高二下学期期中考试数学试题

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重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

1 2
B．1
e
C．
D． e
2．
æ çè
x
+
2 x
ö5 ÷ø
的二项展开式中
x
的系数为（
）
A． -40
B．40
C． -80
D．80
3．已知公比为正数的等比数列{an} 前 n 项和为 Sn ，且 S2 = 1 ， S4 = 5 ，则 a1 = （）
A． -1 或 1 3
B． -1
C． 1 3
D．
-
1 3
所以当
-
3 2
<
x
<
-1或1 <
x
<Байду номын сангаас
3 2
时
f
¢( x)
<
0
，
当 -1 < x < 1时 f ¢(x) > 0 ，
所以
f
(
x)
在
æ çè
-
3 2
,
-1ö÷ø
， æçè1,
3 2
ö ÷ø
上单调递减，在
( -1,1)
上单调递增，
所以
f
(
x)
在
x=-
1
处取得极小值，又
f
( -1)
=
-1 ，
f
æ çè
3 2
ì
( ) ï
a1
1- q2
( ) 所以
ï í ï
a1
1- q 1- q4
ï î
1- q
=1
ìïía1
=
1 3
，解得 ïî q = 2 ，
=5
所以

2023-2024学年浙江省宁波市高二下学期期中数学试题(含答案)

2023-2024学年浙江省宁波市高二下册期中数学试题一、单选题1．已知集合{}2N 340A x x x =∈--<，{}N 12B x x =∈-<≤，则A B = （）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3C ．∅D ．()1,2-【正确答案】A【分析】计算{}0,1,2,3A =，{}0,1,2B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}{}2N 340N 140,1,2,3A x x x x x =∈--<=∈-<<=，{}{}N 120,1,2B x x =∈-<≤=，故{}0,1,2A B = .故选：A2．设,R x y ∈，则“x y <”是()2“0x y x -⋅<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】x ，R y ∈，若0,0x y =>满足x y <，则()20x y x -⋅=，即()20x y x -⋅<不成立；若()20x y x -⋅<，即有0x ≠，必有20x >，从而得0x y -<，即x y <成立，所以x y <是()20x y x -⋅<成立的必要不充分条件.故选：B3．已知随机变量()2~20,2X N ，则(16)P X <=（）(附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，()220.9545P μσξμσ-≤≤+≈)A ．0.02275B ．0.1588C ．0.15865D ．0.34135【正确答案】A【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.【详解】由题意可得：20,2μσ==，则()16240.9545P ξ≤≤≈，所以()1(16)1160.02274522P X P ξ≤≤≈<=-⎡⎤⎣⎦.故选：A.4．如表为某商家1月份至6月份的盈利y （万元）与时间x （月份）的关系，其中123 6.5t t t ++=，其对应的回归方程为 0.7y x a=+，则下列说法正确的是（）x123456y0.31t 2.22t 3t 4.5A ．y 与x 负相关B ． 0.2a=C ．回归直线可能不经过点()3.5,2.25D ．2023年10月份的盈利y 大约为6.8万元【正确答案】D【分析】0.70>，y 与x 正相关，A 错误，计算中心点带入计算得到B 错误，回归直线一定经过中心点，C 错误，带入数据计算得到D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：回归方程为 0.7y x a=+，0.70>，y 与x 正相关，错误；对选项B ：1234563.56x +++++==，1235 0.3 2.2 2.64.25y t t t +==++++，故 2.250.7 3.5a=⨯+，解得0.2a =-，错误；对选项C ：回归直线一定经过点()3.5,2.25，错误；对选项D ： 0.70.2y x =-，当10x =时， 6.8y =，正确.故选：D5．函数21()|1|21f x x x x =---+的部分图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】分析函数的定义域排除A ，利用()()11f x f x +=-判断函数对称性排除D ，再代入特殊点，计算(0)0f =，排除B.【详解】由函数解析式可得，函数()21()|1|1f x x x =---，定义域为()(),11,x ∈-∞+∞ ，所以排除A ；因为()2211(1)|11|11f x x x x x -=---=---，()()2211(1)|11|111f x x x f x x x +=+---=-+-所以函数图像关于直线1x =对称，故排除AD ；又因为()21(0)|01|001f =--=-，所以排除B.故选：C6．我们把各个数位上的数字之和为8的三位数称为“幸运数”，例如“170，332，800”都是“幸运数”.问“幸运数”的个数共有（）A ．35个B ．36个C ．37个D ．38个【正确答案】B【分析】按照首位数字为18 进行分类，相加得到答案.【详解】当首位数字为1时，后两位相加为7，共有8种；当首位数字为2时，后两位相加为6，共有7种；当首位数字为3时，后两位相加为5，共有6种；当首位数字为4时，后两位相加为4，共有5种；当首位数字为5时，后两位相加为3，共有4种；当首位数字为6时，后两位相加为2，共有3种；当首位数字为7时，后两位相加为1，共有2种；当首位数字为8时，后两位相加为0，共有1种；故共有1234567836+++++++=个数.故选：B7．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<【正确答案】D【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解.【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<.则随机变量ξ的分布列为:ξ1P1p-p所以()()(),1E p D p p ξξ==-随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E pηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):ηp1p-P1p-p则()()()()1121E p p p p p pη=-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p pη=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误.()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确故选:D本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.8．设()f x 是定义在D 上的函数，如果12,x x D ∀∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ³，则称()f x 为D 上的“非严格递减函数”，已知集合12345{,,,,}A a a a a a =，其中12345a a a a a <<<<，集合*110{N |C 45}n B n +=∈≥，则满足定义域是A ，值域是B 的子集的非严格递减函数有（）个A ．56B ．126C ．252D ．462【正确答案】D【分析】计算17n ≤≤得到1,2,3,4,57{},6,B =，转化为1234511()4()3()2()1()1f a f a f a f a f a ≥+>+>+>+>>，计算得到答案.【详解】281010C C 45==，110C 45n +≥，故218n ≤+≤，17n ≤≤，故集合1,2,3,4,57{},6,B =，由12345a a a a a <<<<，则123457()()()()()1f a f a f a f a f a ≥≥≥≥≥≥，即有1234511()4()3()2()1()1f a f a f a f a f a ≥+>+>+>+>≥，则共有511C 462=个函数，故选：D.二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．命题“存在0x >，使得不等式210x x ++<成立”的否定是“任意0x ≤，都有不等式210x x ++≥成立”.B ．若事件A 与B 相互独立，且()01P A <<，()01P B <<，则()()P A B P A =.C ．已知24a b <+<，02a b <-<，则3311a b <+<.D ．在回归分析中，对一组给定的样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好.【正确答案】BD【分析】对于A ：根据特称命题的否定分析判断；对于B ：根据独立事件的概率乘法公式结合条件概率公式分析运算；对于C ：以,a b a b +-为整体表示3a b +，结合不等式的性质分析运算；对于D ：根据残差的定义分析判断.【详解】对于A ：“存在0x >，使得不等式210x x ++<成立”的否定是“任意0x >，都有不等式210x x ++≥成立”，故A 错误；对于B ：由条件概率可知：()()()P AB P A B P B =，∵事件A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =⋅，∴()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ⋅===，故B 正确；对于C ：∵()()32a b a b a b +=++-，由24a b <+<，02a b <-<，可得()428a b <+<，∴4310a b <+<，故C 错误；对于D ：根据残差的定义可知：残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故D 正确；故选：BD.10．已知关于x 的函数：2()21f x ax ax =-+，其中a ∈R ，则下列说法中正确的是（）A ．当1a =时，不等式()4f x >的解集是(1,3)-.B ．若不等式()0f x ≤的解集为空集，则实数a 的取值范围为(0,1).C ．若方程()0f x =的两个不相等的实数根都在()0,2内，则实数a 的取值范围为()1,+∞.D ．若方程()0f x =有一正一负两个实根，则实数a 的取值范围为(),0∞-.【正确答案】CD【分析】对于A ：解一元二次不等式即可；对于B ：分析可得原题意等价于2210ax ax -+>恒成立，结合恒成立问题运算求解；对于C 、D ：整理可得212x x a-=-，根据题意结合图象分析运算.【详解】对于A ：当1a =时，不等式2()214f x x x =-+>，即2230x x -->，解得3x >或1x <-，即不等式()4f x >的解集是()(),13,-∞-⋃+∞，故A 错误；对于B ：若不等式()0f x ≤的解集为空集，等价于2210ax ax -+>恒成立，当0a =时，则10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2Δ440a a a >⎧⎨=-<⎩，解得01a <<；综上所述：实数a 的取值范围为[)0,1，故B 错误；若方程2()210f x ax ax =-+=有根，则有：当0a =时，则10=不成立，不符合题意；当0a ≠时，则212x x a -=-，即22y x x =-与1=-y a有交点，结合图象，对于C ：若方程()0f x =的两个不相等的实数都在()0,2内，则22y x x =-与1=-y a有交点横坐标均在()0,2内，可得110a-<-<，解得1a >，所以实数a 的取值范围为(1,)+∞，故C 正确；对于D ：若方程()0f x =有一正一负两个实根，则22y x x =-与1=-y a有交点横坐标一个为正数一个为负数，可得10a->，解得a<0，所以实数a 的取值范围为(),0∞-，故D 正确；故选：CD.11．已知正数x 、y ，满足2x y +=，则下列说法正确的是（）A ．xy 的最大值为1.B 的最大值为2.C ．21x y+的最小值为3.D ．2211x y x y +++的最小值为1.【正确答案】ABD【分析】对于AB ，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD ，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断.【详解】对于A ，因为0,0,2x y x y >>+=，所以2x y =+≥1xy ≤，当且仅当x y =且2x y +=，即1x y ==时，等号成立，所以xy 的最大值为1，故A 正确；对于B ，因为()2222222()2()0a b a b a b ab a b +-+=+-=-≥，所以()222()2a b a b +≤+，当且仅当a b =时，等号成立，所以()222224x y ⎡⎤≤+=+=⎣⎦2≤，=且2x y +=，即1x y ==时，等号成立，2，故B 正确；对于C ，211213()313222212y x x y x y y y x x ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当2y xx y=且2x y +=，即42x y =-=-时等号成立，所以21x y +的最小值为32，故C 错误；对于D ，令1s x =+，1t y =+，则1x s =-，1y t =-，24s t x y +=++=，0,0s t >>，所以()()22221111112211s t x y s t x y s t s t s --+=+=-++-+=+++()11111221444ts s t s t s t ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当s t =且4s t +=，即2s t ==，即1x y ==时，等号成立，所以2211x y x y +++的最小值为1，故D 正确.故选：ABD.12．已知()f x 为非常值函数，若对任意实数x ，y 均有()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，且当0x >时，()0f x >，则下列说法正确的有（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 是()0,∞+上的增函数C ．()1f x <D ．()f x 是周期函数【正确答案】ABC【分析】令0x y ==，代入()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，即可得到()0f 再由()00f =，分别应用函数的奇偶性，单调性，值域和周期性判断A,B,C,D 选项即可【详解】对于A:由题意()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+⋅，令0x y ==，()()()202100f f f =+,解得：()00f =或()01f =±当()01f =时，令0y =，则()()()()()()()1==11100f x f f x f x f x f f x ++=+⋅+恒成立，又已知()f x 为非常值函数故舍去，当()01f =-时，令0y =，则()()()()()()()1==11100f x f f x f x f x f f x +-=-+⋅-恒成立，又已知()f x 为非常值函数故舍去，∴()00f =，令y x =-，则()()()()()=010f x f f f x f x x -+⋅-+=，所以()()=0f x f x +-，即()()=f x f x --，所以()f x 为奇函数，故A 正确；对于C ：令2x x y ==，()2222112222x x f f f f x x x x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为212,22x x f f ⎛⎫⎛⎫+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若12x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则()222112x f f x x f ⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭,又()f x 为非常值函数故舍去，所以12x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，所以212,22x x f f ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()222112x f f x x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=<⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故C 正确:对于B:设任意的12,R x x ∈且120x x <<令21,x x y x ==-所以()()()()()2121211f x f x f x x x x f f +-+⋅--=，又因为()f x 为奇函数，所以()()()()()1122121f x f x f x x f x x f --=-⋅，()()121,1,f x f x <<()()()()11221,10x f x f f x f x ⋅<-⋅>又因为当0x >时，()0f x >，所以()()210,0f x f x >>，210x x ->，()()()()()21212101f x f x f x x f x f x --=>-⋅,即()()21f x f x >，所以()f x 是()0,∞+上的增函数,故B 正确;对于D:因为()f x 是()0,∞+上的增函数,又因为()f x 为奇函数且()00f =,所以()f x 是(),-∞+∞上的增函数,故()f x 不是周期函数,故D 错误.故选:ABC.三、填空题13．已知条件:11p k x k -<<+，3:21x q x -≥+，p 是q 的充分条件，则实数k 的取值范围是_______.【正确答案】[]4,2--【分析】先根据分式不等式求出q ，设条件p 对应的集合为A ，条件q 对应的集合为B ，由p 是q 的充分条件，可得A B ⊆，进而可得出答案.【详解】由321x x -≥+，得501x x +≤+，解得51x -≤<-，设{}{}11,51A x k x k B x x =-<<+=-≤<-，因为p 是q 的充分条件，所以A B ⊆，所以1511k k -≥-⎧⎨+≤-⎩，解得42k -≤≤-，所以实数k 的取值范围是[]4,2--.故答案为.[]4,2--14．已知：8290129(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++- ，则4a =______.【正确答案】14【分析】变换()()()8881211(11)x x x x x =----+--，再利用二项式定理得到()()3434488C 1C 1a =-+-，计算得到答案.【详解】()()()()()888811111111)1(2x x x x x x x =-+--=---+---，()811x --展开式的通项为()()818C 11rrrr T x -+=--，()()3434488C 1C 1567014a =-+-=-+=.故1415．若函数2(2)3,14(),142,4a x a x f x x x x ax x -+≤⎧⎪⎪<≤⎨⎪-+>⎪⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为_______．【正确答案】17(2,]8【详解】因为()22,4f x x ax x =-+>，是开口向下的二次函数，故只能是在4x >上单减，故要求整个函数在R 上都是减的，每一段都是减的，则要求20,17234281816a a a a a -<⎧⎪-+≥⇒<≤⎨⎪≥-⎩，故答案为172,8⎛⎤⎥⎝⎦．点睛：这个题目考查了，已知分段函数的单调性求参的问题，一般这类题目要满足两个条件，一是分段函数每一段都是单调的，且要求在定义域上函数是上台阶或下台阶的，即每段的连接点处必须是连接起来的或者都是向下或向上的趋势，不能错位．16．将1，2，3，……，9，10这10个整数分别填入图中10个空格中，样本空间Ω为满足“每一行的最大数比上一行的最大数要大”的所有样本点构成的集合，事件A 为“第四行有一个数字是1”，事件B 为“第三行有一个数字是2”，则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为_______.【正确答案】310/0.3【分析】利用排列组合的性质和条件概率公式即可求解.【详解】假设每一行数字由小到大排列（最后再乘每一行的排列数），那么当每一行最后一个数字给定，只需挑出每一行的前几个数字即可，且10在第四行第4个数.当1在第四行时，第四行前3个数字选法28C ，第三行前2个数字选法25C ，第二行第1个数字选法12C .当1在第四行，2在第三行时，第四行前3个数字选法27C ，第三行前2个数字选法14C ，第二行第1个数字选法12C .所以2114321742432122143218524321C C C A A A A ()3(|)()C C C A A A A 10P AB P B A P A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故答案为.310四、解答题17．在21nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（n 为正整数）二项展开式中，若012C C C C 64nn n n n ++++= ，求：(1)展开式中所有项的系数之和；(2)展开式中含21x 的项的系数.【正确答案】(1)729(2)240【分析】（1）根据题意结合二项式系数的性质求得=6n ，再令1x =，求所有项的系数之和；（2）利用二项展开式的通项公式运算求解.【详解】（1）由题意可得0122=C C C C 64n n n n n n ++++= ，可得=6n ，故二项式为621x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令1x =，可得661237291⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以展开式中所有项的系数之和为729.（2）设621x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的通项为(6521662661C 2C rr rrr r rT x x -+--⎛⎫⋅==⋅ ⎪⎝⎭，令6522r -=-时，则2r =，此时2236422C 240T x x --⋅=⋅=，故展开式中含21x 的项的系数为240.18．为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场，得到天数与直播间人数的数据如下表所示：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代码x 1234567直播间人数y （万人）4122123252728(1)求直播间人数y 和与日期代码x 的样本相关系数（精确到0.01）；(2)若使用ln y c d x =+作为y 关于x 的回归方程模型，计算该回归方程（结果保留1位小数），并预测至少要到哪一天直播间人数可以超过30万人.参考公式和数据：相关系数ni ix y nx yr -⋅=∑，其中711ln ,7i i i i u x u u ===∑，回归直线方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y n x yb a y b xxn x ==-⋅⋅==-⋅-⋅∑∑【正确答案】(1)0.93(2)ˆ5.212.3ln y x =+，第8天【分析】（1）根据题意可求得4,20x y ==，结合题中数据和公式运算求解；（2）根据题意令ln u x =，可得y c du =+，结合题中数据和公式求,cd ，进而根据回归方程运算求解.【详解】（1）由题意可得：777117722111114,2140,30,268666,77i i i i i i i i i i i x y x y x x y y ============∑∑∑∑∑，则ni i x ynx yr -⋅=∑530.932.65210.8≈≈⨯⨯，故直播间人数y 和与日期代码x 的样本相关系数为0.93.（2）∵ln y c d x =+，由题意令ln u x =，则y c du =+，可得77211213.20, 1.2,206.4,i i i i i u y u y u ===≈≈≈∑∑，则717221206.47201.2ˆ12.313.27 1.21.2i i ii i u yn u y dunu==-⋅⋅-⨯⨯=≈≈-⨯⨯-∑∑，ˆˆ2012.31.2 5.2cy d u =-⋅≈-⨯≈，所以ˆ 5.212.3yu =+，故y 关于x 的回归方程为 5.212.3ln y x =+⨯$，令 5.212.3ln 30y x =+>$，整理得ln 2.0x >，则2e 7.39x >≈，且*x ∈N ，所以8x ≥，故至少要到第8天才能超过30万人.19．对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个部分.要击落飞机，必须在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中两次，或在Ⅲ部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中Ⅰ部分的概率是16，命中Ⅱ部分的概率是13，命中Ⅲ部分的概率是12，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立.(1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率；(2)求击落飞机的命中次数X 的分布列、数学期望和方差.【正确答案】(1)14(2)分布列见解析，()83E X =，19()18D X =【分析】（1）恰好在第二次射击后击落飞机存在两种情况，一种是连续命中Ⅱ部分两次，另一种情况是第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，根据这两种情况即可求出概率；（2）根据题意可知，击落飞机的次数可为1，2，3，4四种取值情况，根据四种取值情况求出对应概率即可求出分布列、数学期望和方差.【详解】（1）设恰好在第二次射击后击落飞机为事件A ，满足事件A 的情况有连续命中Ⅱ部分两次，或者第一次击中Ⅱ部分或Ⅲ部分，第二次命中Ⅰ部分，则25111()()6634P A =⨯+=.（2）依题意，X 的可能取值为1，2，3，4，1(1)6P X ==，1(2)4P X ==，12211111111(3)C ()()()32632623P X ==⨯⨯⨯++⨯+=，123111(4)C ()1324P X ==⨯⨯⨯=，所以X 的分布列为：X1234P16141314X 的数学期望()11118123464343E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.2X 14916P16141314()21111491491664346E X =⨯+⨯+⨯+⨯=X 的方差()22496419()(())6918D XE XE X =-=-=20．已知()224ax bx cf x x ++=+是定义在[]22-,上的函数，若满足()()0f x f x +-=且()115f =.(1)求()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在[]22-,上的单调性（不用证明），并求使()()22110f t f t ++-<成立的实数t的取值范围；(3)设函数2()24(R)g x x mx m =-+∈，若对任意12,[1,2]x x ∈，都有21()()g x f x <恒成立，求m 的取值范围.【正确答案】(1)()24x f x x =+(2)单调递增，302t -≤<(3)125m >【分析】（1）确定函数为奇函数，()00f =，()115f =，()115f -=-，代入数据计算得到答案.（2）确定函数单调递增，根据函数的奇偶性得到222212212211t t t t -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+<-⎩，解得答案.（3）只要2max 1min ()()g x f x <，最小值为1(1)5f =，题目转化为max 1925m x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，根据单调性计算最值得到答案.【详解】（1）[]2,2x ∈-，且()()0f x f x +-=，所以()f x 为奇函数，将0x =代入()()0f x f x +-=可得()00f =，即04c=，所以0c =，即()224ax bxf x x +=+，因为()115f =，所以()115f -=-，代入可得155155a b a b +⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，故()24xf x x =+；()24x f x x =+，()()24xf x f x x -==-+，函数为奇函数，满足，故()24x f x x =+.（2）设1222x x -≤<≤，则()()()()()()211221212222212144444x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，1222x x -≤<≤ ，211200,4x x x x ∴-->>，()()210f x f x ∴->，即()()21f x f x >，故函数()24x f x x =+在[]22-,上单调递增，因为()24xf x x =+为奇函数，所以()()22110f t f t ++-<，即()()()222111f t f t f t +<--=-，根据单调性及定义域可得：222212212211t t t t -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+<-⎩，解得312220t t t ⎧-≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪-<<⎪⎪⎩302t -≤<.（3）只要2max 1min ()()g x f x <，函数()f x 在[]1,2上单调递增，最小值为1min 1()(1)5f x f ==.法一：21()245g x x mx =-+<在[]1,2上恒成立，只要max 1925m x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，195y x x =+在1,5⎡⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,25⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，当1x =时，192455x x +=，当2x =时，1939245105x x +=<，故当1x =时，max 192455x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以125m >.法二：222()24()4g x x mx x m m =-+=-+-，[]1,2x ∈，当32m ≤时，max 1()(2)5g x g =<，14445m -+<，解得3920m >，舍去；当32m >时，max 1()(1)5g x g =<，11245m -+<，解得125m >，因此125m >，综上所述.125m >21．数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200(1)根据0.010α=的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？(2)根据22⨯列联表的信息，A 表示“选到的学生语文成绩不优秀”，B 表示“选到的学生数学成绩不优秀”，求()|P B A 的值；(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数X 的概率分布列及数学期望.附.()()()()22()n ad bc a b c d a c b dχ-=++++α0.0500.0100.001x α3.8416.63510.828【正确答案】(1)能(2)311(3)分布列见解析，158【分析】（1）计算216.498 6.635χ≈>，得到答案.（2）()(|)()P AB P B A P A =，计算得到答案.（3）根据分层抽样比例关系得到人数，确定随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】（1）零假设0H ：数学成绩与语文成绩无关，则22200(50803040)16.498 6.6359011012080χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，根据小概率值0.010α=的2χ的独立性检验，我们推断0H 不成立，故认为数学成绩与语文成绩有关；（2）()(|)()30311110P AB P B A P A ===，（3）按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.()3338C 10C 56P X ===，()125338C C 151C 56P X ===，()215338C C 30152C 5628P X ====，()3538C 1053C 5628P X ====，故X 的概率分布列为：X0123P15615561528528数学期望()11515510515012356562828568E X =⨯+⨯+⨯+⨯==.22．设0a >，0b >，函数2()f x ax bx a b =--+.(1)求不等式()(1)f x f <的解集；(2)若()f x 在[]0,1上的最大值为b a -，求ba的取值范围；(3)当[0,]x m ∈时，对任意的正实数a ，b ，不等式()(1)|2|f x x b a ≤+-恒成立，求m 的最大值.【正确答案】(1)答案见解析(2)[)1,+∞(3)1【分析】（1）变换得到(1)()0x ax a b -+-<，考虑1b a a ->，1b a a -<，1b aa-=三种情况，解不等式得到答案.（2）确定函数对称轴为2b x a=，考虑1022b a <<和122b a ≥两种情况，计算最值得到范围.（3）注意分类讨论的思想，分当2b a ≥时和当2b a <时两种情况进行讨论，当2b a ≥时2310b b x x a a ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭注意用换元法把b a 换成t ，得到()2310x t x x +--≥又由题意对任意的12t ≥不等式恒成立，而310x +>，只要12t =时不等式成立即可从而解出m 的取值范围，同理可求另一种情况【详解】（1）()(1)f x f <即()0f x <，即(1)()0x ax a b -+-<，()()10x ax a b -+-=的两根为1和b aa-当1b a a ->，即20b a >>时，解集为1,b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当1b a a -<，即02b a <<时，解集为,1b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当1b aa-=，即20b a =>时，解集为∅.综上所述：当20b a >>时，解集为1,b a a -⎛⎫⎪⎝⎭；当02b a <<时，解集为,1b a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；当20b a =>时，解集为∅.（2）因为0a >，0b >，所以0ba >，2()f x ax bx ab =--+的对称轴为2b x a=，当1022b a <<时，即b a <时，()()max 10f x f b a ==>-，不合题意；当122b a ≥时，即b a ≥时，()()max 0f x f =，而(0)0(1)f b a f =-≥=，符合题意.故ba取值范围为[)1,+∞.（3）①当2b a ≥时，不等式即为：()222ax bx a b b a x b a --+≤-+-，整理得：()230ax b a x b ---≤即：2310b b x x a a ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭，令bt a=，则12t ≥，所以不等式即()2310x t x t ---≤，即：()2310x t x x +--≥，由题意：对任意的12t ≥不等式恒成立，而310x +>，∴只要12t =时不等式成立即可，211022x x ∴--≤，112x ∴-≤≤而[]0x m ∈，，01m ∴<≤；②当2b a <时，同理不等式可整理为：23120b b x x a a ⎛⎫---+≤ ⎪⎝⎭，令b t a =，则102t <<，所以不等式即()21230x t x t ---+≤，即：()2320x t x x ++--≤，由题意：对任意的102t <<不等式恒成立，而30x +>，∴只要12t =时不等式成立即可，211022x x ∴--≤，112x ∴-≤≤而[]0x m ∈，，01m ∴<≤；综上，m 的最大值为1关键点睛：本题考查了解不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力。

天津市河西区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含解析)

