化归与转化的数学思想解题举例
例谈化归思想在中学数学解题中的应用
例谈化归思想在中学数学解题中的应用化归思想是一种在数学问题求解中经常应用的思维方式，它通过将问题进行逻辑转化，从而使得原本复杂的问题得到简化和解决。
在中学数学教学中，化归思想的应用是十分重要的，它能够帮助学生更好地理解和解决各种数学问题，并且培养学生的逻辑思维能力。
本文将通过几个具体的例子来说明化归思想在中学数学解题中的应用。
我们来看一个简单的例子。
假设有一个数学问题：甲乙两人一起做一件事情需要5天完成，如果甲一个人做，需要7天完成，那么乙一个人做需要多少天完成？这个问题实际上就是一个典型的化归思想的应用。
我们可以假设甲乙两人一起一天完成的工作量为1，那么甲的单日工作量为1/5，乙的单日工作量为1/x。
根据题意可以列出方程：1/7 + 1/x = 1/5，通过化简和代数运算可以求解得到x=35/4。
所以乙一个人做需要35/4=8.75天完成。
这个例子展示了如何通过化归思想将原本复杂的问题转化为一个简单的代数方程，从而实现问题的解决。
我们来看一个关于几何题目的例子。
已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
这个问题看似简单，但如果没有化归思想的引导，很容易被逻辑混乱所困扰。
通过利用勾股定理可以得出斜边长度为5。
这个例子中，化归思想的应用表现在将几何问题转化为代数问题，并且通过代数运算得到了问题的解。
再来看一个关于代数题目的例子。
已知一个一元二次方程的两个根分别为2和3，求方程的系数。
这个问题可以通过化归思想来解决。
设该一元二次方程为ax^2+bx+c=0，根据题意可以列出方程：(x-2)(x-3)=0，通过展开和比较系数可以得到a=1，b=-5，c=6。
这个例子展示了如何通过化归思想将一个抽象的代数问题转化为具体的数值问题，并且解决了系数的求解问题。
我们来看一个组合数学的例子。
已知一个集合中有n个元素，求该集合的子集个数。
这个问题可以通过化归思想来解决。
当n=1时，集合包含一个元素，子集个数为2；当n=2时，集合包含两个元素，子集个数为4；当n=3时，集合包含三个元素，子集个数为8……可以发现子集的个数是以2的指数递增的，所以当n个元素时，子集个数为2^n。
高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解
中学数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解中学数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解在转化过程中，应遵循三个原则：1、熟识化原则，即将生疏的问题转化为熟识的问题;2、简洁化原则，即将困难问题转化为简洁问题;3、直观化原则，即将抽象总是详细化.策略一：正向向逆向转化一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，假如从下面入手思维受阻，不妨从它的正面动身，逆向思维，往往会另有捷径.例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.A、150B、147C、144D、141分析：本题正面入手，状况困难，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简洁多了.10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).策略二：局部向整体的转化从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较困难的数学问题却须要从总体上去把握事物，不纠缠细微环节，从系统中去分析问题，不单打独斗.例2：一个四面体全部棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为( )A、B、C、D、分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，简洁出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).策略三：未知向已知转化又称类比转化，它是一种培育学问迁移实力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相像性，奇妙进行类比转换，答案就会应运而生.例3：在等差数列中，若，则有等式( 成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.二、逻辑划分思想例题1、已知集合A= ，B= ，若B A，求实数a 取值的集合.解A= ：分两种状况探讨(1)B=￠，此时a=0;(2)B为一元集合，B= ，此时又分两种状况探讨：(i) B={-1}，则=-1，a=-1(ii)B={1}，则=1，a=1.(二级分类)综合上述所求集合为.例题2、设函数f(x)=ax -2x+2，对于满意1x4的一切x值都有f(x) 0，求实数a的取值范围.例题3、已知，试比较的大小.于是可以知道解本题必需分类探讨，其划分点为.小结：分类探讨的一般步骤：(1)明确探讨对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行探讨);(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级探讨.;(3)逐类探讨，获得阶段性结果.(化整为零，各个击破);(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).十一种数学思想方法总结与详解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
数学思想方法之化归与转化思想
2 φ1<0， 3x －x－2<0， 2 ∴ 即 2 解得－3<x<1. φ－1<0， 3x ＋x－8<0，
故当x∈ 都有g(x)<0.
2 － ， 1 3
时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，
专题
数学思想方法
第四讲 化归与转化思想
2．化归与转化思想 根据熟知的数学结论和掌握的数学 题目解法，把数学问题化生疏为熟练、化 困难为容易、化整体为局部、化复杂为简 单、化空间为平面、化高维为低维的解决 问题的思想方法就是化归思想与转化思 想.
► 探究点二 化归与转化思想的应用 例 3 (1)[2012· 江西卷] 设数列{an}， {bn}都是等差数列． 若 a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则 a5＋b5＝________. (2)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c， 且(2b－ 3c)cosA＝ 3acosC，则角 A 的大小为________．
[解析] (1)方法一：设 cn＝an＋bn，∵{an}，{bn}是等差数列，∴{cn} 是等差数列．设其公差为 d，则 c1＝7，c3＝c1＋2d＝21，解得 d＝7， 因此，c5＝a5＋b5＝7＋(5－1)×7＝35.故填 35. 方法二：设 cn＝an＋bn，∵{an}，{bn}是等差数列， ∴{cn}是等差数列，∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)， 即 42＝7＋(a5＋b5)，因此 a5＋b5＝42－7＝35.故填 35. (2)因为(2b－ 3c)cosA＝ 3acosC，由正弦定理得 (2sinB－ 3sinC)cosA＝ 3sinAcosC， 即 2sinBcosA 2sinBcosA＝ 3sin(A＋C)，则 2sinBcosA＝ 3sinB. 因为 0<B<π，所以 sinB≠0， 3 π 所以 cosA＝ ，于是 A＝ . 2 6
例谈“转化与化归”思想在高中数学解题中应用
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例谈“ 转化与化归 ’ ’ 思想 在高中数学解题中应用
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题
李 文靖
江西瑞金 第一 中学 ３ ２ ０ ４ ５０
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求证
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点评 ： 题 看上去是 一个不等 式 问 本 题 ， 经 过 等价 转化 ， 它 化 归 为 关 于ｐ 但 把
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数学思想方法及例题
