流体运动的连续性方程34理性流体运动微分方程及其积分35伯努利方程
流体运动公式范文
流体运动公式范文流体运动是研究流体在力的作用下的运动规律的一门科学，广泛应用于物理学、天文学、气象学、地理学、工程学等领域。
流体运动公式是描述流体运动规律的数学表达式，本文将介绍一些常见的流体运动公式。
1.流体质量守恒公式（连续性方程式）流体质量守恒公式是指在流体运动过程中，单位时间内通过单位面积的流量应该保持不变。
用数学公式表示为：ρAv=常数其中，ρ为流体的密度，A为流体的横截面积，v为流体在横截面上的平均流速。
2.流体动量守恒公式（动量定理）流体动量守恒公式是指在流体运动过程中，单位时间内通过单位面积的动量应该保持不变。
用数学公式表示为：ρAv²+P=常数其中，P为单位面积上的压强。
3.斯托克斯定律斯托克斯定律是描述小球在粘性流体中运动的公式。
当小球半径r很小，速度v很慢时，小球受到的阻力F与速度v、粘度η以及球半径r 的关系为：F = 6πηrv其中，η为流体的动力粘度。
4.泊肃叶方程泊肃叶方程是用来描述流体在管道中沿流向的压力变化和流速变化的公式。
对于稳定流动条件下的水平管道，泊肃叶方程可以表示为：dp/dx = -ρv(d v/dx) - ρgdh其中，p为压力，x为管道流向坐标，ρ为密度，v为流速，g为重力加速度，h为管道高度。
5.柯西方程柯西方程用于描述流体的运动状态，它是连续性方程和动量守恒方程的数学组合。
对于流体的三个方向的速度分量u、v、w，柯西方程可以表示为：ρ(∂u/∂t+u∂u/∂x+v∂u/∂y+w∂u/∂z)=∂p/∂x-ρ(∂φ/∂x+g_x)ρ(∂v/∂t+u∂v/∂x+v∂v/∂y+w∂v/∂z)=∂p/∂y-ρ(∂φ/∂y+g_y)ρ(∂w/∂t+u∂w/∂x+v∂w/∂y+w∂w/∂z)=∂p/∂z-ρ(∂φ/∂z+g_z)其中，t为时间，x、y、z为空间坐标，p为压力，φ为位势，g为重力加速度。
6.纳维-斯托克斯方程（NS方程）纳维-斯托克斯方程是描述粘性流体运动的动力学方程，对于不可压缩、粘性流体的三个方向的速度分量u、v、w，纳维-斯托克斯方程可以表示为：ρ(∂u/∂t+u∂u/∂x+v∂u/∂y+w∂u/∂z)=∂p/∂x-μ(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²+∂²u/∂z²)ρ(∂v/∂t+u∂v/∂x+v∂v/∂y+w∂v/∂z)=∂p/∂y-μ(∂²v/∂x²+∂²v/∂y²+∂²v/∂z²)ρ(∂w/∂t+u∂w/∂x+v∂w/∂y+w∂w/∂z)=∂p/∂z-μ(∂²w/∂x²+∂²w/∂y²+∂²w/∂z²)+ρg其中，t为时间，x、y、z为空间坐标，p为压力，μ为流体的动力粘度，g为重力加速度。
流体动力学
（3）物理意义
p z g
——单位重量流体的总势能（m） ——位置水头+压强水头
u2 2g
——单位重量流体的动能（m）
——速度水头
p u2 z c g 2 g
单位重量流体的机械能守恒（总水头不变）
2.粘性流体元流的伯努利方程
2 p1 u12 p2 u2 z1 z2 hw ' g 2 g g 2 g
只有重力 gdz
p 不可压缩恒定流 dp d 1
2 2 ux uy u z2 u2 d d 2 2
duy dux duz dx dy dz dt dt dt
1 p p p Xdx Ydy Zdz dx dy dz x y z
是无旋流
流体的运动微分方程
1.理想流体运动微分方程 （1）平衡微分方程
1 p X 0 x 1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
1 f p 0
（2）运动微分方程
1 du u f p u u dt t
2
p2 2
v2 1
p1
v1
θ
α F
Fx
1
Fy
e.动量方程
x : p1 A1 p2 A2 cos Fx Qv2 cos v1
y : p2 A2 sin Fy Qv2 sin 0
f.解出Fx、Fy
2 p2 2
F Fx2 Fy2
tg Fy Fx
p1 p2 Q v1 A1 2g z1 z2 K h 4 g g d1 d 2 1
6流体流动微分方程基本内容掌握连续性方程与其推导熟悉
(
v)
0
t
对不可压缩流体，ρ=常数，有әρ/әt=0，则 连续性方程为
v 0
不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而 且应用广泛，很多可压缩流体的流动也可按常 密度流动处理。
8
在直角坐标系中可表示为
vx vy vz 0 x y z
(柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。) 对平面流动
vx vy 0 x y
) dx
ρvz
x
y
5
则输出与输入之差为：
