北京市2008-2019年中考数学分类汇编圆pdf含解析
北京中考数学试题分类汇编
目录北京中考数学试题分类汇编 ............................................................................................................一、实数（共18小题）..................................................................................................................二、代数式（共2小题）................................................................................................................三、整式与分式（共14小题）......................................................................................................四、方程与方程组（共11小题）..................................................................................................五、不等式与不等式组（共6小题） ............................................................................................六、图形与坐标（共4小题）........................................................................................................七、一次函数（共11小题）..........................................................................................................八、反比例函数（共5小题）........................................................................................................九、二次函数（共10小题）..........................................................................................................一十、图形的认识（共11小题）..................................................................................................一十一、图形与证明（共33小题） ..............................................................................................一十二、图形与变换（共12小题） ..............................................................................................一十三、统计（共15小题）..........................................................................................................一十四、概率（共6小题）............................................................................................................北京中考数学试题分类汇编（答案） ............................................................................................一、实数（共18小题）..................................................................................................................二、代数式（共2小题）................................................................................................................三、整式与分式（共14小题）......................................................................................................四、方程与方程组（共11小题）..................................................................................................五、不等式与不等式组（共6小题） ............................................................................................六、图形与坐标（共4小题）........................................................................................................七、一次函数（共11小题）..........................................................................................................八、反比例函数（共5小题）........................................................................................................九、二次函数（共10小题）..........................................................................................................一十、图形的认识（共11小题）..................................................................................................一十一、图形与证明（共33小题） ..............................................................................................一十二、图形与变换（共12小题） ..............................................................................................一十三、统计（共15小题）..........................................................................................................一十四、概率（共6小题）............................................................................................................2011-2016年北京中考数学试题分类汇编本套试卷汇编了11-16年北京市中考数学试题真题，将真题按照知识点内容重新进行编排，通过试卷可看出北京中考数学学科各知识点所占整套试卷的百分比，知识点所对应的出题类型。
2008年数学中考试题分类汇编(应用题)
(2008年安徽省)某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%。
求这个月的石油价格相对上个月的增长率。
20．（2008年芜湖市）在抗震救灾活动中，某厂接到一份订单，要求生产7200顶帐篷支援四川灾区，后来由于情况紧急，接收到上级指示，要求生产总量比原计划增加20%，且必须提前4天完成生产任务，该厂迅速加派人员组织生产，实际每天比原计划每天多生产720顶，请问该厂实际每天生产多少顶帐篷?河北周建杰分类（2008年泰州市）15．一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是．tan）（2008年泰州市）24．如图某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i（即 为1︰1.2，坝高为5米，现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽1米，形成新的背水坡EF，其坡度为1︰1.4，已知堤坝总长度为4000米．（1）求完成该工程需要多少土方？（4分）（2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成．按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？（5分）第24题图（2008年南京市）25．（7分）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当2（第25题）（2008年遵义市）26．（12分）某超市销售有甲、乙两种商品．甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润（利润=售价-进价）不少于600元，但又不超过610元．请你帮助该超市设计相应的进货方案．应用；（2）问主要考查一元一次不等式组的应用.以下是江西康海芯的分类:1. （2008年郴州市）我国政府从2007年起对职业中专在校学生给予生活补贴．每生每年补贴1500元．某市预计2008年职业中专在校生人数是2007年的1.2倍，且要在2007年的基础上增加投入600万元．2008年该市职业中专在校生有多少万人，补贴多少万元？辽宁省岳伟分类2008年桂林市1．某校在教学楼前铺设小广场地面，其图案设计如图。
2019年北京市中考数学试卷附分析答案
万
美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是
．
①相比于点 A，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加
快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
②相比于点 B，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决
胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．
位长度，得到点 C，若 CO＝BO，则 a 的值为（ ）
A．﹣3
B．﹣2
C．﹣1
D．1
5．（2 分）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作 ，交射线 OB 于点 D，
连接 CD；
（2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交 于点 M，N；
26．（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax2+bx 与 y 轴交于点 A，将点 A 向右 平移 2 个单位长度，得到点 B，点 B 在抛物线上． （1）求点 B 的坐标（用含 a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点 P（ ， ），Q（2，2）．若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数 图象，求 a 的取值范围． 27．（7 分）已知∠AOB＝30°，H 为射线 OA 上一定点，OH h1，P 为射线 OB 上一点， M 为线段 OH 上一动点，连接 PM，满足∠OMP 为钝角，以点 P 为中心，将线段 PM 顺 时针旋转 150°，得到线段 PN，连接 ON． （1）依题意补全图 1；
组值，如下表：
位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 7 位置 8
PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第三期) 专题9 一元二次方程及其应用(含解析)
一元二次方程及其应用一.选择题1.（2019•湖北省鄂州市•3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）A．B．C．D．0【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝4，代入代数式计算即可．【解答】解：∵x1+x2＝4，∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，∴x2＝，把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，解得：m＝，故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝是解题的关键．2.（2019•湖北省仙桃市•3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A．12 B．10 C．4 D．﹣4【分析】根据根与系数的关系可得α+β＝2，αβ＝﹣4，再利用完全平方公式变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，代入即可求解；【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；故选：A．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．3.（2019•湖北省咸宁市•3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≤1C．m＞1 D．m≥1【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，解得：m≤1．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．4.（2019•四川省达州市•3分）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500（1+x）2＝9100B．2500（1+x%）2＝9100C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．5. （2019•广东广州•3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（）A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，解得：k＝±2．∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（k ﹣1）x ﹣k +2＝0有实数根，∴△＝[﹣（k ﹣1）]2﹣4×1×（﹣k +2）≥0，解得：k ≥2﹣1或k ≤﹣2﹣1，∴k ＝2．故选：D ．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合（x 1﹣x 2+2）（x 1﹣x 2﹣2）+2x 1x 2＝﹣3，求出k 的值是解题的关键．6. （2019•广西北部湾•3分）扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为xm ，则可列方程为 （ ） A ．(30﹣x ) (20﹣x ) =43×20× 30 B ． (30﹣2x ) (20﹣x ) =41×20× 30 C ． 30 x +2×20x ) =41×20× 30 D ． (30﹣2x ) (20﹣x ) =43×20× 30 【答案】D【解析】解：设花带的宽度为xm ，则可列方程为（30-2x ）（20-x ）=×20×30， 故选：D ．根据空白区域的面积=矩形空地的面积可得．本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．7. （2019•贵州省铜仁市•4分）一元二次方程4x 2﹣2x ﹣1＝0的根的情况为（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 B ．【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×4×（﹣1）＝20＞0，∴一元二次方程4x 2﹣2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根．8 （2019•河北省•2分）小刚在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）时，只抄对了a ＝1，b ＝4，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2．则原方程的根的情况是（ ）A ．不存在实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有一个根是x ＝﹣1D ．有两个相等的实数根 A 【解答】解：∵小刚在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）时，只抄对了a ＝1，b ＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，∴（﹣1）2﹣4+c＝0，解得：c＝3，故原方程中c＝5，则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，则原方程的根的情况是不存在实数根．9. （2019•贵州省铜仁市•4分）某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为．20%．【解答】解：设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意舍去）．答：这两年中投入资金的平均年增长率约是20%．10.（2019浙江丽水3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1 【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．【解答】解：用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．（2019•山东威海•3分）已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（）A．2023 B．2021 C．2020 D．2019【分析】根据题意可知b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab﹣3，所求式子化为a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016即可求解；【解答】解：a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab﹣3，∴a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；故选：A．【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．12．（2019•山东潍坊•3分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）A．m＝﹣2 B．m＝3 C．m＝3或m＝﹣2 D．m＝﹣3或m＝2 【分析】设x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，由根与系数的关系得x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2+m，再由x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2代入即可；【解答】解：设x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，∴△＝﹣4m≥0，∴m≤0，∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2+m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4m2﹣2m2﹣2m＝2m2﹣2m＝12，∴m＝3或m＝﹣2；∴m＝﹣2；故选：A．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．13．(2019•浙江丽水•3分)用配方法解方程x2－6x－8＝0时，配方结果正确的是() A．(x－3)2＝17 B．(x－3)2＝14 C．(x－6)2＝44 D．(x－3)2＝1【考点】用配方法解一元二次方程．【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．【解答】解：用配方法解方程x2－6x－8＝0时，配方结果为(x－3)2＝17，故选A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．14. (2019湖北咸宁市3分)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≤1C．m＞1 D．m≥1【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，解得：m≤1．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．15（2019湖北省鄂州市）（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）A．B．C．D．0【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝4，代入代数式计算即可．【解答】解：∵x1+x2＝4，∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，∴x2＝，把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，解得：m＝，故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝是解题的关键．16. (2019湖北仙桃)（3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A．12 B．10 C．4 D．﹣4【分析】根据根与系数的关系可得α+β＝2，αβ＝﹣4，再利用完全平方公式变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，代入即可求解；【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；故选：A．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．二.填空题1.（2019•湖北省荆门市•3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为1．【分析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，解得：k1＝﹣，k2＝1．∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，∴k＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，求出k值是解题的关键．2. （2019•甘肃庆阳•4分）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为4．【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝b2﹣4ac＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．【解答】解：由题意，△＝b2﹣4ac＝（）2﹣4＝0得m＝4故答案为4【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．3．（2019•山东青岛•3分）若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．【分析】根据“关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于m的一元一次方程，解之即可．【解答】解：根据题意得：△＝1﹣4×2m＝0，整理得：1﹣8m＝0，解得：m＝，故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．