36B ．18C ．12D ．92．已知向量a ，b 满足3a b -=且(0,1)b =-，若向量a 在向量b 方向上的投影为2-，则a =（ ） A ．2B ．23C ．4D ．123．不等式组2,1,0y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪⎩所表示的平面区域的面积为（ ）A ．1B ．12C ．13D ．144．某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一个容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人C ．7人D ．12人5．两条直线1:1x y l a b -=和2:1x yl b a-=，22a b ≠，在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（ ）A ．12.5；12.5B ．13；13C ．13；12.5D ．12.5；137．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC ∆为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．为了得到函数sin(2)3y x π=+，(x ∈R )的图象，只需将sin(2)3y x π=-( x ∈R )的图象上所有的点（ ）. A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移3π个单位 9．已知等差数列{}n a 的前m 项之和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项的和为（ ）A.130B.170C.210D.26010．在数列{}n a 中，121,64a a ==，且数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，其公比12q =-，则数列{}n a 的最大项等于（ ） A ．7aB ．8aC ．6a 或9aD ．10a二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
浙江高一高中数学期末考试带答案解析
浙江高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线与直线，直线分别交于两点，中点为，则直线的斜率是（）A．B．C．D．2.等比数列的前项和为，，若成等差数列，则( )A．7B． 8C．16D．153.在等差数列中，，则此数列前13项的和（）A．13B．26C．52D．1564.过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（）A．B．或C．D．或5.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6.设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若；B．若；C．若，则D．若7.如图，在△中，是边上的点，且，则的值为（）A．B．C．D．8.已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是( )A．B．C．D．9.设x、y满足约束条件，若目标函数（其中)的最大值为3,则的最小值为（）A．1B．2C．3D．410.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E， F，，则下列结论中错误的是（）A．B．C．直线与平面所成的角为定值D．异面直线所成的角为定值二、填空题1.直线x＋y－1＝0被圆(x＋1)2＋y2＝3截得的弦长等于2.在数列中，，，则等于3.已知点在直线上，则的最小值为4.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则与平面所成的角的大小为5.对于正项数列，定义为的“给力”值，现知某数列的“给力”值为，则数列的通项公式为=三、解答题1.锐角、、分别为的三边、、所对的角,.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积求的最小值.2.已知等差数列的首项为,公差为,前项的和为,且（Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）设数列的前项的和为,求3.正方体中,为的中点.（Ⅰ）请确定面与面的交线的位置,并说明理由;（Ⅱ）请在上确定一点,使得面面,并说明理由;(Ⅲ) 求二面角的正切值.4.过点作两条直线,斜率分别为1,,已知与圆交于不同的两点,与圆交于不同的两点,且.（Ⅰ）求:所满足的约束条件;（Ⅱ）求:的取值范围.浙江高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.直线与直线，直线分别交于两点，中点为，则直线的斜率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：设P（a，1），Q（7，b），∵线段PQ的中点坐标为（1，-1），由中点公式可得 1=(a+7) 2 -1=(b+1) 2 ，解得 a=-5，b=-3，故P（-5，1），Q（7，-3），直线l的斜率为：（1+3 ）（-5-7） =-1 3 ，故选D．2.等比数列的前项和为，，若成等差数列，则( )A．7B． 8C．16D．15【答案】D【解析】解：因为等比数列的前项和为，，若，那么15，选D3.在等差数列中，，则此数列前13项的和（）A．13B．26C．52D．156【答案】B【解析】解：因为等差数列中，，则可知，那么数列前13项的和，选B4.过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】解：当直线过原点时，再由直线过点（5，2），可得直线的斜率为2 5 ，故直线的方程为y="2" 5 x，即2x-5y=0．当直线不过原点时，设直线在x轴上的截距为k，则在y轴上的截距是2k，直线的方程为x k +y 2k =1，把点（5，2）代入可得5 k +2 2k =1，解得k=6．故直线的方程为x 6 +y 12 =1，即2x+y-12=0．故选B．5.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，三棱柱的体积V为：16.设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若；B．若；C．若，则D．若【答案】C【解析】解:选项A中，只有m,n相交时成立。
浙江高中数学试题及答案
浙江高中数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，为偶函数的是：A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = sin(x)答案：A2. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a和向量b的点积为：A. 5B. -1C. 4D. -5答案：B3. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 圆x^2 + y^2 = 9的半径是：A. 3B. 6C. 9D. 18答案：A5. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B的元素个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C6. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为a和b，则ab的值为：A. 1B. 2C. 3D. 6答案：C7. 函数y = ln(x)的导数是：A. 1/xB. xC. ln(x)D. -1/x答案：A8. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1的极值点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C9. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则a5的值为：A. 14B. 17C. 20D. 23答案：A10. 抛物线y = x^2 - 4x + 5的顶点坐标是：A. (2, 1)B. (-2, 1)C. (2, -1)D. (-2, -1)答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 已知三角形ABC中，角A = 60°，边a = 8，边b = 10，则边c的长度为______。
答案：6√32. 函数f(x) = x^2 - 6x + 9的最小值为______。
答案：03. 圆心在原点，半径为5的圆的方程是______。
答案：x^2 + y^2 = 254. 抛物线y^2 = 4x的焦点坐标为______。
答案：(1, 0)5. 等比数列{an}的首项a1 = 3，公比q = 2，则a4的值为______。
杭州数学试题及答案高一
杭州数学试题及答案高一一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，下列哪个选项是f(x)的对称轴？A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = 0答案：A2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∩B。
A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}答案：B3. 若直线l的方程为y = 3x + 2，且与x轴交于点(a, 0)，则a的值为？A. -2/3B. 2/3C. -2D. 2答案：A4. 函数y = sin(x)的周期为？A. 2πB. πC. 4πD. 1答案：A5. 已知等差数列{a_n}的首项为1，公差为2，求第10项a_10的值。
A. 19B. 20C. 21D. 22答案：A6. 已知抛物线y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(1, -4)，且经过点(0, 3)，求a的值。
A. -3B. -6C. 3D. 6答案：B7. 若复数z满足|z| = 1，且z的实部为1/2，则z的虚部为？A. √3/2B. -√3/2C. √3/2iD. -√3/2i答案：A8. 已知向量a = (3, -2)，b = (1, 2)，求向量a与b的数量积。
A. -1B. 1C. 5D. -5答案：A9. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的渐近线方程为y = ±(2/3)x，求a与b的关系。
A. a = 2bB. a = 3bC. b = 2aD. b = 3a答案：A10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)。
A. 3x^2 - 6xB. x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6x + 2D. x^3 - 3x^2 + 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{b_n}的首项为2，公比为3，求第5项b_5的值。
浙江省绍兴市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题含答案
2023学年第二学期高中期末调测高一数学（答案在最后）注意事项：1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须做在答卷相应位置上.2.全卷满分100分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数12i -的共轭复数是（）A.12i -B.12i+ C.12i-+ D.12i--【答案】B 【解析】【分析】根据共轭复数的定义可以求得.【详解】由共轭复数的定义可得，复数12i -的共轭复数为12i +，故选：B.2.用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形的直观图，所得图形的面积是（）A.4B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积.【详解】斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形的直观图如图所示，根据斜二测画法的原则可知，2O A '=，1O C '=，45CO A '∠= ，所以直观图的面积为sin 45212O A O C ︒''⨯⨯=⨯⨯=.故选：C.3.十名工人某天生产同一批零件，生产的件数分别是：15，17，14，10，16，17，17，16，14，12，则这组数据的极差、众数、第一四分位数分别是（）A.3，17，12B.5，16，14C.7，17，14D.7，17，13【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由极差，众数以及第一四分位数的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】将数据从小到大排序可得10,12,14,14,15,16,16,17,17,17，则极差为17107-=，众数为17，且001025 2.5⨯=，则第一四分位数为14.故选：C4.已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题正确的是（）A.若//,m n αα⊂，则//m nB.若//,//m m αβ，则//αβC.若,m ααβ⊂⊥，则m β⊥D.若,m n αα⊥⊥，则//m n【答案】D 【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一分析求解．【详解】若//,m n αα⊂，则m 与n 可能平行也可能异面，A 选项错误；若//,//m m αβ，则α与β可能平行也可能相交，B 选项错误；若,m ααβ⊂⊥，则m 可能与β平行，可能与β相交，也可能在β内，C 选项错误；垂直于同一平面的两条直线互相平行，D 选项正确.故选：D.5.已知平面四边形ABCD ，,1,AB BC AB BC CD AD ⊥====，若BD xBC yBA =+，则x y -=（）A.34B.1C.54D.32【答案】B 【解析】【分析】构建以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求BD xBC yBA =+，1,CD AD ==即可x y -=求值；【详解】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，(0,0),(1,0),(1,1),A B C 则(0,1),(1,0),BC BA ==-因为(0,1)(1,0)(,)BD xBC yBA x y y x =+=+-=-，(1,0)(,)(1,),AD AB BD y x y x AD =+=+-=-==，化简22(1)3y x -+=，即2222y x y+=+(0,1)(,)(,1),1,1CD CB BD y x y x CD =+=-+-=--==化简得22(1)1y x +-=，即222y x x +=所以222y x +=，即1x y -=,故选：B.6.设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos cos 4a B b A c b -=+，则cos A =（）A.18-B.18C.14-D.14【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式计算可得.【详解】因为1cos cos 4a Bb Ac b -=+，由正弦定理可得1sin cos sin cos sin sin 4A B B A C B -=+，又()()sin sin πsin sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+⎡⎤⎣⎦，所以1sin cos sin cos sin cos cos sin sin 4A B B A A B A B B -=++，即12sin cos sin 4B A B -=，又()0,πB ∈，所以sin 0B >，所以1cos 8A =-.故选：A7.如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B ，C ，其中()24,()12,()8n n A n B Ω===，()5,()16n C n A B == ，则（）A.事件A 与事件B 互斥B.事件A 与事件B 相互独立C.事件A 与事件C 互为对立D.事件A 与事件C 相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件，事件相互独立的定义逐一判断即可得解.【详解】对于A ，()16,()12,()8,()4n A B n A n B n A B ===∴= ，所以与事件B 可以同时发生，故A 错；对于B ，()()()()()121()811,(Ω)242(Ω)2436n A n B P A P B P A P B n n ======∴= ()()41()16,()12,()8,()4,(Ω)246n A B n A B n A n B n A B P AB n ⋂⋃===∴⋂=∴== ,()()()P A P B P AB ∴=,所以事件A 与事件B 相互独立，故B 正确；对于C ，()()()1()5(Ω)24,()12,()5,,,(Ω)2(Ω)24n A n C n n A n C P A P C n n ===∴==== ()()1P A P C ∴+≠,所以事件A 与事件C 不对立，故C 错误；对于D ，由图可知()0n A C = ，所以()C 0P A =，所以()()()P A P C P AC ∴≠，所以事件A 与事件C 不相互独立，故D 错误；故选：B.8.如图，矩形ABCD 中，1,AB BC ==．ACEF 绕AC 旋转，且E ∉平面ABCD ，则（）A.平面EFB ⊥平面EFDB.平面ABF ⊥平面ABCC.平面ABF ⊥平面BCFD.平面ABF ⊥平面ADF【答案】A 【解析】【分析】利用旋转体的性质，发现B D 、在平行四边形ACEF 绕AC 旋转得到的旋转体上，从而利用半圆得到线线垂直，再结合旋转轴垂直横截面，即可得到另一个线线垂直，从而可证线面垂直，最后得证.【详解】如图，过D 作直线DM AC ∥，因为矩形ABCD 中，1,3AB BC ==．所以2AC =，又平行四边形ACEF 3ACEF 的高为32，又在ABC 中，令D 到AC 高为h ，所以1111321322222AC h AD DC h h ⋅=⋅⇒⨯⨯=⨯⇒=,所以平行四边形ACEF 绕AC 旋转时，会经过B D 、，形成如图所示半圆 BNM,由旋转体的性质可知，AC BNM ⊥平面，所以EF BNM ⊥平面,又BN BNM ⊂平面，所以EF BN⊥又在半圆 BNM 中，BM 为直径，所以BN NM ⊥，又EF NM N = ，,EF EFD NM EFD ⊂⊂平面平面，所以BN DEF ⊥平面，又BN EFB ⊂平面，所以EFB EFD ⊥平面平面，故选：A.【点睛】关键点点睛：该题的关键是平行四边形ACEF 绕AC 旋转时经过B D 、两点，从而可以利用旋转体的性质来解题.二、选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.复数2i +B.复数1i z =-的虚部为﹣1C.若122i,i z z ==，则12z z >D.若复数12,z z 满足22120z z +=，则120z z ==【答案】AB 【解析】【分析】根据复数模长公式和虚部的定义可以判断A 、B 选项，虚数不能比较大小，可判断C 选项，举反例即可判断D 选项.【详解】对于A 选项，2i +，故A 正确，对于B 选项，1i z =-的虚部为1-，故B 正确，对于C 选项，因为122i,i z z ==，均为虚数，虚数不能比较大小，故C 错误，对于D 选项，令12i,1z z ==，则22120z z +=，故D 错误，故选：AB.10.已知一组样本数据123456,,,,,x x x x x x 的标准差0s ≠，其平均数3x x =，则下列数据的标准差与s 不相．．等．的是（）A.1234562,2,2,2,2,2x x x x x x B.123456,,,,x x x x x x x x x x x x ------C.12456,,,,x x x x x D.12345622,2,2,2,2x x x x x x x x x x x x ------【答案】ACD 【解析】【分析】根据方差（标准差）的性质及方差公式一一判断即可.【详解】因为123456,,,,,x x x x x x 的标准差0s ≠，其平均数3x x =，则123456366x x x x x x x x +++=++=，对于A ：数据1234562,2,2,2,2,2x x x x x x 的标准差为2s ，故A 符合题意；对于B ：数据123456,,,,,x x x x x x x x x x x x ------的标准差为s ，故B 不符合题意；对于C ：因为()()()()()()22222212345626x x xx x x x x x x x xs -+-+-+-+-+-=()()()()()22222124566x x x x x x x x x x-+-+-+-+-=，又数据12456,,,,x x x x x 的平均数为1245633555x x x x x x x x ++++===，设数据12456,,,,x x x x x 的标准差为1s ，则12456,,,,x x x x x 的方差()()()()()2222212456215x x x x x x x x x xs -+-+-+-+-=，所以221s s >，则1s s >，故C 符合题意；对于D ：数据1234562,2,2,2,2,2x x x x x x x x x x x x ------的标准差为2s ，故D 符合题意；故选：ACD11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,E F G 分别为棱11,,AA CC BC 上的点，()10,1A E CF CG λ===∈，则（）A .EG GF⊥B.平面EFG 经过棱AB 的中点HC.平面EFG截该正方体，截面面积的最大值为4D.点D 到平面EFG 距离的最大值为32【答案】ABD【解析】【分析】记M 为11D C 的中点，取线段11A D 上的点N 使得1A N λ=，正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ，然后说明平面EFG 截该正方体的截面就是中心为O 的六边形EHGFMN ，之后根据正方体的对称性和勾股定理，逐个选项验证即可.【详解】记M 为11D C 的中点，棱AB 的中点H ，取线段11A D 上的点N 使得1A N λ=，正方体1111ABCD A B C D -的中心为O .则根据对称性，E 和F ，G 和N ，H 和M 分别关于点O 对称.从而O 在平面EFG 内，而1FG BC HM ，故FG HO ，从而H 在平面EFG 内.由于前面的对称性，及,,,,E F G H O 在平面EFG 内，知平面EFG 截该正方体的截面就是中心为O 的六边形EHGFMN ，从而H 一定在平面EFG 内，至此我们得到选项B 正确.前面已经证明FG MH ，同理有NEMH ，故FG MH NE .由于11A N A E CF CG λ====，故111D N AE C F BG λ====-，同时显然有1112AH BH D M C M ====.从而EN FG λ===，MN MF EH GH =====.由于EN FG HM λ==<=，FG MH NE ，故四边形ENMH 和GFMH 都是等腰梯形，从而OE ON =，OF OG =.这表明线段EF 和GN 互相平分且长度相等，所以四边形是EGFN 矩形，故EG GF ⊥，至此我们得到选项A 正确.由于四边形ENMH 和GFMH 都是等腰梯形，且上底均为λ，，故它们的高都等于.所以它们的面积都等于(11122λλ⋅=+故截面EHGFMN 的面积(1S λ=+.当34λ=时，(7321411644S λ⋅=+=>，至此我们得到选项C 错误.由于1122DO DB ====，且O 在平面EFG 内，故点D 到平面EFG的距离不超过2.