((vx ) (vy ) (vz ))dxdydz
x
y
z
微元体内质量变化率为：
dxdydz
t
6
根据质量守恒原理有：
(vx ) (vy ) (vz ) 0
x
y
z t
或
( v)
0
t
该式即为直角坐标系下的连续性方程。由于
未作任何假设，该方程适用于层流和湍流、 牛顿和非牛顿流体。
27
6.3基本微分方程组的定解条件
N-S方程有四个未知数，vx、vy、vz和p，将 N-S方程和不可压缩流体的连续性方程联立，理 论上可通过积分求解，得到四个未知量。一般 而言，通过积分得到的是微分方程的通解，再 结合基本微分方程组的定解条件，即初始条件 和边界条件，确定积分常数，才能得到具体流 动问题的特解。
（1）固体壁面
粘性流体与一不渗透的，无滑移的固体壁面相接 触，在贴壁处，流体速度
v vw
若流体与物面处于热平衡态，则在物面上必须保持温
度连续
T Tw
30
（2）进口与出口 流动的进口与出口截面上的速度与压强的
分布通常也是需要知道的，如管流。 （3）液体-气体交界面
第3章-流体力学连续性方程微分形式
• 符号说明
物理意义
z 单位重流体的位能（比位能）
p
单位重流体的压能（比压能）
u 2 单位重流体的动能（比动能）
2g
z
p
单位重流体总势能（比势能）
z
p
u2 2g
总比能
第四节 欧拉运动微分方程的积分
几何意义
位置水头 压强水头 流速水头 测压管水头 总水头
( Xdx Ydy
Zdz)
1
(
p x
0
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ，
与流出的流体体积（质量）之差等于零。
适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
第三节 流体动力学基本方程式
6
二、理想流体运动微分方程
理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同：
px py pz p
从理想流体中任取一(x,y,z)为 中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。
u2
( )dx ( )dy ( )dz
z x x 2
y 2
z 2
u2 d( )
2
由以上得：
gdz
d
(
p
)
d
u2 (
)
2
积分得：
z
p
u2 2g
C
第四节 欧拉运动微分方程的积分
• 理想势流伯努里方程
17
z
p
u2 2g
C
或
z1
p 1
u2 1
2g
z2
p2
u22 2g
物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，理想流体各点的总比能 相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。（应用条件：“——”所示）
流體力學第四章伯努利方程
第四章 伯努利方程4.1 伯努利方程4.1.1 理想流体沿流线的伯努利方程1. 伯努利方程的推导将欧拉运动微分方程式积分可以得到流体的压力分布规律，但只能在特殊的条件下，不可能在任何的情况下都可求得其解，故我们需对流场作出如下假设：（1）理想流体（2）定常流动（3）质量力有势（4）不可压缩流体（5）沿流线积分在定常流动的条件下，理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）可以写成 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-z v v y v v x v v z p f z v v y v v x v v y p f z v v y v v x v v x p f z z z y z x z y z y y y x y x z x y x x x ρρρ111 (4.1) 将这个方程沿流线积分，如图4.1所示，可得到伯努利方程。
为此，将式(4.1)的第一式乘以x d 得x zv v x y v v x x v v x x p x f x z x y x x x d d d d 1d ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （1） 按照流线方程 zy x v z v y v x d d d == 将有，y v x v x y d d =，z v x v x z d d =故式（1）可写成x x x x x x x x x v v z zv v y y v v x x v v x x p x f d d d d d 1d =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （2） 式(4.1)的另外两式分别乘y d 、z d 后，作类似的代换，可得y y y v v y yp y f d d 1d =∂∂-ρ （3）z