2021-2022年高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理说课稿新人教A版选修

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高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理学案新人教A版选修2-2(2021学年)

2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用1.6 微积分基本定理学案新人教A版选修2－2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（201７-２０1８学年高中数学第一章导数及其应用 1.6 微积分基本定理学案新人教Ａ版选修2-2)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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１．６微积分基本定理[核心必知］１.预习教材,问题导入根据以下提纲,预习教材P51~P54的内容，回答下列问题．(１）观察教材P51图1。

６-1，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y=ｙ（t),并且ｙ（t）有连续的导数，设这个物体在时间段[ａ,b］内的位移为ｓ．①由导数的概念可知,它在任意时刻ｔ的速度v（t）与y（t）之间有什么关系？提示：v（t)=y′(t）.②如何利用y=y（t）表示物体在ｔ∈[a,b］上的位移ｓ?提示：s＝y（b)-y(a）.③若v（t)表示物体在任意时刻t的速度,如何用ｖ(t)求物体在ｔ∈[a,ｂ］上的位移s?提示：s=错误!v(ｔ)dｔ.④由①②③能否得出结论ｓ＝错误!v（t)d t＝错误!y′（ｔ）ｄt＝y（ｂ)-y(a)成立?提示:能.(2）计算定积分错误!siｎx d x，错误!siｎx dｘ,错误!sin x d x，由计算结论你能发现什么规律？提示：错误!siｎxｄx=2,错误!sin ｘd x=-2，错误! sin x d x=0。

即定积分的值可正, 可负，还可能为0。

（3)根据错误!sin x d x,错误!sｉｎxｄx和错误!sin x dｘ值的特点以及曲边梯形的面积,你能得出定积分与曲边梯形的面积有什么关系吗?(参阅教材P54图1。

高中数学第1章导数及其应用 1.6 微积分基本定理课件 a选修22a高二选修22数学课件

第三十六页，共三十八页。
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内容(nèiróng)总结
第一章导数及其应用。解剖难点探究(tànjiū)提高。课堂基础达标
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2．微积分基本定理揭示了_导__数__(_dǎ_o_sh_ù)与_定__积__分_(_jī_fēn之) 间的内在联系，同时它也提供了计算__定__积__分__(j_īfē_n_) __的一种有效方法．
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F(a)．由此可以看出，积分运算与求导运算互为逆运算．注意：只有 f(x)在[a，b]上连续，定积分bf(x)dx 才存在.
a
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第八页，共三十八页。
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课堂(kètáng)互动探究
归纳(guīnà)透析触类旁通
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题型一利用微积分定理求定积分计算下列函数的定积分．
答案：76
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第十五页，共三十八页。
(1)计算：
x＋1，x≤1，
(2)已知 f(x)＝12x2，x＞1，
计算2f(x)dx 的值． 0
【思路探索】对于(1)，由于 sin22x的原函数不易直接找出，
可先变形再计算；对于(2)，由于 f(x)为分段函数，可按分段标准
将积分化为两段积分的和．
则e
f(x)dx
的值为(
)
0
A．43
B．2
C．1
D．23
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人教版高中数学第一章1.6微积分基本定理

的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
归纳升华 (1)利用微积分基本定理求定积分，关键是求使 F′(x) ＝f(x)的 F(x)，其求法是反方向运用求导公式． (2)当被积函数是积的形式时，应先化和差的形式，再利用定积分的性质化简，最后再用微积分基本定理求定积分的值．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 下列积分值为 2 的是( )
A.∫50(2x－4)dx C.∫311xdx
B.∫0π cos xdx D.∫0π sin xdx
解析：∫50(2x－4)dx＝(x2－4x)|50＝5，∫0π cos xdx＝sin
x|π0 ＝0，∫311xdx＝ln x|31＝ln 3，∫π0 sin xdx＝－cos x|0π ＝2.
x 的原函数为
F(x)
π
＝12x－12sin x，所以 sin2 x2dx＝12x－12sin x|20＝π4－12＝
π－2 4. π－2 答案： 4
5．曲线 y＝2x2 与直线 x＝1，x＝2 及 y＝0 所围成的平面图形的面积为________．
解析：依题意，所求面积为 S＝∫212x2dx＝23x3|21＝136－ 23＝134. 答案：134
＝sin 1－23. 答案：sin 1－23
类型 3 微积分基本定理的综合应用(互动探究)

高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理(1)教学设计理新人教A版选修2-2(2021学年)

广东省肇庆市高中数学第一章导数及其应用1．6 微积分基本定理（1）教学设计理新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广东省肇庆市高中数学第一章导数及其应用１.6 微积分基本定理（1）教学设计理新人教A版选修2-2)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

6 微积分基本定理以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

高尔基说过：“书是人类进步的阶梯。

”我希望各位朋友能借助这个阶梯不断进步。

物质生活极大丰富,科学技术飞速发展，这一切逐渐改变了人们的学习和休闲的方式。

很多人已经不再如饥似渴地追逐一篇文档了,但只要你依然有着这样一份小小的坚持，你就会不断成长进步，当纷繁复杂的世界牵引着我们疲于向外追逐的时候，阅读一文或者做一道题却让我们静下心来，回归自我。

