高等数学：第十一讲 由参数方程所确定的函数的导数
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隐函数和由参数方程确定的函数求导
\ \frac{dy}{dt} &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{y(t + \Delta t) - y(t)}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{2} - t^{2}}{\Delta t}
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{3} - t^{3}}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 3t^{2} + 3\Delta t(t)
\ &= 3t^{2}
由参数方程确定的函数求导
把一个隐函数化作显函数，叫隐函数的显化，另外有一些隐函数是很难显化或无法显化的，这样就需要考虑直接由方程入手来计算其所确定的隐函数导数的方法。
下面来举个例子说明他的求法。
隐函数求导
&= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^{3} - 3(x + \Delta x) - x^{3} + 3x}{\Delta x} \ &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{3x^{2} + 3\Delta x(2x + \Delta x) - 3}{\Delta x} \ &= 3x^{2} + 6x
\
由参数方程确定的函数求导
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 2t + \Delta t \ &= 2t \end{aligned}$$ 然后，我们可以使用链式法则和乘法法则来找到 $x$ 和 $y$ 的导数的组合
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{2} - t^{2}}{\Delta t}
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{3} - t^{3}}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 3t^{2} + 3\Delta t(t)
\ &= 3t^{2}
由参数方程确定的函数求导
把一个隐函数化作显函数，叫隐函数的显化，另外有一些隐函数是很难显化或无法显化的，这样就需要考虑直接由方程入手来计算其所确定的隐函数导数的方法。
下面来举个例子说明他的求法。
隐函数求导
&= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^{3} - 3(x + \Delta x) - x^{3} + 3x}{\Delta x} \ &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{3x^{2} + 3\Delta x(2x + \Delta x) - 3}{\Delta x} \ &= 3x^{2} + 6x
\
由参数方程确定的函数求导
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 2t + \Delta t \ &= 2t \end{aligned}$$ 然后，我们可以使用链式法则和乘法法则来找到 $x$ 和 $y$ 的导数的组合
10 由参数方程确定的函数的导数、高阶导数
6
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铃
二、高阶导数
1、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度 问题:变速直线运动的加速度.
设 s = f (t ), 则瞬时速度为 v ( t ) = f ′( t )
Q 加速度 a是速度 v对时间 t的变化率
∴ a ( t ) = v ′( t ) = [ f ′( t )]′ .
一 地 函 f ( x)的 −1 导 的 数 为 般 , 数 n 阶 数 导 称
数 n 导 , 作 函 f ( x)的 阶 数 记
dn y dn f ( x) f (n) ( x), y(n) , . 或 n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 高阶导数. 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数
(4) ( x α ) ( n ) = α(α − 1) L (α − n + 1) x α − n
(n)
(5) (ln x )
14
= ( −1)
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n −1
( n − 1)! xn
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1 (n) n n! ( ) = ( −1) n + 1 x x
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1 (5) , 求y . 2 x −1 1 1 1 1 解Qy= 2 ) = ( − x −1 2 x −1 x +1
例6 设 y =
∴y
(5)
1 − 5! − 5! ] = [ − 6 6 2 ( x − 1) ( x + 1) 1 1 ] = 60[ − 6 6 ( x + 1) ( x − 1)
15
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铃
12,13隐函数和由参数方程所确定的函数的导数.
y= 3 2
y=3 3 2
故切线方程为 即
3 3 y − 3 = − (x − 2) 2 4
求由方程 y5 + 2y − x − 3x7 = 0 确定的 y = y(x) 在 x = 0 处的导数 dy 隐函数 . dx x = 0 解 方程两边对 x 求导 例5
得
dy 5y + 2 −1− 21x6 = 0 dx dx 6 dy 1+ 21x ∴ = 4 dx 5y + 2
π πa 直 坐 为 0, )的 对 的 角 θ = 角 标 ( 点 应 极 为 2 2 dy 2 而 =− d x θ=π π
2
故 求 线 程 所 切 方 为
aπ 2 y− = − ( x − 0) 2 π 即 aπ x+ y = . 2 π 2
例3
抛射体运动轨迹的参数方程为
的运动速度的大小和方向. 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向 解 先求速度大小: 先求速度大小 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 故抛射体速度大小 铅直分量为
d(ln y) dh(x) = dx dx d(ln y) d(ln y) d y 1 ′ = ⋅y Q = ⋅ d y dx y dx 1 ′ ∴ ⋅ y′ = h (x), y′ = yh (x). ′ y
令
易求导
(2) 适用范围
y = [u(x)]v( x) 的 数 1) 幂 函 : 指 数 导 .