天津市河西区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知全集，集合，，则( )A. B. C. D.2．对变量x ,y 有观测数据，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据,得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B.变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关3．设，则“且”是“”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件4．的展开式中，系数最大的项是( )项B.第n 项C.第项D.第n 项与第项5．已知随机变量X 服从正态分布，且，则( )A.0.6B.0.3C.0.2D.0.16．设X 为随机变量，，若随机变量X 的数学期望，则等于( ){}1,2,3,4U ={}1,2A ={},32B =()U A B ð{}1,3,4{}3,4{}3{}4(),i i x y ()1,2,,10= i (),i i u v ()1,2,,10i = ,x y ∈R 2x ≥2y ≥224x y +≥()2*1()n x n +∈N 1+1n +1n +()22,N σ()40.8P X <=()02P X <<=1,3X B n ⎛⎫⎪⎝⎭()2E X =()2P X =7．某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A 表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则( )8．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A.-40 B.-20 C.20 D.409．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243 B.252 C.261 D.279二、填空题10．的展开式中的系数为________.11．命题,的否定是________.12．已知，则________.13．含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则________.14．三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有种________.15．某公司有甲、乙两家餐厅，小李第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第，则小李第二天去乙家餐厅的概率为________.三、解答题16．（1）证明：组合数性质；（2）计算：（用数字作答）.17．已知集合，若()|P A B =512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭822x y :p x ∀∈R 210x +>7270127(12)x a a x a x a x -=++++ 1357a a a a +++=,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}20,,a a b +20242024a b +=()1*1C C C ,m m n n n m n π-+=+∈N 2222234100C C C C ++++ {}23100A x x x =--≤（1），，求实数m 的范围；（2），，求实数m 的范围；（3），，求实数m 的范围.18．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(x 吨)与相应的生产能耗y (吨)标准煤的几组对照数据：（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？(参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式(参考数值：)19．某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有9人认为作业多，3人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有4人认为作业多，6人认为作业不多.（1）根据以上数据填写列联表；关系？参考公式：B A ⊆{}121B x m x m =+≤≤-A B ⊆{}621B x m x m =-≤≤-B A ={}621B x m x m =-≤≤-ˆybx a =+ˆb=ˆy =-3 2.543546 4.566.53242526286⨯+⨯+⨯+⨯=+++=22⨯2K =参考数据：，，，.20．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X 的分布列；(Ⅱ)求X 的数学期望E(X).2( 2.072)0.15P K ≥=2( 2.706)0.10P K ≥=2( 3.841)0.05P K ≥=()2 5.0240.025P K ≥=参考答案1．答案：D解析：易知，则，故选：D.2．答案：C解析：变量x 与中y 随x 增大而减小，为负相关；u 与v 中，u 随v 的增大而增大，为正相关.3．答案：A解析：试题分析：若且，则，，所以，即；若，则如满足条件，但不满足且.所以“且”是“”的充分而不必要条件.故选A.4．答案：C解析：在的展开式中，第项的系数与第项的二项式系数相同，再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有项，可得第项的系数最大，故选C.5．答案：B解析：由题意，随机变量X 服从正态分布，则正态分布曲线关于对称，又由，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以，故选B.6．答案：A解析：因为，得，即.所以故选A 7．答案：A解析：由题意可知{}1,2,3A B = {}()4U A B = ð2x ≥2y ≥24x ≥24y ≥228x y +≥224x y +≥224x y +≥()2,2--2x ≥2y ≥2x ≥2y ≥224x y +≥()()2*1x n n +∈N 1r +1r +21n +1n +22,N σ（）2x =(4)0.8P X <=(0)(4)1(4)0.2P X P X P X ≤=≥=-<=1(02)(0)0.50.20.32P X P X <<=-≤=-=()123E X n ==6n =16,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2426112C 133P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2265211C C C P B +==()26211C C AB ==所以故选：A.8．答案：D解析：令得.故原式=.的通项，由得,对应的常数项，由得,对应的常数项，故所求的常数项为40，故选D 9．答案：B解析：由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有，组成无重复数字的三位数共有，因此组成有重复数字的三位数共有.10．答案：70解析：设的展开式中含的项为第项，则由通项知.令，解得，的展开式中的系数为.11．答案：,或,解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，要注意否定结论，所以命题,的否定是：,故答案为：,12．答案：-1094解析：令，则，，()()()|P AB P A B P B ==1x =1a =5112x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭521552155C (2)()C (1)2r r r r rr r r T x x x ----+=-=-521r -=2r =80=521r -=-3r =80=-91010900⨯⨯=998648⨯⨯=900648252-=822x y 1r +()811882222188C 1C rrr rr r r r r r T xy x y x y -----+--++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭822r r -+-=4r =∴822x y ()4481C 70-=0x ∃∈R 2010x +≤x ∃∈R 210x +≤:p x ∀∈R 210x +>0x ∃∈R 2010x +≤0x ∃∈R 2010x +≤()7270127()12f x x a a x a x a x =-++++= 0127(1)1a a a a f ++++==- 701273(1)32187a a a a f a -++--==-=所以.故答案为：-109413．答案：1解析：因为有3个实数的集合可表示为，又可表示为，所以，即，则，即或，当时，集合为，与集合元素的互异性矛盾，故，，.故答案为：1.14．答案：60解析：若每个村去一个人，则有种分配方法；若有一个村去两人，另一个村去一人，则有种分配方法，所以共有60种不同的分配方法.解析：设“第1天去甲餐厅用餐“，“第1天去乙餐厅用餐”，“第2天去甲餐厅用餐”，“第2天去乙餐厅用餐”，根据题意得，则则由全概率公式得：，即1357(1)(1)10942f f a a a a --==-+++,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}2,0,a a b +a ≠0=0b =21a =1a =1a =-1a ={1,0,1}{1,1,0}1a =-0b =202420241a b +=34A 24=1234C A 36⨯=1A =1B =2A =2B =1122()()()()P A P B P A P B ====()21|A A =()21|P A B =21(|)P B A =()()()21211|P A B A B P B ==()214152P A B =⨯=()()()2112225|12P A B P B A P A ===()22|B A =21222121222()()()()(|)()(|)P B P A B P A B P A P B A P A P B A =+=+212113()252510P B =⨯+⨯=16．答案：（1）证明见解析；（2）166650解析：（1）证明：；（2）＝.17．答案：（1）；（2）（3）不存在满足题意的实数m解析：（1）；当时，满足，则，解得：；当时，由得：，解得：；综上所述：实数m 的取值范围为.（2）由得：，解得：，即实数m 的取值范围为.（3），，方程组无解，不存在满足题意的实数m .18．答案：（1）见解析；（2）；()()1!!!!(1)!C 1!C m m n n n n m n m m n m -+---++=()()()()()!1!1!!1!!1!!1!n n m n n m m n mm n m m n m m n m -+-++=+=-+-+-+()()11!!(1)C !(1)!!1!m n n n n m n m m n m +++===-+-+3223102222223223410044041300C C C C C C C C C C C =+++=+++++++ 22323310010010515100C C 10110099C C C 16665032C ⨯⨯==+++==+=⨯ (],3-∞[]3,4{}()(){}{}2310052025A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤B =∅B A ⊆121m m +>-2m <B ≠∅B A ⊆12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩23m ≤≤(],3-∞A B ⊆62126521m m m m -≤-⎧⎪-≥-⎨⎪≤-⎩34m ≤≤[]3,4A B = 62215m m -=-⎧∴⎨-=⎩∴ˆ0.70.35yx =+（3）19.65吨解析：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图如下；（2）由对照数据，计算得，，，，回归方程的系数为，，所求线性回归方程为；（3）由（2）的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为（吨，吨，预测比技改前降低了19.65吨标准煤.19．答案：（1）答案见解析；（2）有关系解析：（1）根据题中所给数据，得到如下列联表：1(3456) 4.54x =⨯+++=1(2.534 4.5) 3.54y =⨯+++=4222221345686ii x==+++=∑413 2.543546 4.566.5iii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑∴266.54 4.5 3.5ˆ0.7864 4.5b -⨯⨯==-⨯ 3.50.7 4.5ˆ0.35a =-⨯=∴ˆ0.70.35yx =+0.71000.3570.35⨯+=)9070.3519.65∴-=22⨯由（1）中的的列联表，可得，所以有充分的理由认为假设不成立，即认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关，这种判断出错误的概率不超过0.10.20．答案：(Ⅰ)见解析；解析：(Ⅰ)X 的可能取值有：3，4，5，6.故，所求X 的分布列为22⨯()220.10226943 2.7641 2.7061210139K K ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯3539C (3)C P X ===215439C C (4)C X ===125439C C (5)C P X ===3439C (6)C P X ===()51051345642211421E X ⨯+⨯+⨯+⨯==。

2022-2023学年山东省枣庄市高二下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省枣庄市高二下学期期中数学试题一、单选题1．若277C C x =，则x =（）A ．2B ．5C ．2或5D ．7【答案】C【分析】由组合数的性质，即可求解.【详解】由组合数性质C m n mn n C -=，可知2x =或5x =.故选：C2．()51x -的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）A ．0B ．1-C ．32-D ．32【答案】D【分析】根据()na b +的二项展开式系数之和为2n 求解即可【详解】()51x -的二项展开式中所有项的二项式系数之和为5232=故选：D3．如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（）A ．48种B ．72种C ．64种D ．256种【答案】A【分析】利用分步乘法原理求解即可【详解】从A 开始摆放花卉，A 有4种颜色花卉摆放方法，C 有3种颜色花卉摆放方法，B 有2种颜色花卉摆放方法；由D 区与A ，B 花卉颜色不一样，与C 区花卉颜色可以同色也可以不同色，则D 有2种颜色花卉摆放方法.故共有432248⨯⨯⨯=种绿化方案.故选：A4．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A ．48B ．54C ．60D ．72【答案】C【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有2215312215C C C A ∙∙=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A =种方法；按照分步乘法原理，共有41560⨯=种方法；故选：C.5．函数(e 3)()x f x x =-的单调递减区间是（）A ．(),2-∞B ．()0,3C ．()1,4D ．()2,+∞【答案】A【分析】求出导函数()f x '，由()0f x '<得减区间．【详解】由已知()(3)(2)x x x f x e x e x e '=+-=-，2x <时，()0f x '<，2x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间是(,2)-∞，增区间是(2,)+∞；故选：A ．6．已知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下面四个图象中，()y f x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先利用函数()y xf x '=的图象求得函数()f x 的单调区间，进而得到正确选项.【详解】由题给函数()y xf x '=的图象，可得当1x <-时，()0xf x '<，则()0f x '>，则()f x 单调递增；当10x -<<时，()0xf x '>，则()0f x '<，则()f x 单调递减；当01x <<时，()0xf x '<，则()0f x '<，则()f x 单调递减；当1x >时，()0xf x '>，则()0f x '>，则()f x 单调递增；则()f x 单调递增区间为(),1-∞-，()1,+∞；单调递减区间为()1,1-故仅选项C 符合要求.故选：C7．已知函数()2ln xaf x x x=-有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()0,∞+C ．1e ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】将问题转化为方程ln xa x=有三个根，令ln ()x g x x =（0x >），分析()g x 的单调性，作出()g x 的图像，结合函数图像可得答案【详解】解：因为函数()2ln xaf x x x=-有三个零点，所以方程2ln 0x a x x -=有三个根，即方程ln xa x =有三个根，令ln ()xg x x=（0x >），当1x >时，ln ()x g x x =，则'21ln ()x g x x -=，当1e x <<时，'()0g x >，当>x e 时，'()0g x <，所以()g x 在(1,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，所以当x e =时，()g x 取得极大值1(e)g e=，当1x =时，()0g x =，当01x <<时，ln ()x g x x =-，则'21ln ()0x g x x -+=<，所以ln ()x g x x=-在(0,1)上递减，所以ln ()xg x x=的大致图像如图所示，由图像可得当10a e <<时，直线y a =与ln ()x g x x=的图像有三个交点，所以实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，故选：D8．对任意的(]12,1,3x x ∈，当12x x <时，1122ln 03x a x x x -->恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．()3,+∞C ．[)9,+∞D ．()9,+∞【答案】C【分析】将不等式等价变形，构造函数()ln 3af x x x =-，再借助函数单调性、最值求解作答.【详解】依题意，11211222ln 0ln (ln )0333x a a a x x x x x x x -->⇔--->，令()ln 3af x x x =-，(1,3]x ∈，则对任意的12,(1,3]x x ∈，当12x x <时，12()()f x f x >，即有函数()f x 在(1,3]上单调递减，因此，(1,3]x ∀∈，()1033af x a x x'=-≤⇔≥，而max (3)9x =，则9a ≥，所以实数a 的取值范围是[9,)+∞.故选：C二、多选题9．下列求导运算正确的是（）A ．()1ln 22'=B ．()1xx'=C ．()sin cos x x '=D ．()()22212x x ''-=【答案】CD【分析】根据函数求导公式和运算法则，计算即可.【详解】对于A 选项：（()ln 20'=，所以A 选项错误；对于B 选项：()111221212x x x x -'⎛⎫'===⎪⎝⎭，所以B 选项错误；对于C 选项：由公式得()sin cos x x '=，所以C 选项正确；对于D 选项：()()()()22221212x x x ''''-=+-=，所以D 选项正确；故选：CD.10．已知()1nx +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（）A ．8n =B ．()1nx +的展开式中2x 项的系数为56C ．奇数项的二项式系数和为128D ．()21nx y +-的展开式中2xy 项的系数为56【答案】AC【分析】利用二项式定理求得()1nx +的展开通项公式，从而得到关于n 的方程，解出n 的值判断AB ，利用所有奇数项的二项式系数和为12n -判断C ，根据二项式定理判断D.【详解】因为()1nx +的展开式通项为1C C k k k kr n n T x x +==，所以()1nx +的展开式的第1k +项的二项式系数为C kn ，所以26C C n n =，解得8n =，A 正确；2x 的系数为28C 28=，B 错误；奇数项的二项式系数和为1722128n -==，C 正确；根据二项式定理，()821x y +-表示8个()21x y +-相乘，所以()21x y +-中有1个选择x ，1个选择2y -，6个选择1，所以()21nx y +-的展开式中2xy 项的系数为()71187C C 156-=-，D 错误；故选：AC11．（多选）将《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和《中华戏曲》7本书放在一排，则（）A ．戏曲书放在正中间位置的不同放法有77A 种B ．诗集相邻的不同放法有662A 种C ．四大名著互不相邻的不同放法有3434A A 种D ．四大名著不放在两端的不同放法有45A 种【答案】BC【分析】根据题设，依次分析各选项的条件，再列式即可判断作答.【详解】对于A ，戏曲书只有1本，将戏曲书放在正中间，其余6本书全排列，不同放法种数为66A ，A 错误；对于B ，诗集共2本，把2本诗集看为一个整体，则7本书的不同放法种数为266266A A 2A =，B 正确；对于C ，四大名著互不相邻，先将四大名著全排列，再在每种排列的中间3个空隙中放置其他书，共有33A 种放法，则不同放法种数为3434A A ，C 正确；对于D ，在第2至第6这5个位置上任选4个位置放四大名著，共有45A 种放法，其余3本书在剩下的3个位置上全排列，则不同放法种数为4353A A ，D 错误．故选：BC12．已知函数()f x 为定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，若当0x <时，()()0xf x f x '->，且()20f =，则（）A ．()()πe e πf f <B ．当2m <时，()()22f m mf >C ．()()43340f f -+<D ．不等式()0f x >解集为()(),20,2-∞- 【答案】CD【分析】构造函数()()f xg x x=，其中0x ≠，分析函数()g x 的奇偶性与单调性，利用函数()g x 的单调性与奇偶性可判断AC 选项；取2m =-可判断B 选项；分0x <、0x >解不等式()0f x >，可判断D 选项.【详解】构造函数()()f xg x x=，其中0x ≠，因为函数()f x 为定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，则()()f x f x -=-，所以，()()()()f x f x g x g x x x--===-，故函数()g x 为偶函数，当0x <时，()()()20'-'=>xf x f x g x x ，所以，函数()g x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，因为()20f =，则()()2202f g ==，则()()220g g -==.对于A 选项，()()e<πe πg g ∴> ，，即()()e πe πf f >，所以，()()πe e πf f >，A 错；对于B 选项，不妨取2m =-，则()()220g g -==，即()()2222f f -=-，此时()()2222f f -=-，B 错；对于C 选项，因为偶函数()g x 在()0,∞+上单调递减，则()()()334g g g -=>，即()()3434f f ->-，整理可得()()43340f f -+<，C 对；对于D 选项，当0x <时，由()0f x >可得()()()02f x g x g x=<=-，解得<2x -，当0x >时，由()0f x >可得()()()02f x g x g x=>=，解得02x <<.综上所述，不等式()0f x >解集为()(),20,2-∞- ，D 对.故选：CD.【点睛】结论点睛：四种常用的导数构造法：（1）对于不等式()()0f x g x ''+>（或0<），构造函数()()()F x f x g x =+；（2）对于不等式()()0f x g x ''->（或0<），构造函数()()()F x f x g x =-；（3）对于不等式()()0xf x cf x '+>（或0<）（其中c 为常数且0c ≠），构造函数()()c F x x f x =；（4）对于不等式()()0f x cf x '+>（或0c <）（其中c 为常数），构造函数()()e cx F x f x =.三、填空题13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】310/0.3【分析】根据古典概型计算即可【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率310P =.故答案为：310.解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为35C 10=甲、乙都入选的方法数为13C 3=，所以甲、乙都入选的概率310P =故答案为：31014．已知567117C C 10C m m m -=，则8C m=____________.【答案】28【分析】由已知条件，利用组合数公式求出m 的值，即可求解8C m的值.【详解】解：567117C C 10C m m m -= ，!(5)!!(6)!7!(7)!5!6!107!m m m m m m ⨯-⨯-⨯-∴-=⨯，且05,m m Z ≤≤∈，两边乘以5!!(5!)m m -，得67(7)(6)161076m m m ----=⨯⨯，即223420m m -+=，解得m =2或m =21，05,m m Z ≤≤∈，2m ∴=，28887C C 2821m=⨯∴==⨯.故答案为：28．15．设点A 在直线310x y -+=上，点B 在函数()ln f x x =的图象上，则AB 的最小值为___________.【答案】11ln34+【分析】设函数()ln f x x =与直线310x y -+=平行的切线为l ，利用导数的几何意义得出切点P ，再由距离公式得出AB 的最小值.【详解】设函数()ln f x x =与直线310x y -+=平行的切线为l ，则l 的斜率为3，由()13f x x '==，得33x =，所以切点为31,ln332P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则点P 到直线l 的距离就是AB 的最小值，即11ln31121ln324++=+.故答案为：11ln34+.16．若112222log 2023xx x x ⋅=⋅=，则12x x 值为________．【答案】2023【分析】利用对数运算法则得到22log 22222log 2log xx x x ⋅=⋅，构造函数()2(0)x f x x x =⋅>，利用其单调性得到122log x x =，进而求出结果.【详解】因为122log 12222220232log 2log x xx x x x ==⋅=⋅⋅，令()2(0)x f x x x =⋅>，则()(ln 21)20x f x x '=⋅+⋅>在区间(0,)+∞上恒成立，即()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，所以122log x x =，则12222log 2023x x x x =⋅=，故答案为：2023.四、解答题17．若122nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项为352，求正整数n 的值【答案】4【分析】由题可得211222nn x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用通项公式即得.【详解】因为211222nn x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其通项公式为2121C ()()(02,N)2r n rr r n T x r n r x-+=-≤≤∈，则由通项知，展开式的常数项为()()()22211351C 1C 222nnnn n nn n n x x ⎛⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为3502>，故n 为偶数，解得4n =.18．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【答案】（1）115（2）186【详解】（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，红球4个，取法有种，红球3个和白球1个，取法有种；红球2个和白球2个，取法有种；根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有12490115++=种．（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.第一种，4红1白，取法有41466C C =种；第二种，3红2白，取法有324660C C ⋅=种，第三种，2红3白，取法有2346120C C ⋅=种，根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有660120186.++=19．已知()32f x x a x=--(1)若0a =，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；(2)若过点(1,0)P -的直线l 与曲线()f x 在1x =处相切，求实数a 的值.【答案】(1)560x y --=(2)11-【分析】（1）先对函数()f x 求导得到()f x '，从而得到曲线()f x 在1x =处的切线斜率，再求得点()()1,1f ，结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）利用导数的几何意义得到()15f '=，再根据两点间的斜率公式得到关于a 方程，即可求解.【详解】（1）当0a =时，()32f x x x =-，则()()22230f x x x x'=+≠，所以()11f =-，()15f '=所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()151y x +=-，即560x y --=.（2）由()32f x x a x =--，得()()22230f x x x x'=+≠，因为直线l 与曲线()f x 在1x =处相切，所以直线l 的斜率()15k f '==，又()()()1011111222f a k f -===----，所以1522a --=，解得：11a =-，故实数a 的值为11-.20．已知函数f (x )＝x ＋4x，g (x )＝2x ＋a .（1）求函数f (x )＝x ＋4x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）若∀x 1∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[5,17]2；（2）1a ≤.【解析】（1）先求导数，判断函数单调性，结合单调性求解值域；（2）把条件转化为()()12min min f x g x ≥，分别求解()()12,f x g x 的最小值可得实数a 的范围.【详解】（1）()222441x f x x x -'=-=，因为1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()0f x '<，即函数()f x 为减函数，因为()51217,12f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以值域为[5,17]2.（2）因为∀x 1∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，所以()()12min min f x g x ≥，因为2[2,3]x ∈，所以()2224a g x a ≥+=+，所以54≥+a ，即1a ≤.21．设e ()x x f x =-.(1)求函数()f x 的极小值点.(2)若函数()(2)=-+g x f x a 满足22(0)2e g '=-+，求a 的值.(3)求函数()()()'=-h x xf x f x 的单调区间.【答案】(1)0(2)2-(3)在(,0)-∞和(ln2,)+∞上严格增，在(0,ln 2)上严格减【分析】(1)先对函数求导，求出导函数的零点，列表表示出函数随自变量变化情况，即可求解；(2)根据题意，写出函数()g x 的解析式，对函数求导，根据导函数的值即可求解；(3)结合（1）求出函数()h x 的解析式，对其求导，并用表格列出函数随自变量变化情况，即可求出结果.【详解】（1）因为函数e ()x x f x =-，所以()e 1x f x '=-，令()e 10x f x '=-=，解得：0x =，列表如下：x(,0)-∞0(0,)+∞()f x '-0+()f x 单调递减极小值单调递增所以极小值点为0.（2）因为2()(2)e 2x a g x f x a x a -+=-+=+-，所以()22e2x a g x -+'=-+，又因为()2202e 22e a g =-+=-+'，所以2a =-.（3）由（1）可知：2()()()e e 1x x h x xf x f x x x '=-=--+，所以()e 2x h x x x '=-，令()e 20x h x x x '=-=，解得：0x =或ln 2x =，列表如下：x (,0)-∞0(0,ln 2)ln 2(ln2,)+∞()h x '+0-0+()h x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数()h x 在区间(,0)-∞和(ln2,)+∞上单调递增，在区间(0,ln 2)上单调递减.22．已知函数()ln 22f x x ax =++.(1)讨论()f x 的单调性(2)若函数()()12e ax g x f x x +=-有且只有12,x x 两个零点，证明：122x x a+>-.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求得()1f x a x'=+，分0a ≥和a<0，两种情况分类讨论，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；（2）化简()()11ln 2e 2e 1ax ax g x x x ++=-+，令12e ax t x +=，得到()11ln 2e 2e 1ax ax x x ++-+ln 1t t =-+，令()ln 1(0)h t t t t =-+>，利用导数求得函数的单调性转化为()g x 有且只有12,x x 两个零点等价于函数()12e 1ax x x ϕ+=-有且只有12,x x 两个零点，利用导数求得()x ϕ的单调性，分0a ≥和a<0，两种情况讨论得到要使()x ϕ有12,x x 两个零点，转化为1210a a ϕ⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭，不妨令1210x x a <<-<，令()1142e 2e ax ax H x x x a +--⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用导数求得函数单调性，即可求解.【详解】（1）解：因为()ln22(0)f x x ax x =++>，所以()1f x a x'=+.若0a ≥，则()0f x ¢>恒成立；若a<0，令()0f x '=，解得1x a=-，当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；当1,x a ∈-+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，综上所述，当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当a<0时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.（2）证明：()()()11112e ln22e 2ln 2e 2e 1ax ax ax ax g x f x x x x ax x x ++++=-=-++=-+，令12e ,0ax t x t +=>，则()11ln 2e 2e 1ln 1ax ax x x t t ++-+=-+，令函数()ln 1(0)h t t t t =-+>，则()11h t t'=-，可得()h t 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又由()10h =，所以()h t 有且仅有一个零点1t =，即12e 1ax x +=，故函数()g x 有且只有12,x x 两个零点等价于函数()12e1(0)ax x x x ϕ+=->有且只有12,x x 两个零点，可得()()121e ax x ax ϕ+'=+，若0a ≥，则()0x ϕ'>恒成立，()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，则()x ϕ最多只有一个零点，不符合题意；若a<0，则当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增；当1,x a ∈-+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭()(),0,x x ϕϕ<'单调递减.当0x →或x →+∞时，()0x ϕ<，故要使()x ϕ有12,x x 两个零点，则需1210a a ϕ⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭，即20a -<<，不妨令1210x x a <<-<，今函数()()112412e 2e 0ax ax H x x x x x x a a a ϕϕ+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=++<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()()21122e 1e ax ax ax H x +++⎡=-'⎤⎢⎥⎣⎦，因为120,0a x a-<<<<-，所以110,e 1ax ax ++>>，故()()0,H x H x '>在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，又因为10H a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()10H x <，即()()1212x x x a ϕϕϕ⎛⎫=<-- ⎪⎝⎭，因为()121,x x a a ϕ-->-在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减，所以212x x a >--，即122x x a +>-.。

江苏省南通市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题(含简单答案)