用学习来激活我们的想象力和思维,建立我们的信仰，从而保有我们纯粹的精神世界,抵御外部世界的袭扰。

The aｂｏve is thｅ wholｅcｏnｔent oｆthｉs aｒtiｃlｅ，Ｇorky sa ｉｄ: "ｔｈe ｂoｏk ｉs tｈe laｄdｅr oｆhuｍan progress." I hoｐｅｙou cａｎ make prｏgresｓ wｉth the help of ｔhｉs ladｄｅｒ. Mａteｒial liｆｅ is extremely ricｈ, ｓciｅncｅａnd tｅchnoｌogy ａrｅdeveloｐiｎｇrapidly, aｌl of whｉch ｇrａdｕally chａｎｇｅ the way of ｐeople＇ｓstｕdy aｎd leiｓure. Ｍaｎｙｐｅoｐlｅ are no longｅｒｅagｅr tｏpursｕｅ a dｏcumｅｎt, but as lｏnｇ as ｙｏu sｔill have suｃh a small peｒsｉsｔｅｎce, ｙｏu will ｃontinuｅ to ｇｒow ａnｄｐrｏgress. When the ｃｏｍｐｌｅx worlｄ lｅａdｓ us tｏ cｈaｓe ouｔ, ｒeaｄing an aｒｔiｃlｅ oｒｄoiｎg a ｐroｂlem makes us ｃalm ｄown aｎd ｒeｔｕrn ｔｏourseｌvｅs. With learniｎg, we ｃan actｉvaｔe oｕr imagination ａnd ｔhiｎkiｎg, ｅstａｂｌish ouｒ beｌｉｅｆ，ｋeep our ｐurｅ sｐiｒiｔuａl ｗorld and resist the aｔtack of thｅ external wｏｒｌd.。