而当12λ=时，,,,,,E H G F M N分别是各自所在棱的中点，从而DE DF DG ===而2OE OF OG ===，这表明点D 和点O 到,,E F G 三点的距离两两相等.故点D 和点O 在平面EFG 的投影同样满足到,,E F G 三点的距离两两相等，从而点D 和点O 在平面EFG 的投影都是EFG 的外心，所以由点D 和点的投影是同一点，知DO 垂直于平面EFG .从而由O 在平面EFG 内，知点D 到平面EFG 的距离就是DO的长，即2.所以，点D 到平面EFG的距离的最大值是2，至此我们得到选项D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于截面六边形的构造，这是利用正方体的对称性的关键.三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.12.抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数都为奇数”的概率是______．【答案】14##0.25【解析】【分析】根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】记“两枚骰子的点数都为奇数”为事件A ，抛掷两枚质地均匀的骰子，所以可能结果有6636⨯=个，其中事件A 包含的基本事件有：()1,1，()1,3，()1,5，()3,1，()3,3，()3,5，()5,1，()5,3，()5,5共9个，所以()91364P A ==.故答案为：1413.已知向量a 与b 的夹角为60︒，||||1a b == ，则向量a 在向量a b + 上的投影向量的模为______．【答案】32【解析】【分析】计算出a b +=()a ab a b⋅++ 求出答案.【详解】11cos 601122a b a b ⋅=⋅︒=⨯⨯=，()222121211132a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+= ，故a b +=，向量a 在向量a b + 上的投影向量的模为()32a a b a b⋅+===+.故答案为：214.正四棱锥的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则Rr的最小值为______．【答案】1+##1【解析】【分析】设出底面边长和高后，结合正四棱锥外接球与内切球性质用底面边长及高表示出外接球半径与内切球半径，而后作商，多次换元将式子化简后结合基本不等式计算即可.【详解】设正四棱锥P ABCD -底面边长为a ，高为h ，底面ABCD 的中心为M ，连接,PM BM ，则2BM a =，PM h =，所以PB ==设外接球球心为1O ，内切球球心为2O ，则1O ，2O 在PM 上，因为11PO BO R ==，所以11O M PM PO h R =-=-，在1Rt O MB △中，222()2h R a R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得2224h a R h +=，因为22111143332P ABCD V a h a r ar -==+⨯⨯，所以r =，所以22222244h a R h a a h ah r h ah+++==22=222=22=令h k a =，则222221h R a r ⎛⎫+ ⎪==令1)t t =>，则212(1)R t r t +=-，令1(0)m t m =->，则222111122R m m m r m m ++==++≥=，当且仅当12m m=，即m =所以R r1.1+.【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是表示出外接球半径和内切球半径之比后，经过多次换元转化将式子化简，从而得解.四、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(0,2),(3,1)A B （1）求||AB 及向量OA 与OB 夹角的大小；（2）若//(2)AB OA tOB +，求实数t 的值.【答案】（1）2AB = ，π,3OA OB = （2）2t =-【解析】【分析】（1）先求出AB ，然后可求出||AB ，利用向量的夹角公式可求出向量OA 与OB 夹角；（2）求出2OA tOB + 的坐标，再利用向量平行的条件列方程求解即可.【小问1详解】因为O 为坐标原点，(0,2),(3,1)A B ，所以(3,1)AB =- ，(0,2),(3,1)OA OB ==，所以22(3)(1)2AB =-+-= ，21cos ,2231OA OB OA OB OA OB ⋅===+ ，因为,[0,π]OA OB ∈ ，所以π,3OA OB = ，即向量OA 与OB 夹角的大小为π3；【小问2详解】因为(0,2),(3,1)OA OB ==，所以22(0,2)(3,1)(34)OA tOB t t t +=+=+ ，因为//(2)AB OA tOB + ，(1)AB =- ，41t +=-，解得2t =-.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧面PAB 是正三角形，AD ⊥平面PAB ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．（1）证明：//MN 平面PAD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）做辅助线构造平行四边形，从而证明线线平行，再根据线面平行的判定定理即可证明；（2）连接PM ，证明PM 垂直于底面，从而确定PM 为锥体的高，再利用体积公式求体积即可.【小问1详解】证明：如图，取PD 的重点Q ，连接AQ ，QN ，因为在PDC △中，Q ，N 分别为的PD ，PC 中点，所以//QN CD ，且12QN CD =，因为在正方形ABCD 中，M 分别为AB 的中点，所以//AM CD ，且12AM CD =,所以四边形AMNQ 是平行四边形，则//MN AQ ，又AQ ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，所以//MN 平面PAD .【小问2详解】连接PM ，因为AD ⊥平面PAB ，PM ⊂平面PAB ，所以AD PM ⊥,又因为侧面PAB 是正三角形，M 为AB 的中点，所以PM AB ⊥，且2PM =，又因为,AD AB ⊂平面ABCD ，AD AB A ⋂=，所以PM ⊥平面ABCD ，所以四棱锥P ﹣ABCD 的体积是21113326V S PM =⋅=⨯⨯=正方形ABCD .17.某机构对甲、乙两个工厂生产的一批零件随机抽取部分进行尺寸检测，统计所得数据分别画出了如下频率分布直方图：根据乙工厂零件尺寸的频率分布直方图估计事件“乙工厂生产的零件尺寸不低于60cm”的频率为0.70．（1）估计甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值；（2）求乙工厂频率分布直方图中a ，b 的值，并求乙工厂被测零件尺寸的中位数(结果保留两位小数)；（3）现采用分层抽样的方法，从甲工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[70，80)内的零件3个，从乙工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[80，90)内的零件5个，再从抽得的8个零件中任取2个，求这两个零件的尺寸都在[40，50)内的概率．【答案】（1）55.5（2）0.035a =，0.01b =，中位数65.71（3）314【解析】【分析】（1）结合频率分布直方图，由平均数的公式代入计算，即可得到结果；（2）由频率分布直方图的性质代入计算，即可求得,a b ，再由中位数的公式代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，由分层抽样可得抽取的8个零件中[40，50)个数为4个，再由概率的计算公式，代入计算，即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知，甲工厂生产的这批零件尺寸的平均值为350.15450.2550.3650.2750.1850.0555.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】因为“乙工厂生产的零件尺寸不低于60cm”的频率为0.70，即()0.020.015100.7a ++⨯=，解得0.035a =，再由频率分布直方图的性质可知()0.0050.0150.0350.020.015101b +++++⨯=，解得0.01b =，因为()0.0050.010.015100.30.5++⨯=<，()0.0050.010.0150.035100.650.5+++⨯=>，所以中位数位于[)60,70之间，设中位数为x ，则()()0.0050.010.01510600.0350.5x ++⨯+-⨯=，解得65.71x ≈.即乙工厂被测零件尺寸的中位数为65.71.【小问3详解】由分层抽样可知，甲工厂抽取尺寸在[40，50)为0.0210320.02100.0110⨯⨯=⨯+⨯个，则甲工厂抽取尺寸在[70，80)为321-=个，乙工厂抽取尺寸在[40，50)为0.0110520.01100.01510⨯⨯=⨯+⨯个，则乙工厂抽取尺寸在[80，90)为523-=个，所以抽得的8个零件中[40，50)个数为4个，记为,,,A B C D ，另外4个零件记为a b c d ,,,，设事件E 为抽取的两个零件的尺寸都在[40，50)内，所有情况为()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A B A C A D A a A b A c A d ，()()()()()(),,,,,,,,,,,B C B D B a B b B c B d ，()()()()(),,,,,,,,,C D C a C b C c C d ，()()()(),,,,,,,D a D b D c D d ，()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d ，共28种，其中满足条件的为()()()()()(),,,,,,,,,,,A B A C A D B C B D C D ，共6种，则()632814P E ==.所以抽取的两个零件的尺寸都在[40，50)内的概率为314.18.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，,//,6,4,AB DE AB EF AB BD EF ⊥===3,cos 4EAD EAB EAB ∠=∠∠=．（1）证明：BD ⊥平面ACE ；（2）求点E 到平面ABCD 的距离；（3）求侧面ADE 与侧面BCF 所成二面角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）2（3）2【解析】【分析】（1）证明EAB EAD ≅ ，得到EB ED =，进而得到BD EG ⊥，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）证明EH ABCD ⊥平面，确定EH 即为所求，勾股定理求出EH 即可.（3）利用面面平行，把所求二面角转化为了平面JKE 与面ADE 所成的角，设交线为m ，然后分别证明,m LE m EH ⊥⊥,从而找到对应的平面角，再求出正切值，即可得解.【小问1详解】因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，又因为,EAB EAD AB AD ∠=∠=,所以EAB EAD ≅ ,所以EB ED=设AC BD G ⋂=,连接EG ，则G 为BD 的中点，BD EG ⊥,又EG AC G ⋂=,所以BD ⊥平面ACE ；【小问2详解】过点E 作EH AC ⊥,垂足为H ,因为BD ⊥平面ACE ，EH ⊂平面ACE ，所以BD EH ⊥，又BD AC G ⋂=，所以EH ABCD ⊥平面,所以点E 到平面ABCD 的距离即为线段EH 的长度.因为DE AB ⊥,EH AB ⊥,所以AB EDH ⊥平面,所以AB DH ⊥，又因为ABD △为正三角形，所以点H 为ABD △的中心.延长DH 交AB 于点I ，则I 为AB 的中点.因为在Rt AEI 中，3,3,cos 4EI AI AI EAB ⊥=∠=,所以4AE =,因为63AH =⨯=所以2EH ===.所以点E 到平面ABCD 的距离为2.【小问3详解】过点H 作BC 的平行先分别交AB,CD 于点J,K ，则BJ=CK=4，因为EF =4,//AB EF ,所以,,//,EF BJ EF BJ EF CK EF CK == ,所以四边形EFCK 和四边形EFBJ 均为平行四边形，所以//,//EK CF EJ BF ,所以平面//JKE 平面BCF .过点E 作直线//m JK ,则平面ADE 平面JKE m =,过点H 作HL AD ⊥,垂足为L ,连接LE .因为,HL JK EH JK ⊥⊥,所以JK EHL ⊥平面,所以m EHL ⊥平面,所以,m LE m EH ⊥⊥,所以LEH ∠为二面角A m J --的平面角.因为sin 2HL AH LAH EH =∠==在直角三角形LEH 中，tan 2HL LEH EH ∠==.因为平面//JKE 平面BCF ,所以，侧面ADE 与侧面BCF 所成二面角的正切值为2.19.克罗狄斯、托勒密(ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四边形(所有内角都小于180°的四边形)中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．已知圆O 是凸四边形ABCD 的外接圆，其中CD =．（1）若圆O 的半径为r ，且2CBD ABD ∠=∠，(ⅰ)求ABD ∠的大小；(ⅱ)求AC BD ⋅的取值范围(用r 表示)．（2）若2π5π1,2,36AD BC ADC ⎡⎤==∠∈⎢⎥⎣⎦，求线段BD 长度的最大值．【答案】（1）(ⅰ)π=6ABD ∠，(ⅱ)()223,AC BD r r ⋅∈-（2）7【解析】【分析】（1）(ⅰ)根据正弦定理和倍角公式即可求得cos =2ABD ∠，从而得解；(ⅱ)由(ⅰ)结论得出AC 是圆O 的直径，设=BAC α∠，用α表示数量积，再根据α的取值范围，求出数量积的范围；（2）令=ADC θ∠，利用余弦定理和题干中的托勒密定理，用θ表示BD ，再通过换元法，以及函数单调性求出BD 的最大值.【小问1详解】（i ）因为2,2sin sin CD AD r r CBD ABD ==∠∠所以sin sin 22cos ,sin sin CD CBD ABD ABD AD ABD ABD ∠∠===∠∠∠又因为CD ，所以3cos =2ABD ∠，所以π=6ABD ∠，（ii ）因为π=6ABD ∠，所以π=23DAC CBD ABD ∠∠=∠=,所以π=2ABC ∠，所以AC 是圆O 的直径，由（i ）可得,CD AD r =，设=BAC α∠，则=2cos AB r α，所以()AC BD AC AD AB AC AD AC AB ⋅=⋅-=⋅-⋅ ()22π2cos 22cos cos 14cos 3r r r r r ααα=⋅⋅-⋅⋅=-又π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以()2cos 01α∈，()223,AC BD r r ⋅∈- .【小问2详解】设=ADC θ∠，=1=3AD CD ，所以，由余弦定理得222=2cos AC AD CD AD CD ADC +-⋅∠=1321343θθ+-⨯=-,在ABC 中，=423cos ,2,πAC BC ABC θθ-=∠=-,由余弦定理得222=2cos AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠,代入整理得：2+4cos 30AB AB θθ⋅+=，解得2=2cos +4cos 23cos AB θθθ--由托勒密定理可知BD AC CD AB BC AD ⋅=⋅+⋅，代入得2223cos 12cos 63cos 423cos BD θθθθ-+-=-.423cos t θ-，24222254245t t t BD t t t t t-+-+==-++-（其中4+37t ⎤∈⎥⎦，），设2m t t =-，则21BD m m =-（其中(5234+357137m ⎡+⎢∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，）因为21y m m =-(534+357137⎡+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以当=7m ，即5π=6θ时，BD取得最大值7.【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键是设=ADC θ∠，然后借助余弦定理和托勒密定理，用θ表示出BD =，看上去很复杂，但是通过两次换元发现，可以简化成BD m =.。
浙江省杭州市2024-2025学年高一上学期10月教学质量检测数学试题含答案
杭州联谊学校2024年10月教学质量检测高一数学试题（答案在最后）一、单选题（每小题4分，共计32分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义求解即可．【详解】因为，则.故选：B.2.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.故选：C.3.已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（）123230A.3B.0C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据的图像可知，，根据表格即可求得.【详解】根据的图像可知，，根据表格可知，.故选：B4.若，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据的取值情况判断各个选项的对错即可得到答案.【详解】选项A，若，则结论错误，故选项A错误；选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误；选项C，当时，，故选项C错误；选项D，可知，，故选项D正确.故选：D5.若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围.【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意，当时，要使得不等式对一切实数都成立，则，解得，综上所述，的取值范围为.故选：D．6.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质结合条件即得.【详解】∵，∴对称轴为直线，当时，．∵时，，由二次函数的对称性可知另一个的对应的值为，∴的取值范围是．故选：．7.已知，其中，若，则正实数t取值范围（）A.或B.或C.或D.或【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，分段求解不等式即可.【详解】令，解得，当时，，，即，且，解得；当时，，，即，且，解得，当时，，，而为正实数，则此种情况无解，所以正实数的取值范围为或.故选：A8.已知函数，若，对均有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将问题转化为对都恒成立，结合二次函数以及一次的性质即可求解.【详解】，对均有成立，在上单调递增，，依题意有对均有成立，即在时恒成立，∴，解得，∴实数的取值范围是．故选：B．二、多选题（每小题6分，共计18分）9.若是的必要不充分条件，则实数的值可以为（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】解方程，根据题意可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.【详解】由，可得或.对于方程，当时，方程无解，符合题意；当时，解方程，可得.由题意知，，此时应有或，解得或.综上可得，或.故选：BC.10.若正实数满足，则下列说法正确的是（）A.有最大值为B.有最小值为C.有最小值为D.有最大值为【答案】ABC【解析】【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D.【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确，对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确，对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确，对于D：因为，当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，故选：ABC．11.下列说法正确的是（）A.若的定义域为，则的定义域为B.和表示同一个函数C.函数的值域为D.函数满足，则【答案】AD【解析】【分析】根据抽象函数的定义域的求法求解可判断A；利用同一函数得定义判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用方程组法求解函数解析式判断D.【详解】对于A，因为的定义域为，对于函数，则，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，定义域为，定义域为，所以和不是同一个函数，故B错误；对于C，令，则，所以，因为，所以在上单调递减，所以，所以函数的值域为，故C错误；对于D，因为，所以，两边同乘以2得，两式相加得，解得，故D正确．故选：AD．三、填空题（每小题4分，共计12分）12.若，则______.【答案】2【解析】【分析】根据元素与集合的关系，集合元素的互异性求得正确答案.【详解】依题意，当时，，此时，不符合题意.当时，（舍去）或，当时，，符合题意.综上所述，的值为.故答案为：13.已知，，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据同向不等式相加不等号方向不变的性质求解即可.【详解】因为，所以，又，由不等式的可加性得，所以的取值范围是.故答案为：.14.已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】将化为，分，，三种情况讨论即可求.【详解】由可得，当时，不等式的解集为，不符合题意，舍，当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍，当时，不等式的解集为，因为有且仅有3个正整数解，故整数解为，所以，.综上，实数的取值范围是.故答案：四、解答题（共计58分）15.已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，求得集合B，再与A，利用并集运算求解.（2）将，转化为B A，再分和两种情况讨论求解.，详解】（1）当时，集合，又集合，所以；（2）因为，所以B A，当时，，解得，当时，，解得，综上：实数a取值范围【点睛】本题主要考查集合的运算以及集合的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16.（1）已知，求函数的最大值；（2）已知，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）易知，由基本不等式计算可得的最小值为6，即可得解；（2）依题意，利用基本不等式中“1”妙用计算可得答案.详解】（1）由可得，所以，当且仅当即时取等号；所以函数的最大值为.（2）根据题意，且，则，当且仅当，时取等号，所以的最小值为．17.某公司带来了高端智能家属产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场已知该产品年固定研发成本50万元，每生产一台需另投入60元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万合的销售收入为G(x)万元，.（1）求年利润s(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润=销售收入-成本)（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）；（2）当年产量为29万台时，该公司获得的最大利润万元.【解析】【分析】(1)根据题意，每万台的销售收入是一个分段函数，分和两种情况讨论，根据生产产品的数量求出对应的解析式即可求解；(2)分段讨论函数的最值，最后比较大小得出结果.【小问1详解】当时，；当时，，所以函数解析式为.【小问2详解】当时，因为，又因为函数在上单调递增，所以当时，取最大值，；当时，(当且仅当，即时等号成立)因为，所以时，的最大值为万元.所以当年产量为29万台时，该公司获得的最大利润万元.18.已知函数.（1）若f（x）＜k的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，求实数k的值；（2）若∀x1∈[2，4]，都∃x2∈[2，4]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由f（x）＜k，整理得：kx2﹣x+6k＞0，然后，利用韦达定理进行求解（2）把题目的成立条件转化为f（x）最小值≥g（x）最小值，进而分别求出，函数f（x）在区间[2，4]上的最小值和函数g（x）在区间[2，4]上的最小值即可【详解】（1）证明：由f（x）＜k得：k，整理得：kx2﹣x+6k＞0，因为解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，所以k＜0，所以方程kx2﹣x+6k＝0的根是﹣3，﹣2，∴2+（﹣3），∴k；所以实数k的值是；（2）由题意可得，f（x）最小值≥g（x）最小值，∀x1∈[2，4]，f（x）在区间[2，]为增函数，[，4]为减函数，f（2），f（4），所以函数f（x）在区间[2，4]上的最小值是f（4）；函数g（x）开口向上，且对称轴x＝﹣m，①当﹣m≤2，即m≥﹣2，g（x）最小值＝g（2）＝4+4m⇒m，解得：﹣2；②当2＜﹣m＜4，即﹣4＜m＜﹣2，g（x）最小值＝g（﹣m）＝m2﹣2m2⇒m≤﹣1或m≥1，所以﹣4＜m＜﹣2；③﹣m≥4，即m≤﹣4，g（x）最小值＝g（4）＝16+8m，解得：m，所以m≤﹣4；综上所述，m的取值范围：（﹣∞，].【点睛】关键点睛：本题解题的关键有两点：分别在于：1.把题目的成立条件转化为f（x）最小值≥g（x）最小值，2.通过对进行分类讨论，求出函数g（x）在区间[2，4]上的最小值19.已知二次函数的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为.(1)求函数的解析式；(2)设函数，求在区间上的最小值【答案】(1),(2)【解析】【分析】（1）由f（x）的对称轴方程以及图象过点（1，13），求出b、c的值，从而写出f（x）的解析式；（2）化函数g（x）为分段函数，画出函数的图象，结合图象，求出g（x）在区间[t，2]上的最小值H （t）．【详解】（1）∵f（x）＝x2+bx+c的对称轴方程为，∴b＝1；又f（x）＝x2+bx+c的图象过点（1，13），∴1+b+c＝13，∴c＝11；∴f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+11．（2）∵函数g（x）＝[f（x）﹣x2﹣13]•|x|＝[（x2+x+11）﹣x2﹣13]•|x|＝（x﹣2）•|x|，画出函数图象，如图：令，解得或（舍）∴当1≤t＜2时，g（x）min＝t2﹣2t；当时，g（x）min＝﹣1；当时，．∴综上，H（t）．【点睛】本题考查了求函数的解析式以及求函数在某一区间上的最值情况，解题时应结合函数的图象与性质来解答，是易错题．。
