2018圆锥曲线经典结论总结完美版手写带图
圆锥曲线192条结论(清晰版本)
结论 13：点 M
（
x0
，
y
0
）在椭圆
x
a
m
2
2
y
n2
b2
1上，过点 M
作椭圆的切线方程
为
(x0
m)( x a2
m)
( y0
n)( y b2
n)
1．
结论 14：点 M
（
x0
，
y
0
）在双曲线
x
a
m2
2
y
x0
mx
a2
m
y0
n y
b2
n
1．
2
结论 15：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y n2 2 px m上，过点 M 作抛物线的切线方 程为 y0 ny n px x0 2m．
，
y0
）在椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a b 0 ）上，过点 M
作椭圆的切线方
程为
x0 x a2
y0 y b2
1．
结论 8：点 M
（
x0
，
y0
）在椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a b 0 ）外，过点 M
作椭圆的两条切
线，切点分别为
A，B
，则切点弦
AB
的直线方程为
x0 x a2
y0 y b2
a ）作
双曲线（单支）的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB 所在的直线必过点 P( a 2 ,0) ． m
结论 31：过抛物线 y 2 2 px（ p 0 ）外任意一点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ，
B ，弦 AB 的中点为 N ，则直线 MN 必与其对称轴平行．
2018圆锥曲线知识点总结
椭圆．双曲线方程知识汇总椭圆双曲线焦点在x 轴上焦点在y 轴上焦点在x 轴上焦点在y 轴上定 义a ||PF ||PF 221=+，c F F 2||21= 不存在线段，椭圆，c a c a c a <=>a ||PF ||PF 2||21=-，c F F 2||21=不存在射线，双曲线c a c a c a >=<,标准方程 12222=+by a x ； 12222=+b x a y 12222=-by a x 12222=-bx a y *参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ⎩⎨⎧==θθsin cos a y b x ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x ⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x 图 形x ．y范 围by b ax a ≤≤-≤≤-ay a b x b ≤≤-≤≤- Ry a x a x ∈≥-≤或ay a y R x ≥-≤∈或顶点坐标 长轴顶点)0,)(0,(a a -短轴顶点),0)(,0(b b -长轴顶点),0)(,0(a a - 短轴顶点)0,)(0,(b b -顶点)0,)(0,(a a -顶点),0)(,0(a a -对称性 对称轴：x 轴，y 轴， 对称中心:坐标原点各 个 轴 长轴2a ，短轴2b ，焦距2c实轴2a,虚轴2b ，焦距2c恒 等 式 222c b a +=222b a c +=焦点坐标 左右)0,(),0,(21c F c F -上下),0(),,0(21c F c F -左右)0,(),0,(21c F c F -上下),0(),,0(21c F c F -*准线方程ca x 2±= ca y 2±= ca x 2±= ca y 2±= ＊焦 半 径0||||ex a PF ex a PF -=+=右左0||||ey a PF ey a PF +=-=下上⎩⎨⎧+-+=⎩⎨⎧---=右准左准右准左准右左,,||,,||0000ex a ex a PF ex a ex a PF ⎩⎨⎧---=⎩⎨⎧++-=下准上准下准上准下上,,||,,||0000ex a ex a PF ex a ex a PF*通 径c x ±=，大小22b a c y ±=，大小22b ac x ±=，大小22b ac y ±=,大小22b a离 心 率)10(<<=e ace )1(>=e ace 渐近线方程x ab y ±= x ba y ±= 渐近线斜率k 与离心率e 的关系 12-±=e k112-±=e k抛物线知识汇总焦点在x 轴正半轴焦点在x 轴负半轴焦点在y 轴正半轴焦点在y 轴负半轴定义 到定点F （焦点）的距离等于到定直线（准线）的距离的点的集合标准方程px y 22=px y 22-= py x 22=py x 22-=图 形开 口 向右 向左 向上 向下范 围 R y x ∈≥,0R y x ∈≤,0R x y ∈≥,0R x y ∈≤,0对称轴x 轴y 轴焦 点)0,2(p F )0,2(p F -)2,0(p F)2,0(p F - 准 线 2p x -= 2p x =2p y -= 2p y =＊焦半径 2||0p x PF += 2||0p x PF +-= 2||0p y PF += 2||0p y PF +-= *通 径方程2px =,长度p 方程2p x -=，长度p方程2p y =，长度p方程2p y -=，长度p性质AB 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦，F 为抛物线的焦点,),(11y x A ,),(22y x B ，求证:（1)4,221221p x x p y y =-=；（2)α221sin 2p p x x AB=++=（α为直线AB 与x 轴夹角);（3）α∆sin 22p S AOB =；（4)FBFA 11+为定值p 2．（5)以AB 为直径的圆与抛物线准线相切．圆锥曲线 第二定义到定点（焦点)的距离与到定直线（准线)的距离之比为定值（离心率）的点的集合，其中，离心率在（0,1）为椭圆，大于1为双曲线，等于1为抛物线基本专题:(1）求曲线的标准方程 方法一：待定系数法 方法二．求c b a ,,（2）判断曲线的类型 122=+By A x 类型 022=++C By Ax 类型（3）定义的应用 判断所求轨迹的点的性质（4）求曲线的离心率 要求曲线离心率，找出关系消去b ，化简之后变成e ，注意范围取正值 (5)中点弦问题 点差法（设而不求）（6)焦点三角形 （正弦定理．余弦定理的应用)(7）弦长公式 ||1||11||1||2122122m k y y kx x k AB ∆+=-+=-+=（8）最值问题 注意几何意义（9)圆锥曲线应用题 读题--—>反复读题—-->建立模型---〉求解结果——->写出结论(10）直线与圆锥曲线的位置关系(点在曲线外/内/上)(直线:联立,化简，判断△）圆锥曲线的其他有用结论总结一、椭圆中结论：1、点00(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内部的条件：____________________点00(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外部的条件：____________________2、过椭圆22221x y a b +=上一点00(,)P x y 与椭圆相切的直线方程：____________________过椭圆22221x y a b +=外一点00(,)P x y 与椭圆相切得切点弦的方程：____________________过椭圆22221x y a b+=内一点00(,)P x y 的弦与椭圆交点的切线交点轨迹:____________________3、椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点，12F PF θ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为____________________12||||PF PF =__________________4、AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则AB K =______________，即OM AB k k ⋅=______________。
