《任意角的三角函数》优质课教学设计

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高中数学《任意角的三角函数》公开课优秀教学设计

高中数学《任意角的三角函数》公开课优秀教学设计

高中数学《任意角的三角函数》公开课优秀教学设计1、任意角的三角函数定义的建构;2、学生对三角函数值在各个象限符号的确定的理解;3、学生理解和掌握三角函数的周期性特点(公式一).五、教学过程设计1、引入(5分钟):通过回顾初中锐角三角函数的定义,引出任意角三角函数的定义的必要性和重要性.2、讲解(30分钟):通过引入直角坐标系和单位圆,建立锐角终边上点的坐标表示锐角的三角函数值的概念,从而引导学生注意到在单位圆中,锐角和单位圆上的点有对应关系,进而形成任意角的三角函数的概念.同时,讲解三角函数值在各个象限内的符号确定方法和三角函数的周期性特点(公式一).3、例题演练(15分钟):通过例题演练,加强对概念的理解和应用.4、小组合作探究(20分钟):将学生分成小组,让他们自主探究任意角正弦函数的定义,并类比得到余弦函数和正切函数的定义,培养学生类比分析的能力和团队合作的意识.5、总结(5分钟):对本节课的重点难点进行总结,巩固学生的研究成果.六、教学反思本节课通过引入直角坐标系和单位圆,建立锐角终边上点的坐标表示锐角的三角函数值的概念,引导学生形成任意角的三角函数的概念,同时讲解了三角函数值在各个象限内的符号确定方法和三角函数的周期性特点(公式一).通过例题演练和小组合作探究,加强了学生对概念的理解和应用,培养了学生类比分析和团队合作的能力.但是,本节课还可以在教学过程中加入更多的互动环节,激发学生的研究兴趣和积极性,提高教学效果.问题4我们已经知道了任意角的三角函数是以角的大小为自变量,以边的比值为函数值的函数,那么如何将任意角的三角函数与坐标系联系起来呢?设计意图:通过问题的提出,引导学生思考如何将任意角的三角函数与坐标系联系起来,从而引导学生进入到坐标法的研究中去.问题5我们已经知道了在坐标系中,点的坐标可以表示为有序数对(x,y),那么如何利用坐标系表示三角形的三个顶点呢?设计意图:通过问题的提出,引导学生思考如何利用坐标系表示三角形的三个顶点,从而引导学生进一步探究三角函数在坐标系中的应用.三)总结归纳,拓展应用在学生通过问题的探究过程中,教师及时进行总结归纳,引导学生将所学知识进行归纳整理,从而加深学生对知识的理解和掌握.同时,教师还可以通过拓展应用,让学生将所学知识运用到实际问题中去,从而提高学生对知识的应用能力.问题4:我们应该先研究锐角还是任意角?我们将以锐角三角函数为本节课的“生长点”,这样的研究符合学生的认知规律,更能够激发学生的求知欲。

4.2任意角的三角函数(教学设计)-中职《数学》(高教版)

4.2任意角的三角函数(教学设计)-中职《数学》(高教版)

§4.2任意角的三角函数一、学习要求:理解任意角的三角函数的定义,熟记三角函数在各个象限内的符号,了解各三角函数线,能作出已知角在单位圆中的三角函数线。

二、学习重点、难点:重点:任意角三角函数的定义;三角函数在各个象限内的符号;求三角函数值。

难点:三角函数线三、学时安排:共2学时第一学时:学习任意角饿三角函数定义,和三角函数在各个象限的符号,并理解和运用。

第二学时:学习三角函数线,通过三角函数线求三角函数值(不编写学案)。

四、学习过程:第一学时(一)课前尝试1、学习方法:认真阅读课本P.165-167内容,注意理解三角函数的定义,符号法则的推出过程及作用。

2、尝试练习:(1)已知P(1,-2)是角α终边上一点,求α的三个三角函数值。

(2)确定下列三角函数值的符号:sin(740)-︒19 tan()6π-(二)课堂探究:1、探究问题在初中,我们学习了锐角的三角函数值,当角的概念推广以后,对于一个任意角的三角函数,应该如何求呢?比如:sin120︒ 7cos()6π tan300︒ 等等 2、知识链接:回忆: (1)Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,A α∠=,则sin α= cos α= tan α=(2)把上述Rt ABC ∆放置在直角坐标中,如图所示:sin α= cos α= tan α=(3)任意角的三角函数定义:图4-2-1 图4-2-2 图4-2-3(4)三角函数在各个象限内的符号法则:y y yO x O x O xαsin αcos αtan图4-2-43、拓展练习:(1)P.166例2 P 点的坐标还可怎么取?(2)思考:为什么正弦函数、余弦函数的定义域为R ,正切函数的定义域不是R ?4、当堂训练:书本上P.167.课内练习1。

5、归纳总结:(三)课后拓展:1.已知角α终边经过点(3,4),(0)P t t t <,求sin ,cos ,tan ααα的值。

高中数学苏教版必修4第1章《1.2.1 任意角的三角函数》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案

高中数学苏教版必修4第1章《1.2.1 任意角的三角函数》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案

高中数学苏教版必修4第1章《1.2.1 任意角的三角函数》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1、知识与技能:
理解并掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;根据任意角的三角函数的定义认识其定义域,能够判断三角函数值的符号.
2、过程与方法:
学生经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义,体验三角函数概念的形成、发展过程,领悟直角坐标系的工具功能,渗透函数思想和数形结合的思想方法.
3、情感态度价值观:
通过学生积极参与知识的“再创造”过程,从中感悟数学概念的严谨性与科学性.
2学情分析
对于学习任意角三角函数而言,学生的认知困难主要体现在用终边上点的坐标表示三角函数,把锐角三角函数线段比的感性认识上升到坐标化的理性高度,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难.
3重点难点
1、教学重点
任意角的正弦、余弦、正切函数的定义.
2、教学难点
用角终边上点的坐标定义任意角的三角函数.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】一、设置情境引入新课
情景1.感受生活中周期性现象:周二的七天一循环、一岁一枯荣的小草、摩天轮等。