2023-2024学年浙江省宁波市高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年浙江省宁波市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知全集为R ，集合[]2,2A =-，集合{}230B x x x =-≥，则()R A B ⋂=ð（）A ．[]2,0-B ．[]2,3-C ．(]0,2D ．(][),23,-∞-+∞ 【正确答案】C【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得()R A B ð【详解】()2330x x x x -=-≥，解得0x ≤或3x ≥，所以{|0B x x =≤或}3x ≥，所以{}R |03B x x =<<ð，所以()R A B ⋂=ð(]0,2.故选：C2．函数()3log 5f x x x =+-的零点所在的区间为（）A ．()2,3B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,6【正确答案】B【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.【详解】()f x 在()0,∞+上单调递增，()()3310,4log 410f f =-<=->，所以()f x 的零点在区间()3,4.故选：B3．已知a ，b 为非零实数，则“01ab<<”是“a b <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】当01ab<<时，,a b 同号且非零，则01a b <<，所以a b <.当a b <时，如1,2a b =-=，则0b a<，无法得到01a b <<.所以“01ab<<”是“a b <”的充分不必要条件.故选：A4．函数π2tan 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是（）A ．ππ,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．ππ,Z 12x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C ．ππ,Z 63k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D ．ππ,Z 93k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【正确答案】D【分析】利用整体代入法求得正确答案.【详解】由ππ3π62x k +≠+，解得ππ93k x ≠+，所以函数的定义域是ππ,Z 93k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.故选：D5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-，则()2022f =（）A ．-1B ．0C ．1D ．2【正确答案】B【分析】根据函数的奇偶性、周期性求得正确答案.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，()()()()2111f x f x f x f x +=++=-+=，所以()f x 是周期为2的周期函数，所以()()202200f f ==.故选：B6．已知tan 3α=，则()()sin π2cos ππ3πsin cos 22αααα-++=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．12-B ．14C ．54D ．12【正确答案】B【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】()()sin π2cos πsin 2cos tan 2321π3πcos sin 1tan 134sin cos 22αααααααααα-++---==+++⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：7．已知,x y ∈R ，221x y xy ++=，则（）A ．22x y +的最大值为23且x y +的最大值为3B ．22x y +的最大值为23且x y +的最小值为0C ．22xy +的最小值为23且x y +D ．22xy +的最小值为23且x y +的最小值为0【正确答案】C【分析】利用222x y xy +≥可求出22x y +的最小值，利用2()4x y xy +≥可求出x y +的最大值.【详解】利用222x y xy +≥，则22222212x x y xy x y y ++++=≤+，整理得2223x y +≥，当且仅当x y =，即2213x y ==时取得等号，即22x y +的最小值为23；利用2()4x y xy +≥，2221()x y xy x y xy ++==+-，即22()()14x y xy x y +=+-≤，整理得24()3x y +≤，即x y ≤+当且仅当3x y ==时取得等号，故x y +故选：C8．若关于x 的方程()()2221161x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，则()12311x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为（）A ．-6B ．-4C ．-3D ．-2【正确答案】A【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.【详解】依题意可知0x ≠，由()()2221161x m x xx +-+=+整理得114201x m m x x x++--⋅=+①，即关于x 的方程恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，令1t x x=+，则2t ≤-或2t ≥，则①转化为1420t m m t+--⋅=，即()()222420,48160t m t m m m m +--=∆=-+=+>，根据对勾函数的性质可知1112t x x =+=-是方程()2420t m t m +--=的一个根，所以()()()224220,3m m m -+-⨯--==，所以260t t --=，解得2t =-或3t =，所以23,x x 是方程13x x+=的根，即2310x x -+=的根，所以233x x +=，所以()()12311236x x x x ⎛⎫++=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：A对于复杂方程的跟有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.二、多选题9．下列说法正确的有（）A ．若θ是锐角，则θ是第一象限角B ．π1rad 180︒=C ．若sin 0θ>，则θ为第一或第二象限角D ．若θ为第二象限角，则2θ为第一或第三象限角【正确答案】ABD【分析】根据象限角、弧度制、三角函数值等知识确定正确答案.【详解】A 选项，θ是锐角，即π02θ<<，所以θ是第一象限角，A 选项正确.B 选项，根据弧度制的定义可知π1rad 180︒=，B 选项正确.C 选项，当π2θ=时，πsin 12=，但θ不是象限角，C 选项错误.D 选项，θ为第二象限角，即πππ2π2ππ,ππ,Z 2422k k k k k θθ+<<++<<+∈，所以2θ为第一或第三象限角，D 选项正确.故选：ABD 10．关于函数()11cos f x x=+，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 定义域为RB ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 是周期函数D ．函数()f x 在区间()π,0-上单调递减【正确答案】BCD【分析】根据函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由于cos π1,1cos π0=-+=，所以()f x 的定义域不是R ，A 选项错误.由1cos 0x +≠得cos 1x ≠-，所以2ππ,Z x k k ∈≠+，所以()f x 的定义域是{}|2ππ,Z x x k k ≠+∈，()f x 的定义域关于原点对称，()()()111cos 1cos f x f x x x-===+-+，所以()f x 是偶函数，B 选项正确.()()()112π1cos 2π1cos f x f x x x+===+++，所以()f x 是周期函数，C 选项正确.当2ππ,Z x k k ∈≠+时，1cos 0x +>恒成立，1cos y x =+在()π,0-上单调递增，所以()11cos f x x=+在区间()π,0-上单调递减，D 选项正确.故选：BCD11．已知0a >且1a ≠，函数()()0a xf x x a x =->的图象可能是（）A ．B ．C．D．【正确答案】AD【分析】根据函数的单调性、特殊点的函数值确定正确答案.【详解】依题意0a >且1a ≠，0010a a -=-<，B 选项错误.()11f a=-当10,01a a -><<时，()10f >，且()=-a xf x x a 在()0,∞+上递增，A 选项符合题意.当10,1a a -<>时，()10f <，在CD 选项中，C 选项错误，则D 选项正确.故选：AD12．已知实数a ，b 满足33log log 3log log 4b a a b +=+，则下列关系式可能正确的是（）A ．(),0,a b ∃∈+∞，使1a b ->B ．(),0,a b ∃∈+∞，使1ab =C ．(),1,a b ∀∈+∞，有2b a b <<D ．(),0,1a b ∀∈，有2b a b <<【正确答案】ABCD【分析】由原方程可得333411log log log log b a b a-=-，构造函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A;令1ab =，代入原方程转化为判断2ln 3ln12(ln )2b ⋅=是否有解即可判断B ，条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出,a b 大小，判断CD ，【详解】对于A ，由33log log 3log log 4b a a b +=+得333411log log log log b a b a-=-，令331()log log f x x x =-，则()f x 分别在(0,1)和(1,)+∞上单调递增，令341()log log g x x x=-，则()g x 分别在(0,1)和(1,)+∞上单调递增，当(0,1)x ∈时，()f x 的值域为R,当(2,)x ∈+∞时，()g x 的值域为3(log 22,)-+∞，所以存在(0,1),(2,)b a ∈∈+∞，使得()()f b g a =；同理可得，存在(2,),(0,1)b a ∈+∞∈，使得()()f b g a =，因此,(0,)a b ∃∈+∞，使1a b ->，A 正确；对于B ，令1ab =，则方程33log log 3log log 4b a a b +=+可化为3log 3log 42log b b b +=，由换底公式可得2ln 3ln12(ln )02b ⋅=>，显然关于b 的方程在(0,)+∞上有解，所以(),0,a b ∃∈+∞，使1ab =，B 正确；对于C ，当(),1,a b ∈+∞时，因为333343111log log log log log log b a a b a a-=-<-，所以()()f b f a <，又()f x 在()1,+∞上单调递增，所以b a <.又334344111log log log log log log b a a b a a -=->-，令1()h x x x=-，则()h x 在(0,)+∞上单调递增，因为34(log )(log )h b h a >，所以34log log b a >，从而可得4233log log log log b a >=，所以b >．综上所述可得2b a b <<，C 正确；对于D ，当(),0,1a b ∈时，因为333343111log log log log log log b a a b a a-=->-，所以()()f b f a >，又()f x 在()0,1上单调递增，所以b a >.又333444111log log log log log log b a a b a a-=-<-，令1()h x x x=-，则()h x 在(0,)+∞上单调递增，因为34(log )(log )h b h a <，所以34log log b a <，从而34log log log log b a <=<b <2b a b <<，所以D 正确．故选：ABCD关键点点睛：对于CD 选项的关键在于变形、放缩，恰当放缩后不等式两边可看做同一函数的两个函数值，据此构造函数，利用函数的单调性，建立自变量的大小关系，化繁为简，得出34log ,log b a 的关系，再利用对数性质放缩即可判断结论，本题难度较大，技巧性较强，属于难题.三、填空题13．化简求值：()439log 3log 2log 2⨯+=______.【正确答案】34##0.75【分析】根据对数的运算法则、性质，换底公式求解.【详解】()4394332311log 3log 2log 2log 3log 2log 2log 3log 222⎛⎫⨯+=⨯+=⨯ ⎪⎝⎭3221lg 313log 22lg 224=⨯=⨯=.故3414．已知函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，当[]2,2x ∈-时，值域为[]22-,，且在[]22-,上有两个零点，请写出一个满足上述条件的()f x =______.【正确答案】22x -（答案不唯一，如22x -亦可）【分析】根据函数的自变量、值域、零点在学过函数中找到满足条件的函数即可.【详解】根据函数自变量[]2,2x ∈-时，函数值域为[]22-,，可考虑二次函数2()2f x x =-，根据二次函数性质可知[]2,2x ∈-时，min ()(0)2f x f ==-，max ()(2)(2)422f x f f ==-=-=，令()0f x =，解得x =[]22-,上有两个零点.故22x -（答案不唯一，如22x -亦可）15．炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC 面积为22100πcm ，则当该纸叠扇的周长最小时，AB 的长度为______cm.【正确答案】10π【分析】设扇形ABC 的半径为cm r ，弧长为cm l ，根据扇形ABC 的面积得到rl ，纸叠扇的周长2C r l =+，利用基本不等式求解即可.【详解】设扇形ABC 的半径为cm r ，弧长为cm l ，则扇形面积12S rl =.由题意得21100π2rl =，所以2200πrl =.所以纸叠扇的周长240πC r l =+≥，当且仅当22,200π,r l rl =⎧⎨=⎩即10πr =，20πl =时，等号成立，所以此时AB 的长度为10πcm .故10π16．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，若函数()f x 在区间ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭内没有零点，则实数ω的最大值是______.【正确答案】173【分析】化简函数解析式，先求出π6x ω+整体的范围，由在区间ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭内没有零点得出不等式，解出ω的范围，再结合k 的取值，即可求解.【详解】()πcos 2sin()6f x x x x ωωω=+=+，由ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得ππππ36626x ωωπω+<+<+，又()f x 在区间ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内没有零点，则()πππ36,ππ1π26k k k ωω⎧≤+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩Z ，解得6165,23k k k ω-+≤≤∈Z ，又6165236102k k k -+⎧≤⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得11366k <<，又k ∈Z ，所以1k =或2k =，当1k =时，51123ω≤≤；当2k =时，111723ω≤≤；综上：ω的最大值为173.故答案为.173四、解答题17．在①x A ∈是x B ∈的充分不必要条件；②A B ⊆；③A B ⋂=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合{}11A x m x m =-≤≤+，集合{}2B x x =≤.(1)当2m =时，求A B ⋃；(2)若______，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)[]2,3A B =-U (2)答案见解析【分析】（1）解绝对值不等式求得集合B ，由此求得A B ⋃.（2）通过选择的条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【详解】（1）222x x ≤⇔-≤≤，所以[]2,2B =-.当2m =时，[]1,3A =，所以[]2,3A B =-U .（2）由（1）得[]2,2B =-，选①，x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则1212m m +≤⎧⎨-≥-⎩且等号不同时成立，解得11m -≤≤.选②，A B ⊆，则1212m m +≤⎧⎨-≥-⎩，解得11m -≤≤.选③，A B ⋂=∅，则12m ->或12m +<-，解得3m >或3m <-.18．已知函数()sin cos f x x x =+，且()15f α=-，()0,πα∈.(1)求()f α-的值；(2)若()1cos 3αβ-=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β.【正确答案】(1)75-【分析】（1）利用平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.（2）利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】（1）由题意()1sin cos 5f ααα=+=-，()0,πα∈，由于sin 0α>，所以cos 0α<，故由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩可解得3sin 5α=，4cos 5α=-.所以()7sin cos 5f ααα-=-+=-.（2）由（1）可知：π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,παβ-∈因为()1cos 3αβ-=，所以()sin 3αβ-=，所以()()()()4cos cos cos cos sin sin 15βααβααβααβ-=--=⋅-+⋅-=.19．已知函数()()2213f x ax a x a =-+-+，a ∈R .(1)若()()()213g x f x a x a =--+-在()0,3上有零点，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，求实数a 的值.【正确答案】(1)11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)12a =或1a =【分析】（1）根据二次函数零点分布的知识求得a 的取值范围.（2）根据()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦端点或对称轴（二次函数时）处取得最小值进行分类讨论，由此求得a 的值.【详解】（1）()()()22121g x x a x x x a =-+=-+⎡⎤⎣⎦在()0,3上有零点，所以()()3210,3,10,2x a a ⎛⎫=+∈+∈ ⎪⎝⎭，所以11,2a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（2）由于二次函数在闭区间上的最小值只可能在端点或对称轴处取到，所以只需考虑一下三种情况并检验即可：①若172224f a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴167a =.()f x 的图象开口向上，对称轴2316x =，而231162>，不成立，舍.②若()3232f a =-=-，∴12a =.此时()f x 的图象开口向上，对称轴3x =，成立.③若111122f a a a ⎛⎫+=--=- ⎪⎝⎭，∴12a =或1a =.