南通市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，，若，则（）A. B. C. 4D. 22. 记函数的导函数为.若，则（）A. B. 0C. 1D. 23. 某产品的广告费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下关系：2456830405060已知与的线性回归方程为，则等于（）A. 68B. 69C. 70D. 714. 已知函数，则的图象大致为（）A. B.(1,,2)a m = (2,4,)b n =- //a bm n +=4-6-()f x ()f x '()sin f x x x =+()0f '=1-x y x yay x 715y x =+a ()ln f x x x =-()f xC. D.5. 在的展开式中，含项的系数为（）A 16B. -16C. 8D. -86. 甲､乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响.现每人分别投篮2次，则甲与乙进球数相同的概率为（）A.B.C. D.7. 今年春节，《热辣滚汤》､《飞驰人生2》､《熊出没之逆转时空》､《第二十条》引爆了电影市场，小帅和他的同学一行四人决定去看电影.若小帅要看《飞驰人生2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（）A.B.C.D.8. 已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数a 的取值范围（）A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（）A. 共有120种不同的排法B. 当2名教师相邻时，共有24种不同的排法C. 当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法D. 当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法.4(1)(2)x x -+3x 121373611361336173696491619324564()21ln 2f x a x x =+1x ()212x x x ≠()()12121f x f x x x ->-10,4⎛⎤ ⎝⎦10,4⎛⎫⎪⎝⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭10. 已知，则（）A. 展开式各项的二项式系数的和为B. 展开式各项的系数的和为C.D. 11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点．则（）A. 平面平面B. 为的中点时，C. 存在点，使得直线与的距离为D. 存在点，使得直线与平面所成的角为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知随机变量，且，则__________.13. 已知事件相互独立.若，则__________.14. 若函数有绝对值不大于1的零点，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求在上的最值.1002100012100(12)x a a x a x a x -=++++ 10021-024********a a a a a a a a ++++>++++ 123100231000a a a a ++++< ABF DCE -AB AF ⊥4AB AD AF ===G »CDADG ⊥BCGG »CD//BF DG G EFAG G CF BCG 60()22,X N σ:(1)0.7P X >=(23)P X <<=,A B ()()0.6,0.3P A P B A ==()P AB =()334f x x x a =-+a ()()1e xf x x =-()y f x =()()1,1f ()f x []1,2-16. 如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，且是的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角正弦值.17. “五一”假期期间是旅游的旺季，某旅游景区为了解不同年龄游客对景区的总体满意度，随机抽取了“五一”当天进入景区的青､老年游客各120名进行调查，得到下表：满意不满意青年8040老年10020（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否满意”与“游客年龄”有关联；（2）若用频率估计概率，从“五一”当天进入景区的所有游客中任取3人，记其中对景区不满意的人数为，求的分布列与数学期望.附：，其中.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.已知函数.（1）讨论单调性；的的1111ABCD A B C D -ABCD //AB ,DC DA DC ⊥111,2AD DD CD AB E ====AB C 1BC D 1B C D E --0.005α=X X ()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++()20P x χ≥0x 21()(1)ln ,R 2f x ax a x x a =+--∈()f x（2）当时，证明：；（3）若函数有两个极值点，求的取值范围.19. 现有外表相同，编号依次为的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球.（1）当时，①假设已知选中恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率；②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率；（2）记第三次取到白球的概率为，证明：.的0a >3()22f x a≥-2()()F x ax x f x =--11222,()3x x x x <<12()()F x F x -()1,2,3,,3n n ≥ n ()1,2,3,,k k n = k n k -4n =p 2p 1<南通市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学简要答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】AC【11题答案】【答案】AB三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】##【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）；（2），.【16题答案】【答案】（1（2）.【17题答案】【答案】（1）能认有关（2）分布列略，【18题答案】【答案】（1）答案略；（2）证明略；（3）.【19题答案】【答案】（1）①；② （2）证明略为0.2150.1232511,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦e e 0x y --=2max ()(2)e f x f ==min ()(0)1f x f ==-13()34E X =3(0,ln 2)4-1216。

福建省福州市2023-2024学年高二下学期期中联考试题数学含答案

2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（答案在最后）（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62B.102C.152D.5402.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.5124.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A. B.C. D.5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π46.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.2157.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.8828.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.610.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412a b下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y gx =过点(1,0)的切线方程．16.已知n⎛⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.2023-2024学年第二学期期中质量检测高二数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.计算52752+C A 的值是（）A.62 B.102C.152D.540【答案】A 【解析】【分析】利用组合和排列数公式计算【详解】5275762254622C A =+´+创=故选：A2.下列导数运算正确的是（）A.cos sin x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.()21log ln 2x x '=C.()22xx'= D.()32e 3exxx x '=【答案】B 【解析】【分析】利用常见函数的导数可以判断B 、C 的真假，利用积的导数的运算法则判断D 的真假，利用商的导数的运算法则判断A 的真假.【详解】∵()22cos cos cos sin cos x x x x x x x x x x x ''⋅-⋅--⎛⎫== ⎪⎝'⎭，故A 错误；∵()21log ln 2x x '=，故B 正确；∵()22ln 2x x '=，故C 错误；∵()()()33323e e e 3e e x x x x x x x x x x ⋅'''=⋅+=+，故D 错误.故选：B.3.若9290129(2)x a a x a x a x -=++++L ，则129a a a +++ 的值为（）A.1- B.1 C.511- D.512【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分别令1x =与0x =代入计算，即可得到结果.【详解】当1x =时，20911a a a a ++++=L ；当0x =时，0512a =所以，1211511a a a +++=-L 故选：C4.若2()f x x bx c =++的图象的顶点在第二象限，则函数()f x '的图象是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】求导后得到斜率为2，再由极值点是导数为零的点小于零，综合直线的特征可得正确答案.【详解】因为()2f x x b '=+，所以函数()f x '的图象是直线，斜率20k =>；又因为函数()f x 的顶点在第二象限，所以极值点小于零，所以()f x '的零点小于零，结合直线的特征可得C 符合.故选：C5.曲线()(22e 21xf x x x =--+-在0x =处的切线的倾斜角是（）A.2π3B.5π6C.3π4 D.π4【答案】A 【解析】【分析】利用导数的几何意义求得切线斜率，即可求得切线的倾斜角.【详解】()()2e 22,0xf x x f =--∴'-'= ，设切线的倾斜角为[),0,πθθ∈，则tan θ=，即2π3θ=，故选：A ．6.现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球，则摸出的球是黑球的概率是（）A.1115B.1130C.115D.215【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案.【详解】记事件A 表示“球取自甲箱”，事件A 表示“球取自乙箱”，事件B 表示“取得黑球”，则()()()()1212,,2635P A P A P B A P B A =====，由全概率公式得()()()()111211232530P A P B A P A P B A +=⨯+⨯=．故选：B ．7.有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.462B.630C.672D.882【答案】C 【解析】【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论：若用两种颜色涂色，有27C 242⨯=种涂色方法；若用三种颜色涂色，有()37C 3221630⨯⨯⨯+=种涂色方法；所以有42630672+=种不同的涂色方法.故选：C.8.已知函数()e 2xx k f x =-，若0x ∃∈R ，()00f x ≤，则实数k 的最大值是（）．A.1eB.2eC.12eD.e e【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为002e x x k ≤在0x ∈R 上能成立，利用导数求2()exxg x =的最大值，求k 的范围，即知参数的最大值.【详解】由题设，0x ∃∈R 使02e x x k ≤成立，令2()exxg x =，则()21e x g x x ⋅-'=，∴当1x <时()0g x '>，则()g x 递增；当1x >时()0g x '<，则()g x 递减；∴2()(1)e g x g ≤=，故2e k ≤即可，所以k 的最大值为2e.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1)nx+*(N )n ∈展开式中常数项是2C n ，则n 的值为（）.A.3B.4C.5D.6【答案】AD 【解析】【分析】根据二项式展开式得到321C n r r r nT x-+=，再令302n r-=，则得到123C C n n n =，解出即可.【详解】展开式的通项为131221C ()()C n r r n rr rr nnT x x x---+==，若要其表示常数项，须有302n r-=，即13r n =，又由题设知123C C n n =，123n \=或123n n -=，6n ∴=或3n =.故选：A D ．10.高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412ab下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（）A.33a b +=B.选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C.在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D.选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的【答案】AC 【解析】【分析】结合统计结果对选项逐一分析即可得.【详解】对A ：由3924482a b +++=⨯，则33a b +=，故A 正确；对B ：由选择化学的有39人，选择物理的有36人，故至少有三人选择化学并选择了历史，故选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生最多有9人，故B 错误；对C ：确定选择化学后，还需在物理、历史中二选一，在生物、地理、政治中三选一，故共有236⨯=种不同的选考科目组合，故C 正确；对D ：由于地理与政治选考该科人数不确定，故该说法不正确，故D 错误.故选：AC.11.若不等式e ln 0x ax a -<在[)2,x ∞∈+时恒成立，则实数a 的值可以为（）A.3eB.2eC.eD.2【答案】BCD 【解析】【分析】构造函数()ex xf x =，将e ln 0x ax a -<恒成立问题转化为()()ln f x f a <恒成立问题，求导，研究()e xxf x =单调性，画出其图象，根据图象逐一验证选项即可.【详解】由e ln 0x ax a -<得ln ln ln e ex a x a aa <=，设()e x x f x =，则()1ex xf x ='-，当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，又()00f =，()11e f =，当0x >时，()0ex xf x =>恒成立，所以()ex xf x =的图象如下：，ln ln e ex a x a<，即()()ln f x f a <，2x ≥，对于A ：当3e a =时，ln ln 31>2a =+，根据图象可得()()ln f x f a <不恒成立，A 错误；对于B ：当2e a =时，()ln ln 211,2a =+∈，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，B 正确；对于C ：当e a =时，ln 1a =，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，C 正确；对于D ：当2a =时，ln ln 2a =，又()()ln 22ln 212ln 2ln 2,2e 2ef f ===，因为221263ln 23ln 2e e ⨯-⨯=，且2e,e 6>>，即26ln 1,1e ><，所以221263ln 23ln 02e e⨯-⨯=->，即()()ln 22f f >，根据图象可得()()ln f x f a <恒成立，D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键将条件变形为ln ln e e x ax a <，通过整体结构相同从而构造函数()e x x f x =来解决问题.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A =___________.【答案】38【解析】【分析】利用条件概率的概率公式()()()P AB P B A P A =即可求解.【详解】由题意可得：()415P A =，()215P B =，()110P AB =，由条件概率公式可得()()()13104815P AB P B A P A ===，故答案为：38.13.某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为________．【答案】200【解析】【分析】根据X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，求得(130)p X ≥即可.【详解】因为X 近似服从正态分布()2110,N σ，且P (90110)X ≤≤0.3=，所以()()113012901300.22P X P X ⎡⎤≥=-≤≤=⎣⎦，又该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为10000.2200⨯=人.故答案为：200.14.将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有211421226C C C A =种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有336A =种方法，则共有6636⨯=种分配方案.故答案为：36四、解答题（本大题共5题，共７7分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数3()ln (R)f x x ax a =+∈，且(1)4f '=．（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x =--，求()y g x =过点(1,0)的切线方程．【答案】（1）1（2）22y x =-【解析】【分析】（1）利用导数求解参数即可.（2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可.【小问1详解】定义域为,()0x ∈+∞，21()3f x ax x'=+，而(1)13f a '=+，而已知(1)4f '=，可得134a +=，解得1a =，故a 的值为1，【小问2详解】3()()ln g x f x x x x x =--=-，设切点为0003(,)x x x -，设切线斜率为k ，而2()31g x x '=-，故切线方程为300200()(31)()y x x x x x --=--，将(1,0)代入方程中，可得3200000()(31)(1)x x x x --=--，解得01x =(负根舍去)，故切线方程为22y x =-，16.已知n ⎛ ⎝在的展开式中，第6项为常数项．（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）10n =；（2）454；（3）2454x ，638-，245256x.【解析】【分析】（1）求出n⎛ ⎝的展开式的通项为1r T +，当=5r 时，指数为零，可得n ；（2）将10n =代入通项公式，令指数为2，可得含2x 的项的系数；（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，求出r 的值，代入通项公式并化简，可得展开式中所有的有理项．【详解】（1）n ⎛ ⎝的展开式的通项为233311122r rn r r n r r r r n n T C x x C x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为第6项为常数项，所以=5r 时，有203n r -=，解得10n =．（2）令223n r -=，得()()116106222r n =-=⨯-=，所以含2x 的项的系数为221014524C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（3）根据通项公式与题意得1023010r Zr r Z -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，令()1023r k k Z -=∈，则1023r k -=，即352r k =-．r Z ∈，∴k 应为偶数．又010r ≤≤，∴k 可取2，0，-2，即r 可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为2221012C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，551012C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，8821012C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2454x ，638-，245256x ．【点睛】关键点点睛：本题考查二项式展开式的应用，考查二项式展开式的通项公式以及某些特定的项，解决本题的关键点是求解展开式的有理项时，令()1023r k k Z -=∈，由r Z ∈以及010r ≤≤，求出k 的值，进而得出r 的值，代入通项公式化简可得有理项，考查了学生计算能力，属于中档题．17.如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件i A （123i =，，）表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．（1）求()P B 的值：（2）若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．【答案】（1）712（2）可判断该黑球来自3号箱的概率最大.【解析】【分析】（1）因先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球为黑球，其中有三种可能，即黑球取自于1号，2号或者3号箱，故事件B 属于全概率事件，分别计算出()i P A 和(|),1,2,3i P B A i =，代入全概率公式即得；（2）由“小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱”是求条件概率(|),1,2,3i P A B i =，根据条件概率公式分别计算再比较即得.【小问1详解】由已知得：1231()()()3P A P A P A ===,12311(|),(|),(|)1,42P B A P B A P B A ===而111111()(|)(),4312P BA P B A P A =⋅=⨯=222111()(|)(),236P BA P B A P A =⋅=⨯=33311()(|)()1.33P BA P B A P A =⋅=⨯=由全概率公式可得：1231117()()()().126312P B P BA P BA P BA =++=++=【小问2详解】因“小明取出的球是黑球，该黑球来自1号箱”可表示为：1A B ,其概率为111()112(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自2号箱”可表示为：2A B ,其概率为221()26(|)7()712P A B P A B P B ===,“小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱”可表示为：3A B ,其概率为331()43(|)7()712P A B P A B P B ===.综上，3(|)P A B 最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自3号箱的概率最大.18.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射､自定义漫游､全尺寸太阳能､空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X 的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【答案】（1）0.648（2）分布列见解析，期望为95，甲比乙闯关成功的概率要大.【解析】【分析】（1）根据题意，直接列出式子，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，由条件可得X 的可能取值为0,1,2,3，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列，然后计算甲闯关成功的概率比较大小即可.【小问1详解】记事件A 为“乙闯关成功”，乙正确完成每个程序的概率为0.6，则()()2233C 0.610.6(0.6)0.648;P A =⨯⨯-+=【小问2详解】甲编写程序正确的个数X 的可能取值为0,1,2,3，()()()()211233464664333310101010C C C C C C 13110,1,2,3C 30C 10C 2C 6P X P X P X P X ============，故X 的分布列为：X0123P 1303101216故()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，甲闯关成功的概率1120.648263P =+=>，故甲比乙闯关成功的概率要大.19.已知曲线()31:3C y f x x ax ==-.（1）求函数()313f x x ax =-()0a ≠的单调递增区间；（2）若曲线C 在点()()3,3f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积大于18，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()()0,99,18U 【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，分0a >、a<0两种情况讨论，分别求出函数的单调递增区间；（2）利用导数的几何意义求出切线方程，再令0x =、0y =求出在坐标轴上的截距，再由面积公式得到不等式，解得即可.【小问1详解】∵()313f x x ax =-定义域为R ，且()2f x x a '=-，①当a<0时，()20f x x a '=->恒成立，∴()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，令()20f x x a '=->，解得x <x >，∴()f x 在(,∞-，)∞+上单调递增，综上：当a<0时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,∞-，)∞+.【小问2详解】由（1）得()2339f a a =-=-'，又∵()393f a =-，∴切线方程为()()()9393y a a x --=--，依题意90a -≠，令0x =，得18y =-；令0y =，得189x a=-，切线与坐标轴所围成的三角形的面积11816218299S a a =⨯⨯=--，依题意162189a >-，即919a>-，解得09a <<或918<<a ，即实数a 的取值范围为()()0,99,18⋃.。

四川省凉山州西昌市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题

四川省凉山州西昌市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题一、单选题1．设函数()f x 在0x x =处可导，且满足()()0001lim 22x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=（） A ．2B ．1C ．-1D ．-22．下列函数中，是奇函数且在区间(0,)+∞上是增函数的是（） A ．()ln f x x =B ．1()f x x=-C ．1()2xf x =D ．||()e x f x =3．在531x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的系数是（）A ．20B ．10C ．10-D ．20-4．已知函数()()11f x xf x'=--，则()2f =（） A ．32-B ．32C ．12-D ．125．为了贯彻落实教育部印发的《普通高中课程方案和语文等学科课程标准（2017年版2020年修订）》，同时完善学生的知识结构，提高学生的综合素质，培养高中生的人文精神、科学精神、创新意识和实践能力，西昌市某学校高二年级开设了3门社科类选修课和3门艺术类选修课，学生需从6门课中选修3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案有（）种． A ．12B ．15C ．16D ．186．某校高二年级组织学生去某旅游名胜区春游，包含小明在内的6位同学站成一排照相，小明不站在两端，则不同的排法有（）种． A ．240B ．300C ．360D ．4807．已知函数()()e 2R xf x ax a =-+∈在()1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为()A ．21e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2e ,+∞C ．)2e ,⎡+∞⎣D ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭8．函数314y x ax =-+存在3个零点，则a 的取值范围为（）A ．3(,)4-∞-B ．33(,)44-C ．3(,)4+∞D ．3[,)4+∞二、多选题9．关于62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列说法正确的有（）A ．二项式系数之和为128B ．各项系数之和为128C ．常数项为第四项D ．2x 的系数为6010．在四川省新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、历史、政治、地理共六门，学生根据普通高等学校统一招生要求，必在物理、历史2门学科中选择1门，在化学、生物、政治、地理4门学科中选择2门作为选择性考试科目参加考试．则下列说法正确的是（）A ．若任意选科，则选法总数为12种B ．若政治必选，则选法总数为3种C ．若化学、地理至少选一门，则选法总数为10种D ．若历史必选，生物、政治至多选一门，则选法总数为5种 11．若函数21ln 2by a x x x =++有两个极值，则（） A ．0a > B ．0b >C ．0b <D ．14ab >-12．已知函数321()(R)3f x x ax x a =-+∈，则下列说法正确的有（）A ．若()f x 是R 上的增函数，则[1,1]a ∈-B ．当1a >时，函数()f x 有两个极值C ．当1a >时，函数()f x 有两零点D ．当1a =时，()f x 在点(0,(0))f 处的切线与()f x 只有唯一个公共点三、填空题13．一个不透明盒子中有4个质地均匀，大小形状相同的小球，分别为A ，B ，C ，D ，现从中随机抽取两个小球，则小球A 未被抽中的概率为.14．412x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为．15．已知定义在R 上的可导函数()f x ，满足()()0xf x f x '+>在R 上恒成立，且(1)2f =，则不等式()2xf x <的解集为.16．定义函数()23*()1(1)23nn n x x x f x x n n=-+-++-∈N L ．曲线()n y f x =在2x =-处的切线斜率为K ，则不等式3ln3K ≥-的解集为.四、解答题17．求下列函数的导数： (1)()ln(21)3x f x x =-+；(2)sin ()lg xf x a x x=-（a 为常数）； (3)321()e 12x f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．18．现有5名实习生通过了实习考核，将他们分配到4个岗位，每个人只能去一个岗位． (1)不同的分配方案共有多少种?(2)若每个岗位至少分配一名实习生，则不同的分配方案有多少种? 19．在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为46；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和为512；条件③：展开式中常数项为第4项．问题：已知二项式1nx ⎫⎪⎭，若______，求：(1)展开式中二项式系数最大的两项； (2)展开式中的第九项． 20．已知函数()1ln f x x =+． (1)求证：()0-≤f x x(2)设0k >，若()f x kx ≤在区间()0,∞+内恒成立，求k 的最小值．21．已知函数()()2323e xf x x a x a =-++⎡⎤⎣⎦+．(1)当0a =时，求函数()y f x =的极值； (2)讨论()f x 的单调性．22．已知函数2()ln ,()(21)ln ,R f x x g x ax a x x a ==-++∈， (1)求曲线()ln f x x =过点()0,1的切线方程；(2)若存在1(0,)x ∈+∞，使得对任意2(0,)x ∈+∞，都有()()121f xg x x ≥成立，求实数a 的取值范围．。

高二数学下学期期中考试试卷含答案

高二数学下学期期中考试试卷含答案高二下学期数学期中考试试卷（含答案）时量：120分钟满分：150分一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1.已知全集 $U=R$，集合 $M=\{x|x<1\}$，$N=\{y|y=2x,x\in R\}$，则集合 $\complement_U (M\cup N)$ =（）A。

$(-\infty。

-1]\cup [2,+\infty)$B。

$(-1,+\infty)$C。

$(-\infty,1]$D。

$(-\infty,2)$2.曲线 $f(x)=2x-x^2+1$ 在 $x=1$ 处的切线方程为（）A。

$5x-y-3=0$B。

$5x-y+3=0$C。

$3x-y-1=0$D。

$3x-y+1=0$3.已知函数 $f(x)=\sin(\omegax+\frac{\pi}{3})(\omega>0,0<\frac{\pi}{3}<\omega<\frac{\pi}{2 })$ 的图象与直线 $y=1$ 的交点中相邻两点之间的距离为$2\pi$，且函数 $f(x)$ 的图象经过点 $(\frac{\pi}{6},0)$，则函数 $f(x)$ 的图象的一条对称轴方程可以为（）A。

$x=\frac{\pi}{6}$B。

$x=\frac{\pi}{4}$C。

$x=\frac{\pi}{3}$D。

$x=\frac{\pi}{2}$4.函数 $f(x)=\frac{e^x-1}{x(x-3)}$ 的图象大致是（）A.图略]B.图略]C.图略]D.图略]5.在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为$a,b,c$，$C=120^\circ$，若 $b(1-\cos A)=a(1-\cos B)$，则$A=$（）A。

$90^\circ$B。

$60^\circ$C。

$45^\circ$D。

2023-2024学年山东省聊城高二下学期期中数学质量检测试题(含解析)

2023-2024学年山东省聊城高二下册期中考试数学质量检测试题第Ⅰ卷（60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．已知函数()y f x =在0x x =处的导数()01f x '=-，则()()0002lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）．A ．1-B ．1C ．12D ．2-2．学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，假设每种菜足量，则不同的选法共有（）．A ．53种B ．35种C ．35A 种D ．35C 种3．设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm 规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为120，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为（）．A ．15B ．110C ．115D ．1204．若22nx ⎫⎪⎭的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（）．A ．90B ．90-C ．180D ．180-5．函数()2x xe ef x x --=的图像大致为（）A ．B ．C．D ．6．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（）．A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种7．在()()()()2391111x x x x ++++++++L 的展开式中，3x 的系数为（）．A ．120B ．84C ．210D ．1268．已知()f x 的定义域为()0,x ∈+∞，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x x f +>--的解集是（）．A ．()0,1B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()1,+∞二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()35,02ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若函数()()2g x f x x a =+-有3个零点，则实数a 可能的取值有（）．A ．3B ．2C ．1D ．010．现有来自两个社区的核酸检验报告表，分装2袋，第一袋有5名男士和5名女士的报告表，第二袋有6名男士和4名女士的报告表．随机选一袋，然后从中随机抽取2份，则（）．A ．在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为13B ．两份报告表都是男士的概率为518C ．在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为815D ．两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为81511．设()72670126721x a a x a x a x a x -=+++++L ，则下列结论正确的是（）．A ．25588a a +=B ．1271a a a +++=L C ．71357132a a a a ++++=D ．712731a a a +++=-L 12．已知函数()y f x =是奇函数，对于任意的π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦满足()()sin cos 0f x x f x x '->（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）．A ππ63f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ36f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．ππ46f ⎛⎫⎛⎫>-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ππ42f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第Ⅱ卷（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（15题第一个空3分，第二个空2分）13．若函数()f x 满足()()4ln 2x f f x x '=-，则()2f '=__________．14．党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作、若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为__________．15．已知()()()20121111nn n bx a a x a x a x +=+-+-++-L 对任意x ∈R 恒成立，且19a =，236a =，则b =__________；122n a a na +++=L __________．16．下列说法不正确的有__________．（1）曲线ln xy x x=+在点()1,1处的切线方程为21y x =-．（2）函数()219ln 2f x x x =-在[]1,1a a -+上存在极值点，则a 的取值范围是()2,4．（3）已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则15a b -=或6-．（4）已知函数()()()221,184,1x a x x f x a x x ⎧-+-≤⎪=⎨-+>⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是()2,5．四、解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项．问题：已知二项式1nx ⎫-⎪⎭，若__________，求：（1）展开式中二项式系数最大的项；（2）展开式中所有的有理项．18．（8分）一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79．（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．19．（8分）某学习小组有3个男生和4个女生共7人：（1）将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？（2）将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？（3）现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？20．（10分）已知函数()2ln x x f xx -=-．（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 在区间[]1,e 上的最值．21．（12分）某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．22．（12分）已知函数()ln af x x x=+，a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，证明：()21f x a a-≥．23．（12分）已知函数()()2xf x e x =-．（1）求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程；（2）设()()ln 2g x f x x x =+-+，记函数()y g x =在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值为()g a ，证明：()1g a <-．试题答案一、单选题：1．D 2．B 3．B 4．C 5．B 6．A 7．C 8．B二、多选题：9．CD 10．BC 11．ACD12．BC三、填空题：13．114．15015．①1②．（3）（4）四、解答题17．解：选①，由01222n n n C C C ++=，得6n =（负值舍去）．（3分）选②，令1x =，可得展开式中所有项的系数之和为0．由010264nnn n n C C C +++-==L ，得6n =．（3分）选③，设第1r +项为常数项，()3211n rrrr n T C x-+=-，由2302r n r =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得6n =．（3分）由6n =得展开式的二项式系数最大为36C ，则展开式中二项式系数最大的项为()33223346120T C xx --=-=-．（4分）（2）解：设第1r +项为有理项，()632161rr rr T C x-+=-，（5分）因为06r ≤≤，r ∈N ，632r-∈Z ，所以0r =，2，4，6，则有理项为03316T C x x ==，23615T C x ==，4335615T C x x --==，66676T C x x --==．（8分）（错1个减1分，最多减3分）18．解：（1）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则()210210719xC P A C -=-=，得到5x =．故白球有5个．（4分）（2）()355310k kC C P X k C -==，0k =，1，2，3．于是可得其分布列为X 0123P112512512112（8分）（对1个给1分）19．解：（1）根据题意，分2步进行分析：①将3个男生全排列，有33A 种排法，排好后有4个空位，②将4名女生全排列，安排到4个空位中，有44A 种排法，则一共有3434144A A =种排法．（2分）（2）根据题意，分2种情况讨论：①男生甲在最右边，有66720A =，②男生甲不站最左边也不在最右边，有1155553000A A A =，则有72030003720+=种排法．（5分）（3）根据题意，7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，还有3个空座位，分2步进行分析：①将4名女生全排列，有44A 种情况，排好后有5个空位，②将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有25A 种情况，则有4245480A A =种排法．（8分）20．解：（1）由题意知：()()220x f x x x-'=>．令()0f x '=，解得2x =．（2分）2x =把()f x 定义域划分成两个区间，()f x '在各区间上的正负，以及()f x 的单调性如下表所示．x()0,22()2,+∞()f x '－0＋()f x 单调递减单调递增（4分）所以()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+∞．（5分）（2）结合（1）的结论，列表如下：x1()0,22()2,+∞e()f x '－0＋()f x 1单调递减ln 2单调递增2e所以()f x 在区间[]1,e 上的最小值是ln 2，最大值是1．（10分）21．解：（1）从7名成员中挑选2名成员，共有2721C =种情况，记“男生甲被选中”为事件A ，事件A 所包含的基本事件数为16C 种，故()62217P A ==．（4分）（2）记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，由（1），则()121P AB =，且由（1）知()27P A =，故()()()1121267P AB P B P A A ===．（8分）（3）记“挑选的2人一男一女”为事件C ，事件C 所包含的基本事件数为114312C C ⨯=种，由（1），则()124217P C ==，“女生乙被选中”为事件B ，则()1442121C P BC ==，故()()()4121437P BC P B C P C ===．（12分）22．（1）解：函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞，（1分）()221a x af x x x x-'=-=．（2分）①当0a ≤时，对任意的0x >，()0f x '>，此时，函数()y f x =在()0,+∞上单调递增；（4分）②当0a >时，令()0f x '<，可得0x a <<；令()0f x '>，可得x a >．此时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞．（6分）综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞．（6分）（2）证明：由（1）可知，当0a >时，()()min ln 1f x f a a ==+，要证()21a f x a -≥，只需证21ln 1a a a -+≥，即证1ln 10a a+-≥．（8分）构造函数()1ln 1g a a a=+-，其中0a >，则()22111a g a a a a-'=-=．（10分）当01a <<时，()0g a '<，此时函数()y g a =单调递减；当1a >时，()0g a '>，此时函数()y g a =单调递增，所以，()()min 10g a g ==，所以1ln 10a a+-≥恒成立，因此，()21f x a a-≥．（12分）23．（1）解：由题意可得()()1xf x x e '=-，所以()()22221f e e '=-=，（1分）又知()20f =，（2分）所以曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()202y e x -=-，即2220e x y e --=．（4分）（2）证明：由题意()()()2ln 22ln 2f x f x x x x e x x =+-+=--++，则()()()()11121111x x x x f x e x e x e x e x x x ⎛⎫'=+--+=--+=-- ⎪⎝⎭，当112x <<时，10x -<，令()1x h x e x =-，则()210x h x e x '=+>，所以()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，（6分）因为121202h e ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()110h e =->，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即001x e x =，即00ln x x =-，（8分）故当01,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x <，又10x -<，故此时()0g x '>；当()0,1x x ∈时，()0h x >，又10x -<，故此时()0g x '<，即()g x 在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在()0,1x 上单调递减，则()()()()00000max 2ln 2xg x g a g x x e x x ===--++()000000122232x x x x x x =-⋅--+=--，（10分）令()232G x x x =--，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()22221220x G x x x -'=-=>，所以()G x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()11G x G <=-，所以()1g a <-．（12分）。