《数学》教案:任意角的三角函数

《数学》教案:任意角的三角函数
5.利用计算器求在 范围内的角x(精确到 ):
(1) ;(2) ;
(3) .
提问
巡视
指导
思考
动手
解答
交流
通过课堂练习及时了解学生对知识的掌握情况
归纳总结
1.任意角的正弦、余弦和正切函数。
2.各象限角的三角函数值的正负号。
3.界限角的三角函数值。
回顾
总结
思考
记忆
通过归纳总结,回顾所学知识
课后练习
完成教材中习题4.2
通过例题讲解与提问增加课堂互动,加深学生理解
通过表格讲述各象限角三角函数的正负号
通过例题讲解与提问增加课堂互动,加深学生理解
讲解界限角的三角函数值
通过例题加深学生理解
理解应用
练习4.2.1
1.已知点 为角 的终边上的一点,且 ,那么 ______.
2.已知点 为角 的终边上的一点,则 ______.
表4-4
所在象限
点P的坐标
x
y
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
例2判断下列各三角函数值的正负号:
(1) ;(2) ;
(3) ;(4) .
解(1)因为 角是第三象限的角,所以 .
(2)因为 角是第四象限的角,所以 .
(3)因为 , 角是第一象限的角,所以 角也是第一象限的角, .
(4)因为 , 角是第四象限的角,所以 角也是第四象限的角, .
第4章三角函数
课题4.2任意角的三角函数
【教学目标】
1.掌握任意角的正弦、余弦和正切函数。
2.掌握三角函数的正负号,了解用计算器进行角度与三角函数值转换。
【教学重点】
任意角的正弦、余弦和正切函数及三角函数的正负号。

【教学设计】任意角的三角函数

【教学设计】任意角的三角函数

【教学设计】任意角的三角函数一、教材分析(一)教材地位和作用本节课是关于任意角的三角函数的概念课.在初中,学生已学过锐角三角函数,随着本章将角的概念推广,以及引入弧度制后,本节课自然地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数.紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉,自然地导出三角函数线、定义域、符号判断、同角三角函数关系、多组诱导公式、图象和性质.任意角三角函数的定义必然是学好全章内容的关键,如果学生掌握不好,将直接影响到后续内容的学习,由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身.(二)教学目标1、知识与技能了解任意角三角函数定义产生的背景和应用,理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,经历“单位圆法”定义三角函数的过程;会求特殊角的三角函数值,能够判断三角函数值的符号.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中,体会函数思想、数形结合思想,以及类比的学习方法,培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力.3、情感态度与价值观通过教师指导下的学生交流探索活动,使学生经历数学概念发生、发展、应用的过程,让学生感受从中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性,感悟数学的本质,培养追求真理的精神.(三)教学重点和难点重点:任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.难点:任意角的三角函数概念的构建过程.二、教学方法(一)教法与学法问题探究式-----教师启发引导、学生合作探究.即采用教师组织引导,学生自主探究、动手实践、小组合作交流的学习方式,力求体现教师的设计者、组织者、引导者、合作者的作用,同时突出学生的主体地位.(二)教学准备多媒体、投影仪、三角板、圆规.三、教学过程四.设计思路1.突出单位圆的作用。

具体表现在三个方面:第一是将锐角三角函数坐标化,引入单位圆;第二是利用单位圆写出任意角的三角函数;第三是利用单位圆探究三角函数的定义域三角函数在各象限的符号和诱导公式一;第四是在练习1的解决过程中建立单位圆与一般定义的关系。

(完整)《任意角的三角函数》教学设计

(完整)《任意角的三角函数》教学设计

《任意角的三角函数(第一课时)》教学设计任意角的三角函数(1)一、教学内容分析:高一年《普通高中课程标准教科书·数学(必修4)》(人教版A版)1。

2.1任意角的三角函数第一课时。

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课,它是本章的基础,主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程,从而很好理解任意角的三角函数的定义。

在《课程标准》中:三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。

《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.在本模块中,学生将通过实例学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。

二、学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法,忽略了知识的发生发展过程,以腾出更多的时间对学生加以反复的训练,无形增加了学生的负担,泯灭了学生学习的兴趣.我们虽然刻意地去改变教学的方式,但仍太多旧时的痕迹,若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影,失去新课程自然与清纯之味。

所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索。

如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中?《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中,教师应该关注以下两点:第一、根据学生的生活经验,创设丰富的情境,例如单调弹簧振子,圆上一点的运动,以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例,使学生感受周期现象的广泛存在,认识周期现象的变化规律,体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。

第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象(周期振荡现象),解决一些实际问题,这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。

根据《课程标准》的指导思想,任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题:其一:能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型;其二:借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。

任意角的三角函数教学设计

任意角的三角函数教学设计

任意角的三角函数教学设计
一、教学目标
1.熟练地掌握任意角的三角函数的计算方法;
2.能灵活运用三角函数解决实际问题;
3.通过学习任意角的三角函数,提高解决复杂问题的能力;
二、教学内容
1.回顾和总结二角函数
2.任意角的三角函数定义
3.任意角的三角函数的性质
4.任意角的三角函数的解
三、教学方法
1.情境引入法:本次教学以“实’’为主,由实际出发,以实例引出课题,抓住学生的学习兴趣,和学生一起思考,引导学生掌握该概念;
2.讲授方法:说、写、演示法结合,让学生能够在实践过程中理解概念;
3.讨论交流方法:引导学生独立思考、讨论,指导学生在讨论的过程中逐步总结解题方法;
4.教学游戏法:用上机游戏激发学生的学习热情,活跃课堂气氛;
5.竞赛方法:利用竞赛模式,引导学生互相学习,激发其学习的积极性,提高学习效率,增强学生的团队精神,练习和检验学习效果。

四、教学步骤
第一步:情境引入
情境介绍:在建筑施工中,需要运用到三角函数来计算建筑物的高度和宽度,因此,我们需要掌握任意角的三角函数的基本概念及计算方法,使用以解决实际问题。

第二步:任意角的三角函数的定义。

任意角的三角函数教学设计方案

任意角的三角函数教学设计方案

任意角的三角函数教学设计方案教学目标:1.理解任意角的概念并能够在坐标系中进行几何表示;2.掌握任意角的正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质;3.能够利用三角函数求解任意角的相关问题。

