数学人教版九年级上册勾股定理
人教版初中数学勾股定理经典大题例题
(每日一练)人教版初中数学勾股定理经典大题例题单选题1、以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（）A．2、3、4B．5、5、6C．2、√3、√5D．√2、√3、√5答案：D解析：根据勾股定理的逆定理得出选项A、B、C不能构成直角三角形，D选项能构成直角三角形，即可得出结论．解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；B、52+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；C、22+（√3）2≠（√5）2，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；D、（√2）2+（√3）2=（√5）2，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故正确．故选D．小提示：本题考查了勾股定理的逆定理；在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2、如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=a，HG=b，则斜边BD的长是（）A ．a +bB ．a ⋅bC ．√a 2+b 22D ．√a 2−b 22答案：C解析：根据全等三角形的性质，设CD=AH=x ，DE=AG=BC=y ，由CE =a ，HG =b 建立方程组，求解即可得出CD =x =a−b 2,BC =y =a+b 2，然后借助勾股定理即可表示BD.解：根据图象是由四个全等的直角三角形拼成，设CD=AH=x ，DE=AG=BC=y ，∵CE =a ，HG =b ，∴{x +y =a y −x =b解得：{x =a−b 2y =a+b 2， 故CD =a−b 2,BC =a+b 2在RtΔBCD 中，根据勾股定理得：BD 2=BC 2+CD 2=(a+b 2)2+(a−b 2)2=a 2+b 22，∴BD =√a 2+b 22.故选:C.小提示：本题考查勾股定理，全等三角形的性质，能借助方程思想用含a ，b 的代数式表示CD 和BC 是解决此题的关键.3、如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 1､S 2､S 3；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为S 4､S 5､S 6．其中S 1=16,S 2=45,S 5=11,S 6=14，则S 3+S 4=（ ）A ．86B ．64C ．54D ．48答案：C解析：分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3，然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系．同理，得出S 4、S 5、S 6的关系，即可得到结果．解：如图1，过点E 作AB 的垂线，垂足为D ，∵△ABE 是等边三角形，∴∠AED=∠BED=30°，设AB=x ，∴AD=BD=12AB=12x ，∴DE=√AE 2−AD 2=√32x ，∴S 2=12×x ×√32x =√34AB 2， 同理：S 1=√34AC 2，S 3=√34BC 2，∵BC 2=AB 2-AC 2， ∴S 3=S 2-S 1，如图2，S 4=12×(12AB)2π=π8AB 2，同理S5=π8AC2，S6=π8BC2，则S4=S5+S6，∴S3+S4=45-16+11+14=54．小提示：本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．4、如图，P，Q分别是BC，AC上的点，过点P作PR⊥AB于点R，作PS⊥AC于点S，若AQ=PQ，PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②QP//AR；③△BRP≅△CSP，正确的是（）A．①③B．②③C．①②D．①②③答案：C解析：根据角平分线的判定，先证AP是∠BAC的平分线，再证ΔAPR≅ΔAPS(HL)，可证得AS=AR，QP//AR成立．解：如图示，连接AP，∵PR=PS，∴AP是∠BAC的平分线，∴ΔAPR≅ΔAPS(HL)∴AS=AR，①正确．∵AQ=PQ∴∠BAP=∠QAP=∠QPA∴QP//AR，②正确．BC只是过点P，并没有固定，明显ΔBRP≅ΔCSP③不成立．故选：C．小提示：本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，熟悉相关性质是解题的关键．5、如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（）A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米解析：在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.在Rt △A′BD 中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD 2+A′D 2=A′B′2，∴BD 2+22=6.25， ∴BD 2=2.25， ∵BD ＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选：C ．小提示：本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.6、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于 12 AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ．若AC ＝3，AB ＝5，则DE 等于（ ）A ．2B ．103C ．158D ．152答案：C根据勾股定理求出BC ，根据线段垂直平分线性质求出AE=BE ，根据勾股定理求出AE ，再根据勾股定理求出DE 即可.解：在RtABC 中，由勾股定理得：BC=√52−32=4,连接AE ，从作法可知：DE 是AB 的垂直评分线，根据性质AE=BE ，在Rt △ACE 中，由勾股定理得：AC2+CE 2=AE 2， 即32+（4-AE ）2=AE 2， 解得：AE=258，在Rt △ADE 中，AD=12AB=52，由勾股定理得：DE 2+(52)2=(258)2， 解得：DE=158.故选C.“点睛”：本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，能灵活运用勾股定理得出方程是解此题的关键.7、如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB =9，BC =6，则FC′的长为（ ）A．3B．4C．4．5D．5答案：D解析：设FC′=x，则FD=9−x，根据矩形的性质和勾股定理列式即可求出答案.设FC′=x，则FD=9−x．∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点．∴AD=BC=6，C′D=3，在Rt△PC′D中，由勾股定理得FC′2=FD2+C′D2，即x2=(9−x)2+32，解得x=5．故选D．小提示：本题考查的是矩形的性质和勾股定理，能够熟练运用所学知识是解题的关键.8、如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1､S2､S3；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为S4､S5､S6．其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14，则S3+S4=（）A ．86B ．64C ．54D ．48答案：C解析：分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3，然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系．同理，得出S 4、S 5、S 6的关系，即可得到结果．解：如图1，过点E 作AB 的垂线，垂足为D ，∵△ABE 是等边三角形，∴∠AED=∠BED=30°，设AB=x ，∴AD=BD=12AB=12x ，∴DE=√AE 2−AD 2=√32x ，∴S 2=12×x ×√32x =√34AB 2，同理：S 1=√34AC 2，S 3=√34BC 2，∵BC 2=AB 2-AC 2，∴S 3=S 2-S 1，如图2，S 4=12×(12AB)2π=π8AB 2，同理S 5=π8AC 2，S 6=π8BC 2，则S 4=S 5+S 6，∴S 3+S 4=45-16+11+14=54．小提示：本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．填空题9、如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝_____．答案：2.5解析：DE分别交BF、CF于点G、点H；设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG=m，S△ACH=n，由a2+b2=c2，可得S△ABD+S△ACE=S△BCF，由此构建关系式，通过计算即可得到答案．如图，DE分别交BF、CF于点G、点H∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG=m，S△ACH=n∵a2+b2=c2∴S△ABD+S△ACE=S△BCF∵S△ABD=S1+m，S△ACE=n+S4，S△BCF=S2+S3+m+n∴S1+m+n+S4=S2+S3+m+n∴S4=S2+S3−S1=3.5+5.5−6.5=2.5所以答案是：2.5．小提示：本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．10、如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯______米．答案：14解析：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和，已知斜边和一条直角边，根据勾股定理即可求另一条直角边，计算两直角边之和即可解题．解：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和，由题意得：∠ACB=90°，AB=10米，AC=6米，由勾股定理得BC=√AB2−AC2=√102−62=8（米），则AC+BC=14（米），所以答案是：14．小提示：本题考查了勾股定理的应用，本题中把求地毯长转化为求两直角边的长是解题的关键．11、如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2等_________．答案：2π解析：根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积．解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，则由勾股定理知，AC2+BC2=AB2．∵S1=12π(AC2)2=18πAC2,S2=18πBC2，AB＝4，∴S1+S2=18π(AC2+BC2)=18πAB2=2π所以答案是：2π．小提示：此题考查了半圆的面积公式以及勾股定理，以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在勾股定理．12、如图，在△ABC中，已知AB=AC=4，BC=6，P是BC边上的一动点（P不与点B，C重合），连接AP，∠B=∠APE，边PE与AC交于点D，当△APD为等腰三角形时，PB的长为____.答案：2或103解析：分三种情况进行讨论：①当AP=PD时，易得△ABP≌△PCD．②当AD=PD时，根据等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式求得答案．③当AD=AP时，点P与点B重合．∵AB=AC=4，∴∠B=∠C∵∠B=∠APE，∠APC=∠B+∠BAP=∠APE+∠CPE∴∠BAP=∠CPE①当AP=PD时，△ABP≌△PCD，则PC=AB=4，故PB=2．②当AD=PD时，∴∠PAD=∠APD．∵∠B=∠APD=∠C，∴∠PAD=∠C，∴PA=PC．