化归与转化的数学思想解题举例

化归与转化的数学思想解题举例

化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。下面介绍一些常用的转化方法，及化归与转化思想解题的应用。

化归与转化常遵循以下几个原则

（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。

（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。

（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。

(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。

（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

一、正与反的转化：

有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。如对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。

例1：某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率为。

例2：求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x－3)垂直平分.

当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然，这种方法在选择题，填空题中非常适用。

例1：设等比数列｛a n ｝的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n +1、S n 、S n +2成等差数列，则q =___________.

例2：已知平面上的直线l 的方向向量)53,54(-

=→e ，点(0，0)和A (1,－2)在l 上的射影分别为A O ''和，若A O λ=''则λ为（ ）

A ．

511 B ．－511 C ．2 D ．－2

例3：设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且1PA QC =，则四棱锥B —PAQC 的体积为：

A ．

61V B ．41V C ．31V D ．2

1V

利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即变量与主元的角色换位）常常可以简化问题的解决，先看下面两题。

例1:（2006年四川卷文21题）已知函数,5)()(,13)(3--'=-+=ax x f x g ax x x f 其中)(x f '是的)(x f 的导函数。

（Ⅰ）对满足11a -≤≤的一切a 的值， 都有,0)(

变式：22--ax x ≤0对]1,1[-∈x 上恒成立，求实数a 的取值范围.

例2：设y 的实数，05442

=+++x xy y 则x 的取值范围是：___________

四、数与形的转化。

数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观图形相结合。可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求。

例1：设对于任意实数]2,2[-∈x ,函数)3lg()(2x ax a x f --= 总有意义，求实数a 的取值范围。

五、陌生与熟悉的转化

把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是数学解题的一条重要原则。

例1：某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（）

A. m>N

B. m

C.m=N

D.无法确定

例2：两条异面直线称为“一对”，则在正方体八个顶点间的所有连线中，成异面直线的共有多少对？

。

归纳小结：我们学习了化归与转化思想，正与反的转化从集合的角度来看就是“补集”的思想；一般与特殊的转化只限选择题，填空题中使用，在大题中可有多种方法来探究解题的突破口，寻求解题的方法；将陌生变为熟悉，是解每一道题的一般过程；主与次的转化的方法，是如何看待一个等式（或不等式）中的两个元素的地位，只要需要，就可以把其中任何一个元素看作“主”要元素来解题。

课堂练习：

1、对任何]1,1[-∈a 函数a x a x x f 24)4()(2-+-+=〉0，则实数x 的取值范围是：_______

2、已知函数14)(2+-=ax x x f 在（0，1）内至少有一个零点，则实数a 的取值范围____________

3、求函数x x a x f 2cos sin 42)(--=的最大值和最小值。

4、已知向量1122(cos ,2sin ),(cos ,2sin )OA OB θθθθ== ，

若11(cos ,sin ),OC θθ= 22(cos ,sin )OD θθ=

，满足0OC OD ⋅= ，则OAB

∆的面积OAB S ∆等于

5、在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为__________