最新不定积分习题与答案
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分(A)求下列不定积分dx~~2X(x 2)2dxdx2) xV x2x .2dx 4) 1 x1、1) 3)5)7) 2、1) 3) 5) 7) 9) 11) 13) 15) 17)2 3X 53^△dx cos2x2 ；~2~dx6)cos xsin xX 3(2e )dxx求下列不定积分(第一换元法)(1 —y^'xYxdX8) x3(3 2x) dxsin t ..dtxtdxcosxsin xdx2) 32 3xdx,) xl n x In (I n x)xcos(x2)dxsinx , 厂dxcos xdx2x2 1sin 2xcos3xdxdxx x6) e e“、cos3xdx12)tan3x secxdx14)3x9 x2dx16)______ 13cos2 x—dx4sin x10 2arccosxdxarctan x ,dx 18) x(1 x)3、求下列不定积分（第二换元法）1) 2)sinxdx3) 4)2x----------- d x, (a 0)2 2.a x5)7) 4、1) 3) 5)7) 5、1)2)3)dx6)dx1 \2xdxx -J x28)dx1 T x2求下列不定积分（分部积分法）xSnxdxx2In xdxx2arcta nxdxIn2xdx求下列不定积分（有理函数积分）3xdxx 32x 32x 3xdxx(x21)1、一曲线通过点方程。
2、已知一个函数2)4)6)8)arcs inxdxe 2x sin -dx2x2cosxdx2 2 xx cos dx2(B)（M,3），且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,F（x）的导函数为1 x2，且当x 1时函数值为2求该曲线的，试求此函数。
3、证明：若f(x)dx F(x)c，则f (ax b)dx 丄F(axa b) c,(a 0)o sin x4、设f(x)的一个原函数为求xf(x)dx。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分 （Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx ２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221 ５）⎰⋅-⋅dxxxx32532 ６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x32(⎰+ ８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23( ２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos ６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰ ８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx 12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin 14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211 ２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx ６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx ８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法） １）inxdxxs⎰ ２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2 ６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln ８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dxxx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx （Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。
3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。
不定积分专题试题
不定积分专题试题（含答案）一、填空题1、若⎰==__)(sin cos )()('dx x xf u f u F ，则 C x F +)(sin2、设)(x f 的一个原函数为x x tan ，则⎰=___)('dx x xf C x xx +-tan 2sec 2 3、若)1()(ln '2>=x x x f ，则___)(=x f C e x +2214、_____1)2(=--⎰xx dxC x +--1arctan 25、设x x f ln )(=，则____)('=⎰--dx ee f x x C x +6、___sin cos 2222=+⎰xb x a dx C x a bab +)tan arctan(1 7、已知边际收益为x 230-，则收益函数为___ 230x x -8、=-+=⎰⎰dx x xf C x dx x f )1()(22，则若______ C x +--22)121（9、____)2ln 1(12=+⎰dx x x C x +2ln arctan10、若____1)1()()(2=⋅+=⎰⎰dx xxf C u F du u f ，则 C xF +-)1(二、选择题1、函数x x e 3的一个原函数为（ B ）A 、)3ln 1()3(+xe B 、3ln 1)3(+xeC 、3ln 3xe D 、3ln 3xe2、求dx x ⎰-42时，为使被积函数有理化，可作变换（C ）Ａ、t x sin 2= B 、t x tan 2= C 、t x sec = D 、42-=t x3、若x ln 是函数)(x f 的原函数，那么)(x f 的另一个原函数是BA 