教学重点:1.任意角的几何表示;2.任意角的三角函数的定义和性质;3.利用三角函数求解任意角的相关问题。

教学难点:利用三角函数求解任意角的相关问题。

教学准备:1. PowerPoint 简介任意角的概念及其几何表示;2.板书或投影仪展示任意角的三角函数的定义和性质;3.齐全的教学用具和实验器材。

教学过程:一、导入(10分钟)1.师生互动,回顾直角三角函数的概念及其性质。

2.提问引导学生思考,是否只有直角才能使用三角函数。

二、任意角的概念(15分钟)1.展示幻灯片,介绍任意角的概念及其几何表示。

2.给出一些实际生活中的例子,引导学生理解任意角的概念。

三、任意角三角函数的定义及性质(30分钟)1.利用板书或投影仪,讲解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义和性质。

2.通过具体的例子,帮助学生理解三角函数的概念和性质。

3.引导学生探索正割、余割和余切的定义和性质。

四、三角函数的计算(30分钟)1.利用板书或投影仪,讲解如何计算任意角的三角函数值。

2.引导学生掌握计算任意角三角函数值的方法,并进行大量的练习。

五、应用题训练与解答(20分钟)1.给出一些应用题,如几何问题、物理问题等,要求学生运用所学的三角函数概念和性质解决问题。

2.学生独立或小组讨论解决问题,并逐一讲解解题思路和方法。

六、拓展(15分钟)1.引导学生思考其他三角函数的性质,如幅角、周期性等。

2.介绍其他与三角函数相关的数学概念,如向量、复数等,拓展学生的数学视野。

七、总结与反思(10分钟)1.打开幻灯片,总结本节课的主要内容。

2.学生回答检查问题,回顾本节课所学内容。

3.学生展示对本节课的理解和反思,提出问题并交流思考。

教学扩展:1.利用动画或实验演示来展示任意角的几何表示和三角函数的性质。

优质课:任意角的三角函数教学设计

优质课:任意角的三角函数教学设计

任意角的三角函数教学设计福建师大附中 张春晓一、教学内容解析三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型,在其它学科领域也有着广泛的应用.任意角的三角函数是函数的下位概念,它建立在《数学1》中函数概念的基础上,是对锐角三角函数概念的扩张.引入锐角三角函数的概念,目的是为了研究三角形中的边角关系,定义侧重于从几何的角度,在直角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系.而引入任意角三角函数的概念,是为了研究周期变化现象,定义侧重于从代数的角度,以单位圆为工具,得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系.在弧度制下,是数集到数集的映射.本节课是在学习完“任意角和弧度制”后的第一节新授课,教材中对任意角的三角函数的定义有两种——单位圆定义法和终边定义法.从研究任意角的三角函数作用看,单位圆定义法显得更为简单直观,为后续研究三角函数性质埋下伏笔;从数学史发展看,单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作用.因此,本教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发,以数学实际应用为线索,完成任意角的三角函数的建构过程.二、教学目标知识与技能:理解任意角三角函数的定义,树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 过程与方法:经历单位圆定义法,培养合情猜测的能力,体会函数模型的作用.情感、态度与价值观:通过学生积极参与知识“发现”与“形成”的过程,加深对数学概念本质的理解,感悟数学概念的严谨性与科学性. 重点: 任意角三角函数的定义.难点:任意角三角函数概念的建构过程.三、教学流程1.复习通过对任意角的概念的学习,你认为它与初中角的概念有什么区别? 设计意图 对任意角概念的理解是学习本节课的基础. 2.创设情境、引出主题问题:已知摩天轮的中心离地面的高度为0h ,它的直径为2r ,逆时针方向做匀速转动,转动一周需要360 秒,若现在你坐在座舱中,从初始位置点A 出发,求相对于地面的高度h 与时间t 的函数关系式. 师:让我们一起分析一下,在整个运动过程中,高度h 师生:开始高度h 设计意图 的“周期性”特点.师:我们该用怎样的函数模型来刻画这种运动呢?让我们先从特殊情形入手.例如,过了20s 生:00sin 20h h r =+.师:你能对这个式子做一解释吗?生:0h 表示水平位置OA 距离地面的高度,0sin 20r 表示P 距离水平位置OA 的高度,即0|MP|h h =+.师:如果过了40s 呢?对上面式子做怎样修改?师生:将020换成040,即:00sin 40h h r =+.一般地,过了t 秒呢?猜想: 0sin h h r t =+师:这样猜想合情,但合理吗?随着摩天轮的转动,POA ∠从最初的锐角被推广到了任意角.对任意角α,sin α该如何定义呢?这就是这节课我们要学习的内容,任意角的三角函数.设计意图 为引出任意角的三角函数做准备,按照从特殊到一般地策略来探究,让学生感受到接下来学习 新知识的必要性. 3.概念生成师:当P 在水平但位置OA 上方时,0|MP|h h =+;当P 在水平位置OA 下方时,0-|MP|h h =,即:0|MP|h h =±与0sin h h r t =+相比较,要想两者和谐统一,必须有:sin |MP|r t =±,即:MPsin rt =±. 师生小结:当点P 在圆周上运动时,POA ∠随之变化,任一个POA ∠,对应着唯一点P ,进而有唯一||MP ,得到:MPsin rt =±. 师:不过这样表述|MP|±时,还是不够简洁,MP 何时取正值,何时取负值?能否用一个量去代替MP ±, 使上述表示形式更简单?它的绝对值与MP 的长度相等,符号在OA 上方表示正的,OA 下方表示负的. 生:引入直角坐标系,用点P 的纵坐标y 来替代||MP 或-||MP .设计意图 让学生感受到任意角三角函数定义中,坐标系的引入是自然的,有必要的.师:接下来,我们把角α放在平面直角坐标系中,以原点为圆心,半径为r 做圆,与角α的终边交于点P , 假设点P 坐标为(,)x y ,利用我们刚才对上述问题的分析,这里,sin =y rα. 师:当α是锐角时,此规定与初中规定是否吻合? 生:吻合,利用初中对锐角三角函数定义,|MP|sin =|OP|α,|MP|即y ,|OP|即r . 师:三角函数只有这一个吗? 生:还有余弦,正切.师:你能仿照正弦给出它们的类似定义吗? 生:cos x r α=,tan y xα= 师:从高中函数定义来看,他们是真正意义上的函数吗?生:是的,任意给定角α,其终边唯一确定,终边与圆的交点P 就唯一确定,比值随之唯一确定.师:比值会随着点P 在终边上的变化而变化吗?生:不会,由相似三角形知识,比值是唯一确定的. 师:很好,任意给定α→唯一确定比值.那如果α是任意角呢,我们不妨假设此时α终边落在第二象限,终边与圆的交点仍然是P ,坐标为(,)x y显然,我们已经不能把α放在一个锐角三角形内,但是我们同样可以发现,当α给定后,终边唯一确定, 其与圆的交点P 唯一确定,仍然符合函数的定义. 师:这种比值形式能进一步简化吗?生:另=1r ,则sin =y α,cos x α=,tan yxα= 师:此时点P 具有什么特点? 生:点P 即是角终边与单位圆的交点. 师:它们是函数吗?生:是的,当α给定时,点P 即定,函数值唯一确定. 师:既然是函数,则有三要素,它们的定义域是什么?生:sin y α=,cos y α=的定义域均为R ,tan y α=的定义域是{|k +,k Z}2πααπ≠∈师:很好,我们就把上面这三个函数称为任意角的三角函数.其实,我们可以发现,任意角的三角函数是 以角作为自变量,以坐标或者坐标的比值为函数值的函数,即从角的集合到实数集的一种对应关系. 设计意图 这里采用概念同化的学习方式,让学生理解定义的合理性,理解概念的背景和生成过程. 4.概念运用例1.(口算)求下列三角函数值:(1)0sin 270; (2)cos3π; (3)3tan()4π-. 变式:若已知cos 1θ=-,你能写出θ的一个角吗?例2.角α的终边经过点1(,2P ,求它的三角函数值. 设计意图 让学生熟悉定义,从中概括出用定义解题的步骤.. 例3.设sin 0θ<且tan 0θ>,确定θ是第几象限的角.设计意图 通过定义的应用,让学生了解三种定义域及函数值在各象限的符号的变化规律,并从中进一步理解三角函数的概念,体会数形结合的思想. 例4.不求值,判断下列三角函数值的符号. (1) 0sin(1060)-; (2) 16cos()5π; (3)0tan556. 设计意图 引出公式一sin(2)sin k απα+⋅=,cos(2)cos k απα+⋅=,tan(2)tan k απα+⋅=,突出函数周期变化的特点,以及数形结合的思想. 5.探究发现在如图所示的单位圆中,角α的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边为OP ,则有向线段,,,,,MP OM AT BS OT OS 分别称为角 的正弦线,余弦线,正切线,余切线,正割线和余割线.图中的正弦线MP ,余弦线OM 均为圆O 上的弦的一段.如MP 是圆O 的弦上'PP 的一段,OM 是圆O 的弦'AA 上的一段.图中正切线AT ,余切线BS 均为圆O 上的切线段.图中正割线OT ,余割线OS 均为圆O 上的割 线段.你能否据此给出三角函数名称的一种几何解释,并说明理由?设计意图 也为即将介绍“三角函数线”埋下伏笔. 6.小结反思通过本节课的学习,谈谈你对三角函数有哪些新的认识?在认知过程中有哪些体会?设计意图 让学生回顾所学内容,体会任意角三角函数是刻画圆周运动的重要数学模型,它实质上就是以 角为自变量,以角的终边与单位圆交点坐标或坐标比为函数值的函数.体会数形结合、化归等思想方法的 应用.。