z z v v z zp z f d d 1d =∂∂-ρ （4） 将式（2）、（3）和式（4）相加，得 z z y y x x z y x v v v v v v z zp y y p x x p z f y f x f d d d )d d d (1d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂-++ρ （5） p 的全微分可以表示为 dz zp dy y p dx x p dp ∂∂+∂∂+∂∂= 质量力有势，则必存在势函数U ，满足y f y f x f z zU y y U x x U U y y x d d d d d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂=而 2/d d d d 2v v v v v v v z z y y x x =++式中等号右端的v 为平均速度。
流体力学中的三大基本方程
vy 和 dxdydz y
v z dxdydz z
故单位时间内流出与流入微元体流体质量总变化为：
（ ） （ ） （ ） d x d y d z x y z x y z
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
2 2 g
：单位重量流体所具有的动能；
理解：质量为m微团以v 运动，具有mv2/2动能，若用 重量mg除之得v2/2g
三者之和为单位重量流体具有的机械能。
物理意义：
理想、不可压缩流体在重力场中作稳定 流动时，沿流线or无旋流场中流束运动 时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和是常数，即机械能是守恒的，且 它们之间可以相互转换 。
y y y y x y z y
运动方程：
y x z 0 x y z
2 y 2
2 2 2 1 p z z z z z z z f ( ) x y z z 2 2 2 t x y z z x y z
当地加速度：流场中某处流体运动速度对时间 的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时 间变化特性 迁移加速度：流场由于流出、流进某一微小区 域而表现出的速度变化率。
流体质点加速度
dx x x x x ax x y z dt t x y z dy y y y y ay x y z dt t x y z dz z z z z az x y z dt t x y z
a在三个坐标轴上的分量表示成：
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
d p x d x d y d z d x d y d z f d x d y d z x d t x
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
869《水力学》考试大纲
869《水力学》考试大纲一、考试的基本要求掌握水力学的基本概念、基本原理及基本计算，掌握实验的基本技能，并具有一定的分析、解决本专业涉及水力学问题的能力。
二、考试方式和考试时间闭卷考试，总分150，考试时间为3小时。
三、参考书目《工程流体力学》（水力学）（第三版）上册、下册，闻德荪主编，高等教育出版社四、试题类型：主要包括选择题、填空题、作图题、计算题、综合案例题等类型，并根据每年的考试要求做相应调整。
五、考试内容及要求第一章绪论1.工程流体力学的任务及其发展简史2. 连续介质假设·流体的主要物理性质3. 作用在流体上的力4.工程流体力学的研究方法基本要求：了解流体力学的任务及发展简史；理解连续介质假设含义；掌握流体的主要物理力学性质；理解流体的粘滞性、掌握牛顿内摩擦定律、掌握作用于流体上的质量力和表面力；了解工程流体力学的研究方法。
第二章流体静力学1．流体静压强特性，2．流体的平衡微分方程——欧拉平衡微分方程3．流体静力学基本方程4．液体的相对平衡5．压缩气体中的压强分布规律6．作用在平面上的液体总压力7．作用在曲面上的液体总压力8．力和潜体及浮体的稳定基本要求：熟练掌握静压强的特性，静压强三种计量单位和表示方法，相对平衡压强分布规律，平面及曲面上静水总压力大小、方向及作用点，压力体的概念及绘制。
第三章流体运动学1．描述流体运动的两种方法2．描述流体运动的一些基本概念3．流体运动的类型4．流体运动的连续性方程基本要求：掌握拉格朗日方法和欧拉方法的异同，流量、断面平均速度等概念，均匀流、恒定流特点，流线的特点。
掌握连续性方程及其应用。
第四章理想流体动力学1．理想流体的运动微分方程2．理想流体元流的伯努利方程基本要求：掌握元流伯努利方程的推导及应用。
第五章实际流体动力学基础1．实际流体的N---S2．实际流体元流的伯努利方程3．实际流体总流的伯努利方程4．不可压缩气体的伯努利方程5．总流的动量方程基本要求：掌握功能原理推求元流、总流伯努利方程，伯努利方程及动量方程的应用。