圆锥曲线常用结论(无需记忆,会推导即可)
椭圆与双曲线--经典结论椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=. 8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
圆锥曲线知识要点及结论个人总结
《圆锥曲线》知识要点及重要结论一、椭圆1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离的和等于常数)2(221F F a a >的点P 的轨迹叫做椭圆.若212F F a =，点P 的轨迹是线段21F F .若2120F F a <<，点P 不存在.2 标准方程 )0(12222>>=+b a b y a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -.)0(12222>>=+b a bx a y ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222c b a +=. 3 几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴. 椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心. 椭圆的顶点有四个，长轴长为a 2，短轴长为b 2，椭圆的焦点在长轴上.若椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，则b y b a x a ≤≤-≤≤-,；若椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y ，则a y a b x b ≤≤-≤≤-,.二、双曲线1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离之差的绝对值等于常数)20(221F F a a <<的点的轨迹叫做双曲线. 若212F F a =，点P 的轨迹是两条射线.若212F F a >，点P 不存在.2 标准方程 )0,0(12222>>=-b a b y a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -.)0,0(12222>>=-b a by a x ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222b a c +=. 3 几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心. 双曲线的顶点有两个21,A A ，实轴长为a 2，虚轴长为b 2，双曲线的焦点在实轴上.若双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，则R y a x a x ∈≥-≤,或；若双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a bx a y ，则R x a y a y ∈≥-≤,或.4 渐近线双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 有两条渐近线x a b y =和x a by -=.即02222=-b y a x双曲线)0,0(12222>>=-b a b x a y 有两条渐近线x b a y =和x bay -=.即02222=-b x a y双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线，但对于同一组渐进线却对应无数条双曲线.与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 共渐进线的双曲线可表示为)0(2222≠=-λλby a x .直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数0≠”和“0>∆”同时成立.5 等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的标准方程为)0(12222>=-a a y a x 或)0(12222>=-a ax a y .等轴双曲线的渐近线方程为x y ±=.6 共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线.如：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的共轭双曲线为)0,0(12222>>=-b a ax b y ，它们的焦点到原点的距离相等，因而在以原点为圆心，22b a +为半径的圆上.且它们的渐近线都是x a b y =和x ab y -=. 三、抛物线1 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线F l (不在l 上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.2 标准方程(1) )0(22>=p px y ，焦点为)0,2(p ，准线方程为2px -=，抛物线张口向右.(2) )0(22>-=p px y ，焦点为)0,2(p -，准线方程为2p x =，抛物线张口向左.(3) )0(22>=p py x ，焦点为)2,0(p ，准线方程为2p y -=，抛物线张口向上.(4) )0(22>-=p py x ，焦点为)2,0(p -，准线方程为2p y =，抛物线张口向下.其中p 表示焦点到准线的距离.3 几何性质抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为)0(22>=p px y 或)0(22>-=p px y ，则对称轴是x 轴，若方程为)0(22>=p py x 或)0(22>-=p py x ，则对称轴是y 轴. 若抛物线方程为)0(22>=p px y ，则R y x ∈≥,0. 若抛物线方程为)0(22>-=p px y ，则R y x ∈≤,0. 