任意角的三角函数教学设计

任意角的三角函数教学设计

“任意角的三角函数”教学设计一、教学目标1.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,经历“单位圆法”定义三角函数的过程;2.会用定义求特殊角的三角函数值,会求已知终边位置的角的三角函数值;3.会从函数三要素的角度认识三角函数的对应法则、自变量、函数值;4.体会定义三角函数过程中的数形结合、化归、数学模型等思想方法.二、教学重难点重点:理解任意角三角函数的定义。

难点:引导学生将任意角的三角函数的定义强化,帮助学生真正理解定义。

三、教学过程设计(一)教学情境复习锐角三角函数的定义问题1 对于三角函数我们并不陌生,初中学过锐角三角函数,你能说说它的自变量和对应关系各是什么吗?任意画一个锐角α,你能借助三角板,根据锐角三角函数的定义找出sinα的值吗?(设计意图:帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义。

)(二) 认识任意角三角函数的定义问题2 你能借助象限角的概念,用直角坐标系中点的坐标表示锐角三角函数吗?即将三角函数值用终边上点的坐标表示出来。

,对于这些比值 ,我们以前称之为锐角α的正弦、余弦和正切,统称为锐角α的三角函数。

当角α确定后,比值xy r x r y ,,也是唯一确定的,而与P 点在角终边上的位置无关。

当α是锐角时,x y r x r y ,,(设计意图:比值“坐标化”,与点在终边上的位置无关。

)问题3 既然当角确定后,三角函数值与点P 在终边上的位置无关,那么你能否在终边上取适当的点,使三角函数的形式更简单?(设计意图:在求简意识的指引下,自然地引出单位圆,同时在对圆周运动寻求函数关系的求解的过程中体会它与锐角三角函数之间的内在联系。

)当α是锐角时,设P (x ,y )是α的终边与单位圆的交点,那么当r=1,则y 就称为锐角α的正弦,x 就称为锐角α的余弦, 就称为锐角α的正切. 记为:类似地,我们可以将锐角三角函数的定义推广到任意角的三角函数: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆的交点为P (x ,y ),则y 叫做α的正弦,记作sin α = y .x 叫做α的余弦,记作c o s α =x ; 叫做α的正切,记作t a n α= 任意角α的正弦、余弦和正切,统称为任意角α的三角函数.x y xy x y ===αααtan ,cos ,sin xy问题4 你能说明上述定义符合函数定义的要求吗? (设计意图:让学生用函数的三要素说明定义的合理性,以此进一步明确三角函数的对应法则、定义域和值域。

任意角的三角函数(教案)

任意角的三角函数(教案)

任意角的三角函数(教案)一、教学内容本节课的教学内容来自于高中数学必修一的第四章第一节,主要内容包括任意角的三角函数的定义、正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质。