吉林省四平市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题含答案

四平市2023-2024学年度第二学期期中质量监测高二数学试题（答案在最后）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()23cos f x x x=+的导函数是（）A.()6sin f x x x '=+B.()6sin f x x x '=-C.()3sin f x x x'=- D.()3sin f x x x'=+【答案】B 【解析】【分析】利用导数的运算法则即可求解.【详解】()()()23cos 6sin f x x x x x '''=+=-.故选：B.2.5(2)x -的展开式中3x 的系数为（）A.40-B.20- C.20D.40【答案】D 【解析】【分析】写出展开式的通项，即可计算可得.【详解】因为5(2)x -展开式的通项为()515C 2rr rr T x -+=-（05r ≤≤且N r ∈），所以5(2)x -的展开式中3x 的系数为225C (2)40⨯-=.故选：D3.某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（）A.108种B.90种C.72种D.36种【答案】A 【解析】【分析】先确定第一天和第二天播放的节目，然后再确定节目的播放顺序，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有1333C A 18=种；第二步，某谈话节目和其他剩余的2个节目在第二天播出，有33A 6=种播出方案，综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有186108⨯=种不同的播出方案.故选：A4.已知*0,x n ≠∈N ，则“8n =”是“312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】若8n =，则8312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项为()626381C 2112x x ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭；若312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项，设二项式的通项为()33411=C22C rn rrn r r n r r nn T x x x ---+⎛⎫⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，且存在常数项，则340n r -=，34nr =，r 为整数，所以n 能被4整除.所以“8n =”是“312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件.故选：A.5.已知曲线2ln y x x =-在点A 处的切线与直线20x y +-=垂直，则点A 的横坐标为（）A.2-B.1-C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】设点()00,A x y ，根据题意可得()01f x '=，从而求得0x .【详解】设()2ln f x x x =-，点()00,A x y ，则()12f x x x='-，由在点A 处的切线与直线20x y +-=垂直可得()01f x '=，即00121x x -=，又00x >，01x ∴=.故选：D6.已知函数()()22e xf x x ax a =++，若()f x 在2x =-处取得极小值，则a 的取值范围是（）A.()4,+∞ B.[)4,+∞ C.[)2,+∞ D.()2,+∞【答案】A 【解析】【分析】利用求导得到导函数的零点2a-和2-，就参数a 分类讨论，判断函数()f x 的单调性，即可分析判断，确定参数a 的范围.【详解】由题意得，()()()()()()222e 4e 242e 22e x x x xf x x ax a x a x a x a x a x ⎡⎤=++++=+++=++⎣⎦'，由()0f x '=可得，2ax =-或2x =-，①若22a -=-，即4a =时，()()222e 0x f x x =+≥'，显然不合题意；②若22a -<-，即4a >时，当2ax <-或2x >-时，()0f x '>，即()f x 在(,2a -∞-和(2,)-+∞上单调递增；当22a x -<<-，()0f x '<，()f x 在(,2)2a--上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极小值，符合题意；③若22a ->-，即4a <时，当<2x -或2x a >-时，()0f x '>，即()f x 在(,2)-∞-和(,)2a -+∞上单调递增；当22a x -<<-，()0f x '<，()f x 在(2,)2a--上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极大值，不符题意.综上所述，当4a >时，()f x 在2x =-处取得极小值，故a 的取值范围是()4,∞+.故选：A.7.若()()()()23416321241811N x x x x =+-+-+-+-，则N =（）A.()41x - B.()41+x C.()43x - D.()43x +【答案】B 【解析】【分析】利用二项式定理可得答案.【详解】()()()()23416321241811N x x x x =+-+-+-+-413222334444(1)C (1)2C (1)2C (1)22x x x x =-+-⋅+-⋅+-⋅+4(12)x =-+4(1)x =+.故选：B8.若函数()21ln 32f x x ax =++在区间()1,4内存在单调减区间，则实数a 的取值范围是（）A.1,16⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.()1,1,16⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C.(),1-∞- D.()0,1【答案】A 【解析】【分析】对()f x 求导，分0a ≥和a<0两种情况，结合()f x 在区间()1,4内存在单调减区间，求出a 的取值范围即可.【详解】()21ln 32f x x ax =++，()211ax f x ax x x+'=+=，当0a ≥时，()0f x ¢>，不符合题意；当0a <时，令()0f x '<，解得x >()f x 在区间()1,4内存在单调减区间，∴4<，解得116a <-.∴实数a 的取值范围是1,16⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，下列说法正确的是（）A.若A ，B 不相邻，有72种排法B.若A ，B 不相邻，有48种排法C.若A ，B 相邻，有48种排法D.若A ，B 相邻，有24种排法【答案】AC 【解析】【分析】求得A ，B 不相邻时的排法总数判断选项AB ；求得A ，B 相邻时的排法总数判断选项CD.【详解】A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，若A ，B 不相邻，则先让C ，D ，E 自由排列，再让A ，B 去插空即可，则方法总数为3234A A 72=（种）.则选项A 判断正确；选项B 判断错误；A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，若A ，B 相邻，则将A ，B “捆绑”在一起，视为一个整体，与C ，D ，E 自由排列即可，则方法总数为2424A A 48=（种）.则选项C 判断正确；选项D 判断错误.故选：AC10.在62x⎛⎝的展开式中，下列命题正确的是（）A.偶数项的二项式系数之和为32B.第3项的二项式系数最大C.常数项为60D.有理项的个数为3【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式以及二项式系数的性质，代入计算，对选项逐一判断，即【详解】偶数项的二项式系数之和为152232n -==，故A 正确；根据二项式，当3r =时36C 的值最大，即第4项的二项式系数最大，故B 错误()()36662166C 21C 2r r rr rr r r T x x---+⎛==-⋅⋅⋅ ⎝，令3602r -=，4r =，∴4256C 260T =⋅=，故C 正确；362r -为整数时，0,2,4,6r =，故有理项的个数为4，故D 错误.故选：AC ．11.已知函数()ln xxf x e =,则下列说法正确的是（）A.()f x 有且仅有一个极值点B.()f x 有且仅有两个极值点C.当01x <<时，()f x 的图象位于x 轴下方D.存在0x ，使得()01f x e=【答案】AC 【解析】【分析】利用导数与极值、最值的关系求解即可.【详解】由题意知，()1ln xxx f x e -'=,令()1ln h x x x =-,()211h x x x '=--,易得()h x 在()0,∞+上单调递减,又()110h =>,()12ln 202h =-<，所以()01,2x ∃∈,使得()00h x =，所以当00x x <<时,()0f x '>，当0x x >时,()0f x '<，故()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x ∞+上单调递减，所以()f x 有且仅有一个极值点.故A 正确,B 错误;当01x <<时,ln 0x <，e 0x >,所以()0f x <,故C 正确;所以()()0000max 0ln 11ex x x f x f x e x e ===<,故D 错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有___________种.【答案】8【解析】【分析】利用分步加法计数原理计算即得.【详解】依题意，可由三名学生依次选修课程，故分三步完成，由分步乘法计数原理知，不同的选法有322228⨯⨯==（种）.故答案为：8.13.函数()ln f x x x =-的单调减区间为___________.【答案】(]0,1【解析】【分析】首先求出函数的定义域为()0,∞+，再求出()f x '，令()0f x '≤，解不等式即可求解.【详解】函数()ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，且()111x f x x x-'=-=，令()0f x '≤，即10x x-≤，解不等式可得01x <≤，所以函数的单调递减区间为(]0,1.故答案为：(]0,1【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求出导函数，属于基础题.14.已知函数()f x 的导函数()f x '满足()()f x f x '>在R 上恒成立，则不等式()()23e 21e 10x f x f x --->的解集是______.【答案】2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据已知关系式可构造函数()()xf xg x =e，可知()g x 在R 上单调递增，将所求不等式转化为()()211g x g x ->-，利用单调性可解不等式求得结果.【详解】令()()x f x g x =e ，则()()()0ex f x f x g x '-'=>，所以()g x 在R 上单调递增，由()()23e 21e 10xf x f x --->，得()()211>1e21ex xf x f x ----，即()()211g x g x ->-，又()g x 在R 上单调递增，所以211x x ->-，解得23x >.所以不等式()()23e 21e 10xf x f x --->的解集是2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.故答案为：2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：此类问题要结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而解不等式即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（1）求值：2222310C C C +++ ;（2）解方程：32213A 2A 6A x x x +=+．【答案】（1）165；（2）5x =【解析】【分析】（1）利用组合数性质计算可得原式等于311C 165=；（2）由排列数计算公式可得(32)(5)0x x --=，可得5x =.【详解】（1）因为11C C C m m m n nn -+=+，所以11C C C m m m n n n -+-=，原式()()()()333333333345410911103C C C C C C C C C ++++-+=--- 31111109C 165123⨯⨯===⨯⨯；（2）因为32213A 2A 6A x x x +=+，所以!(1)!!326(3)!(1)!(2)!x x x x x x +⨯=⨯+⨯---，化简可得(32)(5)0x x --=，同时3x ≥，解得5x =.16.已知二项式nx⎛- ⎝的展开式中，所有项的二项式系数之和为a ，各项的系数之和为b ，32a b +=（1）求n 的值；（2）求其展开式中所有的有理项．【答案】（1）4（2）42135,54,81T x T x T x-===【解析】【分析】（1）先利用题给条件列出关于n 的方程，解之即可求得n 的值；（2）利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项．【小问1详解】因为2,(2)n n a b ==-，所以2(2)32n n +-=，当n 为奇数时，此方程无解，当n 为偶数时，方程可化为2232n ⨯=，解得4n =；【小问2详解】由通项公式3442144C (3)C rrr r r r r T x x--+=⋅=-⋅，当342r -为整数时，1r T +是有理项，则0,2,4r =，所以有理项为0442214422143454(3)C ,(3)C 54,(3)C 81T x x T x x T xx --=-==-==-=．17.为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．（1）高二年级一共有多少不同的分组方案？（2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？【答案】（1）120种；（2）36种.【解析】【分析】（1）利用分类加法计数原理，结合平均分组问题列式计算.（2）按相邻问题及有位置限制问题，利用分步乘法计数原理列式计算即得.【小问1详解】两组都是3女2男的情况有326422C C 60 A ⋅=（种）：一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有1446C C 60⋅=（种），所以总情况数为6060120+=（种），故一共有120种不同的分组方案.【小问2详解】视丁和戊为一个整体，与甲、乙任取1个站最右端，有13C 种，再排余下两个及丙，有33A 种，而丁和戊的排列有22A 种，所以不同排列方式的种数是132332C A A 36=.18.已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a =-++∈R ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）32y =（2）答案见解析【解析】【分析】(1)代入1a =，求出'(1),(1)f f 即可求得切线方程；(2)函数求导'(2)()()x a x a f x x+-=，对a 分类讨论，进而求得单调性.【小问1详解】当1a =时，()212ln 2f x x x x =-++，'2()1f x x x =-++，所以'3(1)2110,(1)2f f =-++==，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为32y =.【小问2详解】22'2(2)()()x ax a x a x a f x x x+-+-==，①当0a =时，'()0f x x =>，所以函数在(0,)+∞上单调递增；②当0a >时，令'()0f x =，则12x a =-(舍)或2x a =，'()0,0f x x a <<<，当(0,)x a ∈时，函数()f x 单调递减；'()0,f x x a >>，当(,)x a ∈+∞时，函数()f x 单调递增.③当0a <时，令'()0f x =，则12x a =-或2x a =(舍)，'()0,02f x x a <<<-，当(0,2)x a ∈-时，函数()f x 单调递减；'()0,2f x x a >>-，当(2,)x a ∈-+∞时，函数()f x 单调递增.综上所述：当0a =时，函数在(0,+∞)上单调递增；当0a >时，当(0,)x a ∈时，函数()f x 单调递减当(,)x a ∈+∞时，函数()f x 单调递增；当0a <时，当(0,2)x a ∈-时，函数()f x 单调递减；当(2,)x a ∈-+∞时，函数()f x 单调递增19.已知函数()ln 32a f x ax x =--，其中0a ≠.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()10xf x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）[)2,+∞.【解析】【分析】（1）利用导数，讨论a 的符号判断函数单调性；（2）问题转化为1ln 3102ax x x x ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭恒成立，取1x =，有310a -+≥，可得2a ≥，构造函数利用导数求最小值证明1ln 02x x ->，则12ln 30x x x --+≥恒成立，通过构造函数利用导数求最小值证明.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()2122a x a f x a x x -'=-=，①当0a >时，()0f x '<解得102x <<，()0f x ¢>解得12x >，此时函数()f x 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，②当0a <时，()0f x ¢>解得102x <<，()0f x '<解得12x >，此时函数()f x 的增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭；【小问2详解】不等式()10xf x +≥可化为2ln 3102a ax x x x --+≥，由2ln 3102a ax x x x --+≥恒成立，取1x =，有310a -+≥，可得2a ≥，又由2ln 3102a ax x x x --+≥可化为1ln 3102ax x x x ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭，令()1ln 2g x x x =-，有()121122x g x x x -'=-=，令()0g x '<解得102x <<，()0g x '>解得12x >此时函数()g x 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，有()111111ln ln 20222222g x g ⎛⎫≥=-=+> ⎪⎝⎭，可得1ln 02x x ->，可得211ln 2ln 2ln 22ax x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下面证明22ln 310x x x x --+≥，即证明12ln 30x x x --+≥，令()12ln 3h x x x x =--+，有()()()222221111212x x x x h x x x x x+---'=--==，令()0h x '<解得01x <<，()0h x '>解得1x >，可得函数()h x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，有()()120310h x h ≥=--+=，可得不等式22ln 310x x x x --+≥成立，所以若()10xf x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为[)2,+∞.。

河南省郑州多所中学2023-2024学年高二下学期期中学业水平测试数学试题

河南省郑州多所中学2023-2024学年高二下学期期中学业水平测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（）A ．36种B ．20种C ．12种D ．10种2．若2525C A n =，则n =（）A ．6B ．8C ．9D ．103．函数()331f x x x =-+在点(1,1)P -处切线的斜率为（）A ．1-B ．3-C ．1D ．04．将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为（）A ．504B ．126C ．112D ．565．若函数()2ln 1f x x a x =-+在[)1,+¥上单调递增，则实数a 的最大值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．26．甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（）A ．96种B ．132种C ．168种D ．204种7．已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数为()f x ¢，且()()f x f x <¢，则（）A ．()()20242023f f >B ．()()2024e 2023f f >C ．()()e 20242023f f <D ．()()22024e 2023f f <8．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用m x ∣表示整数x 被m 整除，设*,,a b m ÎÎZ N 且1m >，若()m a b -∣，则称a 与b 对模m 同余，记为()mod a b m º.已知0161151421516161616C 5C 5C 5C 5a =´-´++´-´L ，则（）A ．()2030mod7a ºB ．()2031mod7a ºC ．()2032mod7a ºD ．()2033mod7a º074。