数学思想方法及例题一、化归思想“化归”就是将未知的问题转化成我们已经解决的问题，将复杂的问题转化成简单的问题，也就是将“未知”的问题“已知化”，“复杂”的问题“简单化”．化归思想是解决问题的常见思想方法．【例1】△ABC为等边三角形，三边的长均已在图中标出，求的值．分析：因为△ABC为等边三角形，故AB=BC=CA，所以2x-8=x+6＝3y+2，稍加组合可得2x-8=x+6，可以求出x的值，然后回代又可求出y的值．解：因为△ABC为等边三角形，故AB=BC=CA，所以2x-8=x+6＝3y+2，又因为2x-8=x+6，解得，x＝14，将x＝14代入x+6＝3y+2，解得，y＝6，将x＝14 y＝6代入点评：本题利用“化归”的思想，将三角形的三边的长转化成一元一次方程，此处应注意的是方程的组合，不同的组合可能得到的是二元一次方程组，从而加大了计算量和解答难度．二、分类讨论思想有时将问题看成一个整体时，则无从下手，若分而治之，各个击破，则能柳暗花明，分类讨论正是这一种思想，也是一种重要是数学思想方法，为了解决问题，将问题说涉及的是对象不遗漏地分成若干类问题，然后逐一解决，从而最终解决整个问题的目的．【例2】（五城市联赛题）若ab>0，求的值．分析：因为ab>0，则a>0，b>0或a<0，b<0，于是将问题分成两种情况进行讨论，不难得到结果．解：因为ab>0，则a>0，b>0或a<0，b<0，①当a>0，b>0时，，，＝＝1+1-1＝1．②当a<0，b<0时，，，＝＝－1－1－1＝－3．故当ab>0，＝1或－3．点评：在分类讨论时，应注意不遗漏地将问题所涉级的各种情况作出讨论，最后应总结各种讨论的结果．三、整体思想与分解，分步处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实际上紧密联系的量作为整体考虑．在整体思想中，往往能够找到问题的捷径．分析：若将问题中的x看成一个未知数，将其求出，然后代入后式中求值，显然计算复杂繁琐，计算量偏大，但将看成一个整体，通过通分得到，继而看作整体，求其倒数得到，对比联想，容易找到解决问题的思路．点评：本题若不运用整体的思想方法解题，则计算复杂繁琐，而整体思想的运用，化难为易，整体思想是一种技巧，也是一种重要的思想方法．四、数形结合思想数形结合思想，是一种重要的思想，有时力图用图形来直观体现数量的关系，将抽象复杂的'数（量），利用图形的直观表达，然后利用图形的性质（特征），分析解决问题，有时力图用数（量）来体现图形的关系，将图形的性质（特征），利用数（量）的关系来加以解决的思想方法，也是一种重要的思想方法．【例4】（北京市“迎春杯”数学竞赛题）已知：a>0，b<0，且a+b<0，那么有理数a，b，-a，的大小关系是（用“<”连接）．解析：因为b<0，＝－b，因为a>0，b<0且a+b<0，根据有理数加法法则，可得，<，以形辅数，在数轴上表示它们的位置关系，又根据相反数的定义，可以得到a，b，－a，－b的位置关系．故b<－a<a<－b，即b<－a<a<．。
化归与转化的数学思想解题举例
化归与转化的数学思想解题举例在数学问题中，化归与转化是一种常用的解题思路。
它们可以帮助我们将原问题转化为一个简化的形式，从而更容易得到解答。
本文将通过几个具体的例子来说明化归与转化在数学问题中的应用。
一、化归化归是将一个复杂的问题转化为一个更简单的等价问题的过程。
它通常是通过引入新变量或假设，将原问题转化为一个更易于处理的形式。
例子1：求解一元二次方程的解对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a不等于0，我们可以通过化归的方法求解其根。
首先，我们可以将方程中的未知数x改写为y = x + p，其中p是一个常数。
这样，我们将原来的方程转化为了ay^2 + dy + e = 0（其中d 和e是和p相关的常数）。
接下来，我们可以通过求解新方程来得到原方程的解。
由于新方程中的y是一个平移的变量，我们可以通过平方完成对y的消除。
最后，我们将得到一个新的一次方程： Cy + F = 0（C和F是和p 相关的常数）。
求解这个一次方程，我们就可以得到原方程的解。
通过化归，我们将原本复杂的问题转化为了一个简单的一次方程的求解问题，从而更容易得到解答。
二、转化转化是将一个问题转换为一个具有相同解的等价问题的思想。
它可以通过改变问题的表述方式或者引入新的概念来实现。
例子2：求解无穷几何级数的和对于一个无穷几何级数a + ar + ar^2 + ar^3 + ...（其中| r | < 1），我们可以使用转化的思想来求它的和。
首先，我们可以将级数的和S表示为S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，这是一个无穷级数。
接下来，我们将级数的每一项都乘以公比r，得到rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...，这是另一个等价的无穷级数。
然后，我们将这两个等式相减，得到(S - rS) = a，进一步化简得到S = a / (1 - r)。
通过这样的转化，我们得到了无穷几何级数的和的数学表达式，简化了求解过程。
“转化与化归”思想在高中数学解题教学中的应用
解题研究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀转化与化归 思想在高中数学解题教学中的应用◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李㊀硕㊀㊀转化与化归 思想是高学数学中的一种重要的数学思想,运用非常广泛,尤其是一些特殊的问题,运用 转化与化归 思想解题可以提高效率,同时还可以降低问题解决的难度．因此,在数学课堂引入并应用转化与化归思想,能够让学生在学习数学及解题的过程中,加深对数学概念的理解,同时也能有效锻炼数学思维,提高学习效率,进一步发展数学核心素养．在高中数学的解题过程中,基于 转化与化归 思想的三大原则,主要运用的解题方法包括特殊与一般的转化㊁命题的等价转化,以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等一些常见的转化方法．１特殊与一般的转化将一般问题进行特殊化处理,可使问题的解决变得更为直接和简便,并且还能从特殊情况中寻找问题解决的常规思维;除此之外,对特殊性问题进行概括性研究,实现特殊问题一般化,也能从宏观与全局的角度把握特殊性问题的普遍规律,并能有效地解决特殊性问题．例１㊀ 蒙日圆 涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a ＝１(a ＞０)的离心率为１２,则椭圆C 的蒙日圆的方程为(㊀㊀)．A．x ２＋y ２＝９㊀㊀㊀㊀㊀B ．x ２＋y ２＝７C ．x ２＋y ２＝５D．x ２＋y ２＝４分析:根据题目中的已知条件,在椭圆上,两条相互垂直的切线可以随意选择,但其交点位于与椭圆同心的圆却是唯一的,也即答案是唯一的．由此,可以通过选取一般问题的特殊情形找到一般的解题思路,不妨利用过椭圆的右顶点和上顶点的两条切线进行解题．解:因为椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a＝１(a ＞０)的离心率为１２,所以１a ＋１＝１２,解得a ＝３．所以椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１,且椭圆C 的上顶点为A (０,３),右顶点为B (２,０),则椭圆在A ,B 两点的切线方程分别为y ＝３和x ＝２,这两条切线的交点坐标为M (２,３)．由题意可知,交点M 必在一个与椭圆C 同心的圆上,可得与椭圆C 同心的圆的半径r ＝２２＋(３)２＝７．所以椭圆C 的蒙日圆方程为x ２＋y ２＝７．故选:B ．以问题的特征为依据,对命题进行转化,将原问题转化为与之相关的㊁容易解决的新问题,这也是解决数学问题常见的转化思路,并且可以通过这种转化逐步培养识别关键信息的能力．２命题的等价转化把题目中已有的条件或者结论进行相应的转化,化难为易,是解决较难问题常用的转化手段．其主要方法包括:数与形的转化㊁正与反的转化㊁常量与变量的转化㊁图形形体及位置的转化等．例２㊀由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,得m 的取值范围是(－ɕ,a ),则实数a 的值是．分析:利用转化思想可以将命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０ 是假命题转化为 对任意x ɪR ,e|x －１|－m ＞０是真命题,由此得出m ＜e |x －１|恒成立,进而通过m 的取值范围来求a 的值．解:由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,可知 对任意x ɪR ,e |x －１|－m ＞０是真命题,由此可得m 的取值范围是(－ɕ,１),而(－ɕ,a )与(－ɕ,１)为同一区间,故a ＝１．