二、教学目标1. 让学生理解任意角的三角函数的定义,掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质。

2. 培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。

3. 培养学生合作学习、探究学习的能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点:任意角的三角函数的定义,正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的理解和应用。

2. 教学重点:任意角的三角函数的定义,正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的掌握。

四、教具与学具准备1. 教具:黑板、粉笔、多媒体教学设备。

2. 学具:笔记本、尺子、圆规、三角板。

五、教学过程1. 实践情景引入:让学生观察教室的布置,找出角的度量单位,引出角的概念。

2. 任意角的三角函数的定义:通过多媒体展示正弦函数、余弦函数和正切函数的定义,让学生理解并掌握它们的定义。

4. 例题讲解:出示例题,让学生独立解答,然后讲解答案,讲解过程中强调解题思路和方法。

5. 随堂练习:出示随堂练习题,让学生独立完成,然后批改并讲解答案。

8. 布置作业:布置相关的作业题目,让学生巩固所学知识。

六、板书设计1. 任意角的三角函数的定义2. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质七、作业设计1. 题目:已知一个角的度数为30°,求它的正弦值、余弦值和正切值。

答案:正弦值:1/2余弦值:√3/2正切值:√3/32. 题目:画出角α的正弦函数、余弦函数和正切函数的图像。

答案:见附图。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思:本节课的教学过程中,学生对任意角的三角函数的定义掌握较好,但在正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的理解上还有待加强。

2. 拓展延伸:让学生研究任意角的三角函数在实际问题中的应用,如测量大树的高度、计算物体在斜面上的速度等。

重点和难点解析一、任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义是本节课的核心内容,学生需要理解并掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的定义。

《任意角的三角函数》 教学设计

《任意角的三角函数》 教学设计

《任意角的三角函数》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标(1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。

(2)掌握三角函数在各象限的符号。

(3)能根据任意角的终边上的点坐标,求出该角的三角函数值。

2、过程与方法目标(1)通过单位圆,经历从锐角三角函数推广到任意角三角函数的过程,体会数学中的从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法。

(2)通过三角函数定义的应用,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

3、情感态度与价值观目标(1)让学生在探索任意角三角函数定义的过程中,感受数学的严谨性和科学性,激发学生对数学的兴趣。

(2)通过合作学习,培养学生的团队合作精神和交流能力。

二、教学重难点1、教学重点(1)任意角三角函数的定义。

(2)根据角的终边上的点坐标求三角函数值。

2、教学难点(1)任意角三角函数定义的理解。

(2)三角函数值在各象限的符号。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课(1)回顾锐角三角函数在初中,我们学习了锐角三角函数,如正弦、余弦和正切。

对于锐角α,设其对边为 a,邻边为 b,斜边为 c,则正弦sinα = a/c,余弦cosα = b/c,正切tanα = a/b。

(2)提出问题如果角不再是锐角,而是任意角,那么三角函数的定义又该如何呢?2、讲授新课(1)单位圆的引入在平面直角坐标系中,以原点 O 为圆心,以单位长度 1 为半径作圆,这个圆称为单位圆。

(2)任意角三角函数的定义设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则:正弦函数:sinα = y余弦函数:cosα = x正切函数:tanα = y/x(x≠0)(3)三角函数值在各象限的符号通过分析单位圆中角的终边所在象限,以及对应的 x、y 的正负,得出三角函数值在各象限的符号。

3、例题讲解例1:已知角α的终边经过点P(3, -4),求sinα、cosα、tanα的值。

解:因为点 P 的坐标为(3, -4),所以 x = 3,y =-4,r =√(3²+(-4)²) = 5则sinα = y/r =-4/5cosα = x/r = 3/5tanα = y/x =-4/3例 2:判断下列三角函数值的符号:① sin 180°② cos(-200°)③ tan 250°解:① sin 180°= 0② cos(-200°)= cos 200°< 0③ tan 250°= tan(180°+ 70°)= tan 70°> 04、课堂练习(1)已知角α的终边经过点 P(-1, 2),求sinα、cosα、tanα的值。

任意角的三角函数教案

任意角的三角函数教案

任意角的三角函数教案任意角的三角函数教案1一、教学目标1、掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角的余切、正割、余割函数的.定义。

2、经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程、领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验。

3、培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观。

4、培养学生求真务实、实事求是的科学态度。

二、重点、难点、关键重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、(正负)符号判断法。

难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数。

关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( α确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着α的变化而变化)。

三、教学理念和方法教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。

根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学。

四、教学过程[执教线索:回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系)——问题情境:能推广到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系(为何?)——优化认知:用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展:对任意角研究六个比值(与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数定义吗?)——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析(对应法则、定义域、值域与正负符号判定)——例题与练习回顾小结——布置作业](一)复习引入、回想再认开门见山,面对全体学生提问:在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢?探索任意角的三角函数(板书课题),请同学们回想,再明确一下:(情景1)什么叫函数?或者说函数是怎样定义的?让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调:传统定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y 都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,自变量x的取值范围叫做函数的定义域、现代定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称映射?:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y= f(x),x∈A ,其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域。

《任意角的三角函数》优质课教学设计

《任意角的三角函数》优质课教学设计

任意角的三角函数一、教学内容分析三角函数是重要的基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型。

任意角的三角函数是学习诱导公式、三角函数的图象与性质的前提。

它不仅是本节的核心概念,也是三角函数内容的核心概念。

由于角的概念的推广,锐角三角函数的概念也必然要扩充,任意角的三角函数的概念的出现是角的概念推广的必然结果。

二、教学目标分析(一)知识与技能1.能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数、任意角的三角函数。

2.了解三角函数是以角为自量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。

3.知道三角函数是研究一个实数集到另一个实数集的对应关系。

(二)过程与方法1.经历从锐角三角函数定义过渡到任意角的三角函数定义的学习过程,体验三角函数概念的产生、发展过程。

2.在定义任意角的三角函数过程中,领悟直角坐标系的工具功能,体会数形结合的魅力。

(三)情感态度与价值观1.引导学生积极探索、深入思考,在任意角三角函数定义建构的过程中,激发学生求知欲,鼓励学生大胆尝试,培养学生敢于探索、勇于创新的学习品质。

2.在任意角的三角函数概念同化和精致的过程中发展学生研究问题的能力。

三、学情分析在概念教学过程中要注意学生已有知识经验的作用,发挥其正迁移,防止其负迁移。

本课时研究的是任意角的三角函数,学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数,其研究范围是锐角;其研究方法是几何的,没有坐标系的参与;其研究目的是为解直角三角形服务。