、ax lnB 、ax a ln 1C 、x a +lnD 、2)ln 21x （4、函数__)(_)()()(2D x F x x x f =+=的一个原函数A 、334xB 、334x xC 、)(3222x x x + D 、)(322x x x +5、__)(_)(cos )1cos 1(2D x d x =-⎰A 、C x x +-tanB 、C x anx +-cos tC 、C x x+--cos 1 D 、C x x +--cos cos 1三、计算题 1、⎰+)1(x x dxC x +arctan 2 2、dx x x ⎰-234 C x x +-+--3)4(443223、dx xx⎰-31 C x x x x x x +-++----666656711ln 3625676 4、dx e x x 23-⎰ C e e x x x +----22212125、dx x x ⎰+241 C x x x ++-arctan 336、dx xx ⎰22cos sin 1C x x +-cot tan 7、dx ex ⎰-12 C x ex +---)112(128、dx x )arcsin (2⎰ C x x x x ar x +--+2arcsin 12)sin c (229、xdx ⎰3tan C x x++cos ln 2tan 210、⎰-dx x x 123 C x x +-+-13)1(232 11、dx x x 23)(ln ⎰ C x x x x x ++-32ln 8)(ln 4442412、⎰dx x )sin(ln C x x x +-)]cos(ln )[sin(ln 213、dx x f x f ⎰)()(' )(2x f +C 14、dx ex ⎰+211C e e x x +++-+1111ln 2122 15、dx x x ⎰sin C x x x x x +-+-sin )2(6cos )6(2 四、证明题：设)(x f 的原函数)(x F 非负，且1)0(=F ，当x x F x f x 2sin )()(02=≥时，有，试证14sin 412sin )(2+-=x x xx f不定积分练习题1基础题 一．填空题 1.不定积分：⎰=_____x x dx22.不定积分：dx x ⎰-2)2(=______3.不定积分： dx x x x)11(2⎰-=_______ 4.不定积分：dx x ⎰-2)2(=__________5.不定积分：dx xe x)32(⎰+=_______ 6.一曲线通过点)3,e (2，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为____________________7.已知一个函数)x (F 的导函数为2x 11-，且当1x =时函数值为π23，则此函数为_______________ 8.=+⎰x d )x 1x ( ________ 9. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 10.如果xe -是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰11. 设21()ln(31)6f x dx x c =-+⎰,则()f x = . 12. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 .13. 已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = .14. (103sin )xx x dx +-=⎰ .15.222()a x dx +=⎰. 16.3321(1)x x dx x-+-=⎰ . 二．选择题 1、，则设x d x1I 4⎰=I =（ ） c x 3 1)D ( c x 3 1)C ( cx 3 1)B ( c x 4)A (3335++-+-+--- 2、的一个原函数为则，设 )x (fx 1 1)x (f 2-=( )()arcsin ()arctan A x B x x 1 x 1 ln 2 1)C (+- x1x 1 ln 2 1)D (-+ 3、函数x 2 cos π的一个原函数为 （ ） (A) x 2 sin 2 ππ (B) x 2 sin 2 ππ- （C ）x 2 sin 2ππ (D) x2 sin 2ππ- 4、设f(x) 的一个原函数为F(x)， 则⎰=dx )x 2(f （ ）(A) F(2x)+ C (B) F( 2 x )+ C (C)C )x 2(F2 1+ (D) 2F( 2 x )+ C 5.设3()lnsin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（ ）。
(完整版)不定积分习题与答案
不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。
3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。
(完整word版)高等数学不定积分相关题目和答案
不定积分一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 如果xe-是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰。
2. 若()2cos 2xf x dx C =+⎰，则()f x = 。
3. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 。
4.()()f x df x =⎰ 。
5. sin cos x xdx =⎰。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设3()ln sin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（ ）。
A . cot 4xB . cot 4x -C . 3cos4xD . 3cot 4x2. ln x dx x =⎰（ ）。
A . 21ln 2x x C + B .21ln 2x C + C . ln x C x+ D .221ln xC x x-+ 3. 若()f x 为可导、可积函数，则（ ）。