例３㊀若对于任意t ɪ[１,２],函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是．分析:根据函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,可以利用正难则反的转化思想先找出g (x )在(t ,３)上单调的条件,再利用补集思想求出m 的取值范围．８５２０２３年１２月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀解:求得g ᶄ(x )＝３x ２＋(m ＋４)x －２．若g (x )在(t ,３)上单调递增,则g ᶄ(x )ȡ０,即３x ２＋(m ＋４)x －２ȡ０,亦即m ＋４ȡ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立．故m ＋４ȡ２t－３t 在t ɪ[１,２]上恒成立,则m ＋４ȡ－１,即m ȡ－５．若g (x )在(t ,３)上单调递减,则g ᶄ(x )ɤ０,即m ＋４ɤ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立,所以m ＋４ɤ２３－９,即m ɤ－３７３．综上,符合题意的m 的取值范围为－３７３＜m ＜－５．根据命题的等价性对题目条件进行明晰化处理是解题常见的思路;对复杂问题采用正难则反的转化思想,更有利于问题得到快速解答．３函数㊁方程㊁不等式之间的转化函数与方程㊁不等式之间有着千丝万缕的关联,通过结合函数y ＝f (x )图象可以确定方程f (x )＝０,不等式f (x )＞０和f (x )＜０的解集．例４㊀若２x －２y＜３－x －３－y ,则(㊀㊀)．A．l n (y －x ＋１)＞０B ．l n (y －x ＋１)＜０C ．l n |x －y |＞０D．l n |x －y |＜０分析:由题意,可将２x －２y＜３－x －３－y 转化为２x －３－x ＜２y－３－y ,进而实现不等式与函数之间的转化,从而解得答案．解:由２x －２y ＜３－x －３－y ,得２x －３－x ＜２y －３－y ．故构造函数y ＝２x －３－x ,即y ＝２x －(１３)x．由于函数y ＝２x－(１３)x 在R 上单调递增,因此x ＜y ,即y －x ＋１＞１．所以l n (y －x ＋１)＞l n １＝０．故选择:A ．例５㊀已知函数f (x )＝e l n x ,g (x )＝１ef (x )－(x ＋１)．(e ＝２．７１８ )(１)求函数g (x )的最大值;(２)求证:１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．分析:第(１)问要求函数g (x )的最大值,关键在于需要运用转化与划归思想,通过g ᶄ(x )得出函数g (x )单调性,即可求出g (x )的最大值．将第(１)问得出的g (x )最大值－２转化成l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立),再利用换元法最终证明出结论．解:(１)由g (x )＝１ef (x )－(x ＋１),即g (x )＝l n x －(x ＋１),得g ᶄ(x )＝１x－１(x ＞０)．令g ᶄ(x )＞０,则０＜x ＜１;令g ᶄ(x )＜０,则x ＞１．所以,函数g (x )在区间(０,１)上单调递增,在区间(１,＋ɕ)上单调递减．故g (x )的最大值为＝g (１)＝－２．(２)证明:由(１)知x ＝１是函数g (x )的极大值点,也是最大值点,故g (x )ɤg (１)＝－２．所以l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立)．令t ＝x －１,则有t ȡl n (t ＋１)(t ＞－１)．取t ＝１n (n ɪN ＋),则有１n ＞l n (１＋１n)＝l n(n ＋１n )．故１＞l n２,１２＞l n ３２,１３＞l n ４３,,１n＞l n(n ＋１n )．上面n 个不等式叠加,得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (２ˑ３２ˑ４３ˑ ˑn ＋１n)＝l n (n ＋１)．故１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．在分析此类题目的过程中,利用函数㊁方程㊁不等式进行转化与化归更有利于问题的解决,因此,利用转化与划归思想不仅能让整个数学知识的体系变得更加紧密,同时也能对学生从系统性角度掌握数学知识之间的联系提供非常大的帮助．转化与化归思想所蕴含的内容丰富且深奥,为高中数学问题的解决提供了多种思路,对高中数学的学习也有极大的指导与启发作用,值得我们不断地探索与研究．因此,在解决高中数学问题的过程中,要灵活运用 转化与化归 的解题思想．有些数学问题看似复杂,但通过分析可知出题者采用的是 障眼法 ,其中有的是多余或无用的条件．同时,在高中数学课堂教学中,教师可以在解题教学过程中渗透转化与化归思想,加强学生在特殊与一般转化㊁命题的等价转化以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等方面的技能,逐步锻炼学生简化题目内容的能力和意识,最大程度提高解题效率．Z９５。
化归法在小学数学中的应用
化归法在小学数学中的应用在问题的解决过程中，对待解题不断进行变形、转化。
直至把它归结为已经解决的问题或容易解决的问题，最终得到原问题的解答。
这就是“化归”的数学思想。
例题1：一个数加上2，减去5，乘4，除以3，得20。
求这个数？①“一个数”加上2，减去5；转化为：“一个数”减去 3 （这个转化是等价的）；（通过转化信息少了，变简单了）。
原题即为：一个数减去3，乘4，除以3，得20，求这个数?②在转化：“一个数”减去3，乘4除以3得20，即为：“一个数”减去3后，除以3得5；（把乘法中乘4转化没，那么20就得除以4变为5了，通过这个转化乘法运算转化没了，计算变得又简单了）！即为：“一个数”减去3，除以3得5。
③“一个数”减去3后，除以3得5；则：“一个数”减去3后是15。
最后：这个数=15+3=18。
例题2：甲乙两数的和是186,商是5余数是6，那么甲乙两数各是多少？（注：甲比乙大）由被除数=除数x商+余数：转化得：被除数=除数 x 5 + 6；又由被除数 + 除数 = 186 ；在转化得：除数x5 + 6 + 除数 = 186；即：除数x6 + 6 = 186；除数 + 1 = 31；除数 = 30；被除数 = 30x5+6= 156 。
所以：甲数是 156 ，乙数是30 。
例题3：小学四年级的1+2+3+……+99怎么做？设 S = 1+2+3+...... + 99 ;变换下“S”中数字的相加顺序:S = 99+98+97+......+1 ;左边和左边相加等于右边和右边相加：即：2S = （99+1）+（98+2）+（97+3）+......+(1+99) 2S = 100 × 99s = 50 × 99所以： S = 4950。
化归与转化思想在高考数学解题中的运用
GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2化归与转化思想在高考数学解题中的运用■甘肃省秦安县第二中学罗文军yxo化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1．化归与转化的思想方法：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.2．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则；（2）简单化原则；（3）和谐化原则；（4）直观化原则；（5）正难则反原则3．化归与转化的途径：（1）从问题的反面思考；（2）局部向整体的转化；（3）未知向已知转化；（4）固定向重组的转化；（5）抽象向具体转化；（6）个别向一般的转化；（7）数向形的转化；（8）定量向定性的转化；（9）主元向辅元的转化.以下结合一些经典试题，谈谈化归与转化思想在高三解题中的运用.题型一：化归与转化思想简单化原则的体现化归与转化思想简单化原则在解题中的体现主要有：（1）将比较代数式的大小的问题，运用同构法，通过构造函数，化归为利用函数的单调性根据自变量的大小比较函数值的大小或者根据函数值的大小比较自变量的大小；（2）将概率与统计问题化归为集合间的基本关系与基本运算问题.例1.若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（）A.a ＞2b B.a ＜2b C.a ＞b 2 D.a ＜b 2【解析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质可得，2a +log 2a ＝4b +2log 4b ＝22b +log 2b ，又因为22b +log 2b ＜22b +log 22b ＝22b +1+log 2b ，所以2a +log 2a ＜22b +log 22b .