若抛物线方程为)0(22>=p py x ，则R x y ∈≥,0. 若抛物线方程为)0(22>-=p py x ，则R x y ∈≤,0.圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】1 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点为)0,(),0,(21c F c F -，),(00y x P 为椭圆上一点，则)1()()(2222020201ax b c x y c x PF -++=++=a a cx a a cx a cx ax c +=+=++=020202202)(2 因为a x a ≤≤-0，c a a acxc a c a cx c +≤+≤-<≤≤-000,， 所以a a cx PF +=01. 同理，acxa PF a PF 0122-=-=. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，),(00y x P 为双曲线上一点，则a a cx PF +=01，a acxPF -=02. 2 椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点为21,F F ，P 为椭圆上一点，若θ=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为2tan cos 1sin 22αααb b =+. 解：根据椭圆的定义可得a PF PF 221=+ ① 由余弦定理可得αcos 242122212212PF PF PF PF F F c -+== ②由①②得)cos 1(2442122α+=-PF PF c a .从而αcos 12221+=b PF PF 所以，21F PF ∆的面积为2tan cos 1sin sin 212221ααααb b PF PF =+=双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两焦点为21,F F ，P 为其上一点，若α=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为2cot cos 1sin sin 212221ααααb b PF PF =-=. 3 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，N M ,是C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PN PM ,的斜率都存在，并记为PN PM k k ,时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 位置无关的定值.解：设),(),,(1100y x M y x P ，则),(11y x N --.01010101,x x y y k x x y y k PN PM----=--=，从而2120212001010101x x y y x x y y x x y y k k PN PM --=----⋅--=⋅. 又因为),(),,(1100y x M y x P 都在椭圆上，故1,1221221220220=+=+by a x b y a x .两式相减得，022********=-+-b y y a x x ，因而2221202120ab x x y y -=--即22a b k k PN PM -=⋅.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x .N M ,是C 上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PN PM ,的斜率都存在，并记为PN PM k k ,时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 位置无关的定值.【常用方法】1 在求轨迹方程时，若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以用定义求轨迹方程，这是常用求轨迹的数学方法，称为定义法.2本章经常会碰到直线l 与圆锥曲线C 相交于两点的问题，若已知l 过定点),(00y x P ，则可设l 的方程为0x x =或)(00x x k y y -=-.然后分两种情况进行研究，一般处理方法是把直线方程代入曲线C 的方程中，整理得到关于x 或y 的一元二次方程(要注意二次项系数是否为零).韦达定理和判别式经常要用到！若l 的条件不明显时，则可设l 的方程为m x =或m kx y +=.3 本章还经常用到“点差法”：设直线l 与圆锥曲线C 交于点),(),,(2211y x B y x A ,则B A ,两点坐标都满足曲线C 的方程，然后把这两个结构相同的式子相减，整理可以得到直线AB 的斜率1212x x y y --的表达式，也经常会出现2121,y y x x ++，这样又可以与线段AB 的中点),(00y x P 联系起来！4 若三点),(),,(),,(002211y x P y x B y x A 满足以线段AB 为直径的圆经过点P 或BP AP ⊥时，常用处理方法有：①根据勾股定理可得222PB PA AB +=；②根据AP 的斜率与BP 的斜率之积为1-，可得120201010-=--⋅--x x y y x x y y ； ③根据),(),,(,002020101y y x x PB y y x x PA PB PA --=--==⋅可得0))(())((02010201=--+--y y y y x x x x .5求轨迹方程的方法常见的有：直接法、定义法、待定系数法、代入法（也叫相关点法）.1 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是sin y b θ⎧⎨=⎩.离心率c e a ==，△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.线到中心的距离为2a c，焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c =。
圆锥曲线的经典结论
当 M (x0, y0 ) 在左支上时， | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 a （同上）
9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点， 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、 N 两点，则 MF NF .（同上）
1（ a
0, b
0 ）的左右焦点分别为
F , F2 ，点 P 为双曲线上任意一点：
F1PF2
，则双曲线的焦点角形的面积为
S F1PF2
b2co t .（同上） 2
x2 y2 8. 双曲线 a2 b 2 1 （ a 0, b 0 ）的焦半径公式：
F1 ( c , 0 ) , F2 (c,0)
当 M (x0, y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 a .