A . ()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰B . ()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰C .()()f x dx f x '=⎰ D . ()()df x f x =⎰4. 下列凑微分式中（ ）是正确的。
A . 2sin 2(sin )xdx d x = B .d = C . 1ln ()x dx d x = D . 21arctan ()1xdx d x=+ 5. 若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ ）。
A . 222(1)x C ++ B . 222(1)x C --+C . 221(1)2x C ++D . 221(1)2x C --+三、计算题（每小题8分，共48分） 1. 2194dx x -⎰2.3. dx x⎰4. arcsin xdx ⎰5. dx x xx ⎰++21arctan6. .)1(21222dx x x x ⎰++四、综合题（本大题共2小题, 总计22分）1.（10分）求⎰'''⋅-'dx x f x f x f x f x f ])()()()()([32的值。
不定积分练习题及答案
不定积分练习题一、选择题、填空题：1、 ((1—sin 2X)dx =2 -------------2、 若 e x 是f (x)的原函数，贝x 2f(lnx)dx = ________3、sin (I n x)dx 二 __12、若 F '(x)工f(x), • '(x)工 f (x),则 f(x)dx= _______________________________________________ (A)F(x) (B) ：(x) (C) ：(x) - c (D)F(x)(x) c13、下列各式中正确的是： (A) d[ f(x)dx]二 f(x) (B)—[ f(x)dxp f(x)dxdx L(C) df(x)二 f(x) (D) df(x)二 f(x) c 14、设 f(x)=e ：则：f(lnx)dx = _____________2已知e 公是f (x)的一个原函数，贝V f (tan x)sec xdx 二__ 在积分曲线族(卑中，过(1,1点的积分曲线是y=_'x\!xF'(x)= f (x),贝》J f'(ax+b)dx = ________ ; 设 [f (x)dx =丄 + c ，贝叮 "号)dx = _________; e 「dx=____ ;"f(x)f '(ln x) =1 x,则f (x)二 ______ ;10、 若 f (x)在(a, b)内连续，则在(a, b)内 f (x) ___ ;(A)必有导函数(B)必有原函数 (C)必有界(D)必有极限11、 ______________________________________________ 若 Jxf (x)dx = xs in x — [sin xdx,贝 V f (x) = ________ ; 4、5、 6、7、9、设 xf (x)dx =arcsin x c,贝Vx1 1(D) - In x c (A) — c (B) lnx c (C) -― cx x15、、* ■ dx =,x(1-x)1(A) -arcsin x c (B) arcsin . x c (C) 2arcsin(2x-1) c(D) arcsin(2x -1) c16、______________________________________________________ 若f (x)在［a,b］上的某原函数为零，则在［a,b］上必有_____________(A)f(x)的原函数恒等于零；(C)f(x)恒等于零；二、计算题:- w (28)设f (si n2x) ,求: (B)f(x)的不定积分恒等于零；(D) f (x)不恒等于零，但导函数f '(x)恒为零。
不定积分100题
不定积分100题（附答案）容易题1—60，中等题61—105，难题106—122. 1．设⎰-=1tan cos 2x x dxI ， 则=I ( ). (C).;)1(tan 221C x +-2．设⎰-=12x xdx I ，则=I （ ）。
(D).C x+-1arcsin. 3．设⎰=x dxI sin ,则=I ( ). (B).C x c x +-tan csc ln4．设⎰=axdx I 2 ,则=I （ ）。
(A).C ax+2; 5．设⎰++=dx e e I xx 113,则=I ( ). (B).C x e e x x ++-2216．设⎰=xdx I tan ,则( ). (D).C x +-sin ln . 7．设⎰=xdx I ln 则（ ）。
(D).C x x x I +-=ln 8．设⎰=xdx I arctan , 则=I ( ). (B).C x x x ++-1ln arctan 29．设 ⎰=xdx x I cos sin ，则( ). (A).C x I +-=2cos 4110．设⎰+=21x dx I ， 则=I ( ). (B)C x x +++21ln11．设211)(xx f -=，则的一个原函数=)(x F （ ）。
(A).x x -+11ln 21 12．设)(x f 为可导函数，则（ ）。
(C).⎰=')())((x f dx x f13．设⎰=xdx I arcsin ，则( ). (C).C x x x +-+21arcsin14．=+⎰x x dx sin 2)2sin(( ) （B ）c x x ++|2tan |ln 412tan 812 15．=-⎰)4(x x dx ( ) （C ）c x+2arcsin2 16．=-⎰dx x x 21ln ( ) （B ）c xx+-ln17．设x xsin 为)(x f 的一个原函数，且0≠a ，则⎰dx a ax f )(=( ) （A ）xa ax 3sin19．欲使⎰⎰=dx x f dx x f )()(λλ，对常数λ有何限制？( ) 0≠λ。
不定积分练习题
不定积分练习题
1. 求解以下不定积分：
（1）∫(3x^2 + 4x - 2)dx
（2）∫(2cosx - 3sinx)dx
（3）∫(5/x^2)dx