令ｆ（ｘ）＝2x +log 2ｘ，由指数函数和对数函数性质以及函数单调性的性质可得ｆ（ｘ）在（0，+∞）上单调递增，由ｆ（a ）＜ｆ（2a ），可得a ＜2b .【评析】本题考查了指数幂和对数的运算，函数的单调性的性质，构造函数后，把问题化归与转化为根据函数单调性，由函数值的大小比较自变量的大小，体现了化归与转化思想的简单化原则.例2.设命题p ∶4x-3≤1，命题q ∶x 2-（2a+1）x +a （a +1）≤0.若劭p 是劭q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________.【解析】由4x-3≤1，得１２≤x ≤１，记A ＝{x │１２≤x ≤１}；由x ２-（２a+1）x+a （a+1）≤0，可得a ≤x ≤a +1，记B ＝{x │a ≤x ≤a +1}.因为劭p 是劭q 的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，所以A 芴B ，所以a ≤１２，a+１≥11，解得0≤a ≤１２，所以实数a 的取值范围是[0，１２].【评注】本题的解答中，先把两个命题中的不等式的解集分别用集合A 和集合B 表示，再由劭p 是劭q 是的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件，再转化为集合A 为集合B 的真子集，解得a 的范围.题型二：化归与转化思想直观化原则的体现化归与转化思想直观化原则在解题中的体现主要有：（1）画出函数图像后，利用函数图像研究函数的性质，进而直观的解决与函数有关的问题；（2）立体几何问题中，将立体问题平面化，画出轴截面或者中截面，利用平面几何问题破解题目.例3.设a ，b ∈R ，则|“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的（）A.充要不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要也不必要条件【解析】构造函数ｆ（ｘ）＝x x ＝ｘ２，ｘ≥0-x ２，ｘ＜1函数图像如图1，由图像可知ｆ（ｘ）＝x x 在R 上单调递增.当a ＞b 时，ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b ，a ＞b 圯a a ＞b b .当ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b 时，a ＞b ，a a ＞b b 圯a ＞b ，所以a ＞b 圳a a ＞b b ，“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的充要条件，故选C.【评注】本题是一道比较复杂的充分必要条件问题，通过观察题目，通过类比和联想，运用化归与转化思想，构造函数ｆ（ｘ）＝x x 后，画出这个函数的图像，运用图像法判断这个函数在其定义域R 上为单调递增函数，把a 和b 看成这个函数的两个自变量，a a 和b b 分别看成这个函数的函数值ｆ（a ）29数学有数和ｆ（b），由增函数的性质可以得出，ａ＞b圳a a＞b b，所以ａ＞b是a a＞b b的充分必要条件，体现了化归与转化思想的简单化和直观化原则.例4.已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h２，则h1+h２的最小值为________．【答案】22姨.【解析】由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R=1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面，E，F，G，H分别为切点，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，由题意可知AB⊥BC，AD⊥DC，AC＝h1+h2，R＝OE＝OF＝OG＝OH＝1，则S四边形ABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC＝１２R×AB+１２R×BC+１２R×CD+１２R×AD＝１２R（2AB+2BC）＝R（AB+BC），所以AB×BC＝AB+BC.由基本不等式可得AB×BC＝AB+BC≥2AB×BC姨，则AB×BC≥4，当且仅当AB＝BC时等号成立．所以（h1+h2）2＝AC2＝AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB＝BC时等号成立，故h1+h2的最小值为22姨.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题；（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5.若对任意的ｘ∈（0，+∞），ax-ln（2ｘ）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的ｘ∈（0，+∞），a≥ln（2ｘ）+1ｘ恒成立，令g（ｘ）＝ln（2ｘ）+1ｘ，g′（ｘ）＝１ｘ·ｘ-ln（2ｘ）ｘ2＝1-ln（2ｘ）ｘ2，令g′（ｘ）＝0，则1-ln（2ｘ）＝0，则ｘ＝e2，当0＜ｘ＜e2时，g′（ｘ）＞0，g（ｘ）单调递增；当ｘ＞e2时，g′（ｘ）＜0，g（ｘ）单调递减，所以当ｘ＝e2时，g（ｘ）取得最大值g（ｘ）max＝g（e2）＝ln e+1e2＝4e，所以a≥4e，所以a的最小值为4e.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（ｘ）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（ｘ）]max（ｘ∈（0，+∞）），转化为求函数g（ｘ）在（0，+∞）上的最大值问题，g（ｘ）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6.设数列{a n}的前n项为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k2n+1姨对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n，所以a n＝2S2n2S n-1，n≥2，所以（S n-S n-1）（2S n-1）＝2S2n，所以S n-S n-1＝-2S n S n-1，所以１S n-１S n-1＝2，n≥2，所以数列{１S n}是以１S1＝1为首项，以2为公差的等差数列，所以１S n＝1+2（n-1）＝2n-1，所以S n＝１2n-1，所以，当n≥2时，a n＝S n-S n-1＝１2n-1-１2n-３＝-2（2n-1）（2n-3），因为a1＝S1＝1，所以a n＝1，n=1-2（2n-1）（2n-3）.n≥≥2（2）设ｆ（n）＝（1+S1）（1+S2）…（1+S n）2n+1姨，则ｆ（n+1）ｆ（n）＝2n+22n+1姨2n+3姨＝4n2+8n+44n2+8n+3姨＞1，所以ｆ（n）在n∈N鄢上递增，要使ｆ（n）≥k恒成立，只需要ｆ（n）min≥k，因为ｆ（n）min＝ｆ（1）＝2３姨３，所以0＜k≤2３姨3.【评注】第（1）问运用了数列的前n项和S n与通项a n之间的关系a n＝S n-S n-1（n≥2），把a n转化为S n-S n-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{１S n}的通项公式，再得出数列{a n}的通项公式；第（2）问分离变量后构造函数ｆ（n），用作商法判断ｆ（n）的单调性，把不等式ｆ（n）≥k在n∈N鄢上恒成立等价转化为ｆ（n）min≥k（n∈N鄢），两问都运用到了化归与转化思想.AEBFHDGOC302021年第2GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化；（2）在三角函数问题中，将形如y=a sin x+b cos x 的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=A sin （棕x+渍）的函数问题；（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0；（4）将形如滋＝y -b x -a形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b -c ＝a ·cos C -c ·cos A .（1）求角A ；（2）若a ＝3，求b +2c 的最大值.