y =ψ[ϕ−1(x)] 可导， 且 可导， 确定的函数
dy dy dt dy 1 ψ′(t) = ⋅ = . = ⋅ dx dt dx dt dx ϕ′(t) dt
一个半径为a的圆在定直线上滚动时 的圆在定直线上滚动时,圆周上任一 例1 一个半径为 的圆在定直线上滚动时 圆周上任一 定点的轨迹称为摆线 计算由摆线的参数方程: 定点的轨迹称为摆线, 计算由摆线的参数方程 摆线 x = a(t − sint), 摆线 y = a(1− cost) dy . 所确定的函数 y = y (x) 的导数 dx dx dy dy dy dt dt [a(1−cost)]' = ⋅ = = 解 dx dt dx dx [a(t −sint)]' dt t asint = (t ≠ 2kπ,k ∈Z ). = cot a(1− cost) 2
y=3 3 2
故切线方程为 即
3 3 y − 3 = − (x − 2) 2 4
求由方程 y5 + 2y − x − 3x7 = 0 确定的 y = y(x) 在 x = 0 处的导数 dy 隐函数 . dx x = 0 解 方程两边对 x 求导 例5
得
dy 5y + 2 −1− 21x6 = 0 dx dx 6 dy 1+ 21x ∴ = 4 dx 5y + 2
π πa 直 坐 为 0, )的 对 的 角 θ = 角 标 ( 点 应 极 为 2 2 dy 2 而 =− d x θ=π π
2
故 求 线 程 所 切 方 为
aπ 2 y− = − ( x − 0) 2 π 即 aπ x+ y = . 2 π 2
例3
抛射体运动轨迹的参数方程为
的运动速度的大小和方向. 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向 解 先求速度大小: 先求速度大小 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 故抛射体速度大小 铅直分量为
d(ln y) dh(x) = dx dx d(ln y) d(ln y) d y 1 ′ = ⋅y Q = ⋅ d y dx y dx 1 ′ ∴ ⋅ y′ = h (x), y′ = yh (x). ′ y
令
易求导
(2) 适用范围
y = [u(x)]v( x) 的 数 1) 幂 函 : 指 数 导 .
y =ψ[ϕ−1(x)] 可导， 且 可导， 确定的函数
dy dy dt dy 1 ψ′(t) = ⋅ = . = ⋅ dx dt dx dt dx ϕ′(t) dt
一个半径为a的圆在定直线上滚动时 的圆在定直线上滚动时,圆周上任一 例1 一个半径为 的圆在定直线上滚动时 圆周上任一 定点的轨迹称为摆线 计算由摆线的参数方程: 定点的轨迹称为摆线, 计算由摆线的参数方程 摆线 x = a(t − sint), 摆线 y = a(1− cost) dy . 所确定的函数 y = y (x) 的导数 dx dx dy dy dy dt dt [a(1−cost)]' = ⋅ = = 解 dx dt dx dx [a(t −sint)]' dt t asint = (t ≠ 2kπ,k ∈Z ). = cot a(1− cost) 2
由参数方程确定的函数的求导方法
一、概述从高中开始学习数学，我们就被教导如何求解代数函数的导数。
但是在高等数学领域，我们还需要学会如何求解由参数方程确定的函数的导数。
参数方程在描述曲线、曲面等几何图形时具有独特的优势，因此求解由参数方程确定的函数的导数是十分重要的。
二、参数方程的定义参数方程是由参数对确定的函数，其自变量和因变量均为参数。
常见的参数方程形式可表示为$x=f(t)$，$y=g(t)$，其中$x$和$y$分别是$t$的函数。
参数方程的优点在于能够将几何问题转化为代数问题，简化问题的求解过程。
三、从参数方程求导的基本方法1. 链式法则当我们需要求解由参数方程确定的函数的导数时，可以利用链式法则。
设有参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$，需求解函数$y$关于$x$的导数$\frac{dy}{dx}$。
根据链式法则，我们有$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$。
通过对参数$t$的求导，我们可以得到$y$关于$x$的导数。
2. 极限定义法我们也可以利用极限定义法来求解由参数方程确定的函数的导数。
设有参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$，需求解函数$y$关于$x$的导数$\frac{dy}{dx}$。