4．（2019•山东泰安•4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是k．【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＞0，求出k 的取值范围；【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，解得k；故答案为：k．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．5．（2019•山东威海•3分）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是x1＝，x2＝．【分析】直接利用公式法解方程得出答案．【解答】解：3x2＝4﹣2x3x2+2x﹣4＝0，则b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，故x＝，解得：x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．【点评】此题主要考查了公式法解方程，正确掌握公式法是解题关键．6. (2019湖北荆门)（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为1．【分析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，解得：k1＝﹣，k2＝1．∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，∴k＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，求出k值是解题的关键．三.解答题1.（2019•湖北省鄂州市•8分）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是x1、x2，且+＝x1•x2，试求k的值．【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个不相等的实数根得到△＝（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0，求出k的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出方程解答即可．【解答】（1）解：∵原方程有实数根，∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0∴k≤1（2）∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：x 1+x 2 ＝2，x 1 •x 2 ＝2k ﹣1又∵+＝x 1•x 2， ∴∴（x 1+x 2）2﹣2x 1 x 2 ＝（x 1 •x 2）2∴22﹣2（2k ﹣1）＝（2k ﹣1）2 解之，得：．经检验，都符合原分式方程的根∵k ≤1 ∴． 【点评】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k 的取值范围，此题难度不大．2.（2019•湖北省随州市•7分）已知关于x 的一元二次方程x 2-（2k +1）x +k 2+1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2=3，求k 的值及方程的根．【答案】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-（2k +1）x +k 2+1=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2k +1）2-4（k 2+1）＞0，整理得，4k -3＞0，解得：k ＞，故实数k 的取值范围为k ＞；（2）∵方程的两个根分别为x 1，x 2，∴x 1+x 2=2k +1=3，解得：k =1，∴原方程为x 2-3x +2=0，∴x 1=1，x 2=2．【解析】（1）由于关于x 的一元二次方程x 2-（2k +1）x +k 2+1=0有两个不相等的实数根，可知△＞0，据此进行计算即可；（2）利用根与系数的关系得出x 1+x 2=2k +1，进而得出关于k 的方程求出即可．本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．3.（2019•四川省广安市•10分）已知关于x 的一元二次方程04)4(2=++-k x k x .（1）求证：无论k 为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为1x 、2x ，满足431121=+x x ，求k 的值； （3）若Rt △ABC 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根1x 、2x ，求∆Rt ABC的内切圆半径.（1）证明：Θ0)4(16816)4(222≥-=+-=-+=∆k k k k k ，……………………2分 ∴无论k 为任何实数时，此方程总有两个实数根. ………………3分（2）由题意得：421+=+k x x ，k x x 421=⋅， ……………………4分 431121=+x x Θ，432121=⋅+∴x x x x ，即4344=+k k ， ……………………5分 解得：2=k ； ……………………6分（3）（3）解方程得：41=x ，k x =2， ………………7分根据题意得：22254=+k ，即3=k ，………………8分设直角三角形ABC 的内切圆半径为r ，如图，由切线长定理可得：5)4()3(=-+-r r ， ∴直角三角形ABC 的内切圆半径r =12543=-+； ………………10分 4. （2019•广东广州•12分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G 等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G 基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G 基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G 基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G 基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率．【分析】（1）2020年全省5G 基站的数量＝目前广东5G 基站的数量×4，即可求出结论；（2）设2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为x ，根据2020年底及2022年底全省5G 基站数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．答：计划到2020年底，全省5G 基站的数量是6万座．（2）设2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为x ，依题意，得：6（1+x ）2＝17.34，解得：x 1＝0.7＝70%，x 2＝﹣2.7（舍去）．答：2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为70%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解4题的关键．5. （2019·广西贺州·8分）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？【分析】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，根据该该贫困户2016年及2018年家庭年人均纯收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中正值即可得出结论；（2）根据2019年该贫困户的家庭年人均纯收入＝2018年该贫困户的家庭年人均纯收入×（1+增长率），可求出2019年该贫困户的家庭年人均纯收入，再与4200比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，依题意，得：2500（1+x）2＝3600，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．（2）3600×（1+20%）＝4320（元），4320＞4200．答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6. （2019•黑龙江省绥化市•6分）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．考点：一元二次方程根的判别式，韦达定理。
2019年中考数学全国部分地区有关圆的综合题真题汇编(含答案解析)
有关圆的综合题1．（2019浙江温州22题）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；（2）当BE＝4，CD＝38AB时，求⊙O的直径长．2.（2019浙江绍兴21题）在屏幕上有如下内容：如图，△ABC内接于圆O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D.张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答0（1）在屏幕内容中添加条件∠D=30°，求AD的长，请你解答.（2）以下是小明，小聪的对话：小明：我加的条件是BD=1，就可以求出AD的长.小聪：你这样太简单了，我加的条件是∠A=30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO全等.参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线、添字母），并解答.3.（2019浙江宁波26题）如图1， O 经过等边△ABC 的顶点A ，C （圆心O 在△ABC 内），分别与AB ，CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF ⊥EC 交AE 于点F.（1）求证：BD=BE. （2）当AF ：EF=3:2，AC=6时，求AE 的长。
（3）设 EFAF =x,tan ∠DAE=y. ①求y 关于x 的函数表达式；②如图2，连结OF,OB ，若△AEC 的面积是△OFB 面积的10倍，求y 的值4.（2019浙江金华21题）如图，在OABC，以O为图心，OA为半径的圆与C相切于点B，与OC相交于点D．（1）求的度数。
（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F。
若EF=AB，求∠OCE的度数．5. （2019浙江湖州23题）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A(-3，0)，B(0，3).(1)如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；(2)如图2，已知直线l2: y＝3x-3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的2为半径画圆.一个动点，以Q为圆心，2①当点Q与点C重合时，求证: 直线l1与⊙Q相切；②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点, 连结QM，QN. 问:是否存在这样的点Q，使得△QMN 是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.图1 图26.（2019浙江杭州23题）如图,已知锐角三角形ABC 内接于☉O,OD ⊥BC 于点D,连接OA.(1)若∠BAC=60°,①求证:OD=12OA; ②当OA=1时,求△ABC 面积的最大值;(2)点E 在线段OA 上,OE=OD.连接DE,设∠ABC=m ∠OED,∠ACB=n ∠OED(m,n 是正数).若∠ABC<∠ACB,求证:m-n+2=0.7．（2019四川宜宾23题）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连结DO并延长交⊙O于点E，连结BE 交⊙O于点M．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径OD的长；（3）求线段BM的长．8．（2019四川雅安23题）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC 于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．9．（2019四川遂宁24题）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．（1）求证：∠COD＝∠BAC；（2）求⊙O的半径OC；（3）求证：CF是⊙O的切线．10．（2019四川内江27题）AB与⊙O相切于点A，直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB ＝5，OB与⊙O交于点P，AP的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB＝BC；（2）若⊙O的半径为3，求线段AP的长；（3）若在⊙O上存在点G，使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．11．（2019四川泸州24题）如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，点C在⊙O 上，且PC2＝PB•PA．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．12．（2019四川广元23题）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P 作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连接CO，CB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求P A的长；（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．13．（2019四川达州22题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．14．（2019四川巴中25题）如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OH⊥BC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M．①求证：DC是⊙O的切线．②若AC＝4MC且AC＝8，求图中阴影部分的面积．③在②的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值．参考答案第1题答案.第2题答案.第3题答案. （1）证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60 .∵∠DEB=∠BAC=60 ,∠D=∠C=60∴∠DEB=∠D.∴BD=BE（2）解：如图，过点A 作AG ⊥EC 于点G.∵△ABC 为等边三角形，AC=6，∴BG=21 BC= 21AC=3. ∴在Rt △ABG 中，AG=BG=3 . ∵BF ⊥EC ，∴BF ∥AG.∵AF:EF=3:2,∴BE= BG=2.∴EG=BE+BG=3+2=5.∴在Rt △AEG 中，AE=.（3）解：①如图，过点E 作EH ⊥AD 于点H.∵∠EBD=∠ABC=60°,∴在Rt △BEH 中， BE EH =sin60 = 23. ∴∴∵BG=xBE.∴AB=BC=2BG-2xBE.∴AH-AB+BH=2xBE+ 21BE=(2x+ 21)BE. ∴在Rt △AHE 中,tan EAH =143+=x y ②如图，过点O 作OM ⊥EC 于点M.设BE=a.∵∴CG=BG=xBE=x.∴EC=CG+BG+BE=a+2ax.∴AM=21EC= 21a+ax. ∴BM=EM-BE=ax- 21a ∵BF ∥AG ， ∴△EBF ∽△EGA.∴∵AG= 3BG= 3ax ∴BF=x+11 AG= x ax +13 ∴△OFB 的面积=∴△AEC 的面积=∵△AEC 的面积是△OFB 的面积10倍 ∴∴ 解得∴ 93=y 或73 第4题答案. （1）如图，连结OB ，设⊙O 半径为r ，∵BC 与⊙O 相切于点B ，∴OB ⊥BC ，又∵四边形OABC 为平行四边形，∴OA ∥BC ，AB=OC ，∴∠AOB=90°，又∵OA=OB=r ，∴AB= 2r ，∴△AOB ，△OBC 均为等腰直角三角形，∴∠BOC=45°，∴弧CD 度数为45°.（2）作OH ⊥EF ，连结OE ，由（1）知EF=AB= 2r ，∴△OEF 为等腰直角三角形，∴OH=21 EF= 22r ， 在Rt △OHC 中，∴sin ∠OCE=21222==r r OC OH ， ∴∠OCE=30°.第5题答案.【解答】(1)如图1，连结BP ，过点P 作PH ⊥OB 于点H ，图3则BH ＝OH .∵AO ＝BO ＝3， ∴∠ABO ＝45°，BH ＝12OB ＝2，∵⊙P 与直线l 1相切于点B ，∴BP ⊥AB ，∴∠PBH ＝90°-∠ABO ＝45°.∴PB ＝2BH ＝322， 从而⊙P 的直径长为3 2. (2)证明：如图4过点C 作CE ⊥AB 于点E ，图4将y ＝0代入y ＝3x -3，得x ＝1，∴点C 的坐标为(1，0).∴AC ＝4，∵∠CAE ＝45°，∴CE ＝22AC ＝2 2. ∵点Q 与点C 重合，又⊙Q 的半径为22，∴直线l 1与⊙Q 相切.②解：假设存在这样的点Q ，使得△QMN 是等腰直角三角形，∵直线l 1经过点A (-3，0)，B (0，3)，∴l 的函数解析式为y ＝x ＋3.记直线l 2与l 1的交点为F ，情况一：如图5，当点Q在线段CF上时，由题意，得∠MNQ＝45°.如图，延长NQ交x轴于点G，图5∵∠BAO＝45°，∴∠NGA＝180°-45°-45°＝90°，即NG⊥x轴，∴点Q与N有相同的横坐标，设Q(m，3m-3)，则N(m，m+3)，∴QN＝m＋3-(3m-3).∵⊙Q的半径为22，∴m＋3-（3m-3）＝22，解得m＝3-2，∴3m-3＝6-22，∴Q的坐标为(3-2，6-22).情况二：当点Q在线段CF的延长线上时，同理可得m＝3＋2，Q的坐标为(3＋2，6＋32).∴存在这样的点Q1(3-2，6-32)和Q2(3＋2，6＋32)，使得△QMN是等腰直角三角形.第6题答案. 解析(1)①证明:连接OB,OC.因为OB=OC,OD⊥BC,所以∠BOD=∠BOC=×2∠BAC=60°,所以∠OBD=30°,所以OD=OB=OA.②作AF⊥BC,垂足为点F,所以AF≤AD≤AO+OD=,等号当点A,O,D在同一直线上时取到.由①知,BC=2BD=,所以△ABC的面积=BC·AF≤××=,即△ABC面积的最大值是.(2)证明:设∠OED=∠ODE=α,∠COD=∠BOD=β.因为△ABC是锐角三角形,所以∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,即(m+n)α+β=180°.(*)又因为∠ABC<∠ACB,所以∠EOD=∠AOC+∠DOC=2mα+β.因为∠OED+∠ODE+∠EOD=180°,所以2(m+1)α+β=180°.(**)由(*) (**),得m+n=2(m+1),即m-n+2=0.第7题答案.【解答】（1）证明：∵OA＝OD，∠A＝∠B＝30°，∴∠A＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，∵OD是半径，∴BD是⊙O的切线；（2）∵∠ODB＝90°，∠DBC＝30°，∴OD＝OB，∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半径OD的长为1；（3）∵OD＝1，∴DE＝2，BD＝，∴BE＝＝，∵BD是⊙O的切线，BE是⊙O的割线，∴BD2＝BM•BE，∴BM＝＝＝．第8题答案.【解答】（1）证明：连接OC，AC，∵OE∥AC，∴∠1＝∠ACB，∵AB是⊙O的直径，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE，又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，即∠DBO＝∠OCD，∵DB为⊙O的切线，OB是半径，∴∠DBO＝90°，∴∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴∠3＝60°，又OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠COF＝60°，在Rt△COF中，tan∠COF＝，∴CF＝4．第9题答案. 解：（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，∴∠GAF＝90°，∵AG∥BC，∴AE⊥BC，∴CE＝BE，∴∠BAC＝2∠EAC，∵∠COE＝2∠CAE，∴∠COD＝∠BAC；（2）∵∠COD＝∠BAC，∴cos∠BAC＝cos∠COE＝＝，∴设OE＝x，OC＝3x，∵BC＝6，∴CE＝3，∵CE⊥AD，∴OE2+CE2＝OC2，∴x2+32＝9x2，∴x＝（负值舍去），∴OC＝3x＝，∴⊙O的半径OC为；（3）∵DF＝2OD，∴OF＝3OD＝3OC，∴，∵∠COE＝∠FOC，∴△COE∽△FOE，∴∠OCF＝∠DEC＝90°，∴CF是⊙O的切线．第10题答案.（1）证明：如图1，连接OA，∵AB与⊙O相切，∴∠OAB＝90°，∴∠OAP+∠BAC＝90°，∵OB⊥l ，∴∠BCA+∠BPC＝90°，∵OA＝OP ，∴∠OAP＝∠OPA＝∠BPC，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC；（2）解：如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，则∠APD＝90°，∵OB＝5，OP＝3 ，∴PB＝2，∴BC＝AB＝＝4，在Rt△PBC中，PC＝＝2，∵∠DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，∴△DAP∽△PBC，∴＝，即＝，解得，AP＝；（3）解：如图2，作BC的垂直平分线MN，作OE⊥MN于E，则OE＝BC＝AB＝×，由题意得，⊙O于MN有交点，∴OE≤r，即×≤r ，解得，r≥，∵直线l与⊙O相离，∴r＜5，则使△GBC是以BC为底边的等腰三角形，⊙O的半径r的取值范围为：≤r＜5．第11题答案.第12题答案.（1）证明：连接OD，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，即∠PCD+∠OCD＝90°，∵OA⊥CD ，∴CE＝DE∴PC＝PD∴∠PDC＝∠PCD∵OC＝OD∴∠ODC＝∠OCD，∴∠PDC+∠ODC＝∠PCD+∠OCD＝90°，∴PD是⊙O的切线．（2）如图2，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴tan B＝＝设AC＝m，BC＝2m，则由勾股定理得：m2+（2m）2＝102，解得：m＝，AC＝2，BC＝4，∵CE×AB＝AC×BC，即10CE＝2×4，∴CE＝4，BE＝8，AE＝2在Rt△OCE中，OE＝OA﹣AE＝3，OC＝5，∴CE＝＝＝4，∵∴OP×OE＝OC×OC，即3OP＝5×5，∴OP＝，P A＝OP﹣OA＝﹣5＝．（3）AB2＝4OE•OP如图2，∵PC切⊙O于C，∴∠OCP＝∠OEC＝90°，∴△OCE∽△OPC∴，即OC2＝OE•OP∵OC＝AB∴，即AB2＝4OE•OP．第13题答案. （1）DF与⊙O相切，理由：连接OD，∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠BAD＝∠CAD ，∴＝，∴OD⊥BC，∵DF∥BC ，∴OD⊥DF，∴DF与⊙O相切；（2）∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C，∴△ABD∽△AEC，∴，∴＝，∴BD＝．第14题答案. ①过点O作OG⊥CD，垂足为G，在菱形ABCD中，AC是对角线，则AC平分∠BCD，∵OH⊥BC，OG⊥CD，∴OH＝OG，∴OH、OG都为圆的半径，即DC是⊙O的切线；②∵AC＝4MC且AC＝8，∴OC＝2MC＝4，MC＝OM＝2，∴OH＝2，在直角三角形OHC中，HO＝CO，∴∠OCH＝30°，∠COH＝60°，∴HC＝，S阴影＝S△OCH﹣S扇形OHM＝CH•OH﹣OH2＝2﹣；③作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，∵PM＝NP，∴PH+PM＝PH+PN＝HN，此时PH+PM最小，∵ON＝OM＝OH，∠MOH＝60°，∴∠MNH＝30°，∴∠MNH＝∠HCM，∴HN＝HC＝2，即：PH+PM的最小值为2，在Rt△NPO中，OP＝ON tan30°＝，在Rt△COD中，OD＝OC tan30°＝，则PD＝OP+OD＝2．。
2019年北京中考数学试题(解析版)
{解析}本题考查了反比例函数表达式的求法，确定关于x轴的对称点的坐标是解题的关键.∵点A(a，b)在双曲线 上，∴k1=ab.∵点A与点B关于x轴对称，∴B（a,-b）.∵点B在双曲线 上，∴k2=-ab.∴k1＋k2=0.