【解析】（1）因为b -c ＝a ·cos C -c ·cos A ，由正弦定理可得，sin B -sin C ＝sin A cos C -sin C cos A ，所以sin B -sin C ＝sin （A -C ）所以sin （A +C ）-sin C ＝sin （A -C ），所以sin A cos C +cos A sin C -sin C ＝sin A cos C -cos A sin C ，所以cos A ＝１２，因为0＜A ＜仔，所以A ＝仔３.（2）由（1）可得，C ＝２仔３-B ，由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，所以３sin 仔３＝b sin B ＝c sin （２仔３-B ），所以b ＝2３姨sin B ，c ＝2３姨sin （２仔３-B ），所以b +2c ＝2３姨sin B +4３姨sin （２仔３-B ）＝2３姨（2sin B +３姨cos B ）＝221姨sin （B +渍），其中tan 渍＝３姨2，渍∈（0，仔2），由B ∈（0，２仔３），存在B 使得B +渍＝仔2，所以sin （B +渍）的最大值为1，所以b+２c 的最大值为221姨.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cos A 的值，得出角A 的值；第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题；两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.例8.已知函数f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，则f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）的值为_____.【解析】由于直接计算有困难，先探求一般的规律，因为f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，所以f （1-ｘ）＝1-ｘ2（1-ｘ）-1＝1-ｘ1-2ｘ＝ｘ-12ｘ-1，所以f （ｘ）+f （1-ｘ）＝1，倒叙相加可得f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）＝1009.【评注】本题的解答中体现了特殊问题转化为一般化，运用了化归与转化思想，先通过探究在宏观上把握问题的一般规律，再将特殊问题破解.题型五：化归与转化思想的正难则反原则在解题中的体现化归与转化思想的正难则反原则在高中数学解题中的体现主要有：（1）间接证明方法中的反证法在解题中的运用；（2）概率问题中对立事件和互斥事件的概率公式的运用.例9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a １＝1+2姨，S 3＝9+32姨.（1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；（2）设b n ＝S n n（n ∈N 鄢），求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解析】（1）设公差为d ，由已知得ａ1＝2姨+1，3ａ1+3d ＝9+32姨姨，所以d ＝2，故a n ＝2n -1+2姨，S n ＝n （n +2姨）．（2）证明：由（1）得b n ＝S n n＝n +2姨.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r （p 、q 、r 互不相等）成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即（q +2姨）2＝（p +2姨）（r +2姨），所以（q 2-pr ）+（2q -p-r ）2姨＝0.因为p ，q ，r ∈N 鄢，所以q ２-pr ＝0，2q-p-r ＝0姨，所以（p+r 2）２＝pr ，（p-r ）２＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【评注】本题的解答的第（2）问中运用了反证法，先反设假定要证的结论不成立，而设出结论的反面成立，将这个反设作为条件，运用等比数列的定义和通项公式，通过推理，得出p ＝r 与已知条件相矛盾，所以反设错误，所以要证明的结论成立，反证法归属于间接证明方法，第（2）问运用了化归与转化的思想.例10.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A +B 发生的概率为____.【答案】23.【解析】掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P （A ）＝26＝13，P （B ）＝46＝23，所以P （B ）＝1-P （B ）＝1-23＝13，显然A 与B 互斥，从而P （A+B ）＝P （A ）+P （B ）＝13+13＝23.【评注】先由古典概型概率公式求出事件A 和事件B 的概率，再由对立事件概率公式求出事件B 的对立事件B 的概率，再由互斥事件概率公式，把事件A+B 的概率化归为求P （A ）和P （B ）的和，运用了化归与转化思想.责任编辑徐国坚31。
例谈化归思想在中学数学解题中的应用
例谈化归思想在中学数学解题中的应用化归思想是中学数学中非常重要的一种解题思想，它可以将已知的问题转化为不同但等价的形式，使问题更加简单易懂，从而有助于提高解题的效率和质量。
针对不同的中学数学题型，化归思想都有其相应的应用方法，下面就分别进行讨论。
1. 代数式求值问题代数式求值问题是中学数学中较为基础的题型之一，通过对已知代数式进行化归，可以大大简化计算过程，提高解题效率。
例如，对于求$A+B$、$A-B$、$A\times B$及$A\div B$的值给定$A=3$，$B=4$，可以分别将其化归为如下形式：$A+B=3+4=7$,$A\times B=3\times4=12$$A\div B=\frac{3}{4}$。
化归后的代数式只需简单计算即可得到答案，相比于直接计算，这种方法更加简便。
2. 几何问题通过化归思想，可以将几何问题转化为代数问题，以达到解题的目的。
例如，已知等腰三角形底角的度数为$60^\circ$，求其顶角的度数。
可以将此问题化归为求等腰三角形底角度数的问题，由于已知底角的度数为$60^\circ$，根据等腰三角形的性质，可得顶角的度数为$180^\circ-2\times60^\circ=60^\circ$。
这种化归方法不仅简化了计算过程，而且能够使复杂的几何问题更加清晰直观，易于解决。
3. 数列问题对于数列问题，化归思想可以通过寻找数列的通项公式来解决。
例如，已知等差数列的首项为3，公差为4，求第10个数的值。
可以利用等差数列通项公式$an=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$表示数列中第n项的值，$a_1$表示首项的值，$d$表示公差，将问题化归为代数问题，计算得到第10个数的值为$3+(10-1)4=39$。
通过化归方法，可以将数列问题转化为代数问题，更加直观，易于解决。
综上所述，化归思想在中学数学解题中有着广泛的应用，可以帮助我们将问题转化为易于理解和计算的形式，提高解题效率和质量。
专题：数学思想方法突破 转化与化归思想的应用
[解析] 由题意，知 ，令 ， .因为对 ，恒有 ，即 ，所以 即 解得 .故当 时，对任意 都有 .
技法秘籍 在处理多变量的数学问题中,在常量（或参数）在某一范围取值的前提下求变量 的范围时,经常进行常量与变量之间的转化,即可以选取其中的参数,将其看作是变量,而把变量看作是常量,从而达到简化运算的目的.
（2）是否存在点 ，当将 沿 折起到 时，二面角 的余弦值等于 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由.
[解析] 存在点 使得二面角 的余弦值等于 ，此时 理由如下：因为 ， ，且 ， 平面 ， 平面 ,所以 平面 ，又 ，所以 平
面 ，因为 平面 ， 平面 ,所以 ， ，又 ，所以以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示.
A. B. C. D.
D
[解析] 因为点 与点 关于直线 对称，所以 必满足 ，解得 ，从而可以排除A，B,C.故选D.
技法秘籍 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，从而得到问题的答案.
（法二：补形法）因为几何体有两对相对面互相平行，如图正方体体积的一半.又正方体的体积 ，故所求几何体的体积为 .
技法秘籍 形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征.
应用1 正与反的转换
例1 (2022·河南驻马店模拟)已知从甲袋内摸出1个红球的概率是 ，从乙袋内摸出1个红球的概率是 ，从两袋内各摸出1个球，则2个球中至少有1个红球的概率是( ).