我们可以将$\frac{dy}{dx}$表示为$\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$，其中$\Delta t$趋近于$0$。
通过极限的定义，我们可以求得函数$y$关于$x$的导数。
四、实例分析为了更好地理解从参数方程求导的方法，我们通过实例来进行分析。
假设有参数方程$x=2t$，$y=t^2$，我们需要求解函数$y$关于$x$的导数。
根据链式法则，我们有$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，代入参数方程得$\frac{dy}{dx}=\frac{2t}{2}=\frac{t}{1}=t$。
隐函数与参数方程确定的函数的导数
sin t cos t
) )
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解
dy dx
dt dx
a sin t sin t a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
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解法2
设 arctan y ln
x2
y2
,求 dy
d2y ,
x
dx dx2
arctan y ln x2 y2 1 ln x2 y2
x 方程两边对x求导得
1
2
1
y
2
y x
1 2
x2
1
y2
(x2
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当 t 时, x a( 1), y a.
2
2所求切线方程为来自ya
x
a(
1)
2
即 y x a( 2 ) 2
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x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x 2)
2
4
即
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隐函数和由参数方程所确定的函数的导数
的隐函数，则 F[ x, y( x)] 0 ( x D)；
2°若隐函数 y y( x) ( x D)可由F ( x, y) 0中
解出，则称此隐函数可显化；
如：
确定了一个隐函数：y = y(x)
可显化：y 3 1 x.
2021/4/22
2
3°有些隐函数不易显化，甚至不能显化.
例1 e y xy 0 确定了一个隐函数：
y
t
2
,
t x 2
y
t2
( x)2
2
x2 4
故
消去参数 t
y 1 x. 2
问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何
求函数的导数?
2021/4/22
14
结论 (由参数方程所确定的函数的求导公式)
在
x y
(t) (t)
中，设
x
(t
)在某个区间上具有
单调且连续的反函数 t 1( x), 且能构成复合
5 y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
由原方程得 x = 0 时 y = 0 , 故
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例3-4 设 y x ex , 求其反函数的导数 . 解 (方法1)
(方法2) 等式两边同时对 y 求导
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29
f (x) 0 f (x) 0
当 f ( x) 0 时，y f ( x)
f (x)
y (ln x ) 1 ( x 0) x
当
f
(
x)
0
时，y
[
1 f(
x)]
[
f
(
x
2°若隐函数 y y( x) ( x D)可由F ( x, y) 0中
解出，则称此隐函数可显化；
如：
确定了一个隐函数：y = y(x)
可显化：y 3 1 x.
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2
3°有些隐函数不易显化，甚至不能显化.
例1 e y xy 0 确定了一个隐函数：
y
t
2
,
t x 2
y
t2
( x)2
2
x2 4
故
消去参数 t
y 1 x. 2
问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何
求函数的导数?