流体动力学动量方程及伯努利方程一流体力学
R
2
d2
p1
R
1
2
R Q(v3x v2x ) Q(0 v2x )
1000( 25 )( 4 25 / 3600 ) 3600 3.14 0.022 4
180N
3 v3 3 R′
v2
3
3
v3
对平板冲击力 F R 180N
总流伯努利方程
z1
p1
1V12
2g
z2
p2
2V2 2
2g
hl
总流伯努利方程意义与微小流束方程相 同，式中以均速替代实际流速，用系数修正
§5.6 动量方程
讨论运动的流体与固体边界的相互作用力。
质点系动量定理
dM dt
d ( mu)
dt
F
概念：
控制体
控制面
流体系统
一、定常不可压缩流体动量方程
p1
d12
4
0
Q(v2 x
v1x) )
Q2
d 2 2
[1 ( d2 )2 ]
4
d1
R
1000( 25 )2 3600
4 0.02 2
[1
( 0.02 ) 2 0.05
]
2.38
105
0.052 4
338N 喷嘴接头处拉力 F R 338N
取2-2,3-3面及射流表面 为控制面
d1
1
v1
2g
z p — 测压管水头；
单位重量流体 具有的比势能
z p u2 H
2g
H—总水头；
单位重量流体的总机械能，总比能
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
流体力学主要公式及方程式
《流体力学与流体机械》(上)主要公式及方程式1．流体的体积压缩系数计算式：pp V V d d 1d d 1p ρρβ=-= 流体的体积弹性系数计算式：ρρd d d d pV p VE =-= 流体的体积膨胀系数计算式：TT V V d d 1d d 1T ρρβ-==2．等压条件下气体密度与温度的关系式：t βρρ+=10t ， 其中2731=β。
3．牛顿内摩擦定律公式：y u AT d d μ±= 或 yuA T d d μτ±== 恩氏粘度与运动粘度的转换式：410)0631.00731.0(-⨯-=EE ν 4．欧拉平衡微分方程式： ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂-=∂∂-=∂∂-010101z p f y p f x pf z y x ρρρ 和 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂-=∂∂-=∂∂-010101z pf r p f r p f z r ρθρρθ 欧拉平衡微分方程的全微分式： )d d d (d z f y f x f p z y x ++=ρ )d d d (d z f r f r f p z r ++=θρθ 5．等压面微分方程式： 0d d d =++z f y f x f z y x0d d d =++z f r f r f z r θθ6．流体静力学基本方程式：C z p=+γ或2211z p z p +=+γγ或2211z g p z g p ρρ+=+相对于大气时：Cz g p a m =-+)(ρρ 或2211)()(z g p z g p a m a m ρρρρ-+=-+7．水静力学基本方程式：h p p γ+=0，其中0p 为自由液面上的压力。
8．水平等加速运动液体静压力分布式：)(0gz ax p p +-=ρ；等压面方程式：C z g ax =+；自由液面方程式：0=+z g ax 。
注意：p 0为自由液面上的压力。
9．等角速度旋转液体静压力分布式：)2(220z gr p p -+=ωγ；等压面方程式：C z g r =-222ω；自由液面方程式：0222=-z g r ω。
流体力学第四章
1.渐变流及其特性
渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于
平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强
按静压强的规律式分布，即
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上 的 各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀 流断面上。
即J=JP。 5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段
的流速水头。
6.如果测压管水头线在总流中心线以上，压强就 是正职；如相反，则压强为负值，则有真空。
4.总流能量方程在推导过程中的限制条件
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流；