转化与化归
【例１】（浙江卷）设函数f（x）＝3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（０）f（１）>0，求证：（Ⅰ）方程f（x）＝0有实数根；（Ⅱ）－２＜<-1；（Ⅲ）设x1，x2是方程f（x）＝０的两个实根，则≤<.思路分析：对于（Ⅰ），应首先看系数3a是否为０.若a=0，则b=-c，f（０）f（１）＝c（３a+2b+c）=－c2≤0，与已知矛盾，所以a≠0.从而有对于（Ⅱ），结论等价于（+1）（＋２）＜０.故由条件中消去c，有（a+b）（2a+b）<0，除以a2即可.对于（Ⅲ），应将转化为关于的表达式，即，再利用（Ⅱ）的结论求解.【点评】本题有效地将二次函数，二次方程，二次不等式融于一题，三问层层递进.（Ⅱ）、（Ⅲ）两问的证明均需我们盯住解题目标在条件与结论之间进行有效地转化与化归以寻求沟通点.【例２】（江苏卷）设a为实数，设函数f（x）＝a+的最大值为g（a）.（Ⅰ）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；（Ⅱ）求g（a）；（Ⅲ）求满足g（a）＝g（）的所有实数a.思路分析：（Ⅰ）１. ∵，∴要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1.∴t的取值范围是［，２］.由①得cosθ-sinθ+cosθ=2cosθ，由于所以，即t∈［，2］，f（x）＝acos2θ+t.又t＝3. 令则t=m+n，m2+n2=2，由数形结合可得t∈［，２］.从而求出m（t）的解析式.（Ⅱ）、（Ⅲ）略.【点评】本题表面看是与无理函数有关的一个综合性的分步设问的问题，主要考查函数、方程等基本知识，试题的设置事实上也给出了处理结构较复杂函数f（x）的基本思路，只要经过换元很容易转化为常规的二次函数问题，其中的分类讨论对学生思维的周密性考查得力，具有很大的区分度.本题（Ⅰ）中三种思路分别利用代数换元、三角换元以及数形结合将问题进行了转化与化归从而求得了t的取值范围以及m（t）的解析式.【例３】（辽宁卷）已知函数f（x）＝sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R.求：（Ⅰ）函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；（Ⅱ）函数f（x）的单调增区间.解：（Ⅰ）解法1:∴当时，f（x）取得最大值２＋.因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是｛xx=kπ+，k∈Z｝.解法２：∵f（x）＝（sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x=1+sin2x+ 1+cos2x=2+sin（2x+）.∴当取得最大值２＋.因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是（Ⅱ）f（x）＝２＋sin（2x+）.由题意得2kπ-≤因此，f（x）的单调增区间是【点评】本题两问的求解都需同学们将f（x）准确而合理地转化为的形式，即考查同学们对三角函数式的转化与化归的能力，这也是高考试题重点考查的能力之一.【例４】（四川卷）已知定点Ｆ１（－，０），Ｆ２（，０），满足条件的点Ｐ的轨迹是曲线Ｅ，直线y=kx-1与曲线Ｅ交于Ａ、Ｂ两点.（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）如果＝６，且曲线Ｅ上存在点Ｃ，使＝求m的值和△ＡＢＣ的面积Ｓ.解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线Ｅ是以Ｆ１（－，０），Ｆ２（，０）为焦点的双曲线的左支，且c=，a=1，易知b=1，曲线Ｅ的方程为x2-y2=1（x<0）.设Ａ（x1，y1），Ｂ（x2，y2），由题意建立方程组消去y，得（1-k2）x2+2kx-2=0又由已知直线与双曲线左支交于两点Ａ，Ｂ有（Ⅱ）（略）【点评】解析几何是用代数的方法研究几何问题，这要求我们要善于将几何条件等价地转化为代数条件，本题的（Ⅰ）问关于k的不等式组就是将直线y=kx-1与曲线Ｅ交于Ａ、Ｂ两点转化来的.【例５】（福建卷）已知数列｛a n｝满足2a n（n∈N+）.（Ⅰ）证明：数列｛an+1-an｝是等比数列；（Ⅱ）求数列｛a n｝的通项公式；（Ⅲ）若数列｛b n｝满足（n∈N+），证明｛bn｝是等差数列.解：（Ⅰ）证明：a1=2为首项，２为公比的等比数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得（Ⅲ）证明：∵,∴∴｛b n｝是等差数列.【点评】本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查综合解题能力.【例6】如图，在五面体ＡＢＣＤＥＦ中，点Ｏ是矩形ＡＢＣＤ的对角线的交点，面ＣＤＥ是等边三角形，棱ＥＦＢＣ.（１）证明ＦＯ∥平面ＣＤＥ；（２）设ＢＣ＝CD，证明ＥＯ⊥平面ＣＤＦ.解：（１）证明：取ＣＤ中点Ｍ，连结ＯＭ，在矩形ＡＢＣＤ中，ＯＭＢＣ，又ＥＦＢＣ，则ＥＦＯＭ.连结ＥＭ，于是四边形ＥＦＯＭ为平行四边形. ∴ＦＯ∥ＥＭ.又∵ＦＯ平面ＣＤＥ，且ＥＭ平面ＣＤＥ，∴ＦＯ∥平面ＣＤＥ.（２）证明：连结ＦＭ，由（１）和已知条件，在等边△ＣＤＥ中，ＣＭ＝ＤＭ，ＥＭ⊥ＣＤ且ＥＭ＝ＣＤ＝ＢＣ＝ＥＦ.因此平行四边形ＥＦＯＭ为菱形，从而ＥＯ⊥ＦＭ，∵ＣＤ⊥ＯＭ，ＣＤ⊥ＥＭ∴ＣＤ⊥平面ＥＯＭ，从而ＣＤ⊥ＥＯ，而ＦＭ∩ＣＤ＝Ｍ，所以ＥＯ⊥平面ＣＤＦ.【点评】立体几何是考查转化与化归的重要截体，如本题中的位置关系转化（第（Ⅰ）问中的线线平行与线面平行的转化，第（Ⅱ）问中的线线垂直与线面垂直的转化），空间向平面的转化、等积转化等等.化归与转化的思想是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题.事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题无论是难题还是易题，都离不开化归.例如，对于立体几何问题通常要转化为平面几何问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等等.在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力的考查进行，因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归意识和转化能力.【例１】已知球Ｏ的半径为１，Ａ，Ｂ，Ｃ三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离为（）.分析与求解：由已知条件，分析所给出的几何体的特征，可作如下转化：球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离?圳正三棱锥的高?圳正方体的对角线，可立即得出球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离＝棱长为１的正方体对角线的.故B正确.【例２】设x、y∈Ｒ且3x2+2y2=6x，求x2+y2的范围.分析１：设k=x2+y2，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k的范围的问题.其中要注意隐含条件，即x的范围.解法１：由6x-3x2=2y2≥0得0≤x≤2.设k=x2+y2，则y2=k-x2，代入已知等式得：x2-6x+2k=0，即k=-x2+3x，其对称轴为x=3.由0≤x≤2得k∈［０，４］.所以x2+y2的范围是：０≤x2+y2≤4.分析2：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）解法2：由所以x2+y2的范围是：０≤x2+y2≤4.【点评】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力.此题还可以利用均值换元法进行解答.各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型.【例３】求值：cot10°-4cos10°分析：要求该式的值，估计有两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角.解法１：cot10°-4cos10°（基本过程：切化弦?邛通分?邛化同名?邛特值代入?邛积化和?邛差化积）解法３：cot10°-4cos10°（基本过程：切化弦?邛通分?邛化同名?邛拆角８０°?邛和差角公式）【点评】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现.此种题型属于三角变换型.一般对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、降次与升次、和积互化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等.对此，我们要掌握变换的通法，活用公式，攻克三角恒等变形的每一道难关.。