如图，过P作PH⊥AC于H，过A作AG⊥BC于G，∴CG=3，∴AG=√AC2−CG2=√42−32=√7，∴CH=2．设PC=x，∴S ΔAPC =12AG ⋅PC =12AC ⋅PH ，∴√7x =4PH ，∴PH =√74x ． ∵PC 2=PH 2+CH 2，∴x 2=(√74x)2+4， 解得x =83（负值舍去），∴PC =83，∴PB =103．③当AD =AP 时，点P 与点B 重合，不合题意．综上所述，PB 的长为2或103. 小提示：此题考查了勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．13、在Rt △ABC 中，若两直角边a ，b 满足√10−2a +|b −12|=0，则斜边c 的长度是______．答案：13解析：利用非负数的和为0，求出a 与b 的值，再利用勾股定理求即可．解：∵√10−2a +|b −12|=0，√10−2a ≥0，|b −12|≥0，∴10−2a =0，b −12=0，∴a =5，b =12，在RtΔABC 中，由勾股定理得c =√a 2+b 2=√52+122=13．所以答案是：13．小提示：本题考查非负数的性质，勾股定理，掌握非负数的性质，勾股定理是解题关键．14、中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明：a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．答案：（1）证明见解析；（2）23解析：（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．（2）根据完全平方公式的变形解答即可．ab，小正方形面积为（b﹣a）2，解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为12∴c2＝4×1ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2；2（2）由图可知：ab＝13﹣3＝10，（b﹣a）2＝3，4×12∴2ab＝10，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．15、在边长为8的等边△ABC中，点D是边AB上的一动点，点E在边AC上，且CE = 2AD，射线DE绕点D顺时针旋转60°交BC边于F．（1）如图1，求证：∠AED = ∠BDF；（2）如图2，在射线DF上取DP=DE，连接BP，①求∠DBP的度数；②取边BC的中点M，当PM取最小值时，求AD的长.答案：（1）见解析；（2）①30°；②2解析：（1）根据等边三角形的性质求解即可；（2）①方法一：连接EP，过点P作GQ∥BC分别交AB，AC于点G，Q，易知△AGQ和△DEP均为等边三角形，得到△ADE≌△GPD≌△QEP（AAS），即可得解；方法二：在DB上取DG=AE，证明△ADE≌△GPD（SAS），即可得解；②在DB上取DG=AE，当MP⊥BE时，PM取得最小值，得到PM= 2，PB= 2√3，过点G作GH⊥BP于点H，利用直角三角形的性质求解即可；解：（1）在等边△ABC中，∵AB=AC，∠A= ∠ABC=∠C = 60°，∵∠EDF = 60°，∴∠ADE+∠BDF= ∠ADE+∠AED= 120°，∴∠AED = ∠BDF；（2）①方法一：如答题图1，连接EP，过点P作GQ∥BC分别交AB，AC于点G，Q，易知△AGQ和△DEP均为等边三角形，∴BG=CQ，∠AGQ＝60°，∴∠ADE+∠BDF＝∠ADE+∠AED＝120°，∴∠AED = ∠BDF，同理∠BDF＝∠EPQ，∴可证：△ADE≌△GPD≌△QEP（AAS），∴AD=GP=QE，∵CE = 2AD=CQ+EQ=AD+BG，∴PG=BG，∴∠DBP＝∠BPG＝30°；方法二：如答题图2，在DB上取DG=AE，∵∠AED = ∠BDF又∵DP = DE，∴△ADE≌△GPD（SAS），∴PG = AD，∠PGD＝60°，∵CE =AC-AE =AB-DG =AD+BG=2AD，∴BG =AD =PG，∴∠DBP＝∠BPG＝30°；②如答图3，在DB上取DG=AE，由①可知∠MBP＝30°，AD =BG =PG；当MP⊥BE时，PM取得最小值；在Rt△BMP中，∠MBP＝30°，BM =4，∴PM = 2，PB = 2√3；过点G作GH⊥BP于点H，∵BG =PG，∴BH =√3；在Rt△BGH中，∠GBP＝30°，BH =√3∴BG =2，∴AD = BG = 2.小提示：本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的综合应用，准确计算是解题的关键．。
人教版初中数学勾股定理知识点题库
(每日一练)人教版初中数学勾股定理知识点题库单选题1、勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和答案：C解析：根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2=a2+b2，阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c），较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a，则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选C．小提示：本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．2、有下面的判断：①若△ABC中，a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2；③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，a是斜边，则(a＋b)(a－b)=c2.其中判断正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个答案：B解析：根据勾股定理及其逆定理依次判断即可解答.①c不一定是斜边，①错误；②根据勾股定理可得②正确；③根据勾股定理的逆定理可得③正确；④若△ABC是直角三角形，a是斜边，则（a+b）（a-b）=c2，④正确．共2个正确．故选B．小提示：本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．3、如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（）A．11cmB．2√34cmC．（8+2√10）cmD．（7+3√5）cm答案：B解析：要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解：将长方体展开,连接AB′，则AB′最短.∵AA′=3+2+3+2=10cm，A′B′=6 cm，∴AB′=√102+62=2√34cm.故选B..4、如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF 的长度为()A．5B．3√5C．2√5D．3√2答案：C解析：过F点作FH⊥AD于H，在Rt△EHF中根据勾股定理即可求出EF的长．解：如图所示，过F点作FH⊥AD于H，设CF=x，则BF=8−x，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，∴16+(8−x)2=x2，解得：x=5，∴AF=CF=5，∵AD//BC，∴∠AEF=∠EFC，又∵∠AFE=∠EFC，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=5，∴EH=AE−AH=2，∵FH=4，∴EF2=42+22=20，∴EF=2√5；故选C．5、已知△ABC的三边分别是a，b，c，且满足|a-2√5|+√b−2+（c-4）2=0，则以a，b，c为边可构成（）A．以c为斜边的直角三角形B．以a为斜边的直角三角形C．以b为斜边的直角三角形D．有一个内角为30°的直角三角形答案：B解析：利用非负数的性质求得a、b、c的数值，利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状即可．解：由题意可得：a=2√5，b=2，c=4，∵22+42=20，(2√5)2＝20，即b2+c2=a2，所以△ABC是以a为斜边的直角三角形．故选B．小提示：本题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理，根据非负数的性质求得a、b、c的值是解决此题的关键．6、有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（）A．5B．√7C．√5D．5或√7解析：分4是直角边、4是斜边两种情况考虑，再根据勾股定理计算即可．解：当4是直角边时，斜边=√32+42=5；当4是斜边时，另一条直角边=√42−32=√7；故选：D．小提示：本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．7、如图，点P是以A为圆心，AB为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P表示的实数是（）A．-2B．-2.2C．-√10D．-√10+1答案：D解析：在三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，即可确定出AP的长，得到P表示的实数.在Rt△AOB中，OA=1，OB=3，根据勾股定理得：AB=√32+12=√10，∴AP=AB=√10，∴OP=AP-OA=√10-1，则P表示的实数为-√10+1．故选D．本题考查了勾股定理，以及实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8、Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )A．8B．4C．6D．无法计算答案：A解析：解：利用勾股定理，由Rt△ABC中，BC为斜边，可得AB2+AC2=BC2，代入数据可得AB2+AC2+BC2=2BC2=2×22=8．故选A．填空题9、如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=4，D为BC的中点，AD=2√5，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为_________．答案：2√5解析：根据中点的含义先求解BD,作点C关于AB对称点C′，则OC=OC′，连接DC′，交AB于P，连接BC′，此时PD+PC=PD+PC′=DC′的值最小，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，AB⊥CC′,于是得到∠C′BC= 90°，再证明BC′=BC=4，然后根据勾股定理即可得到结论．解：∵AC=BC=4，D为BC的中点，∠ACB=90°，∴CD=BD=2，∠CBA=45°，作点C关于AB对称点C′，CC′交AB于O，则OC=OC′，连接DC′，交AB于P，连接BC′．此时PD+PC=PD+PC′=DC′的值最小．由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，AB⊥CC′,∴∠C′BC=90°，∴BC′⊥BC，点C关于AB对称点C′，∴AB垂直平分CC′，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得DC′=√42+22=2√5.所以答案是：2√5．小提示：此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键．10、在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为______cm2．答案：126或66．解析：解：当∠B为锐角时（如图1），在Rt △ABD 中，BD = √AB 2−AD 2=√132−122=5cm ，在Rt △ADC 中，CD =√AC 2−AD 2=√202−122=16cm ，∴BC =21，∴S △ABC =12•BC •AD =12×21×12=126cm 2； 当∠B 为钝角时（如图2），在Rt △ABD 中，BD =√AB 2−AD 2=√132−122=5cm ，在Rt △ADC 中，CD =√AC 2−AD 2=√202−122=16cm ，∴BC =CD -BD =16-5=11cm ，∴S △ABC =12•BC •AD =12×11×12=66cm 2， 所以答案是：126或66．