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结论 (由参数方程所确定的函数的求导公式)
在
x y
(t) (t)
中，设
x
(t
)在某个区间上具有
单调且连续的反函数 t 1( x), 且能构成复合
5 y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
由原方程得 x = 0 时 y = 0 , 故
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例3-4 设 y x ex , 求其反函数的导数 . 解 (方法1)
(方法2) 等式两边同时对 y 求导
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f (x) 0 f (x) 0
当 f ( x) 0 时，y f ( x)
f (x)
y (ln x ) 1 ( x 0) x
当
f
(
x)
0
时，y
[
1 f(
x)]
[
f
(
x
1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则
d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 即 . 2 3 dx (t )
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5
二、典型例题
x a( t sin t ) 在t 处的切线方程 . 例1 求摆线 2 y a(1 cos t )
1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则
一、求导法则 二、典型例题 三、小结
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1
一、求导法则
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t , y t2,
d2y 例3 设 x a cos t，y b sin t，求 2 . dx
解
dy dy dt b cot t， dx dx a dt
d dy d 2 y dt dx 2 dx dx dt
b cot t b ( csc 2 t ) a a (a cos t ) a sin t
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4
d ( t ) d dy ( ) ( ) dt dx dt ( t ) dx ( t ) dt
( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 1 2 (t ) ( t )
所求切线方程为
y a x a( 1) 2
即
y x a (2
2
).
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二、典型例题
x a( t sin t ) 在t 处的切线方程 . 例1 求摆线 2 y a(1 cos t )
1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则
一、求导法则 二、典型例题 三、小结
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一、求导法则
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t , y t2,
d2y 例3 设 x a cos t，y b sin t，求 2 . dx
解
dy dy dt b cot t， dx dx a dt
d dy d 2 y dt dx 2 dx dx dt
b cot t b ( csc 2 t ) a a (a cos t ) a sin t
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4
d ( t ) d dy ( ) ( ) dt dx dt ( t ) dx ( t ) dt
( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 1 2 (t ) ( t )
所求切线方程为
y a x a( 1) 2
即
y x a (2
2
).
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第11讲 3-3 隐函数与由参数方程所确定的函数的导数
再设函数 x (t ), y (t ) 都可导，且 (t ) 0，
由复合函数及反函数的求导法则得
dy 1 ( t ) d y d y dt . dt d x d x dt d x ( t ) dt
dy d y dt dx dx dt
10/12
y f x 在 x 0 处的导数 y | x 0 .
5/12
高等 微积分 数学
第三章 导数与微分
2 x2 y 例 2 求双曲线 2 2 1在 P0 x0 , y0 处的切线方程. a b
6/12
高等 微积分 数学
第三章 导数与微分
例4 设 y x x ( x 0), 求y.
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
（1）明确函数关系
（2）标明自变量的位置
（3）逐一求导解方程
4/12
高等 微积分 数学
第三章 导数与微分
dy 例 1 求由方程 e xy e 0所确定的隐函数的导数 . dx
y
练习 1 求由方程 y 5 2y x 3x 7 0 所确定的隐函数
第11讲 隐函数与由参数方程
所确定的函数的导数
如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎。 ——欧拉
高等 微积分 数学
第三章 导数与微分
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数
2/12
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第三章 导数与微分
一、隐函数的导数
隐函数： 由方程F x, y =0所确定的函数 y y( x ). 显函数： y f ( x ) 形式的函数. 隐函数的显化： F ( x , y ) 0
确定 y 与 x 之间的函数关系，称此函数关系为由参 数方微积分 数学
高等数学PPT课件：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
如
y
(
x (
x
1) 3 x 4)2e x
1
,
y xsin x .
方 法 方程两边取对数, 再利用隐函数求导法。
--------对数求导法
11
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例
设
y
(
x (
1) 3 x 1 x 4)2 e x
,
求y.
解
ln
y
ln( x
1)
1 3
ln(
x
1)
,求y.
解答 等式两边取对数
ln y ln xsin x ln(1 x2 ) sin x ln x ln(1 x2 )
d: dx
y cos x ln x sin x
y
x
1
2
x x
2
y
xsin x 1 x2
(cos
x
ln
x
sin x
x
1
2
x x
2
)
17
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
2.设 x y y x ,求y.
解答 ln : y ln x x ln y,
d: dx
y ln x y ln y x y,
x
y
y
x y ln x y ln
y x
y2 x2
.