浙江省宁波市镇海2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷含答案

镇海2023学年第二学期期中考试试题高二年级数学学科（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{230}P x x x =+-<∣，集合3{1}Q x x =>-∣，则P Q = （）A.()3,1- B.()2,1- C.()1,1- D.()1,3-【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再结合交集的定义，即可求解．【详解】集合2{|230}{|31}P x x x x x =+-<=-<<，集合{}{}311Q x x x x =-=-，故(1,1)P Q ⋂=-．故选：C ．2.已知函数4log ,01()2,1xx x f x x <<⎧=⎨≥⎩，则21()(log 3)4f f +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用指、对数的运算性质，即可求出结果.【详解】因为4log ,01()2,1xx x f x x <<⎧=⎨≥⎩，所以411()log 144f ==-，又2log 31>，所以2log 32(log 3)23f ==，则21((log 3)1324f f +=-+=，故选：B.3.22cos 25sin 25sin110cos 70︒-︒=︒⋅︒（）A.1-B.1C.2- D.2【答案】D 【解析】【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．【详解】22cos 25sin 25cos50cos50sin 40211sin110cos 70sin 70cos 70sin140sin 4022︒-︒︒︒︒====︒⋅︒︒⋅︒︒︒．故选：D ．4.在ABC 中，“cos sin A B =”是“90C =︒”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先证明条件是必要的，再构造反例说明条件不是充分的.【详解】若90C =︒，则()()cos cos 180cos 90sin A C B B B =︒--=︒-=，故条件是必要的；当10A =︒，100B =︒，70C =︒时，有cos cos10sin100sin A B =︒=︒=，7090C =︒≠︒，故条件不是充分的.故选：B.5.函数}}:f →，}}:g →，如图所示，则()(){}x f g x g f x ⎡⎤⎡⎤<=⎣⎦⎣⎦∣（）A.{}ln2B.C.{}cos2 D.【答案】A 【解析】【分析】对x =，ln 2x =cos 2x =，分别计算可判断[()][()]f g x g f x <是否成立，可求{|[()][()]}x f g x g f x <.【详解】当x =时，[()](cos 2)ln 20f g x f ==>，[()]cos 20g f x g ==<，不满足[()][()]f g x g f x <，当ln 2x =时，[()](ln 2)cos 20f g x f ==<，[()](cos 2)0g f x g ==>，满足[()][()]f g x g f x <，当cos 2x =时，[()]f g x f ==[()](ln 2)ln 21g f x g ==<，不满足[()][()]f g x g f x <，综上所述：{|[()][()]}{ln 2}x f g x g f x <=.故选：A.6.我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等.已知函数()()πtan 06h x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象中的两条相邻“平行曲线”与直线2024y =相交于A 、B 两点，且3AB =，则34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.B.C.2D.2+【答案】D 【解析】【分析】由“平行曲线”的性质和周期公式求出ω，再代入函数值结合两角和的正切展开式计算即可.【详解】由“平行曲线”的性质可得函数的最小正周期为3T AB ==，所以ππ3T ω==，所以()ππtan 36h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以ππtantan 13π3πππ463tan tan 2ππ43464631tan tan 463f ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⨯故选：D.7.如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，π2ABC ∠=，点E 是BC 上一点，π24,3CE BE AED ==∠=，ADE V的面积为AD 的长为（）A.B. C.8D.【答案】A 【解析】【分析】设,AB x CD y ==，求得24tan(π)124x y AED x y +-∠=-420x y ---=，再由ADE V的面积为2x y +=,x y 的值，即可求解.【详解】由题意，设,AB x CD y ==，则24tan(π)tan()124x y AED AED CED x y +-∠=∠+∠=-，可得2π24tan3124x y x y +==-420x y ---=，又由111()624222x y x y =+⨯-⋅-⋅，即2x y +=联立可得24xy =，联立方程组242xy x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ==所以AD ==.故选：A.8.已知0.5log x x =，0.5log yx y =，0.5log zx z =，则（）A.z x y <<B.y z x <<C.x y z<< D.y x z<<【答案】D 【解析】【分析】构造函数()0.5log x f x x =-，利用零点存在定理得到112x <<；由0.5log 0yx y =>得01y <<，从而有0.50.5log log y x >，得到y x <，由0.5log zx z =得到log log x x z x <，得到z x >，从而求出结果.【详解】令()0.5log x f x x =-，易得()f x 单调递增，又0.50log 111112222f ⎛⎫=-=-<⎪⎝⎭，()0.511110log f =-=>，所以()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一零点，因为0.5log x x =，所以112x <<，由0.5log 0y x y =>，知01y <<，所以0.50.5log log yx y x x =>=，又函数0.5log y x =在(0,)+∞上单调递减，所以y x <，由0.5log zx z =，知0z >，所以00.5log 1log zx x z x <=<=，所以z x >，综上，y x z <<.故选：D.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于构造函数()0.5log x f x x =-，利用零点存在定理得到112x <<，再利用指对数函数的单调性解决问题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若2x a x ++-的最小值是1，则实数a 的值可以为（）A.1-B.2- C.3- D.4-【答案】AC 【解析】【分析】根据条件，利用绝对值三角不等式，即可求出结果.【详解】因为22x a x a ++-≥+，当且仅当(2)()0x a x +-≥取等号，又2x a x ++-的最小值是1，所以21a +=，解得1a =-或3a =-，故答案为：AC.10.已知函数()1e exxm f x m -⋅=+是定义域上的奇函数，则下列选项中错误．．的是（）A.1m = B.()1f x =有解C.()()210f f +-=D.()2y f x =+与()4y f x =-的图象关于3x =对称【答案】ABCD【解析】【分析】对于A ，验证1m =-符合题意即可说明选项错误；对于B ，假设()1f x =，再得出矛盾即可说明选项错误；对于C ，利用单调性和奇偶性可验证结论不成立，从而说明选项错误；对于D ，利用图象对称对应的恒等式，验证其不恒成立，即可说明选项错误.【详解】对于A ：若1m ≠-，则由0e 0m +≠知()f x 的定义域包含0x =，再由()f x 是奇函数有()00f =，代入得101mm -=+，故1m =，经检验符合题意.若1m =-，则()1e e 11e e 1x x xxf x ++==-+-，其定义域0x ≠关于原点对称，且()()e 11e e 1e 11e e 1x x x x xx f x f x --+++-===-=----，从而()f x 是奇函数.这表明m 的所有可能值是1m =或1m =-，故A 错误；对于B ：由上面的结论知()1e 1e x xf x -=+或()e 1e 1x x f x +=-.无论哪种情况，()1f x =都意味着e 1e 1xx+=-，两边同时平方得到22e 2e 1e 2e 1x x x x ++=-+，即4e 0x =，这是不可能的.所以()1f x =无解，故B 错误；对于C ：若()1e 1e x x f x -=+，则由()1e 211e 1e x x xf x -==-+++知()f x 单调递减；若()e 1e 1x x f x +=-，则由()e 121e 1e 1x x xf x +==+--知()f x 在()0,∞+上单调递减.无论怎样，都有()f x 在()0,∞+上单调递减，故()()21f f <.所以()()()()21210f f f f +-=-<，故C 错误；对于D ：该选项的描述即为()()()264f x f x +-=-（若等号两边都有意义）.即()()84f x f x -=-（若等号两边都有意义）.但根据上面的论证，知()f x 在()0,∞+上单调递减，故4x <时必有()()84f x f x -<-.故D 错误.故选：ABCD.11.若a ，b 为函数()()2sin 1f x x m x =++-的两个不同零点，令()h m a b =-，则下列命题正确的是（）A.π是函数()h m 的一个周期B.02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，是函数()h m 的一个单调递减区间C.函数()h m 的图象是轴对称图形 D.函数()h m 的图象是中心对称图形【答案】BC 【解析】【分析】由于此题的零点无法求解，因此联想到数形结合来做，即通过分析特殊值来确定选项A ，再通过24x x m π⎛⎫⎝⎭=--⎪的解来分析选项BC ，利用反证法可判断D .【详解】对于A ，若π2m =时，()2cos 1f x x x =+-，此时()sin 2f x x x '=-+，设()sin 2s x x x =-+，则()cos 20s x x '=-+>，故()f x '为R 上的增函数，而()00f '=，故当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，而()00f =，故()f x 仅有一个零点，与题设矛盾，故π2m ≠.同理π2π,Z 2m k k ≠+∈，当3π2m =时，()2cos 1f x x x =-+-，此时()sin 2f x x x '=+，同理可得()f x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，而()020f =-<，()()223cos 20f f =-=->，故此时()f x 有两个不同的零点，故()h m 的周期不是π，故A 错误.对于B ，()()2sin 1f x x m x =++-的x m =-的零点差的绝对值,其中π2π,Z 2m k k ≠+∈.设()n 24g x x π⎛⎫- ⎪⎝=⎭=，其图像如图所示，根据对称性及A 中讨论，24x x m π⎛⎫⎝⎭=--⎪在ππ,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的两个不同零点差的绝对值，其中02m π<<，设该方程较大的零点为b ，较小的零点为a ，则π02b <<，因为πππ222m m g ⎛⎫--=+>=- ⎪⎝⎭，故π2a >-.设1202m m π<<<，1x m =-的两个根为11,a b ，且11ππ22a b -<<<，11m a =-11b m =-11b a +=-.同理()22sin 1y x m x =++-的两边不同的零点22,a b 也满足：22b a +-，其中1212ππ22a ab b <<<-<<，而ππ,22y x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎣⎭为减函数，<，<，故2211b a b a -<-即()()12h m h m >，故()h m 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 成立.对于C ，结合B 中()g x 的图像关于直线2x π=对称可知22h m h m ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()h m 的图象关于直线2m π=对称，即选项C 是正确的；对于D ，当R m ∈且π2π,Z 2m k k ≠+∈时，结合()g x 的图像可得()h m 的最小正周期为2π，且()h m 的图象有两类对称轴：π2π,Z 2m k k =+∈，3π2π,Z 2m k k =+∈，若()h m 图像有对称中心()00,m h ，根据()h m 的最小正周期为2π及对称性不妨设0π3π,22m ⎛⎤∈⎥⎝⎦，且()()0022h m m h m n -+=，而()()πh m h m -=，故()()002π2h m m h m n -+-=，故()()002π2h m m h m n -++=，所以()()00042π2π2h m m h m m n -++-+=，故()()042πh m m h m -+=，故()h m 的周期为042m π-，但(]04π,4πm π-∈，结合最小正周期为2π可得042π4πm -=即03π2m =，但直线03π2m =为对称轴，故()h m 的图像无对称中心.故D 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：复杂函数的零点问题，可利用变换转化为简单函数的图象的交点问题，而抽象函数的性质的讨论，可以依据定义来进行判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.用列举法表示集合6{|}9x x∈∈-N N 的结果为_____________.【答案】{}1,2,3,6【解析】【分析】根据题意可9x -知为6的约数，求得x 的取值，用列举法表示集合即可.【详解】由6N 9x∈-可知9x -为6的约数，所以91,2,3,6x -=，因为N x ∈，所以8,7,6,3x =，此时，66,3,2,19x=-集合为{}1,2,3,6.故答案为：{}1,2,3,6.13.将函数()π3cos 2y x ϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移π3个单位得到曲线C .若曲线C 的图象关于直线π4x =对称，则ϕ的值为_________.【答案】π6##1π6【解析】【分析】先求出曲线C 的解析式π3cos 23y x ϕ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后根据图象的对称性即得πcos 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，最后利用余弦函数的性质及ϕ的范围可求得ϕ的值.【详解】将函数()3cos y x ϕ=+的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，得到函数()3cos 2y x ϕ=+的图象；再将函数()3cos 2y x ϕ=+的图象向右平移π3个单位，得到曲线π3cos 23y x ϕ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由条件知该曲线关于直线π4x =对称，故对应函数在π4x =处取得最大值或最小值，从而ππcos 2143ϕ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πcos 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.从而()ππ6k k ϕ-=∈Z ，即()ππ6k k ϕ=+∈Z .再由π2ϕ<即ππ22ϕ-<<，就得到2133k -<<，从而0k =，故π6ϕ=.故答案为：π6.14.已知1x >，1y >，1z >，且满足log 10log 10log 10log 101x y xy z +=+=，则z 的最大值为_________.【答案】4310【解析】【分析】由已知结合对数的换底公式进行化简，然后结合基本不等式即可求解．【详解】因为1x >，1y >，1z >，且满足log 10log 10log 10log 101x y xy z +=+=，所以111lg lg x y +=，111lg()lg xy z+=，所以2lg lg lg lg lg lg (2x y x y x y +⋅=+≤，当且仅当100x y ==时取等号，所以lg lg 4x y +≥，110lg lg 4x y <≤+，因为111lg()lg xy z+=，所以111311[,1)lg lg()lg lg 4z xy x y =-=-∈+，所以41lg 3z <≤，所以431010z <≤，故z 的最大值为4310．故答案为：4310．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知不等式603xx -≥-的解集为A ，函数()()2lg 2f x x x a =-+的定义域为B .（1）求A ；（2）若A B ⊆，求a 的范围.【答案】（1）(3,6]（2）[3,)-+∞【解析】【分析】（1）直接利用分式不等式的解法求出结果；（2）利用对数的定义域和集合间的关系求出参数a 的取值范围．【小问1详解】不等式603x x -≥-，整理得：603x x -≤-，即(3)(6)030x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得：36x <≤，故集合A 的解集为(3,6]．【小问2详解】由于(3A =,6]，由于A B ⊆，则2()lg(2)f x x x a =-+的定义域满足对(3A ∀=,6]，220x x a -+>恒成立，故满足2360a -+≥，整理得3a ≥-，故实数a 的取值范围[3,)-+∞．16.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()223f x f x x +-=+.（1）求()f x ；（2）若函数()()()33f x x g x t f t =+⋅-，[]1,1x ∈-，是否存在实数t 使得()g x 的最小值为3-？若存在，求出实数t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()21f x x =+（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）将已知中的x 替换为x -，得出方程组，求解即可得到答案；（2）由（1）可得()21323x x g x t +=+⋅，利用换元法令3x u =，结合一元二次函数的单调性讨论即可.【小问1详解】由()()223f x f x x +-=+可得()()223f x f x x -+=-+，联立()()()()223223f x f x x f x f x x ⎧+-=+⎪⎨-+=-+⎪⎩，解得()21f x x =+.【小问2详解】由（1）可得()()21213231323x x x x g x t t t ++=+⋅⨯+-=+⋅，令3x u =，则当[]1,1x ∈-时，1,33u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()232g u u tu =+，所以()g u 在,3t ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在,3t ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，当133t -≤，即1t ≥-时，()2min111323333g u g t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5t =-，与1t ≥-矛盾，当33t-≥，即9t ≤-时，()()2min 333233g u g t ==⨯+⨯=-，解得5t =-，与9t ≤-矛盾，当1333t <-<，即91t -<<-时，()2min323333t t t g u g t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1t =±，与91t -<<-矛盾，综上不存在实数t 使得()g x 的最小值为3-.17.已知函数()()2cos 2sin 10f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在区间[]π,αα-内既有最大值又有最小值，求α的取值范围.【答案】（1）1ω=，πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦（2）5π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得π()2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由周期公式及正弦函数的单调性求解即可；（2）首先根据区间形式得到π2α>，再利用整体法结合正弦函数性质得到不等式组，解出即可.【小问1详解】()2πcos 2sin 12cos 22sin 26f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，由题意可得：2π==π2T ω，则1ω=，∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤-≤+∈，则ππππ,Z 63k x k k -≤≤+∈∴函数()f x 的单调增区间为πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦；【小问2详解】根据区间形式得παα>-，则π2α>，又因为[]π,x αα∈-，则11πππ222666x αα-≤-≤-，π5π266α->，若()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]π,αα-内既有最大值又有最小值，则11ππ262α-≤-，解得7π6α≥；或者π3π26211ππ262αα⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得5π6α≥；综上两者取并集得5π6α≥.所以α的取值范围为5π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()sin cos cos cos B c B b C B +=.（1）求B ；（2）若π2C =，且C 的角平分线交AB 于P ，Q 为边AC 的中点，CP 与BQ 交于点D .求cos PDQ ∠；（3）若5b =，求ABC 内切圆半径r 的取值范围.【答案】（1）π3B =（2）42214cos 14PDQ -∠=（3）ABC 内切圆半径r 的取值范围为(0,]6【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin (sin cos sin cos )cos B C B B C A B +=，利用三角恒等变换可得B ；（2）设2BC a =，可求得cos BQC ∠，sin BQC ∠，利用cos cos()PDQ PCQ BQC ∠=∠+∠，可求值；（3）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，可求得510a c <+≤，进而可得325acr a c =++，进而计算可求得ABC 内切圆半径r 的取值范围.【小问1详解】由sin (cos cos )cos B c B b C B +=,结合正弦定理得sin (sin cos sin cos )cos B C B B C A B +=，所以sin sin()cos B C B A B +=，所以sin sin(π)cos B A A B -=,所以sin sin cos B A A B =，因为sin 0A ≠，所以sin B B =，所以tan B =，因为(0,π)B ∈，所以π3B =.【小问2详解】当π2C =时，设2BC a =，由（1）可知π3B =，则AC =，因为Q是AC的中点，故QC=，所以BQ==，所以cosCQBQCBQ∠==sin BCBQCBQ∠==，所以πππcos cos()cos()cos cos sin sin444 PDQ PCQ BQC BQC BQC BQC ∠=∠+∠=+∠=∠-∠2214=-=；【小问3详解】由余弦定理可得2222cosb ac ac B=+-，所以222222125()3()3(()24a ca c ac a c ac a c a c+=+-=+-≥+-=+，当且仅当5a c==时取等号，所以10a c+≤，又5a c b+>=，所以510a c<+≤,因为1111sin2222ABCar br cr S ac B++==，由225()3a c ac=+-，可得21[()25]3ac a c=+-，所以213[()25]32(5)25256a cac acr a ca b c a c a c+-====+-++++++，所以06r<≤，所以ABC内切圆半径r的取值范围为(0,6.19.已知函数()2241mx xf xx+=+，函数()22mg x x=+.（1）若0m=，求()f x的值域；（2）若(]0,4m∈：（ⅰ）解关于x的不等式：()()f xg x≤；（ⅱ）设,a b∈R，若实数t满足()()2f a f b t⋅=-，比较()()1g t m g--与18的大小，并证明你的结论.【答案】（1）[]22-,（2）（ⅰ）4,m ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭（ⅱ）当2t =且12m =时，()()118g t m g --=；当2t ≠或12m ≠时，()()118g t m g --<，证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性和双勾函数的性质可求值域.（2）利用()()()()()221421x mx g x f x x -+-=+即可求出不等式的解集，然后证明2t ≤，再代入解析式证明()()118g t m g --≤，最后判断不等号两边相等的条件即可.【小问1详解】当0m =时，()241xf x x =+，其定义域为R ，而()()241xf x f x x -=-=-+，故()f x 为奇函数，当0x =时，()0f x =;当0x >时，()41f x x x=+，而1y x x=+在()0,+∞上的值域为[)2,+∞,故此时()(]0,2f x ∈，结合()f x 为奇函数可得()f x 的值域是[]22-,.【小问2详解】若(]0,4m ∈：（ⅰ）由于()()()()()()()2222224144412421212121x mx x mx m mx x mx x g x f x x mx x x x x +-+++⎛⎫-=+-=-=-+= ⎪++++⎝⎭，故不等式()()f x g x ≤等价于()()2140x mx -+≥，即40mx +≥或1x =.由4m -是负数，知原不等式的解集为4,m ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭；（ⅱ）由于关于x 的方程()2241mx x f a x +=+有解x a =，故关于x 的方程()()()240f a m x x f a --+=有解.如果()0f a m -≠，则该方程是二次方程，所以其判别式非负，即()()()1640f a f a m --≥.从而()0f a m -=和()()()1640f a f a m --≥这两个结论中，至少有一个成立.但当()0f a m -=时，亦有()()()164160f a f a m --=≥.故()()()1640f a f a m --≥一定成立，所以()()()4f a f a m -≤.同理()()()4f b f b m -≤，所以()(),22m m f a f b ⎡-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦.故()()2422m m t f a f b +-=≥⋅=-，所以22t -≤≤.所以由0m >，2t ≤即可得到()()()()()211111221122228228m m m m g t m g t m t m m m ⎛⎫--=-+--=--≤-=--≤ ⎪⎝⎭.根据上面的证明过程显然能够得出，不等号两边相等当且仅当2t =且12m =.综上，比较的结果为：当2t =且12m =时，()()118g t m g --=；当2t ≠或12m ≠时，()()118g t m g --<.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将函数的解析式与不等式结合，利用函数的性质即可更容易地解出与之相关的不等式.。

江苏省新海高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

江苏省新海高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、单选题1．9091100⨯⨯⨯L L 可表示为（）A ．10100AB ．11100AC ．12100AD ．13100A2．已知向量()2,1,3a =-r ，()4,2,b x =-r ，且a b ⊥r r ，则x =（）A ．103B ．113C ．4D ．63．某班5名同学到甲、乙、丙三个社区参加志愿服务活动，每名同学只选1个社区，甲社区安排1名，乙社区安排2名，丙社区安排2名，则不同的安排方法共有（） A ．180种B ．90种C ．60种D ．30种4．投掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，则在60次试验中成功次数X 的均值是（） A ．35B ．30C ．20D ．155．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如20713=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和小于15的概率是（） A ．27B ．421C ．17D ．146．若22222C C m m +=，则22234C C C m ++⋅⋅⋅+的值为（）A ．54B ．55C ．164D ．1657．若函数()2ln 1f x x a x =-+在()1 ,2上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．[]0,2B ．(),2-∞C ．[)8,+∞D ．(],2-∞8．在棱长为2的正四面体ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值是（）A ．23B C ．23-D ．34二、多选题9．某种产品的价格x （单位：元/kg ）与需求量y （单位：kg ）之间的对应数据如下表所示：根据表中的数据可得回归直线方程ˆˆ15.4ybx =+，则以下正确的是（） A ．相关系数0r >B ．第一个样本点对应的残差为-0.2C ．ˆ0.32b=- D ．若该产品价格为35元/kg ，则日需求量大约为4.2kg 10．对于832x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列说法正确的是（）A ．展开式共有8项B ．展开式的各项系数之和为1C ．展开式中的常数项是112D ．展开式的各二项式系数之和为12811．已知()16P A =，()1|5P B A =，若随机事件A ，B 相互独立，则（） A ．()14P B =B ．()130P AB =C ．()5|6P A B =D ．()1315P A B +=三、填空题12．若3212nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，仅第6项二项式系数最大，则n 等于．13．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布()26.40,0.05N ，则()6.25 6.45P ξ≤≤≈．（精确到0.01）参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈．14．三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是1”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是2”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是4”，则甲的卡片上的数字是．四、解答题15．已知函数()()2e xf x x =-．(1)求()f x 在0x =处的切线方程； (2)求()f x 在区间[]0,3上的最小值．16．已知()()25nf x x =+展开式的各二项式系数和为512，且()()()()201225222nnn x a a x a x a x +=+++++⋅⋅⋅++．(1)求123n a a a a +++⋅⋅⋅+；（结果保留指数幂形式） (2)求2a 的值；(3)求证：()161f -能被6整除．17．航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究．某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：参考数据：80x =，106y =，163716i i i x y ==∑，2147230i i x ==∑(1)建立y 关于x 的回归模型ˆˆˆy bx a =+，根据所给数据及回归模型，求ˆb ；（精确到0.1）(2)该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，100台推进器中有20台报废，其中保养过的推进器占比35%．请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为推进器报废与保养有关附：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++；18．已知圆220x y x y m +--+=与x 轴交于点()2,0P ，且经过椭圆G ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点，椭圆G ．(1)求椭圆G 的方程；(2)若点A 为椭圆G 上一点，且在x 轴上方，B 为A 关于原点O 的对称点，点M 为椭圆G 的右顶点，直线P A 与MB 交于点N ，PBN V ，求直线P A 的斜率． 19．联合国将每年的4月20日定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉［jié］造字的贡献，促进联合国六种官方语言平等使用．为宣传“联合国中文日”，某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，竞赛分为“个人赛”和“对抗赛”，竞赛规则如下：①个人赛规则：每位留学生需要从“拼音类”、“成语类”、“文化类”三类问题中随机选1道试题作答，其中“拼音类”有6道，“成语类”有8道，“文化类”有10道，若答对将获得一份奖品．②对抗赛规则：两位留学生进行答题比赛，每轮只有1道题目，比赛时两位参赛者同时回答同一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得-1分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分，对抗赛共设3轮，累计得分为正者将获得一份奖品，且两位参赛者答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．(1)留学生甲参加个人赛，根据以往答题经验，留学生甲答对“拼音类”、“成语类”、“文化类”的概率分别为25，25，35，求留学生甲答对了所选试题的概率；(2)留学生乙和留学生丙参加对抗赛，根据以往答题经验，每道题留学生乙和留学生丙答对的概率分别为35，12，设随机变量X为“第一轮中留学生丙的得分”，求()E X和()D X；(3)在（2）的条件下，求留学生丙获得奖品的概率．。