2. 解答：
（1）∫(3x^2 + 4x - 2)dx
对于多项式函数，可以使用基本积分公式进行求解。
按照幂次递减的顺序，对每一项分别积分：
∫(3x^2)dx = x^3 + C1 （其中C1为常数）
∫(4x)dx = 2x^2 + C2 （其中C2为常数）
∫(-2)dx = -2x + C3 （其中C3为常数）
将上述结果相加得：
∫(3x^2 + 4x - 2)dx = x^3 + 2x^2 - 2x + C （其中C为常数）
因此，不定积分为x^3 + 2x^2 - 2x + C。
（2）∫(2cosx - 3sinx)dx
对于三角函数的积分，可以利用三角函数的积分公式进行求解：∫(2cosx)dx = 2sinx + C1 （其中C1为常数）
∫(-3sinx)dx = 3cosx + C2 （其中C2为常数）
将上述结果相加得：
∫(2cosx - 3sinx)dx = 2sinx + 3cosx + C （其中C为常数）
因此，不定积分为2sinx + 3cosx + C。
（3）∫(5/x^2)dx
对于含有倒数的函数，可以使用倒数的积分公式进行求解：
∫(5/x^2)dx = -5/x + C （其中C为常数）
因此，不定积分为-5/x + C。
注意事项：以上解答仅供参考，具体的求解步骤和结果可能因题目表达不清等因素而有所不同。
在实际做题中，应根据具体题目表达和积分公式的使用条件来进行求解。
不定积分100题
不定积分100题（附答案）容易题1—60，中等题61—105，难题106—122. 1．设⎰-=1tan cos 2x x dxI ， 则=I ( ). (C).;)1(tan 221C x +-2．设⎰-=12x xdx I ，则=I （ ）。
(D).C x+-1arcsin. 3．设⎰=x dxI sin ,则=I ( ). (B).C x c x +-tan csc ln4．设⎰=axdx I 2 ,则=I （ ）。
(A).C ax+2; 5．设⎰++=dx e e I xx 113,则=I ( ). (B).C x e e x x ++-2216．设⎰=xdx I tan ,则( ). (D).C x +-sin ln . 7．设⎰=xdx I ln 则（ ）。
(D).C x x x I +-=ln 8．设⎰=xdx I arctan , 则=I ( ). (B).C x x x ++-1ln arctan 29．设 ⎰=xdx x I cos sin ，则( ). (A).C x I +-=2cos 4110．设⎰+=21x dx I ， 则=I ( ). (B)C x x +++21ln11．设211)(xx f -=，则的一个原函数=)(x F （ ）。
(A).x x -+11ln 21 12．设)(x f 为可导函数，则（ ）。
(C).⎰=')())((x f dx x f13．设⎰=xdx I arcsin ，则( ). (C).C x x x +-+21arcsin14．=+⎰x x dx sin 2)2sin(( ) （B ）c x x ++|2tan |ln 412tan 812 15．=-⎰)4(x x dx ( ) （C ）c x+2arcsin2 16．=-⎰dx x x 21ln ( ) （B ）c xx+-ln17．设x xsin 为)(x f 的一个原函数，且0≠a ，则⎰dx a ax f )(=( ) （A ）xa ax 3sin19．欲使⎰⎰=dx x f dx x f )()(λλ，对常数λ有何限制？( ) 0≠λ。
不定积分练习题及答案（最新）
不定积分练习题及答案（最新）
不定积分公式及练习题
不定积分公式：∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c，其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
在微积分中，一个函数f的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f的函数F，即F′=f。
不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。
其中F是f的不定积分。
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C 就得到函数f(x)的不定积分。
1。
(完整版)不定积分练习题及答案
不定积分练习题211sin )_________2x dx -=⎰一、选择题、填空题：、（ 22()(ln )_______x e f x x f x dx =⎰、若是的原函数，则：3sin(ln )______x dx =⎰、2224()(tan )sec _________;5(1,1)________;6'()(),'()_________;1()7(),_________;18()arcsin ,______()x x xe f x f x xdx y F x f x f ax b dx f e f x dx c dx xe xf x dx x c dx f x --===+==+==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族点的积分曲线是、则、设则、设则____;9'(ln )1,()________;10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______;12'()(),'()(),()_____()()()()()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x dx x x xdx f x F x f x x f x f x dx A F x B x C x κϕϕ=+==-====⎰⎰⎰、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()c D F x x cϕ+++13()[()]()()[()]()()()()()()()dA d f x dx f xB f x dx f x dx dxC df x f xD df x f x c====+⎰⎰⎰⎰、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______11()()ln ()()ln x f x f x e dx xA cB x cC cD x cxx-==++-+-+⎰、设则：15______1()()arcsin ()2arcsin(21)2()arcsin(21)A c B cC x cD x c=+-+-+16()[,][,]()()()()()()()()'()f x a b a b A f x B f x C f x D f x f x 、若在上的某原函数为零，则在上必有____的原函数恒等于零；的不定积分恒等于零；恒等于零；不恒等于零,但导函数恒为零。