高中数学第一章导数及其应用1_6微积分基本定理学案含解析新人教A版

1.6 微积分基本定理已知函数f (x )＝问题1：f (x ) 和F ′(x )有何关系？提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛02 (2x ＋1)d x 的值．提示：⎠⎛02 (2x ＋1)d x ＝6.问题3：求F (2)－F (0)的值．提示：F (2)－F (0)＝6－0＝6.问题4：⎠⎛02(2x ＋1)d x 与F (2)－F (0)有什么关系？提示：⎠⎛02f (x )d x ＝F (2)－F (0)．1．微积分基本定理设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下．则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图①，则⎠⎛ab f(x)d x ＝S 上．(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图②，则⎠⎛abd x＝－S 下．(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则⎠⎛ab f(x)d x ＝S 上－S 下；若S 上＝S 下，则⎠⎛abd x＝0.(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法——转化为计算函数F(x)在积分区间上的增量．(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，再计算F(b)－F(a)．(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分．(1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ；(2) ⎠⎛－π0 (cos x －e x)d x ；(3)π⎰2sin 2x2d x .(1) ⎠⎛12 (x 2＋2x ＋3)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x＝x 3321＋x221＋3x21＝253. (2) ⎠⎛－π0 (cos x －e x)d x ＝⎠⎛－π0cos x d x －⎠⎛－π0e xd x＝sin x0－π－ex－π＝1eπ－1. (3)sin 2x 2＝1－cos x2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ，∴π⎰2sin 2x2d x ＝π⎰2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x π20＝π4－12＝π－24.由微积分基本定理求定积分的步骤当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x)，再计算定积分，具体步骤如下．第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；第二步：计算函数的增量F(b)－F(a)．计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1x d x ；(2)⎠⎛19x(1＋x)d x ；(3)∫π6－π6(sin x ＋2x)d x.解：(1)因为(e x ＋ln x)′＝e x＋1x，所以⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1x d x ＝(e x ＋ln x)21＝e 2＋ln 2－e .(2)因为x(1＋x)＝x ＋x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋23x 32′＝x ＋x ，所以⎠⎛19x(1＋x)d x ＝⎠⎛19(x ＋x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋23x 3291＝1723.(3)法一：因为(－cos x ＋x 2)′＝sin x ＋2x ，所以∫π6－π6(sin x ＋2x)d x ＝(－cos x ＋x 2)π6－π6＝0.法二：令f(x)＝sin x ＋2x ，因为函数f(x)＝sin x ＋2x 为奇函数，所以f(x)＝sin x ＋2x 的图象关于原点对称，即曲线y ＝f(x)位于x 轴上方的图形面积与位于x 轴下方的图形面积相等，故由定积分的几何意义可得，所求定积分为0.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算⎠⎛0πf (x )d x .⎠⎛0πf (x )d x ＝π⎰2f (x )d x ＋ππ⎰2f (x )d x ＝π⎰2(4x －2π)d x ＋ππ⎰2cos x d x .取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π；取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x . 所以π⎰2(4x －2π)d x ＋ππ⎰2cos x d x＝(2x 2－2πx )π20＋sin xππ2＝－12π2－1，即⎠⎛0πf (x )d x ＝－12π2－1.分段函数的定积分的求法(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．计算定积分⎠⎛0－4|x ＋3|d x .解：因为f (x )＝|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x <－3，x ＋3，x ≥－3，所以⎠⎛－40|x ＋3|d x ＝⎠⎛－4－3(－x －3)d x ＋⎠⎛－30(x ＋3)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－3x －3－4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋3x 0－3＝5.设函数f (x )⎠⎛000x 0的值．因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫a3x 3＋cx ′＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋cx 1＝a 3＋c ＝ax 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)．即x 0的值为33.利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．已知f (x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f (x )d x ＝0，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴a ＋b ＋c ＝0.① ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， ∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx 10＝13a ＋12b ＋c ＝0.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f (x )＝－32x 2＋2x －12.3.定积分的计算计算⎠⎛12(2t ＋3)d x ＝________.⎠⎛12(2t ＋3)d x ＝(2t ＋3)x 21＝(2t ＋3)×2－(2t ＋3)×1＝2t ＋3.2t ＋31．本题的积分变量为x ，解决本题易错误地把t 当作积分变量，从而造成结论错误． 2．求定积分是对函数的积分变量而言的，在同一个题目中要注意区分“参数”及“变量”．高考对定积分运算的考查主要有以下几类：(1)利用微积分基本定理求定积分：例：(湖南高考)∫20(x －1)d x ＝________.解析：∫20(x －1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x 20＝12×22－2＝0. 答案：0(2)利用定积分的几何意义求定积分：例：⎠⎛011－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义，知⎠⎛011－x 2d x 就是由曲线y ＝1－x 2，x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积．因为y ＝1－x 2等价于x 2＋y 2＝1(y ≥0)，所以上述曲线围成的图形是以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，面积为π4，所以⎠⎛011－x 2d x ＝π4.答案：π4(3)利用转化法求定积分．例：π⎰2cos 2x2d x ＝________.解析：π⎰2cos 2x2d x ＝π⎰21＋cos x2d x ＝π⎰212d x ＋ 12π⎰2cos x d x ＝12xπ20＋12sin x π20＝π4＋12.答案：π4＋12(4)利用函数性质求定积分．例：⎰1212－lg1＋x1－xd x ＝________. 解析：记f (x )＝lg 1＋x 1－x ，易知定义域为(－1,1)，因为f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故⎰1212－lg 1＋x 1－xd x ＝0. 答案：01．下列值等于1的是( ) 1．下列值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 解析：选C 选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 221＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x22＋x 1＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x 1＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x 1＝12.2．ππ⎰22－(sin x ＋cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4C ．2D ．4解析：选Cππ⎰22－(sin x ＋cos x )d x ＝ππ⎰22－sin x d x ＋ππ⎰22－cos x d x ＝(－cos x )ππ22－＋sin xππ22－＝2.3．计算⎠⎛01x 2d x ＝________.解析：由于⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2d x ＝13x 310＝13.答案：134．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．解析：⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x 21＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2 5．计算下列定积分．(1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x d x ； (2)⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x .解：(1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－ln x ′＝2x 2－1x ，∴⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－ln x 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×13－ln 1＝143－ln 2. (2)∵⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝x ＋1x ＋2，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋ln x ＋2x ′＝x ＋1x ＋2，∴⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋ln x ＋2x 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋ln 3＋6－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋ln 2＋4＝92＋ln 32.一、选择题1.⎠⎛24(x 3＋x 2－30)d x 等于( )A ．56B ．28C ．14 D.563解析：选D ⎠⎛24(x 3＋x 2－30)d x ＝14x 4＋13x 3－30x 42＝14(44－24)＋13(43－23)－30×(4－2)＝563. 2.⎠⎛2－2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4d x 等于( )A.214B.54C.338D.218解析：选A ⎠⎛2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4d x ＝⎠⎛2－2x 2d x ＋⎠⎛2－21x 4d x ＝13x 32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x －32－2＝13(x 3－x －3)2－2＝13⎝⎛⎭⎪⎫8－18－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－8＋18＝214.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， 0≤x ≤1，2－x ， 1<x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45 C.56D ．不存在解析：选C ⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x)d x＝13x 310＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 221＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56.4．计算⎠⎛01(1＋1－x 2)d x 的结果为( )A ．1B .π4C ．1＋π4D ．1＋π2解析：选C ∵⎠⎛011－x 2d x ＝π4，∴⎠⎛01(1＋1－x 2)d x ＝⎠⎛011d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝1＋π4.5．(江西高考)若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01f(x)d x ，则⎠⎛01d x 等于( )A ．－1B ．－13C .13D ．1解析：选B ∵f(x)＝x 2＋2⎠⎛01f(x)d x ，∴⎠⎛01f(x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01d x 10＝13＋2⎠⎛01d x ，∴⎠⎛01f(x)d x ＝－13.二、填空题6．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k ＝________.解析：⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)k 0＝k 2－k 3＝0，解得k ＝0(舍去)或k ＝1. 答案：17．计算定积分⎠⎛1－1(x 2＋sin x)d x ＝________.解析：⎠⎛1－1(x 2＋sin x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－cos x 1－1＝23.答案：238．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ， x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________. 解析：显然f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3a 0＝a 3，得a 3＝1，a ＝1. 答案：1三、解答题9．计算下列定积分．(1)∫π30(sin x －sin 2x)d x ； (2)⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x|)d x. 解：(1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x ＋12cos 2x ′＝sin x －sin 2x ， ∴∫π30(sin x －sin 2x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x ＋12cos 2x π30 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＋12cos 2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 0＋12cos 0 ＝－12－14＋1－12＝－14. (2)∵|2x＋3|＋|3－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ， x≤－32，6，－32＜x ＜32，4x ， x≥32， ∴⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x|)d x ＝∫－32－3(－4x)d x ＋∫32－326d x ＋⎠⎛3324x d x ＝－2x 2－32－3＋6x 32－32＋2x 2332＝(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－(－2)×(－3)2＋6×32－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋2×32－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝45.10．已知f(x)＝⎠⎛x －a (12t ＋4a)d t ，F(a)＝⎠⎛01d x ，求函数F(a)的最小值．解：因为f(x)＝⎠⎛x －a (12t ＋4a)d t ＝(6t 2＋4at)x－a ＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，F(a)＝⎠⎛01d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x ＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x)10＝2＋2a ＋a 2 ＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1，所以当a ＝－1时，F(a)的最小值为1.。