18
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
二、由参数方程所确定函数的导数
若
x y
(t) (t)
d dx
:
1 y
y
cos x ln x
sin
x
1 x
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数-PPT文档资料27页
rh
x
体积为
V,
13
则 R2h
1 3r2(hx)3hR22[h3(hx)3]
dV dt
两边对 t 求导
R2 h2
(hx)2 d d
x t
,
r hx
而
dV dt
25 (cm3
s)
R r
h
h x
R
故
25h2
R2(h
x)2
,
dx dt
100
R2
h (cm
代入上式得
d H ( t ) 122 (1) 16 (cm / s)
dt
9 25
25
因此，当漏斗中水深为 12cm，水面下降速度为 1cm /s
时，桶中水面上升的速度为 16 cm /s． 25
26.01.2020
19
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例8 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
第二章
第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 四、小结与思考题
26.01.2020
1
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一、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function）
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
(t)(t)(t)(t)
2 (t)
(t)
(t)(t)3 ( t)(t)(t)
yx xy x3
26.01.2020
10
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2.4隐函数的导数与由参数方程确定的函数的导数 答案详解
2x x2
2)
六、设 xy yx x2 ，求 dy ． dx
解： eyln x exln y x2 eyln x ( y ln x y ) exln y (ln y x y) 2x
x
y
dy
y
exln y
ln
y 2x e yln x
解：方程两边同时对 x 求导有， cos(x y) (1 y) 2yycos x y2 sin x
y cos(x y) y2 sin x 2y cos x cos(x y)
3． ln(x2 y2 ) arctan y x
解：方程两边同时对
x
求导有，
3
dt
(1 t 2 )2
故切线方程为 y 12 a 4 (x 6 a) ，法线方程为 y 12 a 3 (x 6 a)
5
35
545
九、设
x
y
ln(1 t) arctan t
，求
d2 y dx2
t0
．
1
解： dy dx
1 t2 1
1 t 1 t2
二、设函数 y y(x) 由方程 exy sin(x2 y) y 所确定，试求 y(0) ．
解：方程两边同时对 x 求导有， exy ( y xy) cos(x2 y) (2xy x2 y) y
当 x 0 时， y 1，代入上式得 y(0) 1
注：由于是求隐函数在某点的导数，可不必写出导函数的表达式，直接代入即可
f (t) tf (t) f (t)
参数方程确定的函数的导数课件
参数方程的一般形式
参数方程的特性
参数方程可以描述曲线、曲面或更复 杂的几何对象。
$x = f(t), y = g(t)$，其中 $t$ 是参数。
参数方程与函数的关系
函数
函数是一种特殊的数学关系，它定义 了在一个集合中每个元素与另一个集 合中唯一元素之间的关系。
参数方程与函数的关系
参数方程可以用来描述函数的几何形 状，而函数的导数则描述了函数在各 个点的切线斜率。
导数的计算方法
通过链式法则和参数变化 率，将参数方程转化为导 数形式，即 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)。
具体计算步骤
首先对参数方程求导，得 到 dy/dt 和 dx/dt，然后 代入公式 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) 计算导数。
导数的几何意义
导数的几何表示 导数在几何上表示函数图像在该点的切线的斜率，即切线 的倾斜角正切值。
曲线的凹凸性
通过导数的符号变化，可 以判断曲线的凹凸性，进 而研究曲线的弯曲程度和 变化趋势。
极值问题
导数可以用来研究函数的 极值问题，确定函数在哪 些点取得极值，以及极值 的大小和性质。
导数在物理中的应用
速度和加速度
导数可以用来描述物理量的变化 率，例如速度和加速度，进而研
究物体的运动规律。
斜抛运动
参数方程的几何意 义
参数方程的几何意 义
参数方程描述了一个或多个点随参数变化而变化的轨迹，这些轨迹形成曲线或 曲面。
参数方程在几何中的应用
参数方程广泛应用于解析几何、微分几何等领域，用于描述和分析各种几何对象。
02 参数方程确定的函数的 导数
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率， 表示函数在该点附近的小范围内
高等数学2.5高阶导数 由参数方程所确定函数导数-精选文档
河北工业职业技术学院
高等数学
主讲人 宋从芝
2.5 高阶导数 由参数方程确定函数的导数 本讲概要
高阶导数的概念； 二阶导数的力学意义； 由参数方程所确定的函数的导数。
一、高阶导数的概念
定义 y = f (x)
2 d y f (x) 或 y 或 dx2 3 d y y f (x) 或 或 d x 3
例2
解
设 y = x n，求 y的各阶导数。 y = n x n-1 y = n (n-1) x n-2 ···
i≤n
· · (n-i) x n-i y(i) = n (n-1)·
y(n) =n (n-1)· · · · · · 1 = n!