11、点A 、B 、C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离是_____.答案：35√5； 解析：试题分析：连接AC ，BC ，设点C 到线段AB 所在直线的距离是h ，∵S △ABC =3×3﹣12×2×1﹣12×2×1﹣12×3×3﹣1=9﹣1﹣1﹣92﹣1=32，AB=√12+22=√5，∴12×√5h=32，∴h=3√55．故答案为3√55．考点：勾股定理．12、小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1．第一步，在AB 边上找一点D ，将纸片沿CD 折叠，点A 落在A ′处，如图2，第二步，将纸片沿CA ′折叠，点D 落在D ′处，如图3．当点D ′恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段A ′D ′的长为__________．答案：12或2−√3 解析：因为点D ′恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当D ′落在AB 边上和BC 边上两种情况分析，勾股定理求解即可．解：当D′落在AB边上时，如图（1）：设DD′交AB于点E，由折叠知：∠EA′D=∠A=60°,AD=A′D=A′D′,DD′⊥A′E,A′C=AC∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1∴AB=2,BC=√3设AD=x，则在Rt△A′ED中，A′E=12x在Rt△ECB中，EC=12BC=√32∵A′C=AC∴12x+√32=1即x=2−√3．当D′落在BC边上时，如图（2）因为折叠，∠ACD=∠A′CD=∠A′CD′=30°,∴A′D′=12A′C=12A′B,A′C=A′B=AC=1∴AD=A′D′=1．2所以答案是：1或2−√32小提示：本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中30°的性质，正确的作出图形是解题的关键．13、如图．在RtΔABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，若DE=a，则ΔABC的周长用含a的代数式表示为_______________．答案：(6+2√3)a解析：根据“∠BAC=90°，∠C=30°”可知∠B=60°，根据“以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D”可知△ABD是等边三角形，∠BAD=60°，继而可知∠DAE=30°，利用直角三角中30°所对的边是斜边的一半，即可知AB和BC的长，再利用勾股定理即可求出AC的长，从而可得周长.∵RtΔABC中，∠BAC=90°，∠C=30°∴∠B=60°，BC=2AB∵以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，∴AB=AD∵∠B=60°∴△ABD是等边三角形∴∠BAD=60°，∴∠DAE=30°，又∵DE⊥AC∴△ADE是直角三角形∴AD=2DE=2a∴AB=2a，BC=4a根据勾股定理有AB2+AC2=BC2∴AC=√BC2−AB2=√16a2−4a2=2a√3∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2a+2a√3+4a=(6+2√3)a故答案为(6+2√3)a.小提示：本题考查的是含有30°角的直角三角形和勾股定理，能够根据含有30°角的直角三角形相关性质和勾股定理求出三边的长是解题的关键.解答题14、（1）如图１是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试证明过程．说明：C2=a2+b2．答案：（1）(a+b)2=a2+2ab+b2；（2）证明见解析．解析：（1）根据正方形面积计算公式解答；（2）利用面积法证明即可得到结论．（1）(a+b)2=a2+2ab+b2；（2）如图，∵Rt△DEC≌Rt△EAB，∴∠DEC=∠EAB，DE=AE，∵∠EAB+∠AEB=90°，∴∠DEC+∠AEB=90°，∴△AED为等腰直角三角形，∵S梯形ABCD=S Rt△ABE+S Rt△DCE+S Rt△DEA，∴12(b+a)(a+b)=12ab+12ab+12c2，即(a+b)2=2ab+c2，∵(a+b)2=a2+2ab+b2，∴a2+2ab+b2=2ab+c2，∴c2=a2+b2．小提示：此题考查勾股定理的证明，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解各部分图形之间的关系，正确分析它们之间的面积等量关系是解题的关键．15、如图所示，在平面直角坐标系中△ABC三个顶点坐标分别为A（0，4），B（﹣4，1），C（2，0）．（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标．（2）在（1）的条件下，若点P在x轴上，当B1P＋PA的值最小时，画出点P的位置，并直接写出B1P＋PA的最小值．（3）在x轴上是否存在一点M，使△MAC是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）画图见解析，B1(−4,−1)；（2）作图见解析，最小值为√41；（3）(2+2√5,0),(2−2√5,0),(−2,0),(−3,0).解析：（1）分别确定A,B,C关于x轴对称点A1,B1,C1,再顺次连接A1,B1,C1,再根据B1的位置写其坐标，从而可得答案；（2）连接B1P,交x轴于P,由B1P+PA=B1P,可得P即为所求作的点；（3）△MAC是等腰三角形且M在x轴上，分三种情况讨论，当CM=CA=2√5，当AC=AM=2√5，当MA= MC,再结合点的位置与等腰三角形的性质可得答案.解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作的三角形，B1的坐标为：(−4,−1).（2）如图，连接B1P,交x轴于P,∴B1P+PA=B1P,则P即为所求作的点，∴B1P=√42+52=√41.（3）∵M在x轴上，且△MAC为等腰三角形，而AC=√22+42=2√5,当CM=CA=2√5时，M1,M2满足条件，此时CM1=CM2=AC=2√5,OM1=2+2√5,OM2=2√5−2,∴M1(2+2√5,0),M2(2−2√5,0),当AC=AM3=2√5时，AO⊥x轴，∴OM3=OC=2,∴M3(−2,0).当M在AC的垂直平分线上时，如图，则M4C=M4A,设M(x,0),由勾股定理可得：∴x2+42=(x−2)2,解得：x=−3,则M4(−3,0),综上：M的坐标为：(2+2√5,0),(2−2√5,0),(−2,0),(−3,0).小提示：本题考查的是轴对称的作图，两点之间，线段最短，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，注意在确定满足等腰三角形的点的位置时的分类讨论要做到不遗漏，不重复.。
人教版《勾股定理》教学设计
《勾股定理》教学设计日照市东港区教育局电教站安伯玉教学内容人教版八年级下册18.1《勾股定理》第一课时教材分析勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的。
本节课的学习在教材中起到承上启下的作用，为下面学习勾股定理的逆定理作了铺垫，为以后学习“四边形”和“解直角三角形”奠定基础。
勾股定理的探索和证明蕴含着丰富的数学思想和科学研究方法，是培养学生具有良好思维品质的载体，它在数学的发展过程中起着重要的作用。
勾股定理是数与形结合的优美典范。
教学目标一、了解勾股定理的文化背景，经历探索发现并验证勾股定理的过程。
二、在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。
三、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探究结果。
四、通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。
在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。
教学重点及难点重点：经历探索及验证勾股定理的过程。
难点：用拼图的方法证明勾股定理。
学具准备：方格纸、全等的直角三角形纸片。
教法与学法教法:在教学中要力求实现以教师为主导，以学生为主体，以知识为载体，以培养学生的“思维能力，动手能力，探究能力”为重点的教学思想。
尽量为学生创设“做数学、玩数学”的情境，让学生从“学会”到“会学”，使学生真正成为学习的主人。
学法:在探索勾股定理时，主要通过直观的，乐于接受的拼图法去验证勾股定理。
在本节课中，要充分体现学生的主体地位，主要采用小组合作、自主探究式学习模式。
通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探究结果。
教学过程一、设置悬念，引出课题师：请同学们观看大屏幕。
酷6网上曾经出现一个报道：人类一直想弄清楚其他星球上是否存在“人”，我们怎样才能与“外星人”取得联系呢？为什么我国科学家向太空发射勾股图试图与外星人沟通？这个图形蕴含怎样的秘密？师：2002年国际数学家大会在北京召开。
2023年中考数学人教版总复习训练：勾股定理
2023年中考数学(人教版)总复习训练：勾股定理一、选择题（本大题共10道小题）1. (2020秋•萧山区期中)在下列条件:①∠A+∠B ＝∠C,②∠A:∠B:∠C ＝5:3:2,③∠A ＝90°-∠B,④∠A ＝2∠B ＝3∠C 中,能确定△ABC 是直角三角形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. (2022安徽合肥38中)已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,选择下列条件中的一个,能判断△ABC 是直角三角形的是( )①∠A ＝∠B ﹣∠C;②a 2＝(b+c)(b ﹣c);③∠A:∠B:∠C ＝3:4:5;④a:b:c ＝3:4:5A.1个B.2个C.3个D.4个3. (2022·河北保定)如图,点A 、B 、C 在正方形网格格点上,则∠ACB 的度数为( )A.30oB.45oC.40oD.60o 4. (2022·贵州遵义)已知a,b 均为正数,且22a b +,224a b +,224a b +是一个三角形的三边的长,则这个三角形的面积是( )A.32ab B.ab C.12ab D.2ab5. (2020·大连)如图,小明在一条东西走向公路的O 处,测得图书馆A 在他的北偏东60°方向,且与他相距200m,则图书馆A 到公路的距离AB 为( )A.100mB.1002mC.1003mD.20033m 6. (2022北京石景山)如图,△ABC 中,3AC =,D,E 分别为CB,AB 上的点,CD=1,AD=BD=2,若AE=EB,则DE 的长为( )A.5B.2C.3D.17. (2022安徽合肥)如图,已知△ABC 中,∠ACB=45o ,F 是高BD 和CE 的交点,AD=3,CD=5,则线段BF 的长度为( )A.1B.2C.223-D.423-8. (2021·河北张家口)如图,在6×4的小正方形网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C,D,E均在格点上.则∠ABC-∠DCE＝()A.30°B.42°C.45°D.50°9. (2022·贵州遵义)如图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=30o,则点B到OC的距离为()A.55B.255C.1D.210. (2022安徽合肥一六八中学)如图等腰直角△ABC中∠C=90°,点F是AB边的中点,点D、E 分别在AC、BC边上运动,且∠DFE=90°,DE、DF、EF,在此运动变化过程中,下列结论:①图中全等的三角形只有两对;②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍;③CD+CE=2FA;④AD2+BE2=DE2,其中错误结论的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共8道小题）11. (2021·贵州铜仁)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC中点,MN⊥AC于点N,则MN的长为_____.12. (2021·成都)如图,数字代表所在正方形的面积,则A所代表的正方形的面积为.13. (2021·鄂州)如图,四边形ABDC中,AC＝BC,∠ACB＝90°,AD⊥BD于点D.