巧用化归与转化思想求代数式的值
化归与转化思想求代数式的值。
建水县第二中学赵兴旺简单的代数式求值，将条件(已知)直接代人结论(求值算式)就可求出代数式的值。
但较复杂的代数式求值，若能巧用化归与转化的数学思想会收到事半功倍之效果。
化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。
从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步化归与转化的过程。
一、利用因式分解法进行转化因式分解法是初中学生应掌握的数学方法之一，利用因式分解法可以改变代数式的基本形式，从而使求值变得简单。
例1．已知x=2，求17x4_3l x'+5x"_19x+3的值。
这是一个非常简单的常规题，但通过这个题的解法，应该产生一种积极的数学思维思想，总结出一个科学有效的解题方法。
解法l：使用常规解题方法，把x=2直接代入代数式进行运算得原式=9这是一种在x的数值小的情况下的解题方法，如果X的数值比较大，用常规的解题方法就会使运算变得非常复杂。
为了使运算变得简洁，需要进行局部分解，转化代数式的形式。
解法2：变换代数式的形式——局部转化17x"一31x。
+5f一19x+3--x(17x"一31x‘+5x一19)+3(略)=9比较以上两种解法可以看出：变换代数式的形式可以使计算过程变得简便，为了使计算变得更加简捷，让解题更主动，我们可以同时转化已知和代数式(未知)的形式。
解法3：同时转化条件和代数式的形式。
转化条件的形式：x=2等x一2=0(新条件)。
转化代数式的形式：17x-31x’’+5x"一19x+3：17x3(x一2)+34x3-31x3+5X2_19x+3(因式分解，符合新条件的形式，消掉一项)(略)=9用解法3比用解法2更简捷，求代数式的值也就容易得多了。
二、利用方程思想进行转化方程思想是初中学生应该掌握的重要数学思想，方程“x)=0中，若“x)为代数式，则表示它的值为0，这可以给代数式的求值问题代来方便。
浅谈化归与转化思想专题复习——以数列问题为例
1“. 自主学习”阶段。分为两步：即“目
标导学”和“自学生疑”。利用自习课的时 间，借助导学案把学习任务呈现给学生， 学生先独学，认真阅读教材，完成“自学生 疑”中的相关内容，再在小组内讨论独自 不能解决或生成的问题。
究。学生动脑、独立思考尝试解答，并参与
编题，加深学生对此类题型的印象。合理
转化，渗透定义法、加 K 法、倒数法、叠加
法、累乘法等。
例 2．设 Sn 是数列{an}的前项和，且 an+1=2Sn，a1=-1，求 Sn
追问 1. 若把条件 an+1=2Sn 改为条件 an+1=SnSn+1 ，其他条件不变，怎么转化？
的等比数列问题进行处理。这符合学生的
认知规律，激发学生探索的热情。让学生
全面看待问题，学会合理转化。
二、问题探究
例 1.以下递推公式怎么转化？
（1）an+1=4an+2n
（2）an+1=
4an an+4
学生自编题目如下：
（3）an+1=an+
1 n（n+1）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（4）an+1=an·n+n1
构建研究的整体框架，再展开具体研
52 数学教育 杂匀哉载哉耘允陨粤韵再哉
摘要：在当前能力立意和素养立意的 高考命题中，对数学思想方法的考查日益 突出，化归与转化思想是数学思想的精 髓，是历年高考考查的重点。本文以数列 为例，从四个方面阐述化归与转化思想在 高三数列专题复习中的应用，以期达到串 “点”成“线”的目的，促进学生的发展，切 实提高复习的有效性。
数学化归思想的例子
数学化归思想的例子
化归转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，贯穿了数学解题与数学研究的始终。
初中数学里，运用化归转化的数学思想处理问题的例子比比皆是。
例如，通过去分母把分式方程转化为整式方程求解，通过将把一元二次方程转化为一元一次方程求解，通过消元把三元一次方程组或二元一次方程组转化为一元方程求解，通过换元把复杂的问题转化为简单的问题求解……显然，“转化”揭示了解题的本质。
一、化归转化思想的概念
在解答某一个难以入手或希望寻求简捷解法的数学题时，我们的思维就不应停留在原题上，而将原题转化为另一个比较熟悉、比较简易的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的，这就是解答数学题的化归转化思想。
化归转化的实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂问题转化为简单问题。
当我们遇到一个较难解决的问题时，不是直接解原题目，而是将题进行转化，转化为一个已经解决的或比较容易解决的数学题，从而使原题得到解决。
二、解题策略
应用转化思想要注意以下几点：①转化后的问题要比原问题更容易、更简单；②转化后的问题应该是己知数学的问题，这样才有利于应用已有的知识与经验解决问题；③转化是有条件的，如解方程时要防止转化后出现增根或失根等。
在平时的学习中，要善于观察，挖掘数学问题的内在联系，要注意知识间的联系与演变，不断开拓思路，不断收集，积累联想，转换的实例，把新知识与认识结构中已有的知识建立起实质性的联系。
只有这样才能合理，快速，准确地进行转化“巧妙”才能显得自然。
(尖子生培优)用“化归思想”解决归一问题-三年级数学思维拓展
（尖子生培优）用“化归思想”解决归一问题三年级数学思维拓展归一问题的关键是先用除法求出一份数（即单一量），然后再根据题目要求，用乘法求出若干个这样的单一量或用除法算出总量里面包含多少个这样的单一量。
常用的数量关系式：总量÷份数=1份数（单一量）1份数（单一量）×份数=总量总量÷1份数（单一量）=份数能力巩固提升1．一个工人要磨面粉200千克，3小时磨了60千克。
照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？2．花果山上桃树多，5只小猴分200棵。
现有小猴60只，按刚才的分法分后还余90棵，请算出桃树有几棵？3．光明小学有50个学生帮学校搬砖，要搬2000块，4次搬了一半。
照这样算，再增加50个学生，还要几次运完？4．一个长方体的水槽可容水480吨。
水槽装有一个进水管和一个排水管。
单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可把满池水排空。
两管齐开需多少小时把满池水排空？5．孙悟空组织小猴子摘桃子。
开始时，16只小猴子2小时摘桃子640个，照这样计算，孙悟空要求它们在3小时内继续摘桃子1200个，那么需要增加多少只小猴子一起来摘桃子呢？6．家具厂生产一批桌椅，原计划每天生产30套，12天完成。
实际只用原来时间的一半就完成了任务，那么实际每天比计划多生产多少套？7．如桌3台数控机床4小时可以加工960个同样的零件，那么1台数控机床加工400个相同的零件满要多长时间？8．5台拖拉机24天耕地12000公亩。
要18天耕完54000公亩土地，需要增加同样拖拉机多少台？9．10辆小车和3辆卡车一次运货32吨，15辆小车和3辆卡车一次运货42吨。
每辆小车和每辆卡车每次各运货多少吨？10．一列火车从甲地开往乙地，开出2.5小时，行了150千米。
照这样的速度，再行驶3小时到达乙地。
甲、乙两地相距多少千米？11．绿化队3天种树200棵，还要种400棵，照这样的工作效率，完成任务共需多少天？12．某厂运来一批煤，计划每天用5吨，40天用完，如果改进锅炉，每天节约1吨，这批煤可以用多少天？13．某车间要加工一批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7.5天完成任务。
例谈化归与转化的数学思想方法的应用
课程篇所谓化归与转化的数学思想方法，就是指在分析处理问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而求得原问题解答的一种思维方法。