安徽省合肥市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题含答案

智学大联考·皖中名校联盟合肥2023-2024学年第二学期高二年级期中检测数学试题卷（答案在最后）注意事项：1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案涂在答题卡上）1.甲乙两人独立的解答同一道题，甲乙解答正确的概率分别是112p =，213p =，那么只有一人解答对的概率是（）A.16B.12C.13D.56【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率公式，即可求解.【详解】只有1人答对的概率()()1212121111123232P p p p p =-+-=⨯+=.故选：B2.若6x⎛- ⎝的展开式中常数项为15，则=a （）A.2 B.1C.1± D.2±【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式和常数项为15，求解出a【详解】6x⎛- ⎝的通项公式()3662166C C rr r r r r r T x a x --+⎛==- ⎝,令3602r -=，则4r =，由展开式中的常数项为15，故()446C =15a -，所以1a =±.故选：C3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若530S =，84a =，则10S =（）A.50 B.63C.72D.135【答案】A 【解析】【分析】思路一：由已知利用等差数列的求和公式和通项公式求解1a 和d ，即可求解10S ；思路二：由530S =得36a =，结合84a =、等差数列求和公式以及等差数列下标和性质即可求解.【详解】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知可得1154530274d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得134525a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以10110910502dS a ⨯=+=.方法二：()()5152433530S a a a a a a =++++==，所以36a =，从而由等差数列求和公式得()()()()11010110381055564502a a S a a a a +==+=+=⋅+=.故选：A .4.若曲线2ln y x a x =-在点()1,1P 处的切线与直线2y x =-垂直，则实数a 的值为（）A.1B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】求导2ay x x'=-，12x y a ='=-与直线2y x =-垂直，求出a 的值.【详解】由2ln y x a x =-，求导2a y x x'=-，则2ln y x a x =-在点()1,1P 处的切线的斜率为12x y a ='=-，而2ln y x a x =-在点()1,1P 处的切线与直线2y x =-垂直,则21a -=-，故3a =.故选：D5.将分别标有数字1,2,3,4,5的五个小球放入,,A B C 三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，则不同放法的总数为（）A.2B.24C.36D.18【答案】C 【解析】【分析】将所有情况分为标有数字1和2的小球所放入盒子中无其他小球和共有3个小球两种情况，结合分组分配、平均分组问题的求法，利用分类加法计数原理可求得结果.【详解】若标有数字1和2的小球所放入盒子中无其他小球，则剩余三个小球需放入两个不同的盒子中，将剩余三个小球分为12+的两组，则共有13C 3=种分法；将分组后的小球放入三个盒子中，共有33A 6=种放法，则共有1863=⨯种方法；若标有数字1和2的小球所放入盒子中共有3个小球，则需选择一个小球与标有数字1和2的小球放在一起，有13C 3=种选法；将剩余两个小球平均分为两组，有1222C 1A =种分法；将分组后的小球放入三个中，共有33A 6=种放法，则共有31618⨯⨯=种方法；综上：不同放法的总数为181836+=.故选：C.6.已知12e a -=，3ln 2b =，12c =，则（）A.a b c >>B.c b a>> C.c a b>> D.a c b>>【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数及对数函数的单调性判断即可.2<12>，即a c >，又322lnl 94n ln e=12b ==<，所以12b c <=，所以a c b >>.故选：D.7.随机变量X 的取值为1，2，3，若()115P X ==，()2E X =，则()D X =（）A.15B.25C.5D.5【答案】B 【解析】【分析】根据概率之和为1，以及方差公式，即可解得()2P X =和()3P X =，进而利用方差公式直接求解即可.【详解】由题知，()()()423115P X P X P X =+==-==，又()()()()122332E X P X P X P X ==+=+==，所以()()922335P X P X =+==，所以()325P X ==，()135P X ==，所以()()()()22213121222325555D X =-⨯+-⨯+-⨯=.故选：B8.设O 为坐标原点，直线1l 过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 且与C 交于A B 、两点（点A 在第一象限），min 4AB =，l 为C 的准线，AM l ⊥，垂足为M ，()0,1Q ，则下列说法正确的是（）A.4p =B.AM AQ +的最小值为2C.若3MFO π∠=，则5AB = D.x 轴上存在一点N ，使AN BN k k +为定值【答案】D 【解析】【分析】对于A 选项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即可得到；对于B 选项，利用抛物线上的点的性质进行转化，再结合图象，三点共线时，对应的线段和最小；对于C 选项，得到A 点的坐标，直线方程，联立直线与抛物线的方程求得B 点的坐标进而求得；对于D 选项，设出直线方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，代入AN BN k k +进行化简，要使得为定值，1t =-，从而存在点N .【详解】A 选项，因为1l 过焦点F ，故当且仅当AB 为通径时，AB 最短，即min 24AB p ==，从而2p =，故A 错误；B 选项，由抛物线的定义知AM AF =，所以AM AQ AF AQ +=+，由图知，当且仅当Q A F 、、三点共线时，AF AQ +取得最小值，即()minAM AQ QF +==B 错误；C 选项，由图K 是抛物线的准线l 与准线的交点，所以2FK p ==，在MFK Rt 中，3MFO π∠=，所以KM =，所以A y =，所以(3,A，所以1:l y =-，联立24y y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得231030x x -+=，得13,3A B x x ==，从而123,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1163233AB =++=，故C 错误；D 选项，设1:1l x my =+，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩得2440y my --=，216160m +>，设()()1122,,,A x y B x y ，则121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩，设x 轴上存在一点(),0N t ，则1212121211AN BN y y y y k k x t x t my t my t+=+=+--+-+-()()()()()()()()()()()1212222222212122124414111441114my y t y y m m tm t m y y m t y y t m t m t t m t+-+-+--+===+-++--+-+---，故当1t =-时，0AN BN k k +=，即存在()1,0N -使得AN BN k k +为定值0，故D 正确.故选：D .二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，两个选项部分选对得3分；三个选项选对一个得2分，选对两个得4分，选错得0分.请把正确答案涂在答题卡上）9.已知数列{}n a 满足11a =，()*12N nn n a a n ++=∈，则下列结论中正确的是（）A.45a = B.{}n a 为等比数列C.221221213a a a -+++=D.231222213a a a -+++=【答案】AC 【解析】【分析】利用递推式可求得234,,a a a 的值，可判断A ，B ，利用并项求和法结合等比数列的求和公式判断C ，D.【详解】数列{}n a 满足11a =，()*12nn n a a n ++=∈N，则122a a+=，234+=a a ，3342a a +=，有21a =，33a =，45a =，A 正确；显然211a a =，323a a =，因此数列{}n a 不是等比数列，B 错误；1221123520214()()()a a a a a a a a a a +++=++++++++ 11112224201(14)412112+2++2===1433⨯---=+- ，C 正确.()()()122212342122a a a a a a a a a +++=++++++ ()1111231321214242222+2++2===1433-⨯--=- ，D 错误；故选：AC 10.已知()14P A =，()13P B A =.若随机事件A ，B 相互独立，则（）A.()13P B =B.()112P AB =C.()34P A B =D.()1112P A B +=【答案】ABC 【解析】【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式，结合条件概率逐项计算即得.【详解】随机事件A ，B 相互独立，()14P A =，()13P B A =，对于A ，()()()()1()()()3P A P B P AB P B P B A P A P A ====，A 正确；对于B ，()111()()4312P AB P A P B ==⨯=，B 正确；对于C ，()()()()3()1()()()4P AB P A P B P A B P A P A P B P B ====-=，C 正确；对于D ，()11113()()()1)43434P A B P A P B P AB +=+-=+---=，D 错误.故选：ABC11.已知函数()2ln x f x x=，下列说法正确的是（）A.()f x 在1x =处的切线方程为22y x =-B.()f x 的单调递减区间为()e,+∞C.若()f x a =有三个不同的解，则22e ea -<<D.对任意两个不相等正实数1x ，2x ，若()()12f x f x =，则212ex x ⋅>【答案】AD 【解析】【分析】选项A ，根据条件，利用导数的几何意义，即可求解；选项B ，对()f x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；选项C ，作出()2ln x f x x =的图象，数形结合即可求解；选项D ，由条件知1212ln ln x x x x =，设120e x x <<<，构造函数ln ()x h x x =，2e ()()()H x h x h x =-，利用2e ()()()H x h x h x =-在区间(0,e)上单调性，得到2121e ()()()h x h x h x =<，再利用ln ()x h x x =的单调性即可求解.【详解】对于选项A ，因为()2ln x f x x=，所以当0x >时，()222ln x f x x -'=，所以()12f '=，又()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为22y x =-，故选项A 正确，对于选项B ，易知函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，因为()222ln x f x x-='，由()0f x '<，得到22ln 2ln e x >=，解得e x <-或e x >，所以()f x 的单调递减区间为(),e ∞--，()e,∞+，所以选项B 错误，对于选项C ，因为()222ln x f x x -='，由()222ln 0x f x x-'=>得到e e x -<<且0x ≠，所以()f x 的增区间为区间()e,0-，()0,e ，由选项B 知，()f x 的减区间为(),e ∞--，()e,∞+，又22(e),(e)e ef f =-=-，当x →-∞时，()0f x <，且()0f x →，当x →+∞时，()0f x >，且()0f x →，当0x <且0x →时，()f x →+∞，当0x >且0x →时，()f x →-∞，其图象如图所示，由图知，()f x a =有三个不同的解，则22e ea -<<且0a ≠，所以选项C 错误，对于选项D ，由题知()1212122ln 2ln ()x x f x f x x x ===，得到1212ln ln x x x x =，由图，不妨设120e x x <<<，设ln ()x h x x =，2e ()()()H x h x h x =-，则222222222e e 1ln 1ln (1ln )(e )()()()e ex x x x H x h x h x x x x ----'''=+=-=，当0e x <<时，1ln 0x ->，22e 0x ->，所以()0H x '>，即2e ()()()H x h x h x =-在区间(0,e)上单调递增，又(e)(e)(e)0H h h =-=，所以2111e ()()()0H x h x h x =-<，得到2121e ()()()h x h x h x =<，又21ln ()x h x x-'=，当e x >时，()0h x '<，即ln ()xh x x =在区间(e,)+∞上单调递减，又221e e,e x x >>，所以221e >x x ，得到212e x x ⋅>，所以选项D 正确，故选：AD.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置.）12.已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，132n n S S +=+，则5a =____________.【答案】108【解析】【分析】由题设可得122n n a S +=+，利用,n n a S 的关系求出数列通项，进而求出5a 即可.【详解】由题意可知，111,32n n a S S +==+，所以122n n a S +=+，则12)2(2n n a S n -=+≥，所以12n n n a a a +=-，则13(2)n n a a n +=≥，又因为11a =，所以21224a S =+=，所以数列{}n a 从第二项开始成等比数列，因此通项公式为22,143,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，，所以3543108a =⨯=.故答案为：108.13.设()525012512x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则135a a a ++=____________.【答案】122【解析】【分析】分别令1x =和=1x -，作差即可求得结果.【详解】令1x =，则50123453243a a a a a a +++++==；令=1x -，则()501234511a a a a a a -+-+-=-=-；两式作差得：()()135********a a a ++=--=，135122a a a ∴++=.故答案为：122.14.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，经过点F 作直线l 与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点M ，直线l 与双曲线的另一条渐近线相交于点N ，若3MN MF =，则双曲线的离心率e =____________.【答案】3【解析】【分析】设直线:(0)MN ty x c t =-<，11122(,)(0),(,)M x y y N x y >，由22220x y a b ty x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得到2222222()20b t a y b tcy b c -++=，从而有22212122222222,b tc b c y y y y b t a b t a+=-=--，根据条件有212y y =-，从而得到2229b t a =，再利用bt a=-，即可求出结果.【详解】易知(c,0)F ，如图，由对称性不妨设直线:(0)MN ty x c t =-<，11122(,)(0),(,)M x y y N x y >，由22220x y a b ty x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，消x 得到2222222()20b t a y b tcy b c -++=，则22212122222222,b tc b c y y y y b t a b t a+=-=--，因为3MN MF =，所以212111(,)3(,)x x y y c x y --=--，得到2113y y y -=-，即212y y =-，将212y y =-代入22212122222222,b tc b c y y y y b t a b t a +=-=--，整理得到2229b t a =，又易知b t a =-，所以2229(b b a a -=，得到223b a =，即2213b a =，所以双曲线的离心率c e a ===，故答案：3.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =，37S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=（2）()121nn T n =-⋅+【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 公比为q ，根据题意列式求1,a q ，即可得通项公式；（2）由（1）可知：12n n b n -=⋅，利用错位相减法分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 公比为q ，由题意可得212311127a a q S a a q a q ==⎧⎨=++=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩或1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，又因为等比数列{}n a 为递增数列，可知112a q =⎧⎨=⎩，所以12n n a -=.【小问2详解】由（1）可知：12n n b n -=⋅，则01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯ ，可得12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯ ，两式相减得()0211222222212112n n nn n n T n n n ---=++++-⨯=-⨯=-⨯-- ，所以()121n n T n =-⋅+.16.某大学为丰富学生课余生活，举办趣味知识竞赛，分为“个人赛”和“对抗赛”，竞赛规则如下：①个人赛规则：每位学生需要从“历史类、数学类、生活类”问题中随机选1道试题作答，其中“历史类”有8道，“数学类”有6道，“生活类”有4道，若答对将获得一份奖品.②对抗赛规则：两位学生进行答题比赛，每轮只有1道题目，比赛时两位参赛者同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得1分，答错者得1-分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分，对抗赛共设3轮，每轮获得1分的学生会获得一份奖品，且两位参赛者答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响.（1）学生甲参加个人赛，若学生甲答对“历史类”“数学类”“生活类”的概率分别为15，25，35，求学生甲答对所选试题的概率；（2）学生乙和学生丙参加对抗赛，若每道题学生乙和学生丙答对的概率分别为13，12，求三轮结束学生乙仅获得一份奖品的概率.【答案】（1）1645；（2）2572.【解析】【分析】（1）根据题意可知分三类求解：选题为历史类并且答对，选题为数学类且答对，选题为生活类且答对，由条件概率和全概率计算即可；（2）可先求出乙同学每轮获得1分的概率，然后由二项分布概率模型计算即可.【小问1详解】设学生甲选1道“历史类”试题为事件A ，选1道“数学类”试题为事件B ，选1道“生活类”试题为事件C ，答对试题为事件D ，则()844689P A ==++，()614683P B ==++，()424689P C ==++，()15P D A =，()25P D B =，()35P D C =，所以：()()()()()()()41122316|||95359545P D P A P D A P B P D B P C P D C =++=⨯+⨯+⨯=，故学生甲答对所选试题的概率为1645.【小问2详解】由题可知每一轮中学生乙得1分的概率为1111326⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，在3轮比赛后，学生乙得1分的概率为21131525C 6672P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，故三轮结束学生乙仅获得一份奖品的概率为：2572.17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，且120AF AF ⋅= ，动直线l 与椭圆交于,P Q 两点；当直线l 过焦点且与x 轴垂直时，2PQ =.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点()1,0E ，椭圆的左顶点为B ，当BPQ V时，求直线l 的斜率k .【答案】（1）22142x y +=（2）1±【解析】【分析】（1）根据向量数量积坐标运算和通径长可构造方程组求得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）设:1l x ty =+，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据1212BPQ S EB y y =⋅- ，结合韦达定理可构造方程求得结果.【小问1详解】由题意得：()1,0F c -，()2,0F c ，()0,A b ，()1,AF c b ∴=-- ，()2,AF c b =- ，22120AF AF c b ∴⋅=-+= ，即22b c =，22222a b c b ∴=+=；当直线l 过焦点且与x 轴垂直时，:l x c =±，不妨令:l x c =，由22221x c x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2b y a =±，222b PQ a ∴==，由222222a b b a⎧=⎪⎨=⎪⎩得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为：22142x y +=.【小问2详解】由题意知：直线l 斜率不为0，可设:1l x ty =+，由221142x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222230t y ty ++-=，则()222Δ412216240t t t =++=+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12222t y y t +=-+，12232y y t =-+，1222462y y t ∴-=+，又()2,0B -，()123EB ∴=--=，12213222BPQ S EB y y t ∴=⋅-=⨯=+ ，解得：1t =±，∴直线l 的斜率11k t==±.18.已知函数()()1ln 1a x x g x x +-=-，（R a ∈）.（1）若1a =，求函数()g x 的单调区间；（2）若函数()1y g x x=+有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()g x 单调递增区间()0,1，()g x 单调递减区间()1,+∞（2）2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求导后构造函数()21ln x x x ϕ=--，再求导分析单调性，得到()10ϕ=，进而得到()g x 的单调性即可；（2）问题等价于2ln 0a x x a -+=有两解，构造函数()2ln f x a x x a =-+，求导分析单调性，得到202f ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭，再结合对数运算解得2e a >，之后构造函数()8ln 414e g t t t t a ⎛⎫=-+=> ⎪⎝⎭，求导分析单调性和最值，验证即可.【小问1详解】当1a =，()ln x g x x x=-，()221ln ,0x x g x x x--=>，当0x >，令()21ln x x x ϕ=--，则()12,0x x x xϕ=-->'，因为()0x ϕ'<恒成立，所以()x ϕ在()0,∞+上为减函数，因为()10ϕ=，所以当()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；()1,x ∞∈+，()0g x '<，()g x 单调递减.【小问2详解】根据条件()1y g x x=+有两个零点等价于2ln 0a x x a -+=有两解.不妨令()2ln f x a x x a =-+，则()2a f x x x='-（0x >），当0a ≤时，()0f x '<在定义域()0,∞+内恒成立，因此()f x 在()0,∞+递减，最多一个零点，不符.当0a >时，由()0f x '>，解得02x <<；()0f x '<，解得2x >；所以，0a >时，()f x 的单调减区间为,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，增区间为0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；若()f x 有两个零点，则必有2222ln 0222f a a ⎛⎫⎛=-+> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，化简得ln 102a +>，解得2e a >，又因2110e ef ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()()24ln 416ln 4161f a a a a a a a a =-+=-+，即()()8114ln 4144e t h t t t t a h t t t -⎛⎫=-+=>⇒=-= ⎪⎝'⎭，当8,e t ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0h t '<恒成立，即()h t 在8,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，可得()883283232ln 1ln ln e ln 80e e e e e eh t g ⎛⎫≤=-+=-+=-< ⎪⎝⎭，也即得()0h t <在8,et ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭恒成立，从而可得()f x 在1,e 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,42a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭区间上各有一个零点，综上所述，若()f x 有两个零点实数a 的范围为2,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：函数零点问题可理解为方程根的个数问题，求导分析单调性和极值可求解.19.英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当()f x 在0x =处n （*n ∈N ）阶导数都存在时，()()()()()()()()323000002!3!!n n f f f f x f f x x x x n =++++++''' .注：()f x ''表示()f x 的2阶导数，即为()f x '的导数，()()n f x （3n ≥）表示()f x 的n 阶导数，该公式也称麦克劳林公式.（1）写出()11f x x =-泰勒展开式（只需写出前4项）；（2）根据泰勒公式估算1sin 2的值，精确到小数点后两位；（3）证明：当0x ≥时，2e sin cos 02xx x x ---≥.【答案】（1）()231f x x x x =+++（2）0.48（3）证明见解析【解析】【分析】（1）分别求解()f x 的一阶，二阶，三阶导数，代入公式可得答案；（2）写出sin x 的泰勒公式，代入12可得答案；（3）方法一利用泰勒公式得2e 12xx x ≥++，把不等式进行转化，求最小值可证结论；方法二构造函数，通过两次导数得出函数的最小值，进而可证结论.【小问1详解】()11f x x=-，()()21=1f x x '-，()()32=1f x x ''-，()()()346=1f x x -；()()00=1f f '=，()0=2f ''，()()30=6f ；所以()23111f x x x xx ==+++-.【小问2详解】因为()()sin cos ,cos sin x x x x ''==-，由该公式可得357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+ ，故111sin 0.482248=-+≈ .【小问3详解】法一：由泰勒展开2345e 12!3!4!5!!nxx x x x x x n =++++++++ ，易知当0x ≥，2e 12xx x ≥++，所以222e sin cos 1sin cos 222xx x x x x x x x ---≥++---1sin cos sin x x x x x =+--≥-，令()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，故()()00f x f ≥=，即证得2e sin cos 02xx x x ---≥.法二：令()2e sin cos 2xG x x x x =---，()πe 4x x G x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭'，易知当3π0,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，e x y x =-，π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭均为增函数，所以()πe 4x x G x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭'单调递增，所以()()00G x G '≥='，所以当3π0,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()G x 单调递增，所以()()00G x G ≥=，当3π,4x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()22e sin cos e 222x x x x G x x x =---≥--，令()2e 22xF x x =--，则()e 0x x F x =-≥'，则()2e 22x F x x =--单调递增，则()()22e 2e 2022xF x F x =--≥=-≥，综上，原不等式得证.【点睛】方法点睛：导数证明不等式的常用方法:1、最值法：移项构造函数，求解新函数的最值，可证不等式；2、放缩法：利用常用不等式对所证不等式进行放缩，利用传递性进行证明.。

浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)