{分值}2
{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}
{考点:反比例函数的解析式}
{分值}2
{章节:[1-11-1]与三角形有关的线段}
{考点:三角形的面积}
{考点:准确数与近似数}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}11．（2019年北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是．（写出所有正确答案的序号）
{答案}①②
{解析}本题考查了几何体的三视图.①中长方体的主视图、俯视图和左视图都是矩形，②中圆柱的主视图和左视图都是矩形，③中圆锥的三视图都不是矩形.
{分值}2
{章节:[1-18-2-3] 正方形}
{考点:平行四边形边的性质}
{考点:平行四边形对角线的性质}
{考点:矩形的判定}
{考点:菱形的判定}
{考点:正方形的判定}
{类别:高度原创}{类别:易错题}
{难度:4-较高难度}
{
{题目}17．（2019年北京）计算： ．
{解析}本题考查了实数的运算，掌握绝对值的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值及负指数幂是解题才能正确解答.
{分值}2
{章节:[1-18-2-2]菱形}
{考点:菱形的性质}
{考点:二元一次方程组的应用}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}15．（2019年北京）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差 ，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，－4，9，－5．记这组新数据的方差为 ，则 ．（填“＞”，“＝”或“＜”）
2019年北京市中考数学试卷及答案解析
2019年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分,每小题2分)1．4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（）A．0.439×106B．4.39×106C．4.39×105D．439×1032．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°4．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．15．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC 长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD 长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD6．如果m+n＝1，那么代数式（+）•（m2﹣n2）的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．37．用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．38．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳时间t0≤t＜1010≤t＜2020≤t＜3030≤t＜40t≥40人数学生类型性别男73125304女82926328学段初中25364411高中下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间所有合理推断的序号是（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．分式的值为0，则x的值是．10．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为cm2．（结果保留一位小数）11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是．（写出所有正确答案的序号）12．如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格线交点）．13．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为．14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为．15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为s12，则s12s02（填“＞”，“＝”或”＜”）16．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．二、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，17．（5分）计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．18．（5分）解不等式组：19．（5分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．20．（5分）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tan G＝，求AO的长．21．（5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d．中国的国家创新指数得分为69.5．（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．22．（6分）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．23．（6分）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有x i首，i＝1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三解答下列问题：（1）填入x3补全上表；（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为首．24．（6分）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为cm．25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k 分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．（7分）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M 总有ON＝QP，并证明．28．（7分）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC 中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．2019年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分,每小题2分)1．4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（）A．0.439×106B．4.39×106C．4.39×105D．439×103【答案】C2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C3．正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°【分析】根据多边的外角和定理进行选择．【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，所以正十边形的外角和等于360°，．故选：B．【点评】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．4．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1【分析】根据CO＝BO可得点C表示的数为﹣2，据此可得a＝﹣2﹣1＝﹣3．【解答】解：∵点C在原点的左侧，且CO＝BO，∴点C表示的数为﹣2，∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．故选：A．【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．5．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN．则∠AOB＝20°C．MN∥CD D．MN＝3CD【分析】由作图知CM＝CD＝DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【解答】解：由作图知CM＝CD＝DN，∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；∵OM＝ON＝MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON＝60°，∵CM＝CD＝DN，∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°，故B选项正确；∵∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝20°，∴∠OCD＝∠OCM＝80°，∴∠MCD＝160°，又∠CMN＝∠AON＝20°，∴∠MCD+∠CMN＝180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，∴3CD＞MN，故D选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．6．如果m+n＝1，那么代数式（+）•（m2﹣n2）的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•（m+n）（m﹣n）＝•（m+n）（m﹣n）＝3（m+n），当m+n＝1时，原式＝3．故选：D．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．【解答】解：①若a＞b，ab＞0，则＜，真命题；②若ab＞0，＜，则a＞b，真命题；③若a＞b，＜，则ab＞0，真命题；∴组成真命题的个数为3个；故选：D．【点评】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．8．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳时间t人数学生类型0≤t＜1010≤t＜2020≤t＜3030≤t＜40t≥40性别男73125304女82926328学段初中25364411高中下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间所有合理推断的序号是（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解答】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①（24.5×97+25.5×103）÷200＝25.015，一定在24.5﹣25.5之间，正确；②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间，正确；③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间，正确；④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间，错误．故选：C．【点评】本题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．分式的值为0，则x的值是1．【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0且x≠0，∴x＝1．故答案为1．【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．10．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 1.9cm2．（结果保留一位小数）【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．经过测量，AB＝2.2cm，CD＝1.7cm，∴S△ABC＝AB•CD＝×2.2×1.7≈1.9（cm2）．故答案为：1.9．【点评】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是①②．（写出所有正确答案的序号）【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作答．【解答】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，故答案为：①②．【点评】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．12．如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA＝45°（点A，B，P是网格线交点）．【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠P AB+∠PBA＝45°，故答案为：45．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为0．【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，可得k1＝ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，∴k1＝ab；又∵点A与点B关于x轴的对称，∴B（a，﹣b）∵点B在双曲线y＝上，∴k2＝﹣ab；∴k1+k2＝ab+（﹣ab）＝0；故答案为：0．【点评】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为12．【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，设OA＝x，OB＝y，由题意得：，解得：，得出AC＝2OA＝6，BD＝2OB＝4，即可得出菱形的面积．【解答】解：如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，设OA＝x，OB＝y，由题意得：，解得：，∴AC＝2OA＝6，BD＝2OB＝4，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×6×4＝12；故答案为：12．【点评】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为s12，则s12＝s02（填“＞”，“＝”或”＜”）【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴则s12＝S02．故答案为＝．【点评】本题考查方差的意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．16．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是①②③．【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，则四边形MNPQ是平行四边形，故当MQ∥PN，PQ∥MN，四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是菱形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，则△AMQ≌△DQP，∴AM＝QD，AQ＝PD，∵PD＝BM，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾，故错误；故答案为：①②③．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．二、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，17．（5分）计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式＝﹣1+2×+4＝﹣1++4＝3+．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（5分）解不等式组：【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x＜2，解②得x＜，则不等式组的解集为2＜x＜．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．（5分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．20．（5分）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tan G＝，求AO的长．【分析】（1）由菱形的性质得出AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，得出AB：BE＝AD：DF，证出EF∥BD即可得出结论；（2）由平行线的性质得出∠G＝∠ADO，由三角函数得出tan G＝tan∠ADO＝＝，得出OA＝OD，由BD＝4，得出OD＝2，得出OA＝1．【解答】（1）证明：连接BD，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，∵BE＝DF，∴AB：BE＝AD：DF，∴EF∥BD，∴AC⊥EF；（2）解：如图2所示：∵由（1）得：EF∥BD，∴∠G＝∠ADO，∴tan G＝tan∠ADO＝＝，∴OA＝OD，∵BD＝4，∴OD＝2，∴OA＝1．【点评】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．21．（5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d．中国的国家创新指数得分为69.5．（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第17；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 2.8万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是①②．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．【分析】（1）由国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，即可得出结果；（2）根据中国在虚线l1的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；（3）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；（4）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．【解答】解：（1）∵国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，故答案为：17；（2）如图所示：（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；故答案为：2.8；（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；故答案为：①②．【点评】本题考查了频数分布直方图、统计图、样本估计总体、近似数和有效数字等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．22．（6分）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．【分析】（1）利用圆的定义得到图象G为△ABC的外接圆⊙O，由∠ABD＝∠CBD得到＝，从而圆周角、弧、弦的关系得到AD＝CD；（2）如图，证明CD＝CM，则可得到BC垂直平分DM，利用垂径定理得到BC为直径，再证明OD⊥DE，从而可判断DE为⊙O的切线，于是得到直线DE与图形G的公共点个数．【解答】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图象G为△ABC的外接圆⊙O，∵AD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝CD；（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC＝90°，∵＝，∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定．23．（6分）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有x i首，i＝1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三解答下列问题：（1）填入x3补全上表；（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为4，5，6；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为23首．【分析】（1）根据表中的规律即可得到结论；（2）根据题意列不等式即可得到结论；（3）根据题意列不等式，即可得到结论．第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组x3x3x3第4组x4x4x4∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，∴x1+x3≥8①，∵x1+x3+x4≤14②，把①代入②得，x4≤6，∴4≤x4≤6，∴x4的所有可能取值为4，5，6，故答案为：4，5，6；（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④，①+②+④﹣③得，3x2≤28，∴x2≤，∴x1+x2+x3+x4≤+14＝，∴x1+x2+x3+x4≤23，∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，故答案为：23．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．24．（6分）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83 PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.360.96 1.13 2.00 2.83 AD/cm0.000.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00确定PC的长度是自变量，PD的长度和AD 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 1.59（答案不唯一）cm．【分析】（1）按照变量的定义，PC是自变量，而PD、AD随PC的变化而变化，故PD、AD都是因变量，即可求解；（2）描点画出如图图象；（3）PC＝2PD，即PD＝PC，画出y＝x，交曲线AD的值为所求，即可求解．【解答】解：（1）按照变量的定义，PC是自变量，而PD、AD随PC的变化而变化，故PD、AD都是因变量，故答案为：PC、PD、AD；（2）描点画出如图图象；（3）PC＝2PD，即PD＝PC，画出y＝x，交曲线AD的值约为1.59，故答案为1.59（答案不唯一）．【点评】本题考查的是动点的函数图象，此类问题主要是通过描点画出函数图象，根据函数关系，在图象上查出相应的近似数值．25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k 分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；。
圆的运用问题(精讲)-2019年中考数学高频考点突破全攻略(解析版)
【课标解读】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系的证明会有所下降趋；势，不会有太复杂的大题出现.2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放、探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活.【解题策略】1.在弄清题意的基础上把复杂图形分解为几个基本图形进行思考,并适当添加辅助线补全或构造基本图形，在直径或有切线的条件下，构造直角三角形或利用圆内角的关系构造相似三角形，从而使已知和未知之间建立联系.2. 掌握常规的与圆有关的问题的证明方法与技巧(如证角相等、证线段相等、证线段垂直等)，掌握与圆有关的图形(如圆外切三角形、圆内接三角形、圆内接四边形、圆内接正n边形等)的特殊性质与计算公式，对于求阴影部分的面积有以下几种解决方法:方法- - :加减法，将阴影部分变成几个规则图形的和或差;方法二:割补法，将阴影部分分割成几部分，然后将它们补在某些合适的地方;方法三:覆盖法，几个规则图形覆盖在一起，重叠部分就是阴影部分。
3.注意数学思想方法的运用，如转化思想，通过与圆有关的直角三角形的勾股定理把证明问题转化为方程计算问题等，熟悉并掌握这类问题的常用解题方法和解题策略。