y(n+1) =0 =y(n+1) =y(n+2) =· · · · · ·
( n ) y ( 0 ) ( 1 )( 2 ) [ ( n 1 )]
n 1 ( 1 ) ( n 1 ) !
二、二阶导数的力学意义
设物体作变速直线运动，其运动方程为s=s(t)，则 物体运动的速度是路程 s 对时间 t 的导数，即
ds v(t) s(t) dt
y t y x x t
二阶导数公式：
y x
y x t x t
小结：
1.高阶导数 2.二阶导数的力学意义 3.由参数方程所确定的函数的导数
作业 习题2.5 课堂作业
1(2)(3)(4)
5(1)
1(4) 5(1)
物体运动的加速度
t t e s i n t c o s t e c o ss t i n t a s
2 et sint
高等数学
主讲人 宋从芝
2.5 高阶导数 由参数方程确定函数的导数 本讲概要
高阶导数的概念； 二阶导数的力学意义； 由参数方程所确定的函数的导数。
一、高阶导数的概念
定义 y = f (x)
2 d y f (x) 或 y 或 dx2 3 d y y f (x) 或 或 d x 3
例2
解
设 y = x n，求 y的各阶导数。 y = n x n-1 y = n (n-1) x n-2 ···
i≤n
· · (n-i) x n-i y(i) = n (n-1)·
y(n) =n (n-1)· · · · · · 1 = n!
y(n+1) =0 =y(n+1) =y(n+2) =· · · · · ·
( n ) y ( 0 ) ( 1 )( 2 ) [ ( n 1 )]
n 1 ( 1 ) ( n 1 ) !
二、二阶导数的力学意义
设物体作变速直线运动，其运动方程为s=s(t)，则 物体运动的速度是路程 s 对时间 t 的导数，即
ds v(t) s(t) dt
y t y x x t
二阶导数公式：
y x
y x t x t
小结：
1.高阶导数 2.二阶导数的力学意义 3.由参数方程所确定的函数的导数
作业 习题2.5 课堂作业
1(2)(3)(4)
5(1)
1(4) 5(1)
物体运动的加速度
t t e s i n t c o s t e c o ss t i n t a s
2 et sint
隐函数导数和由参数方程确定函数导数.pptx
1、 y 1 xe y ； 2、 y tan( x y)； 3、x y y x ( x 0，y 0) . 三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2 ； 2、 y x 2(3 x)4 ；
( x 1)5 3、 y x sin x 1 e x .
第28页/共33页
第19页/共33页
相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
第20页/共33页
例1 一汽球从离开观察员500 米处离地面铅直
上升 ,其速率为140米 / 秒 . 当气球高度为500 米 时 , 观察员视线的仰角增加率是多少?
解 设气球上升 t 秒后 , 其高度为 h(t) 米 ,
y
v0t
sin
1 2
gt 2
,
求 (1)炮弹在时刻t0的运动方向;
(2)炮弹在时刻t0的速度大小.
解 (1) 在t0时刻的运动方向即
y v0
vy
v vx
轨迹在t0时刻的切线方向,
可由切线的斜率来反映. o
x
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dy
(v0t
sin
1 2
gt 2 )
dx
(v0t cos )
v0 sin gt v0 cos
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例3 河水以8米3 / 秒的体流量流入水库中, 水库
形状是长为4000米, 顶角为1200的水槽, 问水深
20米时, 水面每小时上升几米?
解 设时刻t水深为h(t)米,
水库内水量为V (t)米3 , 则
600
V (t) 4000 3h2
上式两边对t求导得
dV 8000 3h dh
( x 1)5 3、 y x sin x 1 e x .