此时()f x 的图象开口向上，对称轴11x a =+，而此时111,32a ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，成立.综上可知，12a =或1a =.20．已知函数()()()1sin 03f x x ωϕω=+>的图象如图所示.(1)求函数()f x 的对称中心；(2)先将函数()y f x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移π3个单位后得到函数()y g x =的图象.若()1g x t -≤对任意的5π,012x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围.【正确答案】(1)ππ,0424k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈Z (2)[]0,1【分析】（1）根据函数图象求得()f x 的解析式，然后利用整体代入法求得()f x 的对称中心.（2）利用三角函数图象变换的知识求得()g x 的解析式，根据()g x 在区间5π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域转化不等式()1g x t -≤，由此求得t 的取值范围.【详解】（1）由图可知：πππ23124T =-=，所以π2π2T ω==，所以4ω=，()()1sin 43f x x ϕ=+，又π1π1πππsin ,sin 1,2π12333332f k ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π2π6k ϕ=+，k ∈Z .所以()1π1πsin 42πsin 43636f x x k x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令π4π6x k +=，k ∈Z ，则ππ424k x =-，k ∈Z .所以()f x 的对称中心为ππ,0424k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈Z .（2）由题()ππ5sin 2sin 2π366g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当5π5π5π,0,20,1266x x ⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，()[]0,1g x ∈.因为()1g x t -≤对任意的5π,012x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则()()max min 11g x t g x t ⎧≤+⎪⎨≥-+⎪⎩.所以[]0,1t ∈.21．近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格()f x （单位：元）与时间x （单位：天）()*130,N x x ≤≤∈的函数关系满足()10k f x x =+（k 为常数，且0k >），日销售量()g x （单位：件）与时间x 的部分数据如下表所示：x 15202530()g x 105110105100设该文化工艺品的日销售收入为()M x （单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.(1)求k 的值；(2)给出以下四种函数模型：①()g x ax b =+；②()g x a x m b =-+；③()x g x a b =⋅；④()log b g x a x =⋅.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量()g x 与时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式；(3)利用问题（2）中的函数()g x ，求()M x 的最小值.【正确答案】(1)1k =(2)选择函数模型②()g x a x m b =-+，()()*20110130,g x x x x =--+≤≤∈N (3)961【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得k 的值.（2）根据函数的单调性选择模型并根据已知条件列方程，求得,,a b m ，从而求得()g x 的解析式.（3）结合基本不等式和函数的单调性求得正确答案.【详解】（1）因为第15天的日销售收入为1057元，所以()()()15151510105105715k M f g ⎛⎫==+⨯= ⎪⎝⎭，解得1k =.（2）由表中的数据知，当时间x 变化时，()g x 先增后减.而函数模型①()g x ax b =+；③()x g x a b =⋅；④()log b g x a x =都是单调函数，所以选择函数模型②()g x a x m b =-+.由()()()()152515*********g g g a b g b ⎧=⎪=+=⎨⎪==⎩，解得1a =-，110b =，20m =.所以日销售量()g x 与时间x 的变化关系为()()*20110130,g x x x x =--+≤≤∈N .（3）由（2）知()**90,120,N 20110130,2030,Nx x x g x x x x x ⎧+≤≤∈=--+=⎨-+<≤∈⎩所以()()()()**110(90),120,110130,2030,x x x x M x f x g x x x x x ⎧⎛⎫++≤≤∈ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎛⎫⎪+-+<≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N 即()**9010901,120,130101299,2030,x x x x M x x x x x ⎧++≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩N N .当120x ≤≤，*x ∈N 时，由基本不等式得，()9010901901961f x x x=++≥=当且仅当9010x x =，即3x =时，等号成立.当20x 30<≤，*x ∈N 时，()130101299f x x x =-++单调递减，所以()()133********f x f ≥=+>.综上所述：当3x =时，()f x 取得最小值，最小值为961.22．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的[)1,x k ∈+∞，都存在唯一的()2,x k ∈-∞，使得()()21f x f x =，则称函数()f x 是“()V k 型函数”.(1)判断()21f x x =+是否为“()1V -型函数”?并说明理由；(2)若存在实数k ，使得函数()()22log 1g x x ax =++始终是“()V k 型函数”，求k 的最小值；(3)若函数()1,1,1a x x h x x x a x ⎧+-≥⎪=⎨⎪-<⎩，是“()1V 型函数”，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)不是，理由见解析(2)1(3)1,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据“()V k 型函数”的定义，结合特殊值进行判断.（2）根据()g x 的定义域求得a 的范围，结合“()V k 型函数”的定义以及函数的单调性求得k 的取值范围.（3）对a 进行分类讨论，根据“()V k 型函数”的定义列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）()21f x x =+是偶函数，且在(),0∞-递减，()0,∞+递增.当[)1,x ∈-+∞时，()[)1,f x ∈+∞；当(),1x ∈-∞-时，()(),2f x ∈-∞.若取10x =，则不存在()2,1x ∈-∞-，使得()()211f x f x ==.所以()21f x x =+不是“()1V -型函数”.（2）首先函数()()22log 1g x x ax =++定义域为R ，则240a ∆=-<，解得22a -<<.由复合函数单调性可知：()g x 在,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭a 单调递减，在,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭a 单调递增.所以只需2a k >-对()2,2a ∀∈-恒成立即可.所以1k ≥，即k 的最小值为1.（3）由题()1,1,1a x x h x x x a x ⎧+-≥⎪=⎨⎪-<⎩是“()1V 型函数”.当1a <时，()h x 在[)1,+∞上单调递增，()[)1,h x a ∈+∞.而()[)20,h x ∈+∞，要使2x 存在且唯一，则有01a a a≥⎧⎨-≤⎩，解得12a ≥.所以1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.当1a ≥时，()h x 在(递减，)+∞递增，())11,h x ⎡∈-+∞⎣.而()()21,h x a ∈-+∞，要使2x 存在且唯一，则有11a -<，解得4a <.所以[)1,4a ∈.综上可知.1,42a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭新定义问题的求解必须紧扣新定义，新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中.。
浙江省宁波2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含解析
宁波2024年度第一学期期中高一数学试卷（答案在最后）（满分150分，考试时间120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,4,7M =，{}4,6,7N =，则M N = （）A.{}1,2,4,6,7B.{}1,2,6C.{}4,7 D.{}2,4【答案】C 【解析】【分析】利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为{}1,2,4,7M =，{}4,6,7N =，所以M N = {}4,7.故选：C.2.命题“N n ∀∈，22Z n n ++∈”的否定为（）A.N n ∀∈，22Z n n ++∉B.N n ∀∉，22Z n n ++∉C.N n ∃∈，22Z n n ++∈D.N n ∃∈，22Zn n ++∉【答案】D 【解析】【分析】利用量词命题的否定方法即可得解.【详解】因为量词命题的否定方法为：改量词，否结论，所以命题“N n ∀∈，22Z n n ++∈”的否定为N n ∃∈，22Z n n ++∉.故选：D.3.已知0.23a =，0.33b =，0.22c =，则（）A.b a c >>B.a b c >>C.b c a >>D.a c b >>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数的单调性与幂函数的单调性即可判断得解.【详解】因为3x y =为单调递增函数，所以0.30.233>，则b a >，因为0.2y x =为增函数，所以0.20.232>，则a c >，综上，b a c >>.故选：A.4.已知正实数a ，b 满足2a b +=，则312a b+的最小值为（）A.272B.14C.15D.27【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因正实数a ，b 满足2a b +=，所以31213121312127()15152222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当312b a a b=，即24,33a b ==时取等号，所以312a b+的最小值为272.故选：A 5.函数3(e)x f xx =的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】先利用奇偶函数的定义判断得()f x 的奇偶性排除AB ，再利用指数函数的性质分析得()f x 的正负情况，从而排除C ，由此得解.【详解】对于3()ex xf x =，其定义域为R ，又33()()e ex xx xf x f x ---==-=-，则()f x 是奇函数，排除AB ，当0x >时，30x >，e e 0x x =>，所以()0f x >，排除C ，又选项D 的图象满足上述性质，故D 正确.故选：D.6.设m ∈R ，“12m <-”是“方程22(3)40m x m x -++=在区间(2,)+∞上有两个不等实根”的（）条件.A.充分必要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要【答案】C 【解析】【分析】举反例说明充分性，利用二次方程根的分布说明必要性，从而得解.【详解】当12m <-时，取3m =-，则方程22(3)40m x m x -++=为2940x +=，显然无解，即充分性不成立；当方程22(3)40m x m x -++=在区间(2,)+∞上有两个不等实根时，则()22222Δ344032242(3)40m m m m x m m m ⎧>⎪=+-⨯>⎪⎪⎨+=>⎪⎪⎪-++>⎩，即0315********m m m m m m ≠⎧⎪⎪-<<⎪⎪⎨-<<<<⎪⎪⎪-⎪⎩或或，则3152m -<<-，此时12m <-成立，即必要性成立；所以前者是后者的必要不充分，故C 正确.故选：C.7.中国5G 技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：2log 1S C W N⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，将信噪比SN从2000提升至10000，则C 大约增加了(lg 20.3010)≈（）A .18%B.21% C.23% D.25%【答案】B 【解析】【分析】由已知公式，将信噪比SN看作整体，分别取2000,10000求出相应的C 值，再利用对数运算性质与换底公式变形即可得解.【详解】由题意，将信噪比SN从2000提升至10000，则最大信息传递速率C 从()12log 12000C W =+增加至()22log 110000C W =+，所以2212212210001log log 10001log 20012001log 2001log 2001C C W W C W --==3100011000010lglg lg10.3012001200020.2121%lg 2001lg 2000lg 2lg100.3013-=≈==≈=++.故选：B.8.已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，若函数()g x 满足(),0()(),0f x x g x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，且(())0g f x a -=有8个不同的解，则实数a 的取值范围为（）A.1a <-B.10a -<<C.01a <<D.1a >【答案】B 【解析】【分析】先利用函数的奇偶性与题设条件得到()f x 与()g x 的解析式，设()t f x =，作出函数()g t 的图象，数形结合，分类讨论函数1a <-、10a -<<与0a >三种情况，得到对应情况下(())0g f x a -=的解的个数，从而得解.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x ≥时 ，令0x <，则0x ->，则()22f x x x -=+，又()()22f x f x x x=--=--所以()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，则()222,02,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，设()t f x =，作出函数()g t 的图象，对于A ，当1a <-时，函数()g t a =没有实数根，不满足题意；对于B ，当10a -<<时，函数()g t a =有四个根1234,,,t t t t ，其中1(2,1)t ∈--，2(1,0)t ∈-，3(0,1)t ∈，4(1,2)t ∈；作出()f x 与1y t =、2y t =、3y t =与4=y t 的图象，如图，显然几个函数恰有8个交点，则(())0g f x a -=有8个不同的解，故B 正确；对于CD ，当0a >时，函数()g t a =有两个根12,t t ，其中1(,2)t ∈-∞-，2(2,)t ∈+∞，与选项B 同理可知()f x 与1y t =、2y t =各有一个交点，则(())0g f x a -=只有2个不同的解，不满足题意，故CD 错误.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（）A.11a b< B.11a cb c<--C.ac bc > D.22a b c c >【答案】AD 【解析】【分析】根据不等式的性质，作差逐一判断即可.【详解】因为0a b >>，选项A ：110b aa b ab --=<，所以11a b<，故A 说法正确；选项B ：()()11b aa cbc a c b c --=----，当a b c >>或c a b >>时，()()0b aa cbc -<--，即11a c b c<--；当a c b >>时，()()0b a a c b c ->--，即11a c b c>--，故B 说法错误；选项C ：当0c =时，ac bc =，故C 说法错误；选项D ：因为210c >，所以22a b c c >，故D 说法正确；故选：AD10.已知函数)()lg 1f x x =-+，则下列说法正确的是（）A.()f x 的值域为RB.(1)f x +关于原点对称C.()f x 在(1,)+∞上单调递增D.()f x 在[1,1]x m m ∈-+上的最大值、最小值分别为M 、N ，则0M N +=【答案】ABD 【解析】【分析】利用作差法，结合对数函数的性质判断A ，构造函数())lg k x x =，研究()k x 的性质判断B ，利用()k x 的单调性与奇偶性判断CD ，从而得解.【详解】对于A ，()2222110x x x -+--=>，所以()222210x x x -+>-≥1x >-，10x -+>恒成立，所以()f x 的定义域为R ，且当x 趋于无穷大时，1y x =+接近于0，当x 趋于无穷小时，1y x =+=趋于无穷大，所以()f x 的值域为R ，故A 正确；对于B ，因为))(1)lg (1)1lgf x x x +=-++=，令())lgk x x =，则()(1)f x k x +=，易知()k x 的定义域为R ，又()()))lglglg10k x k x x x -+=+==，所以()k x 为奇函数，关于原点对称，即(1)f x +关于原点对称，故B 正确；对于C ，因为())1gk x x =-=在()0,∞+上递减，而将()k x 的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，故C 错误；对于D ，因为()k x 在()0,∞+上递减，且())1gk x x =为奇函数，则()00k =，())k x x =-∴在(),-∞+∞上为减函数，而将()k x 的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，()f x ∴在(),-∞+∞上为减函数，即()f x 在[1,1]m m -+上单调递减，则()()()()110M N f m f m k m k m +=-++=-+=，故D 正确.故选：ABD.11.已知函数()f x 满足：对于,x y ∈R ，都有()()()(1)(1)f x y f x f y f x f y -=+++，且(0)(2)f f ¹，则以下选项正确的是（）A.(0)0f = B.(1)0f =C.(1)(1)0f x f x ++-= D.(4)()f x f x +=【答案】BCD 【解析】【分析】利用赋值法，结合条件分析得()()1,0f f 的值，从而判断AB ，利用赋值法，结合AB 中的结论、抽象函数的奇偶性和周期性的判定方法判断CD ，从而得解.【详解】对于B ：令0x y ==，则()()()22001,f f f ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦令1x y ==，则()()()22012,f f f ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦所以()()2202,f f ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦因为()()02f f ≠，所以()()02f f =-，令1,0x y ==，则()()()()()110210f f f f f =+=，故B 正确；对于A ：由选项B 可得()()200f f ⎡⎤=⎣⎦，所以()00f =或()01f =，若()00f =，则()()()220120f f f ⎡⎤⎡⎤=+=⎣⎦⎣⎦，所以()20f =，这与()()02f f ≠矛盾，舍去；若()01f =，则()()()220120f f f ⎡⎤⎡⎤=+=⎣⎦⎣⎦，解得()21f =±，因为()()02f f ≠，所以()21f =-，()01f =，故A 错误；对于C ：令0x =，则()()()()()011f y f f y f f y -=++，因为 ，()01f =，所以()()f y f y -=，所以()f x 为偶函数，令1x =，则()()()()()()11211f y f f y f f y f y -=++=-+，即()()11f x f x -=-+，所以(1)(1)0f x f x ++-=，故C 正确；对于D ：由选项C 知()()11f x f x -=-+，所以()()2f x f x -=-+，又()f x 为偶函数，所以()()()2f x f x f x =-=-+，即 t ，所以 t 䁝 t ，故D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还可能得出函数的奇偶性、周期性，这样对规律性求值起到决定性的作用.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数3()log (31)f x x =+的定义域为______.【答案】13x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据对数式的意义即可求解.【详解】要使函数有意义，则13103x x +>⇒>-，所以函数的定义域为13x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故答案为：13x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.13.定义()f x x =⎡⎤⎢⎥（其中⎡⎤⎢⎥x 表示不小于x 的最小整数）为“向上取整函数”.例如 1.11-=-⎡⎤⎢⎥，2.13=⎡⎤⎢⎥，44=⎡⎤⎢⎥.以下描述正确的是______.（请填写序号）①若()2024f x =，则(2023,2024]x ∈，②若27120x x -+≤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥，则(2,4]x ∈，③()f x x =⎡⎤⎢⎥是R 上的奇函数，④()f x 在R 上单调递增.【答案】①②【解析】【分析】利用对“向上取整函数”定义的理解，结合定义域与二次不等式的求解可判断①②，举反例，结合函数奇偶性与单调性的定义可判断③④，从而得解.【详解】因为⎡⎤⎢⎥x 表示不小于x 的最小整数，则有x x ≥⎡⎤⎢⎥且1x x -<⎡⎤⎢⎥，即1x x x -<⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢≤⎥，对于①，()2024f x x ==⎡⎤⎢⎥，则20232024x <≤，即(2023,2024]x ∈，故①正确；对于②，令t x =⎡⎤⎢⎥，则不等式可化为27120t t -+≤，解得34t ≤≤，又t x =⎡⎤⎢⎥为整数，则3t =或4t =，当3t =时，即3x =⎡⎤⎢⎥，则23x <≤；当4t =时，即4x =⎡⎤⎢⎥，则34x <≤，所以24x <≤，则(2,4]x ∈，故②正确；对于③，因为()f x x =⎡⎤⎢⎥，则(0.5)1f =，(0.5)0(0.5)f f -=≠-，则()f x x =⎡⎤⎢⎥不是R 上的奇函数，故③错误；对于④，因为()f x x =⎡⎤⎢⎥，则(0.5)1f =，(0.6)1f =，即(0.5)(0.6)f f =，所以()f x 在R 上不单调递增，故④错误.