若BD＝2,CD＝42,则线段AB的长为.14. (2022嘉兴)将两块全等的直角三角板如图放置,其中一块三角板的斜边恰好经过另一块三角板的直角顶点O及斜边上的中点A,若这两块三角板的斜边长为13.6cm,则OA=.15. (2021·南通)如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距离灯塔50海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处,此时B处与灯塔P的距离为海里(结果保留根号).16. (2021·常州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠CBA＝30°,AC＝1,D是AB上一点(点D与点A不重合).若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A,D成为直角三角形的三个顶点,则AD长的取值范围是.17. (2021·泰州)如图,四边形ABCD中,AB＝CD＝4,且AB与CD不平行,P,M,N分别是AD,BD,AC的中点,设△PMN的面积为S,则S的范围是.18. (2022北京顺义).如图,在Rt△ABC中,∠B＝90°,以点A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB、AC 于点D,E,再分别以点D、E 为圆心,大于DE 为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交边BC于点G,若BG＝1,AC＝4,则△ACG 的面积是________.三、解答题（本大题共6道小题）19. (2020秋•兰州期末)如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,请证明△ABC为直角三角形,并求出其面积.20. (2022北京师大附中)一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB//CF,∠F＝∠ACB＝90°,∠E＝45°,∠A＝60°,103BC ,试求CD的长.21. (2021·河北唐山)如图,在△ABC和△DCE中,AC＝DE,∠B＝∠DCE＝90°,点A,C,D依次在同一直线上,且AB∥DE.(1)求证:△ABC≌△DCE;(2)连结AE,当BC＝5,AC＝12时,求AE的长.22. (2022北京朝阳)如图,在等腰直角△ABC中,∠B＝90°,AB＝BC＝4.动点P以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动,过点P作PF⊥AC于点F,以AF,AP为邻边作▱FAPG;▱FAPG与等腰直角△ABC的重叠部分面积为y(平方单位),y＞0,点F与点C重合时运动停止,设点P 的运动时间为x秒.(1)直接写出点G落在BC边上时x的值.(2)求y与x的函数关系式.(3)直接写出点G与△ABC各顶点的连线平分△ABC面积时x的值.23. (2022北京石景山)已知:如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB<CA.求作:线段AB上的一点M,使得∠MCB=∠A.作法:①以点C为圆心,CB长为半径作弧,交AB于点D;②分别以点B,D为圆心,大于1BD长为半径作弧,两弧在AB的右侧相交于点E;2③作直线CE,交AB于点M.∠MCB即为所求.根据小伟设计的尺规作图过程,(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);(2)完成下面的证明.证明:连接CD,ED,EB.∵CD=CB,ED=EB,∴CE是DB的垂直平分线(______)(填推理的依据).∴CM⊥AB.∴∠MCB+∠B=90°.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.∴∠MCB=∠A(______)(填推理的依据).24. (2021·河北唐山)已知:RT△ABC与RT△DEF中,∠ACB＝∠EDF＝90°,∠DEF＝45°,EF＝8cm,AC＝16cm,BC＝12cm.现将RT△ABC和RT△DEF按图1的方式摆放,使点C与点E重合,点B、C(E)、F在同一条直线上,并按如下方式运动.运动一:如图2,△ABC从图1的位置出发,以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动,DE与AC 相交于点Q,当点Q与点D重合时暂停运动;运动二:在运动一的基础上,如图3,RT△ABC绕着点C顺时针旋转,CA与DF交于点Q,CB与DE交于点P,此时点Q在DF上匀速运动,速度为2cm/s,当QC⊥DF时暂停旋转;运动三:在运动二的基础上,如图4,RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动,直到点C与点F重合时为止.设运动时间为t(s),中间的暂停不计时,解答下列问题(1)在RT△ABC从运动一到最后运动三结束时,整个过程共耗时s;(2)在整个运动过程中,设RT△ABC与RT△DEF的重叠部分的面积为S(cm2),求S与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围;(3)在整个运动过程中,是否存在某一时刻,点Q正好在线段AB的中垂线上,若存在,求出此时t 的值;若不存在,请说明理由.。
九年级数学上册(人教版)教案
九年级数学上册（人教版）教案第一章：实数1.1 有理数教学目标：理解有理数的定义及其分类；掌握有理数的运算方法，包括加、减、乘、除、乘方和开方；能够运用有理数解决实际问题。
教学内容：有理数的定义及分类；有理数的运算方法及运算律；有理数在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入有理数的概念，引导学生理解有理数的定义及分类；2. 通过示例讲解有理数的运算方法，让学生进行练习；3. 引导学生运用有理数解决实际问题，巩固所学知识。
作业布置：完成课后练习题，巩固有理数的运算方法；选取一些实际问题，让学生运用有理数解决。
1.2 实数教学目标：理解实数的定义及其与有理数的关系；掌握实数的运算方法，包括加、减、乘、除、乘方和开方；能够运用实数解决实际问题。
教学内容：实数的定义及其与有理数的关系；实数的运算方法及运算律；实数在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入实数的概念，引导学生理解实数的定义及其与有理数的关系；2. 通过示例讲解实数的运算方法，让学生进行练习；3. 引导学生运用实数解决实际问题，巩固所学知识。
作业布置：完成课后练习题，巩固实数的运算方法；选取一些实际问题，让学生运用实数解决。
第二章：方程2.1 一元一次方程教学目标：理解一元一次方程的定义及其解法；能够运用一元一次方程解决实际问题。
教学内容：一元一次方程的定义及解法；一元一次方程在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入一元一次方程的概念，引导学生理解一元一次方程的定义；2. 通过示例讲解一元一次方程的解法，让学生进行练习；3. 引导学生运用一元一次方程解决实际问题，巩固所学知识。
作业布置：完成课后练习题，巩固一元一次方程的解法；选取一些实际问题，让学生运用一元一次方程解决。
2.2 二元一次方程教学目标：理解二元一次方程的定义及其解法；能够运用二元一次方程解决实际问题。
教学内容：二元一次方程的定义及解法；二元一次方程在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 引入二元一次方程的概念，引导学生理解二元一次方程的定义；2. 通过示例讲解二元一次方程的解法，让学生进行练习；3. 引导学生运用二元一次方程解决实际问题，巩固所学知识。
人教版初中数学勾股定理高频考点知识梳理
(每日一练)人教版初中数学勾股定理高频考点知识梳理单选题1、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．答案：D解析：利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D．解: A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故12ab+12ab+12c2=12(a+b)2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积，ab+c2=(a+b)2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；故4×12C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积，a(a+b)+b2=c2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；4×12D、四个小图形面积和等于大正方形面积，2ab+a2+b2=(a+b)2，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．小提示：本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．2、如图，点A表示的实数是（）A．√3B．−√3C．√5D．−√5答案：D解析：根据勾股定理可求得OA的长为√5，再根据点A在原点的左侧，从而得出点A所表示的数．解：如图，∵OB=√22+12=√5，OA=OB，∴OA=√5，∵点A在原点的左侧，∴点A在数轴上表示的实数是-√5．故选：D．小提示：本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，注意原点左边的数是负数．3、以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（）A．2、3、4B．5、5、6C．2、√3、√5D．√2、√3、√5答案：D解析：根据勾股定理的逆定理得出选项A、B、C不能构成直角三角形，D选项能构成直角三角形，即可得出结论．解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；B、52+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；C、22+（√3）2≠（√5）2，不符合勾股定理的逆定理，故不正确；D、（√2）2+（√3）2=（√5）2，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故正确．故选D．小提示：本题考查了勾股定理的逆定理；在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．4、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2答案：A解析：根据∠C＝90°确定直角边为a、b，对式子a+b=14两边平方，再根据勾股定理得到ab的值，即可求解．解：根据∠C＝90°确定直角边为a、b，∴a2+b2=c2=100∵a+b=14∴(a+b)2=142，即a2+2ab+b2=196∴2ab=96∴S△ABC=1ab=24cm22故选A小提示：此题考查了勾股定理的应用，涉及了完全平方公式，解题的关键是根据所给式子确定ab的值．5、如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB= 9，BC=6，则FC′的长为（）A．3B．4C．4．5D．5答案：D解析：设FC′=x，则FD=9−x，根据矩形的性质和勾股定理列式即可求出答案.设FC′=x，则FD=9−x．∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点．∴AD=BC=6，C′D=3，在Rt△PC′D中，由勾股定理得FC′2=FD2+C′D2，即x2=(9−x)2+32，解得x=5．故选D．小提示：本题考查的是矩形的性质和勾股定理，能够熟练运用所学知识是解题的关键.6、有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（）A．5B．√7C．√5D．5或√7答案：D解析：分4是直角边、4是斜边两种情况考虑，再根据勾股定理计算即可．