人教版初中数学二次函数图文解析

A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与 y 轴的交点可知：a 0，b 0，c 0，则
abc 0，则①正确；
根据图形可得：当 x=1 时函数值为零，则 a+b+c=0，则②错误；
根据函数对称轴可得：- b =3，则 b=-6a，根据 a+b+c=0 可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则 5a2a
【分析】
分 a＞0，a＜0 两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求 a 的取值范围． 【详解】
∵抛物线 y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段 AB 有两个不同的交点，
∴令 1 x 1 ＝ax2﹣x+1，则 2ax2﹣3x+1＝0 22
∴△＝9﹣8a＞0
∴a＜ 9 8
a 11 0 ①当 a＜0 时， a 11 1
4．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列 4 个结论：①abc＜0；②2a+b ＝0；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数 y＝ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物
10．在平面直角坐标系内，已知点 A（﹣1，0），点 B（1，1）都在直线 y 1 x 1 上， 22
若抛物线 y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段 AB 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是（ ）
A．a≤﹣2 【答案】C
B．a＜ 9 8
C．1≤a＜ 9 或 a≤﹣2 D．﹣2≤a＜ 9
8
8
【解析】
7．将抛物线 y＝x2﹣4x+1 向左平移至顶点落在 y 轴上，如图所示，则两条抛物线.直线 y＝ ﹣3 和 x 轴围成的图形的面积 S（图中阴影部分）是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
B，C 分别是顶点，A 是抛物线与 x 轴的一个交点，连接 OC，AB，阴影部分的面积就是平
∴ HF HE EF 1 , AE AB BE 2
设 AE=x， ∵AB 8, AD 4,
∴HF 1 x, EH 4, 2
DH AE x,
SCEF SDHFC SCED SEHF
1 x(1 x 8) 1 8(4 x) 1 4 • 1 x
22
2
22
1 x2 4x 16 4x x 4
解得：a≤﹣2
∴a≤﹣2
a 11 0 ②当 a＞0 时， a 11 1
解得：a≥1
∴1≤a＜ 9 8
综上所述：1≤a＜ 9 或 a≤﹣2 8
故选：C． 【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的 坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
11．如图，已知 A4, 1 ，线段 AB 与 x 轴平行，且 AB 2 ，抛物线 y x2 mx n 经过点 C 0,3 和 D3,0 ，若线段 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向下平移，设平移的时
1 x2 x 16, 4
∴当
x
1 2 1
4
2
时，△CEF
面积的最小值
1 4
4
2
16
15.
故选：B．
【点睛】 本题通过构造 K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与 AE 长度的函数 关系式是解题的关键．
9．抛物线 y＝ax2+bx+c 的顶点为(﹣1，3)，与 x 轴的交点 A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间， 其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( ) ①若点 P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则 m＜n； ②c＝a+3； ③a+b+c＜0； ④方程 ax2+bx+c＝3 有两个相等的实数根．
人教版初中数学二次函数图文解析
一、选择题
1．已知二次函数 y＝ax2+bx+c(a＞0)经过点 M(﹣1，2)和点 N(1，﹣2)，则下列说法错误的 是( ) A．a+c＝0 B．无论 a 取何值，此二次函数图象与 x 轴必有两个交点，且函数图象截 x 轴所得的线段长 度必大于 2
C．当函数在 x＜ 1 时，y 随 x 的增大而减小 10
单位
C．先向左平移 4 个单位，再向上平移 5 个单位 D．先向左平移 4 个单位，再向下平移 5 个
单位 【答案】C 【解析】 【分析】
先把抛物线 y x2 4x 3 化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【详解】
∵抛物线 y x2 4x 3 可化为 y x 22 1
8．如图，矩形 ABCD 中，AB=8，AD=4，E 为边 AD 上一个动点，连接 BE，取 BE 的中点 G，点 G 绕点 E 逆时针旋转 90°得到点 F，连接 CF，则△CEF 面积的最小值是（ ）
A．16
B．15
C．12
D．11
【答案】B
【解析】
【分析】
过点 F 作 AD 的垂线交 AD 的延长线于点 H，则△FEH∽△EBA，设 AE=x，可得出△CEF 面积
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【解析】
试题分析：由抛物线与 x 轴有两个交点，可知 b2-4ac＞0，所以①错误；
由抛物线的顶点为 D（-1，2），可知抛物线的对称轴为直线 x=-1，然后由抛物线与 x 轴的
一个交点 A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与 x 轴的另一个交点在点（0，
c=0，则③正确； 根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确. 点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向 上，则 a 大于零，如果函数开口向下，则 a 小于零；如果函数的对称轴在 y 轴左边，则 b 的符号与 a 相同，如果函数的对称轴在 y 轴右边，则 b 的符号与 a 相反；如果函数与 x 轴 交于正半轴，则 c 大于零，如果函数与 x 轴交于负半轴，则 c 小于零；对于出现 a+b+c、ab+c、4a+2b+c、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个 函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.