故答案为：①②.14.已知a ，b 满足2221a ab b +-=，则232a ab -的最小值为______【答案】2【解析】【分析】变形给定等式，换元2a b m +=，用m 表示,a b ，再代入，利用基本不等式求出最小值.【详解】由2221a ab b +-=，得(2)()1a b a b +-=，令2a b m +=，则1a b m-=，解得233m a m =+，8322()33m a b a a b m-=+-=+，因此22228116132(32)()()(10)(1022333399m m a ab a a b m m m m -=-=++=++≥+=，当且仅当2216m m=，即24m =时取等号，所以232a ab -的最小值为2.故答案为：2【点睛】关键点点睛：将2221a ab b +-=变形为(2)()1a b a b +-=，令2a b m +=，再表示出,a b 是求出最小值的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.求值（110232ln 2024+-（2）()()24525log 5log 0.2log 2log 0.5++【答案】（1）152（2）14【解析】【分析】（1）根据根式与指数式的互化将根式化为同底的指数式，再结合对数运算性质和指数幂性质即可计算得解.（2）根据对数性质、运算法则和换底公式即可计算求解.【小问1详解】原式()()111125253424211115221222222⨯+⨯=⨯+-=-=-=.【小问2详解】原式225511log 5log 0.2log 2log 0.522⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225525log 5log log 2log log log ⎛=++= ⎝11lg5lg 2122lg 2lg5lg 2lg54=⨯=⨯=.16.已知集合{}121A x m x m =+≤≤-，11|288x B x -⎧⎫⎨⎬⎩⎭=≤≤.（1）求B ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|24B x x =-≤≤（2）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）利用指数函数的单调性解不等式，从而化简集合B ；（2）利用集合间的包含关系，分类讨论A =∅与A ≠∅两种情况，得到关于m 的不等式（组），解之即可得解.【小问1详解】由11288x -≤≤，得313222x --≤≤，所以313x -≤-≤，解得24x -≤≤，所以{}|24B x x =-≤≤.【小问2详解】因为A B ⊆，{}121A x m x m =+≤≤-，当A =∅时，121m m +>-，得2m <，满足条件；当A ≠∅时，2m ≥且21214m m -≤+⎧⎨-≤⎩，解得522m ≤≤；综上所述，m 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.17.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W （单位：千克）与使用肥料x （单位：千克）满足如下关系：210(3),02()100100,251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩，肥料成本投入为11x 元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）25x 元.已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）.（1）求()f x 的函数关系式；（2）当使用肥料为多少千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）220036600,02()2000200036,251x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪+⎩；（2）当使用肥料为5千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是44603元.【解析】【分析】（1）根据单株产量W 与施用肥料x 满足的关系，结合利润的算法，即可求得答案.（2）结合二次函数的最值以及对勾函数求最值，分段计算水果树的单株利润，比较大小，即可求得答案.【小问1详解】依题意，2200(3)36,02()20()251120()3610020(10036,251x x x f x W x x x W x x x x x ⎧+-≤≤⎪=--=-=⎨--<≤⎪+⎩220036600,022*********,251x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪+⎩.【小问2详解】当02x ≤≤时，2()20036600f x x x =-+，则当2x =时，()f x 取得最大值(2)1328f =；当25x <≤时，500()203636(1)20364[9(1)]112000f x x x x x =--+=-++++令1(3,6]x t +=∈，5005009(1)91x t x t ++=++，函数5009t t y +=在(3,6]上单调递减，当6t =时，min 4123y =，此时5x =，()f x 取得最大值4460(5)3f =，而446013283<，因此当5x =时，max 4460()3f x =，所以当使用肥料为5千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是44603元.18.已知函数()42x xa f x -=为奇函数，（1）求a 的值；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义加以证明；（3）求关于x 的不等式()22(4)0f x x f x ++-<的解集.【答案】（1）1a =（2）()f x 在R 上单调递增，证明见解析（3）{}41x x -<<【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质()00f =求得a ，再进行检验即可得解；（2）利用函数单调性的定义，结合作差法与指数函数的性质即可得解；（3）利用()f x 的奇偶性与单调性，将问题转化为224x x x +<-，从而得解.【小问1详解】因为()42x x a f x -=为奇函数，且定义域为R ，所以()00f =，则00402a -=，解得1a =，此时()411222x x x x f x -==-，则()()112222x x x x f x f x --⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝⎭，即()f x 为奇函数，所以1a =.【小问2详解】()f x 在R 上单调递增，证明如下：任取12,R x x ∈，且12x x <，则12220x x -<，12220x x ⋅>则()()1222211112111122222222x x x x x x x x f x f x ⎛⎫-=---=-+- ⎪⎝⎭()12121212122212222102222x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+=-+< ⎪⋅⋅⎝⎭，所以()()12f x f x <，故()f x 在R 上单调递增.【小问3详解】因为()22(4)0f x x f x ++-<，所以()()22(4)4f x x f x f x +<--=-，则224x x x +<-，即2340x x +-<，解得41x -<<，所以()22(4)0f x x f x ++-<的解集为{}41x x -<<.19.已知函数3()f x x a a x=--+，(R)a ∈，（1）若1a =，求关于x 的方程()1f x =的解；（2）若关于x 的方程2()f x a =有三个不同的正实数根1x ，2x ，3x 且123x x x <<，（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：1333x x x >.【答案】（1）11322x =+（2）（i）732⎛ ⎝；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意得由31x x-=，分类讨论1x ≥与1x <两种情况去掉绝对值即可得解；（2）（i ）分段讨论()f x 的解析式，结合对勾函数的性质分析得()f x 的单调性，进而得到关于a 的不等式，解之即可得解；（ii ）利用（i ）中结论，分析得123x x =与3x 关于a 的表达式，进而得解.【小问1详解】当1a =时，3()11f x x x =--+，则由()1f x =，得31x x -=，当1x ≥时，则31x x -=，即230x x --=，解得11322x =+或11322x =-（舍去）；当1x <时，则31x x -=，即230x x -+=，无实数解，综上，11322x =+.【小问2详解】（i ）因为3()f x x a a x=--+，当x a ≤时，33()2f x x a a a x x x ⎛⎫=-+-+=-+ ⎪⎝⎭，当x a >时，33()f x x a a x x x=--+=-，由对勾函数的性质可知，32y a x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在(上单调递增，在)+∞上单调递减，易知3y x x =-在()0,∞+上单调递增，当)0a a ≤≠时，则32y a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,a 上单调递增，3y x x =-在(),a +∞上单调递增，又当x a =时，332a x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，故方程2()f x a =不可能存在3个不同正实根，所以a ≥32y a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在(上单调递增，在)a 上单调递减，3y x x=-在(),a +∞上单调递增，故2322a a a a a <<-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，解得732a <<即a 的取值范围为2⎛ ⎝；（ii ）12x x ､是方程322a x x a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即22230x a x a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭的两个根，故123x x =，3x 是方程32x x a -=的较大根，即2230x x a--=的较大根，则31x a =+且在区间732⎛+ ⎝上单调递减，所以1233333x x x x ⎛=>=.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
2024-2025学年浙江省嘉兴市高一上学期10月月考数学检测试卷(含解析)
2024-2025学年浙江省嘉兴市高一上学期10月月考数学检测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知集合，，则集合（ ）{}21A x x =-<<{}2,1,1,2B =--A B = A.B.C.D.{}1,0-{}1-{}0,1{}1x =-2. 已知函数的定义域为（ ）()f x =()f x A. B. C. 且 D.{|1}x x ≠-{|0}x x ≥{|0x x ≤1}x ¹-且{|0x x ≥1}x ≠3. 若，则下列正确的是（ ）,,,0a b c a b ∈<<R A .B. C.D. 11a b<ac bc>22()(11)a c b c +<+2a ab<4. 函数的大致图象是（ ）1xy x=+A .B.C. D.5. 使“”成立的必要不充分条件是（ ）11x x +≥-A. B. C. D. 或1<1x -≤2x ≤-11x -≤≤1x ≤-0x ≥6. 已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（ ）a bB.D. 211a b+2a b+7. 命题“∀x ∈R ，∃n ∈N +，使n ≥2x+1”的否定形式是（ ）A. ∀x ∈R ，∃n ∈N +，有n<2x+1B. ∀x ∈R ，∀n ∈N +，有n<2x+1C. ∃x ∈R ，∃n ∈N +，使n<2x+1D. ∃x∈R ，∀n ∈N +，使n<2x+18. 设函数的定义域为，对于任意，若所有点()0)f x a =<D ,m n D ∈构成一个正方形区域，则实数的值为（）()(),P m f n a A. -1B. -2C. -3D. -4二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得部分分.9. 已知为正数，且，则下列说法正确的是（）,x y 1xy =A. 有最小值2B. 有最大值2x y +x y +C. 有最小值2D. 有最大值222x y +22x y +10. 已知命题是真命题，则下列说法正确的是（ ）2:[1,3],40p x x ax ∃∈-+<A. 命题“”是假命题2[1,3],40x x ax ∃∈-+≥B. 命题“”是假命题2[1,3],40x x ax ∀∈-+≥C. “”是“命题为真命题”的充分不必要条件5a >pD. “”是“命题为真命题”的必要不充分条件4a ≥p 11. 著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题平面上点与的距离加以考虑. 结合综上观点，对于函数(,)M x y (,)N a b）()f x A. 的图象是轴对称图形()y f x =B. 的值域是()y fx =[0,4]C.先递减后递增()f x D. 方程有且仅有一个解(())f f x =三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分.12. 集合的子集个数为__________个.{0,1}A =13. 已知一元二次不等式的解集为，则________.210ax bx a -->1{|1}2x x -<<a =14. 函数满足：对任意的都有，且，若()y f x =12,x x R ∈1212()()f x f x x x ->-()220f +=恒成立，则的最小值为___________.22()0(01)f ax x a ax x a x ³-++-+<<a 四、简答题：本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合，，或.{}12A x x =-≤≤{}21B x m x =<<{1C x x =<-x>2}（1）当时，求；1m =-A B ⋂（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.B C ⋂m 16. 某工厂要建造一个长米，宽米的长方形无盖储水池，储水池容积为4800立方米，深x y 为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元.（1）写出总造价与间的关系；z ,x y （2）水池的最低总造价是多少？并求出总造价最低时的值.x 17. 已知命题：“，使得”为真命题．0x ∃∈R 202430x mx m -+-≤（1）求实数m 的取值的集合A ；（2）设不等式的解集为B ，若是的必要不充分条件，求()(3)0x a x a ---≤x A ∈x B ∈实数a 的取值范围．18. 函数()22,01,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+->⎩（1）时，求方程的解；1a =()2f x =（2）求在上的解集；()0f x <(0,)+∞（3）若时，①②同时成立，求的取值范围.0x >a ①恒成立；()2f x a ≥-②函数的值域为.y =[0,)+∞19. 对于定义域为I 的函数，如果存在区间，使得在区间上是单()f x [,]∈m n I ()f x [,]m n 调函数，且函数的值域是，则称区间是函数的一个(),[,]y f x x m n =∈[,]m n [,]m n ()f x “优美区间”.（1）判断函数和函数是否存在“优美区间”，如果存在，写2()y x x R =∈43(0)y x x =->出符合条件的一个“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）（2）如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值.[,]m n 22()1()(0)a a x f x a a x +-=≠n m -2024-2025学年浙江省嘉兴市高一上学期10月月考数学检测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知集合，，则集合（ ）{}21A x x =-<<{}2,1,1,2B =--A B = A.B.C.D.{}1,0-{}1-{}0,1{}1x =-【正确答案】B【分析】运用集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意知：，对于D ，集合的表示有误；A B = {}1-故选：B.2. 已知函数的定义域为（ ）()f x =()f x A. B. C. 且 D.{|1}x x ≠-{|0}x x ≥{|0x x ≤1}x ¹-且{|0x x ≥1}x ≠【正确答案】B【分析】利用函数有意义，列出不等式组并求解即得.【详解】函数，解得，()f x =010x x ≥⎧⎨+≠⎩0x ≥所以的定义域为.()f x {|0}x x ≥故选：B3. 若，则下列正确的是（ ）,,,0a b c a b ∈<<R A. B. C.D. 11a b<ac bc>22()(11)a c b c +<+2a ab<【正确答案】C【分析】利用不等式及其性质逐项判断即可.【详解】对A ，因为，所以，所以不等式两边同时除以得：0a b <<0ab >a b <ab ，故A 错误；11b a <对B ，由，若，则，故B 错误；0a b <<0c >ac bc <对C ，因为，所以不等式两边同时同时乘以得：210c +>a b <21c +，故C 正确；22()(11)a c b c +<+对D ，因为，所以不等式两边同时乘以得：，故D 错误.0a <a b <a 2a ab >故选：C.4. 函数的大致图象是（ ）1xy x =+A.B.C.D.【正确答案】A【分析】探讨函数的定义域、单调性，再逐一分析各选项判断作答.1xy x =+【详解】函数的定义域为，选项C ，D 不满足，1xy x =+{R |1}x x ∈≠-因，则函数在，上都单调递增，B 不满111111x y x x +-==-++1xy x =+(,1)∞--(1,)-+∞足，则A 满足.故选：A方法点睛：函数图象的识别途径：(1)由函数的定义域，判断图象的左右位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性.5. 使“”成立的必要不充分条件是（ ）101x x +≥-A. B. C. D. 或1<1x -≤2x ≤-11x -≤≤1x ≤-0x ≥【正确答案】C【分析】先解不等式，根据不等式的解集以及必要不充分条件的定义即可求解.【详解】不等式可化为，解得，101x x +≥-()()11010x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩1<1x ≤-根据题意成立，反之不成立，1111x x --<≤≤≤⇒所以是成立的必要不充分条件.11x -≤≤11x x +≥-故选：C6. 已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（ ）ab B.D. 211a b +2a b+【正确答案】C【分析】利用重要不等式可得出四个选项中各数的大小.【详解】因为、为互不相等的正实数，a b 所以由重要不等式可得，则，222a b ab +>()()2222222a b a b ab a b +>++=+所以，，()22224a b a b ++>2ab +>>由基本不等式可得，所以，211a b <=+2112a b a b +>>>+.故选：C.7. 命题“∀x ∈R ，∃n ∈N +，使n ≥2x+1”的否定形式是（ ）A. ∀x ∈R ，∃n ∈N +，有n<2x+1B. ∀x ∈R ，∀n ∈N +，有n<2x+1C. ∃x ∈R ，∃n ∈N +，使n<2x+1D .∃x ∈R ，∀n ∈N +，使n<2x+1【正确答案】D【分析】根据全称命题、特称命题的否定表述：条件中的、，然后把结论否定，∀→∃∃→∀即可确定答案【详解】条件中的、，把结论否定∀→∃∃→∀∴“∀x ∈R ，∃n ∈N +，使n ≥2x+1”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N +，使n<2x+1”故选：D本题考查了全称命题、特称命题的否定形式，其原则是将原命题条件中的、且∀→∃∃→∀否定原结论8. 设函数的定义域为，对于任意，若所有点()0)f x a =<D ,m n D ∈构成一个正方形区域，则实数的值为（）()(),P m f n aA. -1B. -2C. -3D. -4【正确答案】D【分析】先求出.进而根据在的单调性，得出函数[]0,2D =22y x x =-[]0,2在.，求解()f x =1x =2=即可得出答案.【详解】由已知可得，.220ax ax -≥因为，所以，解得，所以.0a <220x x -≤02x ≤≤[]0,2D =因为在上单调递减，在上单调递增，22y x x =-[]0,1[]1,2所以，在处取得最小值，22y x x =-1x =1-所以，在处取得最大值，()22y a x x =-1x =a -所以，函数在.()f x =1x =因为，所有点构成一个正方形区域，()()020f f ==()(),P m f n，所以.2=4a =-故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得部分分.9. 已知为正数，且，则下列说法正确的是（）,x y 1xy =A. 有最小值2B. 有最大值2x y +x y +C. 有最小值2D. 有最大值222x y +22x y +【正确答案】AC【分析】利用基本不等式和重要不等式求和的最小值.【详解】为正数，且，,x y 1xy =则有，，当且仅当时等号成立，2x y +≥=2222y x y x ≥=+1x y ==所以有最小值2，有最小值2.x y +22x y +故选：AC.10. 已知命题是真命题，则下列说法正确的是（ ）2:[1,3],40p x x ax ∃∈-+<A. 命题“”是假命题2[1,3],40x x ax ∃∈-+≥B. 命题“”是假命题2[1,3],40x x ax ∀∈-+≥C. “”是“命题为真命题”的充分不必要条件5a >p D. “”是“命题为真命题”的必要不充分条件4a ≥p 【正确答案】BCD【分析】由命题的否定判断AB 选项；分离变量法求出为真命题时的取值范围，再根据p a 充分必要条件的概念判断CD.【详解】不能否定，A 选项错误；2[1,3],40x x ax ∃∈-+<2[1,3],40x x ax ∃∈-+≥命题是真命题，则是假命题，2:[1,3],40p x x ax ∃∈-+<2:[1,3],40p x x ax ⌝∀∈-+≥故B 选项正确；，则当时，，2[1,3],40x x ax ∃∈-+<[1,3]x ∈min 4a x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭由，当且仅当，即时等号成立，44x x +≥=4x x =2x =所以是命题是真命题的充要条件.4a >2:[1,3],40p x x ax ∃∈-+<时有，时不一定有，5a >4a >4a >5a >“”是“命题为真命题”的充分不必要条件，C 选项正确；5a >p 时不一定有，时一定有，4a ≥4a >4a >4a ≥“”是“命题为真命题”的必要不充分条件，D 选项正确.4a ≥p 故选：BCD11. 