解：当4是直角边时，斜边=√32+42=5；当4是斜边时，另一条直角边=√42−32=√7；故选：D．小提示：本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．7、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2答案：A解析：根据∠C＝90°确定直角边为a、b，对式子a+b=14两边平方，再根据勾股定理得到ab的值，即可求解．解：根据∠C＝90°确定直角边为a、b，∴a2+b2=c2=100∵a+b=14∴(a+b)2=142，即a2+2ab+b2=196∴2ab=96∴S△ABC=1ab=24cm22故选A小提示：此题考查了勾股定理的应用，涉及了完全平方公式，解题的关键是根据所给式子确定ab的值．8、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．答案：D解析：利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D．解: A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故12ab+12ab+12c2=12(a+b)2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积，故4×12ab+c2=(a+b)2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积，4×12a(a+b)+b2=c2，整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、四个小图形面积和等于大正方形面积，2ab+a2+b2=(a+b)2，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．小提示：本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．填空题9、（2011贵州安顺，16，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是．答案：6cm2解析：先根据勾股定理得到AB=10cm，再根据折叠的性质得到DC=DC′，BC=BC′=6cm，则AC′=4cm，设DC=xcm，在Rt△ADC′中根据勾股定理列方程求得x的值，然后根据三角形的面积公式计算即可．∵∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，∴AB=10cm，∵将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C′点，∴△BCD ≌△BC′D ，∴∠C=∠BC′D=90°，DC=DC′，BC=BC′=6cm ，∴AC′=AB -BC′=4cm ，设DC=xcm ，则AD=（8-x ）cm ，在Rt △ADC′中，AD 2=AC′2+C′D 2，即（8-x ）2=x 2+42，解得x=3，∵∠AC′D=90°，∴△ADC′的面积═12×AC′×C′D=12×4×3=6（cm 2）． 考点：折叠的性质，勾股定理点评：折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分．10、如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为____．答案：45°解析：利用勾股定理可求出AB 2，AC 2，BC 2的长，进而可得出AB 2=AC 2+BC 2，AC =BC ，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC 为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出∠ABC =45°．解：连接AC ，根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．∴AB2=AC2+BC2，AC=BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=45°．所以答案是：45°．小提示：本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC为等腰直角三角形是解题的关键．11、如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑________米．答案：0.5解析：结合题意可知AB=DE=2.5米，BC=1.5米，BD=0.5米，∠C=90°，∴AC=√AB2−BC2=√2.52−1.52=2（米）.∵BD=0.5米，∴CD=2米，∴CE=√DE2−CD2=√2.52−22=1.5（米），∴AE=AC-EC=0.5（米）．故答案为0.5.点睛：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．12、我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索AC的长为x尺，根据题意，可列方程为__________．答案：x2−（x−3）2＝82解析：设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．解：设绳索长为x尺，根据题意得：x2−（x−3）2＝82，所以答案是：x2−（x−3）2＝82．小提示：本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出相应方程是解题的关键．13、我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索AC的长为x尺，根据题意，可列方程为__________．答案：x2−（x−3）2＝82解析：设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．解：设绳索长为x尺，根据题意得：x2−（x−3）2＝82，所以答案是：x2−（x−3）2＝82．小提示：本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出相应方程是解题的关键．解答题14、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB=AC；（2）若DC=4，∠DAC=30°，求AD的长．答案：（1）证明见解析；（2）4√3解析：（1）根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt△BDE≌Rt△CDF，根据全等三角形的性质得到∠B=∠C，根据等腰三角形的判定定理证明；（2）根据直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理计算即可．解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF．∵BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．∴∠B=∠C．∴AB=AC．（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC．在Rt△ADC中，∠DAC=30°，∴AC=2DC=8，AD=√AC2−DC2=√82−42=4√3小提示：本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，用勾股定理解三角形，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15、已知△ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边△ABD和等边△BCE．（1）连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；（2）若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN；（3）若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=√2，如图3，则BM=．（直接写出结果）．答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）√22解析：（1）由等边△ABD和等边△BCE．AB=DB，BC=BE，可推得∠ABE=∠DBC，可证△ABE≌△DBC(SAS)，由性质证出AE=CD即可；（2）延长AN使NF=AN，连接FC，由N为CD中点，可得CN=DN，可证△ADN≌△FCN(SAS)，可得CF=AD=AB，∠NCF=∠NDA，可求∠DAC=120°，可推出∠ACF=60°，可证△ABC≌△CFA(SAS)，由性质得CE= BC=AF=2AN即可；（3）过E作EG⊥BE，交AM延长线于G由AB⊥BC，∠BAC=60°，DB=√2，求出AC=2√2，由勾股定理得：BC=√AC2−AB2=√6，可求出∠EBM =30°，求得∠G= =60°=∠CAB，可证△CAB≌△BGE（AAS）由性质得GE=AB=DB=√2，利用30°角的直角边与斜边关系得BG=2GE=2√2，再证△AD≌△GME（AAS），得AM=GM可求得BG= 2BM+AB=2√2即可．（1）证明：∵等边△ABD和等边△BCE．AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，∴∠ABE=∠DBC，△ABE≌△DBC(SAS)，∴AE=CD；（2）延长AN使NF=AN，连接FC，∵N为CD中点，∴CN=DN，又∠AND=∠FNC，△ADN≌△FCN(SAS)，∴CF=AD=AB，∠NCF=∠NDA，∵∠BAC=60°，∠DAB=60°，∴∠DAC=120°，∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=∠ACD+∠ADN=60°，∴∠BAC=∠ACF，∵AC=CA，△ABC≌△CFA(SAS)，∴CE=BC=AF=2AN；（3）过E作EG⊥BE，交AM延长线于G，∴AB⊥BC，∠BAC=60°，DB=√2，∴AC=2√2，由勾股定理得：BC=√AC2−AB2=√6，∴∠EBM=180°-∠ABC-∠CBE=30°，∴∠G=180°-∠GBE-∠BEG=60°=∠CAB，∵BC=EB，∴△CAB≌△BGE（AAS），∴GE=AB=DB=√2，∴BG=2GE=2√2，∵∠DAM=60°=∠G，又∵∠AMD=∠GME，∴△AD≌△GME（AAS），∴AM=GM，∴GM=AB+BM，∴BG=BM+GM=2BM+AB=2√2，∴2BM+√2=2√2，∴BM=√2．2．所以答案是：√22小提示：本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段中点，线段和差，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理应用，线段中点，线段和差计算是解题关键．。
人教版初中数学勾股定理知识点汇总