2023学年第一学期杭州二中高二期中考试数学1. 两条平行直线1l ：注意事项：1．本试卷满分150分，考试用时120分钟.2．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，多选、错选或不选都给不分.3450x y +−=与2l：6850x y +−=之间的距离是（） A. 0 B.12C. 1D.32【答案】B 【解析】【分析】利用平行线间距离公式进行求解即可. 【详解】345068100x y x y +−=⇒+−=，12，故选：B2. 已知圆()()()2122292:x m y m m C −+−=−与圆22288340:x y x C y m +−−+−=，则“4m = ”是“圆1C 与圆2C 外切”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用两圆相切圆心距与两半径之和相等，分别证明充分性和必要性是否成立即可得出答案. 【详解】根据题意将圆2C 化成标准方程为()()22442x y m −+−=−；易知20m −>，所以可得圆心()12,2C m m，半径为1r =，圆心()24,4C，半径为2r =可得122C C =−，两半径之和12r r += 若4m=，圆心距12C C =，两半径之和12r r +，此时1212C C r r =+=，所以圆1C 与圆2C 外切，即充分性成立；若圆1C 与圆2C外切，则2−=4m =或2m =（舍），所以必要性成立；即“4m =”是“圆1C 与圆2C 外切”的充分必要条件. 故选：C3. 已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A. 1±B. C. D. 2±【答案】C 【解析】【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =，则弦长为||MN =，则当0k =时，MN 取得最小值为2=，解得m =. 故选：C.4. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y −+=上，则ABP 面积的取值范围是A. []26，B. []48，C. D.【答案】A 【解析】【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点 ()()A 2,0,B 0,2∴−−,则AB = 点P 在圆22x 22y −+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d =故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABPS AB d ==∈故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．5. 已知正方形ABCD 的边长为2，点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则2MB MD +的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】建立直角坐标系，取点1(0,)2E ，探讨满足条件||2||M D M E ′′=的点M ′的轨迹，再结合已知，求出两条线段长度和的最小值作答.【详解】依题意，以点C 为原点，直线,CB CD 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(2,0),(0,2)B D ，如图，取点1(0,)2E ，设(,)M x y ′，当||2||M D M E ′′=化简整理得221x y +=，即点M ′的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，而点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，因此||2||MD ME =，显然点B 在圆C ：221x y +=外，则22||2||2(||||)2||MB MD MB ME MB ME BE +=+=+≥，当且仅当M 为线段BE 与圆C 的交点时取等号，而||BE ，所以2MB MD +的最小值为2||BE =故选：D【点睛】关键点睛：建立坐标系，取点1(0,)2E 并求出满足条件||2||M D M E ′′=的点M ′的轨迹是解题的关键.6. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，O 为坐标原点，过F 且斜率为1的直线交椭圆于A ，B两点（A 在x 轴上方）.A 关于x 轴的对称点为D ，连接DB 并延长交x 轴于点E ，若DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，则椭圆的离心率e 的值为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，得到2EF OF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++−−，与椭圆方程联立，再设直线BD 的方程为：()122221x x c y x cx x x x ++−−=−−，令0y =结合韦达定理，得到点E 的坐标，代入2EF OF OE =⋅求解.【详解】解：如图所示：设,,DOF DEF DOE 分别以OF ，EF ，OE 为底，高为h ，则111,,222DOFDEF DOE S OF h S EF h S OE h === ，因为DOF S ，DEF S △，DOE S △成等比数列，所以2DEFDOF DEF S S S =⋅ ，即2EF OF OE =⋅，设直线AB 的方程为：()()()112211,,,,,,y x c A x x c B x x c D x x c =+++−−，联立22221x y a b y x c += =+，消去y 得()2222222220a b x a cx a c a b +++−=，由韦达定理得：2121222222222,2x x x x a ca c ab a b a b−+=−=++⋅，直线BD 的方程为：()1222212x x cy x c x x x x ++−−=−−，令0y =得，()12121222E x x c x x x x x c⋅++=++，则()22121212222222222222222222E x x c x x a x c a c a b a c a b a b a b x x c c c a ⋅−⋅++===−++−++−++，则2EF OF OE =⋅，即为222a a c c c c ⋅−，则()22222c a ac =−，即422430a c a c −+=，即42310e e −+=，解得2e =e =，故选：D7. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交椭圆于A ，B ，2ABF △的内切圆的圆心为I ，若23450++=IB IA IF ，则该椭圆的离心率是（）A.B.23C.D.12【答案】A 【解析】【分析】对23450++= IB IA IF 变形得到2351882IB IF IA +=−，进而得到以22::3:4:5AF BF AB =，结合椭圆定义可求出2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a =，由余弦定理求解,a c 关系式，求出离心率.【详解】因为23450++= IB IA IF ，所以2351882IB IF IA +=−，如图，在2BF 上取一点M ，使得2:5:3BM MF =，连接IM ，则12IM IA =−，则点I 为AM 上靠近点M 的三等分点，所以22::3:4:5IAF IBF IBA S S S = ，所以22::3:4:5AF BF AB =设23AF x =，则24,5BF x AB x ==，由椭圆定义可知：224AF BF AB a ++=，即124x a =，所以3ax =，所以2AF a =，245,33BF a AB a ==，1AF a = 故点A 与上顶点重合，在2ABF △中，由余弦定理得：222222222222516399cos 52523a a a AB F A F B BAF AB F A a +−+−∠===⋅×，在12AF F △中，2222243cos 25a a c BAF a +−∠==，解得：c a =故选：A【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出,,a b c 的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将23450++=IB IA IF 进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形2ABF 三边关系，求出离心率.8. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C :y 2=2px (0p >)的焦点为F ，直线x =3与抛物线C 交于A ，B 两点，｜AF |=4，圆E 为FAB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM ON ⋅的取值范围是（）A. 63,925−B. []3,21−C. 63,2125D. []3,27【答案】B 【解析】【分析】由已知及抛物线的定义，可求p ，进而得抛物线的方程，可求A ，B ，F 的坐标，直线AF 的方程，可得圆的半径，求得圆心，设N 的坐标，求得M 的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．【详解】解：由题意，设(A ，所以||342pAF =+=，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，(3,A ，(3,B −，(1,0)F ，所以直线AF 的方程为1)yx =−，设圆心坐标为0(x ，0)，所以2200(1)(3)12x x −=−+，解得05x =，即(5,0)E ，∴圆的方程为22(5)16x y −+=，不妨设0M y >，设直线OM 的方程为y kx =，则0k >，4=，解得43k =，由2243(5)16y x x y= −+=，解得912,55M，设(4cos 5,4sin )N θθ+，所以364812cos sin 9(3cos 4sin )9555OM ON θθθθ⋅=++=++ ，因为[]3cos 4sin5sin()5,5θθθϕ+=+∈−，所以OM ON ⋅∈[]3,21−．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为22(5)16x y −+=，然后利用直线OM 与圆E 切于点M ，求出M 点的坐标，引入圆的参数方程表示N 点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围．.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知直线1l ：230ax y a ++=和直线2l ：()3170x a y a +−+−=，下列说法正确的是（） A. 当25a =时，12l l ⊥ B. 当2a =−时，12l l ∥C. 直线1l 过定点()3,0-，直线2l 过定点()1,1−D. 当1l ，2l 【答案】AD 【解析】【分析】A 选项：把a 的值分别代入两直线，根据直线垂直时，斜率相乘为1−，直接判断即可； B 选项，把a 的值分别代入两直线，根据直线平行时，斜率相等判断即可； C 选项，把直线的方程变形，根据直线过定点的定义判断即可；D 选项，由直线平行时，斜率相等，可求得a 得值，排除重合情况，再利用平行直线的距离公式直接求解即可.【详解】对于A ，当25a =时，那么直线1l 为262055x y ++=，直线2l 为3237055x y −+−=，此时两直线的斜率分别为115k =−和25k =，所以有121k k ⋅=-，所以12l l ⊥，故A 选项正确；对于B ，当2a =−时，那么直线1l 为30x y −+=，直线2l 为30x y −+=，此时两直线重合，故B 选项错误；对于C ，由直线1l ：230ax y a ++=，整理可得： ()320a x y ++=，故直线1l 过定点()3,0-，直线2l ：()3170x a y a +−+−=，整理可得：()1370a y x y −+−+=，故直线2l 过定点()2,1−，故C 选项错误；对于D ，当1l ，2l 平行时，两直线的斜率相等，即213a a −−=−，解得：3a =或2a =−，当2a =−时，两直线重合，舍去；当3a =时，直线1l 为3290x y ++=，2l 为3240x y ++=，此时两直线的距离d，故D 选项正确. 故选：AD .10. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右两焦点分别是12,F F ，其中12||2F F c =.直线()():R l y k x c k =+∈与椭圆交于,A B 两点，则下列说法中正确的有（）A. 2ABF △的周长为4aB. 若AB 的中点为M ，则22OMb k k a⋅=C. 若2124AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若1k =时，则2ABF △【答案】ACD 【解析】【分析】根据椭圆定义可知2ABF △的周长为4a ，可判断A 正确；联立直线和椭圆方程求出点M 的坐标，表示出斜率公式即可得22OMb k k a⋅=−，可得B 正确；由2124AF AF c ⋅= 易知A 点在以()0,0为圆心，半径为的圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，需满足b a ≤≤，可得离心率e ∈，可知C 正确；将1k =代入联立的方程可得2ABF △的面积12S c x x =−，可得D 正确.【详解】由12||2F F c =可知，()()12,0,,0F c F c −；显然直线()():R l y k x c k =+∈过点()1,0F c −，如下图所示：由椭圆定义可知2ABF △的周长为2212214AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++=，所以A 正确；设()()1122,,,A x y B x y ，中点()0,Mx y ；将直线和椭圆方程联立()22221x y a b y k x c += =+ ，消去y 整理可得()2222222222220b a k x a k cx a k c a b +++−=；由韦达定理可得22122222a k c x x b a k +=−+，所以221202222x x a k cx b a k+==−+，代入直线方程解得20222b cky b a k =+，即222222222,a k c b ck M b a k b a k − ++；所以2222222222222200OMb ckb ck b b a k k a kc a k c a k b a k −+==−=−−−+，可得2222OMk b k a k b k a⋅−==⋅−，所以B 错误；根据B 选项，由2124AF AF c ⋅=可得()()2222111111,4,c x y c x y x c y c −⋅=+−−=−−−，可得222115x y c +=，即A 点在以()0,0圆上；又A 点在椭圆上，即可得圆222115x y c +=与椭圆22221x y a b+=有交点，根据对称性可知b a ≤≤，即22256c a c ≤≤，所以可得离心率e ∈，即C 正确；若1k =时，由选项B 可知联立直线和椭圆方程可得()2222222220b axa cx a c ab +++−=；所以可得22222121222222,a c a c a b x x x x b a b a−+=−=++；所以12x x −==易知2ABF △面积12112212121122S F F y F F y c y y c x x =+=−==− 即可得2ABF△，故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：在求解圆锥曲线与直线的位置关系时，特别是在研究跟焦点三角形有关的问题时，经常将直线和圆锥曲线联立并利用韦达定理求解，注意变量间的相互转化即可.11. 已知斜率为k 的直线交抛物线()220y px p =>于()11,A x y 、()22,B x y 两点，下列说法正确的是（） A. 12x x 为定值B. 线段AB 的中点在一条定直线上的的C.11OA OBk k +为定值（OA k 、OB k 分别为直线OA 、OB 的斜率） D. AF BF为定值（F 为抛物线的焦点）【答案】BC 【解析】【分析】分析可知，0k ≠，设直线AB 的方程为y kx m =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断A 选项；求出线段AB 中点的纵坐标，可判断B 选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C 选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D 选项.【详解】若0k =，则直线AB 与抛物线()220y px p =>只有一个交点，不合乎题意，则0k ≠，设直线AB 的方程为y kx m =+，联立22y kx m y px=+ = 可得()222220k x km p x m +−+=， ()2222224480km p k m p kmp ∆=−−=−>，对于A 选项，2122m x x k =不一定是定值，A 错；对于B 选项，设线段AB 的中点为()00,P x y ，则12022x x p kmx k+−==， 00p km p y kx m m k k−++为定值，故线段AB 的中点在定直线py k =上，B 对；对于C 选项，()121212122222111222OA OB p kmm k x x m x x y y k k k y y p p p k−+++++=+====为定值，C 对；对于D 选项，21222222222p km p p x x AF k p p BF x x −+−+==++不一定为定值，D 错.故选：BC.12. 已知圆22:(2)1M x y +−=，点P 为x 轴上一个动点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP 交于点C ，则下列结论正确的是（）A. 四边形PAMB周长的最小值为2 B. ||AB 的最大值为2C. 若(1,0)P ，则三角形PAB 的面积为85D.若Q ，则||CQ 的最大值为94【答案】CD 【解析】【分析】首先设||MP t =，对于选项A ，根据题意，表达四边形PAMB 周长关于t 的函数，由t 的取值范围求函数的最小值可判断A 错误；对于选项B ，根据等面积法，求出||AB 关于t 的函数关系，由t 的取值范围求函数的最大值可判断B 错误；对于选项C ，根据题意，计算PAB 底和高，求出面积判断C 正确；对于选项D ，设动点(,0)P m AB 的方程与直线PM 的方程，二者联立消去m 得到二者交点C 的轨迹是圆，||CQ 的最大值为圆心1O 与Q 距离加半径，可判断D 正确．【详解】对于选项A ，设||MP t =，则||||BP AP ==则四边形PAMB周长为2+，则当t 最小时周长最小，又t 最小值为2，所以四边形PABM周长最小为2+，故A 错误；对于选项B ，12||||2MAP PAMBS S MP AB ==△四边形，即1121||22t AB ××=，所以||AB =，因为2t，所以)||AB ∈，故B 错误；对于选项C ，因为(1,0)P，所以||MP =t =，所以||AB ，1||||2AC AB ==，||2AP =，||PC ，所以三角形PAB 的面积为18||||25AB PC =，故C 正确；的对于选项D ，设(,0)P m ，()11,A x y ,则切线PA 的方程为()()11221x x y y +−−=，又因为直线PA 过点(,0)P m ，代入可得()()112021x m y +−−=化简得11230mx y −+= 设()22,B x y ,同理可得22230mx y −+=，因此点,A B 都过直线230mx y −+=，即直线AB 的方程为230mx y −+=， MP 的方程为22y x m=−+，二者联立得，22230y x mmx y =−+−+=①②，由①式解出22x m y =−，代入②式并化简得227302x y y +−+=，配方得2271()416x y +−=，2y ≠，所以点C 的轨迹是以(70,4)为圆心，14为半径的圆，设其圆心为1O ，所以||CQ的最大值为1119||2444O Q R ++=+=，故D 正确．故选：CD.【点睛】本题综合性较强，难度较大，具备运动变化的观点和函数思想是解题的关键，对于AB 选项，设变量||MP t =，用t 分别表达周长函数和距离函数求最值，对于D 选项，设出动点(),0P m ，分别表达直线AB 和MP 的方程，联立消去m ，得到动点C 的轨迹，进一步求解答案.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数0,0a b ><的取值范围是______.【答案】[)2,1−− 【解析】【分析】根据题意，设直线l ：0ax by +=的几何意义为，点(1,到直线l 的距离，即可求出取值范围.【详解】根据题意，设直线l ：0ax by +=，设点(1,A那么点(1,A 到直线l的距离为：d因为0,0a b ><，所以d =l 的斜率0ak b=−>，当直线l的斜率不存在时，1d ==，所以1d >，当OA l ⊥时，max 2d OA ===，所以12d <≤，即12<≤，=21−≤<−，故答案为：[)2,1−−.14. 形如()0b y ax b x=+≠的函数图象均为双曲线，则双曲线4135y x x =−的一个焦点坐标为______.【答案】或【解析】【分析】先确定双曲线的渐近线、对称轴方程，确定焦点位置及实半轴a ，最后由渐近线与对称轴夹角正切值确定b ，利用双曲线性质求出焦点. 【详解】由4135−x y =x 知，其两条渐近线分别为403x x =,y =，所以双曲线4135−x y =x 的两条对称轴为403xx =,y =的夹角平分线，令43x y =的倾斜角为0,2πθ ∈，则4tan 3θ=，且一条对称轴倾斜角为42πθ+，而22tan42tan 31tan 2θθθ==−，则22tan 3tan 2022θθ+−=，解得tan 22θ=−（舍去），1tan 22θ=，所以11+tan 1+22tan ==31421tan 122π +=−−θθθ，即一条对称轴为3y x =，故另一条对称轴为13y x =−，显然13y x =−与4135−x y =x有交点, 即为双曲线的顶点，则双曲线的实半轴长a = 而渐近线0x =与对称轴13y x =−夹角的正切值为3，3b a =，又因为=a，所以33b =a = 由2222641553+=c =a +b =，设焦点为13 − m,m ，则221433 +−=m m ，所以m =, .故答案为：或.15. 在椭圆2213x y +=上有点31,22P ，斜率为1的直线l 与椭圆交于不同的A ，B 两点（且不同于P ），若三角形ABO 的外接圆恰过点P ，则外接圆的圆心坐标为______. 【答案】71,88 −【解析】【分析】根据题意得到():0AB y x b b =+≠，联立直线AB 与椭圆方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，12y y +，12y y ；法一：先利用点斜式求得,OP AB 的中垂线方程，联立两者方程即可求得圆心C ，再由半径相等得到2222AC BC OC +=，利用两点距离公式，代入上述式子得到关于b 的方程，解之即可；法二：根据题意得到圆的方程，联立直线AB 与圆的方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x ，进而得到,D E 关于b 的表达式，又由点P 在圆上得到关于b 的方程，解之即可.【详解】依题意，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线():0AB y x b b =+≠，联立2213y x bx y =++=，消去y ，得246330x bx b ++−=，所以1232x x b +=−，()212314b x x −=，则121212y y x b b b x ++=+=+，()()2121234b y y x b b x =+−=+， .法一：因为31,22P ，所以10123302OP k −==−，OP 的中点坐标为3,414 ，OP 中垂线的斜率为3−，所以OP 中垂线方程为113:344l y x −=−−，即532y x =−+，因为AB 的斜率为1，AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++ ，即31,44b b− ，所以AB 中垂线的斜率为1−，则AB 中垂线方程213:44l y b x b−=−+，即12y x b =−−，联立53212y x y x b=−+ =−− ，解得54354b x b y + = + =− ，则圆心坐标535,44b b C ++ − ，因为22222AC BC OC AC +==，所以222222112253515355354424444b b b b b b x y x y +++++++=−+++−++，整理得()()22221212121253522044b b x x x x y y y y ++ +−+++++=，因为1232x x b +=−，()212314b x x −=，1212y y b +=，21234b y y −=，所以()22222112123624x x x x b x x +=+−+=，()2222211212624y b y y y y y −+=+−+=，则2203563614242532244b b b b b b ++  −++=  − + +−× ，整理得22530b b ++=，解得32b =−，1b =-，当1b =-时，直线:1AB y x =−，显然直线AB 过P 点，舍去，当32b =−时，()2299361633361633044b b ∆=−−=×−×−>，直线3:2AB y x =−，满足题意，又535,44b b C ++ −，所以此时圆心坐标71,88C − . 法二：因为圆过原点()0,0O ，所以设圆的方程为220x y Dx Ey +++=()220D E +>，联立220y x b x y Dx Ey =++++=，消去y ，得()22220x b D E x b Eb +++++=，所以1222b D E x x +++=−，2122b Ebx x =+，又1232x x b +=−，()212314b x x −=，所以3222b D E b ++−=−，()223142b b Eb −+=，所以1322D b b=+，1322E b b =−，因为P 点在圆上，所以913104422D E +++=，即530D E ++=，所以13135302222b b b b +++−=，整理得22530b b ++=，解得32b =−，1b =-，当1b =-时，直线:1AB y x =−，显然直线AB 过P 点，舍去，当32b =−时，1332722234D =×−+×−=− ，1332122234E =×−−×−= ，对于方程2246330x bx b ++−=，有()2299361633361633044b b ∆=−−=×−×−>，对于方程()22220x b D E x b Eb +++++=，即29152028x x −+=，有2915Δ42028 =−−××>，满足题意，又因为外接圆的圆心坐标为,22D E −− ，所以圆心为71,88− . 故答案为：71,88 −.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.16. 已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，过M作MN 垂直于抛物线的准线，垂足为N ，则2324NF AB +的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程得到关于y 的一元二次方程，得到韦达定理式，求出,M N 坐标，利用弦长公式和两点距离公式得到AB 和NF 的表达式，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】显然当直线AB 斜率为0时，不合题意；故设直线:1AB x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线方程有2440y my −−=，则216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =−，则1222My y y m +==，111x my =+，221x my =+，则()21221224221222M m y y x x m x m ++++====+，则()221,2M m m +，准线方程为=1x −，()1,0F ，则()1,2N m −，()22||41AB y m =−=+，()()()22222||1124441||[4,)NF m m m AB =++−=+=+=∈+∞，所以232||32||||4||4NF AB AB AB +=+==，当且仅当32||||4AB AB =，即()2||41AB m =+=时等号成立，此时m .故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是采取设线法联立抛物线方程得到韦达定理式，再利用中点公式得到,M N 点坐标，最后利用弦长公式和两点距离公式得到相关表达式，最后利用基本不等式即可得到答案.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知点()1,0A −和点B 关于直线l ：10x y +−=对称．（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，求直线1l 的方程；（2）若直线2l 过点A 且与直线l 交于点C ，ABC 的面积为2，求直线2l 的方程．【答案】（1）30x y +−=（2）0y =或=1x − 【解析】【分析】根据对称先求出B 点坐标（1）过点B 到点A 距离最大的直线与直线AB 垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C 到直线AB 的距离，又点C 在直线l 上，可设出C 点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C ，又直线过点A ，利用两点A 、C 即可求出直线2l 的方程. 【详解】解：设点(),B m n则1102211m nn m −+ +−== + ，解得：12m n = = ，所以点()1,0A −关于直线l ：10x y +−=对称的点的坐标为()1,2B（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，则直线1l 与过点AB 的直线垂直，所以1k =−，则直线1l 为：()21y x −=−−，即30x y +−=. （2）由条件可知：AB =，ABC 的面积为2，则ABC的高为h =又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，所以点C 到直线AB. 直线AB 方程为1y x =+，设(),C a b，即1b a =−或3b a =+又1b a =−，解得：10a b == 或12a b =− =则直线2l 为：0y =或=1x −【点睛】本题考查求点关于直线的对称点，考查直线与直线相交的综合应用..方法点睛：（1）设出交点坐标（2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组；（3）解出点坐标.18. 已知圆221:(1)5C x y +−=，圆222:420C x y x y +−+=.（1）求圆1C 与圆2C 的公共弦长；（2）求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程.【答案】（1）（2）22317222x y −++=【解析】【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心1C 到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案，（2）解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+−+++−−≠−，求出圆心坐标代入241x y +=中可求出λ，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为(),a b ，然后列方程组可求出,a b ，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【小问1详解】将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即()()222242240x y x y x y y +−+−+−−=，化简得10x y −−=，所以圆1C 的圆心()0,1到直线10x y −−=的距离为d ，则22215232AB r d =−=−=，解得AB =所以公共弦长为【小问2详解】解法一：设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+−+++−−≠−，则2242240,1111x y x y λλλλλλ−+−+−=≠−+++；由圆心21,11λλλ− −++ 在直线241x y +=上，则()414111λλλ−−=++，解得13λ=，所求圆的方程为22310x y x y +−+−=，即22317222x y −++=. 解法二：由（1）得1y x =−，代入圆222:420C x y x y +−+=，化简可得22410x x −−=，解得x =；当x =时，y =x =时，y =；设所求圆的圆心坐标为(),a b ，则2222241a b a b a b −+=++ += ，解得3212a b ==−；所以222317222r =+−−= ；所以过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程为22317222x y −++=19. 已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的焦距为10，且经过点M ．A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，P 为直线2x =上的动点，连接P A ，PB 交双曲线E 于点C ，D （不同于A ，B ）．（1）求双曲线E 的标准方程．（2）直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）221169x y −= （2）直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【解析】【分析】（1）方法一：将M 代入方程，结合222+=a b c 求得,a b 得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得a 得双曲线方程.（2）方法一：设CD 的方程为x my t =+，与双曲线联立，由A 点与C 点写出AC 方程，求出p y ，由B 点与D 点写出BD 方程，求出p y ，利用两个p y 相等建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值.方法二：设CD 的方程为,(2,)x my t P n =+，与双曲线联立，由P 点与A 点写出AC 方程，由P 点与B 点写出BD 方程，将()()1122,,,C x y D x y 代入以上两方程，两式相比消去n 建立关系式，代入韦达定理可求得t 为定值. 【小问1详解】法一．由222225,64271,a b ab += −=解得2216,9a b ==，∴双曲线E 的标准方程为221169x y −=．法二．左右焦点为()()125,0,5,0F F −，125,28c a MF MF ∴==−=，22294,a b c a ∴===−，∴双曲线E 的标准方程为221169x y −=．【小问2详解】直线CD 不可能水平，故设CD 方程为()()1122,,,,x my t C x y D x y =+，联立221169x my t x y =+−= 消去x 得()()2222916189144=0,9160m y mty t m −++−−≠， 12218916mt y y m −∴+=−，21229144916t y y m −=−，12y y −，AC 的方程为11(4)4y yx x ++，令2x =，得1164p y y x =+，的BD 的方程为22(4)4y yx x −−，令2x =，得2224p y y x −=−，1221112212623124044y y x y y x y y x x −∴=⇔−++=+− ()()21112231240my t y y my t y y ⇔+−+++=()()1212431240my y t y t y ⇔+−++= ()()()()12121242480my y t y y t y y ⇔+−++−−=()22249144(24)180916916m t t mt m m −−⇔−±=−−3(8)(0m t t ⇔−±−=(8)30t m ⇔−±=，解得8t =3m =±，即8t =或4t =（舍去）或4t =−（舍去）， ∴CD 的方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．方法二．直线CD 不可能水平，设CD 的方程为()()1122,,,,,(2,)x my t C x y D x y P n =+，联立22,1,169x my t x y =+ −=，消去x 得()2229161891440m y mty t −++−=， 2121222189144,916916mt t y y y y m m −−∴+==−−， AC 的方程为(4)6nyx =+，BD 的方程为(4)2ny x −−， ,C D 分别在AC 和BD 上，()()11224,462n ny x y x ∴=+=−−，两式相除消去n 得()211211223462444x y y y x x x y −−−=⇔+=+−，又22111169x y −=，()()211194416x x y ∴+−=．将()2112344x y x y −−+=代入上式，得()()1212274416x x y y −−−=⇔()()1212274416my t my t y y −+−+−=()()221212271627(4)27(4)0m y y t m y y t ⇔++−++−=⇔()22222914418271627(4)27(4)0916916t mtm t m t m m −−++−+−=−−．整理得212320t t +=−，解得8t =或4t =（舍去）． ∴CD 方程为8x my =+，∴直线CD 过定点，定点坐标为(8,0)．【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程y kx m =+，通过韦达定理和已知条件若能求出m 为定值可得直线恒过定点，若得到k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.20. 已知双曲线22:154x y Γ−=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是直线8:9l y x =−上不同于原点O 的一个动点，斜率为1k 的直线1PF 与双曲线Γ交于A ，B 两点，斜率为2k 的直线2PF 与双曲线Γ交于C ，D 两点．（1）求1211k k +的值；（2）若直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为OA k ，OB k ，,OC k ，OD k ，问是否存在点P ，满足0OA OB OC OD k k k k +++=，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）94−；（2）存在98(,)55P −或98(,)55P −满足题意．【解析】【分析】（1）设出(9,8)P λλ−，然后计算1211k k +即可得；（2）假设存在，设设00(9,8)P x x −，写出直线AB 方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，同理设3344(,),(,)C x y D x y ，直线CD方程代入双曲线方程，应用韦达定理，代入计算OC OD k k +，然后由条件0OA OB OC OD k k k k +++=求得0x 得定点坐标．的【小问1详解】由已知1(3,0)F −，2(3,0)F ，设(9,8)P λλ−，(0)λ≠， ∴1839k λλ=−−，2893k λλ−=−，121139939884k k λλλλ−−−+=+=−−；【小问2详解】设00(9,8)P x x −，（00x ≠），∴010893x k x −=+，∴直线AB 的方程是008(3)93x yx x −++，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，008(3)93x yx x −++代入双曲线方程得2220203204(69)20(93)x x x x x −++=+，即222200000(549)480(112527045)0x x x x x x x ++−−++=， 2012200480549x x x x x +=++，20012200112527045549x x x x x x ++=−++， 00121212012012883()33(2)[2]9393OA OB x x y y x x k k x x x x x x x x ++=+=−++=−+++2000200008832(2(2)93932561x x x x x x x =−+=−−++++ 2000220000082(31)16(31)9325612561x x x x x x x x −+−+=⋅=+++++，同理CD 的方程为008(3)93x yx x −−−，设33(,)C x y ，44(,)D x y ，仿上，直线方程代入双曲线方程整理得：222200000(549)4801125270450x x x x x x x −++−+−=，234200480549x x x x x +=−−+，20034200112527045549x x x x x x −+−=−+， ∴2303400423403400083()83480[2](2)9393112527045OC ODy x x x x x y k k x x x x x x x x −+−⋅+=+=−=−−−−+ 20000220000083216(31)(2)9325613(2561)x x x x x x x x x −−−=−=−−+−+．由0OA OB OC OD k k k k +++=得00022000016(31)16(31)025613(2561)x x x x x x x −+−−+=++−+，整理得200(251)0x x −=，∵00x ≠，∴015x =±， ∴存在98(,)55P −或98(,)55P −满足题意．【点睛】方法点睛：是假设定点存在，题中设00(9,8)P x x −，写出直线方程，设出直线与双曲线的交点坐标如1122(,),(,)x y x y ，直线方程代入双曲线方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入到式子OA OB k k +中，最后利用已知条件求得0x ，若求不出结果说明不存在．本题考查了学生的逻辑能力，运算求解能力，属于困难题．21. 抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为,l A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点，（1）若90,BFD ABD ∠=的面积为p 的值及圆F 的方程（2）若直线y kx b =+与抛物线C 交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥，准线l 与y 轴交于点S ，点S 关于直线PQ 的对称点为T ，求||FT 的取值范围.【答案】（1）2p =，圆F 的方程为()2218x y +−=（2）(],4p p 【解析】【分析】（1）由焦半径和圆的半径得到2A py FA FD +===，结合ABD △面积求出2p =，圆F 的方程为()2218x y +−=；（2）表达出0,2p S −关于直线PQ 的对称点的坐标，利用垂直关系列出方程，求出2b p =，从而利用两点间距离公式表达出(],2FT p p ==. 【小问1详解】由对称性可知：90,BFD FS BS DS p ∠=°===，设(),A A A x y，由焦半径可得：2A py FA FD +===，112222ABD A p S BD y p=⋅⋅+=×=解得：2p =圆F 的方程为：()2218x y +−=【小问2详解】由题意得：直线PQ 的斜率一定存在，其中0,2p S−，设0,2p S−关于直线PQ 的对称点为(),T m n ，则12222p n m kp n m k b + =− − =⋅+ ，解得：221212b p m k k b p pn k + =− + +=− + ，联立y kx b =+与22x py =得：2220x pkx pb −−=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122,2x x pk x x pb +==−，则()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++，则()()22121212121x x y y k x x kb x x b +=++++ ()222221220pb k pk b b pb b −+++=−+=，解得：0b =（此时O 与P 或Q 重合，舍去）或2b p =，所以FT =(],4p p ==，【点睛】圆锥曲线相关的取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件列出方程，求出变量之间的关系，再表达出弦长或面积等，结合基本不等式，导函数，函数单调性等求出最值或取值范围.22. 如图，已知点P 是抛物线24C y x =：上位于第一象限的点，点()20A −，，点,M N 是y 轴上的两个动点(点M 位于x 轴上方)，满足,PM PN AM AN ⊥⊥，线段PN 分别交x 轴正半轴、抛物线C 于点,D Q ，射线MP 交x 轴正半轴于点E ．（1）若四边形ANPM 为矩形，求点P 的坐标；（2）记,DOP DEQ △△的面积分别为12S S ，，求12S S ⋅的最大值．【答案】（1）(2,P（2）192 【解析】【分析】（1）根据矩形性质，可得对角线互相平分，即AP 的中点在y 轴上，然后点P 在抛物线，即可得(2,P ；（2）联立直线PQ 方程与抛物线C ，根据韦达定理求得,P Q 两点的纵坐标关系，再根据,PM PN AM AN ⊥⊥条件判断MOE △与DON △相似，进而求得,D E 两点的坐标关系，再表示并化简12S S ⋅为关于m 的函数，根据,D E 两点的位置关系，以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点得出关于m 的约束，即可确定12S S ⋅中m 取值范围，最后可得12max ()(4192S S g ⋅=−= 【小问1详解】当四边形ANPM 为矩形时，AP 的中点在y 轴上，则有：2P A x x =−=故(2,P -【小问2详解】设点(,0)D m ，直线PQ 方程：x m ty −=，显然有0,0m t >≠联立直线PQ 与抛物线C ，得：24x m ty y x −==消去x 得：2440y ty m −−=则有：4P Q y y m ⋅=− 由AM AN ⊥，得：2||||||4OM ON OA ⋅==又由PM PN ⊥，可得：△MOE ∽△DON 则有：||||||||OM OE OD ON = 从而||||||||4OE OD OM ON ⋅=⋅=，即4E D x x ⋅=所以4E x m=，进而有：4||E D DE x x m m =−=− 结合||,4P Q OD m y y m =⋅=−（注：由E D x x >，得4m m >，故有02m <<）可得：12111(||||)(||||)||||||224P Q P Q S S OD y DE y OD DE y y ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 314()444m m m m m m=⋅⋅−⋅=−+ 又由题意知，存在抛物线上的点P 满足条件，即以线段DE 为直径的圆K 与抛物线C 有交点，且易得圆K 方程：24()()0x m x y m−⋅−+=联立抛物线C 与圆K ，得224()()04x m x y my x−⋅−+= = 消去y 得：24(4)40x m x m−+−+= 由0∆≥，结合02m <<，可解得：04m <≤−令3()4g m m m =−+，求导可知()g m在上单调递增又4−≤ 故有：()g m在(0,4−上单调递增因此，12max ()(4192S S g ⋅=−=【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；在求解相关最值问题时，通常是先建立目标函数，然后应用函数的知识来解决问题；。

浙江杭州地区(含周边)重点中学2024年高二下学期期中考试数学试卷

2023学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效4.考试结束后，只需上交答题卷。

项是符合题目要求的。

1.在ABC △中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则()sin A C +=（） A.12D.12.已知()23P B A =，()38P AB =，则()P A =（） A.916 B.316 C.14 D.343.直线3450x y −+=关于x 轴对称的直线的方程为（）A.3450x y +−=B.3450x y ++=C.3450x y −+=D.3450x y −−=4.降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位，它可以直观地表示降雨的多少，目前，测定降雨量常用的仪器有雨量筒和量杯.测量时，将雨量筒中的雨水倒在量杯中，根据杯上的刻度就可知道当天的降雨量.某兴趣小组同学为测量降水量，自制了一种圆台形的雨量器（如图）.某次降水，这种容器收集到的雨水高度为150mm ，则该次降水的降雨量最接近（）A.60mmB.65mmC.70mmD.75mm5.82x 的展开式中的常数项是（） A.7 B.-7 C.28 D.-286.若函数()321132f x x x b =−+有两个零点，则（） A.0b = B.16b = C.16b =− D.0b =或16b = 7.将双曲线22122x y −=绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比例函数1y x =的图象（其渐近线分别为x 轴和y 轴），所以我们也称反比例函数1y x =的图象为双曲线.同样“对勾函数”y x =象绕原点旋转得到，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（）A. B.4 C. D.8.记由0，1，2，3，4五个数字组成的五位数为12345a a a a a .则满足“对任意(),15i i N i ∈≤≤，必存在(),15j i j N j ≠∈≤≤，使i j a a =”的五位数的个数为（）A.120B.160C.164D.172二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.下列命题是真命题的是（）A.对向量a ，b ，若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =B.对复数1z ，2z ，若120z z ⋅=，则10z =或20z =C.对向量a ，b ，若220a b += ，则0a b ==D.对复数1z ，2z ，若22120z z +=，则120z z == 10.设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，若11a >，且202220231a a ⋅>，()()20222023110a a −⋅−<，下列结论正确的是（）A.20232024S S <B.2022202410a a −<C.数列{}n T 无最大值D.2022T 是数列{}n T 中的最大值 11.设抛物线()220y px p =>焦点为F ，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上两点，下列选项中是“直线AB 经过焦点F ”的必要不充分条件的是（） A.234OA OB p ⋅=− B.212y y p =− C.224p xx = D.112FA FB P+= 第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数()2327ln 2f x x x =−在区间[]1,2上的最大值为____________. 13.在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，若()1,0,0OA = ，()0,1,0OB = ，()0,0,2OC = ，则点O 到平面ABC 的距离为____________.14.已知数列{}n a 满足()()*111n n na n a n N +−+=∈，32a =，则1a =____________，2024a =___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本题满分13分）如图，在平面四边形ABCD 中，6AB BC ==，BD BC ⊥，AC 为BCD ∠的平分线，且cos ACB ∠. （I ）求线段AC 的长；（Ⅱ）求ACD △的面积.16.（本题满分15分）已知函数()()e x f x ax a R =−∈.（I ）当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.17.（本题满分15分）如图，四棱锥A BCDE −中，平面ABC ⊥平面BCDE ，ABC △是边长为2的等边三角形，底面BCDE 是矩形，且BE =. （I ）若点G 是AE 的中点，（i ）求证：AC ∥平面BDG ；（ii ）求直线DG 与平面ABC 所成角的正弦值；（Ⅱ）在线段AB 上是否存在一点F ，使二面角B CE F −−的大小为4π.若存在，求AF AB的值；若不存在，请说明理由.18.（本题满分17分）已知抛物线C ：22x y =，点()00,D x y 为抛物线C 外一点（如图），过点D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（I ）求证：直线AB 的方程为000x x y y −−=；（Ⅱ）若()00,D x y 在直线12y =−上，以50,2E为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.19.（本题满分17分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球.设从甲、乙两个口袋中各任取一个球交换放入另一个口袋为一次操作，经过n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为n X .（I ）写出1X 的分布列并计算()1E X ；（Ⅱ）某人重复进行了100次操作，记1,00,0n n n X a X = =≠ ，(),1100n N n ∈≤≤，求该数列{}n a 的前100项和100S 的最大值；（Ⅲ）定性分析当交换次数趋向于无穷时，()n E X 趋向的值.（简要说明你的理由）。