（3）质量力只有重力，所研究的流体边界是静止 的（或处于平衡状态）；
取管轴0-0为基准面，测压管所在断面
1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形
心点为计算点，对断面1,2写能量方程（4-
15），由于断面1，2间的水头损失很小，
可视
，取α1=α2=1，得
由此得：
故可解得：
式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流 量计常数。
实际流量 ： μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管
流体力学
第四章 流体动力学基础
本章是工程流体力学课程中最重要的一 章。本章建立了控制流体运动的微分方程， 即理想流体运动微分方程和实际流体的运 动微分方程；并介绍了求解理想流体运动 微分方程的伯努利积分形式；构建了工程 流体力学中应用最广的恒定总流运动的三 大基本方程：连续性方程、伯努利方程 （即能量方程）和动量方程。通过本章的 学习要培养综合运用三大基本方程分析、 计算实际总流运动问题的能力。
道收缩的几何形状而不同。
流体力学中的三大基本方程
刘颖杰
1 连续性微分方程
理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用 数学描述：
[单位时间流出的质量]-[单位时间流入的质量]+[单位时间 质量的累积or增量]=0
•公式推导： （1）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化
假定流体连续地 充满整个流场，从中 任取出以 o x ， y ， z 点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x，
a在三个坐标轴上的分量表示成：
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
d p x d x d y d z d x d y d z f d x d y d z x d t x
单位体积流体的运动微分方程：
d p x fx d t x
⑵几何意义：
z ：单位重量流体的位置水头； （距离某一基准面的高度） P/r : 单位重量流体的压力水头，或静压头； （具有的压力势能与一段液柱高度相 当）
2 : 单位重量流体具有的动压头or速度水头,速度压头。 2g
物理中：质量为m以速度v垂直向上抛能达到的 最高高度为v2/2g
三者之和为单位重量流体的总水头。
几何意义：
理想、不可压缩流体在重力场中作稳态流动时，沿一根 流线（微小流束）的总水头是守恒的，同时可互相转换。
3.2 伯努利方程的应用
①
可求解流动中的流体v、 P及过某一截面的流量；
以伯努利方程为原理测量 流量的装置。
②
皮托管（毕托管）：测量流 场中某一点流速的仪器。
皮托曾用一两端开口弯成 直角的玻璃管测塞那河道 中任一点流速。
流体动力学基本方程 微分形式连续性方程
个坐标方向的投
影（不包括惯性
力）。
二、综合应用举例 【例】 水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径 管相连接处的断面1-1上压力表读数p1=17.6×104Pa，管中流量 qv=0.1m3/s，若直径d1=300㎜，d2=200㎜，转角Θ=600，如图3-25所 示。求水对弯管作用力F的大小
1) 能量形式
2) 压头形式 3) 水头形式
•伯努利方程的物理Байду номын сангаас义
能量意义： p gz V 2 常数
2 沿流线，(压力能＋势能＋动能)守恒
单位：J/kg
V 2 p gz 常数 单位： Pa 2 沿流线，(静压＋位压＋动压)守恒
几何意义：
p V2 z 常数 g 2g
【解】 水流经弯管，动量发生变化，必然产生作用力F。而F与管 壁对水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，将R分解成Rx和Ry 两个分力。
取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，坐标按图示 方向设置。 1.根据连续性方程可求得：
v1
qV d 12
0 .1 4 1.42 2 0 .3
单位：mH 2 O
沿流线, (压力水头＋位置水头＋速度水头)＝总水头, 即：沿流线总水头守恒
恒定总流的动量方程
式中，Fx ,Fy ,Fz 为作用于控制体 上所有外力在三
qv ( 2 v2 x 1v1x ) Fx qv ( 2 v2 y 1v1 y ) Fy qv ( 2 v2 z 1v1z ) Fz
微分形式连续性方程
( u ) ( v ) ( w ) 0 t x y z
流体运动的连续性方程、34理性流体运动微分方程及其积分、35伯努利方程共28页文档