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相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
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例1 一汽球从离开观察员500 米处离地面铅直
上升 ,其速率为140米 / 秒 . 当气球高度为500 米 时 , 观察员视线的仰角增加率是多少?
解 设气球上升 t 秒后 , 其高度为 h(t) 米 ,
y
v0t
sin
1 2
gt 2
,
求 (1)炮弹在时刻t0的运动方向;
(2)炮弹在时刻t0的速度大小.
解 (1) 在t0时刻的运动方向即
y v0
vy
v vx
轨迹在t0时刻的切线方向,
可由切线的斜率来反映. o
x
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dy
(v0t
sin
1 2
gt 2 )
dx
(v0t cos )
v0 sin gt v0 cos
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例3 河水以8米3 / 秒的体流量流入水库中, 水库
形状是长为4000米, 顶角为1200的水槽, 问水深
20米时, 水面每小时上升几米?
解 设时刻t水深为h(t)米,
水库内水量为V (t)米3 , 则
600
V (t) 4000 3h2
上式两边对t求导得
dV 8000 3h dh
经济数学微积分隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
ln f ( x ) v( x ) ln u( x )
d 1 d 又 ln f ( x ) f ( x) dx f ( x ) dx
d f ( x ) f ( x ) ln f ( x ) dx
代入 x 0, y 1, y x 0
y 1
1 得 y 4
x0 y 1
1 . 16
★ 对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x sin x .
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. ——对数求导法 适用范围:
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
※二、由参数方程所确定的函数的导数 (differentiation of functions represented parametrically)
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数. x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例5 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解
方程 .
解
dy a sin t sin t dy dt dx dx a a cos t 1 cos t dt π sin dy 2 1. π dx t π 2 1 cos 2
chapter2(4)对数求导法 参数方程所确定的函数的导数
dt
1 t2
d2y dx2
d dt
t 2
dx
1
2 2t
1 t2 , 4t
dt 1 t2
d3y dx3
d dt
1
t 4t
2
dx
2t
4t (1
16t 2 2t
t2 )4
t
4 1 8t 3
.
dt
1 t2
ex7.设txxtexco1s
y
0
0 ,
求
d2 dx
y
2
.
Solution. 因为 x 和 y 都是关于 t 的可微函数, 则
lim y lim y lim (t t) (t) x0 x t0 x t0 (t t ) (t )
(t t) (t)
lim
t 0
(t
t t )
(t )
(t) , (t )
dy (t) . dx (t)
t
方法 2. 利用复合函数的求导法则,有 dy
dy dx
dy dt dt dx
两边求导 1 y v( x) ln u( x) v( x) u( x) ,
y
u( x)
y u( x)v( x) v( x) ln u( x) v( x) uu((xx)).
ex1 设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
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若上述参数方程中
二阶可导, 且
则由它确定的函数
由参数方程所确定的函数的导数(精)
x a cos t 例7 求椭圆 在相应于t 点处的切线方程 4 y b sin t dy (b sin t) b cost 解 解 b cott dx (a cost) a sin t a
b a 4 2 y b sin b 2 切点的坐标为 x0 a cos a 0 4 2 4 2 2 b (x a 2 ) 切线方程为 y b 2 a 2 即 bxay 2 ab 0
ln x yx sin xe sin x·
y esinxln x (sin xln x) xsinx (cosxln x sin x ) x
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
(x 1)(x 2) 例 6 例 6 求函数 y 的导数 (x 3)(x 4)
例如 方程xy310确定的隐函数为 y 3 1 x
把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程 中把隐函数的导数解出.