它是数学思维方法中的一个重要组成部分。
1944年波利亚发表的《怎样解题表》，这是数学史上对化归思想给出具有代表意义的作品，这部作品中体现了运用化归思想解决具体数学问题的优越性。
波利亚认为解决数学问题的具体思维过程分为四个阶段：弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。
这四个阶段的思想实质是：理解、转换、实施、反思。
他在表中引出一系列的问题，通过对问题的分析和解决过程，启发寻找解决问题的途径。
弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾这种思维过程的核心在于不断地变换问题，连续地简化问题，把解决数学问题看成是对问题化归的过程，最终化归到已掌握的知识或熟悉的问题上，从而使问题得以解决。
下面就数学教学中遇到的问题举几个化归与转化的例子。
例1.已知（x -2）+nf （2-3x ）=2+x 3（m 2≠n 2），求f （x ）的解析式。
简解：若设辅助函数u =3x -2，则x =u +23，就可以将已知的等式转化为mf （u ）+nf （-u ）=u (1)再将（1）式中的u 代换为-u ，得mf （-u ）+nf （u ）=-u …（2）由（1）（2）联立的关于f （u ）和f （-u ）的二元一次方程组，容易解出f （u ）=（m +n ）u m 2-n 2=u m -n 故f （x ）=x +23。
注：这是一个函数方程问题，一般要转化为函数方程组的问题来解决。
例2.若关于x 的方程x 2-mx +2=0在区间［1，2］上有解，求实数m 的取值范围。
简解：分离参数m ，m=x +2x x ∈［1，2］，因为y=x +2x 在［1，2√］单调递减，在［2√，2］上单调递增，所以x ∈［2√，3］。
注：分离参数后问题转化成了求函数的值域。
例3.求函数y=ln （x 2-2x +3）的值域。
化归与转化的思想
问题的反面去探求， 使问题获解．
解 法就 简单 多了 ．
栖中 学 姑 １ ３ 教 辅 １
Ｖ 思想方法篇、
｛ Ａ ｘ｛ Ｎ畦 Ｆ ＡＮＧＦ Ｐｌ Ｎ Ａ Ａ
解 ： 方 程 可 化 为 ０ ＋ 十 原 ＝ ３，
一
＆ 求证 ： 无论棚更 何值 ，函数
（＋ ）＋一 的图象 总过 一个定 点． ｋ １ ｋ２ ｘ
２
＋
时 ＼ ＼ ） ／ ／ ２ ２
解： 设 ＝ ，ｘ ５ － ， 方程 组 “３＋ｙｖ 原
可 为 ｌ， 之 ２即 化 ｆ＝４解 得』 ， ｖ４
Ｉ＋ ＝ ４ ｖ２． ｕ 【＝１ ， ｖ ２
｛ （＋） ｛＝ 一 ０ ，
所 以点Ｐ 在抛 物线上．
理式的转化 ，高次向低次的转化 ， 函 数、 方程 、 不等式之间的转化等 ． 这些 都是转化思想 的体现． 化归与转化思想应遵循 的基本原 则是 ：１ （） 熟悉化原则． ２简单化原则． （）
取值 范 围．
分 析 ：若 受思 维定 式 的影 响 ， 将
是化归问题的条件或结论 ． 使其表现 形式更符合数与形内部所表示的和谐
的形式 ． ５直观化原则 ． ６正难则 反 （） （）
原方程有解转化为函数 ） ３ ［１１上与 轴有 交点 ， 在 一 ，］ 再数形结
合 来解 ，显 然较 簪 但 若将 原 方程 转
ｌ ≤１ 此 式 可看 成 自变量 的 ≤ 。 为
化为 ￣ ＝ ２４ ＋ ， １ － ａ ｘ＋ ｘ ３ 一 ≤ ≤１ ，这样
等价的形式（ ）６ｃ （ 。 叶６ （＋ ）ｃ ） ＋
原则 ， 也就是当问题正面讨论遇到困
难 的时候 ， 虑 问题 的反 面 ， 从 可考 设法
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化归与转化的数学思想解题举例
化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。
事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。
下面介绍一些常用的转化方法，及化归与转化思想解题的应用。
化归与转化常遵循以下几个原则
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
一、正与反的转化：
有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。
如对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。
例1：某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率为。
例2：求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x－3)垂直平分.
当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然，这种方法在选择题，填空题中非常适用。
例1：设等比数列｛a n ｝的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n +1、S n 、S n +2成等差数列，则q =___________.
例2：已知平面上的直线l 的方向向量)53,54(-
=→e ，点(0，0)和A (1,－2)在l 上的射影分别为A O ''和，若A O λ=''则λ为（ ）
A ．
511 B ．－511 C ．2 D ．－2
例3：设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且1PA QC =，则四棱锥B —PAQC 的体积为：
A ．
61V B ．41V C ．31V D ．2
1V
利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即变量与主元的角色换位）常常可以简化问题的解决，先看下面两题。
例1:（2006年四川卷文21题）已知函数,5)()(,13)(3--'=-+=ax x f x g ax x x f 其中)(x f '是的)(x f 的导函数。
（Ⅰ）对满足11a -≤≤的一切a 的值， 都有,0)(<x g 求实数x 的取值范围；
变式：22--ax x ≤0对]1,1[-∈x 上恒成立，求实数a 的取值范围.
例2：设y 的实数，05442
=+++x xy y 则x 的取值范围是：___________
四、数与形的转化。
数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观图形相结合。
可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求。
例1：设对于任意实数]2,2[-∈x ,函数)3lg()(2x ax a x f --= 总有意义，求实数a 的取值范围。
五、陌生与熟悉的转化
把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是数学解题的一条重要原则。
例1：某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（）
A. m>N
B. m<N
C.m=N
D.无法确定
例2：两条异面直线称为“一对”，则在正方体八个顶点间的所有连线中，成异面直线的共有多少对？。
归纳小结：我们学习了化归与转化思想，正与反的转化从集合的角度来看就是“补集”的思想；一般与特殊的转化只限选择题，填空题中使用，在大题中可有多种方法来探究解题的突破口，寻求解题的方法；将陌生变为熟悉，是解每一道题的一般过程；主与次的转化的方法，是如何看待一个等式（或不等式）中的两个元素的地位，只要需要，就可以把其中任何一个元素看作“主”要元素来解题。
课堂练习：
1、对任何]1,1[-∈a 函数a x a x x f 24)4()(2-+-+=〉0，则实数x 的取值范围是：_______
2、已知函数14)(2+-=ax x x f 在（0，1）内至少有一个零点，则实数a 的取值范围____________
3、求函数x x a x f 2cos sin 42)(--=的最大值和最小值。
4、已知向量1122(cos ,2sin ),(cos ,2sin )OA OB θθθθ== ，
若11(cos ,sin ),OC θθ= 22(cos ,sin )OD θθ=
，满足0OC OD ⋅= ，则OAB
∆的面积OAB S ∆等于
5、在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为__________。