著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题平面上点与的距离加以考虑. 结合综上观点，对于函数(,)M x y (,)N a b）()f x A. 的图象是轴对称图形()y f x =B. 的值域是()y f x =[0,4]C. 先递减后递增()f xD .方程有且仅有一个解(())f f x =-【正确答案】AC【分析】由题得，设，，，()f x =(,0)P x 2()1,M -(3,2)N 则，作出图形，由点在轴的移动得出的性质，从而判断各选()f x PM PN=-P x ()f x 项．【详解】依题意，，()||f x =对于A ，，则的图象是轴对称图(2)||()f x f x -==()y f x =形，A 正确；对于B ，设，，，则，如图，(,0)P x 2()1,M -(3,2)N ()||||||f x PM PN =-线段轴，当时，，即，//MN x (1,0)P PM PN=(1)0f =又，而不可能共线，即，因此||||||||4PM PN MN -≤=,,P M N ||||||4PM PN -≠，B 错误；()[0,4)f x ∈对于C ，设在轴上，且在右侧，在点右侧，与交于点，则Q x P (1,0)Q P MQ PN E ，||||||ME PE PM +>，则，||||||NE QE QN +>QM PN QE EM PE NE PM QN +=+++>+即，而在轴上点的右侧，，QM QN PM PN->-P x (1,0)PM PN>因此，即0QM QN PM PN ->->QM QN PM PN->-于是点从向右移动时，递增，同理在轴从左侧向点移动时，减P (1,0)()f x P x (1,0)()f x 小，C 正确；对于D ，，，()||f x =(0)(2)f f ==设，则的解是和，有一个解，()t f x =()f t =10t =22t =1()0f x t ==1x=由，两边平方解得2()2f x t ==2=±+1x =，1x =因此有三个解，D 错误．(())f f x =-故选：AC思路点睛：将题中函数转化为轴上点到两定点距离差的绝对值，然后通过点的移动()f x x 确定函数的性质，利用数形结合使得较为复杂的函数问题得到解决.三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分.12. 集合的子集个数为__________个.{0,1}A =【正确答案】4【分析】根据“集合中有个元素，子集个数为”可得结果.n 2n【详解】∵集合中元素个数为2，A ∴集合的子集个数为.A 224=故4.13. 已知一元二次不等式的解集为，则________.210ax bx a -->1{|1}2x x -<<a =【正确答案】【分析】根据一元二次不等式的解以及根与系数关系列方程组，由此求得的值.a 【详解】由于一元二次不等式的解集为，210ax bx a -->1{|1}2x x -<<所以，解得.2011122111122a b a a ⎧⎪<⎪⎪-+=-=⎨⎪⎪-⨯=-=-⎪⎩a=故14. 函数满足：对任意的都有，且，若()y f x =12,x x R ∈1212()()f x f x x x ->-()220f +=恒成立，则的最小值为___________.22()0(01)f ax x a ax xa x ³-++-+<<a 【正确答案】1+【分析】根据题目条件可得在上为增函数，构造函数，把不等式转()f x R ()()g x f x x =+化为，利用函数的单调性得，分离参数，结合基本2()(2)g ax x a g -+³22ax x a -+³a 不等式求的最小值.a 【详解】∵对任意的都有，12,x x ∈R 1212()()f x f x x x ->-∴在上为增函数，()f x R 令，则在上为增函数.()()g x f x x =+()g x R ∵，()220f +=∴，(2)0=g ∴不等式可转化为，22()0(01)f ax x a ax x a x ³-++-+<<2()(2)g ax x a g -+³∴，22ax x a -+³∴，即212x a x +³+2max 21x a x +⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭令，则，2t x =+2(23)x t t =-<<，222215(2)14415x t t x t t t t t +===-+++-+-∵，即，5t t +≥=5t t =t =∴，1154t t £=+-∴，2max 211x x +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭∴，的最小值为.1a ³a 1+故答案为.1+思路点睛：本题考查构造函数解决不等式问题，具体思路如下：根据题目条件可得在上为增函数，构造函数，把不等式转化为()f x R ()()g x f x x =+，利用函数的单调性得，分离参数得，转2()(2)g ax x a g -+³22ax x a -+³a 212x a x +³+化为，令，利用换元法结合基本不等式求的最小值.2max 21x a x +⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭2t x =+a 四、简答题：本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设集合，，或.{}12A x x =-≤≤{}21B x m x =<<{1C x x =<-x >2}（1）当时，求；1m =-A B ⋂（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.B C ⋂m 【正确答案】（1）{}11A B x x ⋂=-≤<（2）312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）当时，写出集合，利用交集的定义可得出集合；1m =-B A B ⋂（2）分析可知，结合题意可知集合中的唯一的整数为，{}21B C x m x ⋂=<<-B C ⋂2-可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.m m 【小问1详解】解：当时，，1m =-{}21B x x =-<<又因为，则.{}12A x x =-≤≤{}11A B x x ⋂=-≤<【小问2详解】解：因为，或，{}21B x m x =<<{1C x x =<-}2x >因为只有一个整数，则，所以，解得，B C ⋂B ≠∅21m <12m <由题意可知，且，B C ≠∅ {}21B C x m x ⋂=<<-则集合中的唯一的整数为，所以，解得.B C ⋂2-2223m m <-⎧⎨≥-⎩312m -≤<-因此，实数的取值范围是.m 312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭16. 某工厂要建造一个长米，宽米的长方形无盖储水池，储水池容积为4800立方米，深x y 为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元.（1）写出总造价与间的关系；z ,x y （2）水池的最低总造价是多少？并求出总造价最低时的值.x 【正确答案】（1）； 240000720()z x y =++（2），.29760040x =【分析】（1）根据题意列出底面积与侧面积，再根据每平米造价即可表示出总造价.（2）利用基本不等式求其最小值即可.【小问1详解】根据题意可知，，则，34800xy =1600xy =又根据题意，总造价()150160023120z x y =⨯++⨯⨯240000720()x y =++【小问2详解】由（1）()150160023120z x y =⨯++⨯⨯，240000720()240000720297600x y =++≥+⨯=当且仅当时，等号成立，40x y ==故水池的长和宽均为时，总造价最低，最低值为元.40m 29760017. 已知命题：“，使得”为真命题．0x ∃∈R 202430x mx m -+-≤（1）求实数m 的取值的集合A ；（2）设不等式的解集为B ，若是的必要不充分条件，求()(3)0x a x a ---≤x A ∈x B ∈实数a 的取值范围．【正确答案】（1）或；{1A m m =≤}3m ≥（2）．(,2][3,)-∞-⋃+∞【分析】（1）根据一元二次方程的判别式进行求解即可；（2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可.【小问1详解】命题“，使得”为真命题，0x ∃∈R 202430x mx m -+-≤所以，2(2)4(43)0m m ∆=---≥即，2430m m -+≥解之得或，1m ≤3m ≥所以实数m 的取值的集合或；；{1A m m =≤}3m ≥【小问2详解】不等式的解集为，()(3)0x a x a ---≤{}3B x a x a =≤≤+因为是的必要不充分条件，所以 ，x A ∈x B ∈B A 则或，3a ≥31a +≤所以或，3a ≥2a ≤-故实数a 的取值范围为．(,2][3,)-∞-⋃+∞18. 函数()22,01,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+->⎩（1）时，求方程的解；1a =()2f x =（2）求在上的解集；()0f x <(0,)+∞（3）若时，①②同时成立，求的取值范围.0x >a ①恒成立；()2f x a ≥-②函数的值域为.y =[0,)+∞【正确答案】（1）或 0x =2x =（2）答案见解析（3）(]1,2-【分析】（1）根据分段函数解析式来求得方程的解.()2f x =（2）对进行分类讨论，由此求得不等式在上的解集.a ()0f x <(0,)+∞（3）根据不等式恒成立以及函数的值域列不等式来求得的取值范围.a 【小问1详解】当时，，1a =()22,0,0x x f x x x x +≤⎧=⎨->⎩所以或，022x x ≤⎧⎨+=⎩202x x x >⎧⎨-=⎩解得或0x =2x =【小问2详解】当时，，0x >()()()21110f x x ax a x x a ⎡⎤=-+-=---<⎣⎦当时，不等式的解集为.11,2a a -==∅当时，不等式的解集为.11,2a a -<<()1,1a -当时，不等式的解集为.11,2a a ->>()1,1a -【小问3详解】当时，0x >①，()2212,10f x x ax a a x ax =-+-≥--+≥，而，211,ax x a x x ≤+≤+12x x +≥=当且仅当时等号成立，所以.1,1x x x ==2a ≤②函数的值域为，y ==[0,)+∞当时，，不符合.1a =-y =0,420x x >--<当，二次函数的开口向下，不符合值域为，10,1a a +<<-()2141y a x x a =+-+-[0,)+∞当时，二次函数的开口向上，10,1a a +>>-()2141y a x x a =+-+-对称轴，()42211x a a-=-=>++要使的值域为，y =[0,)+∞则需，()()2Δ164114200a a a =-+-=-+≥解得.1a -<≤综上所述，的取值范围是.a (]1,2-方法点睛：分段函数的解法：对于小问1，通过分段讨论函数的解析式，分别求解各个区间上的方程的解．分类讨论法：在小问2中，利用分类讨论的方法处理不等式在不同区间上的解集，确保所有情况均被覆盖．二次函数值域分析：在小问3中，通过分析二次函数的对称轴和开口方向，确定函数的值域并结合不等式求解参数的取值范围．19. 对于定义域为I 的函数，如果存在区间，使得在区间上是单()f x [,]∈m n I ()f x [,]m n 调函数，且函数的值域是，则称区间是函数的一个(),[,]y f x x m n =∈[,]m n [,]m n ()f x “优美区间”.（1）判断函数和函数是否存在“优美区间”，如果存在，写2()y x x R =∈43(0)y x x =->出符合条件的一个“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明）（2）如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值.[,]m n 22()1()(0)a a x f x a a x +-=≠n m -【正确答案】（1）存在优美区间是，不存在优美区间；()f x []0,1()g x （2【分析】（1）由函数的单调性及值域及新定义求解；（2）由新定义及函数定义域，确定相应方程有两个同号的不等实根，由此求得参()f x x=数范围.【小问1详解】，在上单调递增，由得或1，20y x =≥2y x =[)0,∞+2x x =x =0函数的值域是，存在优美区间是，()[],0,1y f x x =∈[0,1][0,1]是增函数，若存在优美区间，则，43(0)y x x =->[],m n ()()4343mf m m mf n n n n ⎧-=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪-=⎪⎩而方程组无解，不合题意，所以不存在优美区间；【小问2详解】，因为，()()2221111a a x f x a xa a x +-==+-210a >所以在和上都是增函数，()f x (),0∞-(0,+∞)因此优美区间或，[](),,0m n ∞⊆-[](),0,m n ∞⊆+因为函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区(),[,]y f x x m n =∈[,]m n [,]m n ()f x 间”.所以，所以有两个同号的不等实根，()()f m mf n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩()f x x =,m n ，，()2111f x x a a x =+-=()22210a x a a x -++=，，或，()222Δ40a aa=+->()()2310a a a +->3a <-1a >，同号，满足题意，又，210mna =>,m n221a a a mn a a +++==n m >n m -===，=因为或，所以当，即时，．3a <-1a>113a =3a=()max n m -==关键点点睛：第二问的关键点在于根据函数的单调性得到，从而转化为()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩有两个同号的不等实根，结合韦达定理，即可求出，结合二次函数即()f x x=,m n n m -可求出最大值.。
浙江高一高中数学期末考试带答案解析
浙江高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知，那么下列不等式成立的是（）A．B．C．D．2.若，则点在平面直角坐标系内位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.若，则不等式的解集是（）A．B．C．D．4.设数列满足,且对任意的,点都有,则数列的通项公式为( ) A．B．C．D．5.在下列函数中，图象的一部分如图所示的是A．B．C．D．6.若,则的值为（）A．B．C．D．7.设，若在方向上的投影为2，且在方向上的投影为1，则与的夹角等于（）A．B．C．D．8.已知都是正数，且，又知成等差数列，成等比数列，则有（）A．B．C．D．9.已知函数，若数列满足，数列前ｎ项和为，则( )A．1B．0C．-1D．-210.已知是的外心，，若，则的值为（）A．2B．C．D．二、填空题1.在等比数列中，若，，则＝▲ .2.已知，则的最小值是▲．3.已知平面向量，且满足，则的取值范围为▲ .4.在中，分别是角的对边，已知点是边的中点，且，则角▲ .5.已知数列满足，，，则▲．三、解答题1.（本小题满分8分）已知函数.（I）求的最小正周期和单调递增区间；（II）若锐角满足，求角的值。
2.（本小题满分10分）在中，分别是角的对边，，求的值.3.（本小题满分10分）已知向量，，（I）求与平行的单位向量；（II）设，若存在使得成立，求的取值范围。
4.（本小题满分12分）设数列和满足：，数列是等差数列，为数列的前项和，且，（I）求数列和的通项公式；（II）是否存在，使？若存在，求出，若不存在，说明理由。
浙江高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知，那么下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略2.若，则点在平面直角坐标系内位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】略3.若，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略4.设数列满足,且对任意的,点都有,则数列的通项公式为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】略5.在下列函数中，图象的一部分如图所示的是A．B．C．D．【答案】C【解析】,选C6.若,则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略7.设，若在方向上的投影为2，且在方向上的投影为1，则与的夹角等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略8.已知都是正数，且，又知成等差数列，成等比数列，则有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略9.已知函数，若数列满足，数列前ｎ项和为，则( )A．1B．0C．-1D．-2【答案】C【解析】略10.已知是的外心，，若，则的值为（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】略二、填空题1.在等比数列中，若，，则＝▲ .【答案】【解析】略2.已知，则的最小值是▲．【答案】【解析】略3.已知平面向量，且满足，则的取值范围为▲ .【答案】[1,3]【解析】，设,则4.在中，分别是角的对边，已知点是边的中点，且，则角▲ .【答案】【解析】略5.已知数列满足，，，则▲．【答案】【解析】略三、解答题1.（本小题满分8分）已知函数.（I）求的最小正周期和单调递增区间；（II）若锐角满足，求角的值。
浙江高一高中数学期末考试带答案解析
浙江高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知，则与共线的向量为A．B．C．D．2.函数的零点所在区间为A．B．C．D．3.下列大小关系正确的是A．B．C．D．4.已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正角为A．B．C．D．5.若，则为A．B．C．D．6.函数的单调递减区间为A．B．C．D．7.的最大值为A．B．C．D．8.以下命题正确的是A．若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是棱台；B．在中，若，则；C．“”是“”的必要不充分条件；D．“若且，则”的逆命题是真命题.9.若关于的方程在恒有解，则实数的取值范围是A．B．C．D．10.直角三角形的两条直角边两点分别在轴、轴的正半轴（含原点）上滑动，分别为的中点.则的最大值是A．B．2C．D．二、填空题1.弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为；2.已知与的夹角为，则；3.函数的图象如图所示，则；4.如图，在中，，交于点，设，，用表示______5.已知函数，若关于的方程有唯一一个实数根，则实数的取值范围是；6.已知定义在上的函数满足：是偶函数，且时的解析式为，则时的解析式为；7.关于函数，有以下命题（1）为偶函数；（2）的图象关于直线对称；（3）函数在区间的值域为；（4）在的减区间是和.其中正确命题的序号为 .三、解答题1.在中，已知，（1）判断的形状；（2）若线段的延长线上存在点，使，求点坐标.2.已知，且，（1）求的值；（2）求的值.3.已知函数，（1）若，求实数的解集；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的函数图象上的各点横坐标伸长到原来的倍，得到函数，若，求的值.4.已知函数是偶函数，，（1）求的值；（2）当时，求的解集；（3）若函数的图象总在的图象上方，求实数的取值范围.5.已知函数（1）求函数的定义域；（2）若存在,对任意，总存在唯一，使得成立.求实数的取值范围.浙江高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知，则与共线的向量为A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，那么则与共线的向量要满足，那么对于选项A,分析不满足比例关系，对于选项B，由于不存在实数满足，因此不共线，同理可知选项D，也不满足，排除法只有选C.【考点】共线向量点评：主要是考查了向量共线的概念的运用，属于基础题。
2023-2024学年浙江省杭州市高一上学期期中数学检测试题(含答案)