• §3–1 描述流体运动的方法 • §3–2 流体运动的一些基本概念 • §3–3 流体运动的连续性方程 • §3–4 理想流体的运动微分方程及其积分 • §3–5 伯努利方程 • §3–6 动量方程
§３–３ 流体运动的连续性方程
一、连续性微分方程
流场中的微元平行六面控制体
连续性微分方 程的一般形式
(ux)(uy)(uz)0
t x y z
或 (u)0
t
适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
二、连续性积分方程
dV (u)dV0
Vt
V
1、因控制体不随时间变化，式中第一项
1
dV dV
V t
t V
A1 dA1 1
2、据数学分析中的高斯定理，式中第二项
微元平行六面体x方向的受力分析
z
p p dx
M
x 2
N
p p dx
x 2
o
x
微元平行六面体x方向的受力分析 y
fx
fy
1 1
p x p y
du x dt du y
dt
fz
1
p z
du z dt
欧拉运动微分
方程
f 1 p du
dt
f 1put (u)u
二、欧拉运动微分方程的积分
(fxdxfydyfzd)z1(pxdxpydypzd)z
duxdxduydyduz dz dt dt dt
dWd(p)d(u2)
2
W p u2 C
2
不可压缩理想流体 的伯努利积分式
§３–5 伯努利方程
一、理想流体恒定元流的伯努利方程
流体(流体力学三大方程)
流体(流体力学三大方程)
流体力学是研究流体运动的一门科学。
它基于流体三大方程，即
连续性方程、动量方程和能量方程构建，并通过这些方程深入研究流
体在不同条件下的运动规律和性质。
首先，连续性方程是流体力学的基础之一。
这个方程描述了流体
的质量守恒，即相同质量的流体在相同时间内通过任意给定的流体体
积边界的质量是不变的。
这个方程使我们能够理解流体的流动速度和
流量的关系，为日常生活中各种流体系统的设计提供了指导。
其次，动量方程揭示了流体运动中的力学规律。
它表达了流体受
到的力和流体运动状态之间的关系。
通过研究动量方程，我们能够深
入了解流体在不同流速和受力情况下的行为，进而优化流体系统的设计，提高其运行效率。
最后，能量方程描述了流体在运动中的能量变化。
这个方程对于
研究流体的热力学性质非常重要，它考虑了流体在运动中受到的压力、温度和速度等影响。
通过能量方程的研究，我们能够更好地理解流体
系统中的热传递和能量转化过程，从而为改进流体系统的热能利用提
供指导。
总之，流体力学三大方程为我们深入理解流体运动提供了重要的
工具和方法。
通过对连续性方程、动量方程和能量方程的研究，我们
可以揭示流体在不同条件下的运动规律和性质，为流体力学的应用提
供指导。
无论是液体在管道中的流动、气体在发动机中的燃烧，还是
海洋中的涡流运动，流体力学的三大方程都发挥着重要的作用，对于解决实际问题起到了至关重要的作用。
因此，深入学习和理解这些方程，对于从事与流体运动相关的工程和科研工作的人来说是必不可少的。
第三章流体运动学与动力学基础主要内容基本概念欧拉运动微分方程
第三章流体运动学与动力学基础主要内容z基本概念z欧拉运动微分方程z连续性方程——质量守恒*z伯努利方程——能量守恒** 重点z动量方程——动量守恒** 难点z方程的应用第一节研究流体运动的两种方法z流体质点：物理点。
是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性）。
z空间点：几何点，表示空间位置。
流体质点是流体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（x，y，z）上，具有一定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数。
拉格朗日法以流体质点为研究对象，而欧拉法以空间点为研究对象。
一、拉格朗日法（跟踪法、质点法）Lagrangian method1、定义：以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。
2、拉格朗日变数：取t=t0时，以每个质点的空间坐标位置为（a，b，c）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。
3、方程：设任意时刻t，质点坐标为(x，y，z) ，则：x = x(a,b,c,t)y = y(a,b,c,t)z = z(a,b,c,t)4、适用情况：流体的振动和波动问题。
5、优点：可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。
缺点：不便于研究整个流场的特性。
二、欧拉法（站岗法、流场法）Eulerian method1、定义：以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。