2020_2021学年高中数学第1章导数及其应用1.6微积分基本定理课件新人教A版选修2_22021

图2
图3
1．由牛顿－莱布尼茨公式，下列各式中正确的是( )
b
A.aF′(x)dx＝F′(b)－F′(a) b
B.aF′(x)dx＝F′(a)－F′(b) b
C.aF′(x)dx＝F(b)－F(a) b
D.aF′(x)dx＝F(a)－F(b)
【答案】C
2．若定积分2(ax＋1)dx＝4，则实数 a 的值为( ) 0
(3)原式＝ (1＋cos x)dx＝(x＋sin x) ＝π2＋1. (4)原式＝10(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝x－31x310＋13x3－x21＝2.
定积分综合问题
【例 2】已知函数 f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，f′(1) ＝2，1f(x)dx＝0，求函数 f(x)的解析式．
1.6 微积分基本定理
1．微积分基本定理 (1)定理内容：如果函数 f(x)是区间[a，b]上的__连__续__函__数__，并且 F′(x) ＝__f_(x_)__，那么bf(x)dx＝_F_(_b_)_－__F_(_a_) .
a
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做_牛__顿__—__莱__布__尼__茨__公．式
(2)定理的符号表示：bf(x)dx＝F(x)ba ＝__F_(_b_)_－__F_(a_)_. a
2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，在 x 轴下方的面积为 S 下，则 (1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图 1，则bf(x)dx＝
a
__S_上___. (2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图 2，则bf(x)dx＝
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
3．设函数 f(x)＝x22－，xx，∈x[∈0，11，]，2]，

2021_2022学年高中数学第1章导数及其应用1.4.2微积分基本定理课件新人教B版选修2_2

1．(1)若1(kx＋1)dx＝2，则 k 的值为( ) 0
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)12x－x2 1dx＝________.
[解析] (1)01(kx＋1)dx＝12kx2＋x 10＝12k＋1＝2，∴k＝2.
(2)2x－x2 1dx＝21x－x12dx
1
1
＝ln
x＋1x
2 1
＝ln
0
0
1
＝x－13x310 ＋13x3－x21 ＝2.
1．本例(2)中被积函数 f(x)含有绝对值号，可先求函数 f(x)的零点，结合积分区间，分段求解．
2．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成 n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．
3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．
＋b＝4.①
又1f(x)dx＝1(kx＋b)dx＝2kx2＋bx10
k
k
＝2＋b，所以2＋b＝1．②
0
0
由①②得 k＝6，b＝－2，所以 f(x)＝6x－2.
1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．
2．计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数 f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数 F(x)等概念．
第一章导数及其应用
1.4 定积分与微积分根本定理 1.4.2 微积分根本定理
学习目标
核心素养
1 ．理解并掌握微积分基本定 1．通过微积分基本定理的学习，
理．(重点、易混点)
培养学生的数学抽象、逻辑推理素
2．能用微积分基本定理求定积养.

高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理新人教A版选修

＝6x－x2－x3＋14x4|
3 2
＝6×3－32－33＋14×34－6×2－22－23＋14×24
＝94－4＝－1.75.
(3)
3 1
x＋ 1x26xdx＝31x＋1x＋26xdx
3
＝ 1
(6x2＋6＋12x)dx
＝(2x3＋6x＋6x2)|
3 1
＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)
＝112.
5－1f(x)dx＝－ 1 1x2dx＋13xdx＋533dx＝13x3|
1－1＋12x2|
31＋3x|
5 3
＝23＋4＋6＝1023.
(2)f(x)＝x42－－x42，，
x≥2或x≤－2，－2<x<2，
3
2
3
∴0|x2－4|dx＝0(4－x2)dx＋2(x2－4)dx
＝4x－13x3|
20＋13x3－4x|
2
[提示2] 由定积分的几何意义得0 (2x＋1)dx＝6.
[问题3] 求F(2)－F(0)的值． [提示3] F(2)－F(0)＝4＋2＝6. [问题4] 你得出什么结论？
2
[提示4] 0f(x)dx＝F(2)－F(0)，且F′(x)＝f(x)．
微积分基本定理
内如果f(x)是区间[a，b]上的__连__续___函数，并且
容 F′(x)＝__f_(_x_) __，那么baf(x)dx＝_F__(b_)_－__F_(_a_)__
符号
abfxdx＝Fxba＝__F_(_b_)－__F__(a_)
定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S
则下．
b
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则

2021-2022年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数说课稿新人教A版选修

实用文档2021-2022年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数说课稿新人教A版选修【三维目标】知识技能：(1)探索函数的单调性与导数的关系;(2)会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间;过程方法：(1)在“分析、实验、讨论、总结”的探究过程中,发展学生自主学习能力；(2)强化数形结合思想.情感态度：(1)培养学生的探究精神；(2)体验动手操作带来的成功感. 【教学重点难点】教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间. 教学难点：探索函数的单调性与导数的关系. 【教学过程】（一）设问篇：有效设问，引入新课如何判断函数 (x ＞0)的单调性，你有几种方法？（利用选号程序，挑选一名幸运的同学，可提升学生注意力）设计意图：利用问题吸引学生，达到激发学习兴趣的目的.若学生能说出单调区间，则追问端点“1”的由来；若学生不清楚单调性，则引导他们用定义法求解，但判断差值的正负会很麻烦.有便捷而通用的方法吗？从而引入新课.（二）观察篇：观察分析，初步探究首先由陈若琳跳水视频引入，高台跳水是教材一以贯之的例子，这样即引起学生注意，又体现新教材强调背景的特点.思考1:图（1）为高度h 随时间t 变化的函数图象.图（2）为速度v 随时间t 变化的函数图象，分析运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？设计意图：“学会看图是21世纪青年人必须具备的能力”，让学生观察高度和速度图象，体会这二者的关系.hv实用文档（图1）（图2）思考2：在函数的单调区间上，其导数的解析式是什么？观察导数图象，通过（图2）回答导数在相应单调区间上的正负.思考3：导数与切线斜率有什么关系？曲线切线斜率变化与图像的升降有什么关系？设计意图：新课标强调“加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用”.所以，我鼓励学生借助直观分析切线斜率的正负与图象升降的关系，并用几何画板动态演示，有效促进了学生探索问题的本质.在几何画板的动态演示中，让学生反复观察图形来感受导数在研究函数单调性中的作用，一方面加强学生对导数本质的认识，把他们从抽象的极限定义中解放出来；另一方面体现数学直观这一重要的思想方法对数学学习的意义和作用.（三）操作篇：动手操作，深入探究思考4：这种情况是否具有一般性呢？设计意图：在学生得到初步结论之后，为了检验这一结论的普遍性，引领学生从具体的函数出发，体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，降低思维难度.为了让这一过程更加直观，组织学生动手操作：把牙签当切线，移动牙签观察导数正负与函数单调性的关系.让学生在老师的引导下自主探索,体会探究后的成功感,树立自信心.并将观察结果填入下表t o m n n t o m 单调性导数的正负函数及图象切线斜率k的正负22(1)y x x =≥设计意图：灵活使用教材，不拘泥于教材，上述图象没有使用课本中提到的图象，并将的定义域设为。