2023-2024学年浙江省杭州市高一上册期中数学检测试题一、单选题1．若正数x ，y 满足38x =，4y 81=，则x y +=（）A ．1B ．3C ．5D ．7【正确答案】C【分析】根据根式的性质求出x ，y ，即可得解.【详解】解：因为正数x ，y 满足38x =，4y 81=，所以2x =，3y ==，所以235x y +=+=；故选：C2．若集合{4},{31}M x N x x ==≥∣，则M N ⋂=（）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【正确答案】D【分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂.【详解】1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D3．不等式34270x x +-+≥成立的一个充分不必要条件是（）A ．{3,4}x ∈B ．0x ≥C ．1x ≥D ．02x ≤≤【正确答案】A【分析】解指数不等式，根据选项是条件的充分不必要条件来判断即可.【详解】不等式34270x x +-+≥可以化简为：()228270,x x -⋅+≥解得27x ≥或21x ≤，则2log 7x ≥或0x ≤，所以满足条件则选项为A.故选：A4．已知2x >，则42x x +-的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】D【分析】由于2x >，所以20x ->，构造基本不等式即可解决问题.【详解】2x > ，20x ∴->44(2)22622x x x x ∴+=-++≥=--，当且仅当422x x -=-，即=4x 时取等号，故选：D.5．下列结论正确的是（）A ．若ac bc >，则a b>B ．若22a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <D <，则a b>【正确答案】C【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.【详解】A 选项，ac bc >，如()()()()2111-⨯->-⨯-，而21-<-，所以A 选项错误.B 选项，22a b >，如()2210->，而10-<，所以B 选项错误.C 选项，,0,0a b a b c >-><，则()0ac bc a b c -=-<，所以ac bc <，所以C 选项正确.D <<12<，所以D 选项错误.故选：C 6．函数()()2212xf x x x=-+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】分析函数()f x 的奇偶性，利用基本不等式结合排除法可得出合适的选项.【详解】()()2222112xxf x x x x==+-+，该函数的定义域为R ，()()()222211xxf x f x x x -=-=--+-+，则函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，当0x >时，()2220111x f x x x x <==++，当且仅当1x =时，等号成立，排除A 选项.故选：C.7．已知()f x 是定义域为(,)∞∞-+的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．50【正确答案】C【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++ ，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴= ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++== ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．8．已知函数()f x ､()g x 是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()22f x g x ax x +=-+，若对于任意1212x x <<<，都有()()12124g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A ．(][),10,-∞-⋃+∞B ．()0,∞+C ．[)1,-+∞D ．[)1,0-【正确答案】C【分析】由函数的奇偶性可得()()()(),f x f x g x g x -=--=，从而可求得函数()g x 的解析式，再根据()()12124g x g x x x ->--，可得()()112212440g x x g x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+⎣⎦⎣⎦>-，令()()2442h x g x x ax x =+=++，则函数()h x 在()1,2上递增，再根据函数的单调性分0a =和0a ≠结合二次函数的单调性即可得出答案.【详解】解：因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()()(),f x f x g x g x -=--=，又()()22f x g x ax x +=-+，则()()()()22f x g x f x g x ax x -+-=-+=++，两式相加可得()22g x ax =+，若对于任意1212x x <<<，都有()()12124g x g x x x ->--，可变形为()()112212440g x x g x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+⎣⎦⎣⎦>-，令()()2442h x g x x ax x =+=++，则函数()h x 在()1,2上递增，当0a =时，()42h x x =+在()1,2上递增，符合题意，当0a ≠时，则函数()242h x ax x =++为二次函数，对称轴为2x a=-，因为函数()h x 在()1,2上递增，所以021a a>⎧⎪⎨-≤⎪⎩或022a a <⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得0a >或10a -≤<，综上所述，[)1,a ∈-+∞.故选：C.二、多选题9．（多选）下列关系中，正确的是（）．A ．14+∈R BQC ．3-∈NDZ【正确答案】AB【分析】根据各数集的概念直接判断即可.【详解】14+∈R ，故A正确；Q ，故B 正确；N 为自然数集，所以3-∉N ，故C错误；Z ，故D 错误；故选：AB ．10．与不等式220x x -+>的解集相同的不等式有（）A ．220x x --<+B ．22320x x -+>C ．230x x -+≥D ．220x x +->【正确答案】ABC【分析】不等式220x x -+>的解集为R ，再求出各个选项的不等式的解，即得解.【详解】解：因为2(1)4270∆=--⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式220x x -+>的解集为R ，A.14(1)(2)70∆=-⨯--=-<，二次函数的图象开口朝下，所以220x x --<+的解集为R ；B.2(3)42270∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式22320x x -+>的解集为R ；C.2(1)413110∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式230x x -+≥的解集为R ；D.220x x +->，所以(2)(1)0,1x x x +->∴>或<2x -，与已知不符.故选：ABC11．已知0,0a b >>，且4a b +=.则下列不等式恒成立的是（）A ．228a b +≥B 2≥C ．114ab ≥D ．111a b+≤【正确答案】AC【分析】结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】当1,3a b ==112,1a b<+>，所以BD 选项错误.A ，()22282a b a b++≥=，当且仅当2a b ==时，等号成立，A 正确.C ，2042a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，114ab ≥，当且仅当2a b ==时，等号成立，C 正确.故选：AC12．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数2()||af x x x =+（a R ∈）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】BCD【分析】由函数的性质按照0a =、0a >、a<0分类，结合函数图象的特征即可得解.【详解】函数2()||a f x x x =+的定义域为{}0x x ≠，且()()2()||a f x x f x x -=-+=-，所以该函数为偶函数，下面只讨论()0,x ∈+∞时的情况：2(),0a f x x xx =+>，当0a =时，2()f x x =，图象为B ；当0a >时，2222()x x x a a a f x x x =+=++≥=，图象为D ；若a<0时，函数2(),0a f x x xx =+>单调递增，图象为C ；所以函数的图象可能为BCD.故选：BCD.三、填空题13．函数1()f x x=+的定义域为________．【正确答案】(,0)(0,2]-∞ 【分析】根据题意列关于x 的不等式组即可求解.【详解】由题要使得()f x 有意义，则20x x -≥⎧⎨≠⎩，故2x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为(,0)(0,2]-∞ ，故答案为.(,0)(0,2]-∞14．已知三个不等式：①0ab >，②c da b>，③bc ad >，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．【正确答案】3【分析】根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可.【详解】由不等式性质，得000ab ab bc ad c d bc ada b ab>>⎧⎧⎪⎪⇒⇒>-⎨⎨>>⎪⎪⎩⎩；0ab c d bc ad a b >⎧⇒>⎨>⎩；00c dbc adab a b abbc adbc ad-⎧⎧>>⎪⎪⇒⇒>⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩．故可组成3个真命题．故3.15．已知,x y 为正实数，则162yxx x y ++的最小值为__________．【正确答案】6【分析】将原式变形为162y y x x ++，结合基本不等式即可求得最值.【详解】由题得162y x x x y+=+162y y x x++，设(0)y t t x=>，则1616()22282622f t t t t t =+=++-≥=-=++.当且仅当2t =时取等.所以162yxx x y ++的最小值为6.故616．函数()()21(2)12ax x x f x x x ⎧+->⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】根据函数单调性定义，即可求得实数a 的取值范围．【详解】因为函数()()21(2)12ax x x f x x x ⎧+->⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递减函数所以满足012242121a a a <⎧⎪⎪-≤⎨⎪⎪+-≤-+⎩解不等式组可得12a ≤-即1,2a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦所以选A本题考查了分段函数单调性的应用，根据函数单调性求参数的取值范围，属于中档题．四、解答题17．化简求值(1)计算下列式子的值：22.531050.008π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(2)若1004,1025a b ==，求2a b +的值．【正确答案】(1)52(2)2【分析】（1）根据分数指数幂的运算公式，化简求值；（2）根据指对互化，再根据对数运算法则，化简求值.【详解】（1）22.53150.008π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()1521523330.00810.00812⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎝⎭=-=--1313131515252--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦55522=-=（2）因为1004,1025a b ==，所以100log 4lg 2a ==，lg 252lg 5b ==，所以22lg 22lg 52lg102a b +=+==.18．设函数2()(2)3f x ax b x =+-+．(1)若不等式()0f x >的解集为()1,1-，求实数,a b 的值；(2)若()10f =，且∀x ∈R ，使()4f x <成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)32a b =-⎧⎨=⎩(2)()9,1--【分析】（1）由韦达定理列方程组求解可得；（2）该问题为恒成立问题，整理后分二次系数是否等于0两种情况讨论即可.【详解】（1）由题意可知：方程()2230ax b x +-+=的两根是1-，1所以21103(1)11b a a-⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩解得32a b =-⎧⎨=⎩（2）由()10f =得1b a =--∀x ∈R ，()4f x <成立，即使()2210ax b x +--<恒成立，又因为1b a =--，代入上式可得()2310ax a x -+-<恒成立．当0a =时，显然上式不恒成立；当0a ≠时，要使()2310ax a x -+-<恒成立所以()20Δ340a a a <⎧⎪⎨=++<⎪⎩，解得91a -<<-综上可知a 的取值范围是()9,1--．19．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x 千台空调，需另投入资金R 万元，且2210,040901945010000,40x ax x R x x x x ⎧+≤<⎪=⎨-+≥⎪⎩.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R =4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.(1)求2022年该企业年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式；(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.【正确答案】(1)2210600260,040919010000,40x x x W x x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-+-≥⎪⎩(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元【分析】（1）由题意可知10x =时，R =4000，代入函数中可求出a ，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式，（2）分别当040x ≤<和40x ≥求出函数的最大值，比较即可得答案【详解】（1）由题意知，当10x =时，()21010104000R x a =⨯+=，所以a =300.当040x ≤<时，()229001030026010600260W x x x x x =-+-=-+-；当40x ≥时，22901945010000919010000900260x x x x W x x x -+-+-=--=.所以2210600260,040919010000,40x x x W x x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-+-≥⎪⎩，（2）当040x ≤<时，()210308740W x =--+，所以当30x =时，W 有最大值，最大值为8740；当40x ≥时，10000919091908990W x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x=，即x =100时，W 有最大值，最大值为8990.因为87408990<，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.20．已知函数()()221x x af x a +=∈-R 为奇函数.(1)判断()f x 在()0,∞+上的单调性并用函数单调性的定义证明；(2)若存在1x ，()2210x x x >>，使得()f x 在[]12,x x 上的值域为2111,2121x x mm ++⎡⎤⎢⎥--⎣⎦，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)单调递减，证明见解析(2)()9,+∞【分析】（1）根据()f x 为奇函数，求出a ，然后利用单调性的定义法证明即可.（2）根据()f x 在()0,∞+上是减函数，得到1212121xx x m ++=--在()0,∞+上有两解，取()210xt t =->，化简得到()22520t m t +-+=在()0,∞+上有两解，最后利用数形结合即可求解.【详解】（1）()f x 的定义域为{}0x x ≠，因为()221x x a f x +=-为奇函数，所以()()221221*********x x x x x x x x a a a a f x f x a --+++⋅+-+=+=+=-=----，所以1a =，()21212121x x x f x +==+--在()0,∞+上单调递减证明如下：任取1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，则21221x x >>，则()()()()()22111212222221121212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭因为1210x ->，2210x ->，21220x x ->，故()()()()()21121222202121x x x x f x f x --=>--，所以()()12f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递减（2）由（1）知()f x 在()0,∞+上是减函数，所以()f x 在[]12,x x 上的值域为()()21,f x f x ⎡⎤⎣⎦，所以2221111121,212121,2121x x x x x x m m ++⎧+=⎪⎪--⎨+⎪=⎪--⎩所以1212121x x x m ++=--在()0,∞+上有两解所以()()()22121210x x x m ⨯-+--=在()0,∞+上有两解，令()210x t t =->，则关于t 的方程()()2120t t mt ++-=在()0,∞+上有两解，即()22520t m t +-+=在()0,∞+上有两解，所以()250,4Δ5160,m m -⎧>⎪⎨⎪=-->⎩解得9m >，所以实数m 的取值范围为()9,+∞.方法点睛：利用定义法进行证明函数单调性，一定要注意解题步骤：（1）设元；（2）作差；（3）化简；（4）判号；（5）结论，其中的判号这一步骤，尽可能化简成因式分解的形态进行判断.。
2024-2025学年浙江省杭州市高一第一学期期中数学质量检测试题(含解析)
考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸2024-2025学年浙江省杭州市高一第一学期期中数学质量检测试题.选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}M =，{2,3,4}N =，则()UM N =I ð（ ）A. {5}B. {2,3}C. {1,4}D. {1,4,5}【答案】D【解析】【分析】根据交集和补集的概念计算即可.【详解】∵集合{1,2,3}M =，{2,3,4}N =，∴{,}M N 23=I ，又全集{1,2,3,4,5}U =，∴()U M N =I ð{1,4,5}故选：D.2. 下列说法正确的是（ ）A. R x "Î，|1|1x +> B. “2x >且3y >”是“5x y +>”的充要条件C. 0x $>，3x x=- D. “20x x -=”是“1x =”的必要不充分条件【答案】D【解析】【分析】根据绝对值的性质可判断A ；根据充分条件与必要条件的概念可判断B ，D ；解方程可判断C.【详解】对于A ，R x "Î，|1|0x +³，当x =―1时，取等号，故A 错误；对于B ，当2x >且3y >时，可得5x y +>，充分性成立；.当5x y +>时，不一定有“2x >且3y >”，如1,6x y ==，则“2x >且3y >”是“5x y +>”的充分不必要条件，故B 错误；对于C ，由3x x =-得2(1)0x x +=，因为210x +¹，所以0x =，则不存在0x >，使3x x =-成立，故C 错误；对于D ，()2010x x x x -=Û-=Û0x =或1x =，则当20x x -=时不一定有1x =，充分性不成立；当1x =时，一定有20x x -=，必要性成立，则“20x x -=”是“1x =”的必要不充分条件，故D 正确.故选：D.3. 已知集合{}21,,0,,b a a a b a ìü=+íýîþ，则20242024a b +的值为（ ）A. 0B. 1C. 1- D. 1或1-【答案】B【解析】【分析】利用集合相等和集合中元素的互异性，以已知的0,1为突破口，分类讨论求出,a b 的值.【详解】集合{}21,,0,,b a a a b a ìü=+íýîþ，两个集合中元素完全相同，由0a ¹，则有0b a=，得0b =，有a b a +=，所以210a b aa a bì=ïï=íï=+ïî，由集合中元素的互异性，有1a ¹，得1,0a b =-=，则有202420241a b +=.故选：B.4. 设函数1()22x x f x =-，则()f x （ ）A. 奇函数，且在(,)-¥+¥上单调递增B. 是奇函数，且在(,)-¥+¥上单调递减C. 是偶函数，且在(,)-¥+¥上单调递增D. 是偶函数，且在(,)-¥+¥上单调递减【答案】A【解析】【分析】由奇偶性的定义和指数函数的单调性可得结论．【详解】函数1()22x xf x =-的定义域为R ，111()222()222x x x x x x f x f x --æö-=-=-=--=-ç÷èø，可得()f x 为奇函数，函数2x y =和12x y =-在(,)-¥+¥上都单调递增，可得()f x 单调递增，故选：A ．5. 下列函数中最小值为4的是（ ）A. 224y x x =++ B. 4y x x =+C. 2y 22x x -=+D. y =【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A ；当0x <时，即可判断B ；利用基本不等式可判断C ；根据对勾函数的性质可判断D.【详解】对于A ，224y x x =++为二次函数，其对称轴为1x =-，则1x =-时，y 取最小值3，故A 错误；对于B ，当0x <时，40y x x=+<，故B 错误；对于C ，2220,0x x ->>，则2242x x y -³==+=，当且仅当222x x -=，即1x =时等号成立，则2y 22x x -=+的最小值为4，故C 正确；对于D,t t =³1y t t=+，根据对勾函数的性质可知，当t ³时，1y t t =+单调递增，是则t =时，y，故D 错误.故选：C 6. 函数262x y x -=+的图象大致为（ ）A.B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性及特值法可判定选项.【详解】令26()()2x f x x x -=Î+R ，则()2266()()22x x f x f x x x -===-+-+，则262x y x -=+为奇函数，其图象关于原点对称，可排除C 、D ；当1x =时, 62012y -==-<+，可排除A ，从而B 正确.故选：B.7. 下列命题为真命题的是（ ）A. 若0a b >>，则22ac bc > B. 若a b >，则22a b >C. 若0a b <<，则22a ab b >> D. 若a b <，则11a b >【答案】C【解析】【分析】对于ABD ：举反例分析判断；对于C ：根据不等式的性质分析判断.【详解】对于选项A ：若0c =，则220ac bc ==，故A 错误；对于选项B ：若1,1a b ==-满足a b >，则221a b ==，故B 错误；对于选项C ：若0a b <<，则22,a ab ab b >>，即22a ab b >>，故C 正确；对于选项D ：若1,1a b =-=满足a b <，则1111a b=-<=，故D错误；.故选：C.8. 若定义在R 上的偶函数()f x 在(,0]-¥上单调递减，且(2)0f =，则满足(1)(2)0x f x --³的x 的取值范围是（ ）A. [0,1][4,)+¥U B. (,2][2,)-¥-+¥U C. [0,1][2,)È+¥ D. [0,1][2,4]U 【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性和单调性得出()f x 取值情况，进而解不等式即可.【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 在(,0]-¥上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在[0,)+¥上单调递增，且(2)0f -=，所以，当2x £-或2x ³时，()0f x ³；当22x -££时，()0f x £.不等式(1)(2)0x f x --³可变形为10(2)0x f x -³ìí-³î，或10(2)0x f x -£ìí-£î，所以102222x x x -³ìí-£--³î或，或10222x x -£ìí-£-£î，解得4x ³或01x ££，即x 的取值范围是[0,1][4,)+¥U .故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.少选得部分分，错选得0分.9. 已知幂函数12()f x x =，则以下结论正确的是（ ）A. ()f x 的定义域为[0,)+¥ B. ()f x 是减函数C. ()f x 的值域为[0,)+¥ D. ()f x 是偶函数【答案】AC【解析】【分析】由幂函数的性质，判断12()f x x =的定义域值域单调性和奇偶性.【详解】幂函数12()f x x ==，函数定义域为[0,)+¥，A 选项正确；由幂函数的性质可知，12()f x x =在[0,)+¥上单调递增，值域为[0,)+¥，B 选项错误，C 选项正确；函数定义域不关于原点对称，()f x 不是偶函数，D 选项错误.故选：AC.10. 已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,B x y x A y A x y A =ÎÎ-Î，则下列选项中正确的是（ ）A. 集合A 有32个子集B. (2,1)B ÎC. B 中所含元素的个数为10个D. (2,3)B Î【答案】ABC【解析】【分析】A 选项由公式计算集合的子集个数；由定义列举集合B 中的元素，判断选项BCD.