【考点深剖】★考点一圆与特殊三角形的综合【典例1】（2018•广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2D．2【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，★考点二圆与特殊四边形的综合【典例2】（2018·江苏镇江·8分）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P 与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围．【解答】解：（1）如图2所示，连接PF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x，∵⊙P与边CD相切于点F，∴PF⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC，∴，∴，∴x=，AP=；故答案为：＜AP＜或AP=5．学科&网★考点三圆与相似三角形的综合【典例3】（2018·辽宁大连·10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．解：（1）如图，连接BD．∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；★考点四圆与锐角三角函数的综合【典例4】（2018•莱芜•10分）如图，已知A.B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，如图，先证明∠OCB=∠CBD得到OC∥AD，再利用CD⊥AB得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）解：连接OE交AB于H，如图，利用垂径定理得到OE⊥AB，再利用圆周角定理得到∠ABE=∠AFE，在Rt△BEH中利用正切可设EH=3x，BH=4x，则BE=5x，所以BG=BE=5x，GH=x，接着在Rt△EHG中利用勾股定理得到x2+（3x）2=（3）2，解方程得x=3，接下来设⊙O的半径为r，然后在Rt△OHB中利用勾股定理得到方程（r﹣9）2+122=r2，最后解关于r的方程即可．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵BC平分∠OBD，∴∠OBD=∠CBD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；在Rt△EHG中，x2+（3x）2=（3）2，解得x=3，∴EH=9，BH=12，设⊙O的半径为r，则OH=r﹣9，在Rt△OHB中，（r﹣9）2+122=r2，解得r=，即⊙O的半径为．★考点五圆与函数的综合【典例5】（2018•大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为．【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．在Rt△OAB中，AB=，过点O作OD⊥AB于D，∵S△ABO=OD•AB=OA•OB，∴OD•=×，∵m＞0，解得OD=，由直线与圆的位置关系可知＜6，解得m＜．故答案为：m＜．★考点六有关圆计算的综合【典例6】（2018·云南省·9分）如图，已知AB是⊙O上的点，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD=∠OCA，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°∴∠OCD=90°∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线（2）设⊙O的半径为r，∴AB=2r，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴OD=2r，∠COB=60°∴r+2=2r，∴r=2，∠AOC=120°∴BC=2，∴由勾股定理可知：AC=2易求S△AOC=×2×1=S扇形OAC==∴阴影部分面积为﹣。
2008年中考数学试题分类汇编(阅读、规律、代数式)
以下是河北省柳超的分类（2008年贵阳市）13．符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）(1)0f =，(2)1f =，(3)2f =，(4)3f =，…（2）122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，155f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，…利用以上规律计算：1(2008)2008f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（2008年贵阳市）10．根据如图2所示的（1），（2），（3）三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（ ）A ．3nB ．3(1)n n +C ．6nD ．6(1)n n +（2008年遵义市）16．如图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个数，当7a =时，b = ．以下是江西康海芯的分类:1. （2008年郴州市）因式分解：24x -=____________ ()()22x x +-辽宁省 岳伟 分类2008年桂林市（图2）……（1）（2） （3）1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5· · · · · · · · · a b · · · · · · · · （16题图）如图，矩形1111ＡＢＣＤ的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形2222ＡＢＣＤ，再顺次连结四边形2222ＡＢＣＤ四边中点得到四边形3333ＡＢＣＤ，依此类推，求四边形n n n n ＡＢＣＤ的面积是 。
18．(2008年湖州市)将自然数按以下规律排列，则2008所在的位置是第 行第 列．10. ( 2008年杭州市) 如图, 记抛物线12+-=x y 的图象与x 正半轴的交点为A , 将线段OA 分成n 等份, 设分点分别为121,,,-n P P P , 过每个分点作x 轴的垂线, 分别与抛物线交于点121,,,-n Q Q Q , 再记直角三角形 ,,22111Q P P Q OP 的面积分别为 ,,21S S ,这样就有,24,21322321nn S n n S -=-=… ; 记21S S W += 1-++n S , 当n 越来越大时, 你猜想W 最接近的常数是( C ) (A) 32 (B)21 (C)31(D) 41(第10题)16. ( 2008年杭州市) 如图, 一个4×2的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形, 那么一个5×3的矩形用不同的方式分割后, 小正方形的个数可以是 ________________ .以下是安徽省马鞍山市成功中学的汪宗兴老师的分类1．(2008年·东莞市)（本题满分9分）（1）解方程求出两个解1x 、2x ，并计算两个解的写出你的结论.24．(2008年双柏县)（本小题9分）依法纳税是每个公民应尽的义务．从2008年3月1日起，新修改后的《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月收入不超过2000元，不需交税；超过2000元的部分为全月应纳税所得额，都应纳税，且根据超过部分的多少按不同的税率纳税，详细的税率如下表：（1）某工厂一名工人2008年3月的收入为2 400元，问他应交税款多少元？ （2）设x 表示公民每月收入（单位：元），y 表示应交税款（单位：元），(第16题)当2500≤x ≤4000时，请写出y 关于x 的函数关系式；（3）某公司一名职员2008年4月应交税款120元，问该月他的收入是多少元？(08年宁夏回族自治区)商场为了促销，推出两种促销方式：方式①：所有商品打7.5折销售： 方式②：一次购物满200元送60元现金．（1）杨老师要购买标价为628元和788元的商品各一件，现有四种购买方案：方案一：628元和788元的商品均按促销方式①购买； 方案二：628元的商品按促销方式①购买，788元的商品按促销方式②购买； 方案三：628元的商品按促销方式②购买，788元的商品按促销方式①购买； 方案四：628元和788元的商品均按促销方式②购买． 你给杨老师提出的最合理购买方案是 ．（2）通过计算下表中标价在600元到800元之间商品的付款金额，你总结出商品的购买规律是 。
2019年北京市中考数学试题及答案解析
2019年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为 （A ）60.43910（B ）64.3910（C ）54.3910（D ）3439102．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（A ） （B ） （C ） （D ）3．正十边形的外角和为（A ）180 （B ）360 （C ）720 （D ）14404．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C ．若CO=BO ，则a 的值为（A ）3（B ）2 （C ）1 （D ）15．已知锐角∠AOB 如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交于点M ，N ；（3）连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 （A ）∠COM=∠COD （B ）若OM=MN ，则∠AOB=20°（C ）MN∠CD（D ）MN=3CDB6．如果1m n +=，那么代数式()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（A ）3-（B ）1-（C ）1 （D ）37．用三个不等式a b >，0ab >，11a b <中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）38．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．下面有四个推断：∠这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间 ∠这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间∠这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间学生类别5∠这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间 所有合理推断的序号是 （A ）∠∠（B ）∠∠（C ）∠∠∠ （D ）∠∠∠∠二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式1x x -的值为0，则x 的值为______.10．如图，已知ABC ，通过测量、计算得ABC 的面积约为______cm2.（结果保留一位小数）11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是______.（写出所有正确答案的序号）12．如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠＋＝__________°（点A ，B ，P 是网格线交点）.13．在平面直角坐标系xOy 中，点A()a b ，()00a b >>，在双曲线1k y x =上．点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2k y x =上，则12k k +的值为______.14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．第10题图CBA第11题图③圆锥②圆柱①长方体第12题图BA15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差20s ．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，-4，9，-5．记这组新数据的方差为21s ，则21s ______20s . (填“>”，“=”或“<”)16．在矩形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合）． 对于任意矩形ABCD ，下面四个结论中， ∠存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形； ∠存在无数个四边形MNPQ 是矩形； ∠存在无数个四边形MNPQ 是菱形； ∠至少存在一个四边形MNPQ 是正方形． 所有正确结论的序号是______．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：()01142604sin π----++（）.18．解不等式组：4(1)2,7.3x x x x -<+⎧⎪+⎨>⎪⎩19．关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．图3图2图120．如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE=DF ，连接EF ．（1）求证：AC∠EF ；（2）延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O ，若BD=4，tanG=12，求AO 的长．21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a ．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x ＜40，40≤x ＜50，50≤x ＜60，60≤x ＜70，70≤x ＜80，80≤x ＜90，90≤x≤100）；b ．国家创新指数得分在60≤x ＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5 c ．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d ．中国的国家创新指数得分为69.5.（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》） 根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第______；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线1l的上方．请在图中用“”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；（结果保留一位小数） （4）下列推断合理的是______．∠相比于点A ，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；∠相比于点B ，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．22．在平面内，给定不在同一直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到点A ，B ，C 的距离均等于a （a 为常数），到点O 的距离等于a 的所有点组成图形G ，∠ABC 的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD ． （1）求证：AD=CD ；（2）过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ，延长DF 交图形G 于点M ，连接CM ．若AD=CM ，求直线DE 与图形G 的公共点个数．/万元23．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ∠将诗词分成4组，第i 组有i x 首，i =1，2，3，4；∠对于第i 组诗词，第i 天背诵第一遍，第（1i ）天背诵第二遍，第（3i ）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i =1，2，3，4；∠每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题： （1）填入3x 补全上表；（2）若14x =，23x =，34x =，则4x 的所有可能取值为_________；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．24．如图，P 是与弦AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是上一动点，连接PCCBA交弦AB 于点D ．小腾根据学习函数的经验，对线段PC ，PD ，AD 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）对于点C 在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC ，PD ，AD 的长度 的几组值，如下表：在PC ，PD ，AD 的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和______的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；AB（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为______cm．25. 在平面直角坐标系xOy中，直线l：()10y kx k=+≠与直线x k=，直线y k=-分别交于点A，B，直线x k=与直线y k=-交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB BC CA，，围成的区域（不含边界）为W．∠当2k=时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；∠若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线21y ax bxa与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点11(,)2Pa，(2,2)Q．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．已知30AOB ∠=︒，H 为射线OA上一定点，1OH=+，P 为射线OB 上一点，M 为线段OH 上一动点，连接PM ，满足OMP ∠为钝角，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转150︒，得到线段PN ，连接ON ． （1）依题意补全图1；（2）求证：OMP OPN ∠=∠；（3）点M 关于点H 的对称点为Q ，连接QP ．写出一个OP 的值，使得对于任意的点M 总有ON=QP ，并证明．28．在∠ABC 中，D ，E 分别是ABC 两边的中点，如果上的所有点都在∠ABC 的内部或边上，则称为∠ABC 的中内弧．例如，下图中是∠ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt∠ABC中，AB AC D E ==，分别是AB AC ，的中点．画出备用图图1BAOB ABCDE∠ABC 的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点()()()()0,20,04,00A B C t t >，，，在∠ABC 中，D E ，分别是AB AC ，的中点．∠若12t =，求∠ABC 的中内弧所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ∠若在∠ABC 中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P 在∠ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．AED CB2019年北京市中考数学答案参考答案与试题解析一. 选择题.二. 填空题.9. 1 10. 测量可知11. ∠∠ 12. 45°13. 0 14. 12 15. =16. ∠∠∠三. 解答题.17．【答案】18．【答案】2 x<19.【答案】m=1，此方程的根为121x x== 20.【答案】（1）证明：∠四边形ABCD为菱形∠AB=AD，AC平分∠BAD∠BE=DF∠AB BE AD DF-=-∠AE=AF∠∠AEF是等腰三角形∠AC平分∠BAD∠AC∠EF（2）AO =1.21. 【答案】 （1）17 （2）（3）2.7 （4）∠∠ 22. 【答案】 （1）∠BD 平分∠ABC ∠∠=∠ABD CBD∠AD=CD（2）直线DE 与图形G 的公共点个数为1. 23． 【答案】 （1）如下图 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组第3组3x 3x3x（2）4，5，6 （3）23 24． 【答案】（1）AD ， PC ，PD ； （2）（3）2.29或者3.98 25. 【答案】 （1）()0,1（2）∠6个 ∠10k -≤<或2k =-26. 【答案】（1）1(2,)B a ； （2）直线1x；（3）1a ≤２．27. 【答案】 （1）见图（2） 在∠OPM中，=180150OMP POM OPM OPM ∠︒-∠-∠=︒-∠150OPN MPN OPM OPM ∠=∠-∠=︒-∠ OMP OPN ∴∠=∠（3）OP=2. 28. 【答案】 （1）如图：1801180180n r l πππ===（2）∠1P y ≥或12P y ≤； ∠02t<≤BCD E。