故选：D． 【点睛】 本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质， 属于中考常考题型．
5．将抛物线 y x2 4x 3 平移，使它平移后图象的顶点为 2, 4 ，则需将该抛物线
（）
A．先向右平移 4 个单位，再向上平移 5 个单位 B．先向右平移 4 个单位，再向下平移 5 个
线与 x 轴交点的个数确定解答．
【详解】
①由抛物线的对称轴可知：﹣ ＞0，
∴ab＜0， ∵抛物线与 y 轴的交点在正半轴上， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①正确；
②∵﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故②正确． ③∵（0，c）关于直线 x＝1 的对称点为（2，c）， 而 x＝0 时，y＝c＞0， ∴x＝2 时，y＝c＞0， ∴y＝4a+2b+c＞0，故③正确； ④由图象可知：△＞0， ∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
0）和（1，0）之间，因此当 x=1 时，y＜0，即 a+b+c＜0，所以②正确；
由抛物线的顶点为 D（-1，2），可知 a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线 x= b =2a
1，可得 b=2a，因此 a-2a+c=2，即 c-a=2，所以③正确； 由于当 x=-1 时，二次函数有最大值为 2，即只有 x=-1 时，ax2+bx+c=2，因此方程 ax2+bx+c2=0 有两个相等的实数根，所以④正确． 故选 C． 考点：二次函数的图像与性质
间为 t （秒）.若抛物线与线段 AB 有公共点，则 t 的取值范围是（ ）
A． 0 t 10
【答案】B
B． 2 t 10
C． 2 t 8
3．抛物线 y＝ x2+bx+3 的对称轴为直线 x＝ 1．若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+3﹣t＝
0（t 为实数）在﹣2＜x＜3 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（ ）
A． 12＜t≤3
B． 12＜t＜4
C． 12＜t≤4
D． 12＜t＜3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给出的对称轴求出函数解析式为 y＝－x2−2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0 的
∴其顶点坐标为：(2,−1)， ∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移 4 个单位，再向上平移 5 个单位． 故选 C. 【点睛】 本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.
6．抛物线 y1=ax2+bx+c 与直线 y2=mx+n 的图象如图所示，下列判断中：①abc＜0；
②a+b+c＞0；③5a-c=0；④当 x＜ 或 x＞6 时，y1＞y2，其中正确的个数有（ ）
关于 x 的一元二次方程 x2+bx﹣t＝0 的解可以看成二次函数 y＝x2﹣4x 与直线 y＝t 的交点，
∵﹣1＜x＜4，
∴二次函数 y 的取值为﹣4≤y＜5，
∴﹣4≤t＜5；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数
与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．
D．当﹣1＜m＜n＜0 时，m+n＜ 2 a
【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可． 【详解】 解：∵函数经过点 M(﹣1，2)和点 N(1，﹣2)， ∴a﹣b+c＝2，a+b+c＝﹣2， ∴a+c＝0，b＝﹣2， ∴A 正确； ∵c＝﹣a，b＝﹣2， ∴y＝ax2﹣2x﹣a， ∴△＝4+4a2＞0， ∴无论 a 为何值，函数图象与 x 轴必有两个交点，
实数根看做是 y＝－x2−2x＋3 与函数 y＝t 的交点，再由﹣2＜x＜3 确定 y 的取值范围即可
求解.
【详解】
解：∵y＝－x2＋bx＋3 的对称轴为直线 x＝－1，
∴b＝−2，
∴y＝－x2−2x＋3，
∴一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0 的实数根可以看做是 y＝－x2−2x＋3 与函数 y＝t 的交 点， ∵当 x＝−1 时，y＝4；当 x＝3 时，y＝－12， ∴函数 y＝－x2−2x＋3 在﹣2＜x＜3 的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故选：C． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点 问题是解题关键．
与 x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．
【详解】
解：过点 F 作 AD 的垂线交 AD 的延长线于点 H，
∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，
∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA，
∴△FEH∽△EBA，
∴ HF HE EF , AE AB BE
G 为 BE 的中点，
FE GE 1 BE, 2
∴m+n＜ 2 ； a
∴D 正确， 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
2．二次函数 y＝x2+bx 的对称轴为直线 x＝2，若关于 x 的一元二次方程 x2+bx﹣t＝0（t 为
实数）在﹣1＜x＜4 的范围内有解，则 t 的取值范围是（ ）
A．0＜t＜5
∵x1+x2＝ 2 ，x1x2＝﹣1， a
源自文库
∴|x1﹣x2|＝2
1 1 ＞2， a2
∴B 正确；
二次函数 y＝ax2+bx+c(a＞0)的对称轴 x＝﹣ b ＝ 1 ， 2a a
当 a＞0 时，不能判定 x＜ 1 时，y 随 x 的增大而减小； 10
∴C 错误；
∵﹣1＜m＜n＜0，a＞0，
∴m+n＜0， 2 ＞0， a
行四边形 ABCO 的面积.
【详解】
抛物线 y＝x2﹣4x+1=(x-2)2-3 的顶点坐标 C(2.-3), 向左平移至顶点落在 y 轴上,此时顶点 B(0,-
3)，点 A 是抛物线与 x 轴的一个交点，连接 OC，AB，
如图，阴影部分的面积就是 ABCO 的面积，S=2×3=6；
故选：B．
【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键．
B．﹣4≤t＜5
C．﹣4≤t＜0
D．t≥﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 b，确定二次函数解析式，关于 x 的一元二次方程 x2+bx﹣t＝0 的解可以看成二次函
数 y＝x2﹣4x 与直线 y＝t 的交点，﹣1＜x＜4 时﹣4≤y＜5，进而求解；
【详解】
解：∵对称轴为直线 x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x，