2、欧拉变数：空间坐标（x ，y ，z ）称为欧拉变数。
3、方程：因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数。
位置： x = x(x,y,z,t) y = y(x,y,z,t) z = z(x,y,z,t) 速度： u x =u x （x,y,z,t ） u y =u y （x,y,z,t ） u z =u z （x,y,z,t ）同理： p =p （x,y,z,t ） ，ρ=ρ(x,y,z,t) 说明： x 、y 、z 也是时间t 的函数。
第3章流体力学连续性方程微分形式
第三节 流体动力学基本方程式
2.质量力 单位质量力在各坐标轴上分量为X,Y,Z，∴质量力为Xdxdydz x方向（牛顿第二运动定律
Fma ）：
d p p dx dx x ( p ) dydz ( p ) dydz X dxdydz dxd x 2 x 2 d
( u ) x x dx dydz
第三节 流体动力学基本方程式
X方向
( u x) dxdydz x
同理可得：
在dt时间内因密度变化而减少的 质量为：
y方向：
z方向：
( u y ) y dxdydz ( u z ) dxdydz z
dxdydz ( )dxdydz t dxdydz t
( u ) ( u ) ( u ) y x z 0 x y z
适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。
（2）不可压缩流体的连续性微分方程
当为不可压缩流时
0 t
Const
u u u y x z 0 x y z
三、粘性流体的运动微分方程
第四节 欧拉运动微分方程的积分
一、在势流条件下的积分
二、沿流线的积分
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程
在流场内取一微元六面体（如图），边长为dx,dy,dz，中心点O流速为 （ ux,uy,uz ） D' z C' ux dx ux dx A' dz u B' u ux x 2 z x x 2 o’ M uy ux N 以x轴方向为例： C D u 1 x dx dy u u dx 左表面流速 M A x x 2 B o u x x 1 右表面流速 u u dx N x 2 x y ∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差： ( u ) ( u ) x x 1 1 M M [ u dx ] dydz [ u dx ] dydz x 右 左 x 2 x 2 x
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J
dhw`
d(z p u2 )
g 2g
dl
dl
d(z p )
测压管线坡度： J p
g
dl
注意： ① 理想流动流体的总水头线为水平线； ② 实际流动流体的总水头线恒为下降曲线； ③ 测压管水头线可升、可降、可水平。 ④ 若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线，即J=JP。 ⑤ 总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的流速水头。
m
x
m y
(ux ) dxdydz
x
(u y ) dxdydz
y
mz
(uz ) dxdydz
z
2、根据质量守恒定律，单位时间内流进、流出控制体的流体质量差应等于控制体
内因流体密mz
t
dxdydz
(ux ) (u y ) (uz ) 0
t x
一、理想流体恒定元流的伯努利方程
质量力只有重力：fx=0，fy=0，fz=-g
dW fxdx f ydy fzdz gdz
dW d( p ) d(u2 )
2
gdz d( p ) d(u2 ) 0
2
理想流体恒定元流
z p u2 C
g 2g
的伯努利方程
或
z1
p1
g
u12 2g
u 2gh
式中：ξ称为皮托管系数，由实验确定，通常接近于1.0。
三、实际流体恒定总流的伯努利方程
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw
A1
z1
p1
g
u12 2g
gu 1dA1
A2
z2
p2
g
u22 2g
gu
2dA2
qV hwgdqV
1、势能的积分
A(z
p )gudA g(z g
第三章 流体动力学基础
• §3–1 描述流体运动的方法 • §3–2 流体运动的一些基本概念 • §3–3 流体运动的连续性方程 • §3–4 理想流体的运动微分方程及其积 • §3–5 伯努利方程 • §3–6 动量方程
§３–３ 流体运动的连续性方程
一、连续性微分方程
流场中的微元平行六面控制体