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2019 年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．4 月 24 日是中国航天日，1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫 星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近 点 439 000 米．将 439 000 用科学记数法表示应为（A） 0.439´ 106（B） 4.39´106（C） 4.39´ 105（D） 439´ 1032. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（A） （B） （C） （D） 3. 正十边形的外角和为（A）180 （B） 360 （C）720 （D）1440 4. 在数轴上，点 A，B 在原点 O 的两侧，分别表示数 a，2，将点 A 向右平移 1 个单位长度，得到点 C．若 CO=BO，则 a 的值为（A）- 3 （B） - 2 （C） - 1 （D）15. 已知锐角∠AOB如图， （1） 在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径 作 ，交射线 OB 于点 D，连接 CD；O（2） 分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交 于1P MA CDBN Q点 M，N；（3） 连接 OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（A）∠COM=∠COD （B）若 OM=MN，则∠AOB=20°（C）MN∥CD（D）MN=3CD 6. 2m n 如果 m n 1，那么代数式 m2 1 m2 n2的值为（A） 3 （B） 1 （C）1 （D）311 7. 用三个不等式 a b ， ab 0 ， a b 中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（A）0 （B）1 （C）2 （D）38. 某校共有 200 名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳 动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．人数 时间0≤t＜10 10≤t＜20 20≤t＜30 30≤t＜40t≥40学生 性男7别女8学初中段高中31252926253630432844112万万万万万万万万万万/万万30 24.5 25.525 20 15 10 50万 万万万27.0 21.8万 万 万 万万万 万万万万下面有四个推断：①这 200 名学生参加公益劳动时间的平均数一定在 24.5-25.5 之间 ②这 200 名学生参加公益劳动时间的中位数在 20-30 之间 ③这 200 名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在 20-30 之间 ④这 200 名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在 20-30 之间 所有合理推断的序号是（A）①③（B）②④（C）①②③（D）①②③④二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）x 19. 若分式 x 的值为 0，则 x 的值为.10. 如图，已知! ABC ，通过测量、计算得! ABC 的面积约为一位小数）cm2.（结果保留11. 在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是.（写出所有正确答案的序号）3CAB万 10万万PAB万 12万万①长方体②圆柱第11题图③圆锥12. 如图所示的网格是正方形网格，则 PAB＋PBA＝网格线交点）.°（点 A，B，P 是y k113. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A a，ba 0，b 0在双曲线x 上．点y k2A 关于 x 轴的对称点 B 在双曲线x 上，则 k1 k2 的值为.14. 把图 1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图 2，图 3 所示的正方形，则图 1 中菱形的面积为．5 1万1万2万315．小天想要计算一组数据 92，90，94，86，99，85 的方差 s02 ．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去 90，得到一组新数据 2，0，4， 4，9， 5．记这组新数4s2 s2据的方差为 1 ， 则 1s2 0 . (填“ ”，“ ”或“ ”)16．在矩形 ABCD 中，M，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD，DA 上的点（不与端点重合） ．对于任意矩形 ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形；②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形；③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形；④至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形． 所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本题共 68 分，第 17-21 题，每小题 5 分，第 22-24 题，每小题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每小题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 4 302 sin 601 （）117．计算：4.4(x 1) x 2, x 7 x. 18. 解不等式组： 319. 关于 x 的方程 x2 2x 2m 1 0 有实数根，且 m 为正整数，求 m 的值及此时方程的根．20. 如图，在菱形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E，F 分别在 AB，AD 上，BE=DF，连接5EF． （1） 求证：AC⊥EF；（2） 延长 EF 交 CD 的延长线于点 G，连接 BD 交 AC 于点1BO，若 BD=4，tanG= 2 ，求 AO 的长．AEFDC21. 国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得 分排名前 40 的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a. 国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成 7 组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；万万万万万万 万 12 9 8 62 130 40 50 60 70 80 90 100 万万万万万万万万b. 国家创新指数得分在 60≤x＜70 这一组的是： 61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5 c．40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：6万万万万万万万100 90 80 70 60 50 40 3001 2 34 5A 67l1 B89l2 C10 11 万万万万万万万万/万万d．中国的国家创新指数得分为 69.5.（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1） 中国的国家创新指数得分排名世界第；（2） 在 40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1 的上方．请在图中用“ ”圈出代表中国的点；（3） 在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为万美元；（结果保留一位小数）（4） 下列推断合理的是．①相比于点 A，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快 建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点 B，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜 全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．22. 在平面内，给定不在同一直线上的点 A，B，C，如图所示．点 O 到点 A，B，C 的距离均等于 a（a 为常数），到点 O 的距离等于 a 的所有点组成图形 G， ABC 的平分线交7图形 G 于点 D，连接 AD，CD． （1） 求证：AD=CD；（2） 过点 D 作 DE BA，垂足为 E，作 DF BC，垂足为 F，延长 DF 交图形 G 于点M，连接 CM．若 AD=CM，求直线 DE 与图形 G 的公共点个数．ABC23. 小云想用 7 天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成 4 组，第 i 组有 xi 首，i =1，2，3，4；②对于第 i 组诗词，第 i 天背诵第一遍，第（ i +1）天背诵第二遍，第（ i +3 ）天背诵第 三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵， i 1，2，3，4；第 1天 第 2天 第 3天 第 4天 第 5天 第 6天 第 7天第 1 组 x1x1x1第 2组x2x2x2第 3组第 4组x4x4x4③每天最多背诵 14 首，最少背诵 4 首．8解答下列问题：（1） 填入 x3 补全上表；（2） 若 x1 4 ， x2 3 ， x3 4 ，则 x4 的所有可能取值为；（3）7 天后，小云背诵的诗词最多为首．24. 如图，P 是 与弦 AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是 交弦 AB 于点 D．上一动点，连接 PCC ADPB小腾根据学习函数的经验，对线段 PC，PD，AD 的长度之间的关系进行了探 究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1） 对于点 C 在 组值，如下表：上的不同位置，画图、测量，得到了线段 PC，PD，AD 的长度 的几位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 7 位置 89PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00在 PC，PD，AD 的长度这三个量中，确定 的长度都是这个自变量的函数；的长度是自变量，的长度和（2） 在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；y/cm6 54 321O1 2 3 4 5 6 x/cm（3） 结合函数图象，解决问题：当 PC=2PD 时，AD 的长度约为cm．25.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l： y kx 1k 0与直线 x k ，直线y k 分别交于点 A，B，直线 x k 与直线 y k 交于点C ．（1） 求直线l 与 y 轴的交点坐标；（2） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段 AB，，C CA 围成的区域（不含边界） 为W ．10①当k = 2 时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数；②若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y =ax2 +bx -1a 与y 轴交于点A，将点 A 向右平移2 个单位长度，得到点B，点 B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；1 1P( 2 , -a ) Q(2, 2)（3）已知点，．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．27.已知∠AOB = 30︒，H 为射线OA 上一定点，OH =+1，P 为射线OB 上一点，3DE M 为线段 OH 上一动点，连接 PM ，满足∠OMP 为钝角，以点 P 为中心，将线段 PM 顺时针旋转150︒ ，得到线段 PN ，连接 ON ．（1） 依题意补全图 1；（2） 求证： ∠OMP = ∠OPN ；（3） 点 M 关于点 H 的对称点为 Q ，连接 QP ．写出一个 OP 的值，使得对于任意的点 M总有 ON=QP ，并证明．BOHA O A万 1万万万28. 在△ABC 中，D ，E 分别是! ABC 两边的中点，如果上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称为△ABC 的中内弧．例如，下图中是△ABC 的一条中内弧．ABCD E( ) ( ) （1） 如图，在 Rt △ABC 中， AB = AC = 2 2，，E 分别是 AB ，AC 的中点．画出△ABC 的最长的中内弧 ，并直接写出此时 的长；ABCA 0, 2 ，B 0,0 （2） 在平面直角坐标系中，已知点D ，E 分别是 AB ，AC 的中点．t = 1C (4t ,0)(t > 0)，在△ABC 中，①若2 ，求△ABC 的中内弧所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围；②若在△ABC 中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上， 直接写出 t 的取值范围．2019 年北京市中考数学答案参考答案与试题解析一. 选择题.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B A D D D C二. 填空题.9. 1 10. 测量可知11. ①②12. 45°13. 0 14. 12 15. =16. ①②③三. 解答题.17．【答案】2 3+318．【答案】x < 219.【答案】m=1，此方程的根为x1=x2= 120.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形∴AB=AD，AC 平分∠BAD∵BE=DF∴ AB -BE =AD -DF∴AE=AF∴△AEF 是等腰三角形∵AC 平分∠BAD∴AC⊥EF（2）AO =1.21.【答案】（1）17（2）（3）2.7（4）①②22.【答案】∵BD 平分∠ABC∴ ∠ABD =∠CBD∴AD=CD（2）直线DE 与图形G 的公共点个数为1.23．【答案】（1）如下图第 1 天第2 天第3 天第 4 天第 5 天第 6 天第7 天第1 组第2 组第3 组x3x3x3第4 组（2）4，5，6（3）2324．【答案】（1）AD，PC，PD；（3）2.29 或者 3.9825.【答案】（1）(0,1)（2）①6 个② -1 ≤k < 0 或k =-226.【答案】B(2, -1 )（1）a ；（2）直线x =1；a≤-1（3）（２．3）27.D E【答案】（1）见图（2）在△OPM 中， ∠OMP =180︒ - ∠POM - ∠OPM = 150︒ - ∠OPM∠OPN = ∠MPN - ∠OPM∴∠OMP = ∠OPN = 150︒ - ∠OPM（3）OP=2.28.【答案】（1）如图：BCl = n r = 180 1= 180 180（2）1y ≤y P≥1或P 2 ；①② 0 <t ≤ 2At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance ofcontinuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!“”“”。
2019年中考数学试题汇编：圆的概念及性质填空题(解析版)
1.（2019年四川省雅安市）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为69°．【分析】直接利用圆周角定理得出∠BCD＝90°，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠CBD＝21°，∴∠A＝∠D＝90°﹣21°＝69°．故答案为：69°【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角定理是解题关键．2.（2019年湖南省娄底市）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝2．【分析】利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为2．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．3.（2019年宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为3．【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．【解答】解：连接OA，设半径为x，∵将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OC＝，OC⊥AB，∴AC＝＝，∵OA2﹣OC2＝AC2，∴，解得，x＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．4.（2019年贵州省铜仁市）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为100°；【分析】直接利用圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝100°，故答案为：100°【点评】考查圆内接四边形的外角等于它的内对角．5.（2019年黑龙江省绥化市）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5．【分析】如图1，当∠ODB＝90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC ＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到BC ＝OB＝5．【解答】解：如图1，当∠ODB＝90°时，即CD⊥AB，∴AD＝BD，∴AC＝BC，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠DBO＝30°，∵OB＝5，∴BD＝OB＝，∴BC＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，∴∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴BC＝OB＝5，综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5，故答案为：5或5．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．6.（2019年黑龙江省鸡西市）如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为60°．【分析】利用圆周角与圆心角的关系即可求解．【解答】解：∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOB＝2∠ADC，∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°，故答案为60°．【点评】此题考查了圆周角与圆心角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题关键．7.（2019年湖北省随州市）如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为40°．【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理得到∠C的度数．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠C＝∠AOB＝40°．故答案为40°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8.（2019年江苏省常州市）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝30°．【分析】先利用邻补角计算出∠BOC，然后根据圆周角定理得到∠CDB的度数．【解答】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB＝∠BOC＝30°．故答案为30．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9.（2019年山东省东营市）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【解答】解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合运用，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．10.（2019年四川省广元市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是6+3．【分析】过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，∴OP＝OA＝6，∴OM＝OA＝×6＝3，∴PM＝OP+OM＝6+3，∴则点P到AC距离的最大值是6+3，故答案为：6+3．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．11.（2019年广西北海市）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为26寸．【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可．【解答】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．12.（2019年湖南省株洲市）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝20度．【分析】由直角三角形的性质得出∠OCE＝25°，由等腰三角形的性质得出∠ODC＝∠OCE＝25°，求出∠DOC＝130°，得出∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，再由圆周角定理即可得出答案．【解答】解：连接OD，如图：∵OC⊥AB，∴∠COE＝90°，∵∠AEC＝65°，∴∠OCE＝90°﹣65°＝25°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCE＝25°，∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，∴∠BAD＝∠BOD＝20°，故答案为：20．【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．13.（2019年江苏省苏州市）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°．P为弧AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC与AB交于点D．若PD＝2，CD＝1，则该扇形的半径长为5．【分析】连接OP，利用等腰三角形的性质可得出∠OAB＝45°，结合PC⊥OA可得出△ACD为等腰直角三角形，进而可得出AC＝1，设该扇形的半径长为r，则OC＝r﹣1，在Rt△POC中，利用勾股定理可得出关于r的方程，解之即可得出结论．【解答】解：连接OP，如图所示．∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°．∵PC⊥OA，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC＝CD＝1．设该扇形的半径长为r，则OC＝r﹣1，在Rt△POC中，∠PCO＝90°，PC＝PD+CD＝3，∴OP2＝OC2+PC2，即r2＝（r﹣1）2+9，解得：r＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形以及圆的认识，利用勾股定理，找出关于扇形半径的方程是解题的关键．14.（2019年浙江省湖州市）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是30°．【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∵一条弧所对的圆周角的度数是15°，∴它所对的圆心角的度数为2×15°＝30°．故答案为30°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15.（2019年浙江省台州市）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为52°．【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合三角形外角的性质得出答案．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．故答案为：52°．【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，正确得出∠AEC的度数是解题关键．16.（2019年四川省宜宾市）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是16π．【分析】由∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，所以∠A＝∠ACB＝60°，得到△ACB为等边三角形，又AC＝2，从而求得半径，即可得到⊙O的面积．【解答】解：∵∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ACB为等边三角形，∵AC＝2，∴圆的半径为4，∴⊙O的面积是16π，故答案为：16π．【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大．17.（2019年安徽省）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为．【分析】连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，于是得到∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，则∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，∵⊙O的半径为2，∴CE＝4，∴BC＝CE＝2，∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CD＝BC＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．18.（2019年江苏省盐城市）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝155°．【分析】连接EA，根据圆周角定理求出∠BEA，根据圆内接四边形的性质得到∠DEA+∠C＝180°，结合图形计算即可．【解答】解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为：155．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．19.（2019年江苏省连云港市）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为6．【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．【解答】解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，∴△BOC是等边三角形∴OB＝BC＝6，故答案为6．【点评】本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．20.（2019年浙江省嘉兴市）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据勾股定理求出OC，代入求出即可．【解答】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠COD＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时OC＝，∴CD的最大值为＝AB＝1＝，故答案为：．【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．21.（2019年江苏省南京市）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是4＜BC≤．【分析】作△ABC的外接圆，求出当∠BAC＝90°时，BC是直径最长＝；当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，而∠BAC＞∠ABC，即可得出答案．【解答】解：作△ABC的外接圆，如图所示：∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，当∠BAC＝90°时，BC是直径最长，∵∠C＝60°，∴∠ABC＝30°，∴BC＝2AC，AB＝AC＝4，∴AC＝，∴BC＝；当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，∵∠BAC＞∠ABC，∴BC长的取值范围是4＜BC≤；故答案为：4＜BC≤．【点评】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出△ABC的外接圆进行推理计算是解题的关键．22.（2019年四川省凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是2．【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为：2．【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．23.（2019年山东省德州市）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为．【分析】连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝3，设⊙O 的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，根据勾股定理得到32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，再利用垂径定理得到OB⊥AF，AG＝FG，则AG2+OG2＝52，AG2+（5﹣OG）2＝62，然后解方程组求出AG，从而得到AF的长．【解答】解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，∵＝，∴OB⊥AF，AG＝FG，在Rt△OAG中，AG2+OG2＝52，①在Rt△ABG中，AG2+（5﹣OG）2＝62，②解由①②组成的方程组得到AG＝，∴AF＝2AG＝．故答案为．【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．。