高中数学第一章导数及其应用1.6第1课时微积分基本定理学案新人教A版选修

高中数学第一章导数及其应用1.6第1课时微积分基本定理学案新人教A版选修1、6第一课时微积分基本定理一、课前准备1、课时目标1、了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义；2、能够运用微积分基本定理计算简单的定积分；3、能解决简单的含参数积分问题。

2、基础预探1、如果f(x)是区间[a，b]上的________，并且F′(x)＝________，那么f(x)dx＝________、这个结论叫做微积分基本定理，又叫做________、2、微积分基本定理的符号表示f(x)dx＝F(x)|＝ ________、3、常见求定积分的公式（1）；（2）（c为常数）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。

二、学习引领1、微积分基本定理需注意的问题(1)在微积分基本定理中，F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上连续可积，则F(x)称为f(x)的一个原函数、(2)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与原函数之间的逆运算关系，为定积分的计算提供了一个简单有效的方法转化为计算其原函数在积分区间上的增量、(3)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F′(x)＝f(x)的原函数F(x)，即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算，运用基本函数求导公式和四则运算法则从反方向上求出F(x)、(4)根据导数知识，连续函数f(x)的原函数F(x)不唯一，这是由于[F(x)＋C]′＝f(x)，所以F(x)＋C也是函数f(x)的原函数，其中C为常数、求定积分可以选取任意一个原函数，由于f(x)dx＝[F(x)＋C]|＝[F(b)＋C]－[F(a)＋C]＝F(b)－F(a)，显然常数C对定积分的求解没有影响、2、计算简单定积分的步骤①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；②利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；③分别用求导公式找到F(x)，使得F (x)=f(x);④利用牛顿莱布尼兹公式2、F(b)－F(a)3、三、典例导析例1 变式训练解: (1)∵(x5)′＝5x4，∴5x4dx＝x5|＝105－25＝99968、(2)(1＋x＋x2)dx＝dx＋xdx＋x2dx＝x|＋x2|＋x3|＝(3－1)＋(32－12)＋(33－13)＝、(3)、(4－2x)(4－x2)dx＝(16－8x－4x2＋2x3)dx＝＝32－16－＋8＝、(4)|sinx|dx＝（-sinx）dx=cosx、=1、例2 变式训练解析：由于，例3 变式训练解析：(1)0≤a≤1时，f(a)＝|x2－a2|dx＝(a2－x2)dx＋(x2－a2)dx＝(a2x－x3)＋(－a2x)＝a3－a3－0＋0＋－a2－＋a3＝a3－a2＋。

高中数学第一章导数及其应用 1.6 微积分基本定理导学案新人教A版选修2-2(2021年整理)

湖北省松滋市高中数学第一章导数及其应用1.6 微积分基本定理导学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第一章导数及其应用1.6 微积分基本定理导学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为湖北省松滋市高中数学第一章导数及其应用1.6 微积分基本定理导学案新人教A版选修2-2的全部内容。

1。

6微积分基本定理【学习目标】1．理解定积分的概念和定积分的性质，理解微积分基本原理；2．掌握微积分基本定理，并会求简单的定积分；3．能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出，满足()()F x f x '=的函数()F x 。

【学习重难点】重点：定积分的概念和定积分的性质难点：微积分基本定理,并会求简单的定积分。

【问题导学】预习教材P 51～ P 54，找出疑惑之处. 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式）（1）条件：函数()f x 在区间[],a b 上连续，并且。

(2）结论:()ba f x dx =⎰ .(3）符号表示：()baf x dx =⎰= .（4）作用：建立了与间的密切联系,并提供了计算定积分的有效方法. 【合作探究】探究任务一:利用微积分基本定理求定积分问题1：计算下列定积分:(1） 321(4)x x dx--⎰;（2） 251(1)x dx-⎰;（3) 21(2)t dx+⎰; (4）211(1)dx x x +⎰；(5) 102xdx ⎰; （6） 22(cos 2)x x dx ππ-+⎰;(7) 0332edx x +⎰；（8） 222sin xdx ππ-⎰。

高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理说课稿

1.6微积分基本定理一、教材分析1、地位与作用“微积分基本定理”是高中人教版选修2-2第一章第6节的内容。

这节课的主要内容是：微积分基本定理的形成，以及用它求定积分。

在本节课之前教材已经引入导数和定积分的概念，并研究了其性质。

该定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。

本节内容不仅是本书一个非常重要的内容，也是整个数学学习中的一块重要知识，该定理为下一节定积分的应用的学习奠定了基础，同时也为学生深入研究数学作了一个知识储备。

2、教学目标根据以上的教材分析，确定本节课的教学目标如下：知识与技能：（1）了解微积分基本定理，学会应用微积分基本定理求定积分；（2）通过对本课学习，培养应用微积分思想解决实际问题的能力。