a2c2k 2 a2b2
xP xQ
， xP xQ
M
2 a 2k 2c
2b2 ck
2abkN
， yP yQ
， yP yQ
，
M
M
M
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xP yQ xQ y P
2a 2b 2k ， xP yQ
M
xQ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP
再根据上一条性质可得结论。
2 abckN ，则 x
M
2a2b2k 2a2bkN
M 2abckN
M 2 ab2 ck
a
M
M
a2
，
c
11. （点差法）
kOM k AB 即 K AB
AB 是椭圆
x2 a2
b2 a2 ，
b 2x0 a2 y0
圆锥曲线常用结论无需记忆,会推导即可
椭圆与双曲线--经典结论椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
圆锥曲线图表总结
标准 方程 方 程 参数 方程
x2 y2 a2 b2
1
或
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0)
x a cos
y
b
sin
（参数θ为离心角）
X型
Y型
x2 a2
y2 b2
1
或
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0)
y2 2 px ( p 0) x2 2 py ( p 0)
y2 2 px ( p 0) x2 2 py ( p 0)
坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且
OP OQ 。则有：
3.若 P0 (x0 ,
y0 ) 在双曲线
x2 a2
y2 b2
1（a＞0,b
① 1 1 11； | OP |2 | OQ |2 a2 b2
②|OP|2+|OQ|2 的最大值为 4a2b2 ； a2 b2
＞0）内，则过 P0 的弦中点的轨迹方程是 x2 y2 x0 x y0 y 。 a2 b2 a2 b2 4.等轴双曲线：双曲线 x2 y2 a2 称为等
·从几何角度看：要特别注意当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合
圆锥曲线与 直线的位置
关系
时，直线与抛物线也只有一个交点。 ·从代数角度看：设直线 L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到。①若 a =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线 L 与双曲线的渐近线平行 或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线 L 与抛物线的对称轴平行或重合。②若 a 0 ，设 b2 4ac 。a. 0 时，直线和圆锥曲线
点 P 在 x2 y2 1外： x02 y02 1 。
a2 b2
所有圆锥曲线图表总结
针对于焦点在x轴上的曲线来说第二定义
在平面内到定点F(c,0)（或F(-c,0)）与到定直线 （或 ）的距离之比为常数 (a>c>0)的点M的轨迹
在平面内到定点F(c,0)（或F(-c,0)）与到定直线 （或 ）的距离之比为常数 (c>a>0)的点M的轨迹
注：设椭圆或双曲线的轨迹为集合p，则
即 （或 ）其中a>0，c>0
标准方程
a>b>0
a>b>0
a>0,b>0
a>0,b>0
p>0
p>0
p>0
p>0
标准方程图形
a、b、c关系
a -b =c
a -b =c
a +b =c
a +b =c
离心率e=
0<e<1
0<e<1
e>1
e>1
e=1
e=1
e=1
e=1
离心率是圆锥曲线的一个重要参数，是圆锥曲线的本质属性之一，它的变化将导致曲线形状的变化，甚至影响曲线的类型，是圆锥曲线统一定义中的三要素（定点、定线、定比）之一，当离心率在0—1间变化时，离心率越大（即越接近于1）椭圆越扁，反之越圆；当离心率在1—∞间变化时，离心率越大，双曲线开口越宽阔，反之越窄；离心率从0 的变化过程反映了圆锥曲线：圆 椭圆 抛物线 双曲线的变化过程；
第八章圆锥曲线图表总结
椭圆
双曲线
抛物线
几何条件
第一定义
在平面内，与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点M的轨迹
(2a> )
在平面内，与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a的点M的轨迹
2018年圆锥曲线常用结论(无需记忆-会推导即可)
椭圆、双曲线、抛物线--经典结论椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=. 8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
有关圆锥曲线的经典结论(精选课件)
有关圆锥曲线的经典结论★说明：圆锥曲线我们并未学完,有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此!有关解析几何的经典结论一、椭 圆1.点P 处的切线ＰＴ平分△PF １F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△ＰF 1F ２在点P 处的外角,则焦点在直线P Ｔ上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点..3..4. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离。
5.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切．6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=.7. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Ｐo 作椭圆的两条切线切点为P １、P ２，则切点弦Ｐ1Ｐ2的直线方程是00221x x y yab+=． 8. 椭圆22221x y a b+= (ａ〉b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.9. 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞０）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-（1(,0)F c - ， 2(,0)F c 00(,)M x y ）.10. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥N Ｆ..11..12. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点Ｐ、Q ， A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1Ｐ和A 2Q 交于点Ｍ，A 2Ｐ和A １Q 交于点N ，则ＭF ⊥NF 。
.13..14. A Ｂ是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦,Ｍ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB -=.15. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Ｐo所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.16. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+．二、双曲线1.点P 处的切线PT 平分△ＰF 1F 2在点P 处的内角。
速记：高中数学圆锥曲线135个性质结论总结（超详）转给孩子
速记：高中数学圆锥曲线135个性质结论总结（超详）转给孩子
对于很多同学来说，理科类的科目着实让人头疼不已，看起来简单的题干，却需要大量的知识才能构建出完成的解题步骤，缺失其中一环就容易导致进入逻辑的死胡同，所以学好理科，不仅需要清晰的逻辑思维，更需要扎实的知识积累。