北京市2019年中考数学真题与模拟题分类汇编 专题09 函数之解答题(73道题)(原卷版)(1)
专题09 函数之解答题一．解答题（共73小题）1．（2019•北京）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB 于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为cm．2．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．3．（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．4．（2019•朝阳区校级一模）如图，半圆O的直径AB＝5cm，点M在AB上且AM＝1cm，点P是半圆O上的动点，过点B作BQ⊥PM交PM（或PM的延长线）于点Q．设PM＝xcm，BQ＝ycm．（当点P与点A 或点B重合时，y的值为0）小石根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PBM的面积为1时，PM的长度约为cm．5．（2019•怀柔区二模）研究发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的．讲课开始时，学生的注意力激增，中间有一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）．当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分；当10≤x≤20和20≤x≤45时，图象是线段．根据图象回答问题：（1）课堂上，学生注意力保持平稳状态的时间段是．（2）结合函数图象回答，一道几何综合题如果需要讲25分钟，老师最好在上课后大约第分钟到第分钟讲这道题，能使学生处于注意力比较集中的听课状态．6．（2019•朝阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，0）的直线l：y＝mx﹣3与y轴交于点B．（1）求直线l的表达式；（2）若点C是直线l与双曲线的一个公共点，AB＝3AC，求n的值．7．（2019•西城区二模）某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量y（单位：微克）与服药后的时间t（单位：小时）之间近似满足某种函数关系，如表是y与t的几组对应值，其部分图象如图所示．（1）在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点（t，y），并补全该函数的图象；（2）结合函数图象，解决下列问题：①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约小时；②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为微克．8．（2019•海淀区二模）有这样一个问题：探究函数y的图象与性质．小宇从课本上研究函数的活动中获得启发，对函数y的图象与性质进行了探究．下面是小宇的探究过程，请补充完整：（1）函数y的自变量x的取值范围是；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，完成以下作图步骤：①画出函数y和y的图象；②在x轴上取一点P，过点P作x轴的垂线l，分别交函数y和y的图象于点M，N，记线段MN的中点为G；③在x轴正半轴上多次改变点P的位置，用②的方法得到相应的点G，把这些点用平滑的曲线连接起来，得到函数y在y轴右侧的图象．继续在x轴负半轴上多次改变点P的位置，重复上述操作得到该函数在y轴左侧的图象．（3）结合函数y的图象，发现：①该函数图象在第二象限内存在最低点，该点的横坐标约为（保留小数点后一位）；②该函数还具有的性质为：（一条即可）．9．（2019•丰台区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得点P在射线BC上，且∠APB∠ACB（0°＜∠ACB＜180°），则称P为⊙C的依附点．（1）当⊙O的半径为1时，①已知点D（﹣1，0），E（0，﹣2），F（2.5，0），在点D、E、F中，⊙O的依附点是；②点T在直线y＝﹣x上，若T为⊙O的依附点，求点T的横坐标t的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点M、N，若线段MN上的所有点都是⊙C的依附点，直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．10．（2019•昌平区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（x＞0）的图象与直线y＝2x﹣2交于点为A（2，m）．（1）求k，m的值；（2）点B为函数（x＞0）的图象上的一点，直线AB与y轴交于点C，当AC＝2AB时，求点C的坐标．11．（2019•通州区三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，函数y（x＜0）的图象经过点A．（1）求k的值；（2）若过点A的直线l平行于直线OB，且交函数y（x＜0）的图象于点D．①求直线l的表达式；②定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数y（x＜0）的图象在点A，D之间的部分与线段AD围成的区域（含边界）为W．结合函数图象，直接写出区域W内（含边界）的整点个数．12．（2019•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2．（1）求抛物线F的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．13．（2019•通州区三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a≠0）与y轴交于点A．（1）求点A的坐标和抛物线的对称轴；（2）过点B（0，3）作y轴的垂线l，若抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a≠0）与直线l有两个交点，设其中靠近y轴的交点的横坐标为m，且|m|＜1，结合函数的图象，求a的取值范围．14．（2019•房山区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在点A，使得∠APC＝30°，则称P为⊙C的半角关联点．当⊙O的半径为1时，（1）在点D（，），E（2，0），F（0，）中，⊙O的半角关联点是；（2）直线l：交x轴于点M，交y轴于点N，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的半角关联点，求m的取值范围．15．（2019•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+3a交于点A和点B，点A在x轴上．（1）点A的坐标为．（2）①用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；②当AB时，结合函数图象，求a的取值范围．16．（2019•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数＞的图象G与直线l：y＝﹣x+7交于A （1，a），B两点．（1）求k的值；（2）记图象G在点A，B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．点P在区域W内，若点P的横纵坐标都为整数，直接写出点P的坐标．17．（2019•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中．已知抛物线y＝ax2+bx+a﹣2的对称轴是直线x＝1．（1）用含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A（0，﹣4），B（2，﹣3），若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a的取值范围；（3）若抛物线与x轴的一个交点为C（3，0），且当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m，n的值．18．（2019•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）的对称轴与x轴交于点P．（1）求点P的坐标（用含a的代数式表示）；（2）记函数（﹣1≤x≤3）的图象为图形M，若抛物线与图形M恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．19．（2019•怀柔区二模）阅读材料：1903年，英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质放出射线后，这种物质的质量将减少，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．镭的质量由m0缩减到m0需1620年，由m0缩减到m0需1620年，由m0缩减到m0需1620年，即镭的质量缩减为原来的一半所用的时间是一个不变的量﹣﹣1620年，一般把1620年称为镭的半衰期．实际上，所有放射性物质都有自己的半衰期．铀的半衰期为4.5×109年，蜕变后的铀最后成为铅．科学家们测出一块岩石中现在含铀和铅的质量，便可以利用半衰期算出从原来含铀量到现在含铀量经过了多少时间，从而推算出这块岩石的年龄．根据以上材料回答问题：（1）设开始时岩石中含有铀的质量为m0千克，经过n个半衰期后，剩余的铀的质量为m1千克，下表是m1随n的变化情况，请补充完整：（2）写出矿石中剩余的铀的质量m1与半衰期n之间的函数关系；（3）设铀衰变后完全变成铅，如图是岩石中铅的质量m2与半衰期n的函数关系图象，请在同一坐标系中，利用描点法画出岩石中含铀的质量m1与半衰期n的函数关系图象：（4）结合函数图象，估计经过个半衰期（精确到0.1），岩石中铀铅质量相等．20．（2019•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，该抛物线的顶点D的纵坐标是﹣4．（1）求点A、B的坐标；（2）设直线与直线AC关于该抛物线的对称轴对称，求直线的表达式；（3）平行于x轴的直线b与抛物线交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），与直线交于点P（x3，y3）．若x1＜x3＜x2，结合函数图象，求x1+x2+x3的取值范围．21．（2019•朝阳区二模）M（﹣1，），N（1，）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN 上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点．（1）在点，，，，，，A4（2，2）中，线段MN的可视点为；（2）若点B是直线y＝x上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围．22．（2019•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）和点A（0，﹣3），将点A向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线C1的对称轴；（3）把抛物线C1沿x轴翻折，得到一条新抛物线C2，抛物线C2与抛物线C1组成的图象记为G，若图象G与线段AB恰有一个交点时，结合图象，求a的取值范围．23．（2019•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2与双曲线y的一个交点是A（m，3）．（1）求m和k的值；（2）设点P是双曲线y上一点，直线AP与x轴交于点B．若AB＝3PB，结合图象，直接写出点P 的坐标．24．（2019•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y的图象经过点P（3，4）．（1）求k的值；（2）求OP的长；（3）直线y＝mx（m≠0）与反比例函数的图象有两个交点A，B，若AB＞10，直接写出m的取值范围．25．（2019•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C．（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D．若m＞0，CD ＝8，求m的值；（3）已知A（2k，0），B（0，k），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点时，直接写出k的取值范围．26．（2019•西城区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+3k+6＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个根大于﹣2且小于0，k为整数，求k的值．27．（2019•顺义区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+k与双曲线y（x＞0）交于点A （1，a）．（1）求a，k的值；（2）已知直线l过点D（2，0）且平行于直线y＝kx+k，点P（m，n）（m＞3）是直线l上一动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交双曲线y（x＞0）于点M、N，双曲线在点M、N之间的部分与线段PM、PN所围成的区域（不含边界）记为W．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝4时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点个数不超过8个，结合图象，求m的取值范围．28．（2019•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．我们规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”（不包含边界）；横、纵坐标都是整数的点称为整点．（1）求抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；（2）如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过（1，3）．①求a的值；②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的个数．（3）如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a在“G区域”内有4个整点，直接写出a的取值范围．29．（2019•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y的图象的一个交点为M（1，m）．（1）求m的值；（2）直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，连接OM，设△AOB的面积为S1，△MOB的面积为S2，若S1≥3S2，求k的取值范围．30．（2019•海淀区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线y的交点为M，N．（1）当点M的横坐标为1时，求b的值；（2）若MN≤3AB，结合函数图象，直接写出b的取值范围．31．（2019•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2﹣2ax+3与直线l：y＝kx+b交于A，B两点，且点A在y轴上，点B在x轴的正半轴上．（1）求点A的坐标；（2）若a＝﹣1，求直线l的解析式；（3）若﹣3＜k＜﹣1，求a的取值范围．32．（2019•怀柔区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与函数y的图象交于A（﹣2，a），B两点．（1）求a，k的值；（2）已知点P（0，m），过点P作平行于x轴的直线l，交函数y的图象于点C（x1，y1），交直线y＝﹣x+1的图象于点D（x2，y2），若|x1|＞|x2|，结合函数图象，直接写出m的取值范围．33．（2019•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝ax+b与双曲线y交于点A（1，m）和B （﹣2，﹣1）．点A关于x轴的对称点为点C．（1）①求k的值和点C的坐标；②求直线l的表达式；（2）过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E．若30°≤∠CED ≤45°，直接写出点E的横坐标t的取值范围．34．（2019•怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与抛物线y＝ax2﹣（3+a）x+3（a≠0）交于A，B两点，并且OA＜OB．（1）当a＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当2时，求a的取值范围．35．（2019•平谷区二模）已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1（a≠0）（1）把二次函数C1的表达式化成y＝a（x﹣h）2+b（a≠0）的形式，并写出顶点坐标；（2）已知二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1）．①求a的值；②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．36．（2019•朝阳区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点B在第一象限内，∠OAB＝90°，OA＝AB，△OAB的面积为2，反比例函数y的图象经过点B．（1）求k的值；（2）已知点P坐标为（a，0），过点P作直线OB的垂线l，点O，A关于直线l的对称点分别为O′，A′，若线段O′A′与反比例函数y的图象有公共点，直接写出a的取值范围．37．（2019•平谷区二模）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y（x＞0）经过点A（4，m）．（1）求点A的坐标；（2）用等式表示k，b之间的关系（用含k的代数式表示b）；（3）连接OA，一次函数y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点B，当△OAB是等腰三角形时，直接写出点B 的坐标．38．（2019•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子去表示）；（2）若点（m﹣2，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y1、y2、y3的大小关系为；（3）直线y＝﹣x+b与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴右侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．39．（2019•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，2），B（0，1），将线段AB沿x轴的正方向平移n（n＞0）个单位，得到线段A′，B′恰好都落在反比例函数y（m≠0）的图象上．（1）用含n的代数式表示点A′，B′的坐标；（2）求n的值和反比例函数y（m≠0）的表达式；（3）点C为反比例函数y（m≠0）图象上的一个动点，直线CA′与x轴交于点D，若CD＝2A′D，请直接写出点C的坐标．40．（2019•怀柔区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k＜0），经过点（6，0），且与坐标轴围成的三角形的面积是9，与函数y（x＞0）的图象G交于A，B两点．（1）求直线的表达式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．①当m＝2时，直接写出区域W内的整点的坐标；②若区域W内恰有3个整数点，结合函数图象，求m的取值范围．41．（2019•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．（1）求点B的坐标；（2）将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．42．（2019•大兴区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与函数y（x＜0）的图象交于点A （，m）．（1）求m，k的值；（2）点P（x P，y P）为直线y＝x上任意一点，将直线y＝x沿y轴向上平移两个单位得到直线l，过点P 作x轴的垂线交直线l于点C，交函数y（x＜0）的图象于点D．①当x P＝﹣1时，判断PC与PD的数量关系，并说明理由；②若PC+PD≤4时，结合函数图象，直接写出x P的取值范围．43．（2019•大兴区一模）在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+1（1）求抛物线的对称轴；（2）若抛物线过点A（﹣1，6），求二次函数的表达式；（3）将点A（﹣1，6）沿x轴向右平移7个单位得到点B，若抛物线与线段AB始终有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．44．（2019•丰台区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A，与函数y（x ＞0）的图象交于点B（2，a）．（1）求a，k的值；（2）点M是函数y（x＞0）图象上的一点，过点M作平行于y轴的直线，交直线l于点P，过点A作平行于x轴的直线交MP于点N，已知点M的横坐标为m．①当m时，求MP的长；②若MP≥PN，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．45．（2019•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过原点和点A（﹣2，0）．（1）求抛物线的对称轴；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，．记抛物线与直线AB围成的封闭区域（不含边界）为W．①当a＝1时，求出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．46．（2019•怀柔区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+2的顶点C，过点B（0，t）作与y轴垂直的直线l，分别交抛物线于E，F两点，设点E（x1，y1），点F（x2，y2）（x1＜x2）．（1）求抛物线顶点C的坐标；（2）当点C到直线l的距离为2时，求线段EF的长；（3）若存在实数m，使得x1≥m﹣1且x2≤m+5成立，直接写出t的取值范围．47．