不定积分练习题及答案(可打印修改)
2
2
2
2
22) ln 1 e2x ex c 23) x cot x ln sin x x ln csc x cot x c sin x
24) 1 (x 1)96 3 (x 1)97 3 (x 1)98 1 (x 1)99 c 25)e2x tan x c
96
97
98
9
26) arctan x 1 (arctan x)2 1 ln x2 c
1 arcsin
x c
2
(B) arcsin x c
(D) arcsin(2x 1) c
(C) 2arcsin(2x 1) c
16、若f在(x上) 的[某a,b原] 函数为零，则在上必有__[a_,_b]
( A) f (x)的原函数恒等于零；的(B不) f定(x积) 分恒等于零；
(C) f (x)恒等于零；不(D恒) f等(x于) 零, 但导函数恒为零。f '(x)
f
1 (x)
dx
__________;
9、、 f '(ln x) 1 x, f (x) ________;
10、、、、、、、f、、(、x) (a,b)
(a,b) f (x) ______;
( A)、、、、、、、、、、、、、、、、、 (B)
(C)
(D)
11、、、 xf (x)dx x sin x sin xdx, f (x) ______;
arctan x
(26)
dx
x2 (1 x2 )
arctan ex
(27)
dx
e2x
(28)设f求(s：in2 x) x , sin x
x f (x)dx 1 x
(29)已知f的(x一) 个原函数为求：ln2 x, xf '(x)dx
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精品文档不定积分（Ａ）
１、求下列不定积分dxdx??2xx2x２）１）
?dx2?dx)(x?22x1?４）３）
2x
??dxdx x223xsincosx５）６）xx2?5?2?3x2cos
13x??dxxx(2e?)dx(1?)2xx８）７）
２、求下列不定积分（第一换元法）dx?3?dx)(3?2x3x32?２）１）dx tsin??dt)xlnxln(lnx t４）３）dxdx??x?x xsincosxe?e６）５）
?dx2?dx)xcos(x4x1?８）７）
3x3
x1?xsin?dx?dx2x49?3xcos）10９）
dx?3?dxxcos21?2x12）11 ）
3??xdxxsin2xcos3xdxtansec14) 13)
??dxdx222x9?x?4sin3cosx16) 15)
3x1
??dxdx)x?(x12x?117) 18)
x2arccos arctanx10
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精品文档3、求下列不定积分（第二换元法）1?dx?dxxsin2xx?1２）１）
?)0(a?dx,?dx22x?a x４）３）
2x24x?
dx dx??32)1(x?x21?６）５）
dxdx??22?1?x1?x1?x７）８）
４、求下列不定积分（分部积分法）
??xdxarcsinxsinxdx１）２）
x x?2?dxsine2?xdxxln2４）３）
?dxxcos2?xdxln2８）７）22??xdxxxcosarctanxdx６）５）x22
５、求下列不定积分（有理函数积分）3x?dx3x?１）
3x?2?dx210??3xx２）
dx?2)?x(x1 3 ）
（Ｂ）
2)3e,(、一曲线通过点，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的1 方程。
13?2)(xFx1?1x?2的导函数为2、已知一个函数，且当，试求此函数。
时函数值为
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精品文档?cx)?f(x)dx?F(，则3、证明：若1?)?0?F(axb)?c,(af(ax?b)dx?a。
xsin??dxx(xf)
)(xfx。
4、设，求的一个原函数为5、求下列不定积分x2?dxcos?dxxsin21?2２）１）
1arctanx1?x?dxx?dxx?12x1?３）４）
dxx??dxx2222)?ax)(b(x?x?2a６）５）xarctan xe?dx lnx
?3dx2)?x(12x1x?ln）8 7）
?dx?x x2sin?xsin(2)1e?2) １）（Ｃ）求以下积分x xe dx
?dx?dx341x?x2e４）３）
5x x earctan
??dxdx8xxsincos?1?x５）６）
5x?xxxsincos
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精品文档不定积分第四章
答案习题
（Ａ）321?cx??c??23x（２）１、（１）
123c?4x?2xx?cx?x?arctan3（４）（３）2x)5(3c?2x?
c?(cotx?tanx)?3ln2?ln（６）（５）
2)?7x4(c?x c?3?ln2ex4x7（７）（８）
2114cx2?3)??(c?x?2?)(3328（２）２、（１）
clnlnx?ln c?t?2cos（４）（３）
cx?lntan x c?arctane（６）（５）
3142cx??xsin()?cln1?42（８）7（）
1x1122cxarcsin??9?c?42423cosx2(10) ）
（9121x?3xsincln?c?sinx?12x22?3(11) (12)1113cx?seccsecx?cosxcos5?x?
