高等数学：第十一讲 由参数方程所确定的函数的导数

(
t
)
可确定y与x之间的函数
关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的
函数。
例如，参数方程
x
y
r cost, r sin t
(0
t
2
)
确定了y与x之间的函数
关系，即 x2 y2 r 2.
隐由函 参数方程所确定的函数的导数
定理
设参数方程
x y
x(t), y(t)
(
t
)
所确定的函数为
dy dt
1 dx
y(t ) x(t )
dt
dx x(t) dy y(t)
例题：
已知摆线方程为
x a(t sin t),
y
a(1
cost)
(a 为常数，0 t 2π) ，求摆线在 t
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3
处的切线方程 .
解
与
t
3
对应的曲线上的点为
P a
3
3 2
,
1 2
a
,
y′ (t)= asin t， x′(t)= a(1-cos t)，
所以
dy
sin t
dy ,
dx 1 cos t dx t π
3.
3
点
P
处的切线方程为
y
1a 2
3
x
3
a
3 2
a
.
谢谢
由参数方程所 确定的函数的
导数
引例
已知摆线方程为
x y
a(t a(1
sin t ) ， (a
cos t)
为常数，0
t
2π
)
，求摆线在
t 处的切线方程 .
3
分析 切线方程
切点
斜率
导数
问题
一、这里的函数如何确定？ 二、如何求该函数的导数？
隐由函 参数方程确定的函数
定义
如果参数方程
x y
x(t), y(t)
y
y(x)
，
如果函数x(t), y(t)可导，且x (t)0, 又 x x(t) 具有单调连续的
反函数，则函数 y y(x) 可导，且
dy dx
y(t) . x(t)
t x1(x)
事实上，y y(x) 可以看成是由 y y(t), t x1(x) 构成的复合函数，
dy dx
dy dt dt dx