(每日一练)人教版初中数学勾股定理知识点汇总单选题1、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c．试判断△ABC 的形状（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形答案：A解析：已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求出a、b、c，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．解：a2+b2-c2+338=10a+24b+26c，a2-10a+25+b2-24b+144-c2-26c+169=0，原式可化为（a-5）2+（b-12）2-（c-13）2=0，即a=5，b=12，c=13（a，b，c都是正的），而52+122=132符合勾股定理的逆定理，故该三角形是直角三角形．故选A.小提示：本题考查因式分解的应用，解题关键是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．2、如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 1､S 2､S 3；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为S 4､S 5､S 6．其中S 1=16,S 2=45,S 5=11,S 6=14，则S 3+S 4=（ ）A ．86B ．64C ．54D ．48答案：C解析：分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3，然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系．同理，得出S 4、S 5、S 6的关系，即可得到结果．解：如图1，过点E 作AB 的垂线，垂足为D ，∵△ABE 是等边三角形，∴∠AED=∠BED=30°，设AB=x ，∴AD=BD=12AB=12x ， ∴DE=√AE 2−AD 2=√32x ，∴S 2=12×x ×√32x =√34AB 2， 同理：S 1=√34AC 2，S 3=√34BC 2， ∵BC 2=AB 2-AC 2， ∴S 3=S 2-S 1，如图2，S4=12×(12AB)2π=π8AB2，同理S5=π8AC2，S6=π8BC2，则S4=S5+S6，∴S3+S4=45-16+11+14=54．小提示：本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．3、在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A．5B．6C．7D．8答案：A解析：直接根据勾股定理求解即可．解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为√32+42=5，故选A．小提示：本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．4、如图，已知ABCD 是长方形纸片，CD =3，在CD 上存在一点E ，沿直线AE 将△AED 折叠，D 恰好落在BC 边上的点F 处，且S △AFB =6，则△AED 的面积是（ ）．A ．253B ．256C ．43D ．23答案：B解析：根据面积求出BF 、AF 、CF ，设DE 为x ，列方程求出即可．解：ABCD 是长方形纸片，∴AB=CD=3，∵ S △AFB =12AB ⋅BF ，∴6=12×3⋅BF ， ∴BF=4，∴AF=√AB 2+BF 2=5，∴AF=AD=BC=5，CF=1，设DE 为x ，EF=DE=x ，EC=3-x ，x 2=(3-x)2+1，解得，x= 53，∴S ΔAED =12AD ⋅ED =12×5×53=256，故选：B ．小提示：本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．5、如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（）A．11cmB．2√34cmC．（8+2√10）cmD．（7+3√5）cm答案：B解析：要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解：将长方体展开,连接AB′，则AB′最短.∵AA′=3+2+3+2=10cm，A′B′=6 cm，∴AB′=√102+62=2√34cm.故选B..6、如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）A．√6B．2√2C．2√3D．3√2答案：A解析：把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝√3，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝√AH2+CH2=√(√3)2+(√3)2=√6，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，{∠BFD=∠CKD=90°∠BDF=∠CDKBD=CD，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为√6，综上所述，AE+BF的最大值为√6．故选：A．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．7、如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?（）A．4B．8C．9D．7答案：D解析：先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和.解：楼梯的水平宽度=√52−32=4，∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和，∴地毯的长度至少为：3+4=7米，故选D.小提示：本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键.8、如图，P，Q分别是BC，AC上的点，过点P作PR⊥AB于点R，作PS⊥AC于点S，若AQ=PQ，PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②QP//AR；③△BRP≅△CSP，正确的是（）A．①③B．②③C．①②D．①②③答案：C解析：根据角平分线的判定，先证AP是∠BAC的平分线，再证ΔAPR≅ΔAPS(HL)，可证得AS=AR，QP//AR成立．解：如图示，连接AP，∵PR=PS，∴AP是∠BAC的平分线，∴ΔAPR≅ΔAPS(HL)∴AS=AR，①正确．∵AQ=PQ∴∠BAP=∠QAP=∠QPA∴QP//AR，②正确．BC只是过点P，并没有固定，明显ΔBRP≅ΔCSP③不成立．故选：C．小提示：本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，熟悉相关性质是解题的关键．填空题9、如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为__________．答案：√192解析：连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长．解：连接DE，∵D 、E 分别是AB 、BC 的中点，∴DE ∥AC ，DE=12AC ． ∵ΔABC 是等边三角形，且BC=4，∴∠DEB=60°，DE=2．∵EF ⊥AC ，∠C=60°，EC=2，∴∠FEC=30°，EF=√3．∴∠DEG=180°-60°-30°=90°．∵G 是EF 的中点，∴EG=√32． 在RtΔDEG 中，DG=√DE 2+EG 2=(√32)2=√192． 故答案为√192． 小提示：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键．10、如图，在△ABC 中，已知AB =AC =4，BC =6，P 是BC 边上的一动点（P 不与点B ，C 重合），连接AP ，∠B =∠APE ，边PE 与AC 交于点D ，当△APD 为等腰三角形时，PB 的长为____.答案：2或103解析：分三种情况进行讨论：①当AP=PD时，易得△ABP≌△PCD．②当AD=PD时，根据等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式求得答案．③当AD=AP时，点P与点B重合．∵AB=AC=4，∴∠B=∠C∵∠B=∠APE，∠APC=∠B+∠BAP=∠APE+∠CPE∴∠BAP=∠CPE①当AP=PD时，△ABP≌△PCD，则PC=AB=4，故PB=2．②当AD=PD时，∴∠PAD=∠APD．∵∠B=∠APD=∠C，∴∠PAD=∠C，∴PA=PC．如图，过P作PH⊥AC于H，过A作AG⊥BC于G，∴CG=3，∴AG=√AC2−CG2=√42−32=√7，∴CH=2．设PC=x，∴S ΔAPC =12AG ⋅PC =12AC ⋅PH ，∴√7x =4PH ，∴PH =√74x ． ∵PC 2=PH 2+CH 2，∴x 2=(√74x)2+4， 解得x =83（负值舍去），∴PC =83，∴PB =103．③当AD =AP 时，点P 与点B 重合，不合题意．综上所述，PB 的长为2或103. 小提示：此题考查了勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．11、如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为________．答案：2.5m解析：设木棒的长为xm ，根据勾股定理可得：x 2=22+1.52，解得x=2.5．故木棒的长为2.5m ．故答案为2.5m ．12、（2011贵州安顺，16，4分）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6cm ，AC =8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点，那么△ADC ′的面积是 ．答案：6cm 2解析： 先根据勾股定理得到AB=10cm ，再根据折叠的性质得到DC=DC′，BC=BC′=6cm ，则AC′=4cm ，设DC=xcm ，在Rt △ADC′中根据勾股定理列方程求得x 的值，然后根据三角形的面积公式计算即可．∵∠C=90°，BC=6cm ，AC=8cm ，∴AB=10cm ，∵将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C′点，∴△BCD ≌△BC′D ，∴∠C=∠BC′D=90°，DC=DC′，B C=BC′=6cm ，∴AC′=AB -BC′=4cm ，设DC=xcm ，则AD=（8-x ）cm ，在Rt △ADC′中，AD 2=AC′2+C′D 2，即（8-x ）2=x 2+42，解得x=3，∵∠AC′D=90°，∴△ADC′的面积═12×AC′×C′D=12×4×3=6（cm 2）． 考点：折叠的性质，勾股定理点评：折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分．13、公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为5，那么12大正方形的面积是_____．答案：169．解析：由题意知小正方形的边长为7．设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，运用正切函数定义求解．解：由题意知，小正方形的边长为7，设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，则tanθ＝短边：长边＝a：b＝5：12．a，①所以b＝125又以为b＝a+7，②联立①②，得a＝5，b＝12．所以大正方形的面积是：a2+b2＝25+144＝169．故答案是：169．小提示：本题主要考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，掌握解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积是解题的关键.解答题14、如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是多少？答案：130cm解析：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．解：如图所示，∵它的每一级的长宽高为20cm，宽40cm，长50cm，∴AB=√502+[2(20+40)]2=130cm，答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．小提示：本题考查的是平面展开－最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图是解答本题的关键．15、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE.答案：△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB⊥AE解析：由勾股定理分别求得AE、AB、BE的值，再证明AE2+AB2=BE2，即可证明AB⊥EA．如图，连接BE.因为AE2=12＋32=10，AB2=12＋32=10，BE2=22＋42=20，所以AE2＋AB2=BE2，所以△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB⊥AE.小提示：本题考查在网格中运用勾股定理及其逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．。
2024年新人教版九年级数学上册全册精彩课件.