过程与方法：（1）通过自主探究速度与位移的关系对图像的研究，巩固数形结合的方法，；（2）通过设问，探究速度与位移的关系，培养化整为零，以直代曲的思想。

情感态度与价值观：（1）感知寻求计算定积分新方法的必要性，激发求知欲；（2）通过对定理的应用，体会微积分基本定理的优越性；（3）帮助建立微观与宏观的联系桥梁。

3、教学重点根据教材分析，及教学目标我对本节课确定了以下重点：通过探究变速直线运动中的速度和位移的关系导出出微积分基本定理，以及对微积分基本定理的应用。

二、学情分析1、已有的知识与能力学生是在高二时学习该定理，因此学生具备了以下知识和能力储备（1）学生在学习本节内容之前，变速直线运动中的位移、速度、时间三者的关系已经很熟悉；（2）已经熟练掌握高中导数的知识，并能应用这些知识解决问题；（3）理解了定积分的定义及其几何意义，并能按定积分的定义求解定积分；（4）相对高一而言具有更好地抽象思维能力和计算、化简能力。

2、学生可能遇到的困难（1）学生在本学期才开始接触微分和逐步逼近的思想，所以大部分学生微积分基本定理的形成还是比较困难的，因此只要求学生通过实例了解微积分基本定理；（2）在用微积分基本定理计算定积分时，部分学生对该定理的条件的理解和找满足()()x f x F ='的()x F 还是存在困难，但在高中对此要求不高，故提醒学生不必深究。

2021-2022年高中数学《导数的概念》说课稿新人教A版必修1

2021-2022年高中数学《导数的概念》说课稿新人教A版必修1一、教材分析导数的概念是高中新教材人教A版选修2-2第一章1.1.2的内容, 是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。

新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。

问题1 气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率问题2 高台跳水的平均速度--→瞬时速度--根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点二、教学目标1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.三、重点、难点➢重点：导数概念的形成，导数内涵的理解➢难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点四、教学设想（具体如下表）五、学法与教法➢学法与教学用具学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。

（如问题2的处理）（2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。

（如问题3的处理）（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。

（如例题的处理）教学用具：电脑、多媒体、计算器➢教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动——师生互动、共同探索。

②导——教师指导、循序渐进（1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲（2）理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识（4）变式练习——深化对导数内涵的理解，巩固新知六、评价分析这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了一个完整的数学探究过程。

2021-2022年高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数说课稿新人教A版选修

2021-2022年高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数说课稿新人教A版选修一、教材的地位和作用函数最大值与最小值是学生学习了导数的基础上，介绍导数的一个应用。

是“函数单调性”及“函数的极值”的后继内容。

既体现了教材的循序渐进，也体现了学习数学的实际应用。

这是目前教学改革的一个方向：即增加应用性，学以致用。

让学生了解学习数学的实际应用。

二、教学目标(1)知识目标：①了解函数最值与极值的区别与联系。

②理解函数最大值与最小值的概念。

③掌握求函数最大值与最小值的导数方法。

(2)能力目标：①加深对导数意义的认识，提高学生分析问题和解决问题的能力。

②提高学生能够用数学方法解决实际问题的应用能力。

(3)德育目标：培养学生理论与实际相结合的科学态度。

激发学生动力。

养成“数学地”思考问题。

三、教学重点和难点本着突出重点，分散难点的原则.我把本节分为两个课时.第一课时：函数最大值与最小值的概念及简单应用第二课时：函数最大值与最小值的习题课本课为第一课时。