（2019•海淀区一模）对于平面直角坐标系xOy中的直线l和图形M，给出如下定义：P1、P2、……、P n﹣1、P n是图形M上n（n≥3）个不同的点，记这些点到直线l的距离分别为d1、d2、……、d n﹣1、d n，若这n个点满足d1+d2+……+d n﹣1＝d n，则称这n个点为图形M关于直线l的一个基准点列，其中d n为该基准点列的基准距离．（1）当直线l是x轴，图形M上有三点A（﹣1，1）、B（1，﹣1）、C（0，2）时，判断A、B、C是否为图形M关于直线l的一个基准点列？如果是，求出它的基准距离；如果不是，请说明理由；（2）已知直线l是函数y x+3的图象，图形M是圆心在y轴上，半径为1的⊙T，P1、P2、……、P n﹣1、P n是⊙T关于直线l的一个基准点列．①若T为原点，求该基准点列的基准距离d n的最大值；②若n的最大值等于6，直接写出圆心T的纵坐标t的取值范围．48．（2019•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B．双曲线y与直线l交于P，Q两点，其中点P的纵坐标大于点Q的纵坐标（1）求点B的坐标；（2）当点P的横坐标为2时，求k的值；（3）连接PO，记△POB的面积为S．若＜＜，结合函数图象，直接写出k的取值范围．49．（2019•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+b经过点A（1，m）、B（﹣1，﹣1）．（1）求b和m的值；（2）将点B向右平移到y轴上，得到点C，设点B关于原点的对称点为D，记线段BC与AD组成的图形为G．①直接写出点C、D的坐标；②若双曲线y与图形G恰有一个公共点，结合函数图象，求k的取值范围．50．（2019•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣6mx+9m+1（m≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B点（点A在点B的左侧），且AB＝4，求m的值．（3）已知四个点C（2，2）、D（2，0）、E（5，﹣2）、F（5，6），若抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围．51．（2019•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（0，﹣3）和B （3，0）．（1）求c的值及a、b满足的关系式；（2）若抛物线在A、B两点间从左到右上升，求a的取值范围；（3）结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点M（﹣1+m，n）、N（4﹣m，n）？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和n的值，若不能，请说明理由．52．（2019•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣6与双曲线（k≠0）的一个交点为A （m，2），与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求点B的坐标及k的值；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为16，求点P的坐标．53．（2019•石景山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数＜的图象经过点A（﹣1，6），直线y＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0）．（1）求k，m的值；（2）过第二象限的点P（n，﹣2n）作平行于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数＜的图象于点D．①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；②若PD≥2PC，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．54．（2019•顺义区一模）有这样一个问题：探究函数y x的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对函数y x的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）函数y x中自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．求m的值；（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是；②该函数的图象与过点（2，0）且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交．55．（2019•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AB＝4，点D为抛物线的顶点．（1）求点A和顶点D的坐标；（2）将点D向左平移4个单位长度，得到点E，求直线BE的表达式；（3）若抛物线y＝ax2﹣6与线段DE恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．56．（2019•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．（1）当m＝2时，①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是；（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．57．（2019•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y（x＞0）交于点A（2，n）．（1）求n及k的值；（2）点B是y轴正半轴上的一点，且△OAB是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标．58．（2019•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+1（k≠0）经过点A（2，3），与y轴交于点B，与抛物线y＝ax2+bx+a的对称轴交于点C（m，2）．（1）求m的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）N（x1，y1）是线段AB上一动点，过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点P（x2，y2），Q（x3，y3）（点P在点Q的左侧）．若x2＜x1＜x3恒成立，结合函数的图象，求a的取值范围．59．（2019•北京一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与函数y（x＞0）的图象交于点A（3，2）．（1）求k，m的值；（2）将直线l沿y轴向上平移t个单位后，与y轴交于点C，与函数y（x＞0）的图象交于点D．①当t＝2时，求线段CD的长；②若CD≤2，结合函数图象，直接写出t的取值范围．60．（2019•北京一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的顶点为D，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．（1）当a＝1时，求点A，B，D的坐标；（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有7个整点，结合函数图象，求a的取值范围．61．（2019•平谷区一模）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣3与y轴交于点A，过A作AB ∥x轴与直线x＝4交于B点．（1）抛物线的对称轴为x＝（用含m的代数式表示）；（2）当抛物线经过点A，B时，求此时抛物线的表达式；（3）记抛物线在线段AB下方的部分图象为G（包含A，B两点），点P（m，0）是x轴上一动点，过P 作PD⊥x轴于P，交图象G于点D，交AB于点C，若CD≤1，求m的取值范围．62．（2019•通州区一模）已知二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4时的函数值相等．（1）求二次函数y＝x2﹣ax+b的对称轴；（2）过P（0，1）作x轴的平行线与二次函数y＝x2﹣ax+b的图象交于不同的两点M、N．①当MN＝2时，求b的值；②当PM+PN＝4时，请结合函数图象，直接写出b的取值范围．63．（2019•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，函数y（x＞0）的图象经过边长为2的正方形OABC 的顶点B，如图，直线y＝mx+m+1与y（x＞0）的图象交于点D（点D在直线BC的上方），与x轴交于点E．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记y（x＞0）的图象在点B、D之间的部分与线段AB、AE、DE围成的区域（不含边界）为W．①当m时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求m的取值范围．64．（2019•平谷区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y（x＞0）的图象经过点A，作AC⊥x 轴于点C．（1）求k的值；（2）直线AB：y＝ax+b（a＞0）图象经过点A交x轴于点B．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．线段AB，AC，BC围成的区域（不含边界）为W．①直线AB经过（0，1）时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有1个整点，结合函数图象，求a的取值范围．65．（2019•房山区一模）已知一次函数y＝2x的图象与反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象交于点A（1，m）．（1）求反比例函数的表达式；（2）点B在反比例函数的图象上，且点B的横坐标为2．若在x轴上存在一点M，使MA+MB的值最小，求点M的坐标．。
2019全国中考数学真题分类汇编：与圆的有关计算及参考答案
一、选择题1．（2019·德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（）A．130°B．140°C．150°D．160°【答案】B．【解析】由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故选B．2．（2019·滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．3、（2019·遂宁）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=45°，⊙O 的半径r=4，则阴影部分的面积为 ( )A.4π-8B. 2πC.4πD. 8π-8 【答案】A【解析】由题意可知∠BOC=2∠A=45°2⨯=90°，S 阴=S 扇-S △OBC ，S 扇=14S 圆=14π42=4π， S △OBC =2142⨯=8，所以阴影部分的面积为4π-8，故选A. 4．(2019·广元)如图,AB,AC 分别是 O 的直径和弦,OD ⊥AC 于点D,连接BD,BC,且AB ＝10,AC ＝8,则BD 的长为( )A.B.4C.D.4.8第6题图 【答案】C【解析】∵AB 是直径,∴∠C ＝90°,∴BC ＝6,又∵OD ⊥AC,∴OD ∥BC,∴△OAD ∽△BAC,∴CD ＝AD＝12AC ＝4,∴BD =故选C.5．（2019·温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ） A ．32π B ．2π C ．3π D ．6π 【答案】D【解析】扇形的圆心角为90°，它的半径为6，即n=90°，r=6，根据弧长公式l=180n rπ，得6π．故选D. 6．（2019·绍兴 ）如图，△ABC 内接于圆O ，∠B=65°，∠C=70°，若BC=22，则弧BC 的长为 ( )A.πB.π2C.π2D.π22【答案】A【解析】在△ABC 中，得∠A＝180°-∠B -∠C＝45°， 连接OB ，OC ，则∠BOC＝2∠A＝90°，设圆的半径为r ，由勾股定理，得22r r +＝（22）2，解得r=2，所以弧BC 的长为902180π⨯=π．7．（2019·山西）如图,在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,以AB 的中点O 为圆心,OA 的长为半径作半圆交AC 于点D,则图中阴影部分的面积为( )2π- 2πC.πD.2π第10题图 【答案】A【解题过程】在Rt △ABC 中,连接OD,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,∴∠A ＝30°,∠DOB ＝60°,过点D 作DE ⊥AB 于点E,∵AB ＝∴AO ＝OD＝∴DE ＝32,∴S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S扇形BOD＝－2π2π-,故选A.8．（2019·长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是【 】A ．2π B．4π C．12π D．24π 【答案】C【解析】根据扇形的面积公式，S=120×π×62360=12π，故本题选：C ．9．（2019·武汉） 如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（ ）A ．2B ．2πC ．23 D ．25【答案】A【解题过程】由题得∠1＝∠2＝12∠C ＝45°，∠3＝∠4，∠5＝∠6 设∠3＝∠4＝m ，∠5＝∠6＝n ，得m ＋n ＝45°，∴∠AEB ＝∠C ＋m ＋n90°＋45°＝135°∴E 在以AD 为半径的⊙D 上（定角定圆）4t 2t t165432QP EDAOBC MN如图，C的路径为MN,E的路径为PQ设⊙O的半径为1，则⊙D，∴MNPQ＝42136022360ttππ⨯⨯⨯10. (2019·泰安)如图,将O沿弦AB折叠,AB恰好经过圆心O,若O的半径为3,则AB的长为A.12π B.π C.2π D.3π【答案】C【解析】连接OA,OB,过点O作OD⊥AB交AB于点E,由题可知OD＝DE＝12OE＝12OA,在Rt△AOD中,sinA＝ODOA＝1 2,∴∠A＝30°,∴∠AOD＝60°,∠AOB＝120°,AB＝180n rπ＝2π,故选C.11. (2019·枣庄)如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB为半径画弧,交对角线BD与点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留π)A.8－πB.16－2πC.8－2πD.8－1 2π【答案】C【解析】在边长为4的正方形ABCD 中,BD 是对角线,∴AD ＝AB ＝4,∠BAD ＝90°,∠ABE ＝45°,∴S △ABD ＝12AD AB⋅⋅＝8,S 扇形ABE ＝2454360π⋅⋅＝8－2π,故选C.12. (2019·巴中)如图,圆锥的底面半径r ＝6,高h ＝8,则圆锥的侧面积是( )A.15πB.30πC.45πD.60π【答案】D【解析】圆锥的高,母线和底面半径构成直角三角形,其中r ＝6,h ＝8,所以母线为10,即为侧面扇形的半径,底面周长为12π,即为侧面扇形的弧长,所以圆锥的侧面积＝12×10×12π＝60π,故选D.13. （2019·凉山） 如图，在△AOC 中，OA =3cm ，OC =lcm ，将△AOC 绕点D 顺时针旋转90 °后得到△BOD ，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( ▲ )cm 2 A ．2πB ．2πC ．178πD ．198π【答案】B【解析】AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积=S △OCA +S 扇形OAB - S 扇形OCD - S △ODB ①,由旋转知：△OCA ≌△ODB ，∴S △OCA =S△ODB ,∴①式=S 扇形OAB - S 扇形OCD =3603902⨯π-3601902⨯π=2π，故选B .14.（2019·自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）A. B. C. D.【答案】C.【解析】由题意可知，⊙O是正方形ABCD的外接圆，过圆心O点作OE⊥BC于E，在Rt△OEC中，∠COE=45°，∴sin∠COE=,设CE=k，则OC=CE=k，∵OE⊥BC，∴CE=BE=k，即BC=2k.∴S正方形ABCD=BC2=4k2，⊙O的面积为πr2=π×(k)2=2πk2.∴正方形==≈.15.（2019·湖州）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2【答案】B．【解析】∵r＝5，l＝13，∴S锥侧＝πrl＝π×5×13＝65π（cm2）．故选B．16. （2019·金华）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠A=90°，∠ABC=105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（）32【答案】D．【解析】∵∠A=90°，∠ABC=105°，∴∠ABD=45°，∠CBD =60°，∴△ABD是等腰直角三角形，△CBD是等边三角形．设AB长为R，则BDR．∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝12lR，∴l＝2R·∴下面圆锥的侧面积为12lR＝12·2R．故选D．17.(2019·宁波)如图所示,矩形纸片ABCD中,AD＝6cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则AB的长为A.3.5cmB.4cmC.4.5cmD.5cm【答案】BDCBA【解析】AE＝124ABπ⋅⋅,右侧圆的周长为DEπ⋅,∵恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,∴,124ABπ⋅⋅＝DEπ⋅,AB＝2DE,即AE＝2ED,∵AE+ED＝AD＝6,∴AB＝4,故选B.18. （2019·衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。
2019年北京市中考数学试卷(含答案与解析)
数学试卷 第1页（共22数学试卷 第2页（共22页）绝密★启用前2019年北京市高级中等学校招生考试数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米.将439 000用科学记数法表示应为（ ） A .60.43910⨯B .64.3910⨯C .54.3910⨯D .343910⨯ 2.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）AB CD3.正十边形的外角和为（ ）A .180︒B .360︒C .720︒D .1440︒4.在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C .若CO BO =，则a 的值为（ ）A .3-B .2-C .1-D .15.已知锐角AOB ∠如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作PQ ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ 于点M ，N ；（3）连接OM ，MN .根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）A .COM COD ∠=∠B .若OM MN =，则20AOB ︒∠=C .MN CD ∥D .3MN CD =6.如果1m n +=，那么代数式()22221m nm n m m mn +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（ ）A .3-B .1-C .1D .37.用三个不等式a b >，0ab >，11a b <中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）A .0B .1C .2D .38．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公下面有四个推断：学生类别5毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共22页） 数学试卷 第4页（共22页）①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间 ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间 ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间 所有合理推断的序号是（ ）A .①③B .②④C .①②③D .①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若分式1x x-的值为0，则x 的值为 .10.如图，已知ABC △，通过测量、计算得ABC △的面积约为 2cm .（结果保留一位小数）11.在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 .（写出所有正确答案的序号）12.如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠=＋ 。
(2)2008～2019北京中考数学分类汇编(方程不和不等式)教师版
2008～2019北京中考数学分类(方程不和不等式)一．选择题（共2小题）1．方程组的解为（）A．B．C．D．2．若|x+2|+，则xy的值为（）A．﹣8B．﹣6C．5D．6二．填空题（共5小题）3．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为．4．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为．5．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝，b＝．6．不等式3x+2≥5的解集是．7．若关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．三．解答题（共27小题）8．解不等式组：9．关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．10．解不等式组：11．关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．12．解不等式组：．13．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．14．解不等式组：．15．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．16．解不等式组，并写出它的所有非负整数解．17．为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用．到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个．预计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．预计到2015年底，全市将有租赁点多少个？18．解不等式5x﹣12≤2（4x﹣3），并把它的解集在数轴上表示出来．19．京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？20．解分式方程：．21．列方程或方程组解应用题：北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加．据统计，2008年10月11日到2009年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次．在此期间，地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？22．解分式方程：．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．24．列方程或方程组解应用题：2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米？25．解不等式：4（x﹣1）＞5x﹣6．26．列方程或方程组解应用题：京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的．小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？27．解不等式组：．28．列方程或方程组解应用题：据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．29．解不等式组：．30．某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．31．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．32．解不等式x﹣1≤x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．33．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．34．