【详解】集合A 中有5个元素，则集合A 有5232=个子集，A 选项正确；由{}(,),,B x y x A y A x y A =ÎÎ-Î，则()()()()()()()()()(){}2,1,31,3,2,4,1,4,2,4,3,5,1,5,2,5,3,5,4,B =，B 中所含元素的个数为10个，C 选项正确；(2,1)B Î，(2,3)B Ï，B 选项正确，D 选项错误.故选：ABC.11. 下列说法正确的是（ ）A. 函数1()f x x =在定义域内是减函数B. 若12x <，则函数4221y x x =+-的最大值为3-C. 若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立，则30k -<£D. 若0x >，0y >，3x y xy ++=，则x y +的最小值为2【答案】BCD【解析】【分析】对于A 取反例否定；对于B 、D 运用基本不等式逐一判断即可；对于C 分两种情况0k =与0k ¹判断否恒成立即可是【详解】对于A ：取121,1,x x ==-显然12()()f x f x >，所以A 不正确；对于B ：∵12x <，∴120x ->，4421212112y x x x x æö=+=--++ç÷--èø，因为412412x x -+³=-，当且仅当41212x x -=-时取等号，当12x =-时取等号，所以412412x x æö--+£-ç÷-èø所以44212132112y x x x x æö=+=--++£-ç÷--èø，所以B 正确；对于C ：当0k =时，308-<恒成立；当0k ¹时，则220Δ30k k k <ìí=+<î，∴30k -<<.所以30k -<£，故C 正确；对于D ：因为0x >，0y >，所以由()()()23362022x y x y xy x y xy x y x y x y +æö++=Þ-+=£Þ+++-³Þ+³ç÷èø，当且仅当1x y ==时取等号，故D 正确.故选：BCD.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知()f x 的定义域为[1,3]-，则()2f x 的定义域是__________.【答案】éë【解析】【分析】利用抽象函数定义域的解法求解即可.【详解】因为()f x 的定义域为[1,3]-，对于函数()2f x，需使[]21,3x Î-，解得x éÎë，即()2f x 的定义域是éë，故答案为：éë13.3110.7535=64162---æö++ç÷èø__________.【答案】41 4【解析】.3110.753564162---æö+++ç÷èø()()()13113133425345327=4222464---æöæö+-+++´ç÷ç÷èøèø13233135533=422244-æöæö+-+++´ç÷ç÷ç÷èøèø331=24844-+++41=4故答案为：41414. 设0,0,22x y x y>>+=的最大值为__________.【解析】【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可.【详解】22x y+=Q，==，令t=又22x y=+³Q，0t\<=£21x y==时等号成立,2144tt tt+==+,4y tt=+Qæççè上单调递减，t\=时minmin4()tty=+=，max1(4tt\=+.【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法和基本不等式的知识点，通过“对勾函数”求解最值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步器.15. 已知集合{}21A x x=-££，{}12B x x a=-<<.（1）若1a=，求A BÇ，()UA BUð；（2）若A B B=I，求实数a的取值范围.【答案】（1）{}11A B x xÇ=-<£，(){2UA B x xÈ=<-ð或}1x>-（2）12a£【解析】【分析】（1）直接利用集合的运算求解即可；（2）由A B B=I，得B AÍ，分两种情况讨论求a的取值范围.【小问1详解】若1a=，则{}12B x x=-<<，又{}21A x x=-££，在∴{}11A B x x Ç=-<£；∵{2U A x x =<-ð或x >1}，∴(){2U A B x x È=<-ð或}1x >-.【小问2详解】若A B B =I ，则B A Í．当B =Æ时，有12a -³，解得12a £-，符合题意；当B ¹Æ，由B A Í得1221a a -<ìí£î，解得1122a -<£综上，a 的取值范围为12a £.16. 已知()||(2)().(R)f x x a x x x a a =--+-Î（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若()f x 在R 上为增函数，求a 的取值范围.【答案】（1）(),1-¥（2）[)1,+¥【解析】【分析】（1）1a =代入()f x ，零点分段去绝对值，解不等式()0f x <；（2）零点分段去绝对值，把()f x 表示成分段函数，利用()f x 在R 上为增函数，求a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，222,1()1(2)(1)242,1x x f x x x x x x x x -<ì=--+-=í-+³î，()0f x <等价于1220x x <ìí-<î或212420x x x ³ìí-+<î，解得1x <.不等式()0f x <的解集为(),1-¥.【小问2详解】()222,()(2)()2222,x a x a f x x a x x x a x a x a x a -<ì=--+-=í-++³î，()f x 在R 上为增函数，且()f x 的图象是连续曲线，函数22y x a =-在(),a -¥上单调递增，符合题意；函数()22222y x a x a =-++在[),a +¥上单调递增，则有12a a +£，解得1a ³.所以a 的取值范围为[)1,+¥.17. 某工厂生产某种玩具车的固定成本为15000元，每生产一辆车需增加投入80元.已知总收入R （单位：元）关于月产量x （单位：辆）满足函数：21380(0500),()275000(500).x x x R x x ì-££ï=íï>î（1）将利润P （单位：元）表示为月产量x （单位：辆）的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）【答案】（1）()()2130015000,0500,26000080,(500).x x x P x x x ì-+-££ï=íï->î （2）当月产量为300辆时，利润最大，最大利润为30000元.【解析】【分析】（1）利用题中给出的总收入关于月产量的关系式，由利润=总收入-总成本即可得到答案；（2）分段函数()P x ，分别利用二次函数的性质以及函数的单调性求出定义区间内的最值，比较即可得到答案．【小问1详解】由题可知总成本为1500080x +，∴利润()2130015000(0500),()150008026000080(500).x x x P x R x x x x ì-+-££ï=--=íï->î.【小问2详解】当0500x ££， ()()21300300002P x x =--+，∴当300x =时，()f x 有最大值30000；当500x >时，()6000080P x x =-是减函数，∴()600008050020000P x <-´=.∴当300x =时，有最大值30000，即当月产量为300辆时，利润最大，最大利润为30000元.18. （1）已知0a >，0b >，且1ab =，求114a b a b+++的最小值；（2）设0a >，1b >，若2a b +=，求211a b +-的最小值；（3）求函数()f x =的最大值.【答案】（1）4；（2）3+；（3【解析】【分析】（1）由题可将114a b a b +++化简为4a b a b+++，再利用基本不等式求解即可；（2）利用换元思想，原式可化为2212112132ba b b b b b +=+=----+-，再利用基本不等式即可；（3）由()f x 定义域[]1,1-可得()f x ==()221()2x g x x -=+在区间[]1,1-上的最大值，令[]21,3x t +=Î，利用二次函数的性质求解，【详解】（1）因为0a >，0b >，且1ab =，所以()114444a b a b a b a b ab a b a b+++=+=++³=+++，当且仅当4a b a b+=+，即1a b ==时，等号成立，所以114a ba b+++的最小值为4．（2）设0a >，1b >，若2a b +=，则2a b =-，22121132121323b a bb b b bb b+=+==³=+----+---+当且仅当2b b=，即b =时等号成立，所以2a b ==时，211a b +-的最小值为3+；（3）函数()f x =21020x x ì-³í+¹î，解得11x -££，即函数()f x =[]1,1-，有()f x ==求函数()f x =()221()2x g x x -=+在区间[]1,1-上的最大值，令[]21,3x t +=Î，则2x t =-，故()()2224311341t t g x h t t t t -+-æöæö===-+-ç÷ç÷èøèø，再令11,13s téù=Îêúëû，则()()()()2341311h t s s s s s j ==-+-=---，结合二次函数的图象，当23s =时，得()s j 有最大值2133j æö=ç÷èø，则32t =时()h t 有最大值13，从而12x =-时()f x =19. 已知定义在R 上的奇函数2()1ax bf x x +=+，且13310f æö=ç÷èø.（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并证明你的结论；（3）设()()()()21112g x x f x m x =++++-éùëû，若[]11,2x $Î，对[]21,1x "Î-，有()()122g x f x £成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2()1xf x x =+ （2）单调递增，证明见解析 （3）(],1-¥-【解析】【分析】（1）利用函数为奇函数且13310f æö=ç÷èø，求出,a b 的值得函数()f x 的解析式；（2）定义法判断并证明()f x 在[1,1]-上的单调性；（3）依题意有()()12min min 2g x f x £，分类讨论函数在定义区间内的最小值即可.【小问1详解】定义在R 上的奇函数2()1ax bf x x +=+，有(0)0f b ==，133131019af æö==ç÷èø+，解得1a =，得2()1x f x x =+，函数2()1x f x x =+定义域为R ，()22()()11x x f x f x x x --==-=-+-+，()f x 是奇函数，所以2()1xf x x =+.【小问2详解】()f x 在[1,1]-上的单调递增，理由如下，任取1211x x -£<£，则()()()()()()()()22122121211212222222121212111()()111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，由1211x x -£<£，有211x x <，2110x x -<，210x x ->，()()2212110xx++>，得12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在[1,1]-上的单调递增.【小问3详解】()()()()()22111211g x x f x m x x m x m éù=++++-=+++-ëû，若[]11,2x $Î，对[]21,1x "Î-，有()()122g x f x £，则需要()()12min min 2g x f x £，()f x 在[1,1]-上的单调递增，()()2min 2211f x f =-=-，()()211g x x m x m =+++-，函数图象抛物线开口向上，对称轴为12m x +=-，当122m +-³，即5m £-时，()g x 在[1,2]上单调递减，()()()1min 242111g x g m m ==+++-£-，解得2m £-，则有5m £-；当1122m +<-<，即53m -<<-时，()g x 在11,2m +éù-êúëû上单调递减，在1,22m +éù-êúëû上单调递增，()()21min111111222m m m g x g m m +++æöæöæö=-=-++-+-£-ç÷ç÷ç÷èøèøèø，得()210m -³恒成立，则有53m -<<-；当112m +-£，即3m ³-时，()g x 在[1,2]上单调递增，()()()1min 11111g x g m m ==+++-£-，解得1m £-，则有31m -££-；综上可知，实数m 的取值范围为(],1-¥-。
浙江高一高中数学月考试卷带答案解析
浙江高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在中，三边，，满足，则角等于（）A．B．C．D．2.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了3个伙伴；第2天，4只蜜蜂飞出去，各自找回了3个伙伴......如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的总只数为（）A．243B．729C．1024D．40963.等差数列中，，那么方程的根的情况（）A．没有实根B．两个相等实根C．两个不等实根D．无法判断4.在中，若，其中角，的对边分别为，，则的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰或直角三角形5.已知数列满足，，则（）A．2B．1C．D．6.一艘向正东航行的船，看见正北方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的北偏西，另一灯塔在船的北偏西，则这艘船的速度是每小时（）A．5海里B．海里C．海里D．海里7.已知内接于单位圆，且面积为，则长为的三条线段（）A．不能构成三角形B．能构成一个三角形，其面积为C．能构成一个三角形，其面积大于D．能构成一个三角形，其面积小于二、填空题1.在中，，，，则的面积2.在等比数列中，已知，，则公比．3.在中，角，，的对边分别为，，，若，，成等比数列，且，则．4.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长度之比为8：5则此三角形的面积为_____________5.已知数列满足：，,则该数列的前项积6.已知函数.项数为27的等差数列满足，且公差.若，则当=_____时，.7.给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是l，2，3，…， 2013，从第二行起每一个数都等于它“肩上”两个数之和，最后一行只有一个数M，则这个数M是。
三、解答题1.设公差不等于零的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）求的值.2.在中,分别为内角所对的边，且满足.（1）求的大小；（2）现给出三个条件：①；②；③.试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择并以此为依据求的面积（只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分） .3.已知等比数列中，，且，公比，（1）求；（2）设，求数列的前项和4.在中，角，，的对边分别为且（1）求角的大小；（2）如果，，求边长的值.5.已知数列的前项和，数列的通项为，且满足：①；②对任意正整数都有成立.（1）求与；（2）设数列的前项和为，求证：（）；浙江高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.在中，三边，，满足，则角等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】余弦定理2.一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了3个伙伴；第2天，4只蜜蜂飞出去，各自找回了3个伙伴......如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的总只数为（）A．243B．729C．1024D．4096【答案】D【解析】设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为，由题意可得数列成等比数列，它的首项为4，公比q=4∴的通项公式：，∴到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂【考点】等比数列求和3.等差数列中，，那么方程的根的情况（）A．没有实根B．两个相等实根C．两个不等实根D．无法判断【答案】A【解析】由得，方程转化为，所以方程没有实根【考点】等差数列性质4.在中，若，其中角，的对边分别为，，则的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】或【考点】正弦定理及三角函数公式5.已知数列满足，，则（）A．2B．1C．D．【答案】A【解析】由递推公式可将求得，所以周期为3【考点】数列递推公式6.一艘向正东航行的船，看见正北方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的北偏西，另一灯塔在船的北偏西，则这艘船的速度是每小时（）A．5海里B．海里C．海里D．海里【答案】C【解析】依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，于是这艘船的速度是（海里/小时）．【考点】解三角形的实际应用7.已知内接于单位圆，且面积为，则长为的三条线段（）A．不能构成三角形B．能构成一个三角形，其面积为C．能构成一个三角形，其面积大于D．能构成一个三角形，其面积小于【答案】D【解析】设△ABC的三边分别为a，b，c，利用正弦定理可得，∴a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC，∵a，b，c为三角形的三边，∴sinA，sinB，sinC也能构成三角形的边，面积为原来三角形面积【考点】三角形的面积公式及正弦定理二、填空题1.在中，，，，则的面积【答案】【解析】由得【考点】正弦定理解三角形2.在等比数列中，已知，，则公比．【答案】1或【解析】当时满足，同时成立，当时有，解方程得【考点】等比数列通项及求和3.在中，角，，的对边分别为，，，若，，成等比数列，且，则．【答案】【解析】，，成等比数列【考点】余弦定理解三角形4.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长度之比为8：5则此三角形的面积为_____________【答案】【解析】由已知条件另外两边设长度为，由余弦定理可得，∴k=2，故另两边分别为 16和10，故这个三角形的面积为【考点】余弦定理解三角形5.已知数列满足：，,则该数列的前项积【答案】1【解析】由，可得，所以数列周期为4【考点】数列递推公式6.已知函数.项数为27的等差数列满足，且公差.若，则当=_____时，.【答案】14【解析】因为函数f（x）=tanx是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列有27项，，若，则必有，所以k=14．【考点】函数奇偶性的性质7.给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是l，2，3，…， 2013，从第二行起每一个数都等于它“肩上”两个数之和，最后一行只有一个数M，则这个数M是。
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高一数学 测试题
2.方程x 2-px +6=0的解集为M ,方程x 2+6x -q =0的解集为N ,且M ∩N ={2},那么p +q 等于
A.21
B.8
C.6
D.7
3. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是
A.f (x )=3-x
B.f (x )=x 2-3x
C.f (x )=-1
1+x D.f (x )=-| x | 4.函数f (x )=x 2+2(a －1)x +2在区间(-∞,4］上递减,则a 的取值范围是
A.［-3,+∞］
B.(-∞,-3)
C.(-∞,5］
D.［3,+∞)
5. 下列四个函数中,与y =x 表示同一函数的是
A.y =(x )2
B.y =33x
C.y =2x
D.y =x
x 2
6. 函数y =1-x +1(x ≥1)的反函数是
A.y =x 2-2x +2(x ＜1)
B.y =x 2-2x +2(x ≥1)
C.y =x 2-2x (x ＜1)
D.y =x 2-2x (x ≥1)
7. 已知函数f (x )=12++mx mx 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是
A.0<m ≤4
B.0≤m ≤1
C.m ≥4
D.0≤m ≤4
8.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过200元，则不给予优惠；
(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折 优惠.
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是
A.413.7元
B.513.7元
C.546.6元
D.548.7元
9. 二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y =(a
b )x 的图象只可能是
10. 已知函数f (n )=⎩
⎨⎧<+≥-),10)](5([),10(3n n f f n n 其中n ∈N ，则f (8)等于 A.2 B.4 C.6 D.7
11．如图，设a,b,c,d>0，且不等于1，y=a x , y=b x , y=c x ,y=d x 在同一坐标系中的图象如
图，则a,b,c,d 的大小顺序（ ） A 、a<b<c<d B 、a<b<d<c
C 、b<a<d<c
D 、b<a<c<d
12．.已知0<a<1,b<-1,函数f(x)=a x +b
A.第一象限;
B.第二象限;
C.第三象限;
D.
第Ⅱ卷(非选择题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共2013.已知f (x )=x 2－1(x <0)，则f －1(3)=_______.
14． 函数)23(log 32-=x y 的定义域为______________
15.某工厂8年来某产品产量y 与时间t 年的函数关系如下图，则：
①前3年总产量增长速度增长速度越来越快；
②前3年中总产量增长速度越来越慢；
③第3年后，这种产品停止生产；
④第3年后，这种产品年产量保持不变.
以上说法中正确的是_______. 16. 函数y =⎪⎩
⎪⎨⎧>+≤<+≤+1)( 5-1),(0 30),( 32x x x x x x 的最大值是_______.
三、解答题
17. 求函数y =
12-x 在区间［2,6］上的最大值和最小值.（10分）
18.(本小题满分10分) 试讨论函数f (x )=log a 1
1-+x x (a ＞0且a ≠1)在(1,+∞)上的单调性,并予以证明.
答案
18．解:设u =1
1-+x x ,任取x 2＞x 1＞1,则 u 2－u 1=1
1111122-+--+x x x x =)
1)(1()1)(1()1)(1(122112---+--+x x x x x x =
)1)(1()(21221---x x x x . ∵x 1＞1,x 2＞1,∴x 1－1＞0,x 2－1＞0. 又∵x 1＜x 2,∴x 1－x 2＜0. ∴)
1)(1()(21221---x x x x ＜0,即u 2＜u 1. 当a ＞1时,y =log a x 是增函数,∴log a u 2＜log a u 1, 即f (x 2)＜f (x 1);
当0＜a ＜1时,y =log a x 是减函数,∴log a u 2＞log a u 1, 即f (x 2)＞f (x 1).
综上可知,当a ＞1时,f (x )=log a 11-+x x 在(1,+∞)上为减函数;当0＜a ＜1时,f (x )=log a 1
1-+x x 在(1,+∞)上为增函数.。