其重点是利用导数求函数最大值与最小值的方法和一般步骤。

难点：①求函数最大值与最小值的导数方法的应用。

②如何由实际问题转化为数学问题。

四、教法与教学手段本节课我采用“启发探究”式的教学方法。

由教材特点确定以类比思维和模型建立为教学主线；由学生的特点确定自主探索式的学习方法。

考虑到是高三的学生，思维较为活跃，在教学过程中我通过创设问题情境，启发引导学生自主探索。

将学生的独立思考、自主探索、交流讨论等探索活动贯穿课堂教学的全部过程，突出学生的主体意识。

教学手段：利用计算机多媒体辅助教学。

五、教学过程根据素质教育的要求，数学教育应“教给学生数学结果”转变为“引导学生参与学习数学的过程”。

这样就需创设一种情景使学生参与到数学探索活动中来。

让学生在学习过程中探索，并主动建构知识。

因此，我在认真分析教材、教法的基础上，我设计教学过程如下：5.1复习求y＝x(1－x2)的极值。

2021_2022学年高中数学第1章导数及其应用1.1.3导数的几何意义讲义新人教B版选修2_2

1.1.3 导数的几何意义学习目标核心素养1．理解导数的几何意义．(重点)2．能应用导数的几何意义解决相关问题．(难点)3．正确理解曲线“过某点〞和“在某点〞处的切线，并会求其方程．(易混点)1．通过导数的几何意义的学习，培养学生的数学抽象、直观想象素养．2．借助于求曲线的切线方程，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.导数的几何意义 1．割线的斜率y ＝f (x )图象上两点A (x 0，f (x 0))，B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))，过A ，B 两点割线的斜率是ΔyΔx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．2．导数的几何意义曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数f ′(x 0)的几何意义为曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域一样． ( )(2)直线与曲线相切，那么直线与曲线只有一个公共点．( ) (3)函数f (x )＝0没有导函数．( )[解析] (1)错．导函数的定义域和原函数的定义域可能不同，如f (x )＝x 12，其定义域为[0，＋∞)，而其导函数f ′(x )＝12x，其定义域为(0，＋∞)．(2)错．直线与曲线相切时，直线与曲线的交点可能有多个．(3)错．函数f (x )＝0为常数函数，其导数f ′(x )＝0，并不是没有导数． [答案] (1)× (2)× (3)×2．函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，那么f ′(2)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．－3D ．3[解析] 由题意知f ′(2)＝3. [答案] D3．函数f (x )在x 0处的导数为f ′(x 0)＝1，那么函数f (x )在x 0处切线的倾斜角为__________．[解析] 设切线的倾斜角为α，那么 tan α＝f ′(x 0)＝1，又α∈[0°，180°)， ∴α＝45°. [答案] 45°求曲线在某点处切线的方程3(1)求曲线C 在横坐标为x ＝1的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？[思路探究] (1)先求切点坐标，再求y ′，最后利用导数的几何意义写出切线方程． (2)将切线方程与曲线C 的方程联立求解．[解] (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点P (1,1)．y ′＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0(1＋Δx )3－1Δx＝lim Δx →0[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3.∴k ＝3.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，y ＝x 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－8，从而求得公共点为P (1,1)或M (－2，－8)，即切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)； (2)写出切线方程，即y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．特别注意：假设在点(x 0，y 0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y 轴，所以直线的切线方程为x ＝x 0.2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．1．假设函数f (x )在点A (1,2)处的导数是－1，那么过点A 的切线方程是__________． [解析] 切线的斜率为k ＝－1．∴点A (1,2)处的切线方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. [答案] x ＋y －3＝0求切点坐标2(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? [思路探究] 设点的坐标→求出在该点处的导数 →利用条件建立方程→求出点的坐标 [解] 设切点的坐标为(x 0，y 0)，那么Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2. ∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx . ∴f ′(x 0)＝lim Δx →0(4x 0＋2Δx )＝4x 0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，该点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)．上例中条件不变，求抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [解] ∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴抛物线的切线的斜率为8.由上例知f ′(x 0)＝4x 0＝8，∴x 0＝2，y 0＝9. 即所求点的坐标为(2,9)．1．此题关键是由条件得到直线的斜率，从而得知函数在某点处的导数，进而求出切点的横坐标．2．根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0；(5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0，得切点坐标．求曲线过某点的切线方程1．假设函数y ＝f (x )在点x 0处的导数存在，那么曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是什么？提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． 2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？提示：不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．3．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？提示：区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．联系：函数f (x )在x 0处的导数就是导函数f ′(x )在x ＝x 0时的函数值．【例3】曲线f (x )＝1x.(1)求曲线过点A (1,0)的切线方程； (2)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．[思路探究] (1)点A 不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A (1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．(2)设出切点坐标，由该点斜率为－13，求出切点，进而求出切线方程．[解] (1)f ′(x )＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1xΔx＝lim Δx →0 －1(x ＋Δx )x＝－1x 2.设过点A (1,0)的切线的切点为P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，1x，①那么f ′(x 0)＝－1x 20，即该切线的斜率为k ＝－1x 20.因为点A (1,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，1x在切线上，所以1x 0－0x 0－1＝－1x 20，②解得x 0＝12.故切线的斜率k ＝－4.故曲线过点A (1,0)的切线方程为y ＝－4(x －1)，即4x ＋y －4＝0.(2)设斜率为－13的切线的切点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ，由(1)知，k ＝f ′(a )＝－1a 2＝－13，得a ＝± 3.所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，33或⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－33. 故满足斜率为－13的曲线的切线方程为y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)，即x ＋3y －23＝0或x ＋3y ＋23＝0.1．求曲线过点的切线方程的步骤2．假设切线的斜率，那么可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．2．求曲线y ＝f (x )＝x 2＋1过点P (1,0)的切线方程． [解] 设切点为Q (a ，a 2＋1)，f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2＋1－(a 2＋1)Δx ＝2a ＋Δx ，当Δx 趋于0时，(2a ＋Δx )趋于2a ，所以所求切线的斜率为2a .因此，(a 2＋1)－0a －1＝2a ，解得a ＝1±2，所求的切线方程为y ＝(2＋22)x －(2＋22)或y ＝(2－22)x －(2－22).1．假设曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x －y ＋1＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在[解析] 由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数．[答案] A2．曲线y ＝12x 2－2在点x ＝1处的切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．165°[解析] ∵y ＝12x 2－2，∴y ′＝lim Δx →0 12(x ＋Δx )2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2Δx＝lim Δx →012(Δx )2＋x ·Δx Δx＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12Δx ＝x . ∴切线的斜率为1，倾斜角为45°. [答案] B3．曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为________．[解析] f ′(－2)＝lim Δx →0f (－2＋Δx )－f (－2)Δx＝lim Δx →0 2－2＋Δx ＋1Δx ＝lim Δx →0 1－2＋Δx ＝－12，∴切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.[答案] x ＋2y ＋4＝04．二次函数y ＝f (x )的图象如下图，那么y ＝f (x )在A ，B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“＜〞或“＞〞)．[解析] f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A ，B 处的切线斜率，由图象可得f ′(a )＞f ′(b )．[答案] ＞5．直线y ＝4x ＋a 和曲线y ＝x 3－2x 2＋3相切，求切点坐标及a 的值． [解] 设直线l 与曲线相切于点P (x 0，y 0)，那么f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x .由导数的几何意义，得k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＝4，解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)．当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，∴a ＝12127.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， ∴a ＝－5，因此切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)， a 的值为12127或－5.。