3210(14) (13)
2191carctan?22cx?ln(?)x9?33222 (16) (15)
xarccos210c??2c(arctan?x)102ln(17) (18)
ct?cot?tcscln cxcosx2?(?)xsin?（(1)、3 ）2 精品文档．
精品文档22x?4c?arccos)?2(tan x2）（32xxa22c)?x?(arcsin?a22aa (4)xc?2c?ln(1?2x)2x?x1?(6) (5)
x1carcsinx??2c)?1?x(arcsinx?lnx?2x?1?12 (7)(8)
2cx?arcsinx?1?xcx?xcosx?sin?(2) 4、(1)
x2x11x?233c)?(cosx?x??c?e4sinxln173229(4) (3)
111232c?x?xxarctan?x)?ln(1366 (5)2c2sinx?x?2xcosx?xsin (6)2cx??2xlnx?2xlnx7）（1123csinx?xsin?xcosx?x?x26 (8)
3123c?27lnx?3x?x?9x?clnx?5?lnx?2?23(2)(1)5、
12c?1lnx?ln(x)?2(3)
1112carctanxx??1)??lnxlnx?1?ln(224 (4)
21x??1321xc??ln?arctan223x?x?13 (5)
(B)
11??cy?ln?xdx?2(e,3))(fx?yxx，点设曲线，由导数的几何意义：代入即可。
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?C?)dx?arcsinxf(xF()?x2。
，精品文档1???)f(xF)(x2)Fx(x1?，得设函数为，由3?)(1,
代入即可解出C??)axf(?b?F(ax?b)?)F(x?f(x),，故由假设得
11???cb)?)dx?F(ax?F?(ax?b),??f(axb)[F(ax?b]aa。
?)f(x４、把凑微分后用分部积分法。
x?cos1x2?cos22５、（１）用倍角公式：0x??0cosx?sincosx?sinx或两种情况。
（２）注意11)x?d(arccotarcarctan?cotx,dx?2xx?1。
（３）利用（４）先分
子有理化，在分开作三角代换。
（５）化为部分分式之和后积分。
2t?2asinx（６）可令。
22t)cos?x?(b?ab(x?a?b?a)sint,则（７）可令。
tlnx?1?（８）令。
（９）分部积分后移项，整理。
xarctan e（１０）凑后分部积分，再移项，整理。
xt?tan2（１１）令。
dx?x?3x?34t?)?2?(xx?2x?2后，令，（１２）变形为
11dx?2tdt21??t2(x?2)x?2再由，两端微分得。
（Ｃ）
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精品文档u22du),dx?u?x?ln(1x1?eu?2u?1解：令），则
12u422??du??u)ln(1?u)du?2uln(1?22u1?所以原式2c?4arctanu)?2uln(1?u?4u?
xxx c???4arctanexe?1?4e1?1?2
??????
）解：方法一：2xx)(tan)dd(11dx22
xxxx2sinx(1?4cosx)432costansincos2222原式x2tan?1 x1x11x22??c)??tanlntand(tan?x224248tan2
x?ttan2方法二：令sinxdx?2x)(1?cos(1?cosx)2cosx?u，然后令方法三：变形为再化成部分分式积分。
1x?2x?)de(??earctan2 3）解：原式x)ed(1xx?2?]n?ctaea??[er x2x22)ee(1? 1du?2xx?][earctane???222)?uu(1x u?e）（令
1dudu?2xx??][??earctane??222u1?u
1??xxxx?2?c?e??arctanee?arctan?e2
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???)])?xd)?[(d(x?(dx333334441x??1?1xx 4）解：原式131?
33111x?1x333
3333??)]x1??1)?[(xd?1)d(x(?1)?(x443
374433c1)?(x???(x1?)44921
???dx?2?22?4422)?(x?xx?x2?2x?xu?）解：2?2?3)x?d1(xx?x
原式5，令
2u?1du1?c???ln222u?22u?4
2411x??2xc?ln?241242x?x?
11?2sinxcosx?1?dx?x?2cossinx 6）解：原式
??dxdx??xcos2sinx?2sinx?cosx 21?cosx)11(sinx
?)(x?d114???cosx?)(sinx?222)x?sin(4
?)?dcos(x114??)?cosxx(sin??2222)?(xcos1?4
?1111?)?(sinxd]cos(x??x?cos)[?
??4224)?cos(1?x)x?cos(1?44
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精品文档?)?x1?cos(114c?xcos)ln??(sin?x?224)x?1cos(?4
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