2024年新人教版九年级数学上册全册精彩课件.一、教学内容1. 第一章：二次函数1.1 二次函数的概念与性质1.2 二次函数的图像与方程1.3 二次函数的应用2. 第二章：勾股定理与平方根2.1 勾股定理2.2 平方根2.3 勾股定理与平方根的应用3. 第三章：概率初步3.1 随机事件与概率3.2 概率的计算3.3 概率的应用二、教学目标1. 掌握二次函数、勾股定理、平方根和概率的基本概念与性质。
2. 学会运用二次函数、勾股定理、平方根和概率解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：二次函数的性质、勾股定理的证明、概率的计算。
2. 教学重点：二次函数的应用、平方根的计算、概率的实际应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、草稿纸、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实例，引出二次函数、勾股定理、平方根和概率的概念。
2. 例题讲解：详细讲解教材中的例题，引导学生理解和掌握知识点。
3. 随堂练习：针对每个知识点，设计相应的练习题，让学生及时巩固所学内容。
六、板书设计1. 用大号字体书写课题名称，如“二次函数的应用”。
2. 内容：列出本节课的主要知识点，用不同颜色粉笔标出重点和难点。
七、作业设计1. 作业题目：第一章：求给定二次函数的最大值、最小值，并画出图像。
第二章：证明给定三角形的勾股定理，并计算其面积。
第三章：计算给定概率问题，如掷骰子、抽签等。
答案：见附件。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：布置一些拓展性的练习题，如研究二次函数的性质、探索勾股定理的推广等，激发学生的兴趣和求知欲。
通过本课件的教学，希望学生能掌握九年级数学上册的核心知识点，提高数学素养和应用能力，为今后的学习打下坚实基础。
重点和难点解析1. 教学内容的详细性与针对性2. 教学目标的具体性与实用性3. 教学难点与重点的识别与处理4. 教学过程中的实践情景引入与随堂练习设计5. 板书设计的清晰性与结构性6. 作业设计的层次性与拓展性7. 课后反思与拓展延伸的实际操作一、教学内容的详细性与针对性教学内容的选择应紧密结合教材章节，确保覆盖所有核心知识点。
人教版九年级数学上册知识点
人教版九年级数学上册知识点人教版九年级数学上册知识点概述一、实数与代数表达式1. 实数的概念与性质- 正实数、负实数、零- 实数的四则运算- 实数的大小比较2. 代数表达式的运算- 整式的加法与减法- 乘法分配律- 幂的乘方与积的乘方- 单项式与多项式的乘法- 多项式的因式分解3. 二次根式的运算- 二次根式的定义- 二次根式的乘法与除法- 二次根式的加法与减法- 完全平方公式与平方差公式二、方程与不等式1. 一元一次方程与不等式- 方程的解法- 含绝对值的一元一次方程- 一元一次不等式的解集2. 二元一次方程组- 代入法与消元法- 方程组的解的情况3. 一元二次方程- 一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）- 一元二次方程根的判别式三、平面图形的性质1. 平行线与角- 平行线的判定与性质- 同位角、内错角、同旁内角- 角的平分线2. 三角形的性质- 三角形的内角和外角- 等腰三角形与等边三角形的性质- 三角形的中位线定理3. 特殊三角形- 直角三角形的性质与勾股定理- 直角三角形的判定- 含30°角的直角三角形的性质4. 平行四边形与圆- 平行四边形的性质与判定- 圆的基本性质- 圆周角与圆心角的关系- 扇形与弧长四、空间图形的性质1. 空间图形的观察- 视图的画法- 空间图形的展开图2. 空间图形的测量- 体积的计算- 表面积的计算五、统计与概率1. 统计- 数据的收集与整理- 频数与频率- 统计图表的绘制与解读2. 概率- 随机事件的概率- 概率的计算- 用树状图法解决简单的概率问题以上是人教版九年级数学上册的主要知识点概述。
这些知识点构成了九年级数学课程的核心内容，学生需要掌握这些概念、公式和解题方法，以便在数学学习中取得良好的成绩。
教师和家长应指导学生通过练习和应用这些知识点，加深理解和记忆，提高解题能力。
人教版九年级数学上册知识点整理完整版
人教版九年级数学上册知识点整理完整版一、代数与函数1.代数简介①常数：数值不变的量。
②变量：数量可能改变的量。
③代数式：由数、字母、加减乘除号、括号等符号组成的式子。
④同类项：指含有相同字母并且指数相同的项。
⑤合并同类项：指将同类项合并成一个项。
⑥因式分解：将代数式表示成幂或较简单的代数式，叫做因式分解。
⑦方程式&方程：一个代数式与另一个代数式在等号两边，称为方程式，且方程式构成了等式。
2.一次函数①函数：将自变量的某个取值代入函数中得到唯一的因变量的值，称为函数。
②自变量：输入的值③函数表达式：用代数式表示函数的式子称为函数表达式④一次函数：函数表达式中，最高次项是一次幂的函数叫一次函数，也叫线性函数。
⑤斜率：函数： y = kx + b ，函数图象的斜率 k，即为直线的斜率。
3.二次函数①二次函数：函数表达式中，最高次项是二次幂的函数，叫做二次函数。
②二次函数的一般式：f(x) = ax² + bx + c（a≠0）③二次函数的顶点：二次函数图象的转折点，称为顶点。
④二次函数的对称轴：图象关于 x = -b/ 2a 对称的直线，称为二次函数的对称轴。
⑤二次函数的最小值/最大值：二次函数）的顶点纵坐标所对应的函数值，是二次函数的最小值或最大值。
4.函数的研究①函数图象的基本性质：函数的零点、函数值的正负、单调性、奇偶性、周期性、对称性、渐近线等。
②函数的零点：函数 f(x) = 0 的解叫做函数的零点。
即 f(x) = 0 时 x 的解。
③函数类型：函数分类标准通常有函数的定义域和值域、图象、函数表达式等。
二、图形的认识1.图形的一些概念①线段：由两个端点所组成的线段,叫做线段。
②射线：在一个端点处向一个方向上延伸的线段,叫做射线。
③直线：没有端点,在一个方向上延伸的线段,称为直线。
④平行线：永远不会相交的两条直线叫做平行线。
⑤垂直平分线：在一条直线上，垂直于该线段、且等分该线段的线，称为垂直平分线。
人教版初中数学勾股定理
B
B
A
A
C
EX .有一棵树直立在地上。树高 2丈，粗3尺，有一根藤条 question1 : 从点A缠绕一圈到点B的最短距离怎样计算？
从树根处缠绕而上，缠绕 7 周到达树顶，这根藤条的最短 question2: 从树根到顶部一共可以看成几个这样连续的展开图？ D 长度大约是多少？（树干可以看成圆柱形，“树粗3尺”指 圆柱底面周长为3尺,1丈＝10尺）
湖静浪平六月天， 荷花半尺出水面； 忽来南风吹倒莲，
荷花恰在水中淹； 湖面之上不复见，
入秋渔夫始发现； 落花距根二尺整， 试问水深尺若干？
A
AB = ? 0.5尺
C
B
CD = ? BC = ?
AD 2尺
BD代表 水深
D
E.g. 如图，有一圆柱，它的高为12厘米，底面半径为3
厘米。在圆柱下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底 面与A点相对的B点处的食物，沿着圆柱侧面爬行的最 短路程是多少？（Π取3）
BB
B
20
B A
A
B
A A
3 XA 7
C
EX . 如图，蚂蚁沿正方体表面从点A处到点B怎样走最近？
B 1、若AC=1 则AD=2 BD=1 B
则 AB 则 AB =
√5
A
C
D
Ask ： 若立方体转化为底面为正方形的长方体呢？
B
1、若AC=1, BD=3
B
则AD=2
则 B AB = √13
B B
2、BC=4, AC=1
则 AB = √17
A
C
D D
Think : 如果沿长方体的表面从点A爬到点B，怎样爬行 路程最短？你能帮它找出来吗？（长方体的长为12厘米， 宽为10厘米，高为20厘米，点B距离点C 5厘米。）
三角形 勾股定理
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
具体来说，如果直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，则勾股定理可以表示为：a² + b² = c²。
在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
而在西方，最早提出并证明此定理的是公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
此外，勾股定理在数学、工程和物理等领域有着广泛的应用，例如用于测量、计算和解决与直角三角形有关的各种问题。
以上信息仅供参考，如需了解更多信息，建议查阅相关书籍或咨询数学专业人士。
第十八章 勾股定理 (人教版)
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勾股定理
本章的内容设计和编排 本章的教学目标 本章的教学重点、难点、关键点 本章安排了多少个数学史料，共用意各是什么 设计一套本章测试题 本章的教材中给了多少种（定理）的证明 方法
本章的内容设计和编排
1．义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性（看到直角三 角形后便能联想到直角三角形的一些性质以及勾股定理：a^2+b^2=c^2）， 使数学教育面向全体学生，实现： --人人学有价值的数学； --人人都能获得必需的数学； --不同的人在数学上得到不同的发展。 2．数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具（68页练习2）,能够帮助人们 处理数据、进行计算、推理和证明（67页探究2），数学模型可以有效地描 述自然现象和社会现象（66页探究1 70页练习5 73页古埃及人测量问题）； 数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数 学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用 （75页例2）；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现 代文明的重要组成部分（73页黄色卡片）。 3．学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内 容要 有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动 （78页活动2）。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习 需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探 索与合作交流是学生学习数学的重要方式（在教材中由史料 思考 探究 猜想 得证这样的安排得以体现“不同的表达方式以满足多样的学习需求”）。由 于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习 活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程（71页选学）。
人教版九年级数学中考总复习《直角三角形与勾股定理》课件20张 (共20张PPT)
【例】（2016广东）如图1-4-5-1，
Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°， CD⊥AB交AB于点D，以CD为较短的直角 边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E= 30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作 Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC， ∠HCI=90°. 若AC=a，求CI的长.