2021_2022学年高中数学第1章导数及其应用1.6微积分基本定理学案新人教A版选修2_2

1.6 微积分根本定理学习目标核心素养1.了解导数与定积分的关系以及微积分根本定理的含义．(重点、易混点)2.掌握微积分根本定理，会用微积分根本定理求定积分．(重点、难点)1.通过微积分根本定理的学习，表达了数学抽象的核心素养.2.借助于利用定积分求曲边梯形的面积，培养学生的数学运算及直观想象的核心素养.1．微积分根本定理内容如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a ).符号⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba＝F (b )－F (a ).思考：满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )唯一吗？[提示] 不唯一，如F 1(x )＝x ＋1，F 2(x )＝x ＋5，…等其导数为1，故F (x )不唯一． 2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下．那么 (1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，那么⎠⎛a b f (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝S 上－S 下，假设S 上＝S 下，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝0.图① 图② 图③1．假设a ＝⎠⎛01(x －2)d x ，那么被积函数的原函数为( )A ．f (x )＝x －2B ．f (x )＝x －2＋C C ．f (x )＝12x 2－2x ＋CD ．f (x )＝x 2－2x[答案] C2．⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝________. 1 [⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝sin π2－sin 0＝1.]3．如下图，定积分⎠⎛a b f (x )d x 的值用阴影面积S 1，S 2，S 3表示为⎠⎛ab f (x )d x ＝________.S 1－S 2＋S 3 [根据定积分的几何意义知⎠⎛ab f (x )d x ＝S 1－S 2＋S 3.]求简单函数的定积分(1)⎠⎛01(2x ＋e x)d x ；(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x ； (3)⎠⎜⎛0π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－cos x 22d x ；(4)⎠⎛03(x －3)(x －4)d x .[解] (1)⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x＝(ln x －3sin x )⎪⎪⎪21＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.(3)∵⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2－cos x 22＝1－2sin x 2cos x2＝1－sin x ， ∴⎠⎜⎛0π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－cos x 22d x ＝⎠⎜⎛π2(1－sin x )d x ＝(x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π2＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋cos π2－(0＋cos 0)＝π2－1.(4)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12， ∴⎠⎛03(x －3)(x －4)d x＝⎠⎛03(x 2－7x ＋12)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－72x 2＋12x ⎪⎪⎪3＝9－632＋36＝272.(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F (x ).(2)由微积分根本定理求定积分的步骤,第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；第二步：计算函数的增量F (b )－F (a ).1．计算以下定积分． (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ；(2)∫π20⎝⎛⎭⎪⎫cos 2 x 2－sin 2 x 2d x ；(3)⎠⎛49x (1＋x )d x .[解] (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 33＋ln x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83＋ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝ln 2＋23.(2)⎠⎜⎛0π2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2 x 2－sin 2 x 2d x ＝⎠⎜⎛π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝1.(3)⎠⎛49x (1＋x )d x ＝⎠⎛49(x ＋x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋x 22⎪⎪⎪94＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×27＋812－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×8＋162＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋812－163－8 ＝2716.求分段函数的定积分(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ；(2)⎠⎛02|x 2－1|d x .思路探究：(1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．[解] (1)⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎜⎛π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x ＋⎠⎛24(x －1)d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π20＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2. (2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2.1．本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进展．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．2．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1＜x ≤2，求⎠⎛02f (x )d x .(2)求⎠⎛-22|x 2－x |d x 的值．[解] (1)⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(1＋2x )d x ＋⎠⎛12x 2d x＝(x ＋x 2)⎪⎪⎪ 1＋13x 3⎪⎪⎪21＝2＋73＝133.(2)∵|x 2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，－2≤x ＜0，x －x 2，0≤x ≤1，x 2－x ，1＜x ≤2，∴⎠⎛-22|x 2－x |d x＝⎠⎛-20(x 2－x )d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2⎪⎪⎪－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 2⎪⎪⎪21＝143＋16＋56＝173.利用定积分求参数[探究问题]1．求f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x 的表达式．[提示] f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10＝23a －12a 2. 2．试求f (a )取得最大时a 的值．[提示] f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43a ＋49＋29＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29，∴当a ＝23时，f (a )的最大值为29.【例3】 (1)t ＞0，f (x )＝2x －1，假设⎠⎛0t f (x )d x ＝6，那么t ＝________.(2)2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，那么实数k 的取值范围为________.[解] (1)⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x ＝t 2－t ＝6，解得t ＝3或－2，∵t ＞0，∴t ＝3. (2)⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪21＝32k ＋1. 由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.1．(变条件)假设将例3(1)中的条件改为⎠⎛0t f (x )d x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，求t .[解] 由⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x ＝t 2－t ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝t －1，∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．(变条件)假设将例3(1)中的条件改为⎠⎛0t f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值．[解] F (t )＝⎠⎛0tf (x )d x ＝t 2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14(t ＞0)，当t ＝12时，F (t )min ＝－14.利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进展计算，其次要注意积分下限小于积分上限．1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)假设被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性〞，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．1．以下值等于1的是( )A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d x C.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x C [选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22| 10＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x | 10＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x | 10＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x | 10＝12.]2．假设⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，那么a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝()x 2＋ln x | a 1＝a 2＋ln a －1，∴a 2－1＝3，且ln a ＝ln 2，故a ＝2.]3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝________.43 [⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x＝x 33| 2－x 23| 20＝83－43＝43.] 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，那么⎠⎛02f (x )d x ＝________.176 [⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋x | 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －x 22| 21＝176.]5．f (x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f (x )d x ＝0，求f (x )的解析式．[解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴a ＋b ＋c ＝0. ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， ① ∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋c x | 10＝13a ＋12b ＋c ＝0.③由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f (x )＝－32x 2＋2x －12.。