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例1 求由方程eyxye0所 例2 求由方程y52yx3x70 确定的隐函数y的导数 所确定的隐函数yf(x)在 解 方程中每一项对x求导得 x0处的导数y|x0
于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为
2 (v gt)2 v [x(t)]2 [ y(t)]2 v1 2 再求速度的方向 设a是切线的倾角 则轨道的切线方向为 dy y(t) v2 gt tan 数学
主讲人： 苏本堂
dy y ( t ) [ a ( 1 cos t ) ] a sin t 解 dx x(t) [a(t sin t)] a(1 cost)
b a 4 2 y b sin b 2 切点的坐标为 x0 a cos a 0 4 2 4 2 2 b (x a 2 ) 切线方程为 y b 2 a 2 即 bxay 2 ab 0
ln x yx sin xe sin x·
y esinxln x (sin xln x) xsinx (cosxln x sin x ) x
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主讲人： 苏本堂
(x 1)(x 2) 例 6 例 6 求函数 y 的导数 (x 3)(x 4)
例如 方程xy310确定的隐函数为 y 3 1 x
把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程 中把隐函数的导数解出.
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例1 求由方程eyxye0所 例2 求由方程y52yx3x70 确定的隐函数y的导数 所确定的隐函数yf(x)在 解 方程中每一项对x求导得 x0处的导数y|x0
于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为
2 (v gt)2 v [x(t)]2 [ y(t)]2 v1 2 再求速度的方向 设a是切线的倾角 则轨道的切线方向为 dy y(t) v2 gt tan 数学
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dy y ( t ) [ a ( 1 cos t ) ] a sin t 解 dx x(t) [a(t sin t)] a(1 cost)
高数A1第十一讲参数方程求导与微分
例9．计算由摆线的参数方程
y
a(1
cos t)
所确定的函数yy(x)的二阶导数
解:
dy y(t) dx x(t)
[a(1cost)] [a(t sint)]
a sin t a(1cost)
sint cot t 1cost 2
(t2n n为整数)
令 x x0 x f (x) f (x0) f (x0)(x x0)
使用原则: 1) f (x0 ), f (x0 ) 好算 ; 2) x 与x0 靠近.
例7. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 估计一下, 每只球需 用铜多少克 .
所以 x 0 时 y 与 dy 是等价无穷小,所以
Vy dy o(dy), x 很小时, 有近似式
y dy
例1 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解 dy ( x3 )x 3x2x.
dy x2 3 x 2x x2 0.24.
x0 A x02
x0x
故
称为函数在 x0 的微分
定义: 若函数
在点 x0 的增量可表示为
Ax o(x)
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数 y f (x) 在点 可微, 而 A x 称为
的微分, 记作
即
dy Ax
定理: 函数
在点 x0 可微的充要条件是
即
dy f (x0 )x
当 x 很小时, y dy
dy
y y f (x)
y
dy f (x0 )x f (x0 ) dx
相关主题
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dy dt
1 dx
y(t ) )
例题：
已知摆线方程为
x a(t sin t),
y
a(1
cost)
(a 为常数，0 t 2π) ，求摆线在 t
3
处的切线方程 .
解
与
t
3
对应的曲线上的点为
P a
3
3 2
,
1 2
a
,
y′ (t)= asin t， x′(t)= a(1-cos t)，
由参数方程所 确定的函数的
导数
引例
已知摆线方程为
x y
a(t a(1
sin t ) ， (a
cos t)
为常数，0
t
2π
)
，求摆线在
t 处的切线方程 .
3
分析 切线方程
切点
斜率
导数
问题
一、这里的函数如何确定？ 二、如何求该函数的导数？
隐由函 参数方程确定的函数
定义
如果参数方程
x y
x(t), y(t)
所以
dy
sin t
dy ,
dx 1 cos t dx t π
3.
3
点
P
处的切线方程为
y
1a 2
3
x
3
a
3 2
a
.
谢谢
(
t
)
可确定y与x之间的函数
关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的
函数。
例如，参数方程
x
y
r cost, r sin t
(0
t
2
)
确定了y与x之间的函数
关系，即 x2 y2 r 2.
隐由函 参数方程所确定的函数的导数
定理
设参数方程
x y
x(t), y(t)
(
t
)
所确定的函数为
y
y(x)
，
如果函数x(t), y(t)可导，且x (t)0, 又 x x(t) 具有单调连续的
反函数，则函数 y y(x) 可导，且
dy dx
y(t) . x(t)
t x1(x)
事实上，y y(x) 可以看成是由 y y(t), t x1(x) 构成的复合函数，
dy dx
dy dt dt dx