以上三点都是与本课时不同的,因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验,发挥其正迁移。

具体而言要做到:明确研究范围的变化,开阔学生的视野,并揭示由此带来的新问题,激发学生的学习兴趣;借助单位圆在坐标系中进行研究,要先将锐角的三角函数问题置于坐标系中,帮助学生利用坐标系借助单位圆重新认识锐角三角函数,这样做激活了学生的已有知识经验,并且用新的视角认识已有知识经验,复习了旧知识,同时为新的研究内容做好铺垫;第三,由于研究范围的改变,更加突出了任意角的三角函数是为研究客观世界中大量存在的周期性现象服务的。

任意角的三角函数教案

任意角的三角函数教案

1.2.1任意角的三角函数一、教学目标: 1.知识与技能(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);(2)理解任意角的三角函数不同的定义方法;(3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;(4)掌握并能初步运用公式一;(5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题,总结方法,巩固练习. 3.情感态度与价值观任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广,有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数,但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响,“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突,而且“比值”需要通过运算才能得到,这与函数值是一个确定的实数也有不同,这些都会影响学生对三角函数概念的理解. 二、教学重、难点:重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一).难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);三角函数线的正确理解.第一课时 任意角的三角函数(一)一、创设情境提问:锐角O 的正弦、余弦、正切怎样表示?借助右图直角三角形,复习回顾.数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r >.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .则sin MP bOP rα==; cos OM a OP r α==;tan MP bOM aα==.思考:对于确定的角α,这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢?显然,我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考:上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.二、探究新知1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=; (2)x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=; (3)y x 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)yx xα=≠. 注意:当α是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在);当α不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ,从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =,那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.例题讲评例1 求53π的正弦、余弦和正切值. 例2 已知角α的终边过点0(3,4)P --,求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题,主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-则5r ==.于是 4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 5.巩固练习P15 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表;再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中:7.例题讲评例3 求证:当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时,角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=;cos(2)cos k απα+=(其中k Z ∈); tan(2)tan k απα+=。

(完整word版)《任意角的三角函数》教案完美版

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(完整word版)《任意角的三角函数》教案完美版《任意角的三角函数》教案邓赞武第 1 章(单元) 第 2 节第 2 课时一、教学内容:1.2.2任意角的三角函数(二)二、教学目标:知识目标:1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式;2。

利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值;3。

利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

能力目标:掌握用单位圆中的线段表示三角函数值,从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

德育目标:学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神;三、教学重点与难点:重点:正弦、余弦、正切线的概念.难点:正弦、余弦、正切线的利用。

四、教学程序:(目标导航、自主学习、合作探究、精讲点拨、演练反馈、总结提高、当堂检测)五、教学过程:4.精讲点拨时量:8分钟左右例1.已知42ππα<<,试比较,tan,sin,cosαααα的大小.以合作互动方式一起完成体会三角函数线的用处和实质5.演练反馈时量:8分钟左右练习19P第1,2,3,4题当堂练习,巩固知识检验对知识、方法的掌握程度6.总结提高时量:4分钟左右学习小结(1)了解有向线段的概念。

(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用.1.作业:比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒(2)'cos15018︒、cos121︒(3)5π、tan5π2.练习三角函数线的作图。

再次总结回忆本节课的重点内容概括、整合、拓展,体验收获,反思提高;课后预习与作业任务布置)六、提纲:风,没有衣裳;时间,没有居所;它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且,还有诗和远方的田野。

你赤手空拳来到人世间,为了心中的那片海不顾一切. 运动太多和太少,同样的损伤体力;饮食过多与过少,同样的损伤健康;唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康. 秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美,在于它必然的流逝。

任意角的三角函数(教案)

任意角的三角函数(教案)

任意角的三角函数(教案)【教案】一、教学目标:1. 了解任意角的三角函数的定义和性质;2. 学会在坐标平面上绘制任意角,并计算其三角函数值;3. 掌握任意角的三角函数之间的关系;4. 运用三角函数解决实际问题。

二、教学重难点:1. 了解任意角的定义和性质;2. 掌握任意角的三角函数之间的关系。

三、教学准备:1. 教学投影仪或黑板;2. 计算器;3. 坐标平面绘图工具。

四、教学过程:第一节:任意角的定义和性质1. 什么是任意角?任意角是指角的两条边可以连续变向而不相交,起始边叫做始边,变向边叫做终边。

2. 任意角的标记方法通过记号来表示角,通常使用大写英文字母表示角,如∠A。

3. 任意角的度数和弧度(1) 常用的度数制表示角,一圈为360°。

(2) 弧度制是以圆的半径等于弧长的弧所对应的角作为单位角,记作1 rad。

4. 任意角的三角函数(1) 定义任意角的三角函数分别是正弦函数sinθ、余弦函数cosθ和正切函数tanθ。

(2) 公式sinθ = y/r,cosθ = x/r,tanθ = y/x。

其中r是角所在半径长度,(x, y)是角终边上一点到坐标原点的坐标值。

第二节:任意角的三角函数的计算与性质1. 任意角的终边在不同象限的情况(1) 第一象限:角的终边位于x轴上方,sinθ > 0,cosθ > 0,tanθ > 0。

(2) 第二象限:角的终边位于x轴左上方,sinθ > 0,cosθ < 0,tanθ < 0。

(3) 第三象限:角的终边位于x轴下方,sinθ < 0,cosθ < 0,tanθ > 0。

(4) 第四象限:角的终边位于x轴右上方,sinθ < 0,cosθ > 0,tanθ < 0。

2. 任意角的三角函数的周期性(1) sinθ和cosθ的周期都是2π,即sin(θ+2π) = sinθ,cos(θ+2π) = cosθ。

任意角的三角函数,(第一课时)教案

任意角的三角函数,(第一课时)教案

第一章基本初等函数(Ⅱ)1.2 任意角的三角函数第一教案――――――――――――――――――――――――――――――――――――教材教案第1课时任意角的三角函数(一)【教学目标】1、知识目标(1)借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;(2)从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号;(3)根据定义理解公式一;2.能力目标能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。