山东省德州市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

山东省德州市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．设()f x 是可导函数，且()()333lim 33x f x f x∆→-∆-=∆，则()3f '=（）A ．3-B ．1-C ．1D ．32．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4624a a +=，12216S =，则数列{}n a 的公差为（） A ．1B ．2C ．3D ．43．设()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，其导函数为()'f x ，当03x ≤≤时，()f x 图象如图所示，且()f x 在1x =处取得极大值，则()()'0f x f x ⋅>的解集为（）A ．()()3,10,1--UB ．()()3,11,3--⋃C ．()()1,00,1-UD ．()()1,01,3-U4．等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为n S ，已知212S =，415S =，则3a =（）A ．14B ．12C ．2D ．45．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()01f =，且对任意的x 满足()()f x f x '<，则不等式()e xf x >的解集是（）A ．(),1∞-B ．(),0∞-C ． 0,+∞D ． 1,+∞6．已知等差数列 a n ， b n 的前n 项和分别为n A ，n B ，且32n n A n B n +=+，则1010a b =（） A ．1312B ．2221C ．2322D ．24237．如图，将一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形ABCD 的梁，设BAC α∠=，且梁的抗弯强度()321sin cos 6W d ααα=，则当梁的抗弯强度()W α最大时，cos α的值为（）A ．14B ．13CD8．已知无穷数列{}n a 满足：如果m n a a =，那么11m n a a ++=，且151a a ==，37a =-，49a =，2a 是1a 与4a 的等比中项.若{}n a 的前n 项和n S 存在最大值S ，则S =（）A ．2-B ．0C ．1D ．2二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．若()2e f x =，则()0f x '=B ．若()3f x a =，则()23f x a '=C ．若()ln 2f x x =，则()1f x x'=D ．若()()cos 23f x x =-，则()()3sin 32f x x '=--10．已知正项数列 a n 满足1,231nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪-⎩当为偶数时，当为奇数时，则下列结论正确的是（）A ．若13a =，则52a =B ．若28a =，则13a =或116a =C ．若110a =，则5n n a a +=D ．若164a =，则前100项中，值为1和2的项数相同11．设函数()2,0e ln 2,0x x x f x x x x +⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩，函数()()g x f x m =-有三个零点123,,x x x ，且满足123x x x <<，则下列结论正确的是（）A ．1230x x x ⋅⋅≥恒成立B ．实数m 的取值范围是12,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．函数()g x 的单调减区间11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．若20x >，则232ex x +>三、填空题12．已知2x =是3()32f x x ax =-+的极小值点，那么函数()f x 的极大值为.13．等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和记为n S ，202420262025S S S <<，则q 的取值范围为. 14．为提升同学们的科创意识，学校成立社团专门研究密码问题，社团活动室用一把密码锁，密码一周一换，密码均为7N的小数点后前6位数字，设定的规则为： ①周一至周日中最大的日期为x ，如周一为3月28日，周日为4月3日，则取周四的3月31日的31作为x ，即31x =；②若x 为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为3n 的项得到新数列{}n a ，即2，13，4，6，8，23，10，12，14，…；若x 为奇数，则在正奇数数列中依次插入数值为2n 的项得到新数列{}n a ，即1，12，3，22，5，7，32，9，11，13，…；③N 为数列{}n a 的前x 项和，如9x =，则9项分别为1，12，3，22，5，7，32，9，11，故50N =，因为507.14285717≈，所以密码为142857. 若周一为4月22日，则周一到周日的密码为.四、解答题15．已知函数21()ln (1)2f x a x x a x =+-+.(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的值和此时在点()()1,1f 处的切线方程. 16．已知公差不为零的等差数列{}n a ，37a =，1a 和7a 的等比中项与2a 和4a 的等比中项相等. (1)若数列{}n b 满足11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ； (2)若数列{}n c 满足11c =，()()113n n n n a c a c +-=+（*n ∈N ），求数列{}n c 的通项公式.17．某工厂生产某产品的固定成本为400万元，每生产x 万箱，需另投入成本()p x 万元，当产量不足60万箱时，()31150150p x x x =+；当产量不小于60万箱时，()64002011860p x x x=+-，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完.(1)求销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？18．已知函数()3213f x x x =+和数列{}n c ，函数()f x 在点()(),n n c f c 处的切线的斜率记为1n c +，且已知11c =.(1)若数列{}n b 满足：()2log 1n n b c =+，求数列{}n b 的通项公式； (2)在（1）的条件下，若数列{}n a 满足112a =，1212n n n a a b ++=+，是否存在正整数n ，使得1122nii a n ==-∑成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由. 19．若函数()f x 在[],a b 上有定义，且对于任意不同的[]12,,x x a b ∈，都有()()1212f x f x x x λ-<-，则称()f x 为[],a b 上的“λ类函数”.(1)若()22x f x x =+，判断()f x 是否为 1,2 上的“2类函数”；(2)若()()21e ln 2xx f x a x x x =---，为 1,2 上的“2类函数”，求实数a 的取值范围.。

辽宁省鞍山市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题含答案

2023-2024学年度下学期期中考试高二数学（A ）（答案在最后）时间：120分钟满分：150分命题范围：选择性必修二，选择性必修三结束.第I 卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设随机变量X 服从正态分布()3,4N ，若()()263P X a P X a >-=<-，则a =（）A.2-B.1- C.12D.1【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得答案.【详解】由题意随机变量X 服从正态分布()3,4N ，即正态分布曲线关于3x =对称,因为()()263P X a P X a >-=<-，故2(63)3,12a a a -+-=∴=-，故选：B2.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且213S a =，则公比q=A.12B.13C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】将已知转化为1,a q 的形式，解方程求得q 的值.【详解】依题意1113a a q a +=，解得2q =，故选C.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量1,a q ，属于基础题.基本元的思想是在等比数列中有5个基本量1,,,,n n a q a S n ，利用等比数列的通项公式或前n 项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列1,a q ，进而求得数列其它的一些量的值.3.已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为（）A.1100B.160 C.150D.130【答案】B 【解析】【分析】利用全概率公式可求解得出.【详解】设B 表示汽车中途停车修理，1A 表示公路上经过的汽车是货车，2A 表示公路上经过的汽车是客车，则()123P A =，()213P A =，()10.02P B A =，()20.01P B A =，则由全概率公式，可知一辆汽车中途停车修理的概率为()()()()()11222110.020.013360P B P A P B A P A P B A =+⋅=⨯+⨯=.故选：B.4.函数()sin cos f x x x x =+的导数()f x '的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据已知，利用函数的求导公式以及函数的奇偶性、函数值进行排除.【详解】因为()sin cos f x x x x =+，所以()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，令()()cos g x f x x x '==，R x ∈，则()()cos g x x x g x -=-=-，所以函数()cos g x x x =是奇函数，故A ，C 错误；又()ππcos π=-π<0g =，故B 错误.故选：D.5.若(2nx 二项展开式的第二项的二项式系数等于第五项的二项式系数，则该展开式中的含4x 项的系数为（）A.80B.14- C.14D.80-【答案】A 【解析】【分析】根据二项式定理，以及组合数的性质，建立方程，可得答案.【详解】由二项式(2nx ，则其展开式的通项()(()()121C 2C 210,N rn n rrrr n rr nnT x xr n r ---+==-≤≤∈，展开式的第二项和第五项的二项式系数分别为1C n ，4C n ，则14C C n n =，解得5n =，则通项为()()155215C 2105,N rr rr T xr r --+=-≤≤∈，令1542r -=，解得2r =，则展开式中含4x 项的系数为()22523554C 2128021-⨯⋅⋅-=⨯=⨯.故选：A.6.有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过，500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为（）A.89B.19 C.79D.59【答案】A 【解析】【分析】由条件概率公式求解即可.【详解】记灯泡寿命超过500小时为事件A ，灯泡寿命超过800小时为事件B ，则()()0.9,0.8P A P AB ==，所以()()()0.88|0.99P AB P B A P A ===.故选：A7.数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为A.333412963C C C B.33341296433C C C A A C.33331296444C C C A D.333312964C C C 【答案】A 【解析】【详解】将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题只需每个课题依次选三个人即可，共有3331296C C C 中选法，最后选一名组长各有3种，故不同的分配方案为：333412963C C C ，故选A.8.已知函数32()1f x x ax x =-+--在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A.(,)-∞⋃+∞B.[C.(,)-∞⋃+∞D.(【答案】B 【解析】【分析】由题得()0f x '≤在R 上恒成立，解不等式24120a ∆=-≤即得解.【详解】由题意知，2()321f x x ax '=-+-，因为()y f x =在R 上是单调函数，且()y f x '=的图象开口向下，所以()0f x '≤在R 上恒成立，故24120a ∆=-≤，即a ≤≤故选：B【点睛】结论点睛：一般地，函数()f x 在某个区间可导，()f x 在这个区间是增函数⇒'()f x ≥0.一般地，函数()f x 在某个区间可导，()f x 在这个区间是减函数⇒'()f x ≤0.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.对两个变量x 与y 进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据：()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，则下列说法正确的是（）A.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好B.由样本数据利用最小二乘法得到的回归方程表示的直线必过样本点的中心()x yC.用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好D.若变量x 与y 之间的相关系数0.80r =，则变量x 与y 之间具有很强的线性相关性【答案】ABD 【解析】【分析】根据残差的平方和的性质判断A ，根据回归方程的性质判断B ，根据相关指数的性质判断C ，根据相关系数的定义判断D.【详解】对于A ，由残差的意义可得，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，A 正确；对于B ，若回归方程为ˆˆˆy bx a =+，则ˆˆy bx a =+，即回归方程表示的直线必过样本点的中心(,x y ，B 正确；对于C ，相关指数2R 越大，说明残差的平方和越小，即模型的拟合效果越好，C 正确；对于D ，变量x 与y 之间的相关系数0.80r =，故相关系数较为接近1，所以变量x 与y 之间具有很强的线性相关性.D 正确；故选：ABD.10.设等差数列{}的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，100S >，60a <，则（）A.数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项为第6项B.2445d -<<-C.50a > D.0n S >时，n 的最大值为5【答案】ABC 【解析】【分析】利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A 选项的正误；根据已知条件列出关于d 的不等式组，求出d 的取值范围，可判断B 选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断C ，D 选项的正误.【详解】对于C 选项，由()()110105610=502a a S a a +=+>且60a <，可知50a >，故C 正确；对于B 选项，由53635632122031230252450a a d d a a d d a a a d d =+=+>⎧⎪=+=+<⎨⎪+=+=+>⎩，可得2445d -<<-，故B 正确；对于D 选项，因为100S >，()111116111102a a S a +==<，所以，满足0n S >的n 的最大值为10，故D 错误；对于A 选项，由上述分析可知，当15n ≤≤且*N n ∈时，0n a >；当6n ≥且*N n ∈时，0n a <，所以，当15n ≤≤且*N n ∈时，0nnS a >，当610n ≤≤且*N n ∈时，0nnS a <，当11n ≥且*N n ∈时，0nnS a >.由题意可知{}单调递减，所以当610n ≤≤且*N n ∈时，6789100a a a a a >>>>>，由题意可知{}n S 单调递减，即有6789100S S S S S >>>>>，所以678910111110a a a a a ->->->->->，由不等式的性质可得6789106789100S S S S Sa a a a a ->->->->->，从而可得6789106789100S S S S S a a a a a <<<<<，因此，数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项为第6项，故A 正确.故选：ABC.11.如果函数()f x 对定义域内的任意实数，都有()()0f x xf x '+>，则称函数()y f x =为“F 函数”．下列函数不是“F 函数”的是（）A.()e xf x = B.()ln f x x =C.()2f x x= D.()sin f x x=【答案】ABD 【解析】【分析】令()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>，可得函数()g x 在定义域内是单调递增函数，称函数()y f x =为“F 函数”，逐项验证可得答案．【详解】令()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>，即函数()g x 在定义域内是单调递增函数，称函数()y f x =为“F 函数”．对于A ，()e xf x =，()()()e=∈=xg xf x x x x R ，()()e e 1e x x x g x x x '=+=+，当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数，则函数()e xf x =不是“F 函数”．故A 正确；对于B ，()ln f x x =，()()()ln 0>==g xf x x x x x ，()ln 1g x x '=+，当10e x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1ex >时，()0g x '>，()g x 单调递增，不符合在定义域内是单调递增函数，则函数()ln f x x =不是“F 函数”．故B 正确；对于C ，()2f x x =，()()()3=∈=g xf x xx x R ，()203'=≥x x g ，所以()g x 单调递增函数，则函数()2f x x =是“F 函数”．故C 错误；对于D ，()sin f x x =，()()()sin ∈==g x xf x x x x R ，()sin cos g x x x x '=+，当3ππ2<<x 时，()0g x '<，()g x 单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数，则函数()sin f x x =不是“F 函数”．故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()()g x xf x =，根据()0g x '>可得函数()g x 在定义域内是单调递增函数，称函数()y f x =为“F 函数”．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.演讲比赛结束后，4名选手与1名指导教师站成一排合影留念.要求指导教师不能站在两端，那么有______种不同的站法.(用数字作答)【答案】72【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①，指导教师不能站在两端，易得指导教师有3种站法，②，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①，指导教师不能站在两端，则指导教师有3个位置可选，有3种站法；②，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，有4424A =种情况，则有32472⨯=种不同的站法；故答案为72．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．13.已知随机变量X ，Y 满足21Y X =+，且随机变量X 的分布列如下：X 012P1613a则随机变量Y 的方差()D Y 等于______；【答案】209##229【解析】【分析】根据分布列中概率和为1可得a ，再由期望、方差公式计算出()D X ,最后利用()()2D aX b a D X +=计算可得答案.【详解】因为11163a ++=，所以12a =，()11140126323=⨯+⨯+⨯=E X ，()22214141450126333239⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D X ，所以()()()520214499=+==⨯=D Y D X D X .故答案为：209.14.若函数()3231f x ax ax =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围为______.【答案】1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由已知()()'23632fx ax ax ax x =-=-,分为0a =、0a <和0a >进行讨论,利用函数的单调区间和()01f =即可得到答案.【详解】由已知()()'23632fx ax ax ax x =-=-,当0a =时,函数()0f x =无解,不符合题意;当0a <时,()'0fx >得02x <<,()'0f x <得0x <或2x >,即函数()f x 的增区间为()0,2,减区间为()(),0,2,-∞+∞,又()01f =,所以函数()f x 有且仅有1个零点,与题意不符;当0a >时,()'0fx >得0x <或2x >,()'0f x <得02x <<,即函数()f x 的增区间为()(),0,2,-∞+∞,减区间为()0,2,又()01f =,要使函数()3231f x ax ax =-+有3个不同的零点,则需()20f <,即81210a a -+<,解得14a >.故答案为:1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说阴、证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123n = ，，，，从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．（条件①：55a =；条件②：12n n a a +-=；条件③：24S =-.）选择条件和．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足n n b a =，并求数列{}n b 的前n 项的和n T 【答案】（1）25n a n =-（2）当12n ≤≤时2=4n T n n -+，当3n ≥时248n T n n =-+【解析】【分析】（1）根据12n n a a +-=可知数列{}n a 是以公差2=d 的等差数列，然后求出首项，即可得通项.（2）由52,12;25,3n n n b n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，分情况讨论即可得nT 【小问1详解】选①②，由12n n a a +-=可知数列{}n a 是以公差2=d 的等差数列，又55a =得13a =-，故()32125n a n n =-+-=-选②③，由12n n a a +-=可知数列{}n a 是以公差2=d 的等差数列，由24S =-可知124,a a +=-13a ∴=-，()32125n a n n =-+-=-选①③，无法确定数列.【小问2详解】52,12;252525,3n n n n n a n b a n n n -≤≤⎧=-∴==-=⎨-≥⎩ ，其中n N ∈,当12n ≤≤，n N ∈时，2=4n T n n-+当3n ≥，n N ∈时，数列{}n b 是从第三项开始，以公差2=d 的等差数列()()21252=4+482n n n T n n +--=-+.16.已知函数()ln 22f x x x =-+-．（1）求曲线()y f x =的斜率等于1的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．【答案】（1）1y x =-；（2）极小值ln 21-，无极大值．【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，根据()01f x '=，求切点坐标，再求切线方程；（2）根据极值的定义，利用导数求极值.【详解】（1）设切点为()00,x y ，因为()12f x x=-+'，所以0121x -+=，01x =，0ln1220y =-+-=，所以切线方程l 为()011y x -=⨯-，即1y x =-．（2）()f x 的定义域为0,+∞．令()0f x '=即120x -+=，12x =，令()0f x '>，得12x >，令()0f x '<，得102x <<，故()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 存在极小值1ln 212ln 212f ⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭，无极大值．17.随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型.为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数值达到35及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成如下频率分布直方图.其中质量指数值分组区间是：[)20,25，[)25,30，[)30,35，[)35,40，[]40,45.（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关；甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等质量非优等合计（2）在摘取的用乙种有机肥料的西红柿中，从“质量优等”中随机选取2个，记区间[]40,45中含有的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.()20P x χ≥0.1000.0500.0100.0050.001x 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为，“质量优等”与使用不同的肥料有关（2）分布列见解析，2()3E X =【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可计算并判断结果.（2）随机变量X 的可能取值有0，1，2，服从超几何分布，利用超几何分布的公式可计算概率值，从而列出分布列并计算期望.【小问1详解】解：由题意可得22⨯列联表为：甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等603090质量非优等4070110合计100100200则()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++2200(42001200)20018.18210.8281001001109011⨯-=≈>⨯⨯=⨯.所以有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关.【小问2详解】由频率分布直方图可得“质量优等”有30个，区间[]40,45中含有10个，随机变量X 的可能取值有0，1，2，021020230C C 19038(0)C 43587P X ====，111020230C C 20040(1)C 43587P X ====，210230C 459(2)C 43587P X ====，随机变量X 的分布列如下：X012P38874087987384092()0128787873E X =⨯+⨯+⨯=.18.已知数列{}n a 满足11a =，11n n S a n +=--.（1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）设1n n nb a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）222n nn S +=-.【解析】【分析】（1）利用给定的递推公式，结合12,n n n n a S S -≥=-推理判断作答.（2）由（1）求出n b ，再利用错位相减法求和作答.【小问1详解】当1n =时，122S a =-，解得23a =，当2n ≥时，11n n S a n +=--，1n n S a n -=-，两式相减得11n n n a a a +=--，即121n n a a +=+，即有()1121n n a a ++=+，而21142(1)a a +==+，则N n *∀∈，()1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）知12nn a +=，于是12n n n n nb a ==+，则231232222n n n S =++++ ，于是231112122222n n n n n S +-=++++ ，两式相减得2311111(1)11222112221212222121n n n n n n n n n S +++-+=++++-=-=--，所以222n n n S +=-.19.设函数()e xf x ax =-，0x ≥且R a ∈．（1）求函数()f x 的单调性；（2）若()21f x x ≥+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）e 2a ≤-【解析】【分析】（1）求导后分1a ≤与1a >两种情况讨论即可；（2）方法一：讨论当0x =时成立，当0x >时参变分离可得2e 1x x a x --≤，再构造函数()2e 1x x g x x --=，0x >，求导分析最小值即可；方法二：将题意转化为2max11e x x ax ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，再构造函数()21e xx ax h x ++=，求导分类讨论单调性与最大值即可.【小问1详解】()e x f x a '=-，0x ≥，当1a ≤时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在[)0,+∞上单调递增；当1a >时，[)0,ln x a ∈时，()0f x '≤，则()f x 在[)0,ln a 上单调递减；()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '≥，则()f x 在[)0,ln a 上单调递增．【小问2详解】方法一：2e 1x ax x -≥+在0x ≥恒成立，则当0x =时，11≥，显然成立，符合题意；当0x >时，得2e 1x x a x --≤恒成立，即2min e 1x x a x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭记()2e 1x x g x x --=，0x >，()()()2e 11x x x g x x'---=，构造函数e1xy x =--，0x >，则e 10x y '=->，故e 1xy x =--为增函数，则0e 1e 010x x -->--=.故e 10x x -->对任意0x >恒成立，则()g x 在()0,1递减，在()1,+∞递增，所以()()min 1e 2g x g ==-∴e 2a ≤-．方法二：211e xx ax ++≤在[)0,+∞上恒成立，即2max11e x x ax ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭．记()21e x x ax h x ++=，0x ≥，()()()11e xx x a h x '-+-=-，当1a ≥时，()h x 在()0,1单增，在()1,+∞单减，则()()max 211ea h x h +==≤，得e 2a ≤-，舍：当01a <<时，()h x 在()0,1a -单减，在()1,1a -单增，在()1,+∞单减，()01h =，()21ea h +=，得0e 2a <<-；当0a =时，()h x 在()0,∞+单减，成立；当a<0时，()h x 在()0,1单减，在()1,1a -单增，在()1,a -+∞单减，()01h =，()121eaah a ---=，而1e 11a a -≥-+，显然成立．综上所述，e 2a ≤-．。

山东省枣庄市2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试题(含简单答案)

枣庄市2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数，则（）A. 2B. C. 4D. 2. 下列函数求导正确的是（）A B. C D. 3. 从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（）A. 7B. 12C. 18D. 244. 已知，，则（）A.B.C.D.5. 的展开式中，项的系数为（）A. 10B. C. 60D. 6. 随机变量的概率分布为1240.40.3则等于（）的..()2f x x=-()()22limh f h f h →+-=2-4-211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin cos x x'=-()1ln22x x'=()()e 1e x xx x '=+()13P B A =()25P A =()P AB =5691021513()522x x y +-52x y 30-60-X XPa()54E X +A. 5B. 15C. 45D. 与有关7. 已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 8. 已知实数分别满足，，且，则（）A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列函数在定义域上为增函数的有（）A. B. C. D. 10. 下列排列组合数中，正确的是（）A. B. C. D. 11. 已知直线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为_____________.13. 若能被64整除，则正整数的最小值为_____________.14 已知实数满足，则_____________...a ()()221()4442xf x e xx k x x =--++2x =-()f x k )2,e ⎡-+∞⎣)3,e ⎡-+∞⎣)2,e ⎡+∞⎣)3,e ⎡+∞⎣,a b e 1.02a =()ln 10.02b +=151c =a b c<<b a c <<b<c<ac<a<b()e xf x x=+()exf x x =()sin f x x x=-()2ln f x x x=-12344444A A A A 84+++=3333434520232024C C C C C ++++= 11A A A mm m n nn m -++=11C C mm n n m n --=2y x =-+e x y =ln y x =()()1122,,,A x y B x y 122x x +=12e e 2e x x +>1221ln ln 0x x x x +>12x x >()2024*381011a a -⨯+∈N a 12x x ，()136122e e ln 3e xx x x =-=，12x x =四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为3：5：2，现从这三个地区中任意选取一个人（1）求这个人患流感的概率；（2）如果此人患流感，求此人选自A 地区的概率.16. 一台笔记本电脑共有10台，其中A 品牌3台，B 品牌7台，如果从中随机挑选2台，其中A 品牌台数．（1）求的分布列；（2）求和．17. 已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为．（1）求的值；（2）求展开式中有理项的系数之和．（用数字作答）18. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的极值.19. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.,,A B C 6%5%4%，，X X ()E X ()X σ2(n x +65n ()23ln f x x x x =+-()y f x =()()1,1f ()f x ()()()2e12e R xx f x a ax a =+--∈()f x ()f x a枣庄市2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学简要答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】12【13题答案】【答案】55【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）（2）【16题答案】【答案】（1）分布列略（2）【17题答案】【答案】（1）7；（2）702.【18题答案】【答案】（1）（2）极小值为，无极大值【19题答案】【答案】（1）当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）6e 0.051617352y =20a ≤()f x R 0a >()f x (,ln )a -∞(ln ,)a +∞(1,)+∞。

高二第二学期期中考试数学试卷

高二年级第二学期期中检测数学试题（满分:150分，考试时间:120分钟）一、选择题:本题共8小题，每小腿5分，共40分.只有一项符合题目要求.1.函数y = f （x ）位点（x 0，y o ）处的切线方形为y = 2x + 1.则x x x f x f x ∆∆--→2)2()(lim 000 等于（）A.4B. - 2C.2D.4 2.函数 f （x ）= 的图象大致形状是（）3.（x + 2y ）×（x - y ）5的展开式中x 2y 4的系数为（）A. - 15B.5C. - 20D.254.甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们和和两不相邻的排法共有（）A.36种B.72种C.144种D.246种 5.函数f （x ）= k x- lnx 在[1，e ]上单调递增，则k 的收值范围是（）A. [1， +∞）B.（e 1， +∞）C.[e 1， +∞）D.（1， +∞） 6.若函数f （x ）=31x 3 - 2+x 2 在（a - 4.a + 1）上有最大值，则实数a 的取值范围为（） A.（- 3.2] B.（- 3，2） C.（- 3.0） D.（- 3.0]7.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰.短道速滑和冰壶3个项目进行集训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）种.A.30B60 C.90 D150 8.设a =24l 24e n ）（- ，b = e 1，c =44ln ，则a ，b ，c 的大小顺序为（） A.a < c < b B. c < a < b C .a < b < cD.b < a < c二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分，有多项符合题目要求.全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.以下求导运算正确的是（） A.)1(2x ʹ = 32x B.(ln 2x)ʹ = x 1 C .（l gx ）ʹ =10l 1n x D .（cos 2）' =-sin 210.由0.1，2，3，5，组成的无重复数字的五位数的四数，则（）A.若五位数的个位数是0，则可组成24个无重复数字的五位数的偶数B.若五位数的个位数是2，则可组成18个无重复数字的五位数的偶数C.若五位数的个位数是2，则可组成24个无重复数字的五位数的偶数D.总共可组成48个无重复数字的五位数的偶数11.甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机抽出一球放入乙箱中，分别以A 1，A 2表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是A.A 1，A 2两两互斥B.P （B|A 2） =75 C.事件B 与事件A 2相互独立 D.P （B ） = 149 12.已知函数f （x ） = e x - ax 2（a 为常数），则下列结论正确的有（）A.若f （x ）有3个零点，则a 的取值范围为（42e ，+ ）B.a = 2e 时，x = 1是f （x ）的极值点 C.a =21 时，f （x ）有唯一零点x 0且 - 1 < x 0 <- 21 D.a = 1时，f （x ）≥0恒成立三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数f （x ）= 2ln x - x 2 + 1，则f （x ）的单调递增区间是 _________4.将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中，共有n 种不同的放法，则在（x -x1）n 的展开式中，含x 2项的系数为 _________ .15.若直线y = kx + b 是曲线y = 1nx + 1的切线，也是曲线y = ln （x + 2）的切线.则b = _________16.给图中六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种不同的颜色可供选择，则共有_________ 种不同的染色方案.四、解答题:本题共6小圆，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算.17.（本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n且S n底2a n- 2（n∈N）（1）求数列{a n}的通项公式:（2）若b n =n naa 2log1+.求数列{b n}的前n项和T n18.（本小M满分12分）如图所示，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA = AB = BC = 0.5AD = 1. （1）求PB与CD所成的角:（2）求直线PD与面PAC所成的角的余弦值:（3）求点B到平面PCD的距离.从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试.（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设∑表示选出的3名同学中男生的人数，求∑的分布列.20.（本小题满分12分）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为4331，.（1）求第三次由乙投篮的概率:（2）在前3次投篮中，乙投篮的次数为∑求∑的分布列:（3）求∑的期望及标准差.已知函数f （x ）= x ln x +2 x（1）求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程:（2）当x > 1时，mx - m < f （x ）恒成立，求整数m 的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数f （x ） = axlnx 2 - 2x .若f （x ）在x = 1处取得极值，求f （x ）的单调区间:（2）若a = 2，求f （x ）在区同[0.5，2]上的最值:（3）若函数h （x ） =xx f )( - x 2 + 2有1个零点，求a 的取值范围.（修考做据:1 m2 = 0.693）。