列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．2008～2019北京中考数学分类(方程不和不等式)参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．方程组的解为（）A．B．C．D．【解答】解：，①×3﹣②得：5y＝﹣5，即y＝﹣1，将y＝﹣1代入①得：x＝2，则方程组的解为；故选：D．2．若|x+2|+，则xy的值为（）A．﹣8B．﹣6C．5D．6【解答】解：∵|x+2|≥0，≥0，而|x+2|+＝0，∴x+2＝0且y﹣3＝0，∴x＝﹣2，y＝3，∴xy＝（﹣2）×3＝﹣6．故选：B．二．填空题（共5小题）3．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为．【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：，故答案为：．4．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为．【解答】解：根据题意得：，故答案为：．5．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝4，b＝2．【解答】关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4×a＝b2﹣a＝0，∴a＝b2，当b＝2时，a＝4，故b＝2，a＝4时满足条件．故答案为：4，2．6．不等式3x+2≥5的解集是x≥1．【解答】解：不等式3x+2≥5移项，得3x≥3，系数化1，得x≥1．故答案为：x≥1．7．若关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是﹣1．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝0，解得m＝﹣1．三．解答题（共27小题）8．解不等式组：【解答】解：，解①得：x＜2，解②得x＜，则不等式组的解集为x＜2．9．关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．10．解不等式组：【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为﹣2＜x＜3．11．关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．【解答】解：（1）a≠0，△＝b2﹣4a＝（a+2）2﹣4a＝a2+4a+4﹣4a＝a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4a＝0，若b＝2，a＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．12．解不等式组：．【解答】解：，由①式得x＜3；由②式得x＜2，所以不等式组的解为x＜2．13．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，△＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，∴x1＝2，x2＝k+1．∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：k＜0，∴k的取值范围为k＜0．14．解不等式组：．【解答】解：解不等式2x+5＞3（x﹣1），得：x＜8，解不等式4x＞，得：x＞1，∴不等式组的解集为：1＜x＜8．15．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m+5＞0，解得：m＞﹣．（2）m＝1，此时原方程为x2+3x＝0，即x（x+3）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣3．16．解不等式组，并写出它的所有非负整数解．【解答】解：，由①得：x≥﹣2；由②得：x＜，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜，则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．17．为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用．到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个．预计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．预计到2015年底，全市将有租赁点多少个？【解答】解：设到2015年底，全市将有租赁点x个，根据题意可得：×1.2＝，解得：x＝1000，经检验得：x＝1000是原方程的根，答：到2015年底，全市将有租赁点1000个．18．解不等式5x﹣12≤2（4x﹣3），并把它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：去括号得，5x﹣12≤8x﹣6，移项得，5x﹣8x≤﹣6+12，合并同类项得，﹣3x≤6．系数化为1得，x≥﹣2．不等式的解集在数轴上表示如图：．19．京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？【解答】解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时（x+40）千米依题意得：（x+40）解得：x＝200．答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米．20．解分式方程：．【解答】解：去分母，得x（x+2）+6（x﹣2）＝（x﹣2）（x+2）．化简得：8x＝8，解得x＝1．经检验，x＝1是原方程的解．∴原方程的解是x＝1．21．列方程或方程组解应用题：北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加．据统计，2008年10月11日到2009年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次．在此期间，地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？【解答】解：设轨道交通日均客运量为x万人次，地面公交日均客运量为y万人次．依题意得：解得：答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1343万人次．22．解分式方程：．【解答】解：去分母，得3﹣2x＝x﹣2，整理，得3x＝5，解得x＝．经检验，x＝是原方程式的解．所以原方程式的解是x＝．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．【解答】解：由题意可知△＝0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）＝0，解得m＝5．当m＝5时，原方程化为x2﹣4x+4＝0．解得x1＝x2＝2．所以原方程的根为x1＝x2＝2．24．列方程或方程组解应用题：2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米？【解答】解：设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水（5.8﹣x）亿立方米．依题意，得5.8﹣x＝3x+0.6，解得：x＝1.3，∴5.8﹣x＝5.8﹣1.3＝4.5（亿立方米）．答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．25．解不等式：4（x﹣1）＞5x﹣6．【解答】解：去括号得：4x﹣4＞5x﹣6，移项得：4x﹣5x＞4﹣6，合并同类项得：﹣x＞﹣2，把x的系数化为1得：x＜2，∴不等式的解集为：x＜2．26．列方程或方程组解应用题：京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的．小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？【解答】解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米，∵小王家距上班地点18千米，∴小王从家到上班地点所需时间t＝小时；∵他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，∴他乘公交车从家到上班地点所需时间t＝，∵乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的，∴＝×，解得x＝27经检验x＝27是原方程的解，且符合题意．答：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米．27．解不等式组：．【解答】解：，∵解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x＞5，∴不等式组的解集为：x＞5．28．列方程或方程组解应用题：据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．【解答】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x﹣4）毫克，由题意得：＝，解得：x＝22，经检验：x＝22是所列方程的解．答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．29．解不等式组：．【解答】解：，解不等式①得，x＞﹣1，解不等式②得，x＜，所以，不等式组的解集是﹣1＜x＜．30．某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．【解答】解：设每人每小时的绿化面积x平方米，由题意，得，解得：x＝2.5．经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意．答：每人每小时的绿化面积2.5平方米．31．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．【解答】解：（1）根据题意得：△＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k＞0，解得：k＜；（2）由k为正整数，得到k＝1或2，利用求根公式表示出方程的解为x＝﹣1±，∵方程的解为整数，∴5﹣2k为完全平方数，则k的值为2．32．解不等式x﹣1≤x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：去分母，得：3x﹣6≤4x﹣3，移项，得：3x﹣4x≤6﹣3，合并同类项，得：﹣x≤3，系数化成1得：x≥﹣3．则解集在数轴上表示出来为：．33．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．【解答】（1）证明：∵m≠0，△＝（m+2）2﹣4m×2＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，而（m﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）＝0，x﹣1＝0或mx﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝，当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2．34．列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．【解答】解：设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，则原来的燃油汽车所需的油费为（x+0.54）元，由题意得＝，解得：x＝0.18经检验x＝0.18为原方程的解答：纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元．。
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2008～2019北京中考数学分类(圆)一．解答题（共12小题）1．在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．2．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．3．如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O 的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB＝DE；（2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径．4．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．5．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．6．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC＝CD；（2）若OB＝2，求BH的长．7．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD＝∠EDO；（2）若PC＝6，tan∠PDA＝，求OE的长．8．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝，求BF的长．9．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．10．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．（1）求证：直线AC是圆O的切线；（2）如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，求BD的长．11．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝4，cos C＝时，求⊙O的半径．12．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD＝∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO＝8：5，BC＝2，求BD的长．2008～2019北京中考数学分类(圆)参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．（1）求证：AD＝CD；（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．【解答】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝CD；（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM，∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM，∴BC为直径，∴∠BAC＝90°，∵＝，∴OD⊥AC，∴OD∥AB，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线，∴直线DE与图形G的公共点个数为1．2．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．【解答】解：（1）方法1、连接OC，OD，∴OC＝OD，∵PD，PC是⊙O的切线，∵∠ODP＝∠OCP＝90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP，∴∠DOP＝∠COP，∴OP⊥CD；方法2、∵PD，PC是⊙O的切线，∴PD＝PC，∵OD＝OC，∴P，O在CD的中垂线上，∴OP⊥CD（2）如图，连接OD，OC，∴OA＝OD＝OC＝OB＝2，∴∠ADO＝∠DAO＝50°，∠BCO＝∠CBO＝70°，∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，∴∠COD＝60°，∵OD＝OC，∴△COD是等边三角形，由（1）知，∠DOP＝∠COP＝30°，在Rt△ODP中，OP＝＝．3．如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O 的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB＝DE；（2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵AO＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵BD是切线，∴OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∴∠OBE+∠EBD＝90°，∵EC⊥OA，∴∠CAE+∠CEA＝90°，∵∠CEA＝∠DEB，∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE．（2）作DF⊥AB于F，连接OE．∵DB＝DE，AE＝EB＝6，∴EF＝BE＝3，OE⊥AB，在Rt△EDF中，DE＝BD＝5，EF＝3，∴DF＝＝4，∵∠AOE+∠A＝90°，∠DEF+∠A＝90°，∴∠AOE＝∠DEF，∴sin∠DEF＝sin∠AOE＝＝，∵AE＝6，∴AO＝．∴⊙O的半径为．4．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．【解答】（1）证明：∵ED与⊙O相切于D，∴OD⊥DE，∵F为弦AC中点，∴OD⊥AC，∴AC∥DE．（2）解：作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．＝AE•DM，只要求出DM即首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE可．（方法二：证明△ADE的面积等于四边形ACDE的面积的一半）∵AC∥DE，AE＝AO，∴OF＝DF，∵AF⊥DO，∴AD＝AO，∴AD＝AO＝OD，∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形，∴∠CDO＝∠DOA＝60°，AE＝CD＝AD＝AO＝DO＝a，∴AO∥CD，又AE＝CD，∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM＝a，∴平行四边形ACDE面积＝a2．5．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BM是⊙O的切线，∴AB⊥BE，∵CD∥BE，∴CD⊥AB，∴，∵＝，∴，∴AD＝AC＝CD，∴△ACD是等边三角形；（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°∵AD＝AC，CD⊥AB，∴∠DAB＝30°，∴BE＝AE，ON＝AO，设⊙O的半径为：r，∴ON＝r，AN＝DN＝r，∴EN＝2+，BE＝AE＝，在R t△NEO与R t△BEO中，OE2＝ON2+NE2＝OB2+BE2，即（）2+（2+）2＝r2+，∴r＝2，∴OE2＝+25＝28，∴OE＝2．6．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：AC＝CD；（2）若OB＝2，求BH的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵C是的中点，AB是⊙O的直径，∴CO⊥AB，∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴OC∥BD，∵OA＝OB，∴AC＝CD；（2）解：∵E是OB的中点，∴OE＝BE，在△COE和△FBE中，，∴△COE≌△FBE（ASA），∴BF＝CO，∵OB＝2，∴BF＝2，∴AF＝＝2，∵AB是直径，∴BH⊥AF，∴△ABF∽△BHF，∴＝，∴AB•BF＝AF•BH，∴BH＝＝＝．7．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD＝∠EDO；（2）若PC＝6，tan∠PDA＝，求OE的长．【解答】（1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，∴∠APO＝∠EPD且PA⊥AO，∴∠PAO＝90°，∵∠AOP＝∠EOD，∠PAO＝∠E＝90°，∴∠APO＝∠EDO，∴∠EPD＝∠EDO；（2）解：连接OC，∴PA＝PC＝6，∵tan∠PDA＝，∴在Rt△PAD中，AD＝8，PD＝10，∴CD＝4，∵tan∠PDA＝，∴在Rt△OCD中，OC＝OA＝3，OD＝5，∵∠EPD＝∠ODE，∴△DEP∽△OED，∴＝＝＝2，∴DE＝2OE在Rt△OED中，OE2+DE2＝OD2，即5OE2＝52，∴OE＝．8．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝，求BF的长．【解答】证明：（1）连接OC，∵OD⊥BC，∴∠COE＝∠BOE，在△OCE和△OBE中，∵，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE＝∠OCE＝90°，即OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE与⊙O相切．（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于点F，∵∠DOH＝∠BOD，∠DHO＝∠BDO＝90°，∴△ODH∽△OBD，∴＝＝又∵sin∠ABC＝，OB＝9，∴OD＝6，易得∠ABC＝∠ODH，∴sin∠ODH＝，即＝，∴OH＝4，∴DH＝＝2，又∵△ADH∽△AFB，∴＝，＝，∴FB＝．9．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵AB＝AC，∴∠1＝∠CAB．∵∠CBF＝∠CAB，∴∠1＝∠CBF∴∠CBF+∠2＝90°即∠ABF＝90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，∴sin∠1＝，∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝5，∴BE＝AB•sin∠1＝，∵AB＝AC，∠AEB＝90°，∴BC＝2BE＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝2，∴sin∠2＝＝＝，cos∠2＝＝＝，在Rt△CBG中，可求得GC＝4，GB＝2，∴AG＝3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴∴BF＝＝10．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．（1）求证：直线AC是圆O的切线；（2）如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，求BD的长．【解答】（1）证明：∵OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠ODC＝∠OCD＝45°．∵∠DOC＝2∠ACD＝90°，∴∠ACD＝45°．∴∠ACD+∠OCD＝∠OCA＝90°．∵点C在圆O上，∴直线AC是圆O的切线．（2）解：方法1：∵OD＝OC＝2，∠DOC＝90°，∴CD＝2．∵∠ACB＝75°，∠ACD＝45°，∴∠BCD＝30°，作DE⊥BC于点E，则∠DEC＝90°，∴DE＝DC sin30°＝．∵∠B＝45°，∴DB＝2．方法2：连接BO∵∠ACB＝75°，∠ACD＝45°，∴∠BCD＝30°，∴∠BOD＝60°∵OD＝OB＝2∴△BOD是等边三角形∴BD＝OD＝2．11．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝4，cos C＝时，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OM，则OM＝OB∴∠1＝∠2∵BM平分∠ABC∴∠1＝∠3∴∠2＝∠3∴OM∥BC∴∠AMO＝∠AEB在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线∴AE⊥BC∴∠AEB＝90°∴∠AMO＝90°∴OM⊥AE∵点M在圆O上，∴AE与⊙O相切；（2）解：在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线∴BE＝BC，∠ABC＝∠C∵BC＝4，cos C＝∴BE＝2，cos∠ABC＝在△ABE中，∠AEB＝90°∴AB＝＝6设⊙O的半径为r，则AO＝6﹣r∵OM∥BC∴△AOM∽△ABE∴∴解得∴⊙O的半径为．12．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD＝∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO＝8：5，BC＝2，求BD的长．【解答】解：（1）直线BD与⊙O相切．证明：如图，连接OD．∵OA＝OD∴∠A＝∠ADO∵∠C＝90°，∴∠CBD+∠CDB＝90°又∵∠CBD＝∠A∴∠ADO+∠CDB＝90°∴∠ODB＝90°∴直线BD与⊙O相切．（2）解法一：如图，连接DE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°∵AD：AO＝8：5∴∵∠C＝90°，∠CBD＝∠A∵BC＝2，∴解法二：如图，过点O作OH⊥AD于点H．∴AH＝DH＝∵AD：AO＝8：5∴cos A＝∵∠C＝90°，∠CBD＝∠A∴∵BC＝2∴。