3、情感目标让学生积极参与知识的形成过程,经历知识的“发现”过程,获得“发现”的经验,培养合情猜测能力。

【重点难点】1、重点任意角的三角函数的定义。

2、难点用角的终边上的点刻画三角函数。

案例(一)教学过程教学过程1、观察投影片,思考问题:“我们已经学过锐角三角函数,知道它们都是以锐角为自变量,以比值为函数的函数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?”教师——请同学们把给定锐角α放在直角坐标系中,研究其正弦、余弦、正切,并给出投影,图1.2-1。

学生——观察图1.2-1,在锐角的终边上任取一点P (a,b ),根据锐角三角函数的定义写出锐角三角函数的正弦、余弦、正切。

教师——提出探究性问题:锐角三角函数的这些坐标表示,形式上与点P 的坐标值有关,点P 的位置不同,表示式中的a,b 也就不同,但实际上,作为锐角三角函数的值与终边上点P 的位置选择有关吗?请同学交流、讨论。

学生——利用相似三角形知识,不难探究出αααtan ,cos ,sin 的值与点P 的位置选择无关的结论。

师生——由此,师生达成共识:为了表示角α的三角函数值,可在α的终边上取一个“比较好”的特殊点。

同学们认为哪个点比较好?(发表各自的观点,说明理由)最后得出,将α的终边与单位圆的交点作为这个特殊点来表示锐角三角函数的值比较好,形式简单!2、任意角的三角函数的定义。

教师——到目前为止,我们在角和函数方面做了两个方面的工作,一是推广了角的概念,一是给出了锐角三角函数的坐标表示,那么,将这两个工作成果结合起来,你能给任意角定义各三角函数吗?请交流讨论给出你们的关点。

任意角的三角函数优秀教学设计

任意角的三角函数优秀教学设计

任意角的三角函数优秀教学设计教学设计:任意角的三角函数教学目标:1.理解任意角的概念以及与标准位置角的关系。

2.掌握任意角的三角函数的定义以及性质。

3.能够在实际问题中应用任意角的三角函数进行计算。

教学内容:1.任意角的概念及标准位置角与任意角的关系。

2.任意角的正弦、余弦、正切的定义。

3.任意角的三角函数的基本性质。

4.任意角的三角函数的图像及性质。

5.应用任意角的三角函数进行实际问题的计算。

教学步骤:第一步:导入在导入环节,可以设计如下问题引起学生的兴趣和思考:1.让学生回顾标准位置角的概念,并思考如何表示其他角度的三角函数。

2.提问:对于一个角在标准位置上的终边为x轴上正半轴上的点A,如果将A点沿逆时针方向旋转给定的角度θ,终边将位于哪个象限?3.在探究的基础上,引入“任意角”的概念,以及与标准位置角的关系。

第二步:知识讲解在这一步,老师可以结合多媒体演示、图表和实际例子等多种方式进行讲解,具体内容如下:1.任意角的定义及与标准位置角的关系。

2. 任意角的三角函数的定义(sinθ = y/r,cosθ = x/r,tanθ = y/x)。

3.任意角的正弦、余弦、正切的基本性质(周期性、符号等)。

4.任意角的三角函数的图像及性质(变化的规律、特殊角等)。

第三步:巩固练习为了巩固学生对任意角三角函数的理解和运用,可以进行如下练习:1.让学生自行计算一些特殊角的三角函数值。

2.设计一些例题,让学生用任意角的三角函数计算角度或边长的未知量。

第四步:拓展应用为了让学生进一步理解任意角的三角函数,并能将其运用到实际问题中,可以设计如下拓展应用训练:1.设计一些实际问题,要求学生利用任意角的三角函数进行计算。

例如在斜面运动中计算摩擦力、重力和斜面角度等。

2.让学生思考如何用任意角的三角函数解决导航中的问题,例如计算船在海上的位置和船速等。

第五步:归纳总结在本节课的最后,要求学生总结任意角的三角函数的定义、性质以及应用。

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任意角的三角函数
一、教学内容分析
三角函数是重要的基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型。

任意角的三角函数是学习诱导公式、三角函数的图象与性质的前提。

它不仅是本节的核心概念,也是三角函数内容的核心概念。

由于角的概念的推广,锐角三角函数的概念也必然要扩充,任意角的三角函数的概念的出现是角的概念推广的必然结果。

二、教学目标分析
(一)知识与技能
1.能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数、任意角的三角函数。

2.了解三角函数是以角为自量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。

3.知道三角函数是研究一个实数集到另一个实数集的对应关系。

(二)过程与方法
1.经历从锐角三角函数定义过渡到任意角的三角函数定义的学习过程,体验三角函数概念的产生、发展过程。

2.在定义任意角的三角函数过程中,领悟直角坐标系的工具功能,体会数形结合的魅力。

(三)情感态度与价值观
1.引导学生积极探索、深入思考,在任意角三角函数定义建构的过程中,激发学生求知欲,鼓励学生大胆尝试,培养学生敢于探索、勇于创新的学习品质。

2.在任意角的三角函数概念同化和精致的过程中发展学生研究问题的能力。

三、学情分析
在概念教学过程中要注意学生已有知识经验的作用,发挥其正迁移,防止其负迁移。

本课时研究的是任意角的三角函数,学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数,其研究范围是锐角;其研究方法是几何的,没有坐标系的参与;其研究目的是为解直角三角形服务。

以上三点都是与本课时不同的,因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验,发挥其正迁移。

具体而言要做到:明确研究范围的变化,开阔学生的视野,并揭示由此带来的新问题,激发学生的学习兴趣;借助单位圆在坐标系中进行研究,要先将锐角的三角函
数问题置于坐标系中,帮助学生利用坐标系借助单位圆重新认识锐角三角函数,这样做激活了学生的已有知识经验,并且用新的视角认识已有知识经验,复习了旧知识,同时为新的研究内容做好铺垫;第三,由于研究范围的改变,更加突出了任意角的三角函数是为研究客观世界中大量存在的周期性现象服务的。