课堂巩固训练
1. 将一副直角三角板按如图1-4-5-11放置，若∠AOD=20°，
则∠BOC的大小为
（B）
A. 140°
B. 160°
C. 170° D. 150°
2. 如图1-4-5-12，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂
思路点拨：在Rt△ACD中，利用30°角的性质和勾股定理求出 CD的长；同理在Rt△ECD中求出FC的长，在Rt△FCG中求出CH 的长；最后在Rt△HCI中，利用30°角的性质和勾股定理求出 CI的长. 解：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°， ∴∠A=90°-30°=60°. ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=90°. ∴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱACD=30°.
•1、多少白发翁，蹉跎悔歧路。寄语少年人，莫将少年误。 •2、三人行，必有我师焉；择其善者而从之，其不善者而改之。2021/10/312021/10/312021/10/3110/31/2021 8:14:06 PM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/312021/10/312021/10/3110/31/2021
人教版初中九年级上册数学教学进度
人教版初中九年级上册数学教学进度人教版初中九年级上册数学教学进度数学是一门重要的学科，也是一门基础学科。
在初中数学课程中，学生们逐渐学习到基本的数学知识和方法，如代数、几何和统计等方面的知识。
人教版初中九年级上册数学教学进度如下：第一章有理数本章的主要内容是有理数的概念、绝对值及其性质、有理数的大小比较、有理数的四则运算、有理数的乘方等。
在数与代数概念的引入方面，本章作为一个承上启下的章节，同时对学生进行思考能力的培养，任务重要。
第二章一次函数本章的主要内容是函数的概念、一次函数的定义、性质和解法，线性方程与一次函数的关系等。
这一章是对初中学生初步接触函数的重要阶段，无疑是让学生进一步掌握函数的性质和能力的一次机会。
在学习中，以推导和解题为主，注意培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
第三章平面图形的初步认识本章主要介绍平面图形的分类和性质，如角的概念、多边形的分类及性质、相似与全等等概念。
平面图形的认识一环套一环，极具挑战性，能让学生的观察能力得到较大拓展并对进一步的几何知识的探究打下好基础。
第四章二次根式本章的主要内容是二次根式的定义、性质、运算和简化等内容。
通过学习本章内容，学生可以进一步深入了解二次根式，并能够解决有关二次根式的问题。
第五章勾股定理及其应用本章的主要内容是勾股定理的含义和应用，直角三角形的性质及证明等。
在学习中，注重理论和实践的结合，重视学生的动手实践能力的培养，提高学生的数学建模能力和学习兴趣。
第六章线性方程组本章的主要内容是线性方程组的概念，解法及其应用。
学习本章对学生来说是一次很好的复习和巩固之前学过的线性方程知识。
同时，在学习过程中讲解实际问题的建模方法。
第七章几何变换本章的主要内容是几何变换的定义和分类，如平移、旋转、对称等几何变换的性质及其应用。
学习本章，对学生能够全面地掌握几何变换的方法和技巧，同时具备数学建模的基础能力和实践能力。
以上是人教版初中九年级上册数学教学进度的主要内容。
人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)
人教版九年级数学上册知识点整理(完整版)人教版九年级数学上册知识点整理一、有理数有理数是整数和分数的集合。
有理数的数轴上，0的左侧是负有理数，右侧是正有理数。
加、减、乘、除有理数的运算规则。
二、立方根如果一个数的立方等于另一个数，那么这个数叫做另一个数的立方根。
三、代数式由数、变量及运算符号组成的式子叫做代数式。
其中数叫做常数项，变量叫做一次项。
四、图形的基本要素和运动绿色的箭头表示平移，红色的箭头表示旋转，蓝色的箭头表示对称。
五、全等三角形若两个三角形的三边和三角形的三个角分别相等，则称这两个三角形全等。
六、相似三角形若两个三角形的三个角分别相等，则称这两个三角形相似。
七、平移与旋转1、平移：用平移将一个点沿一个方向移动到另一个位置，移动的距离及方向相同，不改变点的属性。
2、旋转：以一个点为中心旋转某个图形的每个点，旋转的角度相同，不改变图形的形状和大小。
八、直线和角两条不共线的直线分别与一条直线相交所形成的两个相邻角互为补角。
九、相反数两个数互为相反数，当且仅当它们的和为0。
十、分数的意义和性质1、通分：将几个分数化成分母相同的分数。
2、分数的约分、化分；十一、用比例表示实际问题利用比例，确定两个量之间的等比关系，以解决实际问题。
十二、扇形和弧1、扇形是由两条半径及其所夹的圆周构成。
2、弧是圆上任意两点之间的弧。
3、圆心角，切线和弦的关系。
十三、比例和类比1、比例含义：比例是两个量之间的等比关系。
2、异比例的解决方法：设比例系数为k，则两个量之间的关系为y=kx或xy=k。
十四、平行四边形和直角梯形1、平行四边形的性质：对角线互相平分；一个角的补角等于它的邻角。
2、直角梯形：有两条平行的底和两个底的夹角为90°的四边形。
十五、直角三角形1、勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和。
2、定比分点定理：在一条线段上，任意三点A、B、C，如果AC:CB=k:1，则称B为AC上的k:1分点。
人教版九年级上册数学各单元知识点归纳总结
人教版九年级上册数学各单元知识点归纳总结数学九年级上册共有十个单元，分别是集合与函数、有理数与运算、整式的加减、整式的乘法、一次函数与方程、比例与百分数、线性方程组、平方根与整式的除法、直角三角形与勾股定理、统计与概率。
下面将详细介绍这些单元的知识点。
一、集合与函数：1.集合：元素、属于、不属于、集合的相等、全集、子集、交集、并集、差集、互斥集、余集。
2.函数：自变量、因变量、函数的值、定义域、值域、函数的相等、奇函数、偶函数、函数的和差积商、反函数。
3.函数的图象：平移、伸缩、翻折、求过给定点的直线方程。
二、有理数与运算：1.有理数：整数、分数、有理数的相反数、绝对值、有理数的大小、有理数的加减乘除。
2.小数：有限小数、无限小数、循环小数、无理数、实数。
3.数轴与有理数：数轴上的点、有理数与数轴的对应关系、有理数的大小关系、有理数的加法减法、有理数的乘法除法。
4.分式：分数的性质、带分数、分数的加减乘除。
三、整式的加减：1.代数式：字母、代数式的加减、整式、项、系数、常数项。
2.同类项：同类项的合并与分拆、整式的加法、整式的减法。
四、整式的乘法：1.乘法基本公式：乘法基本公式的应用、平方差公式、差的平方公式、完全平方公式、立方差公式、立方和公式、整式的乘法。
2.因式与倍式：因式分解、互质、最大公因式。
五、一次函数与方程：1.函数与方程：线性函数、一次函数、函数的表示、函数的图象、函数的性质、函数关系、一元一次方程、方程的解。
2.解一次方程：等式的性质、移项变号、等式的逆运算、绝对值不等式。
六、比例与百分数：1.比例：比例的概念、比例的扩大与缩小、比例的性质、四边形的对边比、折线的边长比。
2.百分数：百分数与百分数、百分数与小数、百分数与分数、百分数的运算、平均数、加权平均数。
七、线性方程组：1.二元一次方程组：线性方程组、二元一次方程组、方程组的解、解二元一次方程组。
2.三元一次方程组：解三元一次方程组。
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勾股定理（一）
铁厂中学----吴泉佑
一、目标展示
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
二、知识重点、难点
1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
三、课前预习检测
例1通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；
例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
进一步让学生确信勾股定理的正确性。
四、创设情境，自我探究
让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有两直角边的平方和等于斜边的平方。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
五、小组探究
已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边
为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正
4×2
1ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC 中，∠
C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
分析：左右两边的正方形边长相
等，则两个正方形的面积相等。
左边S=4×2
1ab ＋c 2 右边S=（a+b ）2
左边和右边面积相等，即
4×2
1ab ＋c 2=（a+b ）2
A B
b
b b a
化简可证。
六、自我展示
1．勾股定理的具体内容是： 。
2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；
⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： 。
3．△ABC 的三边a 、b 、c ，若满足b 2= a 2＋c 2，则 =90°； 若
满足b 2＞c 2＋a 2，则∠B 是 角； 若满足b 2＜c 2＋a 2，则∠B 是 角。
4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。
七、达标测评 1．已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则
⑴c= 。
（已知a 、b ，求c ）
⑵a= 。
（已知b 、c ，求a ）
⑶b= 。
（已知a 、c ，求b ）
2．如下表，表中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b ，c 的值，并把b 、c 用含a 的代数式表示出来。
3．在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=310cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，问当P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直。
4．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在CB 的延长线上。
求证：⑴AD 2－AB 2=BD ·CD
⑵若D 在CB 上，结论如何，试证明你的结论。
课后反思： D C B A
B b E
B。