1、单位时间内在x、y、z方向流进、流出控制体的流体质量差分别为：
x
y
微元平行六面体x方向的受力分析
z
p p dx
M
x 2
N
p p dx
x 2
o
x
微元平行六面体x方向的受力分析 y
f
x
f
y
1
1
p x p y
dux dt duy
dt
fz
1
p z
duz dt
欧拉运动微分
方程
f 1 p du
dt
f 1 p u (u )u
t
二、欧拉运动微分方程的积分
几何意义
位置水头 压强水头 流速水头 测压管水头
总水头
总水头线和静水头线
二、实际流体恒定元流的伯努利方程
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw
实际流体恒定元流 的伯努利方程
1v12 2g
H1 p1 /g 1
1
z1
0
H Hp
hw
2v22 2g
2 p2 /g H2
2
z2
0
总水头线坡度：
4、沿流线积分
dux
dx
duy
dy
duz
dz
u2 d(
)
dt
dt
dt
2
(
fxdx
f ydy
fzdz)
1
( p x
dx
p y
dy
p z
dz)
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
dW
d
(
p
)
d
u2 (
)
2
W p u2 C
2
不可压缩理想流体 的伯努利积分式
§３–5 伯努利方程
dx
p y
dy
p z
dz)
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
1、恒定流：() 0 t
p dx p dy p dz dp x y z
2、流体不可压缩：ρ=const
1 (p dx p dy p dz) 1 dp d ( p )
x y z
3、质量力有势
fxdx f ydy fzdz dW
总流
(u)dV undA
V
A
t
dV
V
undA 0
A
连续性积分方程 的一般形式
2
dA2 u2 A2
2
三、恒定不可压缩总流的连续性积分方程（the continuity equation）
1
2
A1 dA1 1
u1 元流
总流
dA2 u2 A2
2
A1 u1dA1 A2 u2dA2 0
（ fx （ f y
1
1
p x p y
dux ） dx
dt
duy ） dy
dt
dz （ fz
1
p z
duz dt
）
(
fxdx
f ydy
fzdz)
1
( p x
dx
p y
dy
p z
dz)
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
(
fxdx
f ydy
fzdz)
1
( p x
[例] 皮托管测速
h u2 2g
pB g pA g
u
zA
zB
皮托管测速原理
先按理想流体研究，由A至B建立恒定元流的伯努利方程，有
zA
pA
g
u2 2g
zB
pB
g
0
h
(zB
pB
g
) (zA
pA
g
)
u2 2g
u
2g[(zB
pB g
)
(zA
pA g
)]
2gh
考虑到实际流体粘性作用引起的水头损失和测速管对流动的影响，实际应用 时，应对上式进行修正：
y
z
连续性微分方 程的一般形式
或 (u) 0
t
适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
二、连续性积分方程
dV (u)dV 0
V t
V
1、因控制体不随时间变化，式中第一项
1
dV dV
V t
t V
A1 dA1 1
2、据数学分析中的高斯定理，式中第二项
u1 元流
恒定不可压缩总
v1A1 v2 A2 qV
流的连续性方程
[例] 已知变扩管内水流作恒定流动，其突扩前后管段后管径之比d1/d2=0.5，则突扩 前后断面平均流速之比v1/v2=?。
§３–4 理想流体的运动微分方程及其积分
一、理想流体的运动微分方程
z
p p dx
M
x 2
N
p p dx
x 2
o
z2
p2
g
u22 2g
物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流（无旋流）中 ，理想流体各点的
总机械能相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。
符号说明：
符号
z
p
g
u2 2g
z p
g
z p u2
g 2g
物理意义
单位重流体的位能 单位重流体的压能 单位重流体的动能 单位重流体总势能 单位重流体总机械能
p )
g
udA g(z
A
p
g
)qV
2、动能的积分
A
u3 2g
gdA
g v3
2g
A
g v2
2g
qV
动能修正系数：
A
u3 2g
gdA
1
g
v2 2g
qV
A
A
(
u v
)3
dA
3、 能量损失积分
A hw` gudA ghwqV
g( z1
p1