这些都是在本课时的学习之后应该取得的认知方面的进步。

认识一个函数,关键是认识函数的三要素。

在学生学习过的函数中,一次、二次、反比例或者用图、表表示的对应法则的函数,其三要素是比较容易找到的,指、对函数的学习就需要一定的基础,同样在任意角的三角函数学习过程中也可能在自变量和对应法则上出现问题,应该注意明确任意角的三角函数的三要素,比如正弦函数y=sinα中自变量是角α,并且α∈R,对应法则是一个角与其正弦值对应,至于这个值怎么计算,在此处是规定为角α终边与单位圆交点的纵坐标,通过例2可以看出,也可以利用比值定义。

对于一次函数、二次函数也需要将自变量的值进行计算得到函数值,这一点本质上是统一的,要引导学生类比理解。

此外,由于学生对角度制的应用已经很熟练,而对弧度制的应用比较陌生,所以在理解函数的定义域是实数集时可能会出现问题,这需要教师的引导,同时也需要时间适应。

四、教学策略
1.学生理解锐角三角函数与三角形的大小无关可能会有一定难度,原因是在初中,锐角所在的三角形是给定的。

通过几何画板的动态性来克服这个困难。

2.学生理解“三角函数可以看成是自变量为实数的函数”会有一定困难,原因是初中学习的锐角三角函数是用来解三角形的工具,并没有作为函数研究。

在教学过程中,通过几何画板演示,分析角的终边唯一,终边与单位圆的交点唯一,交点的坐标唯一,让学生理解正弦、余弦、正切是函数。

3.在研究例1的变式2时,学生在求角的终边与单位圆的交点时,可能会有困难,原因是给定的角终边上的点并不在单位圆上,为了解决这个困难,设计了变式1,从而分散这个难点。

五、教学过程设计
(一)教学流程设计
回顾旧知→初步感知→类比分析→生成新知→解决问题→形成技能→目标检测→能力培养→梳理知识→提升思想→课后巩固→知识内化→分析联系→洞悉本质
(二)教学环节设计
1.回顾旧知,初步感知
O
教师:你是依据给出的锐角得出的结果吗?
学生4:不是,我自己做的角,这样做方便。

O
教师:如果求这个给定的锐角的正弦、余弦、正切,那么应当怎么办?
O
学生4:在锐角的一条边上任取一点A,过点A做另一条边的垂线,垂足为M,
O
只需要测量AO、AM、MO的长度,即可求出锐角的正弦、余弦、正切。

意图:让学生亲自动手操作,让学生感受到,如果所作的三角形,有一条边的长度是特殊值,这样会让计算更方便,为问题3作好铺垫。

问题3 能否把某条线段画成单位长,有些三角函数值不用计算就可以得到?
学生5:让三角形OAM的斜边长为单位长。

教师:根据是什么?
学生5:斜边出现的概率大,三个比值中,斜边在分母中出现两次,少数服从多数。

教师:回答的非常精彩、形象。

(热烈掌声)
O
意图:让学生意识到,既然锐角的三角函数值与所在的三角形大小无关,则可以选择特殊的三角形来求三角函数值,为后续任意角三角函数的“单位圆定义法”做铺垫。

2.类比分析生成新知
问题4 如何定义任意角的三角函数?可否用定义锐角三角函数的方法来定义任意角的三角函数?
教师:这节课,我们一起来研究任意角的三角函数。

板书本节课的题目:任意角的三角函数。

学生6:不行,因为不能把钝角放入直角三角形,更不要说负角、零角了。

教师:也就是说,研究锐角三角函数的平台不能研究非锐角三角函数,那么应当选择哪个平台呢?想一下,将锐角的概念推广到任意角时,我们是把角放在哪个平台进行研究的?
学生6:直角坐标系。

教师:把角放入坐标系中研究,有什么优势。

x
学生6:由于角顶点与原点重合,始边与轴重合,所以研究角即研究角的终边。

意图:直角坐标系是展示函数规律的载体,是构架“数形结合”的天然桥梁,借助坐标系,可以使角
4.目标检测能力培养
P15 1至7
设计意图:应用本节课的知识解答简单的问题,学以致用。

5.梳理知识提升思想
教师:本节课你学习了哪些知识?
学生24:任意角三角函数的定义,三角函数的定义域,三角函数值在各个象限的符号,公式一。

教师:你能说说每个知识点的用途吗?
学生24:任意角的三角函数的定义可以用来求给定的某个角的三角函数值,公式一可以把任意角的三角函2
数值,转化为0到角的三角函数值,当给我们一个角的三角函数值时,我们可以判断这个角所在的象限。

教师:说得非常准确,谁能说说本节课中渗透的数学思想?
学生25:在分析任意角的三角函数定义时,渗透了特殊到一般的思想、数形结合的思想,公式一渗透了转化与化归的思想,在分析例2时渗透了函数与方程的思想。

教师:锐角三角函数与解直角三角形直接相关,通过今天的学习,我们知道任意角的三角函数的三角函数虽然是锐角三角函数的推广,但它与解三角形已经没有什么关系了。

设计意图:总结本节课的主要内容,让学生了解知识的来龙去脉,明确知识产生的必要性,知识应用在何处,如何应用,知道研究问题的过程中渗透的数学思想。

6.课后巩固知识内化
P20 A组 4、5、7
设计意图:通过作业,让学生加深对任意角的三角函数的概念的理解,评价学生对本节课的内容学习情况。

7.分析联系洞悉本质
P13 三角函数的另外一种定义,试分析两种定义的联系。

设计意图:如果学生在生成任意角的三角函数概念过程中,分析了传统定义,则本部分略,否则,通过这个思考题,让学生感受传统定义与单位圆定义的一致性,体会单位圆定义的优势。

教学设计说明:本节课新课中渗透的理念是:“强调过程教学,启发思维,调动学生学习数学的积极性”。

在本节课的学习过程中,首先让学生了解学习任意角三角函数的必要性。

在本节课中,没有直接把任意角的三角函数概念介绍给学生,而是把初中学习的“锐角三角函数”作为先行组织者,在教学的过程中不断提出问题,采取问题驱动,引导学生积极思考,让学生全面参与任意角三角函数概念的探索过程,整个教学过程遵重学生的思维方式,引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问题。

通过自主探究,交流合作。

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